Düz prizmaya yazılmış kürə. Bir kürənin ətrafına çəkilmiş çoxüzlülərə məhdud çoxüzlülər deyilir. Topun kəsilmiş piramida ilə birləşməsi

Kürə ətrafında çevrələnmiş çoxüzlülər Əgər bütün üzlərinin müstəviləri kürəyə toxunursa, çoxüzlü bir kürə ətrafında dövrələnmiş deyilir. Kürənin özünün çoxüzlüyə həkk olunduğu deyilir. Teorem. Kürə prizmaya o zaman daxil edilə bilər ki, onun təməlinə bir dairə çəkilə bilsin və prizmanın hündürlüyü bu dairənin diametrinə bərabər olsun. Teorem. İstənilən üçbucaqlı piramidaya bir kürə sığdıra bilərsiniz və yalnız bir.

Məşq 1 Kvadratı silin və kubun yuxarı və aşağı üzlərini təmsil edən iki paraleloqram çəkin. Onların təpələrini seqmentlərlə birləşdirin. Bir kuba yazılmış kürə şəklini əldə edin. Əvvəlki slaydda olduğu kimi kubda yazılmış bir kürə çəkin. Bunu etmək üçün dairəni və kvadratı 4 dəfə sıxmaqla əldə edilən paraleloqramda yazılmış bir ellips çəkin. Kürənin qütblərini və ellipsin və paraleloqramın toxunan nöqtələrini qeyd edin.

İş 4 Kubdan başqa düzbucaqlı paralelepipedə kürə daxil etmək olarmı? Cavab: Xeyr.

İş 5 Bütün üzləri romb olan maili paralelepipedə kürə daxil etmək olarmı? Cavab: Xeyr.

Məşq 1 Kürəni bazasında düz üçbucaq olan maili üçbucaqlı prizmaya daxil etmək mümkündürmü? Cavab: Xeyr.

Çalışma 2 Prizmanın əsasının kənarı 1 olarsa, düzgün üçbucaqlı prizmanın hündürlüyünü və ona daxil edilmiş kürənin radiusunu tapın. 3 3 , . 3 6 saat Cavab:

3-cü məşq Radiusu 1 olan kürə müntəzəm üçbucaqlı prizmaya daxil edilmişdir. Əsasın tərəfini və prizmanın hündürlüyünü tapın. 2 3, 2. a h Cavab:

4-cü məşq Prizmaya kürə yazılmışdır, onun əsasında ayaqları 1-ə bərabər olan düzbucaqlı üçbucaq var. Sferanın radiusunu və prizmanın hündürlüyünü tapın. 2 2 , 2 2. 2 r h ABC üçbucağının sahəsi, perimetri r = S / p düsturundan istifadə edək. 2 2 alırıq. 1 ,

Məşq 5 Kürə prizmaya daxil edilmişdir, onun əsasında tərəfləri 2, 3, 3 olan ikitərəfli üçbucaq yerləşir. Sferanın radiusunu və prizmanın hündürlüyünü tapın. 2 , 2. 2 r h ABC üçbucağının sahəsi bərabərdir Perimetri 8-dir. r = S / p düsturundan istifadə edək. 2 2 alırıq.

1-ci məşq Düz dördbucaqlı prizmaya kürə yazılmışdır, onun əsasında tərəfi 1 olan və iti bucağı 60 dərəcə olan romb vardır. Sferanın radiusunu və prizmanın hündürlüyünü tapın. Həll. Kürənin radiusu DG əsasının hündürlüyünün yarısına bərabərdir, yəni prizmanın hündürlüyü kürənin diametrinə bərabərdir, yəni 3. 4 r 3. 2 h.

Məşq 2 Vahid kürə düz dördbucaqlı prizmaya daxil edilib, onun əsasında 60 dərəcə iti bucağı olan romb var. Əsasın a tərəfini və prizmanın hündürlüyünü h tapın. Cavab: 4 3 , 2. 3 a h

Məşq 3 Düz dördbucaqlı prizmaya kürə daxil edilib, onun əsasında trapesiya var. Trapezoidin hündürlüyü 2-dir. Prizmanın hündürlüyünü h və içərisinə daxil edilmiş kürənin radiusunu r tapın. Cavab: 1, 2. r h

Məşq 4 Düz dördbucaqlı prizmaya kürə daxil edilib, onun əsasında dördbucaqlı, perimetri 4 və sahəsi 2. İçi çəkilmiş kürənin r radiusunu tapın. 1. r Həll. Diqqət yetirin ki, kürənin radiusu prizmanın əsasına yazılmış dairənin radiusuna bərabərdir. Çoxbucaqlıya daxil edilmiş dairənin radiusunun bu çoxbucaqlının sahəsinin onun yarımperimetrinə bölünməsinə bərabər olması faktından istifadə edək. alırıq,

Çalışma 1 Prizmanın əsasının tərəfi 1 olarsa, düzgün altıbucaqlı prizmanın hündürlüyünü və ona daxil edilmiş kürənin radiusunu tapın. 3 3, . 2 saat Cavab:

2-ci məşq Radiusu 1 olan kürə düz altıbucaqlı prizmaya daxil edilmişdir. Əsasın tərəfini və prizmanın hündürlüyünü tapın. 2 3 , 2. 3 a h Cavab:

Çalışma 1 Vahid tetraedrə daxil edilmiş kürənin radiusunu tapın. 6. 12 r Cavab: Həlli. SABC tetraedrində biz var: SD = DE = SE = SOF və SDE üçbucaqlarının oxşarlığından həll edərək 3 , 2 3 , 6 6 tapdığımız tənlik alırıq. 3 6 3 3: : , 3 6 2 r r 6 12 r

Çalışma 2 Müntəzəm tetraedrdə vahid kürə yazılmışdır. Bu tetraedrin kənarını tapın. 2 6. a Cavab:

Məşq 3 Düzgün üçbucaqlı piramidaya daxil edilmiş kürənin radiusunu tapın, əsasın tərəfi 2, əsasdakı ikihedral bucaqlar isə 60°-dir. 3 1 30. 3 3 r tq Məhlul. Yazılı sferanın mərkəzinin piramidanın təməlindəki dihedral bucaqların bisektor müstəvilərinin kəsişmə nöqtəsi olmasından istifadə edək. OE sferasının radiusu üçün aşağıdakı bərabərlik yerinə yetirilir: Buna görə də, . OE DE tg O

İş 4 Yan kənarları 1-ə, zirvədəki müstəvi bucaqlarına bərabər olan müntəzəm üçbucaqlı piramidaya daxil edilmiş kürənin radiusunu tapın. 3 3. 6 r Cavab: Həlli. SABC tetraedrində biz var: SD = DE = SE = SOF və SDE üçbucaqlarının oxşarlığından həll edərək 2 , 2 6 , 6 3 tapdığımız tənlik alırıq. 3 3 6 2: : , 3 6 2 r r 3 3. 6 r

Məşq 1 Bütün kənarları 1-ə bərabər olan düzgün dördbucaqlı piramidaya daxil edilmiş kürənin radiusunu tapın. 6 2. 4 r Üçbucağa daxil edilmiş çevrənin r radiusu üçün düsturun yerinə yetirilməsindən istifadə edək. : r = S / p, burada S sahədir , p – üçbucağın yarım perimetri. Bizim vəziyyətimizdə S = p = 3, 2 2. 2 Həlli. Kürənin radiusu SEF üçbucağına daxil edilmiş çevrənin radiusuna bərabərdir ki, burada SE = SF = EF= 1, SG = 2, 4 Buna görə də 1 3.

Çalışma 2 Düzgün dördbucaqlı piramidaya daxil edilmiş kürənin radiusunu tapın, əsasının tərəfi 1, yan kənarı isə 2. 14 (15 1). 28 r Bundan istifadə edək ki, üçbucağa daxil edilmiş çevrənin r radiusu üçün aşağıdakı düstur yerinə yetirilir: r = S / p, burada S - sahə, p - üçbucağın yarım perimetridir. Bizim vəziyyətimizdə S = p = 15, 214. 2 Həlli. Kürənin radiusu SEF üçbucağına daxil edilmiş çevrənin radiusuna bərabərdir ki, burada SE = SF = EF= 1, SG = 14, 4 Buna görə də 1 15.

