Kvadrat tənliklərin həlli, kök düsturu, nümunələr. Kvadrat tənliklər. Kvadrat tənliklərin həlli Kvadrat tənliyi məhsula necə çevirmək olar
Çoxları belə olmadığı üçün bu mövzu ilk baxışda çətin görünə bilər sadə düsturlar. Kvadrat tənliklərin özlərində təkcə uzun qeydlər yoxdur, həm də köklər diskriminant vasitəsilə tapılır. Ümumilikdə üç yeni düstur əldə edilir. Xatırlamaq çox asan deyil. Bu, yalnız belə tənlikləri tez-tez həll etdikdən sonra mümkündür. Sonra bütün düsturlar öz-özünə yadda qalacaq.
Kvadrat tənliyin ümumi görünüşü
Burada ən böyük dərəcə əvvəlcə, sonra isə azalan qaydada yazıldıqda onların açıq qeydini təklif edirik. Çox vaxt şərtlərin uyğunsuz olduğu vəziyyətlər olur. Sonra tənliyi dəyişənin dərəcəsinə görə azalan qaydada yenidən yazmaq daha yaxşıdır.
Bəzi qeydləri təqdim edək. Onlar aşağıdakı cədvəldə təqdim olunur.
Bu qeydləri qəbul etsək, bütün kvadrat tənliklər aşağıdakı qeydlərə endirilir.
Bundan əlavə, a ≠ 0 əmsalı. Bu düstur bir nömrə ilə təyin olunsun.
Tənlik verildikdə cavabda neçə kök olacağı bəlli deyil. Çünki üç variantdan biri həmişə mümkündür:
- həllin iki kökü olacaq;
- cavab bir nömrə olacaq;
- tənliyin heç bir kökü olmayacaq.
Və qərar yekunlaşana qədər, müəyyən bir vəziyyətdə hansı variantın görünəcəyini anlamaq çətindir.
Kvadrat tənliklərin qeydlərinin növləri
Tapşırıqlarda müxtəlif girişlər ola bilər. Həmişə belə görünməyəcəklər ümumi formula kvadrat tənlik. Bəzən bəzi şərtlər itkin olacaq. Yuxarıda yazılanlar tam tənlikdir. Ondakı ikinci və ya üçüncü termini çıxarsanız, başqa bir şey alırsınız. Bu qeydlərə kvadrat tənliklər də deyilir, yalnız natamamdır.
Üstəlik, yalnız “b” və “c” əmsallı terminlər yox ola bilər. “a” rəqəmi heç bir halda sıfıra bərabər ola bilməz. Çünki bu halda düstur xətti tənliyə çevrilir. Tənliklərin natamam forması üçün düsturlar aşağıdakı kimi olacaq:
Beləliklə, yalnız iki növ var; tam olanlarla yanaşı, natamam kvadrat tənliklər də var. Birinci düstur iki, ikincisi isə üç olsun.
Köklərin sayının onun qiymətindən diskriminant və asılılığı
Tənliyin köklərini hesablamaq üçün bu rəqəmi bilməlisiniz. Kvadrat tənliyin düsturu nə olursa olsun, onu həmişə hesablamaq olar. Diskriminantı hesablamaq üçün aşağıda yazılan bərabərlikdən istifadə etməlisiniz, onun dörd nömrəsi olacaq.
Bu düsturda əmsal dəyərlərini əvəz etdikdən sonra rəqəmləri əldə edə bilərsiniz müxtəlif əlamətlər. Cavab bəli olarsa, tənliyin cavabı iki fərqli kök olacaqdır. Əgər ədəd mənfi olarsa, kvadrat tənliyin kökləri olmayacaq. Sıfıra bərabərdirsə, yalnız bir cavab olacaq.
Tam kvadrat tənliyi necə həll etmək olar?
Əslində, artıq bu məsələyə baxılmağa başlanıb. Çünki əvvəlcə bir diskriminant tapmaq lazımdır. Kvadrat tənliyin kökləri olduğu müəyyən edildikdən və onların sayı məlum olduqdan sonra dəyişənlər üçün düsturlardan istifadə etmək lazımdır. Əgər iki kök varsa, o zaman aşağıdakı düsturu tətbiq etməlisiniz.
“±” işarəsi olduğundan iki dəyər olacaq. Kvadrat kök işarəsi altındakı ifadə diskriminantdır. Buna görə də düstur fərqli şəkildə yenidən yazıla bilər.
Formula nömrəsi beş. Eyni qeyddən aydın olur ki, diskriminant sıfıra bərabərdirsə, onda hər iki kök eyni qiymətləri alacaq.
