Üç qarşılıqlı perpendikulyar müstəvilər sistemi. Üç qarşılıqlı perpendikulyar proyeksiya müstəvisinə proyeksiya Üç qarşılıqlı perpendikulyar müstəvi

Nöqtə mövqeyi	Vizual şəkil	Kompleks rəsm	Xarakterik əlamətlər
 1 müstəvisinə aiddir			A 1 – X oxunun altında, A 2 - X oxunda
 1 müstəvisinə aiddir			B 1 - X oxunun üstündə, B 2 – X oxunda
 2 müstəvisinə aiddir			C 2 - X oxunun üstündə, C 1 – X oxunda
 2 müstəvisinə aiddir			D 1 - X oxunda, D 2 - X oxunun altında
X oxuna aiddir			E 1 E 2 ilə üst-üstə düşür və X oxuna aiddir

Tapşırıq №1.

A nöqtəsinin mürəkkəb rəsmini qurun, əgər:

nöqtə ikinci rübdə yerləşir və  1 və  2 müstəvilərindən bərabər məsafədə yerləşir.

nöqtə üçüncü rübdə yerləşir və onun  1 müstəvisinə olan məsafəsi  2 müstəvisindən iki dəfə böyükdür.

nöqtə IV rübdə yerləşir və onun  1 müstəvisinə olan məsafəsi  2 müstəvisindən böyükdür.

Tapşırıq № 2.

Nöqtələrin hansı kvartallarda yerləşdiyini müəyyənləşdirin (şək. 2.21).

Tapşırıq №3.

Rüblərdəki nöqtələrin vizual təsvirini qurun:

a) A – üçüncü rübdə ümumi mövqe;

b) B – IV rübdə ümumi vəzifə;

c) C – ikinci rübdə, əgər onun  1-dən məsafəsi 0-dırsa;

d) D – birinci rübdə, əgər onun  2-dən məsafəsi 0 olarsa.

Tapşırıq № 4.

A, B, C, D nöqtələrinin mürəkkəb rəsmini qurun (3-cü tapşırığa baxın).

§ 5. Üç qarşılıqlı perpendikulyar müstəvilər sistemi

Təcrübədə, tədqiqat və görüntüləmə, iki qarşılıqlı perpendikulyar müstəvidən ibarət bir sistem həmişə birmənalı həll imkanını təmin etmir. Beləliklə, məsələn, A nöqtəsini X oxu boyunca hərəkət etdirsəniz, onun təsviri dəyişməyəcək.

Nöqtənin fəzadakı mövqeyi (şək. 2.22) dəyişmişdir (şək. 2.24), lakin kompleks çertyojdakı təsvirlər dəyişməz qalmışdır (şək. 2.23 və şək. 2.25).

Bu problemi həll etmək üçün üç qarşılıqlı perpendikulyar müstəvilər sistemi tətbiq olunur, çünki rəsmlər tərtib edərkən, məsələn, maşınlar və onların hissələri iki deyil, daha çox şəkil tələb olunur. Bu əsasda bəzi konstruksiyalarda məsələləri həll edərkən sistemə  1,  2 və digər proyeksiya müstəvilərini daxil etmək lazımdır.

Üç qarşılıqlı perpendikulyar müstəvini nəzərdən keçirək 1 ,  2 ,  3 ( düyü. 2.26). Şaquli müstəvi 3 proyeksiyanın profil müstəvisi adlanır. Bir-biri ilə kəsişən təyyarələr 1 ,  2 ,  3 proyeksiya oxlarını əmələ gətirir, fəza isə 8 oktanta bölünür.  1  2 = x; -x  1  3 = y; -y  2  3 = z; -z 0 – proyeksiya oxlarının kəsişmə nöqtəsi.

Bu təyyarələr bütün məkanı oktantlar adlanan VIII hissələrə bölürlər (latınca okto səkkizdən). Təyyarələrin qalınlığı yoxdur, qeyri-şəffaf və sonsuzdur. Müşahidəçi birinci rübdə ( 1,  2 sistemlər üçün) və ya birinci oktantda ( 1,  2,  3 sistemlər üçün) proyeksiya müstəvilərindən sonsuz məsafədə yerləşir.

Tapşırıq № 4.

Tapşırıq №3.

Tapşırıq № 2.

Tapşırıq №1.

Kompleks rəsmin formalaşması (diaqram)

Təyyarələrin məkan sistemindən əldə edilən şəkillərdən istifadənin rahatlığı üçün planar birinə keçək.

Bunun üçün:

1. p 1 müstəvisini X oxu ətrafında p 2 müstəvisi ilə hizalanana qədər fırlanma üsulunu tətbiq edin (şək. 2.7).

2. p 1 və p 2 təyyarələrini bir rəsm müstəvisində birləşdirin (Şəkil 2.8)

düyü. 2.7	düyü. 2.8

A 1 və A 2 proyeksiyaları X oxuna perpendikulyar eyni birləşmə xəttində yerləşir.Bu xətt proyeksiya birləşmə xətti adlanır (şəkil 2.9).

Proyeksiya müstəvisi fəzada sonsuz hesab edildiyi üçün p 1, p 2 müstəvisinin sərhədlərini təsvir etməyə ehtiyac yoxdur (şək. 2.10).

Təyyarələrin p 1 və p 2 birləşməsi nəticəsində kompleks bir rəsm və ya diaqram əldə edilir (Fransız epure rəsmindən), yəni. p 1 və p 2 sistemində və ya iki proyeksiya müstəvisi sistemində rəsm. Vizual təsviri diaqramla əvəz edərək, proyeksiya müstəvilərinin və nöqtələrinin yerləşdiyi məkan şəklini itirdik. Lakin diaqramlar tikintinin əhəmiyyətli sadəliyi ilə dəqiqliyi və ölçülməsi asan təsvirləri təmin edir. Bir diaqramdan məkan şəklini təsəvvür etmək üçün təxəyyül işi tələb olunur: məsələn, Şek. 2.11 Şəkildə göstərilən şəkli təsəvvür etməlisiniz. 2.12.

