Əgər paylanma normal hesab olunur. Təsadüfi dəyişənin normal paylanması və üç siqma qaydası. Normal ehtimal paylanma funksiyası

Ehtimal nəzəriyyəsi kifayət qədər çox sayda müxtəlif paylanma qanunlarını nəzərdən keçirir. Nəzarət qrafiklərinin qurulması ilə bağlı problemləri həll etmək üçün onlardan yalnız bir neçəsi maraq doğurur. Onlardan ən vacibi normal paylanma qanunu istifadə olunan nəzarət qrafiklərini qurmaq üçün istifadə olunur kəmiyyət nəzarəti, yəni. davamlı təsadüfi dəyişənlə məşğul olduğumuz zaman. Normal paylanma qanunu digər paylama qanunları arasında xüsusi yer tutur. Bu onunla izah olunur ki, birincisi, praktikada ən çox rast gəlinir, ikincisi, digər paylama qanunlarının çox ümumi tipik şəraitdə yaxınlaşdığı məhdudlaşdırıcı qanundur. İkinci vəziyyətə gəldikdə isə, ehtimal nəzəriyyəsində məbləğin kifayət qədər olduğu sübut edilmişdir çox sayda müstəqil (və ya zəif asılı) təsadüfi dəyişənlər, hər hansı bir paylama qanunlarına tabe olan (bəzi çox boş məhdudiyyətlərə tabedir), təxminən normal qanuna tabedir və bu, təsadüfi dəyişənlərin sayı nə qədər çox cəmlənərsə, daha dəqiqdir. Təcrübədə rast gəlinən təsadüfi dəyişənlərin çoxu, məsələn, ölçmə xətaları, çoxlu sayda nisbətən kiçik terminlərin - elementar xətaların cəmi kimi təqdim oluna bilər, onların hər biri ayrı bir səbəbə görə yaranır. başqaları. Normal qanun təsadüfi dəyişənin olduğu hallarda ortaya çıxır Xçoxlu sayda müxtəlif amillərin nəticəsidir. Hər bir amil ayrıca dəyərlidir X az təsir edir və hansının digərlərindən daha çox təsir etdiyini göstərmək mümkün deyil.

Normal paylama(Laplas-Qauss paylanması) – davamlının ehtimal paylanması təsadüfi dəyişən X belə ki, ehtimalın paylanması sıxlığı - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:

Exp (3)

Yəni normal paylanma m və s iki parametri ilə xarakterizə olunur, burada m riyazi gözləntidir; s normal paylanmanın standart kənarlaşmasıdır.

Dəyər s 2 normal paylanmanın dispersiyasıdır.

Riyazi gözlənti m paylama mərkəzinin mövqeyini, standart kənarlaşma s (SD) isə dispersiya xarakteristikasını xarakterizə edir (şək. 3).

f(x) f(x)

Şəkil 3 – Normal paylanma sıxlığı funksiyaları:

a) müxtəlif riyazi gözləntilər m; b) müxtəlif standart kənarlaşmalar s.

Beləliklə, dəyər μ paylanma əyrisinin absis oxundakı mövqeyi ilə müəyyən edilir. Ölçü μ - təsadüfi dəyişənin ölçüsü ilə eynidir X. Böyümə ilə riyazi gözlənti hər iki funksiya paralel olaraq sağa sürüşdürülür. Azalan dispersiya ilə s 2 sıxlıq getdikcə m ətrafında cəmləşir, paylanma funksiyası isə getdikcə dik olur.

σ dəyəri paylanma əyrisinin formasını müəyyən edir. Paylanma əyrisinin altındakı sahə həmişə birliyə bərabər qalmalıdır, çünki σ artdıqca paylanma əyrisi düzləşir. Şəkildə. Şəkil 3.1-də müxtəlif σ üçün üç əyri göstərilir: σ1 = 0,5; σ2 = 1,0; σ3 = 2.0.

Şəkil 3.1 – Normal paylanmanın sıxlıq funksiyaları ilə müxtəlif standart sapmalar s.

Paylanma funksiyası (inteqral funksiya) formaya malikdir (şək. 4):

(4)

Şəkil 4 – İnteqral (a) və diferensial (b) normal paylanma funksiyaları

Normal paylanmış təsadüfi kəmənin xətti çevrilməsi xüsusilə vacibdir X, bundan sonra təsadüfi dəyişən əldə edilir Z riyazi gözlənti 0 və dispersiya 1 ilə. Bu çevrilmə normallaşma adlanır:

Hər bir təsadüfi dəyişən üçün həyata keçirilə bilər. Normallaşma normal paylanmanın bütün mümkün variantlarını bir vəziyyətə endirməyə imkan verir: m = 0, s = 1.

m = 0, s = 1 olan normal paylanma deyilir normallaşdırılmış normal paylama (standartlaşdırılmış).

Standart normal paylanma(standart Laplas-Qauss paylanması və ya normallaşdırılmış normal paylanma) standartlaşdırılmış normal təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanmasıdır. Z, paylanma sıxlığı bərabərdir:

saat - ¥<z< + ¥

Funksiya dəyərləri Ф(z) düsturla müəyyən edilir:

(7)

Funksiya dəyərləri Ф(z) və sıxlıq f(z) normallaşdırılmış normal paylanma hesablanır və cədvəl şəklində tərtib edilir. Cədvəl yalnız müsbət qiymətlər üçün tərtib edilmişdir z Buna görə də:

F (–z) = 1–Ф(z) (8)

Bu cədvəllərdən istifadə edərək, yalnız müəyyən bir funksiya üçün normallaşdırılmış normal paylanmanın sıxlığını və dəyərlərini təyin edə bilərsiniz. z, həm də ümumi normal paylanma funksiyasının dəyərləri, çünki:

; (9)

. 10)

Normal paylanmış təsadüfi kəmiyyətləri əhatə edən bir çox məsələlərdə təsadüfi dəyişənin baş vermə ehtimalını müəyyən etmək lazımdır. X, müəyyən bir sahə üçün m və s parametrləri ilə normal qanuna tabedir. Belə bir bölmə, məsələn, yuxarı qiymətdən bir parametr üçün tolerantlıq sahəsi ola bilər U dibinə L.