Kvadrat tənliklərin həlli hələ işlənməyibsə, diskriminant və dəyişən düsturları tətbiq etməzdən əvvəl bütün əmsalların dəyərlərini yazmaq daha yaxşıdır. Sonradan bu an çətinlik yaratmayacaq. Ancaq başlanğıcda çaşqınlıq var.
Natamam kvadrat tənliyi necə həll etmək olar?
Burada hər şey daha sadədir. Əlavə düsturlara belə ehtiyac yoxdur. Ayrı-seçkilik edən və bilinməyən üçün artıq yazılmış olanlara ehtiyac olmayacaq.
Birincisi, iki nömrəli natamam tənliyə baxaq. Bu bərabərlikdə mötərizədə naməlum kəmiyyəti çıxarmaq və mötərizədə qalacaq xətti tənliyi həll etmək lazımdır. Cavabın iki kökü olacaq. Birincisi mütləq sıfıra bərabərdir, çünki dəyişənin özündən ibarət çarpan var. İkincisi xətti tənliyi həll etməklə əldə ediləcək.
Üç nömrəli natamam tənlik ədədi bərabərliyin sol tərəfindən sağa daşımaqla həll edilir. Sonra naməlum tərəfə baxan əmsala bölmək lazımdır. Yalnız kvadrat kökü çıxarmaq və onu iki dəfə əks işarələrlə yazmağı unutmayın.
Aşağıda kvadrat tənliklərə çevrilən bütün növ bərabərlikləri necə həll edəcəyinizi öyrənməyə kömək edəcək bəzi addımlar verilmişdir. Onlar tələbəyə diqqətsizlik səbəbindən səhvlərdən qaçmağa kömək edəcəklər. Bu çatışmazlıqlar “Kvadrat tənliklər (8-ci sinif)” adlı geniş mövzunu öyrənərkən zəif qiymətlərə səbəb ola bilər. Sonradan bu hərəkətləri daim yerinə yetirmək lazım olmayacaq. Çünki sabit bir bacarıq meydana çıxacaq.
- Əvvəlcə tənliyi standart formada yazmalısınız. Yəni əvvəlcə dəyişənin ən böyük dərəcəsi olan termin, sonra - dərəcəsiz və sonuncu - sadəcə bir rəqəm.
- Əgər “a” əmsalından əvvəl bir mənfi görünürsə, bu, kvadrat tənlikləri öyrənən yeni başlayanlar üçün işi çətinləşdirə bilər. Ondan qurtulmaq daha yaxşıdır. Bunun üçün bütün bərabərliklər “-1”-ə vurulmalıdır. Bu o deməkdir ki, bütün şərtlər işarəni əksinə dəyişəcək.
- Eyni şəkildə fraksiyalardan xilas olmaq tövsiyə olunur. Sadəcə olaraq, tənliyi müvafiq əmsala vurun ki, məxrəclər silinsin.
Nümunələr
Aşağıdakı kvadrat tənlikləri həll etmək lazımdır:
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Birinci tənlik: x 2 − 7x = 0. O, natamamdır, ona görə də ikinci düstur üçün təsvir olunduğu kimi həll edilir.
Mötərizədən çıxardıqdan sonra belə çıxır: x (x - 7) = 0.
Birinci kök dəyəri götürür: x 1 = 0. İkincisi xətti tənlikdən tapılacaq: x - 7 = 0. X 2 = 7 olduğunu görmək asandır.
İkinci tənlik: 5x 2 + 30 = 0. Yenə natamam. Yalnız üçüncü düstur üçün təsvir edildiyi kimi həll edilir.
30-u bərabərliyin sağ tərəfinə köçürdükdən sonra: 5x 2 = 30. İndi 5-ə bölmək lazımdır. Belə çıxır: x 2 = 6. Cavablar rəqəmlər olacaq: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Üçüncü tənlik: 15 − 2x − x 2 = 0. Burada və daha sonra kvadrat tənliklərin həlli onları standart formada yenidən yazmaqla başlayacaq: − x 2 − 2x + 15 = 0. İndi ikincidən istifadə etmək vaxtıdır. faydalı məsləhət və hər şeyi mənfi bir ilə çarpın. Çıxır x 2 + 2x - 15 = 0. Dördüncü düsturdan istifadə edərək, diskriminantı hesablamaq lazımdır: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Bu müsbət rəqəmdir. Yuxarıda deyilənlərdən belə çıxır ki, tənliyin iki kökü var. Onları beşinci düsturla hesablamaq lazımdır. Belə çıxır ki, x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Onda x 1 = 3, x 2 = - 5.
