Sin xassələri və qrafiki. Sinus (sin x) və kosinus (cos x) – xassələr, qrafiklər, düsturlar. Kompleks dəyişənlər vasitəsilə ifadələr
FUNKSİYA QRAFİKASI
Sinus funksiyası
- bir dəstə R bütün real ədədlər.
Çox funksiyalı dəyərlər— seqment [-1; 1], yəni. sinus funksiyası - məhduddur.
Qəribə funksiya: sin(−x)=−sin x bütün x ∈ üçün R.
Funksiya dövri xarakter daşıyır
sin(x+2π k) = sin x, burada k ∈ Z bütün x ∈ üçün R.
sin x = 0 x = π·k, k ∈ üçün Z.
sin x > 0(müsbət) bütün x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ üçün Z.
günah x< 0 (mənfi) bütün x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ üçün Z.
Kosinus funksiyası
Funksiya Domeni- bir dəstə R bütün real ədədlər.
Çox funksiyalı dəyərlər— seqment [-1; 1], yəni. kosinus funksiyası - məhduddur.
Hətta funksiyası: cos(−x)=cos x bütün x ∈ üçün R.
Funksiya dövri xarakter daşıyırən kiçik müsbət dövr 2π ilə:
cos(x+2π k) = cos x, harada k ∈ Z bütün x ∈ üçün R.
| cos x = 0 saat | |
| cos x > 0 hamı üçün |  |
| cos x< 0 hamı üçün |  |
| Funksiya artır−1-dən 1-ə qədər fasilələrlə: | |
| Funksiya azalır−1-dən 1-ə qədər fasilələrlə: | |
| sin x = 1 funksiyasının ən böyük qiyməti nöqtələrdə: |  |
| sin x = −1 funksiyasının ən kiçik qiyməti nöqtələrdə: |
Tangens funksiyası
Çox funksiyalı dəyərlər— bütün ədəd xətti, yəni. tangens - funksiya limitsiz.
Qəribə funksiya: tg(−x)=−tg x
Funksiyanın qrafiki OY oxuna görə simmetrikdir.
Funksiya dövri xarakter daşıyırən kiçik müsbət dövr π ilə, yəni. tg(x+π k) = tan x, k ∈ Z tərif sahəsindən bütün x üçün.
Kotangent funksiyası
Çox funksiyalı dəyərlər— bütün ədəd xətti, yəni. kotangent - funksiya limitsiz.
Qəribə funksiya: ctg(−x)=−ctg x tərif sahəsindən bütün x üçün.Funksiyanın qrafiki OY oxuna görə simmetrikdir.
Funksiya dövri xarakter daşıyırən kiçik müsbət dövr π ilə, yəni. cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z tərif sahəsindən bütün x üçün.
Arksinus funksiyası
Funksiya Domeni— seqment [-1; 1]
Çox funksiyalı dəyərlər- seqment -π /2 arcsin x π /2, yəni. arcsine - funksiya məhduddur.
Qəribə funksiya: arcsin(−x)=−arcsin x bütün x ∈ üçün R.
Funksiyanın qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir.
Bütün tərif sahəsi boyunca.
Qövs kosinus funksiyası
Funksiya Domeni— seqment [-1; 1]
Çox funksiyalı dəyərlər— seqment 0 arccos x π, yəni. arkkosin - funksiya məhduddur.
Funksiya artır bütün tərif sahəsi üzərində.
Arktangens funksiyası
Funksiya Domeni- bir dəstə R bütün real ədədlər.
Çox funksiyalı dəyərlər— seqment 0 π, yəni. arktangent - funksiya məhduddur.
Qəribə funksiya: arctg(−x)=−arctg x bütün x ∈ üçün R.
Funksiyanın qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir.
Funksiya artır bütün tərif sahəsi üzərində.
Qövs tangensi funksiyası
Funksiya Domeni- bir dəstə R bütün real ədədlər.
Çox funksiyalı dəyərlər— seqment 0 π, yəni. arkkotangent - funksiya məhduddur.
Funksiya nə cüt, nə də tək deyil.