-dən interval daxilində düşmə ehtimalı X 1-ə X 2 düsturla müəyyən edilə bilər:

Beləliklə, təsadüfi dəyişənə (parametr dəyəri) dəymə ehtimalı X tolerantlıq sahəsində düsturla müəyyən edilir

Təsadüfi dəyişən olma ehtimalını tapa bilərsiniz Xμ daxilində olacaq k s . üçün əldə edilən dəyərlər k=1,2 və 3 aşağıdakılardır (həmçinin Şəkil 5-ə baxın):

Beləliklə, əgər dəyər bütün mümkün dəyərlərin 99,73%-ni ehtiva edən üç siqma bölgəsindən kənarda görünürsə və belə bir hadisənin baş vermə ehtimalı çox kiçikdirsə (1:270), nəzərə alınmalıdır ki, sözügedən dəyər çox olub. kiçik və ya çox böyük, təsadüfi dəyişkənliyə görə deyil, paylanmanın təbiətində dəyişikliklərə səbəb ola biləcək prosesin özündə əhəmiyyətli bir pozuntuya görə.

Üç siqma sərhədləri daxilində yerləşən sahə də adlanır statistik tolerantlıq sahəsi müvafiq maşın və ya proses.

digər paylanma növləri ilə müqayisədə. Bu paylamanın əsas xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki, bütün digər paylama qanunları testlərin sayının sonsuz təkrarı ilə bu qanuna meyl edir. Bu paylama necə baş verir?

Təsəvvür edək ki, əl dinamometrini götürərək, şəhərinizin ən izdihamlı yerində yerləşirsiniz. Və yanından keçən hər kəsə dinamometri sağ və ya sol əli ilə sıxaraq gücünü ölçməyi təklif edirsən. Dinamometr oxunuşlarını diqqətlə yazın. Bir müddət sonra, kifayət qədər çox sayda testlə, dinamometr oxunuşlarını absis oxunda və bu oxunu ordinat oxunda "sıxıb çıxaran" insanların sayını təyin etdiniz. Yaranan nöqtələr hamar bir xətt ilə birləşdirildi. Nəticə Şəkil 9.8-də göstərilən əyridir. Təcrübə müddəti artdıqca bu əyrinin görünüşü çox dəyişməyəcək. Üstəlik, müəyyən bir nöqtədən etibarən yeni dəyərlər yalnız formasını dəyişdirmədən əyrini dəqiqləşdirəcəkdir.

düyü. 9.8.

İndi dinamometrimizi idman salonuna aparaq və təcrübəni təkrarlayaq. İndi əyrinin maksimumu sağa sürüşəcək, sol ucu bir qədər dartılacaq, sağ ucu isə daha dik olacaq (şək. 9.9).

düyü. 9.9.

Nəzərə alın ki, ikinci paylama üçün maksimum tezlik (B nöqtəsi) birinci paylama üçün maksimum tezlikdən (A nöqtəsi) aşağı olacaq. Bunu onunla izah etmək olar ki, idman salonuna gələnlərin ümumi sayı birinci halda eksperimentatorun yanından keçənlərin sayından az olacaq (şəhərin mərkəzində kifayət qədər izdihamlı yerdə). İdman salonlarında ümumi fonla müqayisədə fiziki cəhətdən daha güclü insanlar iştirak etdiyi üçün maksimum sağa keçdi.

Və nəhayət, eyni məqsədlə məktəblərə, uşaq bağçalarına və qocalar evlərinə baş çəkəcəyik: bu yerlərə gələnlərin əllərinin gücünü üzə çıxarmaq. Və yenə də paylama əyrisi oxşar formaya sahib olacaq, amma indi, açıq-aydın, onun sol ucu daha dik, sağ ucu isə daha dartılmış olacaq. Və ikinci vəziyyətdə olduğu kimi, maksimum (C nöqtəsi) A nöqtəsindən aşağıda olacaq (Şəkil 9.10).

düyü. 9.10.

Normal paylanmanın bu əlamətdar xüsusiyyəti - ehtimal sıxlığı əyrisinin formasını saxlamaq (Şəkil 8 - 10) 1733-cü ildə Moivre tərəfindən qeyd edilmiş və təsvir edilmiş, sonra isə Qauss tərəfindən tədqiq edilmişdir.

Elmi tədqiqatlarda, texnologiyada, kütləvi hadisələrdə və ya təcrübələrdə, daimi eksperimental şəraitdə təsadüfi dəyişənlərin dəfələrlə təkrarlanmasından danışarkən, test nəticələrinin normal paylanma əyrisi qanununa tabe olaraq təsadüfi səpilmədən keçdiyini söyləyirlər.

(21)

Ən çox rast gəlinən hadisə haradadır. Bir qayda olaraq, (21) düsturunda parametr əvəzinə, . Üstəlik, eksperimental seriya nə qədər uzun olarsa, parametr riyazi gözləntidən bir o qədər az fərqlənəcəkdir. Əyri altındakı sahənin (şək. 9.11) birinə bərabər olduğu qəbul edilir. X oxunun istənilən intervalına uyğun gələn sahə ədədi olaraq təsadüfi nəticənin bu intervala düşmə ehtimalına bərabərdir.

düyü. 9.11.

Normal paylanma funksiyası formaya malikdir

(22)

Qeyd edək ki, normal əyri (şək. 9.11) düz xəttə nisbətən simmetrikdir və OX oxuna asimptotik şəkildə yaxınlaşır.

Normal qanun üçün riyazi gözləntiləri hesablayaq

(23)

Normal paylanmanın xassələri

Bu mühüm paylanmanın əsas xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirək.

Mülk 1. Normal paylanma sıxlığı funksiyası (21) bütün x oxunda müəyyən edilmişdir.

Əmlak 2. Normal paylanma sıxlığı funksiyası (21) hər hansı tərif () sahəsi üçün sıfırdan böyükdür.