Dördüncü tənlik x 2 + 8 + 3x = 0 buna çevrilir: x 2 + 3x + 8 = 0. Onun diskriminantı bu qiymətə bərabərdir: -23. Bu nömrə mənfi olduğundan, bu tapşırığın cavabı aşağıdakı giriş olacaq: "Köklər yoxdur."
Beşinci tənlik 12x + x 2 + 36 = 0 aşağıdakı kimi yenidən yazılmalıdır: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminant üçün düstur tətbiq edildikdən sonra sıfır rəqəmi alınır. Bu o deməkdir ki, onun bir kökü olacaq, yəni: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Altıncı tənlik (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) çevrilmələri tələb edir ki, bu da ilk növbədə mötərizələri açaraq oxşar şərtləri gətirməyinizdən ibarətdir. Birincinin yerinə aşağıdakı ifadə olacaq: x 2 + 2x + 1. Bərabərlikdən sonra bu qeyd görünəcək: x 2 + 3x + 2. Oxşar şərtlər hesablandıqdan sonra tənlik aşağıdakı formanı alacaq: x 2 - x = 0. Natamam oldu. Buna bənzər bir şey artıq bir az yuxarıda müzakirə edilmişdir. Bunun kökləri 0 və 1 rəqəmləri olacaq.
Riyaziyyatın bəzi problemləri kvadrat kökün dəyərini hesablamaq bacarığını tələb edir. Belə məsələlərə ikinci dərəcəli tənliklərin həlli daxildir. Bu yazıda effektiv hesablama metodunu təqdim edirik kvadrat köklər və kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturlarla işləyərkən istifadə edin.
Kvadrat kök nədir?
Riyaziyyatda bu anlayış √ simvoluna uyğun gəlir. Tarixi məlumatlar onun ilk dəfə təxminən 16-cı əsrin birinci yarısında Almaniyada istifadə edildiyini söyləyir (Cəbrə dair ilk alman əsəri Kristof Rudolf). Alimlər hesab edirlər ki, simvol dəyişdirilmiş Latın hərfi r (radix latınca "kök" deməkdir).
İstənilən ədədin kökü kvadratı radikal ifadəyə uyğun gələn qiymətə bərabərdir. Riyaziyyatın dilində bu tərif belə görünəcək: √x = y, əgər y 2 = x olarsa.
Müsbət ədədin (x > 0) kökü də müsbət ədəddir (y > 0), lakin kökünü götürsək mənfi rəqəm(x< 0), то его результатом уже будет kompleks ədəd, o cümlədən xəyali vahid i.
Budur iki sadə nümunə:
√9 = 3, çünki 3 2 = 9; √(-9) = 3i, çünki i 2 = -1.
Kvadrat köklərin dəyərlərini tapmaq üçün Heronun iterativ düsturu
Yuxarıdakı nümunələr çox sadədir və onlarda kökləri hesablamaq çətin deyil. Kvadrat şəklində təqdim edilə bilməyən hər hansı bir dəyər üçün kök dəyərləri tapmaqda çətinliklər yaranmağa başlayır natural ədəd, məsələn, √10, √11, √12, √13, praktikada tam olmayan ədədlər üçün kök tapmaq lazım olduğunu deməyək: məsələn √(12,15), √(8,5) və s.
Yuxarıda göstərilən bütün hallarda kvadrat kökün hesablanması üçün xüsusi üsuldan istifadə edilməlidir. Hal-hazırda bir neçə belə üsul məlumdur: məsələn, Taylor seriyasının genişləndirilməsi, sütun bölməsi və digərləri. Bütün məlum üsullardan bəlkə də ən sadə və ən təsirlisi Heronun iterativ düsturundan istifadədir ki, bu da kvadrat kökləri təyin etmək üçün Babil metodu kimi də tanınır (qədim babillilərin praktiki hesablamalarında ondan istifadə etdiklərinə dair sübutlar var).
√x-in qiymətini müəyyən etmək lazım gəlsin. Kvadrat kökü tapmaq üçün formula aşağıdakı kimidir:
a n+1 = 1/2(a n +x/a n), burada lim n->∞ (a n) => x.
Gəlin bu riyazi qeydi deşifrə edək. √x-i hesablamaq üçün müəyyən bir 0 ədədini götürməlisiniz (ixtiyari ola bilər, lakin nəticəni tez əldə etmək üçün onu elə seçməlisiniz ki, (a 0) 2 mümkün qədər x-ə yaxın olsun. Sonra onu 0-a əvəz edin. kvadrat kökün hesablanması üçün göstərilən düsturdan istifadə edin və artıq istədiyiniz dəyərə yaxın olacaq yeni a 1 ədədi alın.Bundan sonra ifadədə 1-i əvəz edib 2-ni almalısınız.Bu prosedur tələb olunana qədər təkrarlanmalıdır. dəqiqlik əldə edilir.
