Arifmetik irəliləyişin ilk n-hədlərinin cəmi. Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur Arifmetik irəliləyiş düsturunda necə tapmaq olar

Rəssamlıq və şeir kimi riyaziyyatın da öz gözəlliyi var.

Rus alimi, mexanik N.E. Jukovski

Çox ümumi vəzifələr qəbul imtahanları riyaziyyatda arifmetik proqressiya anlayışı ilə bağlı məsələlərdir. Belə məsələləri uğurla həll etmək üçün arifmetik proqresiyanın xassələrini yaxşı bilməli və onların tətbiqində müəyyən bacarıqlara malik olmalısınız.

Əvvəlcə arifmetik irəliləyişin əsas xassələrini xatırlayaq və ən vacib düsturları təqdim edək, bu konsepsiya ilə bağlıdır.

Tərif. Nömrə ardıcıllığı, hər bir sonrakı termin əvvəlkindən eyni sayda fərqlənir, arifmetik irəliləyiş adlanır. Bu vəziyyətdə nömrəirəliləyiş fərqi adlanır.

Arifmetik irəliləyiş üçün aşağıdakı düsturlar etibarlıdır:

, (1)

Harada. Formula (1) arifmetik proqresiyanın ümumi həddinin düsturu adlanır və düstur (2) arifmetik proqresiyanın əsas xassəsini ifadə edir: proqressiyanın hər bir üzvü onun qonşu hədlərinin arifmetik ortası ilə üst-üstə düşür və .

Nəzərə alın ki, məhz bu xassəsinə görə nəzərdən keçirilən irəliləyiş “arifmetik” adlanır.

Yuxarıdakı düsturlar (1) və (2) aşağıdakı kimi ümumiləşdirilmişdir:

(3)

Məbləği hesablamaq üçün birinci arifmetik irəliləyişin şərtləriformul adətən istifadə olunur

(5) harada və .

Formulu nəzərə alsaq (1), onda (5) düsturdan belə çıxır

işarə etsək, onda

Harada. Çünki (7) və (8) düsturları müvafiq (5) və (6) düsturlarının ümumiləşdirilməsidir.

Xüsusilə , düsturdan (5) belə çıxır, Nə

Tələbələrin əksəriyyətinə az məlum olan arifmetik irəliləyişin aşağıdakı teorem vasitəsilə ifadə olunan xassəsidir.

Teorem.Əgər, onda

Sübut.Əgər, onda

Teorem sübut edilmişdir.

Məsələn , teoremdən istifadə etməklə, bunu göstərmək olar

Mövzu ilə bağlı problemlərin həllinin tipik nümunələrini nəzərdən keçirməyə davam edək " Arifmetik irəliləyiş».

Misal 1. Qoy olsun. tap .

Həll. Düsturu (6) tətbiq edərək, əldə edirik. Bundan sonra və , sonra və ya .

Misal 2.Üç dəfə böyük olsun və hissəyə bölündükdə nəticə 2, qalıq isə 8-dir. və müəyyən edin.

Həll. Nümunənin şərtlərindən tənliklər sistemi gəlir

olduğundan, , və , onda (10) tənliklər sistemindən alırıq

Bu tənliklər sisteminin həlli və .

Misal 3.Əgər tapın və .

Həll. Formula (5) görə bizdə və ya var. Bununla belə, (9) mülkiyyətindən istifadə edərək .

bəri və , sonra bərabərliyindən tənlik aşağıdakı kimidir və ya .

Misal 4.Əgər tapın.

Həll.Formula (5) görə bizdə var

Ancaq teoremdən istifadə edərək yaza bilərik

Buradan və düsturdan (11) əldə edirik.

Misal 5. Verildi: . tap .

Həll. O vaxtdan bəri. Bununla belə, buna görə də.

Misal 6. Qoy, və. tap .

Həll.(9) düsturundan istifadə edərək əldə edirik. Buna görə də əgər , onda və ya .

O vaxtdan və onda burada tənliklər sistemimiz var

Hansını həll edərək, alırıq və .

Tənliyin təbii kökü edir .

Misal 7.Əgər tapın və .

Həll.(3) düsturuna görə biz buna malikik, deməli məsələnin şərtlərindən tənliklər sistemi çıxır

ifadəsini əvəz etsəksistemin ikinci tənliyinə daxil edilir, onda alırıq və ya .

Kvadrat tənliyin kökləri bunlardır Və .

Gəlin iki halı nəzərdən keçirək.

1. Qoy, sonra. O vaxtdan bəri və sonra.

Bu halda (6) düsturuna görə bizdə var

2. Əgər , onda , və

Cavab: və.

Misal 8. Məlumdur ki, və. tap .

Həll. Formula (5) və nümunənin şərtini nəzərə alaraq və yazırıq.

Bu, tənliklər sistemini nəzərdə tutur

Sistemin birinci tənliyini 2-yə vurub ikinci tənliyə əlavə etsək, alırıq.

Formula (9) görə bizdə var. Bununla əlaqədar olaraq, (12) və ya .

O vaxtdan bəri və sonra.

Cavab: .