Çalışma 3 Düzgün dördbucaqlı piramidaya daxil edilmiş kürənin radiusunu tapın, təməlin tərəfi 2, əsasdakı ikihedral bucaqlar isə 60°-dir. 3 30. 3 r tq Məhlul. Yazılı sferanın mərkəzinin piramidanın təməlindəki dihedral bucaqların bisektor müstəvilərinin kəsişmə nöqtəsi olmasından istifadə edək. OG sferasının radiusu üçün aşağıdakı bərabərlik yerinə yetirilir: Buna görə də, . OG FG tg OFG

Tapşırıq 4 Vahid kürə nizamlı dördbucaqlı piramidaya yazılmışdır, əsasının tərəfi 4. Piramidanın hündürlüyünü tapın. Üçbucağa daxil edilmiş dairənin r radiusu üçün düsturun yerinə yetirildiyi faktından istifadə edək: r = S / p, burada S - sahə, p - üçbucağın yarım perimetridir. Bizim halda S = 2 h, p = 2 4 2. h. Həll. Piramidanın SG hündürlüyünü h kimi qeyd edək. Sferanın radiusu SE = SF = EF= 4. 2 4, h 8. 3 h olan SEF üçbucağına daxil edilmiş dairənin radiusuna bərabərdir. 2, h h

Məşq 1 Əsas kənarları 1-ə, yan kənarları isə 2-yə bərabər olan müntəzəm altıbucaqlı piramidaya daxil edilmiş kürənin radiusunu tapın. 15 3. 4 r Çevrənin radiusu r üçün ondan istifadə edək üçbucaqda yazılmış, düstur yerinə yetirilir: r = S / p, burada S sahədir, p üçbucağın yarım perimetridir. Bizim vəziyyətimizdə S = p = 3, 2 Deməli, 15 3. 2 15, 2 Həlli. Kürənin radiusu SP = SQ = PQ= SH = 3 olan SPQ üçbucağına daxil edilmiş dairənin radiusuna bərabərdir.

2-ci məşq Baza kənarları 1-ə, əsasdakı ikiüzlü bucaqları isə 60°-yə bərabər olan müntəzəm altıbucaqlı piramidaya daxil edilmiş kürənin radiusunu tapın. 3 1 30. 2 2 r tq Məhlul. Yazılı sferanın mərkəzinin piramidanın təməlindəki dihedral bucaqların bisektor müstəvilərinin kəsişmə nöqtəsi olmasından istifadə edək. OH kürəsinin radiusu üçün aşağıdakı bərabərlik yerinə yetirilir: Buna görə də, . OH HQ tg OQH

Məşq Vahid səkkizedrə daxil edilmiş kürənin radiusunu tapın. 6. 6 r Cavab: Həlli. Kürənin radiusu SES'F rombunda yazılmış dairənin radiusuna bərabərdir, burada SE = SF = EF= 1, SO = Onda E təpəsindən endirilən rombun hündürlüyü bərabər olacaqdır. Tələb olunan radius hündürlüyün yarısına bərabərdir və 6. 66. 3 2 , 2 O-ya bərabərdir

Məşq Vahid ikosahedrə daxil edilmiş kürənin radiusunu tapın. 1 7 3 5. 2 6 r Həlli. OAQ düzbucağına tətbiq edilən Pifaqor teoreminə əsasən, kənarı 1 olan bərabəryanlı üçbucağın ətrafındakı dairənin radiusunun OA-nın bərabər olmasından istifadə edək 10 2 5, 4 3.

Məşq Vahid dodekaedrdə yazılmış kürənin radiusunu tapın. 1 25 11 5. 2 10 r Həlli. OFQ düzbucağına tətbiq olunan Pifaqor teoreminə əsasən, 1 tərəfi 1 olan bərabərtərəfli beşbucaqla əhatə olunmuş dairənin radiusunun OF-ə bərabər olmasından istifadə edək. 5, 4 5 5.

Məşq 1 Bir kürəni kəsilmiş tetraedrə yerləşdirmək mümkündürmü? Həll. Qeyd edək ki, kəsilmiş tetraedrə daxil edilmiş kürənin mərkəzi O ilə tetraedrə daxil edilmiş kürənin mərkəzi ilə üst-üstə düşməlidir ki, bu da kəsilmiş tetraedrdə yarımdaxili kürənin mərkəzi ilə üst-üstə düşür. O nöqtəsindən altıbucaqlı və üçbucaqlı üzlərə qədər olan d 1, d 2 məsafələri Pifaqor teoremindən istifadə etməklə hesablanır: burada R yarımdaxili sferanın radiusu, r 1, r 2 altıbucaqlı və üçbucaq içərisinə daxil edilmiş dairələrin radiusudur, müvafiq olaraq. r 1 > r 2 olduğundan, d 1< d 2 и, следовательно, сферы, вписанной в усеченный тетраэдр, не существует. 2 2 1 1 2 2 , d R r

İş 2 Kəsik kuba kürə yerləşdirmək mümkündürmü? Cavab: Xeyr. Sübut əvvəlkinə bənzəyir.

İş 3 Kəsik səkkizedrə kürə yerləşdirmək mümkündürmü? Cavab: Xeyr. Sübut əvvəlkinə bənzəyir.

Məşq 4 Kürəni kuboktaedrə yerləşdirmək mümkündürmü? Cavab: Xeyr. Sübut əvvəlkinə bənzəyir.

11-ci sinif həndəsə kursunda “Çoxüzlü, silindr, konus və top üzrə müxtəlif məsələlər” mövzusu ən çətin mövzulardan biridir. Həndəsi məsələləri həll etməzdən əvvəl onlar adətən nəzəriyyənin məsələlərin həlli zamanı istinad edilən müvafiq bölmələrini öyrənirlər. S.Atanasyanın və başqalarının bu mövzuya dair dərsliyində (səh. 138) yalnız kürə ətrafında təsvir edilmiş çoxüzlü, kürə içərisinə həkk olunmuş çoxüzlü, çoxüzlü kürə və çoxüzlü kürənin ətrafında təsvir olunan sferanın təriflərinə rast gəlmək olar. çoxüzlü. IN metodoloji tövsiyələr bu dərslikdə (bax: S.M.Saakyan və V.F.Butuzovun “10–11-ci siniflərdə həndəsə öyrənilməsi” kitabına, səh. 159) 629–646 nömrəli məsələlərin həlli zamanı cisimlərin hansı birləşmələrinin nəzərə alındığı deyilir və “ konkret problemi həll edərkən, ilk növbədə, şagirdlərin yaxşı başa düşməsini təmin etmək lazımdır qarşılıqlı tənzimləməşərtlə müəyyən edilmiş orqanlar.” 638(a) və 640 nömrəli məsələlərin həlli aşağıdakılardır.

Bütün qeyd olunanları və şagirdlərin ən çətin problemlərinin topun digər cisimlərlə birləşməsi olduğunu nəzərə alaraq, müvafiq nəzəri prinsipləri sistemləşdirmək və şagirdlərə çatdırmaq lazımdır.

Təriflər.

1. Top çoxüzlüyə yazılmışdır və topun səthi çoxüzlülərin bütün üzlərinə toxunarsa, topun ətrafında təsvir edilən çoxüzlü deyilir.

2. Topun səthi çoxbucaqlının bütün təpələrindən keçirsə, top çoxüzlü, topa daxil edilmiş çoxüzlü adlanır.

3. Topun silindrdə, kəsilmiş konusda (konusda) yazılmış olduğu deyilir, silindr, kəsilmiş konus (konus) isə topun səthi əsaslara (əsaslara) və bütün səthlərə toxunarsa, topun ətrafında dairələnmişdir. silindrin generatrisləri, kəsilmiş konus (konus).

(Bu tərifdən belə çıxır ki, topun böyük dairəsi bu cisimlərin istənilən ox hissəsinə yazıla bilər).

4. Bazaların dairələri (əsas dairəsi və zirvəsi) topun səthinə aid olarsa, topun silindr, kəsik konus (konus) ətrafında dairəvi olduğu deyilir.