A 1 və A 2 proyeksiyaları boyunca kompleks rəsmdə proyeksiya oxu varsa, siz p 1 və p 2 ilə müqayisədə A nöqtəsinin mövqeyini təyin edə bilərsiniz (bax Şəkil 2.5 və 2.6). Şəklin müqayisəsi. 2.11 və 2.12-də müəyyən etmək asandır ki, A 2 A X seqmenti A nöqtəsindən p 1 müstəvisinə qədər olan məsafədir və A 1 A X seqmenti A nöqtəsindən p 2-yə qədər olan məsafədir. A 2-nin proyeksiya oxundan yuxarıda yerləşməsi o deməkdir ki, A nöqtəsi p 1 müstəvisindən yuxarıda yerləşir. Diaqramdakı A 1 proyeksiya oxunun altında yerləşirsə, A nöqtəsi p 2 müstəvisinin qarşısındadır. Beləliklə, həndəsi təsvirin üfüqi proyeksiyası proyeksiyaların p 2 frontal müstəvisinə nisbətən mövqeyini və həndəsi təsvirin frontal proyeksiyası - proyeksiyaların üfüqi müstəvisinə nisbətən p 1 .

düyü. 2.11	düyü. 2.12

§ 4. p 1 və p 2 sistemində nöqtənin mövqeyinin xüsusiyyətləri

Fəzada müəyyən edilmiş nöqtə proyeksiya müstəvilərinə nisbətən müxtəlif mövqelərə malik ola bilər (şək. 2.13).

Birinci rübün məkanında bir nöqtənin yerləşməsi üçün mümkün variantları nəzərdən keçirək:

1. Bir nöqtə birinci rübün fəzasında X oxundan və p 1 p 2 müstəvilərindən istənilən məsafədə yerləşir, məsələn, A, B nöqtələri (belə nöqtələr ümumi mövqe nöqtələri adlanır) (şək. 2.14 və şək. 2.15).

3. K nöqtəsi eyni vaxtda həm p 1, həm də p 2 müstəvisinə aiddir, yəni X oxuna aiddir (şək. 2.18):

Yuxarıda göstərilənlərə əsaslanaraq, aşağıdakı nəticəyə gələ bilərik:

1. Əgər nöqtə birinci rübün fəzasında yerləşirsə, onun proyeksiyası A 2 X oxundan yuxarıda, A 1 isə X oxundan aşağıda yerləşir; A 2 A 1 – X oxuna eyni perpendikulyar (birləşdirmə xətti) üzərində uzanır (şək. 2.14).

2. Əgər nöqtə p 2 müstəvisinə aiddirsə, onda onun C 2 C proyeksiyası (C nöqtəsinin özü ilə üst-üstə düşür) və C 1 X proyeksiyası (X oxuna aiddir) C X: C 1 C X ilə üst-üstə düşür.

3. Əgər nöqtə p 1 müstəvisinə aiddirsə, onda onun bu müstəviyə D 1 proyeksiyası D D 1 nöqtəsinin özü ilə, D 2 proyeksiyası isə X oxuna aiddir və D X: D 2 D X ilə üst-üstə düşür.

4. Əgər nöqtə X oxuna aiddirsə, onun bütün proyeksiyaları üst-üstə düşür və X oxuna aiddir: K K 1 K 2 K X.

Məşq:

1. Birinci rübün fəzasında xalların mövqeyini xarakterizə edin (şək. 2.19).

2. Təsvirə uyğun olaraq vizual təsviri və nöqtənin hərtərəfli rəsmini qurun:

a) C nöqtəsi birinci rübdə yerləşir və p 1 və p 2 müstəvilərindən bərabər məsafədə yerləşir.

b) M nöqtəsi p 2 müstəvisinə aiddir.

c) K nöqtəsi birinci rübdə yerləşir və onun p 1-ə olan məsafəsi p 2 müstəvisindən iki dəfə böyükdür.

d) L nöqtəsi X oxuna aiddir.

3. Təsvirə uyğun olaraq nöqtənin mürəkkəb rəsmini qurun:

a) P nöqtəsi birinci rübdə yerləşir və onun p 2 müstəvisindən məsafəsi p 1 müstəvisindən böyükdür.

b) A nöqtəsi birinci rübdə yerləşir və onun p 1 müstəvisinə olan məsafəsi p 2 müstəvisindən 3 dəfə böyükdür.

c) B nöqtəsi birinci rübdə yerləşir və onun müstəviyə olan məsafəsi p 1 =0-dır.

4. Nöqtələrin p 1 və p 2 proyeksiya müstəvilərinə və bir-birinə nisbətən mövqeyini müqayisə edin. Müqayisə xüsusiyyətlərə və ya xüsusiyyətlərə əsasən aparılır. Nöqtələr üçün bu xüsusiyyətlər p 1 təyyarələrə olan məsafədir; p 2 (Şəkil 2.20).

Bir nöqtənin şəkillərini qurarkən yuxarıdakı nəzəriyyənin tətbiqi müxtəlif yollarla həyata keçirilə bilər:

• sözlər (şifahi);
• qrafik (rəsmlər);
• vizual görüntü (həcmli);
• planar (mürəkkəb rəsm).

Məlumatı bir üsuldan digərinə tərcümə etmək qabiliyyəti məkan təfəkkürünün inkişafına kömək edir, yəni. şifahidən vizual (həcmli), sonra planar və əksinə.

Buna misallarla baxaq (Cədvəl 2.1 və Cədvəl 2.2).