Heronun iterativ düsturundan istifadə nümunəsi
Verilmiş bir ədədin kvadrat kökünü əldə etmək üçün yuxarıda təsvir edilən alqoritm çoxları üçün olduqca mürəkkəb və çaşdırıcı görünə bilər, lakin əslində hər şey daha sadədir, çünki bu düstur çox tez birləşir (xüsusilə uğurlu bir rəqəm 0 seçilirsə) .
Sadə bir misal verək: √11 hesablamaq lazımdır. Gəlin 0 = 3-ü seçək, çünki 3 2 = 9, 4 2 = 16-dan daha çox 11-ə yaxındır. Düsturu əvəz edərək, əldə edirik:
a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;
a 2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;
a 3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.
Hesablamaları davam etdirməyin mənası yoxdur, çünki 2 və 3-ün yalnız 5-ci onluq yerində fərqlənməyə başladığını gördük. Beləliklə, √11-i 0,0001 dəqiqliklə hesablamaq üçün düsturu cəmi 2 dəfə tətbiq etmək kifayət idi.
Hal-hazırda, kalkulyatorlar və kompüterlər kökləri hesablamaq üçün geniş istifadə olunur, lakin onların dəqiq dəyərini əl ilə hesablaya bilmək üçün qeyd olunan düsturları xatırlamaq faydalıdır.
İkinci dərəcəli tənliklər
Kvadrat kökün nə olduğunu başa düşmək və onu hesablamaq bacarığı kvadrat tənliklərin həllində istifadə olunur. Bu tənliklər bir naməlum olan bərabərliklər adlanır, ümumi forması aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir.
Burada c, b və a bəzi ədədləri təmsil edir və a sıfıra bərabər olmamalıdır və c və b dəyərləri sıfıra bərabər daxil olmaqla tamamilə ixtiyari ola bilər.
Şəkildə göstərilən bərabərliyi təmin edən hər hansı x qiymətləri onun kökləri adlanır (bu anlayış kvadrat kök √ ilə qarışdırılmamalıdır). Nəzərdən keçirilən tənlik 2-ci dərəcəli (x 2) olduğundan, onun üçün iki kökdən çox ola bilməz. Bu kökləri necə tapmaq barədə məqalədə daha ətraflı baxaq.
Kvadrat tənliyin köklərinin tapılması (düstur)
Baxılan bərabərlik növünün həllinin bu üsulu universal metod və ya diskriminant metodu da adlanır. İstənilən kvadrat tənliklər üçün istifadə edilə bilər. Kvadrat tənliyin diskriminantı və kökləri üçün düstur aşağıdakı kimidir:
Bu, köklərin tənliyin üç əmsalının hər birinin qiymətindən asılı olduğunu göstərir. Üstəlik, x 1-in hesablanması x 2-nin hesablanmasından yalnız kvadrat kökün qarşısındakı işarə ilə fərqlənir. b 2 - 4ac-a bərabər olan radikal ifadə sözügedən bərabərliyin diskriminantından başqa bir şey deyil. Kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturdakı diskriminant həllərin sayını və növünü təyin etdiyi üçün mühüm rol oynayır. Deməli, əgər sıfıra bərabərdirsə, onda yalnız bir həll olacaq, əgər müsbətdirsə, onda tənliyin iki həqiqi kökü var və nəhayət, mənfi diskriminant iki mürəkkəb x 1 və x 2 köklərinə gətirib çıxarır.
Vyeta teoremi və ya ikinci dərəcəli tənliklərin köklərinin bəzi xassələri
16-cı əsrin sonlarında müasir cəbrin banilərindən biri, ikinci dərəcəli tənlikləri öyrənən fransız onun köklərinin xassələrini əldə edə bildi. Riyazi olaraq bunları belə yazmaq olar:
x 1 + x 2 = -b / a və x 1 * x 2 = c / a.
Hər iki bərabərliyi hər kəs asanlıqla əldə edə bilər, bunun üçün sadəcə diskriminantla düstur vasitəsilə alınan köklərlə uyğun riyazi əməliyyatları yerinə yetirmək lazımdır.