(Bu tərifdən belə çıxır ki, bu cisimlərin hər hansı bir ox hissəsi ətrafında topun daha böyük bir dairəsinin dairəsi təsvir edilə bilər).

Topun mərkəzinin mövqeyinə dair ümumi qeydlər.

1. Çoxüzlüyə daxil edilmiş topun mərkəzi çoxüzlünün bütün dihedral bucaqlarının bisektor müstəvilərinin kəsişmə nöqtəsində yerləşir. Yalnız polihedronun içərisində yerləşir.

2. Çoxüzlü ətrafında çevrələnmiş topun mərkəzi çoxüzlünün bütün kənarlarına perpendikulyar olan və onların orta nöqtələrindən keçən müstəvilərin kəsişmə nöqtəsində yerləşir. Polihedronun içərisində, səthində və ya xaricində yerləşə bilər.

Kürə və prizmanın birləşməsi.

1. Düz prizmaya yazılmış top.

Teorem 1. Kürə düz prizmaya o zaman daxil edilə bilər ki, prizmanın təməlinə bir çevrə çəkilə bilsin və prizmanın hündürlüyü bu dairənin diametrinə bərabər olsun.

Nəticə 1. Sağ prizmaya daxil edilmiş sferanın mərkəzi, təmələ daxil edilmiş dairənin mərkəzindən keçən prizmanın hündürlüyünün orta nöqtəsində yerləşir.

Nəticə 2. Top, xüsusən də düz xətlərlə yazıla bilər: üçbucaqlı, nizamlı, dördbucaqlı (burada əsasın əks tərəflərinin cəmi bir-birinə bərabərdir) H = 2r şərti ilə, burada H - hündürlüyü prizma, r bazaya daxil edilmiş dairənin radiusudur.

2. Prizma ətrafında çevrələnmiş kürə.

Teorem 2. Kürə prizmanın ətrafında o zaman təsvir edilə bilər ki, prizma düz olsun və onun təməli ətrafında çevrə təsvir olunsun.

Nəticə 1. Düz prizma ətrafında çevrələnmiş sferanın mərkəzi, təməl ətrafında çevrələnmiş dairənin mərkəzindən çəkilmiş prizmanın hündürlüyünün orta nöqtəsində yerləşir.

Nəticə 2. Xüsusilə bir top təsvir edilə bilər: düz üçbucaqlı prizmanın yaxınlığında, müntəzəm prizmanın yanında, düzbucaqlı paralelepipedin yaxınlığında, əsasın əks bucaqlarının cəmi 180 dərəcəyə bərabər olan düz dördbucaqlı prizmanın yaxınlığında.

L.S.Atanasyanın dərsliyindən topla prizmanın birləşməsinə 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) məsələləri təklif etmək olar.

Topun piramida ilə birləşməsi.

1. Piramidanın yanında təsvir edilən top.

Teorem 3. Bir top piramidanın ətrafında təsvir edilə bilər, o zaman və yalnız onun təməli ətrafında bir dairə təsvir edilə bilər.

Nəticə 1. Piramida ətrafında çevrələnmiş sferanın mərkəzi bu əsas ətrafında çevrələnmiş dairənin mərkəzindən keçən piramidanın əsasına perpendikulyar düz xəttin və piramidanın ortasından çəkilmiş hər hansı yanal kənara perpendikulyar olan müstəvinin kəsişmə nöqtəsində yerləşir. bu kənar.

Nəticə 2. Piramidanın yan kənarları bir-birinə bərabərdirsə (və ya eyni dərəcədə baza müstəvisinə meyllidir), onda belə bir piramidanın ətrafında bir top təsvir edilə bilər, bu halda topun mərkəzi kəsişmə nöqtəsində yerləşir piramidanın hündürlüyü (və ya onun uzantısı) müstəvidə yatan yan kənarın simmetriya oxu ilə yan kənarı və hündürlüyü.

Nəticə 3. Xüsusilə bir top təsvir edilə bilər: üçbucaqlı bir piramidanın yanında, müntəzəm piramidanın yanında, əks bucaqların cəmi 180 dərəcə olan dördbucaqlı piramidanın yaxınlığında.

2. Piramidaya yazılmış top.

Teorem 4. Piramidanın yan üzləri bazaya eyni dərəcədə meyllidirsə, belə bir piramidaya bir top yazıla bilər.

Nəticə 1. Yan üzləri əsasa bərabər meylli olan piramidaya yazılmış topun mərkəzi piramidanın hündürlüyünün piramidanın təməlindəki hər hansı dihedral bucağın xətti bucağının bisektoru ilə kəsişmə nöqtəsində, yan tərəfində yerləşir. bunlardan piramidanın yuxarısından çəkilmiş yan üzün hündürlüyüdür.

Nəticə 2. Bir topu adi bir piramidaya yerləşdirə bilərsiniz.

L.S.Atanasyanın dərsliyindən topun piramida ilə birləşməsi üçün 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 məsələləri təklif etmək olar.

Topun kəsilmiş piramida ilə birləşməsi.

1. Müntəzəm kəsilmiş piramidanın ətrafına çəkilmiş top.

Teorem 5. Hər hansı bir müntəzəm kəsilmiş piramidanın ətrafında bir kürə təsvir edilə bilər. (Bu şərt kifayətdir, lakin zəruri deyil)

2. Müntəzəm kəsilmiş piramidaya yazılmış top.

Teorem 6. Bir top müntəzəm kəsilmiş piramidaya o zaman yazıla bilər ki, piramidanın apotemi əsasların apotemlərinin cəminə bərabər olsun.

L.S.Atanasyanın dərsliyində (No 636) topun kəsilmiş piramida ilə birləşməsi üçün yalnız bir problem var.

Topun yuvarlaq gövdələrlə birləşməsi.

Teorem 7. Sfera silindr, kəsilmiş konus (düz dairəvi) və ya konus ətrafında təsvir edilə bilər.

Teorem 8. Top (düz dairəvi) silindrin içinə yalnız və yalnız silindr bərabərtərəfli olduqda yazıla bilər.

Teorem 9. Topu hər hansı bir konusa (düz dairəvi) yerləşdirə bilərsiniz.

Teorem 10. Bir top kəsilmiş konusa (düz dairəvi) o halda yazıla bilər ki, onun generatoru əsasların radiuslarının cəminə bərabər olsun.

L.S.Atanasyanın dərsliyindən 642, 643, 644, 645, 646 nömrəli tapşırıqlar topun yuvarlaq gövdələrlə birləşməsi üçün təklif oluna bilər.

Daha çox üçün uğurlu təhsil Bu mövzuda material, dərslər zamanı şifahi tapşırıqları daxil etmək lazımdır:

1. Kubun kənarı a-ya bərabərdir. Topların radiuslarını tapın: kubun içinə yazılmış və onun ətrafında məhdudlaşdırılmışdır. (r = a/2, R = a3).

2. Ətrafdakı kürəni (topu) təsvir etmək olarmı: a) kub; b) düzbucaqlı paralelepiped; c) bazasında düzbucaqlı olan maili paralelepiped; d) düz paralelepiped; e) maili paralelepiped? (a) bəli; b) bəli; c) yox; d) yox; d) yox)

3. Hər hansı üçbucaqlı piramidanın ətrafında kürə təsvir oluna biləcəyi doğrudurmu? (Bəli)

4. Hər hansı dördbucaqlı piramidanın ətrafında sferanı təsvir etmək olarmı? (Xeyr, heç bir dördbucaqlı piramidanın yanında deyil)

5. Piramidanın ətrafındakı kürəni təsvir etmək üçün onun hansı xassələri olmalıdır? (Onun bazasında bir dairənin təsvir oluna biləcəyi çoxbucaqlı olmalıdır)

6. Yan kənarı əsasa perpendikulyar olan kürənin içinə piramida yazılmışdır. Sferanın mərkəzini necə tapmaq olar? (Sferanın mərkəzi fəzada nöqtələrin iki həndəsi lokusunun kəsişmə nöqtəsidir. Birincisi, piramidanın bünövrəsinin müstəvisinə onun ətrafında dövrələnmiş dairənin mərkəzindən keçən perpendikulyardır. İkincisi isə müstəvidir. verilmiş yan kənara perpendikulyar və onun ortasından çəkilmiş)

