Xətti bərabərsizliklər sistemlərinin qrafik həlli. Eksponensial bərabərsizliklərin həlli İkiqat bərabərsizliklərin onlayn həlli

Birincisi, interval metodunun həll etdiyi problemi hiss etmək üçün bir az söz. Tutaq ki, aşağıdakı bərabərsizliyi həll etməliyik:

(x − 5)(x + 3) > 0

Seçimlər hansılardır? Əksər tələbələrin ağlına gələn ilk şey “artı üstəgəl artı verir” və “mənfi minus artı verir” qaydalarıdır. Buna görə də hər iki mötərizənin müsbət olduğu halı nəzərdən keçirmək kifayətdir: x − 5 > 0 və x + 3 > 0. Sonra hər iki mötərizənin mənfi olduğu halı da nəzərdən keçirək: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Daha qabaqcıl tələbələr (bəlkə də) solda olduğunu xatırlayacaqlar kvadrat funksiya, onun qrafiki paraboladır. Üstəlik, bu parabola OX oxunu x = 5 və x = −3 nöqtələrində kəsir. Əlavə iş üçün mötərizələri açmalısınız. Bizdə:

x 2 − 2x − 15 > 0

İndi aydın olur ki, parabolanın budaqları yuxarıya doğru yönəlib, çünki a = 1 > 0 əmsalı. Bu parabolanın diaqramını çəkməyə çalışaq:

Funksiya OX oxundan yuxarı keçdiyi yerdə sıfırdan böyükdür. Bizim vəziyyətimizdə bunlar (−∞ −3) və (5; +∞) intervallarıdır - cavab budur.

Diqqət edin: şəkil tam olaraq göstərilib funksiya diaqramı, onun cədvəli deyil. Çünki real qrafik üçün siz koordinatları saymalı, yerdəyişmələri hesablamalısınız və hələlik bizim heç bir faydamız olmayan başqa şeylərdir.

Bu üsullar niyə səmərəsizdir?

Beləliklə, biz eyni bərabərsizliyin iki həllini nəzərdən keçirdik. Onların hər ikisi olduqca çətin olduğu ortaya çıxdı. İlk qərar yaranır - yalnız bu barədə düşünün! — bərabərsizliklər sistemləri toplusu. İkinci həll də o qədər də asan deyil: parabolanın qrafikini və bir dəstə digər kiçik faktları xatırlamaq lazımdır.

Bu çox sadə bərabərsizlik idi. Onun cəmi 2 çarpanı var. İndi təsəvvür edin ki, 2 deyil, ən azı 4 çarpan olacaq.Məsələn:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Belə bərabərsizliyi necə həll etmək olar? Müsbət və mənfi cəhətlərin bütün mümkün birləşmələrindən keçin? Bəli, bir həll tapdığımızdan daha tez yuxuya gedəcəyik. Qrafik çəkmək də seçim deyil, çünki belə bir funksiyanın koordinat müstəvisində necə davranması aydın deyil.

Belə bərabərsizliklər üçün bu gün nəzərdən keçirəcəyimiz xüsusi bir həll alqoritmi lazımdır.

Interval üsulu nədir

İnterval metodu f (x) > 0 və f (x) formalı mürəkkəb bərabərsizliklərin həlli üçün nəzərdə tutulmuş xüsusi alqoritmdir.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

f (x) = 0 tənliyini həll edin. Beləliklə, bərabərsizlik əvəzinə həlli daha sadə olan bir tənlik alırıq;
Bütün alınan kökləri koordinat xəttində qeyd edin. Beləliklə, düz xətt bir neçə intervala bölünəcək;
Ən sağ intervalda f (x) funksiyasının işarəsini (artı və ya mənfi) tapın. Bunun üçün bütün işarələnmiş köklərin sağında olacaq istənilən ədədi f (x) yerinə qoymaq kifayətdir;
Qalan intervallarda işarələri qeyd edin. Bunu etmək üçün hər bir kökdən keçəndə işarənin dəyişdiyini unutmayın.

Hamısı budur! Bundan sonra bizə maraqlı olan intervalları yazmaq qalır. Bərabərsizlik f (x) > 0 şəklində idisə, onlar “+” işarəsi ilə və ya bərabərsizlik f (x) şəklində olduqda “-” işarəsi ilə işarələnirlər.< 0.