Funksiyanın qrafiki nə koordinatların başlanğıcına, nə də Oy oxuna görə asimmetrikdir.
Funksiya azalır bütün tərif sahəsi üzərində.
Bu dərsdə y = sin x funksiyasını, onun əsas xassələrini və qrafikini ətraflı nəzərdən keçirəcəyik. Dərsin əvvəlində koordinat çevrəsində y = sin t triqonometrik funksiyasının tərifini verəcəyik və funksiyanın çevrə və xətt üzərində qrafikini nəzərdən keçirəcəyik. Qrafikdə bu funksiyanın dövriliyini göstərək və funksiyanın əsas xassələrini nəzərdən keçirək. Dərsin sonunda funksiyanın qrafikindən və onun xassələrindən istifadə etməklə bir neçə sadə məsələni həll edəcəyik.
Mövzu: Triqonometrik funksiyalar
Dərs: y=sinx funksiyası, onun əsas xassələri və qrafiki
Bir funksiyanı nəzərdən keçirərkən, hər bir arqument dəyərini bir funksiya dəyəri ilə əlaqələndirmək vacibdir. Bu yazışma qanunu və funksiya adlanır.
üçün yazışma qanununu müəyyən edək.
İstənilən real ədəd vahid çevrənin tək nöqtəsinə uyğun gəlir.Nöqtənin vahid ordinatı var ki, bu da ədədin sinusu adlanır (şək. 1).
Hər bir arqument dəyəri bir funksiya dəyəri ilə əlaqələndirilir.
Aşkar xüsusiyyətlər sinusun tərifindən irəli gəlir.
Şəkil bunu göstərir 
çünki vahid çevrəsindəki nöqtənin ordinatıdır.
Funksiyanın qrafikini nəzərdən keçirək. Arqumentin həndəsi şərhini xatırlayaq. Arqument radyanla ölçülən mərkəzi bucaqdır. Ox boyunca həqiqi ədədləri və ya bucaqları radyanla, ox boyunca funksiyanın müvafiq dəyərlərini çəkəcəyik.
Məsələn, vahid dairədəki bucaq qrafikdəki nöqtəyə uyğun gəlir (şək. 2).
Biz sahədə funksiyanın qrafikini əldə etdik.Lakin sinusun dövrünü bilməklə funksiyanın qrafikini bütün təyinetmə oblastı üzərində təsvir edə bilərik (şək. 3).
Funksiyanın əsas dövrü o deməkdir ki, qrafiki seqment üzrə əldə etmək və sonra bütün tərif sahəsi boyunca davam etdirmək olar.
Funksiyanın xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin:
1) Tərifin əhatə dairəsi:
2) Dəyərlər diapazonu: 
3) Tək funksiya:
4) Ən kiçik müsbət dövr:
5) Qrafikin absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları: 
6) Qrafikin ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatları:
7) Funksiyanın müsbət qiymətlər aldığı intervallar:
8) Funksiyanın mənfi qiymətlər aldığı intervallar:
9) Artan intervallar:
10) azalan intervallar:
11) Minimum ballar: 
12) Minimum funksiyalar:
13) Maksimum xallar: 
14) Maksimum funksiyalar:
Biz funksiyanın xassələrinə və onun qrafikinə baxdıq. Problemlərin həlli zamanı xassələrdən təkrar istifadə olunacaq.
Biblioqrafiya
1. Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Ümumi təhsil müəssisələri üçün dərslik (profil səviyyəsi), red. A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Təhsil müəssisələri üçün problem kitabı (profil səviyyəsi), red. A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., İvaşev-Musatov O.S., Şvartsburd S.İ. 10-cu sinif üçün cəbr və riyazi analiz (riyaziyyatı dərindən öyrənən məktəb və sinif şagirdləri üçün dərslik).- M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Qalitski M.L., Moşkoviç M.M., Şvartsburd S.İ. Cəbr və riyazi analizin dərindən öyrənilməsi.-M.: Təhsil, 1997.