7. Əsasında trapesiya olan prizmanın ətrafındakı kürəni hansı şəraitdə təsvir edə bilərsiniz? (Birincisi, prizma düz olmalıdır, ikincisi, trapesiya ikitərəfli olmalıdır ki, onun ətrafında bir dairə təsvir olunsun)

8. Prizmanın ətrafında sferanın təsvir edilməsi üçün hansı şərtləri təmin etməlidir? (Prizma düz olmalıdır və onun əsası ətrafında dairə təsvir edilə bilən çoxbucaqlı olmalıdır)

9. Mərkəzi prizmadan kənarda yerləşən üçbucaqlı prizmanın ətrafında sfera təsvir edilmişdir. Prizmanın əsası hansı üçbucaqdır? (Kəpənək üçbucaq)

10. Maili prizmanın ətrafında sferanı təsvir etmək olarmı? (Xeyr edə bilməzsiniz)

11. Düzbucaqlı üçbucaqlı prizma ətrafında çevrilmiş sferanın mərkəzi hansı şəraitdə prizmanın yan üzlərindən birində yerləşəcək? (Əsas düzbucaqlı üçbucaqdır)

12. Piramidanın əsası ikitərəfli trapesiyadır Piramidanın yuxarı hissəsinin təməl müstəvisinə ortoqonal proyeksiyası trapesiyadan kənarda yerləşən nöqtədir. Belə bir trapesiya ətrafında kürə təsvir etmək mümkündürmü? (Bəli, edə bilərsiniz. Piramidanın yuxarı hissəsinin ortoqonal proyeksiyasının onun bünövrəsindən kənarda yerləşməsinin əhəmiyyəti yoxdur. Piramidanın əsasında ikitərəfli trapesiya - ətrafında dairənin ola biləcəyi çoxbucaqlı olması vacibdir. təsvir edilmişdir)

13. Normal piramidanın yanında kürə təsvir edilmişdir. Onun mərkəzi piramidanın elementlərinə nisbətən necə yerləşir? (Sferanın mərkəzi onun mərkəzindən keçərək baza müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyar üzərindədir)

14. Düzbucaqlı üçbucaqlı prizmanın ətrafında təsvir edilən sferanın mərkəzi hansı şəraitdə yerləşir: a) prizmanın daxilində; b) prizmadan kənarda? (Prizmanın təməlində: a) iti üçbucaq; b) ensiz üçbucaq)

15. Kənarları 1 dm, 2 dm və 2 dm olan düzbucaqlı paralelepiped ətrafında kürə təsvir edilmişdir. Sferanın radiusunu hesablayın. (1,5 dm)

16. Kürə hansı kəsik konusuna yerləşə bilər? (Kəsilmiş konusda, ox hissəsinə dairənin yazıla biləcəyi. Konusun ox hissəsi ikitərəfli trapesiyadır, onun əsaslarının cəmi yan tərəflərinin cəminə bərabər olmalıdır. Başqa sözlə, Konusun əsaslarının radiuslarının cəmi generatora bərabər olmalıdır)

17. Kəsik konusda kürə təsvir edilmişdir. Koninin generatrisi kürənin mərkəzindən hansı bucaq altında görünür? (90 dərəcə)

18. Düz prizmanın içərisinə kürənin daxil edilməsi üçün onun hansı xassələri olmalıdır? (Birincisi, düz prizmanın təməlində çevrənin yazıla biləcəyi çoxbucaqlı olmalıdır, ikincisi, prizmanın hündürlüyü bazaya daxil edilmiş dairənin diametrinə bərabər olmalıdır)

19. Kürə sığmayan piramidaya misal göstərin? (Misal üçün, dördbucaqlı piramida, əsası düzbucaqlı və ya paraleloqram olan)

20. Düz prizmanın təməlində romb yerləşir. Bu prizmaya kürə sığdırmaq mümkündürmü? (Xeyr, qeyri-mümkündür, çünki ümumiyyətlə romb ətrafında bir dairəni təsvir etmək mümkün deyil)

21. Hansı şəraitdə kürə düz üçbucaqlı prizmaya daxil edilə bilər? (Əgər prizmanın hündürlüyü bazaya yazılmış dairənin radiusundan iki dəfə böyükdürsə)

22. Hansı şəraitdə kürə düzgün dördbucaqlı kəsilmiş piramidaya daxil edilə bilər? (Verilmiş piramidanın en kəsiyi təməlin ona perpendikulyar olan tərəfinin ortasından keçən bir müstəvidirsə, o, bir dairənin daxil oluna biləcəyi ikitərəfli trapesiyadır)

23. Kürə üçbucaqlı kəsilmiş piramidaya daxil edilmişdir. Piramidanın hansı nöqtəsi kürənin mərkəzidir? (Bu piramidaya həkk olunmuş kürənin mərkəzi piramidanın yan üzlərinin əsasla yaratdığı üç bisektral bucaq müstəvisinin kəsişməsindədir)

24. Silindr ətrafında (sağ dairəvi) kürəni təsvir etmək mümkündürmü? (Bəli sən bacararsan)

25. Konus ətrafında kürə, kəsilmiş konus (düz dairəvi) təsvir etmək olarmı? (Bəli, hər iki halda edə bilərsiniz)

26. Hər hansı bir silindrin içinə kürə həkk oluna bilərmi? Bir kürəni ona yerləşdirmək üçün silindr hansı xüsusiyyətlərə malik olmalıdır? (Xeyr, hər dəfə deyil: silindrin eksenel hissəsi kvadrat olmalıdır)

27. Hər hansı konus içinə kürə həkk oluna bilərmi? Konusda yazılmış kürənin mərkəzinin mövqeyini necə təyin etmək olar? (Bəli, mütləq. Yazılı kürənin mərkəzi konusun hündürlüyü ilə generatrixin bünövrənin müstəvisinə meyl bucağının bissektrisasının kəsişməsindədir)

Müəllif hesab edir ki, “Çoxüzlülər, silindrlər, konuslar və toplar haqqında müxtəlif məsələlər” mövzusundakı üç planlaşdırma dərsindən iki dərsi topun digər cisimlərlə birləşməsi məsələlərinin həllinə həsr etmək məqsədəuyğundur. Dərsdə kifayət qədər vaxt olmadığı üçün yuxarıda verilmiş teoremləri sübut etmək tövsiyə edilmir. Bunun üçün kifayət qədər bacarıqları olan tələbələri sübutun kursunu və ya planını göstərməklə (müəllimin istəyi ilə) onları sübut etməyə dəvət edə bilərsiniz.

