Təsadüfi dəyişən paylanma funksiyası ilə verilir; sabiti tapın. Davamlı təsadüfi dəyişənin gözləntiləri

Təsadüfi Dəyişənlər

Misal 2.1. Təsadüfi dəyər X paylanma funksiyası ilə verilir

Test nəticəsində yaranma ehtimalını tapın X intervalında olan dəyərləri alacaq (2.5; 3.6).

Həll: X intervalında (2.5; 3.6) iki yolla müəyyən edilə bilər:

Misal 2.2. Hansı parametr dəyərlərində A Və IN funksiyası F(x) = A + Ol - x qeyri-mənfi qiymətlər üçün paylanma funksiyası ola bilər təsadüfi dəyişən X.

Həll: Təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərləri olduğundan X intervalına aiddir, onda funksiyanın paylama funksiyası olması üçün X, əmlak təmin edilməlidir:

.

Cavab: .

Misal 2.3. Təsadüfi dəyişən X paylama funksiyası ilə müəyyən edilir

Dörd müstəqil test nəticəsində dəyərin olması ehtimalını tapın X düz 3 dəfə intervala (0,25;0,75) aid qiymət alacaq.

Həll: Bir dəyərə çatma ehtimalı X intervalında (0.25;0.75) düsturdan istifadə edərək tapırıq:

Misal 2.4. Topun bir vuruşla səbətə dəymə ehtimalı 0,3-dür. Üç atışla vuruşların sayı üçün paylama qanunu tərtib edin.

Həll: Təsadüfi dəyər X– üç atışla səbətdə vuruşların sayı – aşağıdakı dəyərləri qəbul edə bilər: 0, 1, 2, 3. Ehtimallar ki, X

X:

Misal 2.5.İki atıcı hər biri bir hədəfə atəş açır. Birinci atıcının onu vurma ehtimalı 0,5, ikincinin isə 0,4-dür. Hədəfdəki vuruşların sayı üçün paylama qanunu tərtib edin.

Həll: Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununu tapaq X- hədəfə vurulan zərbələrin sayı. Qoy hadisə hədəfə ilk vuran atıcı olsun, ikinci atıcı isə hədəfi vursun və müvafiq olaraq onların qaçırması olsun.

SV-nin ehtimal paylanması qanununu tərtib edək X:

Misal 2.6. Bir-birindən müstəqil işləyən üç element sınaqdan keçirilir. Elementlərin nasazlıqsız işləmə müddəti (saatlarla) paylanma sıxlığı funksiyasına malikdir: birincisi: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, ikincisi üçün: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, üçüncü üçün: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. 0-dan 5 saata qədər olan vaxt intervalında yalnız bir elementin sıradan çıxması ehtimalını tapın; yalnız iki element uğursuz olacaq; hər üç element uğursuz olacaq.

Həll: Ehtimal yaradan funksiyanın tərifindən istifadə edək:

Müstəqil sınaqlarda ehtimal ki, birincisində hadisənin baş vermə ehtimalı A bərabər, ikinci və s., hadisə A-nin səlahiyyətlərində yaradan funksiyanın genişlənmə əmsalına bərabər, düz bir dəfə görünür. 0-dan 5 saata qədər vaxt intervalında birinci, ikinci və üçüncü elementin sırasıyla uğursuzluq və uğursuzluq ehtimallarını tapaq:

Yaradan funksiya yaradaq:

at əmsalı hadisənin baş vermə ehtimalına bərabərdir A tam üç dəfə görünəcək, yəni hər üç elementin uğursuzluq ehtimalı; at əmsalı tam iki elementin uğursuzluq ehtimalına bərabərdir; at əmsalı yalnız bir elementin uğursuzluq ehtimalına bərabərdir.

Misal 2.7. Ehtimal sıxlığını nəzərə alaraq f(x)təsadüfi dəyişən X:

F(x) paylanma funksiyasını tapın.

Həll: Formuladan istifadə edirik:

.

Beləliklə, paylama funksiyası belə görünür:

Misal 2.8. Cihaz üç müstəqil işləyən elementdən ibarətdir. Hər bir elementin bir sınaqda uğursuzluq ehtimalı 0,1-dir. Bir təcrübədə uğursuz elementlərin sayı üçün paylanma qanununu tərtib edin.

Həll: Təsadüfi dəyər X– bir təcrübədə uğursuz olan elementlərin sayı – aşağıdakı dəyərləri qəbul edə bilər: 0, 1, 2, 3. Ehtimallar ki, X Bu dəyərləri götürdükdə, Bernoulli düsturundan istifadə edərək tapırıq:

Beləliklə, təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanmasının aşağıdakı qanununu əldə edirik X:

Misal 2.9. 6 hissədən ibarət bir dəstədə 4 standart var. 3 hissə təsadüfi seçildi. Seçilmişlər arasında standart hissələrin sayı üçün paylama qanununu tərtib edin.

Həll: Təsadüfi dəyər X– seçilmişlər arasında standart hissələrin sayı – aşağıdakı dəyərləri qəbul edə bilər: 1, 2, 3 və hiperhəndəsi paylanmaya malikdir. Ehtimallar ki X

Harada -- partiyadakı hissələrin sayı;

-- partiyada standart hissələrin sayı;

– seçilmiş hissələrin sayı;

-- seçilmişlər arasında standart hissələrin sayı.

.

.

.

Misal 2.10. Təsadüfi dəyişən paylanma sıxlığına malikdir

və məlum deyil, lakin , a və . Tapın və.

Həll: IN bu halda təsadüfi dəyər X intervalında üçbucaq paylanmasına (Simpson paylanması) malikdir. a, b]. Rəqəmsal xüsusiyyətlər X:

Beləliklə, . Qərar vermək bu sistem, iki cüt dəyər alırıq: . Problemin şərtlərinə görə, nəhayət, əldə etdik: .

Cavab: .

Misal 2.11. Müqavilələrin orta hesabla 10%-i Sığorta Şirkəti sığorta hadisəsinin baş verməsi ilə əlaqədar sığorta məbləğlərini ödəyir. Təsadüfi seçilmiş dörd müqavilə arasında belə müqavilələrin sayının riyazi gözləntisini və yayılmasını hesablayın.

Həll: Riyazi gözlənti və dispersiya düsturlardan istifadə etməklə tapıla bilər:

.

SV-nin mümkün dəyərləri (sığorta hadisəsinin baş verməsi ilə müqavilələrin sayı (dörddən)): 0, 1, 2, 3, 4.

Ehtimalları hesablamaq üçün Bernoulli düsturundan istifadə edirik müxtəlif nömrələr sığorta məbləğlərinin ödənildiyi müqavilələr (dörddən):

.

IC paylama seriyası (sığorta hadisəsinin baş verməsi ilə müqavilələrin sayı) formaya malikdir:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Cavab: , .

Misal 2.12. Beş qızılgüldən ikisi ağdır. Eyni vaxtda alınan iki ağ qızılgülün sayını ifadə edən təsadüfi dəyişənin paylanması qanununu tərtib edin.

Həll:İki qızılgül seçimində ya ağ qızılgül olmaya bilər, ya da bir və ya iki ağ qızılgül ola bilər. Buna görə təsadüfi dəyişən X qiymətlər ala bilər: 0, 1, 2. Ehtimallar ki X bu dəyərləri götürsək, düsturdan istifadə edərək tapırıq:

Harada -- güllərin sayı;

-- ağ güllərin sayı;

– eyni zamanda alınan güllərin sayı;

-- alınanlar arasında ağ güllərin sayı.

.

.

.

Onda təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu aşağıdakı kimi olacaq:

Misal 2.13. 15 yığılmış aqreqatdan 6-sı əlavə yağlama tələb edir. Ümumi saydan təsadüfi seçilmiş beş arasında əlavə yağlamaya ehtiyacı olan vahidlərin sayı üçün paylama qanunu tərtib edin.

Həll: Təsadüfi dəyər X– seçilmiş beş arasında əlavə yağlama tələb edən vahidlərin sayı – aşağıdakı dəyərləri qəbul edə bilər: 0, 1, 2, 3, 4, 5 və hiperhəndəsi paylanmaya malikdir. Ehtimallar ki X bu dəyərləri götürsək, düsturdan istifadə edərək tapırıq:

Harada -- yığılmış bölmələrin sayı;

-- əlavə yağlama tələb edən bölmələrin sayı;

– seçilmiş vahidlərin sayı;

-- seçilmişlər arasında əlavə yağlama tələb edən vahidlərin sayı.

.

.

.

.

.

Onda təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu aşağıdakı kimi olacaq:

Misal 2.14. Təmir üçün alınan 10 saatdan 7-si mexanizmin ümumi təmizlənməsini tələb edir. Saatlar təmir növünə görə sıralanmır. Təmizliyə ehtiyacı olan saatları tapmaq istəyən usta onları bir-bir yoxlayır və belə saatları tapdıqdan sonra baxmağı dayandırır. Baxılan saatların sayının riyazi gözləntisini və fərqini tapın.

Həll: Təsadüfi dəyər X– seçilmiş beş arasında əlavə yağlamaya ehtiyacı olan vahidlərin sayı – aşağıdakı dəyərləri qəbul edə bilər: 1, 2, 3, 4. Ehtimallar X bu dəyərləri götürsək, düsturdan istifadə edərək tapırıq:

.