5. Ali məktəblərə qəbul olan abituriyentlər üçün riyaziyyatdan məsələlər toplusu (red. M.İ.Skanavi).- M.: Ali məktəb, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cəbri simulyator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Qoldman A.M., Denisov D.V. Cəbr və təhlilin prinsipləri üzrə problemlər (ümumtəhsil müəssisələrinin 10-11-ci sinif şagirdləri üçün dərs vəsaiti).- M.: Prosveşchenie, 2003.
8. Karp A.P. Cəbr və təhlil prinsipləri üzrə problemlər toplusu: dərslik. 10-11-ci siniflər üçün müavinət. dərinliyi ilə oxudu Riyaziyyat.-M.: Təhsil, 2006.
Ev tapşırığı
Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Təhsil müəssisələri üçün problem kitabı (profil səviyyəsi), red.
A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Əlavə veb resursları
3. İmtahana hazırlıq üçün təhsil portalı ().
Geri irəli
Diqqət! Slayd önizləmələri yalnız məlumat məqsədi daşıyır və təqdimatın bütün xüsusiyyətlərini əks etdirməyə bilər. Bu işlə maraqlanırsınızsa, tam versiyanı yükləyin.
Dəmir heç bir fayda tapmadan paslanır,
dayanan su soyuqda çürüyür və ya donur,
və insanın zehni özünə heç bir fayda tapa bilməyib zəifləyir.
Leonardo da Vinci
İstifadə olunan texnologiyalar: problem əsaslı öyrənmə, tənqidi düşüncə, kommunikativ ünsiyyət.
Məqsədlər:
- Öyrənməyə bilişsel marağın inkişafı.
- y = sin x funksiyasının xassələrinin öyrənilməsi.
- Öyrənilmiş nəzəri material əsasında y = sin x funksiyasının qrafikinin qurulması üzrə praktiki bacarıqların formalaşdırılması.
Tapşırıqlar:
1. y = sin x funksiyasının xassələri haqqında mövcud bilik potensialından konkret situasiyalarda istifadə edin.
2. y = sin x funksiyasının analitik və həndəsi modelləri arasında əlaqənin şüurlu qurulmasını tətbiq edin.
Təşəbbüs, müəyyən bir istək və həll tapmağa maraq inkişaf etdirmək; qərar qəbul etmək, orada dayanmamaq və öz nöqteyi-nəzərini müdafiə etmək bacarığı.
Şagirdlərdə idrak fəaliyyətini, məsuliyyət hissini, bir-birinə hörmət, qarşılıqlı anlaşma, qarşılıqlı dəstək və özünə inamı inkişaf etdirmək; ünsiyyət mədəniyyəti.
Dərslər zamanı
Mərhələ 1. Əsas bilikləri yeniləmək, yeni materialı öyrənməyə həvəsləndirmək
"Dərsə girmək."
Lövhədə 3 ifadə yazılmışdır:
- sin t = a triqonometrik tənliyinin həmişə həlli var.
- Tək funksiyanın qrafiki Oy oxu ətrafında simmetriya çevrilməsindən istifadə etməklə qurula bilər.
- Bir əsas yarım dalğadan istifadə edərək triqonometrik funksiyanın qrafiki çəkilə bilər.
Şagirdlər cüt-cüt müzakirə edirlər: ifadələr doğrudurmu? (1 dəqiqə). İlkin müzakirənin nəticələri (bəli, yox) daha sonra "Əvvəl" sütununda cədvələ daxil edilir.
Müəllim dərsin məqsəd və vəzifələrini müəyyən edir.
2. Biliklərin yenilənməsi (triqonometrik dairənin modelində cəbhədən).
Biz artıq s = sin t funksiyası ilə tanış olmuşuq.
1) Dəyişən t hansı dəyərləri qəbul edə bilər. Bu funksiyanın əhatə dairəsi nədir?
2) sin t ifadəsinin qiymətləri hansı intervaldadır? s = sin t funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapın.
3) sin t = 0 tənliyini həll edin.
4) Birinci rüb boyunca hərəkət edən nöqtənin ordinatı ilə nə baş verir? (ordinata artır). İkinci rüb boyunca hərəkət edən nöqtənin ordinatı ilə nə baş verir? (ordinata tədricən azalır). Bunun funksiyanın monotonluğu ilə necə əlaqəsi var? (s = sin t funksiyası seqmentdə artır və seqmentdə azalır).
5) s = sin t funksiyasını bizə tanış olan y = sin x şəklində yazaq (onu adi xOy koordinat sistemində quracağıq) və bu funksiyanın qiymətlərinin cədvəlini tərtib edək.
| X | 0 | ||||||
| saat | 0 | 1 | 0 |
Mərhələ 2. Qavrama, anlama, ilkin konsolidasiya, qeyri-ixtiyari yadda saxlama
Mərhələ 4. Biliklərin və fəaliyyət metodlarının ilkin sistemləşdirilməsi, onların köçürülməsi və yeni situasiyalarda tətbiqi
6. № 10.18 (b,c)
Mərhələ 5. Yekun nəzarət, düzəliş, qiymətləndirmə və özünüqiymətləndirmə
7. İfadələrə qayıdırıq (dərsin əvvəli), y = sin x triqonometrik funksiyasının xassələrindən istifadə edərək müzakirə edirik və cədvəldə “Sonra” sütununu doldururuq.
8. D/z: bənd 10, № 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)
Sinus və kosinusun həndəsi tərifi
\(\sin \alpha = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)
α - radyanla ifadə olunan bucaq.
Sinus (sin α) düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağının triqonometrik funksiyasıdır, əks ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabərdir |BC| hipotenuzanın uzunluğuna |AB|.
Kosinus (cos α) düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağının triqonometrik funksiyasıdır, bitişik ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabər |AC| hipotenuzanın uzunluğuna |AB|.
Triqonometrik tərif
Yuxarıdakı düsturlardan istifadə edərək, iti bucağın sinusunu və kosinusunu tapa bilərsiniz. Ancaq ixtiyari ölçülü bir bucağın sinusunu və kosinusunu hesablamağı öyrənməlisiniz. Düzbucaqlı üçbucaq belə bir fürsət vermir (məsələn, küt bucaq ola bilməz); Buna görə də, bu düsturları xüsusi hal kimi ehtiva edən sinus və kosinusun daha ümumi tərifinə ehtiyacımız var.
Triqonometrik dairə köməyə gəlir. Bəzi bucaq verilsin; triqonometrik çevrənin eyniadlı nöqtəsinə uyğun gəlir.
düyü. 2. Sinus və kosinusun triqonometrik tərifi
Bucağın kosinusu nöqtənin absisidir. Bucağın sinusu nöqtənin ordinatıdır.
Şəkildə. 2, bucaq iti qəbul edilir və bu tərifin ümumi həndəsi təriflə üst-üstə düşdüyünü başa düşmək asandır. Əslində, vahid hipotenuzası O və iti bucağı olan düzbucaqlı üçbucaq görürük. Bu üçbucağın bitişik ayağı cos (şəkil 1 ilə müqayisə edin) və eyni zamanda nöqtənin absisidir; qarşı tərəf sindir (şəkil 1-də olduğu kimi) və eyni zamanda nöqtənin ordinatıdır.
Amma indi biz artıq birinci rüblə bağlı deyilik və bu tərifi istənilən bucaqla genişləndirmək imkanımız var. Şəkildə. Şəkil 3 ikinci, üçüncü və dördüncü rüblərdə bucağın sinusunun və kosinusunun nə olduğunu göstərir.