Top və kürə

Yarımdairəni diametr ətrafında fırlatmaqla əldə edilən gövdə top adlanır. Bu halda əmələ gələn səthə kürə deyilir.Top, verilən nöqtədən verilən nöqtədən çox olmayan məsafədə yerləşən kosmosdakı bütün nöqtələrdən ibarət olan cisimdir, və bu məsafə topun radiusu adlanır.Topun sərhədi sferik səth adlanırvə ya kürənin mərkəzini sferik səthdəki nöqtə ilə birləşdirən hər hansı bir seqmentə radius deyilir.Sferik səthdə iki nöqtəni birləşdirən və topun mərkəzindən keçən seqment diametr adlanır..Hər hansı bir diametrin ucları topun hər hansı bir hissəsinin diametrik əks nöqtələri adlanırtəyyarə dairədir. Bu dairənin mərkəzi mərkəzdən kəsici müstəviyə salınan perpendikulyarın əsasıdır. Topun mərkəzindən keçən müstəviyə diametr müstəvisi deyilir. Topun diametrik müstəvi ilə kəsişməsinə böyük dairə deyilir, və kürənin en kəsiyi böyük bir dairədir.Topun istənilən diametrik müstəvisi onun simmetriya müstəvisidir. Topun mərkəzi onun simmetriya mərkəzidir.Sferik səthdə bir nöqtədən keçən və bu nöqtəyə çəkilmiş radiusa perpendikulyar olan müstəviyə tangens müstəvisi deyilir.. Bu nöqtəəlaqə nöqtəsi adlanır.Tangens müstəvisinin topla yalnız bir ümumi nöqtəsi var - təmas nöqtəsi verilmiş nöqtə bu nöqtəyə çəkilmiş radiusa perpendikulyar olan sferik səth tangens adlanır.Sferik səthin istənilən nöqtəsindən sonsuz sayda tangens keçir və onların hamısı sferik seqmentin tangens müstəvisində yerləşirtopun ondan müstəvi ilə kəsilən hissəsinə sferik təbəqə deyilirtopun kəsişən iki paralel təyyarə arasında yerləşən hissəsi Sferik sektor adlanırsferik seqmentdən və konusdan əldə edilirsə, sferik seqment yarımkürədən kiçikdirsə, onda sferik seqment zirvəsi topun mərkəzində olan bir konus ilə tamamlanır, əsası isə əsasdır. seqment yarımkürədən böyükdürsə, onda göstərilən konus ondan çıxarılırTop (R = OB - radius): S b = 4πR 2 ; V = 4πR 3 / 3. Top seqmenti (R = OB - topun radiusu, h = SK - seqmentin hündürlüyü, r = KV - seqmentin əsasının radiusu): V seqm = πh 2 (R - h/3) və ya V seqm = πh(h 2 + 3r 2 ) / 6;S seqm = 2πRh Top sektoru (R = OB - topun radiusu, h = SC - seqmentin hündürlüyü): V = V seqm ±V con , "+" - seqment kiçikdirsə, "-" - seqment yarımkürədən böyükdürsə.və ya V = V seqm + V con = πh 2 (R - h/3) + πr 2 (R - h) / 3. Sferik təbəqə (R 1 və R 2 - sferik təbəqənin əsaslarının radiusları; h = SC - sferik təbəqənin hündürlüyü və ya əsaslar arasındakı məsafə):V w/sl = πh 3 / 6 + πh(R 1 2 + R 2 2 ) / 2;S w/sl = 2πRh Nümunə 1. Topun həcmi 288π sm-dir 3 . Topun diametrini tapınV = πd 3 / 6288π = πd 3 / 6πd 3 = 1728πd 3 = 1728d = 12 sm Cavab: 12. Nümunə 2. Radiuslu üç bərabər kürə bir-birinə və bəzi müstəviyə toxunur. Dördüncü sferanın üç verilənlərə və verilmiş müstəviyə toxunan radiusunu təyin edinQoy O 1 , HAQQINDA 2 , HAQQINDA 3 - bu sferaların mərkəzləri və O - dördüncü sferanın üç verilənlərə və verilmiş müstəviyə toxunan mərkəzi. Sferaların verilmiş müstəvi ilə təmas nöqtələri A, B, C, T olsun. İki sferanın təmas nöqtələri bu sferaların mərkəzlərinin xəttində yerləşir, ona görə də O 1 HAQQINDA 2 = O 2 HAQQINDA 3 = O 3 HAQQINDA 1 = 2r. Nöqtələr ABC müstəvisindən bərabər məsafədədir, ona görə də ABO 2 HAQQINDA 1 , AVO 2 HAQQINDA 3 , AVO 3 HAQQINDA 1 - bərabər düzbucaqlılar, buna görə də ∆ABC tərəfi 2r ilə bərabərtərəflidir, dördüncü sferanın istənilən radiusu olsun. Sonra OT = x. Beləliklə, Eynilə Bu o deməkdir ki, T bərabərtərəfli üçbucağın mərkəzidir. Buna görə də BuradanCavab: r / 3. Piramidaya həkk olunmuş kürə Hər düzgün piramidaya kürə yazıla bilər. Sferanın mərkəzi piramidanın hündürlüyündə onun piramidanın əsasının kənarındakı xətti bucağın bissektrisa ilə kəsişdiyi nöqtədə yerləşir. Əgər kürə piramidanın içinə yazıla bilərsə, o zaman bu sferanın r radiusu r = 3V/S düsturu ilə hesablana bilər. səh , burada V piramidanın həcmidir, S səh - onun ümumi səth sahəsi Nümunə 3. Əsasının radiusu R və hündürlüyü H olan konusvari huni su ilə doludur. Ağır bir top huniyə endirilir. Topun batırılmış hissəsi tərəfindən hunidən çıxarılan suyun həcmi maksimum olması üçün topun radiusu nə olmalıdır? Bu hissə ikitərəfli üçbucaq əmələ gətirir.Hunidə bir top varsa, onda onun radiusunun maksimum ölçüsü nəticədə meydana gələn isosceles üçbucağında yazılmış dairənin radiusuna bərabər olacaq: r = S / p , burada S üçbucağın sahəsidir, p onun yarım perimetridir. Lakin əsas konusun radiusu iki dəfə olduğundan, S = RH bərabərdir. üçbucaq R - konusun əsasını təşkil edən dairənin radiusu, Pifaqor teoremi ilə tapın. , haradaQısaca belə görünür:Cavab:Misal 4. Bazasında dihedral bucağı α-ya bərabər olan müntəzəm üçbucaqlı piramidada iki top var. Birinci top piramidanın bütün üzlərinə, ikinci top isə piramidanın və birinci topun bütün yan üzlərinə toxunur. tgα = 24/7 olarsa, birinci topun radiusunun ikinci topun radiusuna nisbətini tapın
RABC düzgün piramida olsun və H nöqtəsi onun əsası ABC-nin mərkəzi olsun. M BC kənarının orta nöqtəsi olsun. Sonra - xətti dihedral bucaq şərti ilə α və α-ya bərabər olan< 90°. Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой .Qoy NN 1 - birinci topun və H nöqtəsindən keçən təyyarənin diametri 1 RN düz xəttinə perpendikulyar, A nöqtələrində müvafiq olaraq RA, PB, RS yan kənarları ilə kəsişir. 1 , IN 1 , İLƏ 1 . Sonra N 1 düzgün ∆A-nın mərkəzi olacaq 1 IN 1 İLƏ 1 , və piramida RA 1 IN 1 İLƏ 1 oxşarlıq əmsalı k = RN olan RABC piramidasına bənzəyəcək 1 / RN. Qeyd edək ki, mərkəzi O nöqtəsində olan ikinci top 1 , RA piramidasında yazılmışdır 1 IN 1 İLƏ 1 və buna görə də yazılmış topların radiuslarının nisbəti oxşarlıq əmsalına bərabərdir: OH / OH 1 = RN / RN 1 . tgα = 24/7 bərabərliyindən tapırıq:AB = x olsun. Sonra Beləliklə, istədiyiniz OH/O nisbəti 1 N 1 = 16/9 Cavab: 16/9 Prizmaya daxil edilmiş sferanın diametri prizmanın H hündürlüyünə bərabərdir: D = 2R = H. prizma perpendikulyar kəsikli prizmaya daxil edilmiş çevrənin radiusuna bərabərdir Əgər kürə düz prizmaya daxil edilibsə, onda bu prizmanın təməlinə bir dairə daxil edilə bilər prizma prizmanın əsasına yazılmış çevrənin radiusuna bərabərdir Teorem 1 Düz prizmanın təməlinə çevrə çəkilsin və prizmanın hündürlüyü H bu çevrənin diametrinə bərabər olsun. Sonra bu prizmaya D diametrli bir kürə daxil edilə bilərQoy ABC...A 1 IN 1 İLƏ 1 ... düz prizma, O isə ABC bazasına yazılmış çevrənin mərkəzidir. Onda O nöqtəsi ABC əsasının hər tərəfindən bərabər məsafədədir. Qoy O 1 - O nöqtəsinin A əsasına ortoqonal proyeksiyası 1 IN 1 İLƏ 1 . Sonra Oh 1 A əsasının hər tərəfindən bərabər məsafədə 1 IN 1 İLƏ 1 , və OO 1 || AA 1 . Bu birbaşa OO aşağıdakılardan ibarətdir 1 prizmanın yan üzünün hər müstəvisinə paralel və OO seqmentinin uzunluğu 1 prizmanın hündürlüyünə və şərti olaraq prizmanın təməlinə yazılmış dairənin diametrinə bərabərdir. Bu o deməkdir ki, seqmentin nöqtələri OO 1 prizmanın yan üzlərindən və OO seqmentinin orta F hissəsindən bərabər məsafədə yerləşir 1 prizmanın əsaslarının müstəvilərindən bərabər məsafədə olan , prizmanın bütün üzlərindən bərabər məsafədə olacaqdır. Yəni, F prizmaya daxil edilmiş kürənin mərkəzidir və bu sferanın diametri prizmanın əsasına daxil edilmiş dairənin diametrinə bərabərdir. Teorem isbat olunub Teorem 2 Maili prizmanın perpendikulyar kəsiyinə çevrə çəkilsin və prizmanın hündürlüyü bu çevrənin diametrinə bərabər olsun. Sonra bu maili prizmaya kürə daxil edilə bilər. Bu sferanın mərkəzi, perpendikulyar bir hissəyə yazılmış dairənin mərkəzindən keçən hündürlüyü ikiyə bölür
Qoy ABC...A 1 IN 1 İLƏ 1 ... maili prizma və F radiusu FK perpendikulyar kəsiyinə yazılmış çevrənin mərkəzidir. Prizmanın perpendikulyar kəsiyi onun yan üzünün hər bir müstəvisinə perpendikulyar olduğundan, bu hissənin tərəflərinə çəkilmiş perpendikulyar kəsiyə daxil edilmiş dairənin radiusları prizmanın yan üzlərinə perpendikulyardır. Beləliklə, F nöqtəsi bütün yanal üzlərdən bərabər məsafədədir, F nöqtəsi ilə OO düz xətti çəkək 1 , prizmanın əsaslarının müstəvisinə perpendikulyar, bu əsasları O və O nöqtələrində kəsən 1 . Sonra OO 1 - prizmanın hündürlüyü. Çünki OO şərtinə görə 1 = 2FK, onda F OO seqmentinin ortasıdır 1 :FK = OO 1 / 2 = FO = FO 1 , yəni. F nöqtəsi istisnasız olaraq prizmanın bütün üzlərinin müstəvilərindən bərabər məsafədədir. Bu o deməkdir ki, verilmiş prizmaya kürə daxil edilə bilər, onun mərkəzi F nöqtəsi ilə üst-üstə düşür - prizmanın F nöqtəsindən keçən prizmanın hündürlüyünü yarıya bölən perpendikulyar kəsikdə yazılmış dairənin mərkəzi. Teorem sübut edilmişdir. Misal 1. Düzbucaqlı paralelepipedin həcmini tapınÜst görünüşü çəkin. Və ya yan tərəfdən. Və ya cəbhədən. Eyni şeyi görəcəksiniz - düzbucaqlıya yazılmış bir dairə. Aydındır ki, bu düzbucaqlı kvadrat, paralelepiped isə kub olacaq. Bu kubun uzunluğu, eni və hündürlüyü kürənin radiusundan iki dəfə böyükdür AB = 2 və buna görə də kubun həcmi 8-dir. Cavab: 8. Nümunə 6. Əsasının tərəfi bərabər olan müntəzəm üçbucaqlı prizmada. üçün , iki top var. Birinci top prizmaya yazılmışdır, ikinci top prizmanın bir əsasına, onun iki yan üzünə və birinci topa toxunur. İkinci topun radiusunu tapın
Qoy ABCA 1 IN 1 İLƏ 1 - düzgün prizma və P və P nöqtələri 1 - onun əsaslarının mərkəzləri. Onda bu prizmaya yazılmış O topunun mərkəzi PP seqmentinin orta nöqtəsidir 1 . RVV təyyarəsini nəzərdən keçirək 1 . Prizma nizamlı olduğundan, PB bissektrisa və ΔABC hündürlüyü olan BN seqmentində yerləşir. Buna görə də təyyarə və partlayıcı maddənin yan kənarında dihedral bucağın bisektor müstəvisidir 1 . Buna görə də, bu müstəvinin istənilən nöqtəsi AA-nın yan üzlərindən bərabər məsafədədir 1 BB 1 və SS 1 IN 1 B. Xüsusilə, perpendikulyar OK, O nöqtəsindən ACC üzünə endirildi 1 A 1 , RVV müstəvisində yerləşir 1 və OP seqmentinə bərabərdir ki, KNPO kvadratdır, onun tərəfi verilmiş prizmaya daxil edilmiş topun radiusuna bərabərdir 1 - topun mərkəzi O mərkəzi və yanal üzləri AA olan yazılı topa toxunur 1 BB 1 və SS 1 IN 1 Prizmalara. Sonra O nöqtəsi 1 RVV təyyarəsində yatır 1 və onun proyeksiyası P 2 müstəvisində ABC PB seqmentində yatır şərtə görə əsasın tərəfi bərabərdir , buna görə də, PN = 2 və buna görə də prizmaya yazılmış OR topunun radiusu da 2-yə bərabərdir. Çünki mərkəzləri O və O nöqtələrində olan toplar 1 bir-birinə, sonra OO seqmentinə toxunun 1 = OR + O 1 R 2 . OP = r, O kimi işarə edək 1 R 2 = x. ΔOO-u nəzərdən keçirin 1 T, harada Bu üçbucaqda OO 1 = r + x, OT = r - x. Buna görə də Fiqur O olduğundan 1 R 2 Beləliklə, RT düzbucaqlıdır Bundan əlavə, üçbucağın medianlarının xassələri ilə RV = 2r və R 2 B = 2x, çünki içində düz üçbucaq və P 2 L = x. PB = PP olduğundan 2 + R 2 B, onda tənliyi alırıq , ondan x bərabərsizliyini nəzərə alaraq< r, находим r = 2 dəyərini əvəz edərək, nəhayət tapırıq Cavab:Polihedron ətrafında əhatə olunmuş sfera
Sferanın çoxüzlü ilə əhatə olunduğu deyilir, əgər onun bütün təpələri bu sferada yerləşirsə. Bu halda çoxüzlü kürənin içərisinə yazıldığı deyilir.Tərifdən belə çıxır ki, əgər çoxbucaqlının dairəvi sferası varsa, onda onun bütün üzləri çoxbucaqlıdır və buna görə də hər çoxbucaqlının onun ətrafında dairəvi sferası yoxdur Paraleloqramın ətrafında dairəni təsvir etmək qeyri-mümkündür. Düz prizmanın ətrafında çəkilmiş kürənin mərkəzi düz prizmanın əsasları haqqında təsvir edilən dairələrin mərkəzlərini birləşdirən seqmentin ortasıdır. Sferanın radiusunu tapın kubun həcmi 27-dirsə, kub ətrafında məhdudlaşdırılır. Cavabını formada yazın. Həll kubun həcmi kubun kənarı a = 3. Pifaqor teoreminə görə kubun diaqonalı Sonra radiusu kubun diaqonalının yarısı kimi tapırıq: Cavabı formada yazaq Cavab: 1.5 Nümunə 8. Düzgün üçbucaqlı prizmanın əsaslarından biri R radiuslu topun böyük dairəsinə, digər əsasın təpələri isə bu topun səthinə aiddir. Həcminin ən böyük olacağı prizmanın hündürlüyünü təyin edin
A müstəvisinə perpendikulyar 1 IN 1 İLƏ 1 Bu üçbucağın ətrafında cərəyan edən dairənin mərkəzindən çəkilmiş topun mərkəzindən keçir. OB işarə edək 1 = R, OB = R 1 , BB 1 = h = x Törəməni tapıb onu sıfıra bərabərləşdirək. Biz əldə edirik:Cavab:

TƏLƏBƏLƏRİN XV ŞƏHƏR AÇIQ KONFRANSI

“XXI ƏSRİN ZİYALILARI”

Bölmə: RİYAZİYYAT

Olimpiadalarda və Vahid Dövlət İmtahanında təsvir olunan sahə

Kiyayeva Anna Anatolevna

Orenburq - 2008

1.2 Əhatə dairəsi təsvir edilmişdir

1.2.1 Əsas xüsusiyyətlər və təriflər

1.2.2 Piramida birləşməsi

1.2.3 Prizma ilə birləşmə

1.2.4 Silindr ilə birləşmə

1.2.5 Konus ilə birləşmə

2 Olimpiada tapşırıqlarının nümunələri

2.1 Piramida ilə olimpiada tapşırıqlarının nümunələri

2.2 Prizma ilə olimpiada tapşırıqlarının nümunələri

2.3 Silindrlə olimpiada tapşırıqlarının nümunələri

2.4 Konus ilə olimpiada tapşırıqlarının nümunələri

3.3 Silindr ilə Vahid Dövlət İmtahan tapşırıqlarının nümunələri

3.4 Konus ilə Vahid Dövlət İmtahan tapşırıqlarının nümunələri

Giriş

Bu iş internat liseyin internet saytında məktəblilər üçün riyazi səhifənin yaradılması layihəsi çərçivəsində həyata keçirilir və “Riyazi üsullar” bölməsində yerləşdiriləcək.