Cədvəl 2.1

Nöqtə şəklinin nümunəsi
iki proyeksiya müstəvisi sistemində

Dörddəbir yer	Vizual görüntü	Kompleks rəsm	Xarakterik əlamətlər
I			A nöqtəsinin X oxunun üstündəki frontal proyeksiyası, A nöqtəsinin X oxundan aşağıda horizontal proyeksiyası
II			X oxundan yuxarı B nöqtəsinin frontal və üfüqi proyeksiyaları
III			C nöqtəsinin X oxundan aşağıda frontal proyeksiyası, C nöqtəsinin X oxundan yuxarı üfüqi proyeksiyası
IV			X oxunun altındakı D nöqtəsinin frontal və üfüqi proyeksiyaları

Cədvəl 2.2

p 1 və p 2 müstəvilərinə aid nöqtələrin təsvirinə nümunə

Nöqtə mövqeyi	Vizual görüntü	Kompleks rəsm	Xarakterik əlamətlər
A nöqtəsi p 1 müstəvisinə aiddir			A 1 – X oxunun altında, A 2 – X oxunda
B nöqtəsi p 1 müstəvisinə aiddir			B 1 – X oxunun üstündə, B 2 – X oxunda
C nöqtəsi p 2 müstəvisinə aiddir			C 2 – X oxunun üstündə, C 1 – X oxunda
D nöqtəsi p 2 müstəvisinə aiddir			D 1 – X oxunda, D 2 – X oxunun altında
E nöqtəsi X oxuna aiddir			E 1 E 2 ilə üst-üstə düşür və X oxuna aiddir

A nöqtəsinin mürəkkəb rəsmini qurun, əgər:

1. Nöqtə II rübdə yerləşir və p 1 və p 2 müstəvilərindən bərabər məsafədə yerləşir.

2. Nöqtə üçüncü rübdə yerləşir və onun p 1 müstəvisinə olan məsafəsi p 2 müstəvisindən iki dəfə böyükdür.

3. Nöqtə IV kvartalda yerləşir və onun p1 müstəvisinə olan məsafəsi p2 müstəvisindən böyükdür.

Nöqtələrin hansı kvartallarda yerləşdiyini müəyyənləşdirin (şək. 2.21).

1. Kvartallardakı nöqtələrin vizual təsvirini qurun:

a) A – üçüncü rübdə ümumi mövqe;

b) B – IV rübdə ümumi vəzifə;

c) C – ikinci rübdə onun p 1-dən məsafəsi 0 olarsa;

d) D – birinci rübdə onun p 2-dən məsafəsi 0 olarsa.

A, B, C, D nöqtələrinin mürəkkəb rəsmini qurun (3-cü tapşırığa baxın).

Təcrübədə, tədqiqat və görüntüləmə, iki qarşılıqlı perpendikulyar müstəvidən ibarət bir sistem həmişə birmənalı həll imkanını təmin etmir. Beləliklə, məsələn, A nöqtəsini X oxu boyunca hərəkət etdirsəniz, onun təsviri dəyişməyəcək.

Nöqtənin fəzadakı mövqeyi (şək. 2.22) dəyişmişdir (şək. 2.24), lakin kompleks çertyojdakı təsvirlər dəyişməz qalmışdır (şək. 2.23 və şək. 2.25).

düyü. 2.22	düyü. 2.23
düyü. 2.24	düyü. 2.25

Bu problemi həll etmək üçün üç qarşılıqlı perpendikulyar müstəvilər sistemi tətbiq olunur, çünki rəsmlər tərtib edərkən, məsələn, maşınlar və onların hissələri iki deyil, daha çox şəkil tələb olunur. Bu əsasda bəzi konstruksiyalarda məsələləri həll edərkən sistemə p 1, p 2 və digər proyeksiya müstəvilərini daxil etmək lazımdır.

Bu təyyarələr bütün məkanı oktantlar adlanan VIII hissələrə bölürlər (latınca okto səkkizdən). Təyyarələrin qalınlığı yoxdur, qeyri-şəffaf və sonsuzdur. Müşahidəçi birinci rübdə (p 1, p 2 sistemləri üçün) və ya birinci oktantda (p 1, p 2, p 3 sistemləri üçün) proyeksiya müstəvilərindən sonsuz məsafədə yerləşir.

§ 6. Sistemdəki nöqtə p 1, p 2, p 3

Birinci oktanda yerləşən müəyyən A nöqtəsinin üç qarşılıqlı perpendikulyar p 1, p 2, p 3 müstəvilərinə proyeksiyalarının qurulması Şəkil 1-də göstərilmişdir. 2.27. Proyeksiya müstəvilərinin p 2 müstəvisi ilə birləşməsindən və təyyarələrin fırlanması metodundan istifadə edərək, A nöqtəsinin mürəkkəb rəsmini alırıq (Şəkil 2.28):

AA 1 ^ p 1; AA 2 ^ p 2; AA 3 ^ p 3,

burada A 3 – A nöqtəsinin profil proyeksiyası; А Х, А y, А Z – A nöqtəsinin ox proyeksiyaları.

A 1, A 2, A 3 proyeksiyalarına müvafiq olaraq A nöqtəsinin frontal, horizontal və profil proyeksiyası deyilir.

düyü. 2.27	düyü. 2.28

Cüt-cüt kəsişən proyeksiya müstəviləri üç ox x, y, z təyin edir ki, onları dekart koordinatları sistemi kimi qəbul etmək olar: ox X absis oxu, ox adlanır y– ordinat oxu, ox Z– hərflə işarələnən oxu, oxların kəsişmə nöqtəsini tətbiq edin HAQQINDA, koordinatların mənşəyidir.

Beləliklə, obyektə baxan tamaşaçı birinci oktantda olur.

Mürəkkəb bir rəsm əldə etmək üçün p 1 və p 3 təyyarələrinin p 2 müstəvisi ilə hizalanana qədər (şəkil 2.27-də göstərildiyi kimi) fırlanma üsulunu tətbiq edirik. Birinci oktantdakı bütün təyyarələrin son görünüşü Şəkil 1-də göstərilmişdir. 2.29.

Budur baltalar Oh Və Oz, sabit müstəvidə yatan p 2, yalnız bir dəfə, ox təsvir edilmişdir Oh iki dəfə göstərilir. Bu, p 1 müstəvisi ilə fırlanan oxun olması ilə izah olunur y diaqramda ox ilə birləşdirilir Oz, və p 3 müstəvisi ilə fırlanan bu eyni ox oxu ilə üst-üstə düşür Oh.