Misal 9.Əgər tapın və .

Həll. O vaxtdan , və şərtlə , sonra və ya .

Formuladan (5) məlumdur, Nə . O vaxtdan bəri.

Beləliklə, burada xətti tənliklər sistemimiz var

Buradan alırıq və . Formulu (8) nəzərə alaraq yazırıq.

Misal 10. Tənliyi həll edin.

Həll. Verilmiş tənlikdən belə çıxır ki. Fərz edək ki, , və . Bu halda.

Formula (1) uyğun olaraq və ya yaza bilərik.

olduğundan, (13) tənliyinin yeganə uyğun kökü var.

Misal 11. və olması şərtilə maksimum dəyəri tapın.

Həll.-dən bəri, baxılan arifmetik irəliləyiş azalır. Bu baxımdan ifadə proqresiyanın minimum müsbət həddi olanda maksimum qiymətini alır.

Gəlin (1) düsturundan və faktdan istifadə edək, bu və . Sonra bunu alırıq və ya .

O vaxtdan bəri və ya . Ancaq bu bərabərsizlikdəən böyük natural ədəd, Ona görə.

Əgər , və qiymətləri (6) düsturu ilə əvəz edilərsə, alarıq.

Cavab: .

Misal 12. Bütün ikirəqəmli natural ədədlərin cəmini müəyyən edin ki, 6 ədədinə bölündükdə 5 qalığı qalır.

Həll. Bütün ikirəqəmli natural ədədlərin çoxluğu ilə işarə edək, yəni. . Sonra, çoxluğun həmin elementlərindən (rəqəmlərindən) ibarət alt çoxluq quracağıq ki, 6 rəqəminə bölündükdə 5-in qalığını verir.

Quraşdırmaq asandır, Nə . Aydındır ki, ki, çoxluğun elementləriarifmetik irəliləyiş əmələ gətirir, hansı və .

Çoxluğun kardinallığını (elementlərin sayını) müəyyən etmək üçün güman edirik ki, . və olduğundan (1) və ya düsturundan irəli gəlir. (5) düsturunu nəzərə alaraq əldə edirik.

Problemin həllinə dair yuxarıda göstərilən nümunələr heç bir halda tam olduğunu iddia edə bilməz. Bu məqalə təhlil əsasında yazılmışdır müasir üsullar həllər tipik vəzifələr müəyyən bir mövzuda. Arifmetik irəliləyişlə bağlı məsələlərin həlli üsullarını daha dərindən öyrənmək üçün tövsiyə olunan ədəbiyyat siyahısına müraciət etmək məqsədəuyğundur.

1. Kolleclərə qəbul olan abituriyentlər üçün riyaziyyatdan məsələlər toplusu / Red. M.İ. Skanavi. – M.: Sülh və Təhsil, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Orta məktəb şagirdləri üçün riyaziyyat: əlavə bölmələr məktəb kurikulumu. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.

3. Medınski M.M. Tam kurs problem və tapşırıqlarda elementar riyaziyyat. Kitab 2: Nömrələrin ardıcıllığı və irəliləmələri. – M.: Editus, 2015. – 208 s.

Hələ suallarınız var?

Repetitordan kömək almaq üçün qeydiyyatdan keçin.

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

Məsələn, ardıcıllıq \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... arifmetik irəliləyişdir, çünki hər bir sonrakı element əvvəlkindən üç ilə fərqlənir (əvvəlki elementdən üç əlavə etməklə əldə etmək olar):

Bu irəliləyişdə \(d\) fərqi müsbətdir (\(3\)-ə bərabərdir) və buna görə də hər növbəti termin əvvəlkindən böyükdür. Belə irəliləmələr deyilir artır.

Bununla belə, \(d\) də ola bilər mənfi rəqəm. Məsələn, arifmetik irəliləyişdə \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... irəliləmə fərqi \(d\) mənfi altıya bərabərdir.

Və bu halda, hər bir növbəti element əvvəlkindən daha kiçik olacaq. Bu irəliləyişlər adlanır azalan.

Arifmetik irəliləyiş qeydi

Tərəqqi kiçik Latın hərfi ilə göstərilir.

Proqressiya əmələ gətirən ədədlər adlanır üzvləri(və ya elementlər).

Onlar arifmetik irəliləyişlə eyni hərflə, lakin ardıcıllıqla elementin sayına bərabər ədədi indekslə işarələnirlər.

Məsələn, arifmetik irəliləyiş \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) elementlərindən ibarətdir \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) və s.