Hədəf iş - həll üsuluna həsr olunmuş arayış kitabının yaradılması həndəsi məsələlər Olimpiadalarda və Vahid Dövlət İmtahanında təsvir olunan sahə ilə.

Bu məqsədə çatmaq üçün aşağıdakıları həll etmək lazım idi tapşırıqlar :

1) təsvir olunan sfera anlayışı ilə tanış olmaq;

2) təsvir olunan sferanın piramida, prizma, silindr və konus ilə birləşmələrinin xüsusiyyətlərini öyrənmək;

3) həndəsi məsələlər arasında təsvir edilmiş sferanın olması şərtini ehtiva edənləri seçin;

4) toplanmış materialı təhlil etmək, sistemləşdirmək və təsnif etmək;

5) müstəqil həlli üçün problemlərin seçimini etmək;

6) tədqiqatın nəticəsini referat şəklində təqdim edin.

Tədqiqat zamanı məlum oldu ki, təsvir olunan sahə ilə bağlı problemlər Vahid Dövlət İmtahanında məktəblilərə tez-tez təklif olunur, buna görə də bu tip problemləri həll etmək bacarığı çox mühüm rol oynayır. uğurla başa çatması imtahanlar. Həm də təsvir olunan sahə ilə bağlı problemlərə müxtəlif səviyyələrdə riyaziyyat olimpiadalarında tez-tez rast gəlinir. İşimizdə müvafiq nümunələr verilmişdir. Bu mövzu edir müvafiq, çünki bu tip tapşırıqlar adətən məktəblilər üçün çətinlik yaradır.

Praktik əhəmiyyəti– hazırladığımız materiallar məktəbliləri olimpiadalara, Vahid Dövlət İmtahanına və universitetdə sonrakı təhsilə hazırlamaqda istifadə edilə bilər.

1 Kürə və top

1.1 Kürə və top: əsas anlayışlar və təriflər

Kürə verilən nöqtədən verilmiş məsafədə yerləşən fəzanın bütün nöqtələrindən ibarət səthdir.

Bu nöqtə deyilir kürənin mərkəzi(nöqtə HAQQINDAŞəkildə. 1) və bu məsafə sferanın radiusu. Kürənin mərkəzini və istənilən nöqtəsini birləşdirən hər hansı seqmentə də kürənin radiusu deyilir. Kürənin iki nöqtəsini birləşdirən və onun mərkəzindən keçən xətt seqmenti adlanır sferanın diametri(xətt seqmenti DCŞəkildə. 1). Qeyd edək ki, kürə onun diametri ətrafında yarımdairəni fırlatmaqla əldə edilə bilər.

Top kürə ilə sərhədlənmiş cisim adlanır. Kürənin mərkəzinə, radiusuna və diametrinə də deyilir Mərkəz , radius Və topun diametri. Aydındır ki, radiuslu bir top R-də mərkəzləşmişdir HAQQINDA kosmosda nöqtədən yerləşən bütün nöqtələri ehtiva edir HAQQINDA-dən çox olmayan məsafədə R(nöqtə daxil olmaqla HAQQINDA) və başqa nöqtələri ehtiva etmir. Top diametri ətrafında yarımdairənin fırlanma fiquru da deyilir. Top seqmenti- hansısa təyyarə ilə ondan kəsilən topun bir hissəsi. Bir təyyarə ilə topun hər bir hissəsi bir dairədir. Bu dairənin mərkəzi topun mərkəzindən kəsici müstəviyə çəkilmiş perpendikulyarın əsasıdır. Topun mərkəzindən keçən təyyarə deyilir diametrik müstəvi. Topun diametrik müstəvi ilə kəsişməsinə deyilir böyük dairə, və sferanın bölməsi böyük dairə. top sektoru - dairəvi sektoru məhdudlaşdıran radiuslardan birini ehtiva edən düz xətt ətrafında 90°-dən az bucaqlı dairəvi sektorun fırlanması ilə əldə edilən həndəsi cisim. Sferik sektor sferik seqmentdən və ümumi əsası olan konusdan ibarətdir.

Sferanın səth sahəsi:

S = 4π R 2 ,

Harada R- topun radiusu, S- sferanın sahəsi.

Sferanın həcmi

Harada V- topun həcmi

Top sektorunun həcmi

V – sferik seqmentin həcmi.

Seqmental səth sahəsi

- seqment hündürlüyü, seqmental səth sahəsi

Seqmentin əsas radiusu

, - seqmentin əsas radiusu, - seqmentin hündürlüyü, 0<H < 2R .

Top seqmentinin sferik səth sahəsi

- sferik seqmentin sferik səthinin sahəsi.

Bir top və bir təyyarə üçün məkanda üç hal mümkündür:

1) Topun mərkəzindən müstəviyə qədər olan məsafə topun radiusundan böyükdürsə, onda top və təyyarənin ortaq nöqtələri yoxdur.

2) Topun mərkəzindən müstəviyə qədər olan məsafə topun radiusuna bərabərdirsə, müstəvidə top və onu bağlayan kürə ilə yalnız bir ümumi nöqtə var.

3) Əgər topun mərkəzindən müstəviyə qədər olan məsafə topun radiusundan azdırsa, onda topun müstəvi ilə kəsişməsi dairədir. Bu dairənin mərkəzi topun mərkəzinin verilmiş müstəviyə proyeksiyasıdır. Təyyarənin kürə ilə kəsişməsi göstərilən dairənin çevrəsidir.

1.2 Təsvir edilmiş sfera

1.2.1 Anlayışlar və xassələr

Kürə deyilir polihedron ətrafında təsvir edilmişdir(və çoxüzlüdür sferasına daxildir), çoxüzlülərin bütün təpələri kürə üzərində yerləşirsə.

Təsvir edilən sferanın tərifindən iki fakt çıxır:

1) sferaya daxil edilmiş çoxbucaqlının bütün təpələri müəyyən bir nöqtədən bərabər məsafədə yerləşir (çevrilmiş sferanın mərkəzindən);

2) kürəyə yazılmış çoxbucaqlının hər bir üzü müəyyən bir dairədə, dəqiq olaraq üzün müstəvisi ilə kürənin kəsişməsində alınan dairədə yazılmış çoxbucaqlıdır; bu halda, üzlərin müstəvisində dairəvi kürənin mərkəzindən endirilən perpendikulyarların əsası üzlər ətrafında əhatə olunmuş dairələrin mərkəzləridir.

Teorem 1 . Sfera çoxüzlü ətrafında təsvir edilə bilər, o zaman və yalnız aşağıdakı şərtlərdən hər hansı biri yerinə yetirilir:

a) çoxüzlülərin hər hansı üzü ətrafında dairə təsvir edilə bilər və çoxüzlülərin üzləri ətrafında təsvir olunan dairələrin oxları bir nöqtədə kəsişir;

b) çoxhərlinin kənarlarına perpendikulyar olan və onların orta nöqtələrindən keçən müstəvilər bir nöqtədə kəsişir;

c) çoxüzlülərin bütün təpələrindən bərabər məsafədə olan bir nöqtə var.

Sübut.