Şəkilə baxaq. 2.30, kosmosda nöqtə haradadır A, koordinatlarla verilir (5,4,6). Bu koordinatlar müsbətdir və özü də birinci oktantdadır. Nöqtənin özünün və onun proyeksiyalarının məkan modelində təsvirinin qurulması koordinat düzbucaqlı paraleloqramdan istifadə etməklə həyata keçirilir. Bunu etmək üçün koordinat oxları üzərində uzunluq seqmentlərinə uyğun seqmentləri çəkirik: Oh = 5, Oay = 4, OAz= 6. Bu seqmentlərdə ( ОАx, ОАy, ОАz), kənarlarda olduğu kimi, düzbucaqlı bir paralelepiped qururuq. Onun təpələrindən biri verilmiş nöqtəni təyin edəcək A.

Mürəkkəb çertyojda üç proyeksiya müstəvisi sistemindən danışarkən (şək. 2.30) aşağıdakıları qeyd etmək lazımdır.

Problemləri həll edərkən iki proqnoz bəzən kifayət etmir. Buna görə də, P 1 və P 2 müstəvilərinə perpendikulyar üçüncü müstəvi daxil edilir. Onu çağırırlar profil təyyarəsi (S 3 ) .

Üç təyyarə kosmosu 8 hissəyə bölür - oktantlar (Şəkil 6). Əvvəlki kimi, obyektə baxan tamaşaçının birinci oktantda olduğunu fərz edəcəyik. Diaqramı əldə etmək üçün (şəkil 7) P 1 və P 3 müstəvisinin istənilən həndəsi təsviri Şəkildə göstərildiyi kimi fırlanır. 6.

Cüt-cüt kəsişən proyeksiya müstəviləri üç ox təyin edir x, y Və z, nöqtədə başlanğıcı olan fəzada Kartezian koordinatları sistemi kimi qəbul edilə bilər HAQQINDA.

Diaqramı əldə etmək üçün üç proyeksiya müstəvisi sistemindəki nöqtələr P 1 və P 3 müstəviləri P 2 müstəvisi ilə düzlənənə qədər fırlanır (şəkil 8). Diaqramda baltalar təyin edilərkən, mənfi yarımoxlar adətən göstərilmir.

Nöqtələrin profil proyeksiyasını tapmaq üçün aşağıdakı kimi hərəkət edin: frontal proyeksiyadan A 2 xal A oxa perpendikulyar düz xətt çəkin Z və oxdan bu düz xətt üzərində z koordinata bərabər olan seqmentin qrafikini qurun saat xal A(şək. 9).

Fig.8 Şek. 9
Koordinatlar kosmosda və ya səthdə mövqeyini təyin etmək üçün bir nöqtəyə təyin edilmiş nömrələrdir. Üç ölçülü fəzada nöqtənin mövqeyi düzbucaqlı Dekart koordinatlarından istifadə etməklə müəyyən edilir x, y Və z(absis, ordinat və tətbiq):

A
?
bscissa X = ………..= …..…..= ….….. = ……….. – nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafə P 3;

ordinasiya etmək saat = ……….= ………= …...... = ………… – nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafə P 2;

müraciət etmək z= …….. = ………= ……..= ………… – nöqtədən P müstəvisinə qədər olan məsafə.
A 1 A 2 – x oxuna perpendikulyar şaquli birləşmə xətti;

A 2 A 3 – oxa perpendikulyar olan üfüqi birləşmə xəttiz.
A
?
1 (….,….) Hər bir nöqtənin proyeksiya mövqeyi

A 2 (….,….) iki koordinatla müəyyən edilir

A 3 (….,….)
Bir nöqtə ən azı bir proyeksiya müstəvisinə aiddirsə, o, tutur özəl proyeksiya müstəvilərinə nisbətən mövqe. Əgər nöqtə proyeksiya müstəvilərinin heç birinə aid deyilsə, o, tutur general mövqe.

2 nömrəli mühazirə
DÜZ

1. Birbaşa. 2. Proyeksiya müstəvilərinə nisbətən xəttin yeri. 3. Nöqtə düz xəttə aiddir. 4. İzlər düzdür. 5. Düz xətt seqmentinin verilmiş nisbətdə bölünməsi. 6. Düz xətt seqmentinin uzunluğunun və düz xəttin proyeksiya müstəvilərinə meyl bucaqlarının təyini. 7. Xətlərin qarşılıqlı mövqeyi.
1DÜZ
Xəttin müstəviyə perpendikulyar olduğu hal istisna olmaqla, ümumi halda xəttin proyeksiyası düz xəttdir (şək. 10).

Düz xəttin diaqramını qurmaq üçün koordinatları təyin edin x, y, z düz bir xətt üzərində iki nöqtə və bu dəyərləri rəsmə köçürün.

2 PROJEKSİYON TƏYMƏYƏLƏRİNƏ NİQSƏTLİ XƏTİN MÖVQEYİ
IN

Proyeksiya müstəvilərinə münasibətdə xəttin mövqeyindən asılı olaraq həm ümumi, həm də xüsusi mövqelər tuta bilər.

P ümumi xəttin proyeksiyası düz xəttin özündən azdır.