Başqa sözlə, irəliləmə üçün \(a_n = \sol\(2; 5; 8; 11; 14…\sağ\)\)

Arifmetik irəliləyiş məsələlərinin həlli

Prinsipcə, yuxarıda təqdim olunan məlumat demək olar ki, hər hansı arifmetik irəliləyiş problemini həll etmək üçün kifayətdir (OGE-də təklif olunanlar da daxil olmaqla).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(b_1=7; d=4\) şərtləri ilə müəyyən edilir. \(b_5\) tapın.
Həlli:

Cavab: \(b_5=23\)

Nümunə (OGE). Arifmetik proqresiyanın ilk üç üzvü verilmişdir: \(62; 49; 36...\) Bu irəliləyişin birinci mənfi üzvünün qiymətini tapın.
Həlli:

	Bizə ardıcıllığın ilk elementləri verilir və onun arifmetik irəliləyiş olduğunu bilirik. Yəni hər bir element qonşusundan eyni sayda fərqlənir. Növbəti elementdən əvvəlkini çıxmaqla hansının olduğunu öyrənək: \(d=49-62=-13\).
	İndi biz lazım olan (ilk mənfi) elementə irəliləməmizi bərpa edə bilərik.
	Hazır. Cavab yaza bilersiniz.

Cavab: \(-3\)

Nümunə (OGE). Arifmetik proqresiyanın bir neçə ardıcıl elementi verilmişdir: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) hərfi ilə təyin olunan elementin qiymətini tapın.
Həlli:

	\(x\) tapmaq üçün növbəti elementin əvvəlkindən nə qədər fərqləndiyini, başqa sözlə, irəliləyiş fərqini bilməliyik. Onu iki məlum qonşu elementdən tapaq: \(d=12,5-10=2,5\).
	İndi biz axtardığımızı asanlıqla tapa bilərik: \(x=5+2,5=7,5\).
	Hazır. Cavab yaza bilersiniz.

Cavab: \(7,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş aşağıdakı şərtlərlə müəyyən edilir: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu irəliləyişin ilk altı üzvünün cəmini tapın.
Həlli:

	Proqresiyanın ilk altı şərtinin cəmini tapmalıyıq. Amma biz onların mənalarını bilmirik, bizə yalnız birinci element verilir. Buna görə də, əvvəlcə bizə veriləndən istifadə edərək dəyərləri bir-bir hesablayırıq: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Bizə lazım olan altı elementi hesablayaraq onların cəmini tapırıq.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Lazım olan məbləğ tapılıb.

Cavab: \(S_6=9\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyişdə \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu irəliləyişin fərqini tapın.
Həlli:

Cavab: \(d=7\).

Arifmetik irəliləyiş üçün vacib düsturlar

Gördüyünüz kimi, arifmetik irəliləyişlə bağlı bir çox problemi sadəcə əsas şeyi başa düşməklə həll etmək olar - arifmetik irəliləyiş ədədlər zənciridir və bu zəncirdəki hər bir sonrakı element əvvəlki birinə eyni ədədi əlavə etməklə əldə edilir. irəliləmə fərqi).

Ancaq bəzən "baş-üstə" qərar vermək çox əlverişsiz olan vəziyyətlər var. Məsələn, təsəvvür edin ki, ilk misalda biz beşinci elementi \(b_5\) deyil, üç yüz səksən altıncı \(b_(386)\) tapmalıyıq. Dörd \(385\) dəfə əlavə etməliyik? Və ya təsəvvür edin ki, sondan əvvəlki nümunədə ilk yetmiş üç elementin cəmini tapmaq lazımdır. Saymaqdan yorulacaqsan...

Buna görə də, belə hallarda onlar hər şeyi “baş-başa” həll etmirlər, arifmetik irəliləyiş üçün alınan xüsusi düsturlardan istifadə edirlər. Əsas olanlar isə irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur və \(n\) birinci hədlərin cəminin düsturudur.

\(n\)-ci həddinin düsturu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), burada \(a_1\) irəliləyişin birinci üzvüdür;
\(n\) – tələb olunan elementin sayı;
\(a_n\) – \(n\) rəqəmi ilə irəliləyişin müddəti.

Bu düstur bizə irəliləyişin yalnız birincisini və fərqini bilməklə hətta üç yüz və ya milyonuncu elementi də tez tapmağa imkan verir.

Misal. Arifmetik irəliləyiş şərtlərlə müəyyən edilir: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) tapın.
Həlli:

Cavab: \(b_(246)=1850\).

İlk n şərtin cəmi üçün düstur: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), burada

\(a_n\) – son cəmlənmiş termin;

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(a_n=3.4n-0.6\) şərtləri ilə müəyyən edilir. Bu irəliləyişin ilk \(25\) şərtlərinin cəmini tapın.
Həlli:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		İlk iyirmi beş şərtin cəmini hesablamaq üçün birinci və iyirmi beşinci şərtlərin dəyərini bilməliyik. Bizim irəliləyişimiz onun sayından asılı olaraq n-ci hədd düsturu ilə verilir (ətraflı məlumat üçün bax). Birinci elementi \(n\) yerinə birini əvəz edərək hesablayaq.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		İndi \(n\) əvəzinə iyirmi beşi əvəz edərək iyirmi beşinci həddi tapaq.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Yaxşı, indi tələb olunan məbləği asanlıqla hesablaya bilərik.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Cavab hazırdır.

Cavab: \(S_(25)=1090\).