.

.

.

Onda təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu aşağıdakı kimi olacaq:

İndi kəmiyyətin ədədi xüsusiyyətlərini hesablayaq:

Cavab: , .

Misal 2.15. Abunəçi ona lazım olan telefon nömrəsinin son rəqəmini unudub, lakin onun tək olduğunu xatırlayır. İstədiyiniz nömrəyə çatana qədər telefon nömrəsini neçə dəfə yığdığına dair riyazi gözlənti və fərqi tapın, əgər o, təsadüfi olaraq sonuncu rəqəmi yığırsa və sonra yığılan rəqəmi yığmırsa.

Həll: Təsadüfi dəyişən aşağıdakı dəyərləri qəbul edə bilər: . Abunəçi yığılan rəqəmi gələcəkdə yığmadığından, bu dəyərlərin ehtimalları bərabərdir.

Təsadüfi dəyişənin paylama seriyasını tərtib edək:

	0,2

Nömrə cəhdlərinin sayının riyazi gözləntisini və fərqini hesablayaq:

Cavab: , .

Misal 2.16. Seriyadakı hər bir cihaz üçün etibarlılıq testləri zamanı uğursuzluq ehtimalı bərabərdir səh. Sınaq zamanı uğursuz olan cihazların sayının riyazi gözləntisini müəyyənləşdirin N cihazlar.

Həll: Diskret təsadüfi dəyişən X, uğursuz cihazların sayıdır N hər birində uğursuzluq ehtimalı bərabər olan müstəqil testlər p, binom qanununa uyğun olaraq paylanır. Gözlənilən dəyər binomial paylanma sınaqların sayının və bir sınaqda hadisənin baş vermə ehtimalının hasilinə bərabərdir:

Misal 2.17. Diskret təsadüfi dəyişən X 3 mümkün qiymət alır: ehtimalla ; ehtimalla və ehtimalla. Tapın və bilərək ki, M( X) = 8.

Həll: Riyazi gözləmənin təriflərindən və diskret təsadüfi dəyişənin paylanma qanunundan istifadə edirik:

Biz tapdıq: .

Misal 2.18. Texniki nəzarət şöbəsi məhsulların standartlığını yoxlayır. Məhsulun standart olma ehtimalı 0,9-dur. Hər partiyada 5 məhsul var. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın X– 50 partiya yoxlamaya məruz qalırsa, hər birində tam olaraq 4 standart məhsul olan partiyaların sayı.

Həll: Bu halda, aparılan bütün təcrübələr müstəqildir və hər partiyada tam olaraq 4 standart məhsulun olması ehtimalları eynidir, buna görə də riyazi gözlənti düsturla müəyyən edilə bilər:

,

partiyaların sayı haradadır;

Partiyada tam olaraq 4 standart məhsulun olması ehtimalı.

Bernoulli düsturundan istifadə edərək ehtimalı tapırıq:

Cavab: .

Misal 2.19. Təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapın X- hadisənin baş vermə sayı A iki müstəqil sınaqda, əgər bu sınaqlarda hadisənin baş vermə ehtimalları eyni olarsa və məlumdursa, M(X) = 0,9.

Həll: Problemi iki yolla həll etmək olar.

1) SV-nin mümkün dəyərləri X: 0, 1, 2. Bernulli düsturundan istifadə edərək bu hadisələrin ehtimallarını təyin edirik:

, , .

Sonra paylama qanunu X formaya malikdir:

Riyazi gözləmənin tərifindən biz ehtimalı müəyyən edirik:

SV-nin dispersiyasını tapaq X:

.

2) Düsturdan istifadə edə bilərsiniz:

.

Cavab: .

Misal 2.20. Normal paylanmış təsadüfi kəmiyyətin gözləntiləri və standart kənarlaşması X müvafiq olaraq 20 və 5-ə bərabərdir. Test nəticəsində olma ehtimalını tapın X intervalında olan dəyəri qəbul edəcək (15; 25).

Həll: Normal təsadüfi dəyişəni vurma ehtimalı X-dən kəsiyində Laplas funksiyası vasitəsilə ifadə edilir:

Misal 2.21. Verilmiş funksiya:

Hansı parametr dəyərində C bu funksiya bəzi davamlı təsadüfi dəyişənin paylanma sıxlığıdır X? Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini və dispersiyasını tapın X.

Həll: Bir funksiyanın bəzi təsadüfi dəyişənin paylanma sıxlığı olması üçün o, mənfi olmamalı və xassəni təmin etməlidir:

.

Beləliklə:

Düsturdan istifadə edərək riyazi gözləntiləri hesablayaq:

.

Düsturdan istifadə edərək fərqi hesablayaq:

T bərabərdir səh. Bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini və dispersiyasını tapmaq lazımdır.

Həll: Diskret təsadüfi dəyişən X-in paylanma qanunu - hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı bərabər olan müstəqil sınaqlarda hadisənin baş vermə sayı binom adlanır. Binom paylanmasının riyazi gözləntisi sınaqların sayının və bir sınaqda A hadisəsinin baş vermə ehtimalının hasilinə bərabərdir:

.

Misal 2.25. Hədəfə üç müstəqil atəş açılır. Hər vuruşun vurulma ehtimalı 0,25-dir. Üç atışla vuruşların sayının standart sapmasını təyin edin.

Həll:Üç müstəqil sınaq həyata keçirildiyindən və hər sınaqda A hadisəsinin (vuruş) baş vermə ehtimalı eyni olduğundan, biz fərz edəcəyik ki, diskret təsadüfi dəyişən X - hədəfə vurulan zərbələrin sayı - hədəfə uyğun olaraq paylanır. binom qanunu.

Binom paylanmasının dispersiyası sınaqların sayının hasilinə və bir sınaqda hadisənin baş verməsi və baş verməməsi ehtimalına bərabərdir:

Misal 2.26. 10 dəqiqə ərzində sığorta şirkətinə müraciət edən müştərilərin orta sayı üçdür. Növbəti 5 dəqiqə ərzində ən azı bir müştərinin gəlməsi ehtimalını tapın.

5 dəqiqə ərzində gələn müştərilərin orta sayı: . .

Misal 2.29. Prosessor növbəsindəki proqram üçün gözləmə müddəti orta dəyəri 20 saniyə olan eksponensial paylama qanununa tabedir. Növbəti (təsadüfi) sorğunun prosessorda 35 saniyədən çox gözləməsi ehtimalını tapın.

Həll: Bu nümunədə riyazi gözlənti , və uğursuzluq dərəcəsi bərabərdir.

Sonra istədiyiniz ehtimal:

Misal 2.30. 15 tələbədən ibarət qrup hər biri 10 yerlik 20 sıra olan zalda iclas keçirir. Hər bir tələbə zalda təsadüfi bir yer tutur. Sıranın yeddinci yerində üç nəfərdən çox olmamaq ehtimalı nədir?

Həll:

Misal 2.31.

Sonra ehtimalın klassik tərifinə görə:

Harada -- partiyadakı hissələrin sayı;

-- partiyada qeyri-standart hissələrin sayı;

– seçilmiş hissələrin sayı;

-- seçilmişlər arasında qeyri-standart hissələrin sayı.

Onda təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu aşağıdakı kimi olacaqdır.

Paylanma sıxlığı ehtimallar X funksiyasını çağırın f(x)– paylanma funksiyasının birinci törəməsi F(x):

Təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanma sıxlığı anlayışı Xüçün diskret dəyər tətbiq edilmir.

Ehtimalın paylanması sıxlığı f(x)– diferensial paylama funksiyası adlanır:

Mülk 1. Paylanma sıxlığı mənfi olmayan kəmiyyətdir:

Əmlak 2. Yanlış inteqral-dən aralığında paylanma sıxlığından vahidə bərabərdir:

Misal 1.25. Davamlı təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası nəzərə alınmaqla X:

f(x).

Həll: Paylanma sıxlığı paylama funksiyasının birinci törəməsinə bərabərdir:

1. Davamlı təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası nəzərə alınmaqla X:

Paylanma sıxlığını tapın.

2. Davamlı təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası verilmişdir X:

Paylanma sıxlığını tapın f(x).

1.3. Davamlı təsadüflərin ədədi xarakteristikaları

miqdarlar

Gözlənilən dəyər davamlı təsadüfi dəyişən X, mümkün dəyərləri bütün oxa aid olan Oh, bərabərliklə müəyyən edilir:

İnteqralın mütləq yaxınlaşdığı güman edilir.

a,b), Bu:

f(x)– təsadüfi dəyişənin paylanma sıxlığı.

Dispersiya davamlı təsadüfi dəyişən X, mümkün dəyərləri bütün oxa aid olan bərabərliklə müəyyən edilir:

Xüsusi bir hal. Təsadüfi dəyişənin dəyərləri intervala aiddirsə ( a,b), Bu:

Ehtimal ki X intervalına aid olan dəyərləri qəbul edəcək ( a,b), bərabərliklə müəyyən edilir:

.