Yüksələn düz xətt var - bu, müşahidəçidən uzaqlaşdıqca yüksələn düz xətt (şək. 11) və azalan enən düz xəttdir.

h   P 1 ; Z = const

h 2  0x işarəsi

h 3  0saatüfüqi

h 1 =  h – əmlak

üfüqi

 – düz xəttin meyl bucağı

təyyarə P 1

 – düz xəttin meyl bucağı

təyyarə P 2

 – düz xəttin meyl bucağı

təyyarə P 3


?
= 0

 = (h 1  P 2) təyin edin


düyü. 12. Üfüqi
= (h 1  P 3) rəsmdə

f   P 2 ; y = const

f 1  0x işarəsi

f 3  0z frontal

f 2 = f – cəbhə mülkiyyəti

?
= 0

 = (f 2  P 1) təyin edin

 = (f 2  P 3) rəsmdə

düyü. 13. Ön

R   P 3 ; x = const

R 1  0saat işarəsi

R 2  0z profil düz

R 3 =  R – profil xüsusiyyəti

düz
 = 0


?
= (R 3  P 1) təyin edin

 = (R 3  P 2) rəsmdə

düyü. 14. Düz profil

A S 1

A 2  0X işarəsi

A 3  0saat

?
=

b S 2

b 1  0X işarəsi

b 3  0z

?
=

c S 3

c 1  0saat işarəsi

ilə 2  0z

?
=

3 DÜZ NÖQTƏNƏ MƏNSÜL OLMAQ
T teorem: Əgər fəzada bir nöqtə xəttə aiddirsə, diaqramda bu nöqtənin proyeksiyaları xəttin eyni proyeksiyaları üzərindədir (şək. 18):

M  AB,

E AB.
Ədalətli tərs teorem :

M 1  A 1 B 1 ;

M 2  A 2 B 2  M AB.

4 İZLƏR BİRBAŞA
İLƏ
?
buz – bu proyeksiya müstəvisi ilə düz xəttin kəsişdiyi nöqtədir (şək. 19).İz proyeksiya müstəvilərindən birinə aid olduğu üçün onun koordinatlarından biri sıfıra bərabər olmalıdır.

işarələyin H = k ∩ P 1 - üfüqi iz

rəsm (Şəkil 19) F = k ∩ P 2 - frontal iz

?
P =k ∩ P 3 - profil izi

İzlərin qurulması qaydası:

Düz xəttin üfüqi izini çəkmək üçün..... frontal proyeksiya aparmaq lazımdır..... düz xətt..... ox ilə kəsişənə qədər davam edin. X, sonra ox ilə kəsişmə nöqtəsindən X ona perpendikulyar bərpa edin və düz xəttin üfüqi..... proyeksiyasını...... bu perpendikulyarla kəsişənə qədər davam etdirin.

Frontal iz oxşar şəkildə qurulur.

5 VERİLƏN MÜNASİBƏTDƏ XƏT SEQMENTİNİN BÖLÜNMƏSİ
Paralel proyeksiyanın xassələrindən məlum olur ki, əgər nöqtə xəttin seqmentini verilmiş nisbətdə bölürsə, onda bu nöqtənin proyeksiyaları xəttin eyni proyeksiyalarını eyni nisbətdə bölür.

Buna görə də diaqramda müəyyən bir seqmenti verilmiş nisbətdə bölmək üçün onun proyeksiyalarını eyni nisbətdə bölmək lazımdır.

Bu şərti bilməklə bir nöqtənin aid olub olmadığını müəyyən edə bilərsiniz TO düz AB : A 2 TO 2 : TO 2 IN 2 ¹ A 1 TO 1 : TO 1 IN 1 Þ TO Ï AB

Misal: Xətti bölmək üçün AB nöqtədən 2:3 nisbətində A 1 ixtiyari bir seqment çəkək A 1 IN 0 1 beş bərabər hissəyə bölünür (Şəkil 20): A 1 K 0 1 = 2 hissə, K 0 1 B 0 1 = 3 hissə, A 1 TO 0 1 :TO 0 1 IN 0 1 =2: 3

Nöqtəni birləşdirin IN 0 1 nöqtə ilə IN 1 və nöqtədən çəkmək TO 0 1 düz paralel ( IN 1 IN 0 1) nöqtənin proyeksiyasını alırıq TO 1 . Thales teoreminə görə (Bucağın bir tərəfində bərabər seqmentlər düzülürsə və uclarından digər tərəfi kəsən paralel xətlər çəkilirsə, digər tərəfə bərabər seqmentlər qoyulur) A 1 TO 1: TO 1 IN 1 = = 2: 3, onda tapırıq TO 2. Beləliklə, nöqtənin proyeksiyaları TO seqmentin eyni proyeksiyalarını bölün AB bu baxımdan, məsələ buradandır TO seqmenti ayırır AB 2:3 nisbətində.

6 DÜZ SƏQMENTİN VƏ BUÇAQLARININ UZUNLUĞUNUN MƏYYƏN EDİLMƏSİ

PROYEKSİYON MƏYYƏYƏLƏRİNƏ DÜŞƏ ƏYİLƏMƏ
Seqmentin uzunluğu AB düzbucaqlı üçbucaqdan təyin edilə bilər ABC ,harada A İLƏ  = A 1 B 1 ,  CB  = DZ, künc a- seqmentin müstəviyə meyl bucağı P 1 . Bunu etmək üçün, diaqramda (şəkil 21) nöqtədən B 1 90  bucaq altında bir seqment çəkin B 1 B 1 0 = DZ, nəticələnən seqment A 1 B 1 0 və seqmentin təbii dəyəri olacaqdır AB , və bucaq B 1 A 1 B 1 0 = α . Nəzərdən keçirilən üsul metod adlanır düz üçbucaq . Lakin bütün konstruksiyaları üçbucağın fırlanması kimi izah etmək olar ABC yan ətrafında AC təyyarəyə paralel olana qədər P 1 , bu halda üçbucaq təhrif edilmədən proyeksiya müstəvisinə proyeksiya edilir. Müəyyən etmək üçün b- seqmentin müstəviyə meyl bucağı P 2 konstruksiyalar oxşardır (şək. 22). Yalnız üçbucaqda ABC tərəf  Günəş  = DU və üçbucaq müstəvi ilə düzlənir P 2 .

? Xəttin proyeksiyalarını təyin edin və

α bucağını təyin edin.

Xəttin proyeksiyalarını təyin edin və

α bucağını təyin edin.

Xəttin proyeksiyalarını təyin edin və

β bucağını təyin edin.