Birinci şərtlərin \(n\) cəmi üçün başqa düstur əldə edə bilərsiniz: sadəcə \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) əvəzinə \(a_n\) düsturu ilə əvəz edin \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz əldə edirik:

İlk n şərtin cəmi üçün düstur: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), burada

\(S_n\) – \(n\) birinci elementlərin tələb olunan cəmi;
\(a_1\) – ilk cəmlənmiş şərt;
\(d\) – irəliləyiş fərqi;
\(n\) – cəmdəki elementlərin sayı.

Misal. Arifmetik irəliləyişin birinci \(33\)-ex hədlərinin cəmini tapın: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Həlli:

Cavab: \(S_(33)=-231\).

Daha mürəkkəb arifmetik irəliləyiş məsələləri

İndi demək olar ki, istənilən arifmetik irəliləyiş problemini həll etmək üçün lazım olan bütün məlumatlara sahibsiniz. Gəlin mövzunu təkcə düsturları tətbiq etmək deyil, həm də bir az düşünmək lazım olan problemləri nəzərdən keçirərək bitirək (riyaziyyatda bu faydalı ola bilər ☺)

Nümunə (OGE). Proqresiyanın bütün mənfi şərtlərinin cəmini tapın: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Həlli:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Tapşırıq əvvəlki ilə çox oxşardır. Eyni şeyi həll etməyə başlayırıq: əvvəlcə \(d\) tapırıq.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		İndi biz cəm üçün düsturda \(d\) əvəz etmək istərdik... və burada kiçik bir nüans ortaya çıxır - biz \(n\) bilmirik. Başqa sözlə, neçə terminin əlavə edilməsi lazım olduğunu bilmirik. Necə tapmaq olar? Gəlin düşünək. İlk müsbət elementə çatdıqda elementlər əlavə etməyi dayandıracağıq. Yəni bu elementin sayını tapmaq lazımdır. Necə? Arifmetik irəliləyişin hər hansı elementini hesablamaq üçün düsturu yazaq: bizim işimiz üçün \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Bizə sıfırdan böyük olmaq üçün \(a_n\) lazımdır. Bunun nə \(n\) baş verəcəyini öyrənək.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Bərabərsizliyin hər iki tərəfini \(0,3\) ilə bölürük.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		İşarələri dəyişdirməyi unutmadan mənfi birini köçürürük
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Gəlin hesablayaq...
\(n>65,333…\)		...və belə çıxır ki, birinci müsbət element \(66\) rəqəminə sahib olacaq. Müvafiq olaraq, sonuncu mənfidə \(n=65\) var. Hər halda, gəlin bunu yoxlayaq.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Beləliklə, ilk \(65\) elementləri əlavə etməliyik.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Cavab hazırdır.

Cavab: \(S_(65)=-630,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləmə şərtlərlə müəyyən edilir: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-ci elementdən \(42\) elementi daxil olmaqla cəmini tapın.
Həlli:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Bu məsələdə siz həm də elementlərin cəmini tapmaq lazımdır, lakin birincidən deyil, \(26\)-dan başlayaraq. Belə bir hal üçün bizim düsturumuz yoxdur. Necə qərar vermək olar? Asandır - \(26\)-dan \(42\)-ciyə qədər olan məbləği əldə etmək üçün əvvəlcə \(1\)-dən \(42\)-ə qədər olan məbləği tapmalı və sonra çıxmalısınız. ondan birincidən \(25\)-ə qədər olan məbləğ (şəklə bax).
	Bizim irəliləyişimiz üçün \(a_1=-33\) və fərq \(d=4\) (hər şeydən sonra, növbəti elementi tapmaq üçün əvvəlki elementə əlavə etdiyimiz dörd elementdir). Bunu bilərək birinci \(42\)-y elementlərinin cəmini tapırıq.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	İndi ilk \(25\) elementlərin cəmi.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Və nəhayət, cavabı hesablayırıq.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Cavab: \(S=1683\).

Arifmetik irəliləyiş üçün praktiki faydalılığı az olduğuna görə bu məqalədə nəzərdən keçirmədiyimiz daha bir neçə düstur var. Bununla belə, onları asanlıqla tapa bilərsiniz.

Bəli, bəli: arifmetik irəliləyiş sizin üçün oyuncaq deyil :)

Yaxşı, dostlar, əgər siz bu mətni oxuyursunuzsa, onda daxili başlıq dəlilləri mənə deyir ki, siz hələ arifmetik irəliləyişin nə olduğunu bilmirsiniz, amma həqiqətən (yox, belə: SOOOOO!) bilmək istəyirsiniz. Ona görə də sizi uzun-uzadı təqdimatlarla incitməyəcəyəm və birbaşa mətləbə keçəcəyəm.

Birincisi, bir neçə misal. Bir neçə ədəd dəstinə baxaq:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Bütün bu dəstlərin ortaq cəhəti nədir? İlk baxışdan heç nə. Amma əslində bir şey var. Məhz: hər növbəti element əvvəlkindən eyni sayda fərqlənir.

Özünüz mühakimə edin. Birinci dəst sadəcə ardıcıl nömrələrdir, hər biri əvvəlkindən bir çoxdur. İkinci halda, bitişik ədədlər arasındakı fərq artıq beşdir, lakin bu fərq hələ də sabitdir. Üçüncü halda, köklər tamamilə var. Bununla belə, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ və $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yəni. və bu halda hər növbəti element sadəcə olaraq $\sqrt(2)$ artır (və bu rəqəmin irrasional olmasından qorxma).