Misal 1.26. Davamlı təsadüfi dəyişən X

Riyazi gözləntiləri, dispersiyanı və təsadüfi dəyişənə dəymə ehtimalını tapın X intervalında (0;0,7).

Həll: Təsadüfi dəyişən (0,1) intervalında paylanır. Davamlı təsadüfi kəmənin paylanma sıxlığını təyin edək X:

a) Riyazi gözlənti :

b) Variasiya

V)

üçün tapşırıqlar müstəqil iş:

1. Təsadüfi dəyişən X paylama funksiyası ilə verilir:

M(x);

b) dispersiya D(x);

X intervalına (2,3).

2. Təsadüfi dəyişən X

Tapın: a) riyazi gözlənti M(x);

b) dispersiya D(x);

c) təsadüfi dəyişənin vurma ehtimalını təyin edin X intervalına (1;1.5) daxil edilir.

3. Təsadüfi dəyişən X kumulyativ paylama funksiyası ilə verilir:

Tapın: a) riyazi gözlənti M(x);

b) dispersiya D(x);

c) təsadüfi dəyişənin vurma ehtimalını təyin edin X intervalda

1.4. Davamlı təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunları

1.4.1. Vahid paylama

Davamlı təsadüfi dəyişən X seqment üzrə vahid paylamaya malikdir [ a,b], əgər bu seqmentdə təsadüfi dəyişənin ehtimal paylama sıxlığı sabitdirsə və ondan kənarda sıfıra bərabərdirsə, yəni:

düyü. 4.

; ; .

Misal 1.27. Müəyyən bir marşrut üzrə avtobus 5 dəqiqəlik fasilələrlə bərabər şəkildə hərəkət edir. Vahid paylanmış təsadüfi dəyişənin olma ehtimalını tapın X– avtobusun gözləmə müddəti 3 dəqiqədən az olacaq.

Həll: Təsadüfi dəyər X– intervalda bərabər paylanmışdır.

Ehtimal sıxlığı: .

Gözləmə müddətinin 3 dəqiqədən çox olmaması üçün sərnişin əvvəlki avtobus getdikdən sonra 2-5 dəqiqə ərzində dayanacaqda görünməlidir, yəni. təsadüfi dəyər X(2;5) intervalına düşməlidir. Bu. tələb olunan ehtimal:

Müstəqil iş üçün tapşırıqlar:

1. a) təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın X intervalında bərabər paylanmış (2;8);

b) təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasını və standart kənarlaşmasını tapın X,(2;8) intervalında bərabər paylanmışdır.

2. Elektrikli saatın əqrəbi hər dəqiqənin sonunda qəfil hərəkət edir. Verilən anda saatın həqiqi vaxtdan 20 saniyədən çox olmayan bir vaxtı göstərməsi ehtimalını tapın.

1.4.2. Eksponensial paylanma

Davamlı təsadüfi dəyişən X ehtimal sıxlığı aşağıdakı formada olarsa, eksponensial qanuna uyğun olaraq paylanır:

eksponensial paylanmanın parametri haradadır.

Beləliklə

düyü. 5.

Rəqəmsal xüsusiyyətlər:

Misal 1.28. Təsadüfi dəyər X– ampulün işləmə müddəti – eksponensial paylanmaya malikdir. Orta işləmə müddəti 400 saat olarsa, lampanın işləmə müddətinin ən azı 600 saat olacağı ehtimalını müəyyənləşdirin.

Həll: Məsələnin şərtlərinə uyğun olaraq təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri X 400 saata bərabərdir, buna görə də:

;

Tələb olunan ehtimal, harada

Nəhayət:

Müstəqil iş üçün tapşırıqlar:

1. Parametr olarsa, eksponensial qanunun sıxlıq və paylanma funksiyasını yazın.

2. Təsadüfi dəyişən X

Kəmiyyətin riyazi gözləntisini və dispersiyasını tapın X.

3. Təsadüfi dəyişən X ehtimal paylama funksiyası ilə verilir:

Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini və standart kənarlaşmasını tapın.

1.4.3. Normal paylama

Normal fasiləsiz təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanması adlanır X, sıxlığı formaya malikdir:

Harada A– riyazi gözlənti, – standart kənarlaşma X.

Ehtimal ki X intervala aid bir dəyər alacaq:

, Harada

– Laplas funksiyası.

Bunun üçün bir paylama; , yəni. ehtimal sıxlığı ilə standart adlanır.

düyü. 6.

Mütləq dəyərin rədd edilməsi ehtimalı azdır müsbət rəqəm :

.

Xüsusilə, nə vaxt a= 0 bərabərlik doğrudur:

Misal 1.29. Təsadüfi dəyər X normal paylanmışdır. Standart sapma. Təsadüfi kəmənin mütləq qiymətdə onun riyazi gözləntisindən kənarlaşmasının 0,3-dən az olması ehtimalını tapın.

Həll: .

Müstəqil iş üçün tapşırıqlar:

1. Ehtimal sıxlığını yazın normal paylanma təsadüfi dəyişən X, bunu bilərək M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Normal paylanmış təsadüfi kəmiyyətin gözləntiləri və standart kənarlaşması X müvafiq olaraq 20 və 5-ə bərabərdir. Test nəticəsində olma ehtimalını tapın X(15;20) intervalında olan dəyəri alacaq.

3. Təsadüfi ölçmə xətaları standart sapma mm və riyazi gözlənti ilə normal qanuna tabedir. a= 0. 3 müstəqil ölçmədən ən azı birinin xətasının mütləq qiymətdə 4 mm-dən çox olmama ehtimalını tapın.

4. Müəyyən bir maddə sistematik səhvlər olmadan çəkilir. Təsadüfi çəki xətaları standart kənarlaşma r ilə normal qanuna tabedir.Mütləq qiymətdə çəkinin 10 q-dan çox olmayan xəta ilə aparılma ehtimalını tapın.

Fəsil 1. Diskret təsadüfi dəyişən

§ 1. Təsadüfi dəyişən anlayışları.

Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu.

Tərif : Təsadüfi, sınaq nəticəsində, əvvəlcədən bilinməyən və təsadüfi səbəblərdən asılı olaraq, mümkün qiymətlər toplusundan yalnız bir qiymət alan kəmiyyətdir.

Təsadüfi dəyişənlərin iki növü var: diskret və davamlı.

Tərif : X təsadüfi dəyişən adlanır diskret (fasiləsiz) əgər onun dəyərlər dəsti sonlu və ya sonsuzdur, lakin hesablana bilirsə.

Başqa sözlə, diskret təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri yenidən nömrələnə bilər.

Təsadüfi dəyişən onun paylanma qanunundan istifadə edərək təsvir edilə bilər.

Tərif : Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətləri ilə onların ehtimalları arasındakı uyğunluğu çağırın.

Diskret təsadüfi dəyişən X-in paylanma qanunu cədvəl şəklində göstərilə bilər, onun birinci sətirində təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətləri artan qaydada, ikinci sətirdə isə bunların müvafiq ehtimalları göstərilir. dəyərlər, yəni.

burada р1+ р2+…+ рn=1

Belə cədvəl diskret təsadüfi dəyişənin paylanma sırası adlanır.

Təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlər çoxluğu sonsuzdursa, p1+ p2+…+ pn+… seriyası birləşir və onun cəmi 1-ə bərabərdir.

Diskret təsadüfi dəyişən X-in paylanma qanunu qrafik şəkildə təsvir edilə bilər, bunun üçün düzbucaqlı koordinat sistemində nöqtələri ardıcıl olaraq koordinatları (xi; pi), i=1,2,…n birləşdirən sınıq xətt qurulur. Nəticə xətti adlanır paylama poliqonu (şək. 1).

Üzvi kimya" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">üzvi kimya müvafiq olaraq 0,7 və 0,8-dir. X təsadüfi dəyişəni üçün paylanma qanununu tərtib edin - tələbənin keçəcəyi imtahanların sayı.

Həll. İmtahan nəticəsində hesab edilən təsadüfi dəyişən X aşağıdakı qiymətlərdən birini qəbul edə bilər: x1=0, x2=1, x3=2.

Bu dəyərlərin ehtimalını tapaq.Hadisələri işarə edək:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" eni="259" hündürlük="66 src=">

Beləliklə, X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunu cədvəllə verilir:

Nəzarət: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Paylanma funksiyası

Təsadüfi dəyişənin tam təsviri paylama funksiyası ilə də verilir.

Tərif: Diskret təsadüfi dəyişən X-in paylanma funksiyası hər bir x dəyəri üçün X təsadüfi dəyişənin x-dən kiçik qiymət alması ehtimalını təyin edən F(x) funksiyası adlanır:

F(x)=P(X<х)

Həndəsi olaraq paylanma funksiyası X təsadüfi dəyişənin say xəttində x nöqtəsinin solunda yerləşən nöqtə ilə ifadə olunan dəyəri alması ehtimalı kimi şərh edilir.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) (-∞;+∞) üzərində azalmayan funksiyadır;

3) F(x) - x= xi (i=1,2,...n) nöqtələrində solda davamlı və bütün digər nöqtələrdə davamlı;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Diskret təsadüfi kəmiyyət X-in paylanma qanunu cədvəl şəklində verilirsə:

onda F(x) paylanma funksiyası düsturla müəyyən edilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

x≤ x1 üçün 0,

r1 x1-də< х≤ x2,

F(x)= x2-də р1 + р2< х≤ х3

x> xn üçün 1.

Onun qrafiki Şəkil 2-də göstərilmişdir:

§ 3. Diskret təsadüfi kəmiyyətin ədədi xarakteristikaları.

Əhəmiyyətli ədədi xüsusiyyətlərdən biri riyazi gözləntidir.

Tərif: Riyazi gözlənti M(X) diskret təsadüfi dəyişən X onun bütün dəyərlərinin və onlara uyğun ehtimalların məhsullarının cəmidir:

M(X) = ∑ xiри= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin orta qiymətinin xarakteristikası kimi çıxış edir.

Riyazi gözləmənin xüsusiyyətləri:

1)M(C)=C, burada C sabit qiymətdir;

2)M(C X)=C M(X),

3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), burada X, Y müstəqil təsadüfi dəyişənlərdir;

5)M(X±C)=M(X)±C, burada C sabit qiymətdir;

Diskret təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin orta dəyəri ətrafında dispersiya dərəcəsini xarakterizə etmək üçün dispersiyadan istifadə olunur.

Tərif: Fərqlilik D ( X ) təsadüfi dəyişən X təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisindən kvadrat sapmasının riyazi gözləntisidir:

Dispersiya xüsusiyyətləri:

1)D(C)=0, burada C sabit qiymətdir;

2)D(X)>0, burada X təsadüfi dəyişəndir;

3)D(C X)=C2 D(X), burada C sabit qiymətdir;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), burada X, Y müstəqil təsadüfi dəyişənlərdir;

Dispersiyanı hesablamaq üçün düsturdan istifadə etmək çox vaxt rahatdır:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

burada M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

D(X) dispersiyasının kvadrat təsadüfi kəmiyyət ölçüsü var ki, bu da həmişə əlverişli deyil. Buna görə də, √D(X) dəyəri təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin dispersiyasının göstəricisi kimi də istifadə olunur.

Tərif: Standart sapma σ(X) X təsadüfi dəyişəni dispersiyanın kvadrat kökü adlanır:

Tapşırıq № 2. Diskret təsadüfi dəyişən X paylama qanunu ilə müəyyən edilir:

P2, paylanma funksiyası F(x)-i tapın və onun qrafikini, həmçinin M(X), D(X), σ(X) qrafikini çəkin.

Həll: X təsadüfi kəmiyyətinin mümkün qiymətlərinin ehtimallarının cəmi 1-ə bərabər olduğundan, onda

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

F(x)=P(X) paylanma funksiyasını tapaq

Həndəsi cəhətdən bu bərabərliyi aşağıdakı kimi şərh etmək olar: F(x) təsadüfi dəyişənin say oxunda x nöqtəsinin solunda yerləşən nöqtə ilə ifadə olunan qiyməti alma ehtimalıdır.

Əgər x≤-1 olarsa, onda F(x)=0, çünki (-∞;x) üzərində bu təsadüfi dəyişənin tək qiyməti yoxdur;

Əgər -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Əgər 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) iki qiymət var x1=-1 və x2=0;

Əgər 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Əgər 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Əgər x>3 olarsa, onda F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, çünki dörd qiymət x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 (-∞;x) və x5=3 intervalına düşür.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" eni="14 hündürlük=2" hündürlük="2"> x≤-1-də 0,

-1-də 0,1<х≤0,

0-da 0.2<х≤1,

F(x)= 1-də 0,5<х≤2,

2-də 0,7<х≤3,

1-də x>3

F(x) funksiyasını qrafik olaraq təqdim edək (şək. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" eni="158 hündürlük=29" hündürlük="29">≈1,2845.

§ 4. Binom paylanma qanunu

diskret təsadüfi dəyişən, Puasson qanunu.

Tərif: binomial diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanması qanunu adlanır X - hər birində A hadisəsi p ehtimalı ilə baş verə bilən və ya q = 1-p ehtimalı ilə baş verməyən n müstəqil təkrar sınaqda A hadisəsinin baş vermələrinin sayı. Onda P(X=m) - n sınaqda A hadisəsinin düz m dəfə baş vermə ehtimalı Bernulli düsturu ilə hesablanır:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

İkili qanuna görə paylanmış X təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntiləri, dispersiyası və standart sapması müvafiq olaraq düsturlardan istifadə etməklə tapılır:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Hər sınaqda A hadisəsinin baş vermə ehtimalı - "beşin atılması" eynidir və 1/6-ya bərabərdir. , yəni P(A)=p=1/6, onda P(A)=1-p=q=5/6, burada

- "A ala bilməmək."

X təsadüfi dəyişəni aşağıdakı qiymətləri qəbul edə bilər: 0;1;2;3.

Bernoulli düsturundan istifadə edərək X-in mümkün qiymətlərinin hər birinin ehtimalını tapırıq:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Bu. X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunu aşağıdakı formaya malikdir:

Nəzarət: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

X təsadüfi kəmiyyətinin ədədi xarakteristikalarını tapaq:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Tapşırıq № 4. Avtomatik maşın hissələri möhürləyir. İstehsal edilmiş hissənin qüsurlu olma ehtimalı 0,002-dir. 1000 seçilmiş hissə arasında olma ehtimalını tapın:

a) 5 qüsurlu;

b) ən azı biri qüsurludur.

Həll: n=1000 ədədi böyükdür, qüsurlu hissənin əmələ gəlməsi ehtimalı p=0,002 azdır və nəzərdən keçirilən hadisələr (hissə qüsurlu olur) müstəqildir, buna görə də Puasson düsturu yerinə yetirilir:

Рn(m)= e- λ λm

λ=np=1000 0,002=2 tapaq.

a) 5 qüsurlu hissənin olma ehtimalını tapın (m=5):

Р1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Ən azı bir qüsurlu hissənin olma ehtimalını tapın.

A hadisəsi - "seçilmiş hissələrdən ən azı biri nasazdır" hadisənin əksidir - "bütün seçilmiş hissələr qüsurlu deyil." Buna görə də, P(A) = 1-P(). Beləliklə, istənilən ehtimal bərabərdir: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

Müstəqil iş üçün tapşırıqlar.

1.1

1.2. Dağılmış təsadüfi dəyişən X paylama qanunu ilə müəyyən edilir:

p4-ü, F(X) paylama funksiyasını tapın və onun qrafikini, həmçinin M(X), D(X), σ(X) qrafikini çəkin.

1.3. Qutuda 9 marker var, 2-si artıq yazmır. Təsadüfi olaraq 3 marker götürün. Təsadüfi dəyişən X götürülənlər arasında yazı markerlərinin sayıdır. Təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu tərtib edin.

1.4. Kitabxananın rəfində təsadüfi şəkildə düzülmüş 6 dərslik var, onlardan 4-ü cildlidir. Kitabxanaçı təsadüfi qaydada 4 dərsliyi götürür. Təsadüfi dəyişən X götürülənlər arasında cildlənmiş dərsliklərin sayıdır. Təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu tərtib edin.

1.5. Biletdə iki tapşırıq var. Birinci məsələnin düzgün həlli ehtimalı 0,9, ikincisi isə 0,7-dir. Təsadüfi dəyişən X biletdəki düzgün həll edilmiş problemlərin sayıdır. Paylanma qanununu tərtib edin, bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini və dispersiyasını hesablayın, həmçinin F(x) paylanma funksiyasını tapın və onun qrafikini qurun.

1.6. Üç atıcı hədəfə atəş açır. Bir atışla hədəfi vurma ehtimalı birinci atıcı üçün 0,5, ikinci üçün 0,8, üçüncü üçün isə 0,7-dir. Təsadüfi dəyişən X, atıcılar hər dəfə bir atəş açdıqları təqdirdə hədəfə vurulan vuruşların sayıdır. M(X),D(X) paylanma qanununu tapın.

1.7. Basketbolçu topu səbətə atır, hər vuruşa dəymə ehtimalı 0,8. Hər vuruş üçün o, 10 xal alır və qaçırsa, ona heç bir xal verilmir. X təsadüfi dəyişəni üçün paylama qanununu tərtib edin - basketbolçunun 3 atışda aldığı xalların sayı. M(X),D(X), eləcə də onun 10 baldan çox alma ehtimalını tapın.

1.8. Kartların üzərinə hərflər yazılır, cəmi 5 sait və 3 samit. 3 kart təsadüfi seçilir və hər dəfə götürülmüş kart geri qaytarılır. Təsadüfi dəyişən X götürülənlər arasında saitlərin sayıdır. Paylanma qanununu tərtib edin və M(X),D(X),σ(X) tapın.

1.9. Orta hesabla müqavilələrin 60%-i üzrə sığorta hadisəsinin baş verməsi ilə əlaqədar sığorta məbləği sığorta şirkəti ödəyir. X təsadüfi dəyişəni üçün paylama qanununu tərtib edin - təsadüfi seçilmiş dörd müqavilə arasında sığorta məbləğinin ödənildiyi müqavilələrin sayı. Bu kəmiyyətin ədədi xarakteristikalarını tapın.

1.10. Radiostansiya ikitərəfli rabitə qurulana qədər müəyyən fasilələrlə çağırış işarələrini (dörddən çox olmayan) göndərir. Zəng işarəsinə cavab alma ehtimalı 0,3-dür. Təsadüfi dəyişən X göndərilən zəng işarələrinin sayıdır. Paylanma qanununu tərtib edin və F(x) tapın.

1.11. 3 açar var, onlardan yalnız biri kilidə uyğundur. Təsadüfi dəyişən X-in paylanması qanununu tərtib edin, əgər sınanmış açar sonrakı cəhdlərdə iştirak etmirsə, kilidi açmaq cəhdlərinin sayı. M(X),D(X) tapın.

1.12. Etibarlılıq üçün üç cihazın ardıcıl müstəqil sınaqları aparılır. Hər bir sonrakı cihaz yalnız əvvəlkinin etibarlı olduğu halda sınaqdan keçirilir. Hər bir cihaz üçün testdən keçmə ehtimalı 0,9-dur. Test edilmiş cihazların təsadüfi dəyişən X sayı üçün paylama qanununu tərtib edin.

1.13 .X diskret təsadüfi dəyişənin üç mümkün qiyməti var: x1=1, x2, x3 və x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Elektron cihaz blokunda 100 eyni element var. T zamanı hər bir elementin sıradan çıxma ehtimalı 0,002-dir. Elementlər müstəqil işləyir. T zamanı ərzində ikidən çox olmayan elementin sıradan çıxma ehtimalını tapın.

1.15. Dərslik 50 min nüsxə tirajla nəşr edilmişdir. Dərsliyin səhv bağlanma ehtimalı 0,0002-dir. Sirkulyasiyada aşağıdakıların olma ehtimalını tapın:

a) dörd qüsurlu kitab,

b) ikidən az qüsurlu kitab.

1 .16. Hər dəqiqə ATS-ə daxil olan zənglərin sayı λ=1,5 parametri ilə Puasson qanununa əsasən paylanır. Bir dəqiqədən sonra aşağıdakıların gəlməsi ehtimalını tapın:

a) iki zəng;

b) ən azı bir zəng.

1.17.

Z=3X+Y olarsa M(Z),D(Z)-i tapın.

1.18. İki müstəqil təsadüfi dəyişənin paylanma qanunları verilmişdir:

Z=X+2Y olarsa M(Z),D(Z)-i tapın.

Cavablar:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0,4; x≤-2-də 0,

-2-də 0,3<х≤0,

F(x)= 0-da 0.5<х≤2,

2-də 0,9<х≤5,

1-də x>5

1.2. p4=0,1; x≤-1-də 0,

-1-də 0,3<х≤0,

0-da 0.4<х≤1,

F(x)= 1-də 0.6<х≤2,

2-də 0,7<х≤3,

1-də x>3

M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" eni="2 hündürlük=98" hündürlük="98"> x≤0-da 0,

0-da 0.03<х≤1,

F(x)= 1-də 0,37<х≤2,

x>2 üçün 1

M(X)=2; D(X)=0,62

M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈

M(X)=2,4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. a) 0,0189; b) 0,00049

1.16. a)0,0702; b) 0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Fəsil 2. Davamlı təsadüfi dəyişən

Tərif: Davamlı bütün mümkün dəyərləri say xəttinin sonlu və ya sonsuz diapazonunu tamamilə dolduran kəmiyyətdir.

Aydındır ki, fasiləsiz təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin sayı sonsuzdur.

Fasiləsiz təsadüfi dəyişən paylama funksiyasından istifadə etməklə təyin edilə bilər.

Tərif: F paylama funksiyası fasiləsiz təsadüfi dəyişən X hər bir dəyər üçün müəyyən edən F(x) funksiyası adlanır. R

Paylanma funksiyası bəzən məcmu paylama funksiyası adlanır.

Paylanma funksiyasının xüsusiyyətləri:

1)1≤ F(x) ≤1

2) Davamlı təsadüfi dəyişən üçün paylama funksiyası istənilən nöqtədə fasiləsizdir və ayrı-ayrı nöqtələr istisna olmaqla, hər yerdə diferensiallana bilir.

3) X təsadüfi dəyişənin (a;b), [a;b], [a;b] intervallarından birinə düşmə ehtimalı F(x) funksiyasının qiymətləri arasındakı fərqə bərabərdir. a və b nöqtələrində, yəni. R(a)<Х

4) X davamlı təsadüfi dəyişənin bir ayrı qiymət alması ehtimalı 0-dır.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Paylanma funksiyasından istifadə edərək fasiləsiz təsadüfi dəyişənin təyin edilməsi yeganə yol deyil. Ehtimalın paylanma sıxlığı (paylanma sıxlığı) anlayışını təqdim edək.

Tərif : Ehtimalın paylanması sıxlığı f ( x ) fasiləsiz təsadüfi dəyişən X-in paylanma funksiyasının törəməsidir, yəni:

Ehtimal sıxlığı funksiyası bəzən diferensial paylanma funksiyası və ya diferensial paylanma qanunu adlanır.

f(x) ehtimal sıxlığının paylanmasının qrafiki adlanır ehtimal paylama əyrisi .

Ehtimal sıxlığının paylanmasının xüsusiyyətləri:

1) f(x) ≥0, burada xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6

∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/) 2-4))=8s;

b) Məlumdur ki, F(x)= ∫ f(x)dx

Buna görə də, x

əgər x≤2, onda F(x)= ∫ 0dx=0;

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6

əgər x>6, onda F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) =

1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1.

Beləliklə,

x≤2-də 0,

F(x)= (x-2)2/16-da 2<х≤6,

x>6 üçün 1.

F(x) funksiyasının qrafiki şək 3-də göstərilmişdir

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" eni="14" hündürlük="62 src="> x≤0-da 0,

F(x)= (3 arktan x)/π 0-da<х≤√3,

x>√3 üçün 1.

f(x) diferensial paylanma funksiyasını tapın

Həll: f(x)= F’(x) olduğundan

DIV_ADBLOCK93">

· Riyazi gözlənti M (X) davamlı təsadüfi dəyişən X bərabərliklə müəyyən edilir:

M(X)= ∫ x f(x)dx,

bir şərtlə ki, bu inteqral mütləq yaxınlaşsın.

· Dispersiya D ( X ) davamlı təsadüfi dəyişən X bərabərliklə müəyyən edilir:

D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, və ya

D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2

· Standart kənarlaşma σ(X) davamlı təsadüfi dəyişən bərabərliklə müəyyən edilir:

Daha əvvəl dispers təsadüfi dəyişənlər üçün müzakirə edilən riyazi gözləmə və dispersiyanın bütün xassələri davamlı olanlar üçün də etibarlıdır.

Tapşırıq №3. X təsadüfi dəyişəni f(x) diferensial funksiyası ilə müəyyən edilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Müstəqil həll üçün problemlər.

2.1. Fasiləsiz təsadüfi dəyişən X paylama funksiyası ilə müəyyən edilir:

x≤0-da 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 üçün 0,

F(x)= - π/6-da cos 3x<х≤ π/3,

x> π/3 üçün 1.

f(x) diferensial paylanma funksiyasını tapın və həmçinin

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

x≤2-də 0,

f(x)= c x 2-də<х≤4,

x>4 üçün 0.

2.4. Fasiləsiz təsadüfi dəyişən X paylanma sıxlığı ilə müəyyən edilir:

x≤0-da 0,

f(x)= 0-da c √x<х≤1,

x>1 üçün 0.

Tapın: a) c rəqəmi; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x at,

0-da x.

Tapın: a) F(x) və onun qrafikini qurun; b) M(X),D(X), σ(X); c) dörd müstəqil sınaqda X-in qiymətinin (1;4) intervalına aid dəyərin düz 2 qatını alması ehtimalı.

2.6. Fasiləsiz X təsadüfi kəmiyyətinin ehtimal paylama sıxlığı verilir:

f(x)= 2(x-2) x-də,

0-da x.

Tapın: a) F(x) və onun qrafikini qurun; b) M(X),D(X), σ (X); c) üç müstəqil sınaqda X-in dəyərinin seqmentə aid dəyərin düz 2 qatını alması ehtimalı .

2.7. f(x) funksiyası aşağıdakı kimi verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. f(x) funksiyası aşağıdakı kimi verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" eni="45" hündürlük="36 src="> .jpg" eni="16" hündürlük="15">[- π /4; π /4].

Tapın: a) funksiyanın bəzi X təsadüfi kəmiyyətinin ehtimal sıxlığı olacağı c sabitinin qiymətini; b) paylanma funksiyası F(x).

2.9. (3;7) intervalında cəmlənmiş X təsadüfi kəmiyyəti F(x)= paylanma funksiyası ilə təyin olunur. Bunun ehtimalını tapın

təsadüfi dəyişən X dəyəri alacaq: a) 5-dən az, b) 7-dən az deyil.

2.10. Təsadüfi dəyişən X, intervalda cəmlənmişdir (-1;4),

F(x)= paylanma funksiyası ilə verilir. Bunun ehtimalını tapın

təsadüfi dəyişən X dəyəri alacaq: a) 2-dən az, b) 4-dən az deyil.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Tapın: a) c rəqəmi; b) M(X); c) ehtimal P(X> M(X)).

2.12. Təsadüfi dəyişən diferensial paylama funksiyası ilə müəyyən edilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" eni="60" hündürlük="38 src=">.jpg" eni="16 hündürlük=15" hündürlük="15"> .

Tapın: a) M(X); b) ehtimal P(X≤M(X))

2.13. Rem paylanması ehtimal sıxlığı ilə verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0 üçün.

Sübut edin ki, f(x) həqiqətən də ehtimal sıxlığı funksiyasıdır.

2.14. Fasiləsiz X təsadüfi kəmiyyətinin ehtimal paylama sıxlığı verilir:

DIV_ADBLOCK96">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(Şəkil 5)

2.16. X təsadüfi dəyişəni qanuna uyğun olaraq paylanır. düz üçbucaq"(0;4) intervalında (şək. 5). Bütün say xəttində f(x) ehtimal sıxlığının analitik ifadəsini tapın.

Cavablar

x≤0-da 0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 üçün 0,

π/6-da F(x)= 3sin 3x<х≤ π/3, Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е.

x≤a üçün 0,

a üçün f(x)=<х

x≥b üçün 0.

f(x) funksiyasının qrafiki şəkildə göstərilmişdir. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a üçün 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

Tapşırıq №1. X təsadüfi dəyişəni seqmentdə bərabər paylanmışdır. Tapın:

a) ehtimalın paylanması sıxlığı f(x) və onun qrafikini qurun;

b) paylanma funksiyası F(x) və onun qrafiki;

c) M(X),D(X), σ(X).

Həll: Yuxarıda müzakirə olunan düsturlardan istifadə edərək a=3, b=7 ilə tapırıq:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" eni="22" hündürlük="39"> 3≤х≤7-də,

x>7 üçün 0

Onun qrafikini quraq (şək. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 at x≤3,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" eni="203" hündürlük="119 src=">Şəkil 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" eni="14" hündürlük="49 src="> x-də 0<0,

f(x)= x≥0 üçün λе-λх.

Eksponensial qanuna görə paylanmış X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası düsturla verilir:

DIV_ADBLOCK98">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" eni="161" hündürlük="119 src="> Şəkil 6

Eksponensial paylanmanın riyazi gözləntiləri, dispersiya və standart sapması müvafiq olaraq aşağıdakılara bərabərdir:

M(X)= , D(X)=, σ (Х)=

Beləliklə, riyazi gözlənti və eksponensial paylanmanın standart kənarlaşması bir-birinə bərabərdir.

X-in (a;b) intervalına düşmə ehtimalı düsturla hesablanır:

P(a<Х

Tapşırıq № 2. Cihazın orta nasazlıqsız işləmə müddəti 100 saatdır.Aparatın nasazsız işləmə müddətinin eksponensial paylanma qanununa malik olduğunu fərz etsək, tapın:

a) ehtimalın paylanma sıxlığı;

b) paylanma funksiyası;

c) cihazın nasazlıqsız işləmə müddətinin 120 saatdan çox olma ehtimalı.

Həll: Şərtə görə, riyazi paylanma M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 at x<0,

a) x≥0 üçün f(x)= 0,01e -0,01x.

b) x-də F(x)= 0<0,

x≥0-da 1-e -0,01x.

c) Paylanma funksiyasından istifadə edərək istənilən ehtimalı tapırıq:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3.

§ 3.Normal paylanma qanunu

Tərif: Davamlı təsadüfi dəyişən X var normal paylanma qanunu (Gauss qanunu), onun paylanma sıxlığı formaya malikdirsə:

,

burada m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Normal paylanma əyrisi adlanır normal və ya Qauss əyrisi (Şəkil 7)

Normal əyri x=m düz xəttinə nisbətən simmetrikdir, x=a-da maksimuma malikdir, -ə bərabərdir.

Normal qanuna görə paylanmış X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası Laplas funksiyası F (x) vasitəsilə aşağıdakı düsturla ifadə edilir:

,

Laplas funksiyası haradadır.

Şərh: Ф(x) funksiyası təkdir (Ф(-х)=-Ф(х)), əlavə olaraq x>5 üçün Ф(х) ≈1/2 qəbul edə bilərik.

F(x) paylanma funksiyasının qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" eni="218" hündürlük="33">

Sapmanın mütləq qiymətinin müsbət δ ədədindən kiçik olması ehtimalı düsturla hesablanır:

Xüsusilə, m=0 üçün aşağıdakı bərabərlik yerinə yetirilir:

"Üç Siqma Qaydası"

Əgər X təsadüfi kəmiyyəti m və σ parametrləri ilə normal paylanma qanununa malikdirsə, onda onun qiymətinin (a-3σ; a+3σ) intervalında olması demək olar ki, dəqiqdir, çünki

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" eni="157" hündürlük="57 src=">a)

b) Düsturdan istifadə edək:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" eni="369" hündürlük="38 src=">

Ф(х) funksiya qiymətləri cədvəlindən Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413 tapırıq.

Beləliklə, istədiyiniz ehtimal:

P(28

Müstəqil iş üçün tapşırıqlar

3.1. X təsadüfi kəmiyyəti (-3;5) intervalında bərabər paylanmışdır. Tapın:

b) paylanma funksiyası F(x);

c) ədədi xarakteristikalar;

d) ehtimalı P(4<х<6).

3.2. X təsadüfi dəyişəni seqmentdə bərabər paylanmışdır. Tapın:

a) paylanma sıxlığı f(x);

b) paylanma funksiyası F(x);

c) ədədi xarakteristikalar;

d) ehtimal P(3≤х≤6).

3.3. Magistral yolda avtomatik svetofor var ki, orada yaşıl işıq 2 dəqiqə, sarı 3 saniyə, qırmızı 30 saniyə yanır və s. Avtomobil magistralda təsadüfi vaxtda hərəkət edir. Avtomobilin svetofordan dayanmadan keçməsi ehtimalını tapın.

3.4. Metro qatarları müntəzəm olaraq 2 dəqiqəlik fasilələrlə hərəkət edir. Sərnişin təsadüfi vaxtda platformaya daxil olur. Bir sərnişinin qatar üçün 50 saniyədən çox gözləməli olma ehtimalı nədir? X təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın - qatarın gözləmə müddəti.

3.5. Paylanma funksiyası ilə verilən eksponensial paylanmanın dispersiyasını və standart kənarlaşmasını tapın:

F(x)= x-də 0<0,

x≥0 üçün 1-8x.

3.6. Davamlı təsadüfi dəyişən X ehtimalın paylanma sıxlığı ilə müəyyən edilir:

x-də f(x)= 0<0,

x≥0-da 0,7 e-0,7x.

a) Nəzərdən keçirilən təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununu adlandırın.

b) F(X) paylanma funksiyasını və X təsadüfi kəmiyyətinin ədədi xarakteristikalarını tapın.

3.7. X təsadüfi dəyişəni ehtimal paylama sıxlığı ilə müəyyən edilmiş eksponensial qanuna uyğun olaraq paylanır:

x-də f(x)= 0<0,

x≥0-da 0,4 e-0,4 x.

Test nəticəsində X-in (2.5;5) intervalından qiymət alması ehtimalını tapın.

3.8. Davamlı təsadüfi dəyişən X paylama funksiyası ilə müəyyən edilmiş eksponensial qanuna uyğun olaraq paylanır:

F(x)= x-də 0<0,

x≥0-da 1-0,6x

Test nəticəsində X-in seqmentdən qiymət alması ehtimalını tapın.

3.9. Normal paylanmış təsadüfi kəmənin gözlənilən qiyməti və standart kənarlaşması müvafiq olaraq 8 və 2-dir.Tap:

a) paylanma sıxlığı f(x);

b) sınaq nəticəsində X-in (10;14) intervalından qiymət alması ehtimalı.

3.10. Təsadüfi dəyişən X normal olaraq 3,5 riyazi gözlənti və 0,04 dispersiya ilə paylanır. Tapın:

a) paylanma sıxlığı f(x);

b) sınaq nəticəsində X-in seqmentdən qiymət alması ehtimalı .

3.11. X təsadüfi kəmiyyəti normal olaraq M(X)=0 və D(X)=1 ilə paylanır. Hadisələrdən hansının: |X|≤0.6 və ya |X|≥0.6 ehtimalı daha çoxdur?

3.12. X təsadüfi dəyişəni M(X)=0 və D(X)=1 ilə normal paylanır.Bir sınaq zamanı hansı intervaldan (-0,5;-0,1) və ya (1;2) qiymət almaq ehtimalı daha yüksəkdir?

3.13. Səhm başına cari qiymət M(X)=10 den olan normal paylanma qanunundan istifadə etməklə modelləşdirilə bilər. vahidlər və σ (X)=0,3 den. vahidlər Tapın:

a) cari səhm qiymətinin 9,8 den olması ehtimalı. vahidlər 10,4 günə qədər vahidlər;

b) “üç siqma qaydasından” istifadə edərək, cari səhm qiymətinin yerləşəcəyi sərhədləri tapın.

3.14. Maddənin çəkisi sistematik səhvlər olmadan aparılır. Təsadüfi ölçmə xətaları orta kvadrat nisbəti σ=5g olan normal qanuna tabedir. Dörd müstəqil təcrübədə üç çəkidə xətanın mütləq 3r qiymətində baş verməməsi ehtimalını tapın.