7 DÜZLƏRİN QARŞILIQ MÖVQEYİ
Kosmosdakı xətlər kəsişə, kəsişə və paralel ola bilər.

1. Kəsişən xətlər - bunlar eyni müstəvidə yerləşən və ortaq nöqtəsi olan xətlərdir (a ∩ b = K).

Teorem:Əgər düz xətlər fəzada kəsişirsə, onda onların eyniadlı proyeksiyaları rəsmdə kəsişir (şək. 23).

T eyniadlı proyeksiyaların kəsişmə nöqtəsi oxa eyni perpendikulyarda yerləşir X (TO 1 TO 2  O X).

TO = a ∩ b  TO  a; TO  b  TO 1 = a 1 ∩ b 1 ;

TO 2 = a 2 ∩ b 2 .
Əks teorem də doğrudur:

Əgər TO 1  A 1 ; TO 2  b 2, onda

TO 1 = A 1 ∩ b 1 ;

TO 2 = A 2 ∩ b 2  TO = A ∩ b.
2. Keçid xətləri - bunlar eyni müstəvidə yatmayan və ümumi nöqtəsi olmayan düz xətlərdir (şək. 24).

Cüt nöqtələr 1 Və 2 , üfüqi proyeksiyalı xətt üzərində uzanan üfüqi rəqabətli adlanır və nöqtələr 3 Və 4 - cəbhədə rəqabət. Diaqramda görünmə onlardan müəyyən edilir.

P üfüqi rəqabət nöqtələri haqqında 1 Və 2 P 1-ə nisbətən görmə qabiliyyəti müəyyən edilir. Nöqtə 1 müşahidəçinin gözünə yaxın olsa, P 1 müstəvisində görünəcək. 1 nöqtəsindən bəri m, sonra düz m düz xəttdən daha yüksək olacaq n.

Təyyarə ilə bağlı hansı xətt görünəcək P 2 ?
3. Paralel xətlər - bunlar eyni müstəvidə yerləşən və düzgün olmayan ortaq nöqtəyə malik olan xətlərdir.

Teorem:

E Əgər xətlər fəzada paraleldirsə, onda onların eyniadlı proyeksiyaları rəsmdə paraleldir (şək. 25).

Əgər k  m  k 1 m 1 , k 2 m 2 , k 3 m 3
Əks teorem doğrudur:

Əgər k 1 m 1 ; k 2 m 2  k  m
3 nömrəli mühazirə
Təyyarə

1. Rəsmdə müstəvi təyin etmək üsulları. Təyyarənin izləri. 2. Təyyarənin proyeksiya müstəvilərinə nisbətən yeri. 3. Nöqtə və düz müstəviyə aid olması. 4. Təyyarənin əsas (xüsusi) xətləri.
1 TƏYYARƏNİ ÇİZİMDƏ QURMAYIN YOLU.

İZLƏMƏ MƏYYƏYƏSİ

Təyyarə- bütün uzunluğu boyunca əyriliyi və ya sınması olmayan bütün istiqamətlərdə sonsuz idarə olunan səth.

Çizimdə təyyarə müəyyən edilə bilər:

1. 
   Eyni xətt üzərində olmayan üç nöqtə - P (A, B, C) , düyü. 26.
2. 
   Düz xətt və bu xətt üzərində olmayan nöqtə – P (m, A; A m) , düyü. 27.

   düyü. 29 Şek. otuz
   İzlərdən istifadə edərək təyyarənin təyin edilməsi

   İz təyyarəsi – müstəvinin proyeksiya müstəvisi ilə kəsişmə xətti (şək. 31).

   Üfüqi iz P müstəvisinin proyeksiyaların üfüqi müstəvisi ilə kəsişməsi ilə əldə edilir (P P1 = P ∩ P 1).

   P P2 = P ∩ P 2 – frontal iz ;

   R P3 = P ∩ P 3 – profil izi ;

   R x, R y, R z – yoxa çıxan nöqtələr .

   

10.1 Dihedral bucaq. Təyyarələr arasındakı bucaq

İki kəsişən xətt iki cüt şaquli bucaq əmələ gətirir. Müstəvidə kəsişən iki xətt bir cüt şaquli bucaq əmələ gətirdiyi kimi (şək. 89, a), fəzada kəsişən iki müstəvi də iki cüt şaquli dihedral bucaq əmələ gətirir (şək. 89, b).

düyü. 89

Dihedral bucaq ümumi sərhəd düz xəttinə malik olan və eyni müstəvidə yatmayan iki yarımmüstəvidən ibarət olan fiqurdur (şək. 90). Yarım müstəvilərin özləri dihedral bucağın üzləri adlanır və onların ümumi sərhəd düz xətti onun kənarı adlanır.

düyü. 90

Dihedral bucaqlar aşağıdakı kimi ölçülür.

Üzləri α və β olan dihedral bucağın p kənarında O nöqtəsini götürək.O nöqtəsindən onun üzlərində p kənarına perpendikulyar a və b şüaları çəkin: a - α və b üzdə - β üzdə (şək. 91) , a).

düyü. 91

Tərəfləri a, b olan bucaq xətti dihedral bucaq adlanır.

Xətti bucağın böyüklüyü dihedral bucağın kənarında onun təpəsinin seçilməsindən asılı deyil.

Həqiqətən də p kənarının başqa O 1 nöqtəsini götürək və α və β üzlərində a 1 ⊥ p və b 1 ⊥ p şüalarını çəkək (şək. 91, b).

a şüasında OA seqmentini, a 1 şüasında O 1 A 1 seqmentini OA seqmentinə bərabər, b şüasında OB seqmentini və b 1 şüasında O 1 B 1 seqmentini seqmentə bərabər tutaq. OB (Şəkil 91, c).

OAA 1 O 1 və 0BB 1 0 1 düzbucaqlılarında AA 1 və BB 1 tərəfləri onların ümumi tərəfi OO 1-ə bərabərdir və ona paraleldir. Buna görə də AA 1 = BB 1 və AA 1 || BB 1.

Deməli, ABV 1 A 1 dördbucaqlı paraleloqramdır (şək. 91, d), bu da AB = A 1 B 1 deməkdir. Buna görə də, ABO və A 1 B 1 O 1 üçbucaqları bərabərdir (üç tərəfdən) və ab bucağı a 1 b 1 bucağına bərabərdir.

İndi aşağıdakı tərifi verə bilərik: dihedral bucağın böyüklüyü onun xətti bucağının böyüklüyüdür.

Kəsişən müstəvilər arasındakı bucaq onların yaratdığı dihedral bucaqların kiçiklərinin ölçüsüdür. Bu bucaq 90° olarsa, müstəvilər qarşılıqlı perpendikulyar adlanır. Paralel müstəvilər arasındakı bucağın 0° olduğu qəbul edilir.

α və β müstəviləri arasındakı bucaq, eləcə də α və β üzləri olan dihedral bucağın qiyməti ∠αβ ilə işarələnir.

Ümumi kənarı olan çoxüzlülərin üzləri arasındakı bucaq bu üzlərə uyğun gələn dihedral bucağın qiymətidir.

10.2 Qarşılıqlı perpendikulyar müstəvilərin xassələri

Mülk 1. İki qarşılıqlı perpendikulyar müstəvidən birində yerləşən və onların ümumi düz xəttinə perpendikulyar olan düz xətt digər müstəviyə perpendikulyardır.

Sübut. α və β müstəviləri qarşılıqlı perpendikulyar olsun və c düz xətti boyunca kəsilsin. Düz xətti α və a ⊥ с müstəvisində uzansın (şək. 92). a xətti c hər hansı O nöqtəsində kəsişir. O nöqtəsi vasitəsilə β müstəvisində c xəttinə perpendikulyar b xətti çəkək. α ⊥ β olduğundan a ⊥ b. a ⊥ b və a ⊥ c olduğundan, xəttin və müstəvinin perpendikulyarlığına əsaslanan α ⊥ β.

düyü. 92

İkinci xassə birinci xüsusiyyətin əksidir.

Əmlak 2. Qarşılıqlı perpendikulyar iki müstəvidən biri ilə ortaq nöqtəsi olan və digər müstəviyə perpendikulyar olan düz xətt onlardan birincisində yerləşir.

Sübut. α və β müstəviləri qarşılıqlı perpendikulyar olsunlar və c düz xətti boyunca kəsilsinlər, a ⊥ β və a düz xəttinin a ilə ortaq A nöqtəsi olsun (şək. 93). A nöqtəsi vasitəsilə α müstəvisində c düz xəttinə perpendikulyar p düz xətti çəkirik. Xüsusiyyətinə görə 1 p ⊥ β. a və p xətləri A nöqtəsindən keçir və β müstəvisinə perpendikulyardır. Buna görə də, onlar üst-üstə düşürlər, çünki müəyyən bir müstəviyə perpendikulyar nöqtədən yalnız bir düz xətt keçir. p düz xətti α müstəvisində yerləşdiyi üçün a düz xətti α müstəvisində yerləşir.

düyü. 93

2-ci xassənin nəticəsi xəttin və müstəvinin perpendikulyarlığının aşağıdakı əlamətidir: əgər üçüncü müstəviyə perpendikulyar olan iki müstəvi kəsişirsə, onda onların kəsişmə xətti üçüncü müstəviyə perpendikulyardır.

Sübut. a düz xətti boyunca kəsişən iki α və β müstəvisi γ müstəvisinə perpendikulyar olsun (şək. 94). Sonra a xəttinin istənilən nöqtəsindən γ müstəvisinə perpendikulyar bir xətt çəkirik. 2-ci xassə görə, bu xətt həm α müstəvisində, həm də β müstəvisində yerləşir, yəni a xətti ilə üst-üstə düşür. Beləliklə, a ⊥ γ.

düyü. 94

10.3 Müstəvilərin perpendikulyarlığının işarəsi

Praktik nümunələrlə başlayaq. Döşəməyə perpendikulyar olan tıxac üzərində asılmış qapının müstəvisi qapının istənilən mövqeyində döşəmənin müstəvisinə perpendikulyardır (şək. 95). Düz bir səthin (divar, hasar və s.) şaquli olaraq quraşdırılıb-qurulmadığını yoxlamaq istədikdə, bunu plumb xətti - yüklü bir ipdən istifadə edərək edirlər. Plumb xətti həmişə şaquli olaraq yönəldilir və onun boyunca yerləşən plumb xətti sapmadıqda divar şaquli olaraq dayanır. Bu misallar müstəvilərin perpendikulyarlığının aşağıdakı sadə əlamətini izah edir: əgər müstəvi başqa bir müstəviyə perpendikulyardan keçirsə, onda bu müstəvilər qarşılıqlı perpendikulyardır.

düyü. 95

Sübut. α müstəvisində β müstəvisinə perpendikulyar olan a xətti olsun (bax şək. 92). Sonra a düz xətti β müstəvisini hansısa O nöqtəsində kəsir. O nöqtəsi α və β müstəvilərinin kəsişdiyi c xəttində yerləşir. O nöqtəsi vasitəsilə β müstəvisində c xəttinə perpendikulyar b xətti çəkək. a ⊥ β olduğundan, a ⊥ b və a ⊥ c. Bu o deməkdir ki, kəsişən α və β müstəvilərinin əmələ gətirdiyi dihedral bucaqların xətti bucaqları düzdür. Buna görə də α və β müstəviləri qarşılıqlı perpendikulyardır.

Qeyd edək ki, indi nəzərdən keçirilən üç düz xəttin hər ikisi a, b və c (bax. Şəkil 92) qarşılıqlı perpendikulyardır. O nöqtəsindən keçən və bu üç xətdən ikisinə perpendikulyar başqa bir xətt çəksək, o, üçüncü xəttlə üst-üstə düşəcək. Bu fakt bizi əhatə edən məkanın üçölçülülüyündən danışır: a, b və c xətlərinin hər birinə perpendikulyar dördüncü xətt yoxdur.