Beləliklə: bütün belə ardıcıllıqlara arifmetik irəliləyişlər deyilir. Ciddi bir tərif verək:

Tərif. Hər bir sonrakının əvvəlkindən tam eyni miqdarda fərqləndiyi ədədlər ardıcıllığına arifmetik irəliləyiş deyilir. Rəqəmlərin fərqləndiyi məbləğə irəliləyiş fərqi deyilir və ən çox $d$ hərfi ilə işarələnir.

Qeyd: $\left(((a)_(n)) \right)$ irəliləyişin özüdür, $d$ onun fərqidir.

Və yalnız bir neçə vacib qeyd. Birincisi, yalnız irəliləyiş nəzərə alınır əmr etdi nömrələrin ardıcıllığı: onların yazıldığı ardıcıllıqla ciddi şəkildə oxunmasına icazə verilir - başqa heç nə yoxdur. Nömrələri yenidən təşkil etmək və ya dəyişdirmək mümkün deyil.

İkincisi, ardıcıllığın özü sonlu və ya sonsuz ola bilər. Məsələn, (1; 2; 3) çoxluğu açıq şəkildə sonlu arifmetik irəliləyişdir. Ancaq ruhda bir şey yazsanız (1; 2; 3; 4; ...) - bu, artıq sonsuz bir irəliləyişdir. Dördündən sonrakı ellips, qarşıda daha bir neçə rəqəmin olduğuna işarə edir. Məsələn, sonsuz sayda. :)

Onu da qeyd edim ki, irəliləyişlər arta və ya azala bilər. Artıq artanları gördük - eyni çoxluq (1; 2; 3; 4; ...). Aşağıda irəliləyişlərin azaldılması nümunələri verilmişdir:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Tamam, tamam: son nümunə həddindən artıq mürəkkəb görünə bilər. Amma qalanları, məncə, başa düşürsən. Buna görə də yeni təriflər təqdim edirik:

Tərif. Arifmetik irəliləyiş deyilir:

1. hər növbəti element əvvəlkindən böyükdürsə artan;
2. əksinə, hər bir sonrakı element əvvəlkindən az olarsa, azalır.

Bundan əlavə, "stasionar" ardıcıllıqlar var - onlar eyni təkrarlanan nömrədən ibarətdir. Məsələn, (3; 3; 3; ...).

Yalnız bir sual qalır: artan irəliləyişi azalandan necə ayırd etmək olar? Xoşbəxtlikdən, burada hər şey yalnız $d$ rəqəminin işarəsindən asılıdır, yəni. irəliləmə fərqləri:

1. Əgər $d \gt 0$ olarsa, irəliləmə artır;
2. Əgər $d \lt 0$ olarsa, deməli irəliləyiş açıq şəkildə azalır;
3. Nəhayət, $d=0$ halı var - bu halda bütün irəliləyiş eyni ədədlərin stasionar ardıcıllığına endirilir: (1; 1; 1; 1; ...) və s.

Yuxarıda verilmiş üç azalan irəliləyiş üçün $d$ fərqini hesablamağa çalışaq. Bunu etmək üçün hər hansı iki bitişik elementi (məsələn, birinci və ikinci) götürmək və sağdakı nömrədən soldakı nömrəni çıxarmaq kifayətdir. Bu belə görünəcək:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Gördüyümüz kimi, hər üç halda fərq əslində mənfi oldu. İndi tərifləri az-çox başa düşdükdən sonra irəliləyişlərin necə təsvir edildiyini və hansı xüsusiyyətlərə malik olduğunu anlamağın vaxtı gəldi.

Tərəqqi şərtləri və təkrarlanma düsturu

Ardıcıllığımızın elementləri dəyişdirilə bilmədiyi üçün onları nömrələmək olar:

\[\sol(((a)_(n)) \sağ)=\sol\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \sağ\)\]

Bu çoxluğun ayrı-ayrı elementləri proqresiyanın üzvləri adlanır. Onlar rəqəmlə göstərilir: birinci üzv, ikinci üzv və s.

Bundan əlavə, artıq bildiyimiz kimi, irəliləyişin qonşu şərtləri düsturla əlaqələndirilir:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Sağ ox ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Qısaca desək, bir irəliləyişin $n$-ci həddini tapmaq üçün siz $n-1$th müddətini və $d$ fərqini bilməlisiniz. Bu düstur təkrarlanan adlanır, çünki onun köməyi ilə hər hansı bir nömrəni yalnız əvvəlkini (və əslində bütün əvvəlkiləri) bilməklə tapa bilərsiniz. Bu, çox əlverişsizdir, buna görə də hər hansı hesablamaları birinci terminə və fərqə endirən daha hiyləgər bir düstur var:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\sol(n-1 \sağ)d\]

Yəqin ki, siz artıq bu formulla rastlaşmısınız. Onlar bunu hər cür istinad kitablarında və həll kitablarında verməyi sevirlər. İstənilən həssas riyaziyyat dərsliyində o, birincilərdən biridir.