İlk baxışdan elə görünə bilər ki, interval metodu bir növ tiny şeydir. Ancaq praktikada hər şey çox sadə olacaq. Sadəcə bir az məşq edin və hər şey aydın olacaq. Nümunələrə nəzər salın və özünüz baxın:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

(x − 2)(x + 7)< 0

İnterval metodundan istifadə edərək işləyirik. Addım 1: bərabərsizliyi tənliklə əvəz edin və həll edin:

(x − 2)(x + 7) = 0

Faktorlardan ən azı biri sıfır olduqda məhsul sıfırdır:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

İki kökümüz var. 2-ci addıma keçək: bu kökləri koordinat xəttində qeyd edin. Bizdə:

İndi addım 3: funksiyanın işarəsini ən sağdakı intervalda tapın (işlənmiş x = 2 nöqtəsinin sağında). Bunun üçün x = 2 ədədindən böyük olan istənilən ədədi götürmək lazımdır. Məsələn, x = 3 götürək (lakin x = 4, x = 10 və hətta x = 10 000 almağı heç kim qadağan etmir). Biz əldə edirik:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Biz tapırıq ki, f (3) = 10 > 0, ona görə də ən sağdakı intervala artı işarəsi qoyuruq.

Son nöqtəyə keçək - qalan intervallarda işarələri qeyd etməliyik. Xatırlayırıq ki, hər bir kökdən keçəndə işarə dəyişməlidir. Məsələn, x = 2 kökünün sağında bir artı var (biz buna əvvəlki addımda əmin olduq), buna görə də solda bir mənfi olmalıdır.

Bu mənfi bütün intervala qədər uzanır (−7; 2), buna görə də x = −7 kökünün sağında mənfi var. Buna görə də, x = −7 kökünün solunda bir artı var. Bu işarələri qeyd etmək qalır koordinat oxu. Bizdə:

Forması olan orijinal bərabərsizliyə qayıdaq:

(x − 2)(x + 7)< 0

Beləliklə, funksiya sıfırdan kiçik olmalıdır. Bu o deməkdir ki, bizi yalnız bir intervalda görünən mənfi işarəsi maraqlandırır: (−7; 2). Bu cavab olacaq.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Addım 1: sol tərəfi sıfıra təyin edin:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Unutmayın: amillərdən ən azı biri sıfıra bərabər olduqda məhsul sıfıra bərabərdir. Buna görə də hər bir fərdi mötərizəni sıfıra bərabərləşdirmək hüququmuz var.

Addım 2: koordinat xəttində bütün kökləri qeyd edin:

Addım 3: ən sağdakı boşluğun işarəsini tapın. Biz x = 1-dən böyük olan istənilən ədədi götürürük. Məsələn, x = 10 götürə bilərik. Bizdə:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = -1197< 0.

Addım 4: qalan işarələrin yerləşdirilməsi. Xatırlayırıq ki, hər bir kökdən keçəndə işarə dəyişir. Nəticədə şəklimiz belə görünəcək:

Hamısı budur. Yalnız cavabı yazmaq qalır. Orijinal bərabərsizliyə bir daha nəzər salın:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Bu f(x) formasının bərabərsizliyidir.< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Bu cavabdır.

Funksiya əlamətləri haqqında qeyd

Təcrübə göstərir ki, interval metodunda ən böyük çətinliklər son iki addımda yaranır, yəni. nişanlar qoyarkən. Bir çox tələbələr çaşqın olmağa başlayır: hansı nömrələri götürməli və işarələri hara qoymalı.