Bu iki ifadənin birləşməsini haqlı olaraq kvadrat tənliyin kökləri üçün ikinci düstur adlandırmaq olar ki, bu da diskriminantdan istifadə etmədən onun həllərini təxmin etməyə imkan verir. Burada qeyd etmək lazımdır ki, hər iki ifadə həmişə etibarlı olsa da, tənliyi həll etmək üçün yalnız onu faktorlara ayırmaq mümkün olduqda istifadə etmək rahatdır.
Əldə edilmiş bilikləri möhkəmləndirmək vəzifəsi
Gəlin qərar verək riyaziyyat problemi, məqalədə müzakirə olunan bütün texnikaları nümayiş etdirəcəyik. Məsələnin şərtləri belədir: hasilinin -13 və cəminin 4 olduğu iki ədəd tapmaq lazımdır.
Bu şərt bizə Vyeta teoremini dərhal xatırladır; kvadrat köklərin və onların hasilinin cəmi üçün düsturlardan istifadə edərək yazırıq:
x 1 + x 2 = -b / a = 4;
x 1 * x 2 = c / a = -13.
Əgər fərz etsək ki, a = 1, onda b = -4 və c = -13. Bu əmsallar bizə ikinci dərəcəli tənlik yaratmağa imkan verir:
x 2 - 4x - 13 = 0.
Düsturdan diskriminantla istifadə edək və aşağıdakı kökləri əldə edək:
x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Yəni problem √68 rəqəminin tapılmasına qədər azaldı. Qeyd edək ki, 68 = 4 * 17, onda kvadrat kök xassəsindən istifadə edərək, alırıq: √68 = 2√17.
İndi nəzərdən keçirilən kvadrat kök düsturundan istifadə edək: a 0 = 4, onda:
a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;
a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.
Tapılan dəyərlər yalnız 0,02 ilə fərqləndiyi üçün 3 hesablamağa ehtiyac yoxdur. Beləliklə, √68 = 8,246. Onu x 1,2 düsturu ilə əvəz edərək, əldə edirik:
x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 və x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.
Gördüyümüz kimi, tapılan ədədlərin cəmi həqiqətən 4-ə bərabərdir, lakin onların hasilini tapsaq, o zaman -12.999-a bərabər olacaqdır ki, bu da məsələnin şərtlərini 0.001 dəqiqliklə ödəyir.
Sadəcə. Düsturlara və aydın, sadə qaydalara görə. Birinci mərhələdə
verilmiş tənliyi standart formaya gətirmək lazımdır, yəni. formaya:
Əgər tənlik artıq bu formada sizə verilibsə, birinci mərhələni yerinə yetirmək lazım deyil. Ən əsası bunu düzgün etməkdir
bütün əmsalları təyin etmək, A, b Və c.
Kvadrat tənliyin köklərini tapmaq üçün düstur.
Kök işarəsinin altındakı ifadə deyilir diskriminant . Gördüyünüz kimi, X tapmaq üçün biz
istifadə edirik yalnız a, b və c. Bunlar. dan əmsallar kvadrat tənlik. Sadəcə diqqətlə daxil edin
dəyərlər a, b və c Bu düsturla hesablayırıq. ilə əvəz edirik onlarınəlamətlər!
Misal üçün, tənlikdə:
A =1; b = 3; c = -4.
Dəyərləri əvəz edirik və yazırıq:
Məsələn, demək olar ki, həll edildi:
Bu cavabdır.
Ən çox görülən səhvlər işarə dəyərləri ilə qarışıqlıqdır a, b Və ilə. Daha doğrusu, əvəzetmə ilə
mənfi dəyərləri köklərin hesablanması düsturuna daxil edin. Düsturun ətraflı qeydi burada köməyə gəlir
xüsusi nömrələrlə. Hesablamalarda probleminiz varsa, bunu edin!
Tutaq ki, aşağıdakı nümunəni həll etməliyik:
Burada a = -6; b = -5; c = -1
Biz hər şeyi ətraflı, diqqətlə, heç nəyi əskik etmədən bütün işarələr və mötərizələr ilə təsvir edirik:
Kvadrat tənliklər çox vaxt bir az fərqli görünür. Məsələn, bu kimi:
İndi səhvlərin sayını kəskin şəkildə azaldan praktiki üsullara diqqət yetirin.
İlk görüş. Əvvəl tənbəl olmayın kvadrat tənliyin həlli standart formaya gətirin.
Bu nə deməkdir?
Deyək ki, bütün çevrilmələrdən sonra aşağıdakı tənliyi əldə edirsiniz:
Kök düsturunu yazmağa tələsməyin! Siz demək olar ki, ehtimalları qarışdıracaqsınız a, b və c.