Bununla belə, bir az məşq etməyi məsləhət görürəm.

Tapşırıq №1. $((a)_(1))=8,d=-5$ olarsa, $\left(((a)_(n)) \right)$ arifmetik proqressiyasının ilk üç şərtini yazın.

Həll. Beləliklə, $((a)_(1))=8$ birinci termini və $d=-5$ irəliləməsinin fərqini bilirik. Gəlin indi verilmiş düsturdan istifadə edək və $n=1$, $n=2$ və $n=3$ əvəz edək:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\sol(2-1 \sağ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\sol(3-1 \sağ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(hizalayın)\]

Cavab: (8; 3; −2)

Budur! Diqqət edin: inkişafımız azalır.

Təbii ki, $n=1$ əvəz edilə bilməzdi - birinci termin artıq bizə məlumdur. Bununla belə, birliyi əvəz etməklə biz əmin olduq ki, hətta birinci dövr üçün formulamız işləyir. Digər hallarda, hər şey banal hesaba düşdü.

Tapşırıq № 2. Arifmetik irəliləyişin yeddinci üzvü −40-a, on yeddinci üzvü isə −50-yə bərabərdirsə, onun ilk üç həddini yazın.

Həll. Problemin şərtini tanış sözlərlə yazaq:

\[((a)_(7))=-40;\dörd ((a)_(17))=-50.\]

\[\sol\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(düzləşdirin) \sağa.\]

\[\sol\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \sağ.\]

Sistem işarəsini qoyuram, çünki bu tələblər eyni vaxtda yerinə yetirilməlidir. İndi qeyd edək ki, ikinci tənlikdən birincini çıxarsaq (bizim bunu etmək hüququmuz var, çünki sistemimiz var), bunu alırıq:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(hizalayın)\]

Proqressiv fərqi tapmaq nə qədər asandır! Yalnız tapılan ədədi sistemin hər hansı bir tənliyinə əvəz etmək qalır. Məsələn, birincidə:

\[\begin(matris) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \son (matris)\]

İndi birinci şərti və fərqi bilməklə ikinci və üçüncü şərtləri tapmaq qalır:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(hizalayın)\]

Hazır! Problem həll olunur.

Cavab: (−34; −35; −36)

Proqresiyanın kəşf etdiyimiz maraqlı xüsusiyyətinə diqqət yetirin: əgər $n$th və $m$th şərtlərini götürsək və onları bir-birindən çıxarsaq, irəliləyişin fərqini $n-m$ ədədinə vururuq:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \sol(n-m \sağ)\]

Sadə, lakin çox faydalı əmlak, mütləq bilməli olduğunuz - onun köməyi ilə bir çox irəliləyiş problemlərinin həllini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirə bilərsiniz. Bunun bariz nümunəsi budur:

Tapşırıq №3. Arifmetik proqresiyanın beşinci üzvü 8,4, onuncu üzvü isə 14,4-dür. Bu irəliləyişin on beşinci üzvünü tapın.

Həll. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ və $((a)_(15))$ tapmaq lazım olduğuna görə aşağıdakıları qeyd edirik:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(hizalayın)\]

Lakin şərtlə $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, buna görə də $5d=6$, ondan əldə edirik:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(hizalayın)\]

Cavab: 20.4

Budur! Bizə heç bir tənlik sistemi yaratmağa və birinci həddi və fərqi hesablamağa ehtiyac yox idi - hər şey bir neçə sətirdə həll olundu.

İndi problemin başqa bir növünə - irəliləyişin mənfi və müsbət şərtlərinin axtarışına baxaq. Heç kimə sirr deyil ki, əgər irəliləyiş artarsa ​​və onun birinci termini mənfi olarsa, gec-tez onda müsbət terminlər görünəcəkdir. Və əksinə: azalan irəliləyişin şərtləri gec-tez mənfi olacaq.

Eyni zamanda, elementləri ardıcıl olaraq keçməklə bu anı “baş-başa” tapmaq həmişə mümkün olmur. Çox vaxt problemlər elə yazılır ki, düsturları bilmədən hesablamalar bir neçə vərəq götürəcək - cavabı tapan kimi biz sadəcə yuxuya gedərik. Ona görə də gəlin bu problemləri daha tez həll etməyə çalışaq.

Tapşırıq № 4. Arifmetik irəliləyişdə neçə mənfi hədd var −38,5; −35,8; ...?

Həll. Beləliklə, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, buradan dərhal fərqi tapırıq:

Qeyd edək ki, fərq müsbətdir, buna görə də irəliləyiş artır. Birinci termin mənfidir, ona görə də nə vaxtsa müsbət rəqəmlərlə qarşılaşacağıq. Yeganə sual bunun nə vaxt baş verəcəyidir.