3.15. X təsadüfi kəmiyyəti normal olaraq M(X)=12.6 ilə paylanır. Təsadüfi dəyişənin (11.4;13.8) intervalına düşmə ehtimalı 0.6826-dır. Standart kənarlaşma σ tapın.

3.16. X təsadüfi kəmiyyəti M(X)=12 və D(X)=36 ilə normal paylanır.0,9973 ehtimalı ilə test nəticəsində X təsadüfi kəmiyyətinin düşəcəyi intervalı tapın.

3.17. Avtomatik maşın tərəfindən hazırlanmış hissə, onun idarə olunan parametrinin nominal dəyərdən X sapması modul 2 ölçü vahidindən çox olarsa, qüsurlu sayılır. Ehtimal olunur ki, X təsadüfi kəmiyyət M(X)=0 və σ(X)=0,7 ilə normal paylanmışdır. Maşın qüsurlu hissələrin neçə faizini istehsal edir?

3.18. Hissənin X parametri nominal dəyərə bərabər olan 2 riyazi gözlənti və 0,014 standart sapma ilə normal şəkildə paylanır. X-in nominal qiymətdən kənara çıxmasının nominal dəyərin 1%-dən çox olmama ehtimalını tapın.

Cavablar

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" eni="14" hündürlük="110 src=">

b) x≤-3 üçün 0,

F(x)= sol">

3.10. a)f(x)=,

b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1.2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

4. Davamlı təsadüfi kəmiyyətin ehtimal sıxlığı

Fasiləsiz təsadüfi dəyişən paylama funksiyasından istifadə etməklə təyin edilə bilər F(x) . Bu təyinat üsulu tək deyil. Davamlı təsadüfi dəyişən həmçinin paylanma sıxlığı və ya ehtimal sıxlığı (bəzən diferensial funksiya adlanır) adlanan başqa funksiyadan istifadə etməklə də təyin oluna bilər.

Tərif 4.1: Davamlı təsadüfi dəyişənin paylanma sıxlığı X funksiyasını çağırın f (x) - paylanma funksiyasının birinci törəməsi F(x) :

f ( x ) = F "( x ) .

Bu tərifdən belə çıxır ki, paylama funksiyası paylanma sıxlığının əks törəməsidir. Nəzərə alın ki, paylanma sıxlığı diskret təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanmasını təsvir etmək üçün uyğun deyil.

Davamlı təsadüfi dəyişənin verilmiş intervala düşmə ehtimalı

Paylanma sıxlığını bilməklə, fasiləsiz təsadüfi dəyişənin verilmiş intervala aid qiymət alması ehtimalını hesablaya bilərsiniz.

Teorem: Davamlı təsadüfi dəyişən X-in intervala aid olan dəyərləri alması ehtimalı (a, b), -dən aralığında götürülmüş paylanma sıxlığının müəyyən inteqralına bərabərdiraəvvəlb :

Sübut: nisbətindən istifadə edirik

P(a ≤ Xb) = F(b) – F(a).

Nyuton-Leybniz düsturuna görə,

Beləliklə,

.

Çünki P(a ≤ X b)= P(a X b) , sonra nəhayət əldə edirik

.

Həndəsi olaraq əldə edilən nəticə aşağıdakı kimi şərh edilə bilər: fasiləsiz təsadüfi dəyişənin intervala aid qiymət alması ehtimalı (a, b), ox ilə məhdudlaşan əyri xətti trapezoidin sahəsinə bərabərdiröküz, paylanma əyrisif(x) və düzx = aVəx = b.

Şərh: Xüsusilə, əgər f(x) – funksiya cütdür və intervalın ucları başlanğıca nisbətən simmetrikdir, onda

Misal. Təsadüfi dəyişənin ehtimal sıxlığı verilmişdir X

Test nəticəsində yaranma ehtimalını tapın X intervalına (0.5, 1) aid olan dəyərləri alacaq.

Həll: Tələb olunan ehtimal

.

Məlum paylanma sıxlığından paylama funksiyasının tapılması

Paylanma sıxlığını bilmək f(x) , paylanma funksiyasını tapa bilərik F(x) formuluna görə

.

Həqiqətən, F(x) = P(X x) = P(-∞ X x) .

Beləliklə,

Beləliklə, Paylanma sıxlığını bilməklə paylama funksiyasını tapa bilərsiniz. Əlbəttə ki, məlum paylama funksiyasından paylanma sıxlığını tapmaq olar, yəni:

f(x) = F"(x).

Misal. Verilmiş paylanma sıxlığı üçün paylama funksiyasını tapın:

Həll: Düsturdan istifadə edək

Əgər x ≤ a, Bu f(x) = 0 , deməli, F(x) = 0 . Əgər a , onda f(x) = 1/(b-a),

deməli,

.

Əgər x > b, Bu

.

Beləliklə, tələb olunan paylama funksiyası

Şərh: Biz vahid paylanmış təsadüfi dəyişənin paylama funksiyasını əldə etdik (vahid paylanmaya bax).

Paylanma sıxlığının xassələri

Mülk 1: Paylanma sıxlığı mənfi olmayan funksiyadır:

f ( x ) ≥ 0 .

Mülk 2:-∞ ilə ∞ aralığında paylanma sıxlığının düzgün olmayan inteqralı vahidə bərabərdir:

Şərh: Paylanma sıxlığı qrafiki adlanır paylanma əyrisi.

Şərh: Davamlı təsadüfi kəmiyyətin paylanma sıxlığına paylama qanunu da deyilir.

Misal. Təsadüfi dəyişənin paylanma sıxlığı aşağıdakı formaya malikdir:

Sabit bir parametr tapın a.

Həll: Paylanma sıxlığı şərti təmin etməlidir, buna görə də bərabərliyin təmin edilməsini tələb edəcəyik.

.

Buradan
. Qeyri-müəyyən inteqralı tapaq:

.

Yanlış inteqralı hesablayaq:

Beləliklə, tələb olunan parametr

Paylanma sıxlığının ehtimal mənası

Qoy F(x) – fasiləsiz təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası X. Paylanma sıxlığının tərifinə görə, f(x) = F"(x) , və ya

.

Fərq F(x+∆x) -F(x) olma ehtimalını müəyyən edir X intervalına aid qiymət alacaq (x, x+∆x). Beləliklə, fasiləsiz təsadüfi dəyişənin ehtimal nisbətinin həddi intervala aid bir qiymət alacaq (x, x+∆x), bu intervalın uzunluğuna (at ∆х→0) nöqtədə paylanma sıxlığının qiymətinə bərabərdir X.

Beləliklə, funksiya f(x) hər bir nöqtə üçün ehtimalın paylanma sıxlığını müəyyən edir X. Diferensial hesablamadan məlum olur ki, funksiyanın artımı təxminən funksiyanın diferensialına bərabərdir, yəni.

Çünki F"(x) = f(x) Və dx = ∆ x, Bu F(x+∆ x) - F(x) ≈ f(x)∆ x.

Bu bərabərliyin ehtimal mənası: təsadüfi dəyişənin intervala aid bir dəyər alması ehtimalı (x, x+∆ x) x nöqtəsindəki ehtimal sıxlığının və ∆x intervalının uzunluğunun hasilinə təxminən bərabərdir..

Həndəsi olaraq bu nəticə aşağıdakı kimi şərh edilə bilər: təsadüfi dəyişənin intervala aid bir dəyər alması ehtimalı (x, x+∆ x) əsası ∆х və hündürlüyü olan düzbucaqlının sahəsinə təxminən bərabərdirf(x).

5. Diskret təsadüfi dəyişənlərin tipik paylanmaları

5.1. Bernoulli paylanması

Tərif 5.1: Təsadüfi dəyər X, iki dəyər alaraq 1 Və 0 ehtimallarla (“uğur”) səh və (“uğursuzluq”) q, çağırdı Bernoullievskaya:

, Harada k=0,1.

5.2. Binom paylanması

Qoy istehsal olunsun n müstəqil sınaqlar, hər birində hadisə A görünə bilər və ya görünməyə bilər. Bütün sınaqlarda bir hadisənin baş vermə ehtimalı sabit və bərabərdir səh(buna görə də baş verməmə ehtimalı q = 1 - səh).

Təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirin X- hadisənin baş vermə sayı A bu testlərdə. Təsadüfi dəyər X dəyərləri qəbul edir 0,1,2,… n Bernoulli düsturu ilə hesablanmış ehtimallarla: , Harada k = 0,1,2,… n.

Tərif 5.2: binomial Bernulli düsturu ilə təyin olunan ehtimal paylanması adlanır.

Misal. Hədəfə üç atəş açılır və hər atışın vurulma ehtimalı 0,8-dir. Təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirək X- hədəfə vurulan zərbələrin sayı. Onun paylama seriyasını tapın.

Həll: Təsadüfi dəyər X dəyərləri qəbul edir 0,1,2,3 Bernoulli düsturu ilə hesablanmış ehtimallarla, burada n = 3, səh = 0,8 (vuruş ehtimalı), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (itkin düşmə ehtimalı).

Beləliklə, paylama seriyası aşağıdakı formaya malikdir:

Böyük dəyərlər üçün Bernoulli düsturundan istifadə edin n olduqca çətindir, buna görə də müvafiq ehtimalları hesablamaq üçün bir hadisənin baş vermə ehtimalını dəqiq tapmağa imkan verən yerli Laplas teoremindən istifadə edin. k hər dəfə n testlərin sayı kifayət qədər böyükdürsə, testlər.

Yerli Laplas teoremi: Ehtimal olarsa səh hadisənin baş verməsi A
ki, hadisə A -də görünəcək n dəqiq testlər k dəfə, təxminən bərabərdir (nə qədər dəqiq, bir o qədər çox n) funksiya dəyəri
, Harada
,
.

Qeyd 1: Funksiya dəyərlərini ehtiva edən cədvəllər
, Əlavə 1-də verilmişdir və
. Funksiya standart normal paylanmanın sıxlığıdır (normal paylanmaya bax).

Misal: Hadisənin baş vermə ehtimalını tapın A dəqiq gələcək 80 hər dəfə 400 hər sınaqda bu hadisənin baş vermə ehtimalı bərabərdirsə sınaqlar 0,2.

Həll:Şərtlə n = 400, k = 80, səh = 0,2 , q = 0,8 . Tapşırıq məlumatları ilə müəyyən edilmiş dəyəri hesablayaq x:
. Əlavə 1-dəki cədvəldən tapırıq
. Sonra tələb olunan ehtimal olacaq:

Bir hadisənin olma ehtimalını hesablamaq lazımdırsa A-də görünəcək n testlər az deyil k 1 bir dəfə və daha çox k 2 dəfə, onda siz Laplasın inteqral teoremindən istifadə etməlisiniz:

Laplasın inteqral teoremi: Ehtimal olarsa səh hadisənin baş verməsi A hər sınaqda sabit və sıfırdan fərqlidir və bir, sonra ehtimal
ki, hadisə A -də görünəcək n dan testlər k 1 əvvəl k 2 dəfə, təxminən müəyyən inteqrala bərabərdir

, Harada Və
.

Başqa sözlə, bir hadisənin olma ehtimalı A -də görünəcək n dan testlər k 1 əvvəl k 2 dəfə, təxminən bərabərdir

Harada
, Və .

Qeyd 2: Funksiya
Laplas funksiyası adlanır (normal paylanmaya baxın). Funksiya dəyərlərini ehtiva edən cədvəllər , Əlavə 2-də verilmişdir və .

Misal: arasında olması ehtimalını tapın 400 təsadüfi seçilmiş hissələr 70-dən 100-ə qədər sınanmamış olacaq, əgər hissənin keyfiyyətə nəzarət yoxlamasından keçməməsi ehtimalı bərabərdirsə 0,2.

Həll:Şərtlə n = 400, səh = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . İnteqrasiyanın aşağı və yuxarı hədlərini hesablayaq:

;
.

Beləliklə, bizdə:

Əlavə 2-dəki cədvəldən bunu görürük
Və
. Sonra tələb olunan ehtimal:

Qeyd 3: Bir sıra müstəqil sınaqlarda (n böyük, p kiçik olduqda) hadisənin tam k dəfə baş verməsi ehtimalını hesablamaq üçün Puasson düsturu istifadə olunur (bax: Puasson paylanması).

5.3. Poisson paylanması

Tərif 5.3: Diskret təsadüfi dəyişən adlanır Poisson, onun paylama qanunu aşağıdakı formaya malikdirsə:

, Harada Və (sabit dəyər).

Puasson təsadüfi dəyişənlərinin nümunələri:

Müəyyən müddət ərzində avtomatik stansiyaya edilən zənglərin sayı T.

Müəyyən müddət ərzində bəzi radioaktiv maddələrin parçalanan hissəciklərinin sayı T.

Müəyyən müddət ərzində emalatxanaya gələn televizorların sayı T böyük şəhərdə .

Böyük bir şəhərdə kəsişmənin dayanacağına çatacaq avtomobillərin sayı .

Qeyd 1: Bu ehtimalların hesablanması üçün xüsusi cədvəllər Əlavə 3-də verilmişdir.

Qeyd 2: Bir sıra müstəqil testlərdə (nə vaxt nəla, səh kifayət deyil) hadisənin baş vermə ehtimalını dəqiq hesablamaq üçün k Puasson düsturundan istifadə etməklə: , Harada , yəni hadisələrin baş verməsinin orta sayı sabit qalır.

Qeyd 3:Əgər Puasson qanununa görə paylanmış təsadüfi dəyişən varsa, o zaman mütləq eksponensial qanuna və əksinə paylanan təsadüfi dəyişən var (bax: Eksponensial paylanma).

Misal. Zavod bazaya göndərildi 5000 keyfiyyətli məhsullar. Tranzit zamanı məhsulun zədələnməsi ehtimalı bərabərdir 0,0002 . Baza üç yararsız məhsulun gəlməsi ehtimalını tapın.

Həll:Şərtlə n = 5000, səh = 0,0002, k = 3. tapacağıq λ: λ = n.p.= 5000·0,0002 = 1.

Puasson düsturuna görə, arzu olunan ehtimal bərabərdir:

, təsadüfi dəyişən haradadır X– istifadəyə yararsız məhsulların sayı.

5.4. Həndəsi paylanma

Hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı olan müstəqil testlər aparılsın A bərabərdir səh(0 səh

q = 1 - səh. Çağırışlar hadisə görünən kimi başa çatır A. Beləliklə, əgər bir hadisə A-də meydana çıxdı k-th test, sonra əvvəlki k – 1 sınaqlarda görünmədi.

ilə işarə edək X diskret təsadüfi dəyişən - hadisənin ilk baş verməsindən əvvəl həyata keçirilməli olan sınaqların sayı A. Aydındır ki, mümkün dəyərlər X var tam ədədlər x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Əvvəlcə qoy k-1 sınaq hadisəsi A gəlmədi, amma içəri k-th test çıxdı. Müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması teoreminə görə bu “mürəkkəb hadisənin” ehtimalı, P (X = k) = q k -1 səh.

Tərif 5.4: Diskret təsadüfi dəyişən var həndəsi paylanma, əgər onun paylama qanunu aşağıdakı formaya malikdirsə:

P ( X = k ) = q k -1 səh , Harada .

Qeyd 1:İnanmaq k = 1,2,… , birinci həddi ilə həndəsi irəliləyiş alırıq səh və məxrəc q (0q. Bu səbəbdən paylanma həndəsi adlanır.

Qeyd 2: Sıra yaxınlaşır və onun cəmi birə bərabərdir. Həqiqətən, seriyanın cəmi bərabərdir .

Misal. Silah ilk vuruşa qədər hədəfə atəş edilir. Hədəfi vurma ehtimalı səh = 0,6 . Üçüncü atışda vuruşun baş vermə ehtimalını tapın.

Həll:Şərtlə səh = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Tələb olunan ehtimal:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Hipergeometrik paylama

Aşağıdakı problemi nəzərdən keçirək. Partiyanı buraxın N məhsullar mövcuddur M standart (MN). Partiyadan təsadüfi götürülüb n məhsullar (hər bir məhsul eyni ehtimalla çıxarıla bilər) və seçilmiş məhsul növbətisini seçməzdən əvvəl partiyaya qaytarılmır (buna görə də Bernoulli düsturu burada tətbiq edilmir).

ilə işarə edək X təsadüfi dəyişən - ədəd m arasında standart məhsullar n seçildi. Sonra mümkün dəyərlər X 0, 1, 2,…, olacaq min; Gəlin onları etiketləyək və... By müstəqil dəyişənin dəyərləri (Fonds) düyməsini istifadə edin ( fəsil ...

“Ümumi psixoloji emalatxana” fənni üzrə tədris-metodiki kompleks

Tədris-metodika kompleksi

... metodoloji təlimatlar By praktiki işlərin yerinə yetirilməsi 5.1 Metodik tövsiyələr By təhsil layihələrinin həyata keçirilməsi 5.2 Metodik tövsiyələr By... həssaslıq), birölçülü və çoxölçülü... təsadüfi tərkibindəki komponent ölçüsü... İlə bölmə"Tamaşa...

Fizika fənni üzrə tədris-metodiki kompleks (adı)

Tədris-metodika kompleksi

... bölmələr dərsliklərdə. Problemin həlli By hər bir mövzu. İşlətmə metodoloji təlimatlar laboratoriya işi üçün By ... təsadüfi və instrumental ölçmə xətası 1.8 Mövzular testlər Və metodoloji təlimatlar By...hissəcik birölçülü potensial çuxur. ...

İnformatika fənni üzrə laboratoriya işləri üçün təlimatlar

Təlimatlar

... Metodik təlimatlar LABORATORİYA İŞLƏRİ ÜÇÜN By ... ölçüsü, və ən böyük məbləğ miqdarlar... massiv təsadüfiədədlər... 3,0 4,0 3,0 -2,5 14,3 16,2 18,0 1,0 a) birölçülü massiv b) ikiölçülü massiv Şək. 2– Fayllar... bölməsində təsvir edilmişdir bölmə həyata keçirildikdən sonra...