Özünə nəzarət üçün suallar

1. Dihedral bucaq necə hesablanır?
2. Təyyarələr arasındakı bucağı necə hesablamaq olar?
3. Hansı müstəvilərə qarşılıqlı perpendikulyar deyilir?
4. Qarşılıqlı perpendikulyar müstəvilərin hansı xüsusiyyətlərini bilirsiniz?
5. Təyyarələrin perpendikulyarlığının hansı əlamətini bilirsiniz?

Bir çox hissələr var ki, onların forma məlumatları iki rəsm proyeksiyası ilə ötürülə bilməz. Bir hissənin mürəkkəb forması haqqında məlumatın kifayət qədər tam təqdim edilməsi üçün proyeksiya üç qarşılıqlı perpendikulyar proyeksiya müstəvisində istifadə olunur: frontal - V, üfüqi - H və profil - W .

Proyeksiya müstəviləri sistemi təpəsi nöqtədə olan üçbucaqlı bucaqdır HAQQINDA. Üçbucaqlı bucağın müstəvilərinin kəsişmələri düz xətləri - proyeksiyaların oxlarını təşkil edir ( ÖKÜZ, OY, OZ) (Şəkil 23).

Obyekt üçbucaqlı küncdə elə yerləşdirilir ki, onun formalaşma kənarı və əsası müvafiq olaraq frontal və üfüqi proyeksiya müstəvilərinə paralel olsun. Sonra proyeksiya şüaları cismin bütün nöqtələrindən, hər üç proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar keçir, onların üzərində cismin frontal, horizontal və profil proyeksiyaları alınır. Proyeksiyadan sonra obyekt üçbucaqlı bucaqdan çıxarılır, sonra üfüqi və profil proyeksiya müstəviləri oxlar ətrafında müvafiq olaraq 90° fırlanır. OH Və OZ frontal proyeksiya müstəvisi ilə düzlənənə və üç proyeksiyadan ibarət hissənin rəsmini alınana qədər.

düyü. 23.Üç qarşılıqlı perpendikulyar proyeksiya

proyeksiya təyyarələri

Rəsmin üç proqnozu bir-biri ilə bağlıdır. Frontal və üfüqi proyeksiyalar təsvirlərin proyeksiya əlaqəsini qoruyur, yəni frontal və üfüqi, frontal və profil, eləcə də üfüqi və profil proyeksiyaları arasında proyeksiya əlaqələri qurulur (bax. Şəkil 23). Proyeksiya xətləri hər bir proyeksiyanın rəsm sahəsindəki yerini müəyyənləşdirir.

Dünyanın bir çox ölkələrində şərti olaraq “Amerika” adlanan üç qarşılıqlı perpendikulyar proyeksiya müstəvisinə düzbucaqlı proyeksiyaların başqa bir sistemi qəbul edilmişdir.Onun əsas fərqi ondan ibarətdir ki, üçbucaqlı bucaq kosmosda proyeksiya edilən obyektə nisbətən fərqli şəkildə yerləşmişdir. və təyyarələr başqa istiqamətlərdə proyeksiyalarda açılır. Beləliklə, üfüqi proyeksiya frontalın üstündə, profil proyeksiyası isə frontalın sağında görünür.

Əksər cisimlərin forması müxtəlif həndəsi cisimlərin və ya onların hissələrinin birləşməsidir. Buna görə də, təsvirləri oxumaq və tamamlamaq üçün üç proyeksiya sistemində həndəsi cisimlərin necə təsvir edildiyini bilmək lazımdır.

Baxış anlayışı

Bilirsiniz ki, frontal, horizontal və profil proyeksiyaları proyeksiya rəsminin şəkilləridir. Obyektin xarici görünən səthinin proyeksiya təsvirləri görünüş adlanır.

Baxın- Bu, müşahidəçiyə baxan obyektin görünən səthinin şəklidir.

Əsas növlər. Standart kubun içərisinə yerləşdirilmiş obyektin proyeksiyası zamanı əldə edilən altı əsas görünüşü müəyyən edir, altı üzü proyeksiya müstəviləri kimi götürülür (şək. 24). Bu üzlərə obyekt proyeksiya etdikdən sonra onlar proyeksiyaların frontal müstəvisi ilə düzlənənə qədər çevrilirlər (şək. 25).

düyü. 24.Əsas Baxışların əldə edilməsi

Öndən görünüş(əsas görünüş) frontal proyeksiya yerində yerləşdirilir. Yuxarıdan görünüşüfüqi proyeksiya sahəsinə yerləşdirilir (əsas görünüş altında). Sol görünüş profil proyeksiyasının yerində (əsas görünüşün sağında) yerləşir. Baxın sağdaəsas görünüşün solunda yerləşir. Aşağı görünüş əsas görünüşün üstündədir. Arxa görünüş sol görünüşün sağında yerləşdirilib.

düyü. 25. Əsas növlər

Əsas baxışlar, eləcə də proqnozlar proyeksiya əlaqəsində yerləşir. Rəsmdəki baxışların sayı minimal, lakin təsvir olunan obyektin formasını dəqiq göstərmək üçün kifayət qədər seçilir. Görünüşlərdə, zəruri hallarda, kəsik xətlərdən istifadə edərək, obyektin səthinin görünməyən hissələrini göstərməyə icazə verilir (şək. 26).

Əsas görünüşdə element haqqında ən çox məlumat olmalıdır. Buna görə də hissə proyeksiyaların frontal müstəvisinə uyğun olaraq yerləşdirilməlidir ki, onun görünən səthi ən çox forma elementləri ilə proyeksiya olunsun. Bundan əlavə, əsas görünüş formanın xüsusiyyətləri haqqında aydın təsəvvür yaratmalı, onun siluetini, səth əyrilərini, çıxıntılarını, girintilərini, deşiklərini göstərməlidir ki, bu da təsvir olunan məhsulun formasının tez tanınmasını təmin edir.