Gəlin öyrənməyə çalışaq: nə vaxta qədər (yəni nə vaxta qədər natural ədəd$n$) şərtlərin mənfiliyi saxlanılır:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Sağ ox ((a)_(1))+\left(n-1 \sağ)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \sağ)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \sağ. \\ & -385+27\cdot \sol(n-1 \sağ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Sağ ox ((n)_(\max ))=15. \\ \end(hizalayın)\]

Sonuncu sətir bəzi izahat tələb edir. Beləliklə, $n \lt 15\frac(7)(27)$ olduğunu bilirik. Digər tərəfdən, biz yalnız ədədin tam qiymətləri ilə kifayətlənirik (üstəlik: $n\in \mathbb(N)$), buna görə də ən böyük icazə verilən ədəd dəqiq olaraq $n=15$-dır və heç bir halda 16 deyil. .

Tapşırıq № 5. Arifmetik irəliləyişdə $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu irəliləyişin birinci müsbət üzvünün sayını tapın.

Bu, əvvəlki problemlə eyni problem olacaq, lakin biz $((a)_(1))$ bilmirik. Lakin qonşu şərtlər məlumdur: $((a)_(5))$ və $((a)_(6))$, beləliklə, irəliləyişin fərqini asanlıqla tapa bilərik:

Bundan əlavə, standart düsturdan istifadə edərək birinci və fərq vasitəsilə beşinci termini ifadə etməyə çalışaq:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(hizalayın)\]

İndi əvvəlki tapşırığa bənzətmə ilə davam edirik. Müsbət ədədlərin ardıcıllığımızın hansı nöqtəsində görünəcəyini öyrənək:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Sağ ox ((n)_(\dəq ))=56. \\ \end(hizalayın)\]

Bu bərabərsizliyin minimum tam həlli 56 ədədidir.

Qeyd: in son vəzifə hər şey ciddi bərabərsizliklə nəticələndi, ona görə də $n=55$ variantı bizə uyğun gəlməyəcək.

Sadə məsələlərin həllini öyrəndiyimizə görə, indi daha mürəkkəb olanlara keçək. Ancaq əvvəlcə arifmetik irəliləyişlərin başqa bir çox faydalı xüsusiyyətini öyrənək, bu da gələcəkdə bizə çox vaxt və qeyri-bərabər hüceyrələrə qənaət edəcəkdir. :)

Arifmetik orta və bərabər abzaslar

$\left(((a)_(n)) \right)$ artan arifmetik irəliləyişin bir neçə ardıcıl şərtini nəzərdən keçirək. Onları rəqəm xəttində qeyd etməyə çalışaq:

Say xəttində arifmetik irəliləyişin şərtləri

Mən xüsusi olaraq $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ixtiyari şərtləri qeyd etdim və bəzi $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ və s. Çünki indi sizə deyəcəyim qayda istənilən “seqmentlər” üçün eyni işləyir.

Və qayda çox sadədir. Təkrarlanan düsturu xatırlayaq və bütün qeyd olunan şərtlər üçün onu yazaq:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(hizalayın)\]

Bununla belə, bu bərabərliklər fərqli şəkildə yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(hizalayın)\]

Bəs nə? Və $((a)_(n-1))$ və $((a)_(n+1))$ şərtlərinin $((a)_(n)) $-dan eyni məsafədə olması faktı . Və bu məsafə $d$-a bərabərdir. Eyni şeyi $((a)_(n-2))$ və $((a)_(n+2))$ terminləri haqqında da demək olar - onlar da $((a)_(n) terminindən çıxarılıb. )$ eyni məsafədə $2d$-a bərabərdir. Sonsuza qədər davam edə bilərik, lakin məna şəkil ilə yaxşı təsvir edilmişdir

Proqressiyanın şərtləri mərkəzdən eyni məsafədə yerləşir

Bu bizim üçün nə deməkdir? Bu o deməkdir ki, $((a)_(n))$ qonşu ədədlər məlum olduqda tapıla bilər:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)(2)\]

Mükəmməl bir müddəa əldə etdik: arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü onun qonşu şərtlərinin arifmetik ortasına bərabərdir! Üstəlik: $((a)_(n))$-dan sola və sağa bir addım deyil, $k$ addımları ilə geri çəkilə bilərik və düstur yenə də düzgün olacaq:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Bunlar. $((a)_(150))$ və $((a)_(100))$ və $((a)_(200))$ bildiyimiz halda asanlıqla bəzi $((a)_(150))$ tapa bilərik, çünki $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)(2)$. İlk baxışdan elə görünə bilər ki, bu fakt bizə faydalı heç nə vermir. Bununla belə, praktikada bir çox məsələlər arifmetik ortadan istifadə etmək üçün xüsusi olaraq hazırlanmışdır. Baxın:

Tapşırıq № 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ və $14+4((x)^(2))$ ədədlərinin ardıcıl şərtlər olduğu $x$-ın bütün dəyərlərini tapın. arifmetik irəliləyiş (göstərilən ardıcıllıqla).

Həll. Bu ədədlər proqresiyanın üzvləri olduğundan onlar üçün orta hesab şərti ödənilir: $x+1$ mərkəzi elementi qonşu elementlərlə ifadə oluna bilər:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(hizalayın)\]

Klassik çıxdı kvadrat tənlik. Onun kökləri: $x=2$ və $x=-3$ cavablardır.