Nümunəni düzgün qurun. Əvvəlcə X kvadratı, sonra kvadratsız, sonra sərbəst termin. Bunun kimi:
Minusdan qurtulun. Necə? Bütün tənliyi -1-ə vurmalıyıq. Biz əldə edirik:
Ancaq indi köklər üçün düsturları etibarlı şəkildə yaza, diskriminantı hesablaya və nümunəni həll edə bilərsiniz.
Özünüz qərar verin. İndi 2 və -1 kökləriniz olmalıdır.
İkinci qəbul. Kökləri yoxlayın! By Vyeta teoremi.
Verilmiş kvadrat tənlikləri həll etmək üçün, yəni. əmsalı olarsa
x 2 +bx+c=0,
Sonrax 1 x 2 =c
x 1 +x 2 =−b
Tam kvadrat tənlik üçün a≠1:
x 2 +bx+c=0,
bütün tənliyi bölün A:
→ 
→
Harada x 1 Və x 2 - tənliyin kökləri.
Üçüncü qəbul. Əgər tənliyinizdə kəsr əmsalları varsa, kəsrlərdən xilas olun! Çoxalmaq
ortaq məxrəcli tənlik.
Nəticə. Praktik məsləhətlər:
1. Həll etməzdən əvvəl kvadrat tənliyi standart formaya gətiririk və qururuq Sağ.
2. X kvadratının qarşısında mənfi əmsal varsa, hər şeyi çarparaq onu aradan qaldırırıq
-1 ilə tənliklər.
3. Əgər əmsallar kəsrlidirsə, bütün tənliyi uyğun olana vuraraq kəsrləri aradan qaldırırıq.
amil.
4. Əgər x kvadratı təmizdirsə, onun əmsalı birə bərabərdirsə, həll asanlıqla yoxlanıla bilər
Riyaziyyatda tənliklərin həlli xüsusi yer tutur. Bu prosesdən əvvəl bir çox saatlıq nəzəriyyə öyrənilir, bu müddət ərzində tələbə tənlikləri necə həll etməyi, onların növünü təyin etməyi öyrənir və avtomatlaşdırmanı başa çatdırmaq bacarığını gətirir. Ancaq kökləri axtarmaq həmişə məna vermir, çünki onlar sadəcə mövcud olmaya bilər. Kökləri tapmaq üçün xüsusi üsullar var. Bu yazıda biz əsas funksiyaları, onların tərif sahələrini, eləcə də köklərinin çatışmadığı halları təhlil edəcəyik.
Hansı tənliyin kökü yoxdur?
Tənliyin eyni dərəcədə doğru olduğu real x arqumentləri yoxdursa, tənliyin heç bir kökü yoxdur. Qeyri-mütəxəssis üçün əksər riyazi teoremlər və düsturlar kimi bu formula çox qeyri-müəyyən və mücərrəd görünür, lakin bu, nəzəri cəhətdən belədir. Praktikada hər şey son dərəcə sadə olur. Məsələn: 0 * x = -53 tənliyinin həlli yoxdur, çünki sıfır olan məhsulu sıfırdan başqa bir şey verəcək x rəqəmi yoxdur.
İndi biz tənliklərin ən əsas növlərinə baxacağıq.
1. Xətti tənlik
Tənliyin sağ və sol tərəfləri xətti funksiyalar kimi təqdim edilərsə, tənlik xətti adlanır: ax + b = cx + d və ya ümumiləşdirilmiş formada kx + b = 0. Burada a, b, c, d məlum ədədlər, x isə bir naməlum miqdar. Hansı tənliyin kökü yoxdur? Nümunələr xətti tənliklər aşağıdakı təsvirdə təqdim olunur.
Əsasən, xətti tənliklər sadəcə ədəd hissəsini bir hissəyə və x-in məzmununu digər hissəyə köçürməklə həll edilir. Nəticə mx = n formalı tənlikdir, burada m və n ədədlər, x isə naməlumdur. X-i tapmaq üçün hər iki tərəfi m-ə bölmək kifayətdir. Sonra x = n/m. Əksər xətti tənliklərin yalnız bir kökü var, lakin elə hallar olur ki, ya sonsuz sayda kök olur, ya da heç kök yoxdur. m = 0 və n = 0 olduqda, tənlik 0 * x = 0 formasını alır. Belə bir tənliyin həlli tamamilə istənilən ədəd olacaqdır.
Ancaq hansı tənliyin kökü yoxdur?
m = 0 və n = 0 üçün tənliyin həqiqi ədədlər çoxluğunda kökləri yoxdur. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - bu tənliklərin kökləri yoxdur.