düyü. 3. II, III və IV kvartallarda sinus və kosinus
Sinus və kosinusun cədvəl dəyərləri
Sıfır bucaq \(\BÖYÜK 0^(\circ ) \)
0 nöqtəsinin absisi 1-ə, 0 nöqtəsinin ordinatı 0-a bərabərdir. Beləliklə,
cos 0 = 1 sin 0 = 0
Şəkil 4. Sıfır bucaq
Bucaq \(\BÖYÜK \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)
Biz vahid hipotenuza və 30° iti bucağa malik düzbucaqlı üçbucağı görürük. Bildiyiniz kimi, 30° bucağın qarşısında uzanan ayaq hipotenuza 1-in yarısına bərabərdir; başqa sözlə, şaquli ayaq 1/2-ə bərabərdir və buna görə də
\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]
Pifaqor teoremindən istifadə edərək üfüqi ayağı tapırıq (və ya eynidir, əsas triqonometrik eyniliyi istifadə edərək kosinusu tapırıq):
\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \right)^(2) ) =\frac(\sqrt(3) )(2 ) \]
1 Bu niyə baş verir? Hündürlüyü boyunca tərəfi 2 olan bərabərtərəfli üçbucağı kəsin! O, hipotenuzası 2, iti bucağı 30° və daha qısa ayağı 1 olan iki düzbucaqlı üçbucağa bölünəcək.
Şəkil 5. Bucaq π/6
Bucaq \(\BÖYÜK \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)
Bu halda düzbucaqlı üçbucaq ikitərəflidir; 45° bucağın sinüsü və kosinusu bir-birinə bərabərdir. Hələlik onları x ilə işarə edək. Bizdə:
\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]
haradan \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). Beləliklə,
\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]
Şəkil 5. Bucaq π/4
Sinus və kosinusun xassələri
Qəbul edilmiş qeydlər
\(\sin^2 x \ekviv (\sin x)^2; \)\(\dörd \sin^3 x \ekviv (\sin x)^3; \)\(\dörd \sin^n x \ekviv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \ekviv \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \ekviv \dfrac1(\sin x) \ekviv \cosec x \).
\(\cos^2 x \ekviv (\cos x)^2; \)\(\dörd \cos^3 x \ekviv (\cos x)^3; \)\(\dörd \cos^n x \ekviv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \ekviv \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \ekviv \dfrac1(\cos x) \ekviv \san x \).
Dövrilik
y = sin x və y = cos x funksiyaları 2π periyodu ilə dövridir.
\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \dörd \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)
Paritet
Sinus funksiyası qəribədir. Kosinus funksiyası cütdür.
\(\sin(-x) = - \sin x; \dörd \)\(\ cos(-x) = \cos x \)
Tərif sahələri və dəyərlər, ekstremal, artım, azalma
Sinus və kosinusun əsas xüsusiyyətləri cədvəldə verilmişdir ( n- bütöv).
| \(\ kiçik< x < \) | \(\kiçik -\pi + 2\pi n \) \(\kiçik< x < \) \(\small 2\pi n \) | |
| Azalan | \(\kiçik \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)\(\ kiçik< x < \) \(\kiçik \dfrac(3\pi)2 + 2\pi n \) | \(\kiçik 2\pi n \) \(\kiçik< x < \) \(\pi + \small 2\pi n \) |
| Maksimum, \(\kiçik x = \) \(\kiçik \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\kiçik x = 2\pi n\) | |
| Minimum, \(\kiçik x = \) \(\kiçik -\dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\kiçik x = \) \(\kiçik \pi + 2\pi n \) | |
| Sıfırlar, \(\kiçik x = \pi n\) | \(\kiçik x = \dfrac(\pi)2 + \pi n \) | |
| Y oxunun kəsişmə nöqtələri, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Sinus və kosinusu ehtiva edən əsas düsturlar
Kvadratların cəmi
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
Cəm və fərq üçün sinus və kosinus düsturları
\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)
\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\ cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \sağ) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \sağ) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)
Sinusların və kosinusların hasilinin düsturları
\(\sin x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Böyük [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\Böyük ]) \)
\(\sin x \sin y = \) \(\dfrac12 (\Böyük [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\Böyük ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Böyük [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\Böyük ]) \)
\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 (\Böyük [) 1 - \cos 2x (\Böyük ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\Böyük [) 1 + \cos 2x (\Böyük ]) \)
Cəm və fərq düsturları
\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)
Kosinus vasitəsilə sinus ifadəsi
\(\sin x = \cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \sağ) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \sağ) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \sağ) \)\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).
Kosinusu sinus vasitəsilə ifadə etmək
\(\cos x = \sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \sağ) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \sağ) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \sağ) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).