Əmlak 3. Sonsuz artım (azalma) ilə paylama funksiyası (21) sıfıra meyl edir .

Əmlak 4. (21) ilə verilmiş paylanma funksiyası ən böyük qiymətə bərabər olduqda

(24)

Əmlak 5. Funksiyanın qrafiki (şək. 9.11) düz xəttə nisbətən simmetrikdir.

Əmlak 6. Funksiyanın qrafiki (şək. 9.11) düz xəttə nisbətən simmetrik iki əyilmə nöqtəsinə malikdir:

(25)

Əmlak 7. Bütün tək mərkəzi anlar sıfırdır. Qeyd edək ki, 7-ci xassədən istifadə etməklə funksiyanın asimmetriyası düsturla müəyyən edilir. Əgər, onda onlar öyrənilən paylanmanın düz xəttə nisbətən simmetrik olduğu qənaətinə gəlirlər. Əgər , onda silsilənin sağa sürüşdüyünü deyirlər (qrafikin sağ budağı daha yaltaqdır və ya dartılır). Əgər , onda sıra sola sürüşdürülmüş hesab olunur (şəkil 9.12-də qrafikin daha düz sol budağı).

düyü. 9.12.

Əmlak 8. Paylanmanın kurtozu 3-ə bərabərdir. Təcrübədə tez-tez hesablanır və qrafikin “sıxılma” və ya “bulanıklıq” dərəcəsi bu dəyərin sıfıra yaxınlığı ilə müəyyən edilir (şək. 9.13). ilə əlaqəli olduğu üçün son nəticədə məlumatların tezlik dispersiyasının dərəcəsini xarakterizə edir. Və müəyyən etdiyi üçün

Normal paylanmış təsadüfi kəmiyyətlərlə bağlı bir çox məsələlərdə parametrləri olan normal qanuna tabe olan təsadüfi kəmənin -dən -ə qədər olan seqmentə düşmə ehtimalını müəyyən etmək lazımdır. Bu ehtimalı hesablamaq üçün ümumi düsturdan istifadə edirik

kəmiyyətin paylanma funksiyası haradadır.

Parametrli normal qanuna görə paylanmış təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyasını tapaq. Dəyərin paylanma sıxlığı bərabərdir:

Buradan paylama funksiyasını tapırıq

. (6.3.3)

(6.3.3) inteqralında dəyişən dəyişikliyi edək.

və onu bu formada qoyaq:

(6.3.4)

(6.3.4) inteqral elementar funksiyalar vasitəsilə ifadə olunmur, lakin o, ifadənin müəyyən inteqralını ifadə edən xüsusi funksiya vasitəsilə hesablana bilər və ya onun üçün cədvəllər tərtib edilmiş (ehtimal inteqral adlanır). Bu cür funksiyaların bir çox çeşidi var, məsələn:

;

və s. Bu funksiyalardan hansını istifadə etmək zövq məsələsidir. Biz belə bir funksiya kimi seçəcəyik

. (6.3.5)

Bu funksiyanın parametrləri olan normal paylanmış təsadüfi dəyişən üçün paylanma funksiyasından başqa bir şey olmadığını görmək asandır.

Gəlin razılaşaq ki, funksiyanı normal paylanma funksiyası adlandıraq. Əlavədə (Cədvəl 1) funksiya qiymətlərinin cədvəlləri var.

Kəmiyyətin paylanma funksiyasını (6.3.3) parametrlərlə və normal paylanma funksiyası vasitəsilə ifadə edək. Aydındır ki,

İndi -dən -ə qədər olan hissəyə təsadüfi dəyişənin düşmə ehtimalını tapaq. Formula (6.3.1) uyğun olaraq

Beləliklə, 0.1 parametrləri ilə ən sadə normal qanuna uyğun gələn standart paylanma funksiyası vasitəsilə hər hansı bir parametrlə kəsişə düşmək üçün normal qanuna görə paylanmış təsadüfi dəyişənin ehtimalını ifadə etdik. Qeyd edək ki, (6.3.7) düsturunda funksiyanın arqumentləri çox sadə məna kəsb edir: bölmənin sağ ucundan səpilmə mərkəzinə qədər standart kənarlaşmalarla ifadə olunan məsafə var; - bölmənin sol ucu üçün eyni məsafədir və ucu dispersiya mərkəzinin sağında yerləşirsə bu məsafə müsbət, solda olduqda isə mənfi hesab olunur.

Hər hansı bir paylama funksiyası kimi, funksiya da aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

3. - azalmayan funksiya.

Bundan əlavə, mənşəyə nisbətən parametrlərlə normal paylanmanın simmetriyasından belə nəticə çıxır ki

Bu xassədən istifadə edərək, dəqiq desək, funksiya cədvəllərini yalnız müsbət arqument qiymətləri ilə məhdudlaşdırmaq olardı, lakin lazımsız əməliyyatın qarşısını almaq üçün (birindən çıxma) Əlavə Cədvəl 1 həm müsbət, həm də mənfi arqumentlər üçün dəyərlər təqdim edir.

Təcrübədə biz tez-tez normal paylanmış təsadüfi kəmiyyətin səpilmə mərkəzinə nisbətən simmetrik olan sahəyə düşmə ehtimalının hesablanması problemi ilə qarşılaşırıq. Uzunluğun belə bir hissəsini nəzərdən keçirək (Şəkil 6.3.1). (6.3.7) düsturu ilə bu sahəyə dəymə ehtimalını hesablayaq:

Funksiyanın (6.3.8) xassəsini nəzərə alaraq və (6.3.9) düsturunun sol tərəfini daha yığcam forma verərək, normal qanuna uyğun olaraq paylanmış təsadüfi kəmənin bir sıraya düşmə ehtimalı üçün düstur alırıq. səpilmə mərkəzinə görə simmetrik sahə:

. (6.3.10)

Gəlin aşağıdakı problemi həll edək. Dispersiya mərkəzindən ardıcıl uzunluq seqmentlərini çəkək (şək. 6.3.2) və onların hər birinə təsadüfi dəyişənin düşmə ehtimalını hesablayaq. Normal əyri simmetrik olduğundan, belə seqmentləri yalnız bir istiqamətdə çəkmək kifayətdir.