2. Kvadrat tənlik
Kvadrat tənlik a = 0 üçün ax 2 + bx + c = 0 formalı tənlikdir. Ən çox yayılmış həll diskriminant vasitəsilə olur. Kvadrat tənliyin diskriminantının tapılması düsturu belədir: D = b 2 - 4 * a * c. Sonra iki kök var x 1.2 = (-b ± √D) / 2 * a.
D > 0 üçün tənliyin iki kökü, D = 0 üçün bir kökü var. Bəs hansı kvadrat tənliyin kökü yoxdur? Kvadrat tənliyin köklərinin sayını müşahidə etməyin ən asan yolu parabola olan funksiyanın qrafikini çəkməkdir. a > 0 üçün budaqlar yuxarı, a üçün< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.
Ayrı-seçkiliyi hesablamadan da köklərin sayını vizual olaraq təyin edə bilərsiniz. Bunun üçün parabolanın təpəsini tapmaq və budaqların hansı istiqamətə yönəldiyini müəyyən etmək lazımdır. Təpənin x koordinatı düsturdan istifadə etməklə müəyyən edilə bilər: x 0 = -b / 2a. Bu halda təpənin y koordinatı sadəcə olaraq x 0 qiymətini orijinal tənliyə əvəz etməklə tapılır.
x 2 - 8x + 72 = 0 kvadrat tənliyinin heç bir kökü yoxdur, çünki D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224 mənfi diskriminantına malikdir. Bu o deməkdir ki, parabola x oxuna toxunmur və funksiya heç vaxt 0 qiymətini almır, ona görə də tənliyin həqiqi kökləri yoxdur.
3. Triqonometrik tənliklər
Triqonometrik funksiyalar triqonometrik dairədə nəzərdən keçirilir, lakin Kartezian koordinat sistemində də təmsil oluna bilər. Bu yazıda iki əsas məsələyə baxacağıq triqonometrik funksiyalar və onların tənlikləri: sinx və cosx. Bu funksiyalar radiusu 1 olan triqonometrik çevrə əmələ gətirdiyi üçün |sinx| və |cosx| 1-dən böyük ola bilməz. Beləliklə, hansı sinx tənliyinin kökü yoxdur? Aşağıdakı şəkildə göstərilən sinx funksiyasının qrafikinə nəzər salın.
Görürük ki, funksiya simmetrikdir və təkrarlanma müddəti 2pi-dir. Buna əsasən deyə bilərik ki, bu funksiyanın maksimum qiyməti 1, minimum isə -1 ola bilər. Məsələn, cosx = 5 ifadəsinin kökləri olmayacaq, çünki onun mütləq dəyəri birdən böyükdür.
Bu triqonometrik tənliklərin ən sadə nümunəsidir. Əslində, onların həlli bir çox səhifələr çəkə bilər, sonunda səhv düsturdan istifadə etdiyinizi başa düşürsünüz və hər şeyi yenidən başlamaq lazımdır. Bəzən kökləri düzgün tapsanız belə, OD ilə bağlı məhdudiyyətləri nəzərə almağı unuda bilərsiniz, buna görə də cavabda əlavə kök və ya interval görünür və bütün cavab xətaya çevrilir. Buna görə də, bütün məhdudiyyətləri ciddi şəkildə yerinə yetirin, çünki bütün köklər vəzifənin həcminə uyğun gəlmir.
4. Tənliklər sistemləri
Tənliklər sistemi qıvrım və ya kvadrat mötərizələrlə birləşdirilən tənliklər toplusudur. Buruq mötərizələr bütün tənliklərin birlikdə işlədildiyini göstərir. Yəni tənliklərdən ən azı birinin kökü yoxdursa və ya digərinə ziddirsə, bütün sistemin həlli yoxdur. Kvadrat mötərizələr "və ya" sözünü göstərir. Bu o deməkdir ki, sistemin tənliklərindən ən azı birinin həlli varsa, deməli bütün sistemin həlli var.
c sisteminin cavabı fərdi tənliklərin bütün köklərinin çoxluğudur. Və buruq mötərizələri olan sistemlərin yalnız ümumi kökləri var. Tənliklər sistemlərinə tamamilə fərqli funksiyalar daxil ola bilər, ona görə də belə mürəkkəblik hansı tənliyin köklərinin olmadığını dərhal söyləməyə imkan vermir.
Problem kitablarında və dərsliklərdə tənliklərin müxtəlif növləri var: kökü olanlar və olmayanlar. Əvvəla, kökləri tapa bilmirsinizsə, onların ümumiyyətlə olmadığını düşünməyin. Bəlkə bir yerdə səhv etdiniz, onda qərarınızı diqqətlə iki dəfə yoxlamaq lazımdır.
Ən əsas tənliklərə və onların növlərinə baxdıq. İndi hansı tənliyin kökünün olmadığını deyə bilərsiniz. Əksər hallarda bunu etmək çətin deyil. Tənliklərin həllində uğur əldə etmək yalnız diqqət və konsentrasiya tələb edir. Daha çox məşq edin, bu, materialı daha yaxşı və daha sürətli idarə etməyə kömək edəcək.
Beləliklə, tənliyin kökləri yoxdur, əgər:
- mx = n xətti tənliyində qiymət m = 0 və n = 0-dır;
- diskriminant sıfırdan kiçik olduqda kvadrat tənlikdə;
- cosx = m / sinx = n formalı triqonometrik tənlikdə, əgər |m| > 0, |n| > 0;
- ən azı bir tənliyin kökü yoxdursa, buruq mötərizəli tənliklər sistemində və bütün tənliklərin kökləri yoxdursa, kvadrat mötərizə ilə.
", yəni birinci dərəcəli tənliklər. Bu dərsdə baxacağıq buna kvadrat tənlik deyilir və necə həll etmək olar.
Kvadrat tənlik nədir?
Vacibdir!
Tənliyin dərəcəsi naməlumun dayandığı ən yüksək dərəcə ilə müəyyən edilir.
Naməlum olanın maksimum gücü "2" olarsa, onda kvadrat tənliyə sahibsiniz.
Kvadrat tənliklərin nümunələri
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Vacibdir! Kvadrat tənliyin ümumi forması belə görünür:
A x 2 + b x + c = 0
“a”, “b” və “c” rəqəmləri verilir.- “a” birinci və ya ən yüksək əmsaldır;
- “b” ikinci əmsaldır;
- “c” pulsuz üzvdür.
“a”, “b” və “c” tapmaq üçün tənliyinizi “ax 2 + bx + c = 0” kvadrat tənliyinin ümumi forması ilə müqayisə etməlisiniz.
Kvadrat tənliklərdə “a”, “b” və “c” əmsallarını təyin etməyə məşq edək.
| tənlik | Oranlar | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- c =
1 3
- a = 1
- b = 0,25
- c = 0
- a = 1
- b = 0
- c = −8
Kvadrat tənlikləri necə həll etmək olar
Xətti tənliklərdən fərqli olaraq, kvadrat tənliklərin həlli üçün xüsusi üsuldan istifadə olunur. kökləri tapmaq üçün düstur.
Unutma!
Kvadrat tənliyi həll etmək üçün sizə lazımdır:
- kvadrat tənliyi “ax 2 + bx + c = 0” ümumi formasına gətirin. Yəni sağ tərəfdə yalnız “0” qalmalıdır;
- köklər üçün düsturdan istifadə edin:
Kvadrat tənliyin köklərini tapmaq üçün düsturdan istifadə nümunəsinə baxaq. Kvadrat tənliyi həll edək.
X 2 − 3x − 4 = 0
“x 2 − 3x − 4 = 0” tənliyi artıq “ax 2 + bx + c = 0” ümumi formasına endirilmişdir və əlavə sadələşdirmələr tələb etmir. Bunu həll etmək üçün sadəcə müraciət etmək lazımdır kvadrat tənliyin köklərini tapmaq üçün düstur.
Bu tənlik üçün “a”, “b” və “c” əmsallarını təyin edək.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
İstənilən kvadrat tənliyi həll etmək üçün istifadə edilə bilər.
“x 1;2 = ” düsturunda radikal ifadə tez-tez əvəz olunur
“D” hərfi üçün “b 2 − 4ac” və diskriminant adlanır. Diskriminant anlayışı “Ayrı-seçkilik nədir” dərsində daha ətraflı müzakirə olunur.
Kvadrat tənliyin başqa bir nümunəsinə baxaq.
x 2 + 9 + x = 7x
Bu formada “a”, “b” və “c” əmsallarını müəyyən etmək olduqca çətindir. Əvvəlcə tənliyi “ax 2 + bx + c = 0” ümumi formasına endirək.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
İndi köklər üçün düsturdan istifadə edə bilərsiniz.
X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Cavab: x = 3
Kvadrat tənliklərin kökləri olmadığı vaxtlar olur. Bu vəziyyət, düsturun kök altında mənfi bir rəqəm ehtiva etdiyi zaman baş verir.
Yüklənir...