Tangens vasitəsilə ifadə
\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).
At \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
At \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \)
:
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
Sinuslar və kosinuslar, tangenslər və kotangenslər cədvəli
Bu cədvəl arqumentin müəyyən dəyərləri üçün sinus və kosinusların dəyərlərini göstərir.
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt="Sinuslar və kosinuslar cədvəli" title="Sinuslar və kosinuslar cədvəli" ]!}
Kompleks dəyişənlər vasitəsilə ifadələr
\(i^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)
Eyler düsturu
\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)
Hiperbolik funksiyalar vasitəsilə ifadələr
\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)
Törəmələri
\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . Düsturların alınması > > >
n-ci dərəcəli törəmələr:
\(\left(\sin x \right)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \sağ) \)\(\left(\cos x \right)^((n)) = \cos\left(x + n\dfrac(\pi)2 \sağ) \).
İnteqrallar
\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
Həmçinin, qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəli >>> bölməsinə baxın
Serialın genişləndirilməsi
\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \)
!} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \)
!} \(\( - \infty< x < \infty \} \)
Sekant, kosekant
\(\san x = \dfrac1( \cos x ) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x ) \)
Tərs funksiyalar
Sinus və kosinusun tərs funksiyaları müvafiq olaraq arksinüs və arkkosindir.
Arksin, arksin
\(y = \arcsin x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \sağ\) \)
\(\sin(\arcsin x) = x\)
\(\arcsin(\sin x) = x\) \(\sol\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \sağ\) \)
Arkkosin, arkkos
\(y = \arccos x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x\) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)
İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası, "Lan", 2009.
Hesablamaları yerinə yetirmək üçün ActiveX nəzarətlərini aktivləşdirməlisiniz!
>>Riyaziyyat: y = sin x, y = cos x funksiyaları, onların xassələri və qrafikləri
y = sin x, y = cos x funksiyaları, onların xassələri və qrafikləri
Bu bölmədə y = sin x, y = cos x funksiyalarının bəzi xassələrini müzakirə edəcəyik və onların qrafiklərini quracağıq.
1. y = sin X funksiyası.
Yuxarıda, § 20-də biz hər bir t nömrəsini cos t sayı ilə əlaqələndirməyə imkan verən bir qayda tərtib etdik, yəni. y = sin t funksiyasını xarakterizə etmişdir. Onun bəzi xüsusiyyətlərini qeyd edək.
u = sin t funksiyasının xassələri.
Tərif sahəsi real ədədlərin K çoxluğudur.
Buradan belə nəticə çıxır ki, istənilən 2 rəqəmi ədəd çevrəsində dəqiq müəyyən edilmiş ordinata malik olan M(1) nöqtəsinə uyğundur; bu ordinat cos t.
u = sin t tək funksiyadır.
Bu ondan irəli gəlir ki, § 19-da sübut olunduğu kimi, istənilən t üçün bərabərlik
Bu o deməkdir ki, u = sin t funksiyasının qrafiki hər hansı tək funksiyanın qrafiki kimi tOi düzbucaqlı koordinat sistemində başlanğıca görə simmetrikdir.
u = sin t funksiyası intervalda artır 
Buradan belə nəticə çıxır ki, nöqtə ədəd çevrəsinin birinci rübü boyunca hərəkət etdikdə ordinat tədricən artır (0-dan 1-ə qədər – şək. 115-ə bax), nöqtə isə ədəd dairəsinin ikinci rübü boyunca hərəkət etdikdə isə ordinat ordinat tədricən azalır (1-dən 0-a - Şəkil 116-a baxın).
u = sint funksiyası həm aşağıda, həm də yuxarıda məhduddur. Bu ondan irəli gəlir ki, § 19-da gördüyümüz kimi, istənilən t üçün bərabərsizlik
(funksiya formanın istənilən nöqtəsində bu dəyərə çatır 
(funksiya formanın istənilən nöqtəsində bu dəyərə çatır
Alınan xassələrdən istifadə edərək bizi maraqlandıran funksiyanın qrafikini quracağıq. Amma (diqqət!) u - sin t əvəzinə y = sin x yazacağıq (axı biz u = f(t) yox, y = f(x) yazmağa daha çox öyrəşmişik). Bu o deməkdir ki, biz adi xOy koordinat sistemində (tOy deyil) qrafik quracağıq.
y - sin x funksiyasının qiymətlərinin cədvəlini yaradaq:
Şərh.