Nəhayət, interval metodunu başa düşmək üçün onun əsaslandığı iki müşahidəni nəzərdən keçirin:

Davamlı funksiya yalnız həmin nöqtələrdə işarəni dəyişir burada sıfıra bərabərdir. Belə nöqtələr koordinat oxunu hissələrə ayırır, onların daxilində funksiyanın işarəsi heç vaxt dəyişmir. Buna görə də f (x) = 0 tənliyini həll edirik və tapılan kökləri düz xətt üzərində işarələyirik. Tapılan nömrələr müsbət və mənfi cəhətləri ayıran "sərhəd" nöqtələridir.
İstənilən intervalda funksiyanın işarəsini tapmaq üçün bu intervaldan istənilən ədədi funksiyaya əvəz etmək kifayətdir. Məsələn, (−5; 6) intervalı üçün x = −4, x = 0, x = 4 və hətta istəsək, x = 1,29374 götürmək hüququmuz var. Niyə vacibdir? Bəli, çünki şübhələr bir çox tələbələri kemirməyə başlayır. Məsələn, x = −4 üçün artı, x = 0 üçün isə mənfi olarsa necə? Amma heç vaxt belə bir şey olmayacaq. Eyni intervalda olan bütün nöqtələr eyni işarəni verir. Bunu yadda saxla.

İnterval metodu haqqında bilmək lazım olan hər şey budur. Təbii ki, biz bunu ən sadə formada təhlil etdik. Daha mürəkkəb bərabərsizliklər var - qeyri-ciddi, fraksiya və təkrar köklərlə. Onlar üçün interval metodundan da istifadə edə bilərsiniz, lakin bu, ayrıca böyük bir dərs üçün mövzudur.

İndi interval metodunu kəskin şəkildə asanlaşdıran qabaqcıl texnikaya baxmaq istərdim. Daha doğrusu, sadələşdirmə yalnız üçüncü addıma - xəttin ən sağ hissəsindəki işarənin hesablanmasına təsir göstərir. Nədənsə məktəblərdə bu texnika öyrədilmir (ən azı bunu mənə izah edən olmayıb). Ancaq boş yerə - çünki əslində bu alqoritm çox sadədir.

Deməli, funksiyanın işarəsi ədəd xəttinin sağ hissəsindədir. Bu parça (a ; +∞) formasına malikdir, burada a f (x) = 0 tənliyinin ən böyük köküdür. Fikrinizi pozmamaq üçün konkret bir nümunəyə nəzər salaq:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

3 kök aldıq. Onları artan ardıcıllıqla sadalayaq: x = −2, x = 1 və x = 7. Aydındır ki, ən böyük kök x = 7-dir.

Qrafik olaraq əsaslandırmağı asan hesab edənlər üçün bu kökləri koordinat xəttində qeyd edəcəm. Gəlin görək nə baş verir:

Ən sağ intervalda f (x) funksiyasının işarəsini tapmaq tələb olunur, yəni. (7; +∞). Ancaq artıq qeyd etdiyimiz kimi, işarəni təyin etmək üçün bu intervaldan istənilən rəqəmi götürə bilərsiniz. Məsələn, x = 8, x = 150 və s. götürə bilərsiniz. İndi də - məktəblərdə öyrədilməyən eyni texnika: sonsuzluğu ədəd kimi götürək. Daha dəqiq, üstəgəl sonsuzluq, yəni. +∞.

“Daşlandın? Sonsuzluğu funksiyada necə əvəz edə bilərsiniz? - deyə soruşa bilərsiniz. Ancaq düşünün: bizə funksiyanın dəyəri lazım deyil, yalnız işarə lazımdır. Buna görə də, məsələn, f (x) = −1 və f (x) = −938 740 576 215 dəyərləri eyni şeyi ifadə edir: bu intervaldakı funksiya mənfidir. Buna görə də sizdən tələb olunan tək şey funksiyanın dəyərini deyil, sonsuzluqda görünən işarəni tapmaqdır.

Əslində, sonsuzluğu əvəz etmək çox sadədir. Funksiyamıza qayıdaq:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Təsəvvür edin ki, x çoxdur böyük rəqəm. Milyar, hətta trilyon. İndi hər mötərizədə nə baş verdiyini görək.

Birinci mötərizə: (x − 1). Bir milyarddan bir çıxsanız nə olar? Nəticə milyarddan çox da fərqlənməyən bir rəqəm olacaq və bu rəqəm müsbət olacaq. Eyni şəkildə ikinci mötərizə ilə: (2 + x). İkiyə bir milyard əlavə etsək, milyard və qəpik alırıq - bu müsbət rəqəm. Nəhayət, üçüncü mötərizə: (7 − x). Burada mənfi bir milyard olacaq, ondan yeddi şəklində acınacaqlı bir parça "yıxılıb". Bunlar. nəticədə çıxan rəqəm mənfi milyarddan çox da fərqlənməyəcək - mənfi olacaq.