(6.3.7) düsturundan istifadə edərək tapırıq:

(6.3.11)

Bu məlumatlardan göründüyü kimi, aşağıdakı seqmentlərin (beşinci, altıncı və s.) hər birini 0,001 dəqiqliklə vurma ehtimalları sıfıra bərabərdir.

Seqmentlərə daxil olma ehtimallarını 0,01-ə (1% -ə qədər) yuvarlaqlaşdıraraq, yadda saxlamaq asan olan üç rəqəm alırıq:

0,34; 0,14; 0,02.

Bu üç dəyərin cəmi 0,5-dir. Bu o deməkdir ki, normal paylanmış təsadüfi dəyişən üçün bütün dispersiya (faiz fraksiyalarının dəqiqliyi ilə) sahəyə uyğun gəlir.

Bu, təsadüfi dəyişənin standart sapmasını və riyazi gözləntisini bilməklə onun praktiki olaraq mümkün qiymətlərinin diapazonunu təxmini olaraq göstərməyə imkan verir. Təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərlərinin diapazonunu qiymətləndirmək üçün bu üsul riyazi statistikada “üç siqma qaydası” kimi tanınır. Üç siqma qaydası təsadüfi dəyişənin standart sapmasını təyin etmək üçün təxmini metodu da nəzərdə tutur: ortadan maksimum praktiki mümkün olan sapmanı götürün və onu üçə bölün. Əlbəttə ki, bu kobud texnika yalnız müəyyən etmək üçün başqa, daha dəqiq üsullar olmadıqda tövsiyə edilə bilər.

Nümunə 1. Normal qanuna görə paylanmış təsadüfi kəmiyyət müəyyən məsafənin ölçülməsində səhvi təmsil edir. Ölçmə zamanı 1,2 (m) həddindən artıq qiymətləndirmə istiqamətində sistematik bir səhvə yol verilir; Ölçmə xətasının standart sapması 0,8 (m) təşkil edir. Ölçülmüş qiymətin həqiqi qiymətdən kənarlaşmasının mütləq qiymətdə 1,6 (m)-dən çox olmama ehtimalını tapın.

Həll. Ölçmə xətası və parametrləri ilə normal qanuna tabe olan təsadüfi dəyişəndir. Bu kəmiyyətin -dən -ə qədər olan hissəyə düşmə ehtimalını tapmalıyıq. (6.3.7) düsturuna görə bizdə:

Funksiya cədvəllərindən (Əlavə, Cədvəl 1) istifadə edərək, tapırıq:

; ,

Nümunə 2. Əvvəlki misaldakı kimi eyni ehtimalı tapın, lakin sistematik xəta olmamaq şərti ilə.

Həll. (6.3.10) düsturundan istifadə edərək, fərz etsək, tapırıq:

Nümunə 3. Eni 20 m olan zolaq (avtomobil yolu) kimi görünən hədəf magistral yola perpendikulyar istiqamətdə atəşə tutulur. Hədəflənmə magistralın mərkəzi xətti boyunca aparılır. Atış istiqamətində standart kənarlaşma m-ə bərabərdir.Çəkiliş istiqamətində sistematik xəta var: altlıq 3 m.Bir atışla magistral yola düşmə ehtimalını tapın.

Təcrübədə çoxlu sayda təsadüfi amillərin təsiri altında olan təsadüfi dəyişənlərin əksəriyyəti normal ehtimal paylanması qanununa tabe olur. Buna görə də ehtimal nəzəriyyəsinin müxtəlif tətbiqlərində bu qanun xüsusi əhəmiyyət kəsb edir.

Təsadüfi dəyişən $X$ normal ehtimal paylanma qanununa tabe olur, əgər onun ehtimal paylanma sıxlığı aşağıdakı formaya malikdirsə

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\sol(x-a\sağ))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

$f\left(x\right)$ funksiyasının qrafiki şəkildə sxematik şəkildə göstərilmişdir və “Qauss əyrisi” adlanır. Bu qrafikin sağ tərəfində avronun dövriyyəyə buraxılmasından əvvəl istifadə edilmiş Alman 10 markalı əskinas var. Diqqətlə baxsanız, bu əskinasın üzərində Qauss əyrisini və onun kəşfçisi, ən böyük riyaziyyatçı Karl Fridrix Qaussu görə bilərsiniz.

Gəlin $f\left(x\right)$ sıxlıq funksiyamıza qayıdaq və $a,\ (\sigma )^2$ paylanma parametrləri ilə bağlı bəzi izahatlar verək. $a$ parametri təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin dispersiya mərkəzini xarakterizə edir, yəni riyazi gözlənti mənasına malikdir. $a$ parametri dəyişdikdə və $(\sigma )^2$ parametri dəyişməz qaldıqda, biz $f\left(x\right)$ funksiyasının qrafikində absis boyunca yerdəyişməni müşahidə edə bilərik, sıxlıq qrafiki isə öz formasını dəyişmir.

$(\sigma )^2$ parametri dispersiyadır və $f\left(x\right)$ sıxlıq qrafiki əyrisinin formasını xarakterizə edir. $(\sigma )^2$ parametrini $a$ parametri dəyişməz olaraq dəyişdirərkən, biz sıxlıq qrafikinin absis oxu boyunca hərəkət etmədən öz formasını necə dəyişdiyini, sıxılaraq və ya uzandığını müşahidə edə bilərik.

Normal paylanmış təsadüfi kəmənin verilmiş intervala düşmə ehtimalı

Məlum olduğu kimi, $X$ təsadüfi dəyişənin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ intervalına düşmə ehtimalı $P\left(\alpha) hesablana bilər.< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\sol(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Burada $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ funksiyası Laplas funksiyası. Bu funksiyanın dəyərləri -dən götürülür. $\Phi \left(x\right)$ funksiyasının aşağıdakı xassələrini qeyd etmək olar.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, yəni $\Phi \left(x\right)$ funksiyası təkdir.

2 . $\Phi \left(x\right)$ monoton artan funksiyadır.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ sol(x\sağ)\ )=-0,5$.

$\Phi \left(x\right)$ funksiyasının dəyərlərini hesablamaq üçün Excel-də $f_x$ sehrbazından da istifadə edə bilərsiniz: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x) ;0;1;1\sağ )-0,5$. Məsələn, $x=2$ üçün $\Phi \left(x\right)$ funksiyasının qiymətlərini hesablayaq.

Normal paylanmış təsadüfi dəyişən $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ $a$ riyazi gözləntisinə görə simmetrik intervala düşmə ehtimalı düsturdan istifadə etməklə hesablana bilər.

$$P\left(\left|X-a\sağ|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Üç siqma qaydası. Demək olar ki, normal paylanmış təsadüfi dəyişən $X$ $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ intervalına düşəcək.

Misal 1 . $X$ təsadüfi dəyişəni $a=2,\ \sigma =3$ parametrləri ilə normal ehtimal paylanması qanununa tabedir. $X$ $\left(0.5;1\right)$ intervalına düşmə ehtimalını və $\left|X-a\right| bərabərsizliyinin ödənilməsi ehtimalını tapın.< 0,2$.

Formuladan istifadə

$$P\sol(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

$P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\(3) üzərində tapırıq. ))\sağ)=\Phi \sol(-0,33\sağ)-\Phi \left(-0,5\sağ)=\Phi \left(0,5\sağ)-\Phi \sol(0,33\sağ)=0,191- 0,129=0,062 ABŞ dolları.

$$P\left(\left|X-a\sağ|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Misal 2 . Tutaq ki, il ərzində müəyyən bir şirkətin səhmlərinin qiyməti 50 şərti pul vahidinə bərabər riyazi gözlənti və 10-a bərabər standart sapma ilə normal qanuna uyğun olaraq paylanmış təsadüfi bir dəyişəndir. müzakirə olunan müddətin günü promosyonun qiyməti belə olacaq:

a) 70-dən çox şərti pul vahidi?

b) bir səhm üçün 50-dən aşağıdır?

c) hər səhmə görə 45-58 şərti pul vahidi arasında?

Qoy $X$ təsadüfi dəyişən hansısa şirkətin səhmlərinin qiyməti olsun. Şərtə görə, $X$ $a=50$ - riyazi gözlənti, $\sigma =10$ - standart kənarlaşma parametrləri ilə normal paylanmaya məruz qalır. Ehtimal $P\sol(\alfa< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\sol(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\sağ)=\Phi \left(((\infty -50)\(10))\sağ)-\Phi \left(((70-50)\ yuxarı (10))\sağ)=0,5-\Phi \sol(2\sağ)=0,5-0,4772=0,0228.$$

$$b)\P\sol(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\sol(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Normal paylanma qanunu, Gauss qanunu adlanan qanun ən çox yayılmış qanunlardan biridir. Bu, ehtimal nəzəriyyəsində və onun tətbiqində əsas qanundur. Normal paylanmaya ən çox təbii və sosial-iqtisadi hadisələrin öyrənilməsində rast gəlinir. Başqa sözlə, təbiətdə və cəmiyyətdə əksər statistik aqreqatlar normal paylanma qanununa tabe olur. Buna uyğun olaraq, çoxlu sayda böyük nümunələrin populyasiyalarının normal paylanma qanununa tabe olduğunu söyləyə bilərik. Xüsusi transformasiyalar nəticəsində normal paylanmadan kənara çıxan populyasiyalar normala yaxınlaşdırıla bilər. Bu baxımdan yadda saxlamaq lazımdır ki, bu qanunun digər paylanma qanunlarına münasibətdə əsas xüsusiyyəti müəyyən (standart) şəraitdə digər paylanma qanunlarının yaxınlaşdığı sərhəd qanunu olmasıdır.

Qeyd etmək lazımdır ki, “normal paylanma” termini riyazi və statistik ədəbiyyatda ümumi qəbul edilmiş termin kimi şərti məna daşıyır. Hər hansı bir hadisənin bu və ya digər xarakteristikasının normal paylanma qanununa tabe olmasının ifadəsi heç də tədqiq olunan fenomenə xas olan normaların toxunulmazlığı demək deyil və sonuncunu ikinci hüquq növü kimi təsnif etmək heç də bir növ qanuna uyğunluq demək deyil. bu fenomenin anormallığı. Bu mənada “normal paylanma” termini tamamilə uyğun deyil.

Normal paylanma (Qauss-Laplas qanunu) davamlı paylanma növüdür. Moivre (min yeddi yüz yetmiş üç, Fransa) ehtimal paylanmasının normal qanununu çıxardığı yerdən. Bu kəşfin əsas ideyaları ilk dəfə qanunun özünün inkişafına mühüm nəzəri töhfə vermiş K.Qauss (1809, Almaniya) və A.Laplas (1812, Fransa) tərəfindən səhvlər nəzəriyyəsində istifadə edilmişdir. Xüsusilə, K. Gauss öz inkişaflarında təsadüfi dəyişənin ən çox ehtimal olunan qiymətinin arifmetik orta olduğunu qəbul etməkdən çıxış etdi. Normal paylanmanın yaranması üçün ümumi şərtlər A.M.Lyapunova tərəfindən müəyyən edilmişdir. O, sübut etdi ki, əgər tədqiq olunan xüsusiyyət hər birinin digərlərinin əksəriyyəti ilə az əlaqəsi olan bir çox amillərin ümumi təsirinin nəticəsidirsə və hər bir amilin yekun nəticəyə təsiri ümumi təsiri ilə çox üst-üstə düşür. bütün digər amillər, sonra paylanma normala yaxın olur.

Davamlı təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanması normal adlanır və sıxlığa malikdir:

1 +1 (& #) 2

/ (x, x,<т) = - ^ е 2 st2

burada x riyazi gözlənti və ya orta qiymətdir. Göründüyü kimi, normal paylanma iki parametrlə müəyyən edilir: x və °. Normal paylanmanı müəyyən etmək üçün riyazi gözlənti və ya orta və standart kənarlaşmanı bilmək kifayətdir. Bu iki kəmiyyət qruplaşmanın mərkəzini və formanı müəyyən edir

qrafik üzərində əyri. u (xx, b) funksiyasının qrafiki x və b parametrləri olan normal əyri (Qauss əyrisi) adlanır (şək. 12).

Normal paylanma əyrisi X ± 1-də əyilmə nöqtələrinə malikdir. Qrafik olaraq təqdim olunarsa, o zaman arasında X = + l və 1 = -1 bütün əyri sahəsinin 0,683 hissəsidir (yəni 68,3%). X = + 2 və X- 2. sərhədləri daxilində 0,954 sahə (95,4%), X = + 3 və X = - 3 arasında isə bütün paylama sahəsinin 0,997 hissəsi (99,7%) var. Şəkildə. Şəkil 13 bir, iki və üç siqma sərhədləri ilə normal paylanmanın xarakterini göstərir.

Normal paylama ilə arifmetik orta, rejim və median bir-birinə bərabər olacaqdır. Normal əyrinin forması tək təpəli simmetrik əyri formasına malikdir, budaqları asimptotik olaraq absis oxuna yaxınlaşır. Əyrinin ən böyük ordinatı x = 0-a uyğundur. Bu nöqtədə absis oxunda xarakteristikaların ədədi qiyməti arifmetik ortaya, rejimə və mediana bərabər yerləşdirilir. Döngənin yuxarı hissəsinin hər iki tərəfində onun budaqları gəlir, müəyyən nöqtələrdə qabarıqlıq formasını konkavliyə dəyişir. Bu nöqtələr simmetrikdir və x = ± 1 dəyərlərinə uyğundur, yəni orta göstəricidən sapmaları ədədi olaraq standart sapmaya bərabər olan xüsusiyyət dəyərləri. Arifmetik ortaya uyğun gələn ordinat əyri ilə absis arasındakı bütün sahəni yarıya bölür. Beləliklə, tədqiq olunan xarakteristikanın qiymətlərinin baş vermə ehtimalları ortadan böyük və kiçikdir.

arifmetika 0,50-yə bərabər olacaq, yəni x, (~ ^ x) = 0,50 V

Şəkil 12. Normal paylanma əyrisi (Qauss əyrisi)

Normal əyrinin forması və mövqeyi orta və standart sapmanın qiymətini müəyyən edir. Riyazi olaraq sübut edilmişdir ki, ortanın qiymətinin dəyişdirilməsi (riyazi gözlənti) normal əyrinin formasını dəyişmir, ancaq onun absis oxu boyunca yerdəyişməsinə gətirib çıxarır. Əyri ~ artarsa ​​sağa, ~ gələrsə sola sürüşür.

Şəkil 14. Müxtəlif parametr qiymətləri ilə normal paylanma əyriləriV

Dəyişərkən normal əyri qrafikin formasının dəyişdirilməsi haqqında

standart kənarlaşma maksimuma görə qiymətləndirilə bilər

diferensial normal paylanma funksiyası, bərabərdir 1

Göründüyü kimi, °-nin qiyməti artdıqca əyrinin maksimum ordinatı azalacaq. Nəticə etibarilə, normal paylanma əyrisi x oxuna doğru sıxılacaq və daha düz üstü forma alacaq.

Və əksinə, β parametri azaldıqca, normal əyri ordinat oxunun müsbət istiqamətində uzanır və "zəng" forması daha sivri olur (Şəkil 2). 14). Qeyd edək ki, ~ və parametrlərinin dəyərlərindən asılı olmayaraq, absis oxu və əyri ilə məhdudlaşan sahə həmişə birliyə bərabərdir (paylanma sıxlığı xüsusiyyəti). Bu, qrafikdə aydın şəkildə göstərilir (şək. 13).

Paylanmanın “normallığının” təzahürünün yuxarıda qeyd olunan xüsusiyyətləri normal paylanma əyrilərinin malik olduğu bir sıra ümumi xüsusiyyətləri müəyyən etməyə imkan verir:

1) istənilən normal əyri maksimum nöqtəyə çatır (X= x) davamlı olaraq onun sağına və soluna gəlir, tədricən x oxuna yaxınlaşır;

2) istənilən normal əyri düz xəttə nisbətən simmetrikdir;

ordinat oxuna paraleldir və maksimum nöqtədən keçir (X= x)

maksimum ordinat ^^ i;

3) hər hansı bir normal əyri "zəng" formasına malikdir, maksimum nöqtəyə qədər yuxarıya doğru yönəlmiş qabarıqlığa malikdir. x ~ ° və x + b nöqtələrində qabarıqlığı dəyişir və a nə qədər kiçik olsa, "zəng" daha kəskin olur və a nə qədər böyük olarsa, "zəng"in üstü bir o qədər cəzalandırıcı olur (şək. 14). Riyazi gözləntidə dəyişiklik (sabit dəyərlə

c) əyrinin formasının modifikasiyasına səbəb olmur.

x = 0 və ° = 1 olduqda, normal əyri normallaşdırılmış əyri və ya kanonik formada normal paylanma adlanır.

Normallaşdırılmış əyri aşağıdakı düsturla təsvir edilir:

Empirik məlumatlara əsaslanan normal əyrinin qurulması düsturdan istifadə etməklə həyata keçirilir:

pi 1 - "" = --- 7 = e

burada və ™ paylanmanın hər bir intervalının (qrupunun) nəzəri tezliyidir; "- Populyasiyanın həcminə bərabər tezliklərin cəmi; "- interval addım;

eyni - bir dairənin çevrəsinin diametrinə nisbəti, yəni

e - natural loqarifmlərin əsası, 2,71828-ə bərabərdir;

Düsturun ikinci və üçüncü hissələri) funksiyadır

normallaşdırılmış sapma CN), X-in istənilən dəyəri üçün hesablana bilər. CN qiymətlərinin cədvəlləri) adətən "normal əyrinin ordinat cədvəlləri" adlanır (Əlavə 3). Bu funksiyalardan istifadə edərkən normal paylanma üçün iş düsturu sadə forma alır:

Misal. 57 işçinin gündəlik qazanc səviyyəsinə görə bölgüsünə dair məlumatların nümunəsindən istifadə edərək normal əyrinin qurulması halını nəzərdən keçirək (cədvəl 42). Cədvəl 42-ə əsasən arifmetik ortanı tapırıq:

~ = ^ = И6 54 =

Standart sapmanı hesablayırıq:

Cədvəlin hər sətri üçün normallaşdırılmış kənarlaşmanın qiymətini tapırıq

x və ~x | 12 g => - = - ^ 2 = 1,92

A 6.25 (birinci intervalın dd I və s.).

Cədvəlin 8-ci sütununda. 42 biz tətbiqdən Di) funksiyasının cədvəl dəyərini yazırıq, məsələn, X = 1.92 birinci interval üçün "2" (0.0632) ilə müqayisədə "1.9" tapırıq.

Nəzəri tezlikləri, yəni normal paylanma əyrisinin ordinatlarını hesablamaq üçün çarpan hesablanır:

* = ^ = 36,5 a 6.25

/ (r) funksiyasının bütün tapılmış cədvəl dəyərlərini 36,5-ə vururuq. Beləliklə, birinci interval üçün 0,0632x36,5 = 2,31 ton alırıq.Bir neçə

tezliklər (P "<5) birləşdirin (bizim nümunəmizdə - ilk iki və son iki interval).

Əgər həddindən artıq nəzəri tezliklər sıfırdan əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənirsə, empirik və nəzəri tezliklərin cəmi arasında uyğunsuzluq əhəmiyyətli ola bilər.

Nəzərdən keçirilən nümunəyə görə empirik və nəzəri tezliklərin (normal əyri) paylanma qrafiki Şəkil 15-də göstərilmişdir.

Ekstremal intervallarda tezliyin olmadığı hal üçün normal paylanmanın tezliklərinin müəyyən edilməsi nümunəsinə baxaq (cədvəl 43). Burada empirik

X - normallaşdırılmış sapma, (c) a - standart sapma.

birinci intervalın tezliyi sıfırdır. Müəyyən edilməmiş tezliklərin nəticəsi onların empirik dəyərlərinin cəminə bərabər deyil (56 * 57). Bu halda, nəzəri tezlik intervalın mərkəzinin, normallaşdırılmış sapmanın və onun funksiyasının əldə edilmiş dəyərlərini yumaq üçün hesablanır.

Cədvəl 43-də bu dəyərlər düzbucaqlı ilə əhatə olunmuşdur. Normal əyri çəkildikdə, belə hallarda nəzəri əyri davam etdirilir. Baxılan halda normal əyri ortadan mənfi kənara doğru davam edəcək, çünki ilk dəqiqləşdirilməmiş tezlik 5-ə bərabərdir. Birinci interval üçün hesablanmış nəzəri tezlik (aydınlaşdırılmış) vahidə bərabər olacaqdır. Təmizlənmiş tezliklərin cəmi empirik olanlarla üst-üstə düşür

Cədvəl 42

Hesablanmış dəyərlər

Statistik parametrlər

interval,

Vahidlərin sayı,

x) 2 n¡

normallaşdırılmış şöbələr

nəzəri normal paylanma sıralarının tezliyi, / 0) x - A

>>

Min altı yüz əlli dörd

a = 6,25

^i=36.5 A

Cədvəl 43

Normal paylanma tezliklərinin hesablanması (normal qanuna görə empirik tezliklərin düzülməsi)

Vahidlərin sayı,

Hesablanmış dəyərlər

Statistik parametrlər

Interval (və-2)

Aralığın median dəyəri (mərkəzi),

(hə, -xf

^ x t-x) 1 n və

normallaşdırılmış sapma xs- X t= x --L

funksiyanın cədvəl dəyəri, f (t)

nəzəri normal paylanma sıralarının tezliyi

aydınlaşdırılmış nəzəri tezlik dəyəri,

w

-

-

-

-

-

o = 2,41

düyü. 15. Empirik paylanma(1) və normal əyri (2)

Tədqiq olunan əhali üçün normal paylanma əyrisi başqa üsulla (yuxarıda müzakirə ediləndən fərqli olaraq) qurula bilər. Beləliklə, faktiki paylanmanın normala uyğunluğu haqqında təxmini bir təsəvvürə sahib olmaq lazımdırsa, hesablamalar aşağıdakı ardıcıllıqla aparılır. Xüsusiyyətlərin orta ölçüsünə uyğun gələn maksimum ordinat müəyyən edilir), sonra standart kənarlaşma hesablandıqdan sonra 42 və 43-cü cədvəllərdə göstərilən sxemə uyğun olaraq normal paylanma əyrisinin nöqtələrinin koordinatları hesablanır. Cədvəl 43-dəki ilkin və hesablanmış məlumatlara görə, ortalama ~ = 26 olmalıdır. Bu dəyər ortadakı dördüncü intervalın mərkəzi ilə üst-üstə düşür (25-27). Beləliklə, bu intervalın tezliyi "20" (qrafik tərtib edərkən) maksimum ordinat kimi qəbul edilə bilər). Hesablanmış dispersiyaya (β = 2,41 sm, Cədvəl 43) sahib olaraq, normal paylanma əyrisinin bütün lazımi nöqtələrinin koordinat dəyərlərini hesablayırıq (Cədvəl 44, 45). Alınan koordinatlardan istifadə edərək dördüncü intervalın tezliyini maksimum ordinat kimi götürərək normal əyri çəkirik (şək. 16).

Empirik paylanmanın normal ilə uyğunluğu sadələşdirilmiş hesablamalar vasitəsilə də müəyyən edilə bilər. Beləliklə, əgər asimmetriya dərəcəsi göstəricisinin (^) onun orta kvadrat xətasına nisbəti sh a "və ya kurtoz göstəricisinin (E x) onun orta kvadrat xətasına nisbəti t & mütləq qiymətdə "3" rəqəmini keçərsə, a. empirik paylanma ilə normal paylanmaların təbiəti arasındakı uyğunsuzluq haqqında nəticə çıxarılır (yəni,

A tz E X

Əgər ™ A>3 və ya w e "> 3).

Paylanmanın “normallığını” təyin etmək üçün əmək tələb etməyən başqa üsullar da mövcuddur: a) arifmetik ortanın rejim və median ilə müqayisəsi; b) Westergard fiqurlarından istifadə; c) yarımloqarifmik şəbəkədən istifadə etməklə qrafik təsvirin tətbiqi turbin; d) xüsusi uyğunluq meyarlarının hesablanması və s.

Cədvəl 44

Koordinatlar Normal paylanma əyrisinin 7 nöqtəsi

Cədvəl 45

Normal paylanma əyrisinin nöqtələrinin koordinatlarının hesablanması

	x- 1,5 (7 =	X - a = 23.6	X - 0,5 (7 = = 24,8		x + 0.5st = 27,2	X + a = 28.4	X+1.5 (7 =

Şəkil 16. Normal paylanma əyrisi yeddi nöqtədən istifadə edərək tərtib edilmişdir

Təcrübədə populyasiyanın paylanmasını normal olanla uzlaşdırmaq üçün öyrənilərkən çox vaxt “3cr qaydası”ndan istifadə olunur.

Riyazi olaraq sübut edilmişdir ki, mütləq qiymətdə orta göstəricidən kənarlaşmanın standart kənarlaşmanın üç qatından az olması ehtimalı 0,9973-ə bərabərdir, yəni kənarlaşmanın mütləq qiymətinin standart kənarlaşmadan üç dəfə çox olması ehtimalı 0,0027 və ya çox kiçik. Mümkün olmayan hadisələrin mümkünsüzlüyü prinsipinə əsaslanaraq, 3-cü maddənin “aşılması halı” praktiki olaraq qeyri-mümkün hesab edilə bilər. Əgər təsadüfi dəyişən normal paylanmışdırsa, onda onun riyazi gözləntidən (ortadan) yayınmasının mütləq qiyməti standart kənarlaşmanın üç qatını keçmir.

Praktik hesablamalarda onlar bu şəkildə işləyirlər. Tədqiq olunan təsadüfi dəyişənin paylanmasının naməlum xarakterini nəzərə alaraq, ortadan kənarlaşmanın hesablanmış dəyəri 3 ST dəyərindən az olarsa, tədqiq olunan xarakteristikanın paylandığını düşünmək üçün əsas var. normal olaraq. Göstərilən parametr artıq olarsa ədədi dəyər 3 ST, tədqiq olunan dəyərin paylanmasının normal paylanma ilə uyğun olmadığını güman edə bilərik.

Öyrənilən empirik paylanma seriyası üçün nəzəri tezliklərin hesablanması adətən empirik əyrilərin normal (və ya hər hansı digər) paylanma qanununa uyğun düzülməsi adlanır. Bu proses həm nəzəri, həm də əhəmiyyətlidir praktik əhəmiyyəti. Empirik məlumatların uyğunlaşdırılması onların təzahürünün təsadüfi forması ilə gizlənə bilən paylanma nümunəsini ortaya qoyur. Bu şəkildə qurulmuş nümunə bir sıra praktiki problemləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər.

Tədqiqatçı elmin müxtəlif sahələrində və insanın praktik fəaliyyəti sahələrində normala yaxın paylanma ilə qarşılaşır. İqtisadiyyatda bu cür paylama, məsələn, texnologiya və ya biologiyadan daha az yayılmışdır. Bu, bir-biri ilə əlaqəli və bir-biri ilə əlaqəli amillərin böyük mürəkkəbliyi, habelə işlərin sərbəst "oyununu" məhdudlaşdıran bir sıra şərtlərin olması ilə xarakterizə olunan sosial-iqtisadi hadisələrin təbiəti ilə əlaqədardır. Amma iqtisadçı empirik paylanmaların strukturunu təhlil edərək normal paylanmaya bir növ standart kimi istinad etməlidir. Belə bir müqayisə bu paylanma rəqəmini müəyyən edən daxili şərtlərin mahiyyətini aydınlaşdırmağa imkan verir.

Kürənin nüfuzu statistik tədqiqat sosial-iqtisadi hadisələr sahəsinə daxil olması çoxlu sayda müxtəlif növ paylanma əyrilərinin mövcudluğunu aşkar etməyə imkan verdi. Bununla belə, normal paylanma əyrisinin nəzəri konsepsiyasının bu tip hadisələrin statistik və riyazi təhlilində ümumiyyətlə az istifadə olunduğunu düşünmək olmaz. Konkretin təhlilində həmişə məqbul olmaya bilər statistik paylanma, lakin nəzəriyyə və təcrübə sahəsində tədqiqatın seçmə metodu böyük əhəmiyyət kəsb edir.

Normal paylanmanın statistik və riyazi analizdə tətbiqinin əsas aspektlərini adlandıraq.

1. Xarakteristikanın xüsusi qiymətinin olma ehtimalını müəyyən etmək. Bu, müəyyən empirik paylanmanın normala uyğunluğu haqqında fərziyyələri sınaqdan keçirərkən lazımdır.

2. Maksimum ehtimal metodundan istifadə etməklə bir sıra parametrləri, məsələn, ortaları qiymətləndirərkən. Onun mahiyyəti məcmuənin tabe olduğu qanunun tərifindədir. Maksimum dəyərləri verən təxmin də müəyyən edilir. Əhali parametrlərinə ən yaxşı yaxınlaşma nisbəti ilə verilir:

y = - 2 = e 2

3. Ümumi vasitələrə nisbətən seçmə vasitələrinin ehtimalını müəyyən etmək.

4. Ümumi əhalinin xüsusiyyətlərinin təxmini qiymətinin yerləşdiyi inam intervalını təyin edərkən.