Zərurət.Çoxüzlü ətrafında bir kürə təsvir edilsin. a) şərtinin ödənildiyini sübut edək. Həqiqətən də, çoxhərlinin verilmiş üzünün müstəvisi kürə ilə dairə boyu kəsişdiyindən, kürəyə aid olan üzün təpələri və üzün müstəvisi onların kəsişmə xəttinə - çevrəyə aiddir. Sferanın mərkəzi verilmiş üzün bütün təpələrindən bərabər məsafədə olduğundan o, üzün ətrafına çəkilmiş dairənin mərkəzindən çəkilmiş bu üzə perpendikulyar üzərində yerləşir.

Adekvatlıq. a) şərti təmin edilsin. Sübut edək ki, kürə çoxüzlü ətrafında təsvir edilə bilər. Əslində, üzlər ətrafında çevrələnmiş dairələrin mərkəzlərindən çəkilmiş üzlərə perpendikulyarların ortaq nöqtəsi çoxüzlünün bütün təpələrindən bərabər məsafədə olduğundan, çoxüzlü ətrafında mərkəzi bu nöqtədə olan kürə təsvir edilmişdir.

a) şərti bu halda b) və c) şərtlərinə ekvivalentdir.

Əgər kürə çoxüzlü ətrafında əhatə olunubsa, onda: a) kürənin mərkəzindən hər hansı bir üzə endirilmiş perpendikulyarın əsası bu üzün ətrafına çəkilmiş dairənin mərkəzidir (bir piramidanın hündürlüyünün əsası kimi yanal kənarlar - onun mərkəzindən verilmiş üzün təpələrinə çəkilmiş kürənin radiusları ); b) çoxüzlü ətrafında əhatə olunmuş sferanın mərkəzi çoxüzlünün daxilində, onun səthində (üz ətrafında çəkilmiş dairənin mərkəzində, xüsusən də hansısa kənarın ortasında), çoxüzlüdən kənarda yerləşə bilər.

1.2.2 Dahili kürə və piramida

Teorem 2 . Piramidanın ətrafında bir kürə təsvir edilə bilər, o zaman və yalnız onun təməli ətrafında bir dairə təsvir edilə bilər.

Sübut. Piramidanın əsasının ətrafında bir dairə təsvir edilsin. Sonra bu dairə və bu dairənin müstəvisindən kənarda yerləşən bir nöqtə - piramidanın yuxarı hissəsi - piramidanın ətrafına çəkiləcək tək kürəni təyin edir. Və geri. Əgər kürə bir piramida ətrafında əhatə olunubsa, o zaman kürənin piramidanın bünövrəsinin müstəvisi ilə kəsişməsi təməl ətrafında çevrələnmiş dairədir.

Nəticə 1. Hər hansı tetraedrin ətrafında bir kürə təsvir edilə bilər.

11-ci sinif həndəsə kursunda “Çoxüzlü, silindr, konus və top üzrə müxtəlif məsələlər” mövzusu ən çətin mövzulardan biridir. Həndəsi məsələləri həll etməzdən əvvəl onlar adətən nəzəriyyənin məsələlərin həlli zamanı istinad edilən müvafiq bölmələrini öyrənirlər. S.Atanasyanın və başqalarının bu mövzuya dair dərsliyində (səh. 138) yalnız kürə ətrafında təsvir edilmiş çoxüzlü, kürə içərisinə həkk olunmuş çoxüzlü, çoxüzlü kürə və çoxüzlü kürənin ətrafında təsvir olunan sferanın təriflərinə rast gəlmək olar. çoxüzlü. Bu dərslik üzrə metodiki tövsiyələrdə (bax: S.M.Saakyan və V.F.Butuzovun “10-11-ci siniflərdə həndəsə öyrənilməsi” kitabına, səh. 159) 629–646 nömrəli məsələlərin həlli zamanı cisimlərin hansı birləşmələrinin nəzərə alındığı deyilir və diqqət çəkilir. "müəyyən bir problemi həll edərkən, ilk növbədə, tələbələrin vəziyyətdə göstərilən orqanların nisbi mövqelərini yaxşı başa düşmələrini təmin etmək lazımdır". 638(a) və 640 nömrəli məsələlərin həlli aşağıdakılardır.

Təriflər.

1. Top çoxüzlüyə yazılmışdır və topun səthi çoxüzlülərin bütün üzlərinə toxunarsa, topun ətrafında təsvir edilən çoxüzlü deyilir.

2. Topun səthi çoxbucaqlının bütün təpələrindən keçirsə, top çoxüzlü, topa daxil edilmiş çoxüzlü adlanır.

(Bu tərifdən belə çıxır ki, topun böyük dairəsi bu cisimlərin istənilən ox hissəsinə yazıla bilər).

4. Bazaların dairələri (əsas dairəsi və zirvəsi) topun səthinə aid olarsa, topun silindr, kəsik konus (konus) ətrafında dairəvi olduğu deyilir.

(Bu tərifdən belə çıxır ki, bu cisimlərin hər hansı bir ox hissəsi ətrafında topun daha böyük bir dairəsinin dairəsi təsvir edilə bilər).

Topun mərkəzinin mövqeyinə dair ümumi qeydlər.

Kürə və prizmanın birləşməsi.

1. Düz prizmaya yazılmış top.

Teorem 1. Kürə düz prizmaya o zaman daxil edilə bilər ki, prizmanın təməlinə bir çevrə çəkilə bilsin və prizmanın hündürlüyü bu dairənin diametrinə bərabər olsun.

Nəticə 1. Sağ prizmaya daxil edilmiş sferanın mərkəzi, təmələ daxil edilmiş dairənin mərkəzindən keçən prizmanın hündürlüyünün orta nöqtəsində yerləşir.

2. Prizma ətrafında çevrələnmiş kürə.

Teorem 2. Kürə prizmanın ətrafında o zaman təsvir edilə bilər ki, prizma düz olsun və onun təməli ətrafında çevrə təsvir olunsun.

L.S.Atanasyanın dərsliyindən topla prizmanın birləşməsinə 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) məsələləri təklif etmək olar.

Topun piramida ilə birləşməsi.

1. Piramidanın yanında təsvir edilən top.

Teorem 3. Bir top piramidanın ətrafında təsvir edilə bilər, o zaman və yalnız onun təməli ətrafında bir dairə təsvir edilə bilər.

2. Piramidaya yazılmış top.

Teorem 4. Piramidanın yan üzləri bazaya eyni dərəcədə meyllidirsə, belə bir piramidaya bir top yazıla bilər.

Nəticə 2. Bir topu adi bir piramidaya yerləşdirə bilərsiniz.

L.S.Atanasyanın dərsliyindən topun piramida ilə birləşməsi üçün 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 məsələləri təklif etmək olar.

Topun kəsilmiş piramida ilə birləşməsi.

1. Müntəzəm kəsilmiş piramidanın ətrafına çəkilmiş top.

Teorem 5. Hər hansı bir müntəzəm kəsilmiş piramidanın ətrafında bir kürə təsvir edilə bilər. (Bu şərt kifayətdir, lakin zəruri deyil)

2. Müntəzəm kəsilmiş piramidaya yazılmış top.

Teorem 6. Bir top müntəzəm kəsilmiş piramidaya o zaman yazıla bilər ki, piramidanın apotemi əsasların apotemlərinin cəminə bərabər olsun.

L.S.Atanasyanın dərsliyində (No 636) topun kəsilmiş piramida ilə birləşməsi üçün yalnız bir problem var.

Topun yuvarlaq gövdələrlə birləşməsi.

Teorem 7. Sfera silindr, kəsilmiş konus (düz dairəvi) və ya konus ətrafında təsvir edilə bilər.

Teorem 8. Top (düz dairəvi) silindrin içinə yalnız və yalnız silindr bərabərtərəfli olduqda yazıla bilər.

Teorem 9. Topu hər hansı bir konusa (düz dairəvi) yerləşdirə bilərsiniz.

Teorem 10. Bir top kəsilmiş konusa (düz dairəvi) o halda yazıla bilər ki, onun generatoru əsasların radiuslarının cəminə bərabər olsun.

L.S.Atanasyanın dərsliyindən 642, 643, 644, 645, 646 nömrəli tapşırıqlar topun yuvarlaq gövdələrlə birləşməsi üçün təklif oluna bilər.

Bu mövzuda materialı daha uğurla öyrənmək üçün dərslərə şifahi tapşırıqları daxil etmək lazımdır: