Cədvəldə müəyyən edilmiş funksiyaların orta kvadrat yaxınlaşması. Kurs işi: tipik riyazi məsələlərin həlli üçün ədədi üsullar Mövzu: Tənliklər sistemlərinin həlli üsulları

Tez-tez interpolyasiya edilmiş funksiyanın dəyərləri y, y2 , ..., y„ bəzi səhvlərlə sınaqdan müəyyən edilir, ona görə də interpolyasiya qovşaqlarında dəqiq yaxınlaşmadan istifadə etmək əsassızdır. Bu halda funksiyanı nöqtələrlə deyil, ona görə yaxınlaşdırmaq daha təbiidir orta, yəni normalardan birində L p .

Space 1 p - çox funksiyalar d(x), seqmentdə müəyyən edilir [a,b] və norma müəyyən edilərsə, p-ci güclə inteqrasiya olunan modul

Belə bir normada yaxınlaşma konvergensiya adlanır orta 1,2 fəza Hilbert adlanır və oradakı yaxınlaşma belədir kök orta kvadrat.

Hansısa xətti normalı fəzadan Dx) funksiyası və φ(x) funksiyalar toplusu verilsin. İnterpolyasiya, yaxınlaşma və yaxınlaşma problemi kontekstində aşağıdakı iki problemi formalaşdırmaq olar.

İlk tapşırıq verilmiş dəqiqliklə, yəni verilənə görə təxminidir eφ(x)-i elə tapın ki, |[Dx) - φ(x)|| bərabərsizliyi olsun G..

İkinci tapşırıq- bu axtarışdır ən yaxşı yaxınlaşma yəni, əlaqəni təmin edən φ*(x) funksiyasının axtarışı:

Ən yaxşı yaxınlaşmanın mövcudluğu üçün sübut olmadan kifayət qədər şərt müəyyən edək. Bunun üçün funksiyaların xətti fəzasında ifadə ilə parametrləşdirilmiş çoxluğu seçirik

burada φ[(x), ..., φ„(x) funksiyalar çoxluğu xətti müstəqil hesab ediləcək.

Göstərilə bilər ki, xətti yaxınlaşma (2.16) ilə istənilən normallaşdırılmış fəzada ən yaxşı yaxınlaşma mövcuddur, baxmayaraq ki, o, heç bir xətti fəzada unikal deyil.

[ üzərində p(x) > 0 çəkisi ilə kvadrat inteqrallaşan real funksiyaların Hilbert fəzasını LzCp) nəzərdən keçirək, burada skalyar hasil ( g,h) tərəfindən müəyyən edilir

düstur:

Ən yaxşı yaxınlaşma şərti ilə xətti birləşməni (2.16) əvəz edərək tapırıq

Törəmələrin əmsallara görə bərabərləşdirilməsi (D, k= 1, ..., P, xətti tənliklər sistemini alırıq

(2.17) tənliklər sisteminin determinantına Qram determinantı deyilir. φ[(x), ..., φ„(x) funksiyalar sisteminin xətti müstəqil olduğu qəbul edildiyi üçün Qram determinantı sıfırdan fərqlidir.

Beləliklə, ən yaxşı yaxınlaşma mövcuddur və unikaldır. Onu əldə etmək üçün (2.17) tənliklər sistemini həll etmək lazımdır. Əgər φ1(x), ..., φ„(x) funksiyalar sistemi ortoqonallaşdırılıbsa, yəni (φ/,φ,) = 5y, burada 5, = 1, 8y = 0, SCH,ij = 1, ..., P, onda tənliklər sistemi aşağıdakı formada həll edilə bilər:

(2.18) uyğun olaraq tapılan əmsallar Q, ..., thümumiləşdirilmiş Furye sıralarının əmsalları adlanır.

Əgər φ t (X),..., φ„(x),... funksiyalar çoxluğu tam sistem təşkil edirsə, Parseval bərabərliyinə görə P -» co kimi xəta norması məhdudiyyətsiz azalır. Bu o deməkdir ki, ən yaxşı yaxınlaşma hər hansı verilmiş dəqiqliklə kök-orta kvadratı Dx)-ə yaxınlaşdırır.

Qeyd edək ki, (2.17) tənliklər sistemini həll etməklə ən yaxşı yaxınlaşma əmsallarının axtarışını reallaşdırmaq praktiki olaraq mümkün deyil, çünki Qram matrisinin sırası artdıqca onun determinantı tez sıfıra meyllənir və matris pis vəziyyətdə olur. Belə bir matrislə xətti tənliklər sisteminin həlli dəqiqliyin əhəmiyyətli dərəcədə itirilməsinə səbəb olacaqdır. Gəlin yoxlayaq.

Dərəcələr funksiyalar sistemi kimi seçilsin φ„ i =1, ..., П, yəni φ* = X 1 ", 1 = 1, ..., P, sonra seqmentin yaxınlaşma seqmenti olduğunu fərz etsək, Qram matrisini tapırıq

(2.19) formasının Qram matrisi Hilbert matrisi də adlanır. Bu, pis kondisioner adlanan matrisin klassik nümunəsidir.

MATLAB-dan istifadə edərək bəzi birinci qiymətlər üçün (2.19) şəklində Hilbert matrisinin determinantını hesablayırıq. P. Siyahı 2.5 müvafiq proqramın kodunu göstərir.

Siyahı 23

Hilbert matrislərinin determinantının hesablanması iş sahəsinin təmizlənməsi hamısını sil, hamısını təmizlə;

%Hilbert matrisinin maksimum sifariş dəyərini seçin ptah =6;

yaratmaq üçün bir döngə qurmaq Hilbert matrisləri və onların təyinedicilərini hesablamaq

n = 1 üçün: ptah d(n)=det(hi I b(n)); son

Hilbert matrislərinin təyinedicilərinin qiymətlərini çap edin

f o g t qısa son

Listing 2.5-də kodu işlətdikdən sonra MATLAB əmr pəncərəsi ilk altı matris üçün Hilbert matrislərinin təyinedicilərinin qiymətlərini göstərməlidir. Aşağıdakı cədvəldə matrislərin (n) və onların təyinedicilərinin (d) sıralarının müvafiq ədədi dəyərləri göstərilir. Cədvəl aydın şəkildə göstərir ki, Hilbert matrisinin determinantı sıra artdıqca necə tez sıfıra meyl edir və 5 və 6-cı sıralardan başlayaraq qəbuledilməz dərəcədə kiçik olur.

Hilbert matrislərinin determinantının qiymətlər cədvəli

φ, i = 1, ..., P funksiyalar sisteminin ədədi ortoqonallaşdırılması da dəqiqliyin nəzərəçarpacaq dərəcədə itkisinə səbəb olur, buna görə də genişlənmədə çox sayda termini nəzərə almaq üçün (2.16) ya zəruridir. ortoqonallaşdırmanı analitik, yəni tam olaraq həyata keçirmək və ya ortoqonal funksiyaların hazır sistemindən istifadə etmək.

Əgər interpolyasiya zamanı onlar adətən dərəcələrdən bazis funksiyalar sistemi kimi istifadə edirlərsə, orta hesabla yaxınlaşdıqda, müəyyən çəkiyə malik ortoqonal polinomlar bazis funksiyaları kimi seçilir. Onlardan ən çox istifadə olunanları Yakobi polinomlarıdır ki, onların xüsusi halı Legendre və Çebişev çoxhədlidir. Laqsr və Hermit polinomlarından da istifadə olunur. Bu çoxhədlilər haqqında daha ətraflı məlumatı, məsələn, əlavədə tapa bilərsiniz Ortoqonal çoxhədlilər Kitablar

Cədvəldə, məsələn, təcrübədən alınan, yəni səhvlə ölçülən funksiya dəyərləri olsun. Sonra istifadə edərək yaxınlaşma interpolyasiya aparatı İnterpolyasiya qovşaqlarındakı polinomun dəyərlərini cədvəl qiymətləri ilə bərabərləşdirməyə əsaslanan , uyğunsuz.

Problemin bu formalaşdırılması ilə orta hesabla yaxınlaşma aparmaq, yəni az sayda parametrə malik olan kifayət qədər sadə analitik asılılıqla cədvəlləşdirilmiş funksiyanı təsvir etmək lazımdır. Bu parametrlərin optimal seçimi bizə cədvəldə göstərilən funksiyanın kök-orta-kvadrat yaxınlaşmasını yerinə yetirməyə imkan verəcəkdir.

Analitik asılılığın növünün seçilməsi koordinat müstəvisində cədvəl məlumatlarını tərtib etməklə başlamalısınız - bu, eksperimental nöqtələr sahəsini təşkil edəcəkdir. Bu nöqtələrin sahəsindən hamar bir əyri çəkilir ki, bəzi nöqtələr bu əyri üzərində olsun, bəzi nöqtələr yuxarıda, bəzi nöqtələr isə çəkilmiş əyrinin altında olsun. Bu əyrinin formasına əsaslanaraq, analitik asılılığın növünü müəyyən etmək lazımdır - xətti, güc qanunu, hiperbolik və ya başqa.

Lakin qrafikdən analitik asılılığın növünü gözlə seçmək çox çətindir. Ona görə də təklif olundu analitik asılılıq növünün təxmini qiymətləndirilməsi və seçilməsi üsulu. Bu üsul həqiqətən təxmini və qeyri-dəqiqdir, çünki əyri eksperimental nöqtələr sahəsindən müxtəlif yollarla çəkilə bilər və hesablama üçün cədvəldən müxtəlif istinad nöqtələri götürülə bilər və təklif olunan metodun dəqiqliyi məlum deyil. Eyni zamanda, asılılıq növünün seçilməsi üçün təxmini bir üsul hesab edilə bilər.

Aşağıdakı hərəkətlər alqoritmi təklif olunur.

1. Orijinal cədvəldə koordinatları (x 1,y 1) və (x n,y n) - istinad nöqtələri ilə bir-birindən çox uzaqda yerləşən iki nöqtəni seçin və hər bir koordinat cütü üçün arifmetik orta, həndəsi orta və harmonik orta hesablayın.

2. Təcrübə nöqtələri sahəsindən çəkilmiş əyridə tapılmış x ap, x geom, x zərər absislərinə uyğun üç ordinat tapın:

3. Əyridə tapılanları hesablanmışlarla müqayisə edin aşağıdakı fərq modullarını hesablayaraq:

4. Minimum dəyər tapılan dəyərlərdən seçilir:

5. Nəticələr: minimal olduğu ortaya çıxsa

Asılılıq xəttidir

Asılılıq eksponentdir

Fraksiyalı xətti əlaqə

Loqarifmik asılılıq

Gücdən asılılıq

Hiperbolik asılılıq

Fraksiyalı-rasional əlaqə

Bu asılılıqlardan hər hansı biri koordinat çevrilməsi və ya sözdə məlumatların uyğunlaşdırılması.
Beləliklə, birinci mərhələ parametrləri müəyyən edilməmiş analitik asılılıq növünün seçilməsi ilə başa çatır.

İkinci mərhələ seçilmiş analitik asılılığın əmsallarının ən yaxşı qiymətlərinin müəyyən edilməsindən ibarətdir. Bu məqsədlə riyazi ən kiçik kvadrat üsulu.

Metod, nəzəri asılılıqdan () hesablananlardan verilmiş cədvəl qiymətlərinin () kvadrat sapmalarının cəmini minimuma endirməyə əsaslanır: .

Seçilmiş asılılıq olsun düz xətt: . Onu funksional olaraq əvəz edək: . Sonra funksionallıq minimuma endirilir:

Əmsalların ən yaxşı qiymətlərini tapmaq üçün və onların qismən törəmələrini tapmaq və onları sıfıra bərabərləşdirmək lazımdır:

Transformasiyalardan sonra tənliklər sistemi aşağıdakı formanı alır:

Bu xətti tənliklər sisteminin həlli əmsalların və xətti asılılığın ən yaxşı qiymətlərini tapmağa imkan verir.

Əgər seçilmiş asılılıq olarsa kvadrat parabola:

onda funksionallıq minimuma endirilir: .

Parabolanın üç dəyişən əmsalı var - ən yaxşı dəyərləri tələb olunan əmsallara nisbətən minimuma endirilmiş funksionalın qismən törəmələrini sıfıra bərabərləşdirməklə tapılmalıdır. Bu, əmsalları tapmaq üçün aşağıdakı üç xətti tənlik sistemini əldə etməyə imkan verir:

Misal 1. Aşağıdakı cədvəldə verilmiş asılılıq növünü müəyyənləşdirin.

Həll.

Cədvəldə göstərilən nöqtələr koordinat müstəvisində çəkilməlidir - a eksperimental məlumat sahəsi. Bu sahə vasitəsilə həyata keçirilir hamar əyri.

Cədvəldən seçin iki istinad nöqtəsi (3;0,55) və (10;1,11) koordinatları ilə və hər bir absis və ordinat cütü üçün arifmetik, həndəsi və harmonik orta hesablanır:

Üç hesablanmış absis üçün eksperimental nöqtələr sahəsindən çəkilmiş əyri boyunca üç uyğun ordinat müəyyən edilir:

Qeyd aparılan hesablamaların istiqaməti üzrə. Sonra yeddi fərq modulu müəyyən edilir:

Bir-birinə yaxın üç minimum dəyər əldə edildi

İkinci mərhələdə, ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək, bu asılılıqların hər biri üçün əmsalların ən yaxşı dəyərləri müəyyən edilməli və sonra verilmiş cədvəl dəyərlərindən standart sapma hesablanmalıdır.

Analitik asılılığın son seçimi standart kənarlaşmanın minimum dəyərinə əsasən aparılır.

Misal 2. Cədvəldə eksperimental tədqiqatların nəticələri göstərilir ki, bu da düz bir xətt ilə yaxınlaşdırıla bilər. Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək xəttin əmsallarının ən yaxşı dəyərlərini tapın.

Həll.

Düz xəttin ümumi tənliyi: .

Ən kiçik kvadratlar metodu ilə əmsalların ən yaxşı qiymətlərinin müəyyən edilməli olduğu xətti tənliklər sistemi aşağıdakı formaya malikdir:

Cədvəlin sonuncu sətirinin 2, 3, 4 və 5-ci sütunlarından hesablanmış məbləğləri tənliklər sisteminə əvəz edək:

Xətti asılılıq əmsalları harada müəyyən edilir? Bu o deməkdir ki, nəzəri xəttin tənliyi aşağıdakı formaya malikdir:

. (*)

Cədvəlin altıncı sütununda arqumentin verilmiş dəyərləri üçün nəzəri tənlikdən istifadə etməklə hesablanmış funksiya dəyərləri göstərilir. Cədvəlin yeddinci sütununda (*) tənlikdən istifadə edərək hesablanmış funksiya dəyərləri (3-cü sütun) və nəzəri dəyərlər (6-cı sütun) arasındakı fərqlər göstərilir.

Səkkizinci sütun nəzəri dəyərlərin eksperimental olanlardan kvadrat sapmalarını göstərir və kvadrat sapmaların cəmini müəyyən edir. İndi tapa bilərsiniz

Misal 3. Cədvəldə verilmiş eksperimental məlumatlar kvadrat parabola ilə yaxınlaşdırılsın: Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək parabola əmsallarının ən yaxşı dəyərlərini tapın.

Həll.

Parabola əmsallarını təyin etmək üçün xətti tənliklər sistemi aşağıdakı formaya malikdir:

Cədvəlin son sətirindən müvafiq məbləğlər tənliklər sisteminə əvəz olunur:

Tənliklər sisteminin həlli əmsalların dəyərlərini təyin etməyə imkan verir:

Beləliklə, cədvəldə göstərilən seqmentdən asılılıq kvadrat parabola ilə təxmin edilir:

Arqumentin verilmiş dəyərləri üçün verilmiş düsturdan istifadə edərək hesablama, funksiyanın nəzəri dəyərlərini ehtiva edən cədvəlin doqquzuncu sütununu yaratmağa imkan verir.

Nəzəri dəyərlərin eksperimental olanlardan kvadrat sapmalarının cəmi cədvəlin 11-ci sütununun son sətirində verilmişdir. Bu, müəyyən etməyə imkan verir standart sapma:

PRAKTİKİ DƏRS No 3

Mövzu: Tənliklər sistemlərinin həlli üsulları

Gauss üsulu - naməlumların ardıcıl xaric edilməsi üsulu - qrupa aiddir dəqiq üsullar və heç bir hesablama xətası olmasaydı, dəqiq həll yolu tapıla bilərdi.

Əllə hesablamalar apararkən, nəzarət sütunu olan cədvəldə hesablamalar aparmaq məsləhətdir. Aşağıda 4-cü dərəcəli xətti tənliklər sisteminin həlli üçün belə bir cədvəlin ümumi versiyası verilmişdir.

				Pulsuz üzvlər	Nəzarət sütunu

				Pulsuz üzvlər	Nəzarət sütunu

Misal 1. Gauss metodundan istifadə edərək 4-cü dərəcəli tənliklər sistemini həll edin:

Köklərin bu təxmini dəyərləri orijinal tənliklər sisteminə əvəz edilə və hesablana bilər. qalıqlar - , tapılan kökləri sol tərəfə əvəz edərkən sistemin hər bir tənliyinin sağ və sol tərəfləri arasındakı fərqlərdir. Sonra onlar qalıq sisteminin sərbəst şərtləri kimi əvəz olunur və alınır düzəlişlər

kökləri -:

Əvvəlki fəsildə funksiyaların yaxınlaşmasının ən çox yayılmış üsullarından biri - interpolyasiya ətraflı müzakirə edilmişdir. Ancaq bu üsul yeganə deyil. Müxtəlif tətbiqi məsələləri həll edərkən və hesablama sxemlərini qurarkən tez-tez başqa üsullardan istifadə olunur. Bu fəsildə biz orta kvadrat təxminləri əldə etməyin yollarına baxacağıq. Təxminlərin adı funksiyanın yaxınlaşması məsələsinin nəzərdən keçirildiyi metrik fəzalarla əlaqələndirilir. 1-ci fəsildə biz “metrik xətti normalı fəza” və “metrik Evklid fəzası” anlayışlarını təqdim etdik və gördük ki, yaxınlaşma xətası yaxınlaşma məsələsinin nəzərdən keçirildiyi fəzanın metrikası ilə müəyyən edilir. Fərqli məkanlarda səhv anlayışı fərqli mənalara malikdir. İnterpolyasiya xətasını nəzərdən keçirərkən biz buna diqqət yetirmədik. Və bu fəsildə biz bu məsələ ilə daha ətraflı məşğul olacağıq.

5.1. Triqonometrik polinomlar və Legendre çoxhədliləri ilə təxminlər Fəza l2

İntervalda inteqrallana bilən Lebeq kvadratı olan funksiyalar toplusunu nəzərdən keçirək
, yəni inteqral mövcud olmalıdır
.

Aşkar bərabərsizlik olduğu üçün funksiyaların kvadratı ilə inteqrallıqdan
Və
onların istənilən xətti kombinasiyası da kvadrat inteqrallaşdırıla bilən olmalıdır
, (Harada
Və
 istənilən həqiqi ədədlər), həmçinin hasilin inteqrallığı
.

İntervalda Lebeq mənasında kvadrat inteqral olan funksiyalar toplusunu təqdim edək
, skalyar məhsul əməliyyatı

. (5.1.1)

İnteqralın xassələrindən belə çıxır ki, skalyar hasilin tətbiq edilən əməliyyatı Evklid fəzasında skalyar hasilin demək olar ki, bütün xassələrinə malikdir (bax bənd 1.10, səh. 57):

Yalnız birinci mülk tam təmin olunmur, yəni şərt yerinə yetirilməyəcək.

Əslində, əgər
, onda buna əməl etmir
seqmentdə
. Təqdim olunan əməliyyatın bu xüsusiyyətə sahib olması üçün gələcəkdə funksiyaları ayırmamağa (ekvivalent hesab etməməyə) razılaşacağıq.
Və
, hansı üçün

.

Son qeydi nəzərə alaraq əminik ki, Lebeq kvadrat inteqral funksiyaları çoxluğu (daha doğrusu, ekvivalent funksiyaların siniflər çoxluğu) skalyar hasil əməliyyatının (5.1.1) düsturu ilə təyin olunduğu Evklid fəzasını təşkil edir. Bu fəza Lebeq fəzası adlanır və işarələnir
və ya daha qısa .

Hər bir Evklid fəzası avtomatik olaraq həm norma, həm də metrik olduğundan fəza
həm də norma və metrik fəzadır. Norm (elementin ölçüsü) və metrik (elementlər arasındakı məsafə) adətən standart şəkildə daxil edilir:

(5.1.2)

(5.1.3)

Norm və metrikanın xassələri (aksiomları) 1.10-cu bölmədə verilmişdir. Məkan elementləri
funksiyalar deyil, ekvivalent funksiyaların sinifləridir. Eyni sinfə aid funksiyalar istənilən sonlu və hətta hesablana bilən alt çoxluqda fərqli dəyərlərə malik ola bilər
. Buna görə də kosmosda yaxınlaşmalar
birmənalı şəkildə müəyyən edilir. Kosmosun bu xoşagəlməz xüsusiyyəti
skalyar məhsuldan istifadənin rahatlığına görə ödəyir.

Diskret Altman funksiyalarını hamarlaşdırmaq və bununla da davamlılıq ideyasını nəzəriyyəyə daxil etmək üçün müxtəlif dərəcəli polinomla kök-orta-kvadrat inteqral yaxınlaşmasından istifadə edilmişdir.

Məlumdur ki, bərabər məsafəli qovşaqlardakı interpolyasiya polinomlarının ardıcıllığı, hətta funksiya sonsuz diferensiallana bilən olsa belə, mütləq funksiyaya yaxınlaşmır. Təxmini funksiya üçün düyünlərin uyğun düzülüşündən istifadə edərək, polinomun dərəcəsini azaltmaq mümkündür. . Altman funksiyalarının strukturu elədir ki, funksiyanın yaxınlaşmasını interpolyasiya yolu ilə deyil, normallaşdırılmış xətti fəzada ən yaxşı orta kvadrat yaxınlaşmasını qurmaqla istifadə etmək daha rahatdır. Ən yaxşı yaxınlaşmanı qurarkən əsas anlayışları və məlumatları nəzərdən keçirək. Xətti normalı fəzalarda yaxınlaşma və optimallaşdırma məsələləri qoyulur.

Metrik və xətti normalı fəzalar

Riyaziyyatda ən geniş anlayışlara “dəst” və “xəritə” daxildir. Qeyri-ciddi çoxluq nəzəriyyəsində “dəst”, “toplama”, “toplama”, “ailə”, “sistem”, “sinif” anlayışları sinonim hesab olunur.

"Operator" termini "xəritələmə" termini ilə eynidir. “Əməliyyat”, “funksiya”, “funksional”, “ölçü” terminləri “xəritələmə” anlayışının xüsusi hallarıdır.

Riyazi nəzəriyyələrin aksiomatik qurulmasında “struktur” və “kosmos” terminləri də fundamental əhəmiyyət kəsb etmişdir. Riyazi strukturlara çoxluq-nəzəri strukturlar (sifarişli və qismən sıralanmış çoxluqlar) daxildir; mücərrəd cəbri strukturlar (yarımqruplar, qruplar, halqalar, bölmə halqaları, sahələr, cəbrlər, qəfəslər); diferensial strukturlar (xarici diferensial formalar, lifli boşluqlar) , , , , , , .

Struktur dedikdə daşıyıcı (əsas çoxluq), rəqəmli sahə (köməkçi çoxluq) və daşıyıcının elementləri və sahənin nömrələri üzərində müəyyən edilmiş xəritəçəkmə çoxluqlarından ibarət sonlu çoxluq başa düşülür. Əgər mürəkkəb ədədlər çoxluğu daşıyıcı kimi götürülürsə, o zaman həm əsas, həm də köməkçi çoxluq rolunu oynayır. "Struktur" termini "kosmos" anlayışı ilə eynidir.

Məkanı müəyyən etmək üçün əvvəlcə onun elementləri (nöqtələri) ilə Latın və Yunan hərfləri ilə işarələnmiş daşıyıcı çoxluğu təyin etməlisiniz.

Daşıyıcı real (və ya mürəkkəb) elementlər toplusu ola bilər: ədədlər; vektorlar, ; Matrislər, ; Ardıcıllıqlar, ; Funksiyalar;

Aşağıdakı çoxluqlar da daşıyıcının elementləri kimi çıxış edə bilər: real ox, müstəvi, üçölçülü (və çoxölçülü) fəza, permutasiya, hərəkət; mücərrəd dəstlər.

Tərif. Metrik fəza üçlü təşkil edən strukturdur, burada xəritəçəkmə M-dən hər hansı x və y üçün iki arqumentin mənfi olmayan real funksiyasıdır və üç aksioma cavab verir.

• 1- mənfilik; , saat.
• 2- - simmetriya;
• 3- - refleksivlik aksiomu.

elementlər arasındakı məsafələr haradadır.

Metrik fəzada metrik dəqiqləşdirilir və daşıyıcının çoxluğundan iki elementin yaxınlığı anlayışı formalaşır.

Tərif. Həqiqi xətti (vektor) fəza elə bir quruluşdur ki, burada xəritəçəkmə aid olan elementlərin əlavə edilməsi əməliyyatıdır, xəritəçəkmə isə ədədi bir elementə vurmaq əməliyyatıdır.

Əməliyyat o deməkdir ki, hər hansı iki element üçün üçüncü element unikal şəkildə müəyyən edilir, onların cəmi adlanır və ilə işarələnir və aşağıdakı aksiomlar tutulur.

Kommutativ mülkiyyət.

Assosiativ mülkiyyət.

Orada hər hansı bir şəxs üçün nəzərdə tutulmuş xüsusi bir element var.

hər kəs üçün, belə ki, mövcuddur.

Element əks adlanır və vasitəsilə işarələnir.

Əməliyyat o deməkdir ki, hər hansı bir element və istənilən nömrə üçün element müəyyən edilir, ilə işarələnir və aksiomalar təmin edilir:

Xətti fəzanın elementinə (nöqtəsinə) vektor da deyilir. 1 - 4 aksiomları struktur olan modul adlanan qrupu (əlavə) müəyyən edir.

Əgər strukturdakı əməliyyat heç bir aksioma tabe deyilsə, belə struktur qrupoid adlanır. Bu struktur son dərəcə zəifdir; onun tərkibində heç bir assosiativlik aksiomu yoxdur, onda struktur monoid (yarımqrup) adlanır.

Quruluşda xəritəçəkmə və 1-8 aksiomlarından istifadə edərək xəttilik xassəsi müəyyən edilir.

Beləliklə, xətti fəza bir qrup moduldur, strukturuna daha bir əməliyyat əlavə olunur - daşıyıcının elementlərini 4 aksioma ilə ədədə vurmaq. Əgər əməliyyatın əvəzinə elementləri 4 aksioma ilə vurmaqdan ibarət başqa qrup əməliyyatı ilə yanaşı qeyd etsək və paylanma aksiomunu postulatlasaq, onda sahə adlanan struktur yaranır.

Tərif. Xətti normalı fəza, xəritələşdirmənin aşağıdakı aksiomaları təmin etdiyi bir quruluşdur:

• 1. və ​​yalnız və yalnız əgər.
• 2. , .
• 3. , .

Və s. cəmi 11 aksiomada.

Məsələn, həqiqi ədədlər sahəsinin strukturuna hər üç norma xassəsinə malik modul əlavə olunarsa, burada həqiqi ədədlərdir, onda həqiqi ədədlər sahəsi normalaşdırılmış fəzaya çevrilir.

Normanı təqdim etməyin iki ümumi yolu var: ya bircins qabarıq funksionalın interval formasını açıq şəkildə göstərməklə , ya da skalyar hasilini göstərməklə , .

Qoy, onda funksional növü dəyəri dəyişdirərək saysız-hesabsız üsullarla göstərilə bilər:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Tapşırığa yaxınlaşmağın ikinci ümumi yolu fəzanın strukturuna başqa bir xəritəçəkmə tətbiq etməkdir (adətən skalyar məhsulla işarələnən və adlandırılan iki arqumentin funksiyası).

Tərif. Evklid fəzası skalyar hasilin normadan ibarət olduğu və aksiomları ödədiyi strukturdur:

• 4. və yalnız və yalnız əgər

Evklid fəzasında norma düsturla yaradılır

Skayar hasilin 1 - 4 xassələrindən belə çıxır ki, normanın bütün aksiomları ödənilir. Skayar hasil formadadırsa, o zaman düsturdan istifadə edərək norma hesablanacaq

Boşluq norması skalyar hasildən istifadə etməklə müəyyən edilə bilməz , .

Skayar hasili olan fəzalarda xətti normalı fəzalarda olmayan keyfiyyətlər meydana çıxır (elementlərin ortoqonallığı, paraleloqramın bərabərliyi, Pifaqor teoremi, Apolloniusun eyniliyi, Ptolemey bərabərsizliyi. Skayar hasilin tətbiqi təxmini hesablamaların daha effektiv həlli yollarını təmin edir. problemlər.

Tərif. Xətti normalı fəzada elementlərin sonsuz ardıcıllığı norma-konvergent adlanır (sadəcə konvergent və ya limiti olan) elə bir element varsa ki, hər hansı biri üçün ondan asılı olaraq ədəd olsun.

Tərif. Elementlərin ardıcıllığı, əgər hər hansı birinin təmin edilməsindən asılı olaraq bir sıra varsa, fundamental adlanır (Trenogin Kolmogorov, Kantoroviç, s. 48)

Tərif. Banax fəzası istənilən fundamental ardıcıllığın normaya görə yaxınlaşdığı strukturdur.

Tərif. Hilbert fəzası hər hansı bir fundamental ardıcıllığın skalyar hasil tərəfindən yaranan normaya uyğun birləşdiyi strukturdur.

Yarımkvadrat koordinat sistemini götürək. Bu, absis oxundakı miqyasın kvadrat olduğu bir koordinat sistemidir, yəni bölmələrin dəyərləri burada ifadəyə uyğun olaraq qurulur. m – bəzi uzunluq vahidlərində miqyas, məsələn, sm ilə.

İfadəyə uyğun olaraq ordinat oxu boyunca xətti miqyas çəkilir

Təcrübə nöqtələrini bu koordinat sistemi üzərində quraq. Bu qrafikin nöqtələri təqribən düz xətt üzərində yerləşirsə, bu, asılılığın olması ilə bağlı fərziyyəmizi təsdiqləyir. y-dan x(4.4) formasının funksiyası ilə yaxşı ifadə olunur. Əmsalları tapmaq üçün a Və bİndi yuxarıda müzakirə edilən üsullardan birini tətbiq edə bilərsiniz: uzanan ip üsulu, seçilmiş nöqtələr üsulu və ya orta üsul.

Sıx ip üsulu xətti funksiya üçün olduğu kimi tətbiq edilir.

Seçilmiş xal üsulu bunu belə tətbiq edə bilərik. Düzxətli bir qrafikdə iki nöqtə (bir-birindən uzaq) götürün. Bu nöqtələrin koordinatlarını işarə edirik və ( x, y). Sonra yaza bilərik

Verilmiş iki tənlik sistemindən tapırıq a Və b və onları (4.4) düsturu ilə əvəz edin və empirik düsturun son formasını alın.

Düzxətli bir qrafik qurmağa ehtiyac yoxdur, ancaq rəqəmləri götürün, ( x,y) birbaşa masadan. Bununla belə, bu bal seçimi ilə əldə edilən düstur daha az dəqiq olacaqdır.

Əyri qrafikin düz qrafa çevrilməsi prosesinə yastılaşma deyilir.

Orta üsul. Xətti asılılıq halında olduğu kimi tətbiq edilir. Eksperimental nöqtələri hər qrupda eyni (və ya demək olar ki, eyni) bal sayı ilə iki qrupa ayırırıq. (4.4) bərabərliyini aşağıdakı kimi yenidən yazırıq

Birinci qrupun nöqtələri üçün qalıqların cəmini tapırıq və onları sıfıra bərabərləşdiririk. İkinci qrupun xalları üçün də eyni şeyi edirik. Naməlum olan iki tənlik alırıq a Və b. Tənliklər sistemini həll edərək tapırıq a Və b.

Qeyd edək ki, bu üsuldan istifadə edərkən təxmini düz xətt çəkmək lazım deyil. Yarımkvadrat koordinat sistemində səpilmə qrafiki yalnız (4.4) formasının funksiyasının empirik düstur üçün uyğun olduğunu yoxlamaq üçün lazımdır.

Misal. Temperaturun xronometrin işləməsinə təsirini öyrənərkən aşağıdakı nəticələr əldə edilmişdir:

Bu halda bizi temperaturun özü deyil, ondan kənara çıxarması maraqlandırır. Buna görə də arqument olaraq alırıq , harada t– adi şkalada temperatur Selsi dərəcəsində.

Dekart koordinat sistemində müvafiq nöqtələrin qrafikini çəkərək, təqribən əyri kimi ordinat oxuna paralel oxu olan parabolanı qəbul etmək olar (şək. 4). Yarımkvadrat koordinat sistemini götürək və onun üzərində eksperimental nöqtələri çəkək. Bu nöqtələrin düz xəttə kifayət qədər uyğun olduğunu görürük. Beləliklə, empirik düstur

(4.4) şəklində axtarış etmək olar.

əmsalları müəyyən edək a Və b orta metoddan istifadə etməklə. Bunun üçün eksperimental nöqtələri iki qrupa ayırırıq: birinci qrupda - ilk üç xal, ikincidə - qalan dörd xal. Bərabərlikdən (4.5) istifadə edərək, hər bir qrup üçün qalıqların cəmini tapırıq və hər bir məbləği sıfıra bərabərləşdiririk.