“Sinus” termininin mənşəyinə dair versiyalardan birini verək. Latın dilində sinus əyilmə (yay ipi) deməkdir.
Qurulmuş qrafik müəyyən dərəcədə bu terminologiyanı əsaslandırır. 
y = sin x funksiyasının qrafiki kimi xidmət edən xətt sinus dalğası adlanır. Şəkildə göstərilən sinusoidin həmin hissəsi. 118 və ya 119 sinus dalğası adlanır və sinus dalğasının Şəkil 1-də göstərilən hissəsi. 117, sinus dalğasının yarım dalğası və ya qövsü adlanır.
2. y = cos x funksiyası.
y = cos x funksiyasının tədqiqi təxminən yuxarıda y = sin x funksiyası üçün istifadə edilən eyni sxemə əsasən aparıla bilər. Amma hədəfə aparan yolu daha tez seçəcəyik. Birincisi, biz özlüyündə vacib olan iki düsturu sübut edəcəyik (bunu orta məktəbdə görəcəksiniz), lakin hələlik məqsədlərimiz üçün yalnız köməkçi əhəmiyyətə malikdir.
t-nin istənilən dəyəri üçün aşağıdakı bərabərliklər etibarlıdır:
Sübut. t ədədi n ədədi çevrənin M nöqtəsinə, * + sayı isə P nöqtəsinə uyğun gəlsin (şək. 124; sadəlik üçün birinci rübdə M nöqtəsini götürdük). AM və BP qövsləri bərabərdir, OKM və OLBP sağ üçbucaqları isə müvafiq olaraq bərabərdir. Bu O K = Ob, MK = Pb deməkdir. Bu bərabərliklərdən və OCM və OBP üçbucaqlarının koordinat sistemindəki yerindən iki nəticə çıxarırıq:
1) P nöqtəsinin həm böyüklüyünə, həm də işarəsinə görə ordinatı M nöqtəsinin absisi ilə üst-üstə düşür; o deməkdir ki
2) P nöqtəsinin absisi mütləq qiymətinə görə M nöqtəsinin ordinatına bərabərdir, lakin işarəsinə görə ondan fərqlənir; o deməkdir ki
Təxminən eyni əsaslandırma M nöqtəsinin birinci rübə aid olmadığı hallarda həyata keçirilir.
Düsturdan istifadə edək 
(bu, yuxarıda sübut olunmuş düsturdur, yalnız t dəyişəninin yerinə x dəyişənindən istifadə edirik). Bu formula bizə nə verir? Bu funksiyaları təsdiq etməyə imkan verir
eynidir, yəni onların qrafikləri üst-üstə düşür.
Gəlin funksiyanın qrafikini çəkək 
Bunun üçün başlanğıc nöqtəsi olan köməkçi koordinat sisteminə keçək (nöqtəli xətt şək. 125-də çəkilmişdir). y = sin x funksiyasını yeni koordinat sisteminə bağlayaq - bu funksiyanın qrafiki olacaq. 
(Şəkil 125), yəni. y - cos x funksiyasının qrafiki. O, y = sin x funksiyasının qrafiki kimi, sinus dalğası adlanır (bu olduqca təbiidir).
y = cos x funksiyasının xassələri.
y = cos x cüt funksiyadır.
Tikinti mərhələləri Şəkildə göstərilmişdir. 126:
1) y = cos x funksiyasının qrafikini qurun (daha dəqiq desək, bir yarımdalğalı);
2) qurulmuş qrafiki x oxundan 0,5 əmsalı ilə uzatmaqla tələb olunan qrafikin bir yarım dalğasını alırıq;
3) yaranan yarımdalğadan istifadə edərək y = 0,5 cos x funksiyasının bütün qrafikini qururuq.
Yüklənir...