Bütün işin əlamətini tapmaq qalır. İlk mötərizədə artı, sonuncuda isə mənfi olduğu üçün aşağıdakı konstruksiyanı əldə edirik:

(+) · (+) · (−) = (−)

Son işarə mənfidir! Və funksiyanın özünün dəyərinin nə olmasının əhəmiyyəti yoxdur. Əsas odur ki, bu dəyər mənfidir, yəni. ən sağdakı intervalın mənfi işarəsi var. Yalnız interval metodunun dördüncü addımını tamamlamaq qalır: bütün əlamətləri tənzimləyin. Bizdə:

Orijinal bərabərsizlik belə idi:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Buna görə də biz mənfi işarə ilə qeyd olunan intervallarla maraqlanırıq. Cavabı yazırıq:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Sənə demək istədiyim bütün hiylə budur. Sonda, burada sonsuzluqdan istifadə edərək interval üsulu ilə həll edilə bilən başqa bir bərabərsizlik var. Həllini vizual olaraq qısaltmaq üçün addım nömrələri və ətraflı şərhlər yazmayacağam. Mən yalnız real problemləri həll edərkən həqiqətən yazmağınız lazım olanları yazacağam:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Bərabərsizliyi bir tənliklə əvəz edirik və həll edirik:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Hər üç kökü koordinat xəttində qeyd edirik (bir anda işarələrlə):

Koordinat oxunun sağ tərəfində bir artı var, çünki funksiya belə görünür:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

Əgər sonsuzluğu (məsələn, milyard) əvəz etsək, üç müsbət mötərizə alırıq. Orijinal ifadə sıfırdan böyük olmalı olduğundan, bizi yalnız müsbət cəhətləri maraqlandırır. Yalnız cavabı yazmaq qalır:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Məqalədə nəzərdən keçirəcəyik bərabərsizliklərin həlli. haqqında sizə aydın məlumat verəcəyik bərabərsizliklərin həllini necə qurmaq olar, aydın nümunələrlə!

Nümunələrdən istifadə edərək bərabərsizliklərin həllinə baxmadan əvvəl əsas anlayışları anlayaq.

Bərabərsizliklər haqqında ümumi məlumat

Bərabərsizlik funksiyaların >, əlaqə işarələri ilə bağlandığı ifadədir. Bərabərsizliklər həm ədədi, həm də hərfi ola bilər.
Nisbətin iki əlaməti olan bərabərsizliklər ikiqat, üç ilə üçlü və s. Misal üçün:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) > və ya - işarəsini ehtiva edən bərabərsizliklər ciddi deyil.
Bərabərsizliyin həlli bu bərabərsizliyin doğru olacağı dəyişənin istənilən qiymətidir.
"Bərabərsizliyi həll edin" o deməkdir ki, biz onun bütün həllər toplusunu tapmalıyıq. Fərqlilər var bərabərsizliklərin həlli üsulları. üçün bərabərsizlik həlləri Onlar sonsuz olan say xəttindən istifadə edirlər. Misal üçün, bərabərsizliyin həlli x > 3 3-dən +-a qədər olan intervaldır və 3 rəqəmi bu intervala daxil edilmir, ona görə də xəttdəki nöqtə boş dairə ilə işarələnir, çünki bərabərsizlik sərtdir.
+
Cavab belə olacaq: x (3; +).
X=3 qiyməti həll çoxluğuna daxil deyil, ona görə də mötərizə dairəvidir. Sonsuzluq işarəsi həmişə mötərizə ilə vurğulanır. İşarə “mənsub olmaq” deməkdir.
İşarə ilə başqa bir nümunədən istifadə edərək bərabərsizliklərin necə həll olunacağına baxaq:
x 2
-+
X=2 qiyməti həllər çoxluğuna daxildir, ona görə də mötərizə kvadratdır və xəttdəki nöqtə doldurulmuş dairə ilə göstərilir.
Cavab belə olacaq: x)