Düzbucaqlı üçbucaqda bucağın tapılması yolları - hesablama düsturları. Onlayn kalkulyator Üçbucaqların həlli Düzbucaqlı üçbucaqda bucaqların və uzunluqların hesablanması

Üçbucaq eyni xətdə olmayan üç nöqtəni birləşdirən üç seqmentdən ibarət həndəsi ədəddir. Üçbucağı əmələ gətirən nöqtələrə onun nöqtələri deyilir və seqmentlər yan-yanadır.

Üçbucağın növündən (düzbucaqlı, monoxrom və s.) asılı olaraq, daxil edilən məlumatlardan və məsələnin şərtlərindən asılı olaraq, üçbucağın tərəfini müxtəlif üsullarla hesablaya bilərsiniz.

Məqalə üçün sürətli naviqasiya

Düzbucaqlı üçbucağın tərəflərini hesablamaq üçün Pifaqor teoremi istifadə olunur, buna görə hipotenuzun kvadratı məbləğinə bərabərdir kvadrat fut.

Ayaqları "a" və "b", hipotenuzanı isə "c" kimi etiketləsək, səhifələri aşağıdakı düsturlarla tapmaq olar:

Düzbucaqlı üçbucağın (a və b) iti bucaqları məlumdursa, onun tərəflərini aşağıdakı düsturlarla tapmaq olar:

Kəsilmiş üçbucaq

Hər iki tərəfi eyni olan üçbucağa bərabərtərəfli üçbucaq deyilir.

İki ayaqda hipotenuzanı necə tapmaq olar

Əgər "a" hərfi eyni səhifə ilə eynidirsə, "b" əsasdır, "b" bazanın qarşısındakı bucaqdırsa, "a" bitişik bucaqdırsa, səhifələri hesablamaq üçün aşağıdakı düsturlardan istifadə edə bilərsiniz:

İki künc və bir yan

Hər hansı üçbucağın bir səhifəsi (c) və iki bucağı (a və b) məlumdursa, qalan səhifələri hesablamaq üçün sinus düsturu istifadə olunur:

Üçüncü dəyəri y = 180 - (a + b) tapmaq lazımdır, çünki

üçbucağın bütün bucaqlarının cəmi 180°-dir;

İki tərəf və bir bucaq

Üçbucağın iki tərəfi (a və b) və onlar arasındakı bucaq (y) məlumdursa, üçüncü tərəfi hesablamaq üçün kosinus teoremindən istifadə etmək olar.

Düzbucaqlı üçbucağın perimetrini necə təyin etmək olar

Üçbucaqlı üçbucaq üçbucaqdır, biri 90 dərəcə, digər ikisi isə kəskindir. hesablama perimetri bu cür üçbucaq haqqında məlum olan məlumatların miqdarından asılı olaraq.

Sizə lazım olacaq

Vəziyyətdən asılı olaraq, üçbucağın 2 üç tərəfi, eləcə də kəskin bucaqlarından biri bacarıqları.

təlimatlar

birinci Metod 1. Hər üç səhifə məlumdursa üçbucaq Sonra, perpendikulyar və ya qeyri-üçbucaqlı olmasından asılı olmayaraq, perimetr aşağıdakı kimi hesablanır: P = A + B + C, mümkün olduqda, c hipotenuzdur; a və b ayaqlarıdır.

ikinci Metod 2.

Düzbucaqlının yalnız iki tərəfi varsa, Pifaqor teoremindən istifadə edərək, üçbucaq düsturu ilə hesablana bilər: P = v (a2 + b2) + a + b və ya P = v (c2 - b2) + b + c.

üçüncü Metod 3. Hipotenuza c və iti bucaq olsun? Düzbucaqlı üçbucağı nəzərə alsaq, perimetri bu şəkildə tapmaq mümkün olacaq: P = (1 + sin?

dördüncü Metod 4. Düzgün üçbucaqda bir ayağın uzunluğunun a-a bərabər olduğunu və əksinə, iti bucaq olduğunu söyləyirlər. Sonra hesablayın perimetri Bu üçbucaq düsturla aparılacaq: P = a * (1 / tg?

1/oğul? + 1)

beşdə bir Metod 5.

Onlayn üçbucağın hesablanması

Qoy ayağımızı aparaq və ona daxil edək, onda diapazon belə hesablanacaq: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Əlaqədar videolar

Pifaqor teoremi bütün riyaziyyatın əsasını təşkil edir. Həqiqi üçbucağın tərəfləri arasındakı əlaqəni təyin edir. İndi bu teoremin 367 sübutu var.

təlimatlar

birinci Pifaqor teoreminin klassik məktəb ifadəsi belə səslənir: hipotenuzanın kvadratı ayaqların kvadratlarının cəminə bərabərdir.

Hipotenuzanı tapmaq üçün düz üçbucaq iki Catets, ayaqların uzunluğunun bir kvadratını qurmaq, onları toplamaq və götürmək üçün əlaqə saxlamalısınız Kvadrat kök məbləğindən. Onun bəyanatının ilkin tərtibində bazar, Catete tərəfindən istehsal olunan 2 kvadratın kvadratlarının cəminə bərabər olan hipotenuzaya əsaslanır. Bununla belə, müasir cəbri tənzimləmə domen təmsilçiliyinin tətbiqini tələb etmir.

ikinci Məsələn, ayaqları 7 sm və 8 sm olan düzbucaqlı üçbucaq.

Onda Pifaqor teoreminə görə kvadrat hipotenuz R + S = 49 + 64 = 113 sm-ə bərabərdir.Hipotenuz 113 ədədinin kvadrat kökünə bərabərdir.

Düzbucaqlı üçbucağın bucaqları

Nəticə əsassız rəqəm oldu.

üçüncüƏgər üçbucaqlar 3 və 4-cü ayaqdırsa, hipotenuza = 25 = 5. Kvadrat kökü götürəndə alırsınız. natural ədəd. 3, 4, 5 rəqəmləri x münasibətini təmin etdiyi üçün Piqaqor üçlüyü təşkil edir? +Y? = Z, bu təbiidir.

Pifaqor üçlüyünün digər nümunələri bunlardır: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

dördüncü Bu halda, ayaqlar bir-birinə eynidirsə, Pifaqor teoremi daha primitiv bir tənliyə çevrilir. Məsələn, tutaq ki, belə bir əl A sayına bərabərdir və C üçün hipotenuza müəyyən edilir, sonra isə c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Bu halda sizə A lazım deyil.

beşdə bir Pifaqor teoremi ümumi kosinus teoremindən daha böyük olan xüsusi haldır və üçbucağın üç tərəfi arasında ikisi arasındakı istənilən bucaq üçün əlaqə qurur.

İpucu 2: Ayaqlar və açılar üçün hipotenuzanı necə təyin etmək olar

Hipotenuza düzbucaqlı üçbucağın 90 dərəcə bucağa qarşı olan tərəfidir.

təlimatlar

birinci Bilinən kateterlər, eləcə də sağ üçbucağın kəskin bucağı vəziyyətində, hipotenuz ayağın bu bucağın kosinusuna / sinusuna nisbətinə bərabər bir ölçüyə sahib ola bilər, əgər bucaq əks olsaydı / e daxildir: H = C1 (və ya C2) / sin, H = C1 (və ya C2?) / cos?. Misal: ABC-yə AB hipotenuzası və düz bucağı C olan qeyri-müntəzəm üçbucaq verilsin.

B 60 dərəcə və A 30 dərəcə olsun. BC gövdəsinin uzunluğu 8 sm-dir.AB hipotenuzasının uzunluğunu tapmaq lazımdır. Bunu etmək üçün yuxarıda göstərilən üsullardan birini istifadə edə bilərsiniz: AB = BC / cos60 = 8 sm.AB = BC / sin30 = 8 sm.

Hipotenuza düzbucaqlının ən uzun tərəfidir üçbucaq. Düz bucaq altında yerləşir. Düzbucaqlının hipotenuzunu tapmaq üsulu üçbucaq mənbə məlumatlarından asılı olaraq.

təlimatlar

birinci Ayaqlarınız perpendikulyardırsa üçbucaq, onda düzbucaqlının hipotenuzasının uzunluğu üçbucaq Pifaqor analoqu ilə aşkar edilə bilər - hipotenuzanın uzunluğunun kvadratı ayaqların uzunluqlarının kvadratlarının cəminə bərabərdir: c2 = a2 + b2, burada a və b sağın ayaqlarının uzunluğudur. üçbucaq .

ikinci Ayaqlardan biri məlumdursa və kəskin bucaq altındadırsa, hipotenuzanın tapılması düsturu altındakı varlığından və ya olmamasından asılı olacaq. müəyyən bucaq məlum ayağa münasibətdə - bitişik (ayaq yaxın yerləşir) və ya əksinə (əks halda nego yerləşir. Göstərilən bucağın V kosinus bucağında ayağın hipotenuzasının hissəsinə bərabərdir: a = a / cos; E, digər tərəfdən, hipotenuz sinusoidal bucaqların nisbəti ilə eynidır: da = a / sin.

Əlaqədar videolar

Faydalı məsləhətlər
Tərəfləri 3:4:5 nisbətində əlaqəli olan bucaqlı üçbucağa Misir deltası deyilir, çünki bu fiqurlar qədim Misir memarları tərəfindən geniş istifadə edilmişdir.

Bu həm də səhifələrin və sahənin tam ədədlərlə təmsil olunduğu Jero üçbucaqlarının ən sadə nümunəsidir.

Bucağı 90° olan üçbucaq düzbucaqlı adlanır. Sağ küncün qarşısındakı tərəfə hipotenuza, digərinə isə ayaqlar deyilir.

Düzbucaqlı üçbucağın nizamlı üçbucaqların bəzi xüsusiyyətləri ilə necə əmələ gəldiyini tapmaq istəyirsinizsə, yəni kəskin bucaqların cəminin 90° olması və qarşı ayağın uzunluğunun hipotenuzanın yarısı olması faktı istifadə olunur. 30°-dir.

Məqalə üçün sürətli naviqasiya

Kəsilmiş üçbucaq

Bərabər üçbucağın xüsusiyyətlərindən biri də onun iki bucağının bərabər olmasıdır.

Düzgün konqruent üçbucağın bucağını hesablamaq üçün bunu bilməlisiniz:

Bu 90°-dən pis deyil.
Kəskin açıların dəyərləri düsturla müəyyən edilir: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, yəni.
α və β bucaqları 45°-ə bərabərdir.

Kəskin bucaqlardan birinin məlum dəyəri məlumdursa, digərini aşağıdakı düsturla tapmaq olar: β = 180º-90º-α və ya α = 180º-90º-β.

Bu nisbət ən çox bucaqlardan biri 60 ° və ya 30 ° olduqda istifadə olunur.

Əsas Konsepsiyalar

Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-dir.

Çünki bir səviyyədir, ikisi kəskin qalır.

Üçbucağı onlayn hesablayın

Onları tapmaq istəyirsinizsə, bunları bilməlisiniz:

digər üsullar

Düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqlarının dəyərləri orta hesabla hesablana bilər - üçbucağın əks tərəfindəki bir nöqtədən bir xətt və hündürlüyü - xətt hipotenuzdan sağ bucaq altında çəkilmiş perpendikulyardır. .

Median sağ küncdən hipotenuzanın ortasına qədər uzansın və hündürlüyü h olsun. Bu vəziyyətdə belə çıxır:

sin α = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
sin α = h/b; sin β = h/a.

İki səhifə

Düzbucaqlı üçbucaqda və ya hər iki tərəfdə hipotenuzanın və ayaqlardan birinin uzunluqları məlumdursa, kəskin bucaqların dəyərlərini təyin etmək üçün triqonometrik eyniliklərdən istifadə olunur:

α = arcsin (a/c), β = arcsin (b/c).
α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
α = arctan (a / b), β = arctan (b / a).

Düzbucaqlı üçbucağın uzunluğu

Üçbucağın sahəsi və sahəsi

perimetri

Hər hansı bir üçbucağın çevrəsi üç tərəfin uzunluqlarının cəminə bərabərdir. Ümumi formulaüçbucaqlı üçbucağı tapmaq üçün:

burada P üçbucağın ətrafı, a, b və c tərəfləridir.

Bərabər üçbucağın perimetri onun tərəflərinin uzunluqlarını ardıcıl olaraq birləşdirməklə və ya yan uzunluğunu 2-yə vurub əsas uzunluğunu məhsula əlavə etməklə tapmaq olar.

Tarazlıq üçbucağını tapmaq üçün ümumi düstur belə olacaq:

burada P bərabər üçbucağın perimetridir, lakin b, b əsasdır.

Bərabərtərəfli üçbucağın perimetri onun tərəflərinin uzunluqlarını ardıcıl birləşdirməklə və ya istənilən səhifənin uzunluğunu 3-ə vurmaqla tapmaq olar.

Bərabər üçbucaqların kənarını tapmaq üçün ümumi düstur belə olacaq:

burada P bərabərtərəfli üçbucağın perimetridir, a onun hər hansı tərəfidir.

bölgə

Üçbucağın sahəsini ölçmək istəyirsinizsə, onu paraleloqramla müqayisə edə bilərsiniz. ABC üçbucağını nəzərdən keçirək:

Eyni üçbucağı götürsək və paraleloqram alsaq, bu üçbucaqla eyni hündürlüyü və əsası olan bir paraleloqram alırıq:

Bu halda, üçbucaqların ümumi tərəfi qəliblənmiş paraleloqramın diaqonalı boyunca birlikdə qatlanır.

Paraleloqramın xüsusiyyətlərindən. Məlumdur ki, paraleloqramın diaqonalları həmişə iki bərabər üçbucağa bölünür, onda hər üçbucağın səthi paraleloqramın diaqonalının yarısına bərabərdir.

Paraleloqramın sahəsi onun əsas hündürlüyünün məhsulu ilə eyni olduğundan, üçbucağın sahəsi bu məhsulun yarısına bərabər olacaqdır. Beləliklə, ΔABC üçün sahə eyni olacaq

İndi düz üçbucağı nəzərdən keçirin:

İki eyni düzbucaqlı üçbucaq onlara söykənirsə, düzbucaqlıya bükülə bilər, bu da bir-birinə hipotenuzdur.

Düzbucaqlının səthi bitişik tərəflərin səthi ilə üst-üstə düşdüyü üçün bu üçbucağın sahəsi eynidır:

Buradan belə nəticəyə gələ bilərik ki, istənilən düzbucaqlı üçbucağın səthi 2-ə bölünmüş ayaqların hasilinə bərabərdir.

Bu nümunələrdən belə nəticəyə gəlmək olar ki, hər üçbucağın səthi uzunluğun hasilinə bərabərdir və hündürlüyü 2-ə bölünən substrata qədər azalır.

Üçbucağın sahəsini tapmaq üçün ümumi düstur belə görünür:

burada S üçbucağın sahəsidir, lakin onun əsasıdır, lakin hündürlüyü a altına düşür.

Üçbucağın tərifi

Üçbucaq ucları eyni düz xətt üzərində yatmayan üç seqmentin kəsişməsi nəticəsində əmələ gələn həndəsi fiqurdur. İstənilən üçbucağın üç tərəfi, üç təpəsi və üç bucağı var.

Onlayn kalkulyator

Üçbucaqlar var müxtəlif növlər. Məsələn, bərabərtərəfli üçbucaq (bütün tərəflərin bərabər olduğu biri), isosceles (iki tərəf bərabərdir) və düzbucaqlı üçbucaq (bucaqlardan birinin düz olduğu, yəni 90 dərəcəyə bərabər) var.

Üçbucağın sahəsi tapıla bilər fərqli yollar məsələnin şərtlərindən fiqurun hansı elementlərinin məlum olmasından asılı olaraq, istər bucaqlar, istər uzunluqlar, istərsə də üçbucaqla əlaqəli dairələrin radiusu. Hər bir üsula ayrıca nümunələrlə baxaq.

Əsasına və hündürlüyünə əsaslanan üçbucağın sahəsi üçün düstur

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ⋅ a ⋅h,

A a a- üçbucağın əsası;
H h h- verilmiş əsasa çəkilmiş üçbucağın hündürlüyü a.

Misal

Əsasının uzunluğu məlumdursa, üçbucağın sahəsini tapın, 10 (sm) və bu əsasa çəkilən hündürlüyü 5 (sm)-ə bərabərdir.

Həll

A = 10 a=10 a =1 0
h = 5 h=5 h =5

Bunu sahə düsturu ilə əvəz edirik və alırıq:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (kv. bax)

Cavab: 25 (sm. kv.)

Bütün tərəflərin uzunluqlarına əsaslanan üçbucağın sahəsi üçün düstur

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c ) ,

A, b, c a, b, c a, b, c- üçbucağın tərəflərinin uzunluqları;
səh səh- üçbucağın bütün tərəflərinin cəminin yarısı (yəni üçbucağın perimetrinin yarısı):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 (a +b+c)

Bu formula deyilir Heron düsturu.

Misal

Üç tərəfinin uzunluqları məlumdursa, üçbucağın sahəsini tapın, 3 (sm), 4 (sm), 5 (sm) bərabərdir.

Həll

A = 3 a=3 a =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5

Gəlin perimetrin yarısını tapaq səh səh:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ⋅ 1 2 = 6

Sonra Heron düsturuna görə üçbucağın sahəsi:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-) 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) = 3 6 = 6 (kv. bax)

Cavab: 6 (kvadrat bax)

Bir tərəfi və iki bucağı verilmiş üçbucağın sahəsi üçün düstur

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\qamma))( \sin(\beta+\qamma))S=2 a 2 ⋅ günah (β + γ)günah β günah γ ,

A a a- üçbucağın tərəfinin uzunluğu;
β , γ \beta, \qamma β , γ - yan tərəfə bitişik açılar a a a.

Misal

Üçbucağın 10 (sm) tərəfi və 30 dərəcə iki bitişik bucağı verilmişdir. Üçbucağın sahəsini tapın.

Həll

A = 10 a=10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \qamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Formula görə:

S = 1 0 2 2 ⋅ günah ⁡ 3 0 ∘ günah ⁡ 3 0 ∘ günah ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac(10^2)(10^2) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\təqribən14,4S=2 1 0 2 ⋅ günah (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) günah 3 0 ∘ günah 3 0 ∘ = 5 0 ⋅ 2 3 1 ≈ 1 4 . 4 (kv. bax)

Cavab: 14.4 (kv. bax)

Üç tərəfə və dairənin radiusuna əsaslanan üçbucağın sahəsi üçün düstur

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Ra ⋅ b ⋅ c ,

A, b, c a, b, c a, b, c- üçbucağın tərəfləri;
R R R- üçbucaq ətrafında məhdud dairənin radiusu.

Misal

İkinci məsələmizdən ədədləri götürək və onlara radiusu əlavə edək R R R dairələr. 10-a (sm.) bərabər olsun.

Həll

A = 3 a=3 a =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 4 0 6 0 = 1 . 5 (kv. bax)

Cavab: 1,5 (sm2)

Üç tərəfə və yazılmış dairənin radiusuna əsaslanan üçbucağın sahəsi üçün düstur

$S=p\cdot r$

$səh - üçbucağın perimetrinin yarısı:$

$p=\frac(a+b+c)(2)$

$a, b, c - üçbucağın tərəfləri; r - üçbucağa yazılmış dairənin radiusu.$

Misal

Daxil edilmiş çevrənin radiusu 2 (sm) olsun. Əvvəlki problemdən tərəflərin uzunluqlarını alacağıq.

Həll

$a = 3 b = 4 c = 5 r = 2$

$p=\frac(3+4+5)(2)=6$

$S=6\cdot 2=12$

Cavab: 12 (sm. kv.)

İki tərəfə və aralarındakı bucağa əsaslanan üçbucağın sahəsi üçün düstur

$S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)$

$b, c - üçbucağın tərəfləri;$

$α\alfa$

Misal

Üçbucağın tərəfləri 5 (sm) və 6 (sm), aralarındakı bucaq 30 dərəcədir. Üçbucağın sahəsini tapın.

Həll

$b = 5 c = 6 α = 3 0^{\circ}$

$S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5$

Cavab: 7,5 (sm. kv.)

Həndəsədə çox vaxt üçbucaqların tərəfləri ilə bağlı problemlər yaranır. Məsələn, digər ikisi məlumdursa, çox vaxt üçbucağın tərəfini tapmaq lazımdır.

Üçbucaqlar ikitərəfli, bərabərtərəfli və qeyri-bərabərdir. Bütün müxtəliflikdən birinci nümunə üçün düzbucaqlı birini seçəcəyik (belə bir üçbucaqda bucaqlardan biri 90 °, ona bitişik tərəflər ayaqlar, üçüncüsü isə hipotenuzdur).

Məqalədə sürətli naviqasiya

Düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin uzunluğu

Məsələnin həlli böyük riyaziyyatçı Pifaqorun teoremindən irəli gəlir. Düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarının kvadratlarının cəmi onun hipotenuzasının kvadratına bərabərdir: a²+b²=c²

Ayağın uzunluğunun kvadratını tapın a;
b ayağının kvadratını tapın;
Biz onları birləşdiririk;
Alınan nəticədən ikinci kökü çıxarırıq.

Misal: a=4, b=3, c=?

a²=4²=16;
b² =3²=9;
16+9=25;
√25=5. Yəni bu üçbucağın hipotenuzunun uzunluğu 5-dir.

Üçbucağın düz bucağı yoxdursa, onda iki tərəfin uzunluğu kifayət deyil. Bunun üçün üçüncü bir parametr lazımdır: bu bir bucaq, üçbucağın hündürlüyü, içərisində yazılmış dairənin radiusu və s.

Əgər perimetri məlumdursa

Bu vəziyyətdə tapşırıq daha sadədir. Perimetr (P) üçbucağın bütün tərəflərinin cəmidir: P=a+b+c. Beləliklə, sadə riyazi tənliyi həll etməklə nəticə əldə edirik.

Misal: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Bütün məlum parametrləri bərabər işarənin bir tərəfinə köçürməklə tənliyi həll edirik:

2) Onların əvəzinə dəyərləri əvəz edin və üçüncü tərəfi hesablayın:

c=18-7-6=5, cəmi: üçbucağın üçüncü tərəfi 5-dir.

Əgər bucaq məlumdursa

Bucaq və digər iki tərəf verilmiş üçbucağın üçüncü tərəfini hesablamaq üçün həll triqonometrik tənliyin hesablanmasına gəlir. Üçbucağın tərəfləri ilə bucağın sinusu arasındakı əlaqəni bilməklə üçüncü tərəfi hesablamaq asandır. Bunu etmək üçün hər iki tərəfi kvadratlaşdırmaq və nəticələrini birlikdə əlavə etmək lazımdır. Sonra yaranan məhsuldan bucağın kosinusuna vurulan tərəflərin hasilini çıxarın: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Əgər ərazi məlumdursa

Bu vəziyyətdə bir düstur işləməyəcəkdir.

1) Birincisi, üçbucağın sahəsi üçün düsturdan ifadə edərək, sin γ hesablayın:

sin γ= 2S/(a*b)

2) tərəfindən aşağıdakı formula eyni bucağın kosinusunu hesablayın:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) Və yenə də sinuslar teoremindən istifadə edirik:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Dəyişənlərin qiymətlərini bu tənliyə əvəz etməklə problemin cavabını alırıq.

Riyaziyyatda üçbucağı nəzərdən keçirərkən onun tərəflərinə çox diqqət yetirilir. Çünki bu elementlər bu həndəsi fiqurları təşkil edir. Üçbucağın tərəfləri bir çox həndəsə məsələlərini həll etmək üçün istifadə olunur.

Konsepsiyanın tərifi

Eyni xətt üzərində olmayan üç nöqtəni birləşdirən seqmentlərə üçbucağın tərəfləri deyilir. Baxılan elementlər təyyarənin daxili hissəsi adlanan hissəsini məhdudlaşdırır həndəsi fiqur.

Riyaziyyatçılar öz hesablamalarında həndəsi fiqurların tərəfləri ilə bağlı ümumiləşdirmələrə imkan verirlər. Beləliklə, degenerativ üçbucaqda onun üç seqmenti bir düz xətt üzərində yerləşir.

Konsepsiyanın xüsusiyyətləri

Üçbucağın tərəflərinin hesablanması fiqurun bütün digər parametrlərinin müəyyən edilməsini nəzərdə tutur. Bu seqmentlərin hər birinin uzunluğunu bilməklə üçbucağın perimetrini, sahəsini və hətta açılarını asanlıqla hesablaya bilərsiniz.

düyü. 1. İxtiyari üçbucaq.

Verilmiş fiqurun tərəflərini cəmləyərək perimetri təyin edə bilərsiniz.

P=a+b+c, burada a, b, c üçbucağın tərəfləridir

Üçbucağın sahəsini tapmaq üçün Heron düsturundan istifadə etməlisiniz.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Burada p yarım perimetrdir.

Verilmiş həndəsi fiqurun bucaqları kosinus teoremindən istifadə etməklə hesablanır.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Məna

Bu həndəsi fiqurun bəzi xüsusiyyətləri üçbucağın tərəflərinin nisbəti ilə ifadə edilir:

Üçbucağın ən kiçik tərəfinin qarşısı onun ən kiçik bucağıdır.
Sözügedən həndəsi fiqurun xarici bucağı tərəflərdən birini uzatmaqla əldə edilir.
qarşı bərabər açılarüçbucağın bərabər tərəfləri var.
İstənilən üçbucaqda tərəflərdən biri həmişə digər iki seqmentin fərqindən böyükdür. Və bu rəqəmin hər iki tərəfinin cəmi üçüncü tərəfdən böyükdür.

İki üçbucağın bərabər olduğunu göstərən əlamətlərdən biri həndəsi fiqurun bütün tərəflərinin cəminin nisbətidir. Bu dəyərlər eyni olarsa, üçbucaqlar bərabər olacaqdır.

Üçbucağın bəzi xüsusiyyətləri onun növündən asılıdır. Buna görə əvvəlcə bu rəqəmin tərəflərinin və ya açılarının ölçüsünü nəzərə almalısınız.

Üçbucaqların formalaşması

Sözügedən həndəsi fiqurun iki tərəfi eynidirsə, bu üçbucağa ikitərəfli üçbucaq deyilir.

düyü. 2. İkitərəfli üçbucaq.

Bir üçbucağın bütün seqmentləri bərabər olduqda, bərabərtərəfli üçbucaq alırsınız.

düyü. 3. Bərabər üçbucaq.

İxtiyari üçbucağın müəyyən bir növ kimi təsnif edilə biləcəyi hallarda hər hansı bir hesablama aparmaq daha rahatdır. Çünki o zaman bu həndəsi fiqurun tələb olunan parametrini tapmaq xeyli sadələşəcək.

Düzgün seçilmiş triqonometrik tənlik ixtiyari üçbucağın nəzərdən keçirildiyi bir çox problemi həll etməyə imkan versə də.

Biz nə öyrəndik?

Nöqtələrlə birləşdirilən və eyni düz xəttə aid olmayan üç seqment üçbucaq əmələ gətirir. Bu tərəflər həndəsi müstəvi təşkil edir ki, bu da sahəni təyin etmək üçün istifadə olunur. Bu seqmentlərdən istifadə edərək, perimetr və bucaqlar kimi bir fiqurun bir çox vacib xüsusiyyətlərini tapa bilərsiniz. Üçbucağın aspekt nisbəti onun növünü tapmağa kömək edir. Verilmiş həndəsi fiqurun bəzi xassələrindən yalnız onun hər tərəfinin ölçüləri məlum olduqda istifadə edilə bilər.

Mövzu üzrə test

Məqalənin reytinqi

Orta reytinq: 4.3. Alınan ümumi reytinqlər: 142.

Bucaqlarından biri 90º olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir. Düz bucağın qarşı tərəfi hipotenuza, digər ikisinə isə ayaqlar deyilir.

Düzbucaqlı üçbucaqda bucağı tapmaq üçün düzbucaqlı üçbucağın bəzi xüsusiyyətlərindən istifadə olunur, yəni: iti bucaqların cəmi 90º-dir, həmçinin uzunluğu hipotenuzanın uzunluğunun yarısı olan ayağın qarşısında yerləşməsi faktı. 30º-ə bərabər bir bucaq.

Məqalədə sürətli naviqasiya

İkitərəfli üçbucaq

İkibucaqlı üçbucağın xüsusiyyətlərindən biri də onun iki bucağının bərabər olmasıdır. Düzgün ikitərəfli üçbucağın bucaqlarını hesablamaq üçün bunu bilməlisiniz:

Düz bucaq 90º-dir.
Kəskin bucaqların dəyərləri düsturla müəyyən edilir: (180º-90º)/2=45º, yəni. α və β bucaqları 45º-ə bərabərdir.

Kəskin bucaqlardan birinin ölçüsü məlumdursa, ikincisini aşağıdakı düsturla tapmaq olar: β=180º-90º-α və ya α=180º-90º-β. Çox vaxt bu nisbət bucaqlardan biri 60º və ya 30º olduqda istifadə olunur.

Əsas Konsepsiyalar

Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180º-dir. Bir bucaq düz olduğundan, qalan iki bucaq kəskin olacaq. Onları tapmaq üçün bunları bilməlisiniz:

digər üsullar

Düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqlarının dəyərləri medianın dəyərini bilməklə hesablana bilər - təpədən üçbucağın əks tərəfinə çəkilmiş bir xətt və hündürlüyü - düşmüş perpendikulyar olan düz bir xətt. düz bucaqdan hipotenuzaya qədər. Düz bucaqdan hipotenuzanın ortasına çəkilmiş median s, hündürlük h olsun. Bu vəziyyətdə belə çıxır:

sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
sin α=h/b; sin β =h/a.

İki tərəf

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzanın və ayaqlardan birinin və ya iki tərəfin uzunluqları məlumdursa, kəskin bucaqların dəyərlərini tapmaq üçün triqonometrik eyniliklərdən istifadə olunur:

α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).