Cavab: −3; 2.

Tapşırıq № 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ ədədlərinin arifmetik irəliləyiş əmələ gətirdiyi $$ dəyərlərini tapın (həmin ardıcıllıqla).

Həll. Yenidən orta termini qonşu terminlərin arifmetik ortası ilə ifadə edək:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \sağ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(hizalayın)\]

Yenidən kvadrat tənlik. Və yenə də iki kök var: $x=6$ və $x=1$.

Cavab: 1; 6.

Problemin həlli zamanı bəzi qəddar rəqəmlərlə qarşılaşırsınızsa və ya tapılan cavabların düzgünlüyünə tam əmin deyilsinizsə, onda yoxlamağa imkan verən gözəl bir texnika var: problemi düzgün həll etdikmi?

Tutaq ki, 6 nömrəli məsələdə −3 və 2 cavabları aldıq. Bu cavabların düzgün olduğunu necə yoxlaya bilərik? Gəlin onları orijinal vəziyyətə qoşaq və nə baş verdiyini görək. Nəzərinizə çatdırım ki, bizdə üç ədəd ($-6(()^(2))$, $+1$ və $14+4(()^(2))$ var, bunlar arifmetik irəliləyiş əmələ gətirməlidir. $x=-3$ əvəz edək:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

−54 rəqəmlərini aldıq; −2; 52 ilə fərqlənən 50, şübhəsiz ki, arifmetik irəliləyişdir. Eyni şey $x=2$ üçün də baş verir:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Yenə irəliləyiş, lakin 27 fərqlə. Beləliklə, problem düzgün həll olundu. İstəyənlər ikinci problemi özləri yoxlaya bilərlər, amma dərhal deyəcəm: orada da hər şey qaydasındadır.

Ümumiyyətlə, son problemləri həll edərkən başqa birinə rast gəldik maraqlı fakt, bunu da xatırlamaq lazımdır:

Əgər üç ədəd elədirsə ki, ikincisi birinci və sonuncunun arifmetik ortasıdır, onda bu ədədlər arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.

Gələcəkdə bu ifadəni başa düşmək bizə problemin şərtlərinə əsaslanaraq lazımi irəliləyişləri sözün əsl mənasında "qurmağa" imkan verəcəkdir. Ancaq belə bir “tikinti” ilə məşğul olmamışdan əvvəl, artıq danışılanlardan birbaşa irəli gələn daha bir fakta diqqət yetirməliyik.

Elementlərin qruplaşdırılması və cəmlənməsi

Yenidən ədəd oxuna qayıdaq. Orada irəliləyişin bir neçə üzvünü qeyd edək, onların arasında, bəlkə də. bir çox digər üzvlərə dəyər:

Rəqəm xəttində qeyd olunan 6 element var

Gəlin “sol quyruğu” $((a)_(n))$ və $d$, “sağ quyruğu” isə $((a)_(k))$ və $d$ vasitəsilə ifadə etməyə çalışaq. Çox sadədir:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(hizalayın)\]

İndi nəzərə alın ki, aşağıdakı məbləğlər bərabərdir:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Sadə dillə desək, bir başlanğıc kimi cəmi $S$-a bərabər olan iki elementi nəzərə alsaq və sonra bu elementlərdən əks istiqamətdə addımlamağa başlasaq (bir-birinə doğru və ya əksinə uzaqlaşmaq üçün), sonra rastlaşacağımız elementlərin cəmi də bərabər olacaq$S$. Bunu qrafik olaraq ən aydın şəkildə göstərmək olar:

Bərabər girintilər bərabər məbləğlər verir

Bu həqiqəti dərk etmək bizə problemləri daha köklü şəkildə həll etməyə imkan verəcək yüksək səviyyə yuxarıda nəzərdən keçirdiklərimizdən daha çox çətinliklər. Məsələn, bunlar:

Tapşırıq № 8. Birinci həddinin 66, ikinci və on ikinci hədlərin hasilinin mümkün olan ən kiçik olduğu arifmetik irəliləyişin fərqini təyin edin.

Həll. Bildiyimiz hər şeyi yazaq:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\dəq. \end(align)\]

Beləliklə, $d$ irəliləyiş fərqini bilmirik. Əslində, bütün həll fərq ətrafında qurulacaq, çünki $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ məhsulu aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\sol(66+d \sağ)\cdot \left(66+11d \sağ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ). \end(align)\]

Tankda olanlar üçün: Mən ikinci mötərizədən 11-in ümumi çarpanını götürdüm. Beləliklə, tələb olunan hasil $d$ dəyişəninə münasibətdə kvadrat funksiyadır. Buna görə də, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ funksiyasını nəzərdən keçirək - onun qrafiki budaqları yuxarı olan parabola olacaq, çünki mötərizələri genişləndirsək, alırıq:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Gördüyünüz kimi, ən yüksək terminin əmsalı 11-dir - bu müsbət rəqəm, buna görə də biz həqiqətən budaqları yuxarı olan parabola ilə məşğul oluruq:

cədvəli kvadrat funksiya- parabola

Diqqət edin: bu parabola minimum qiymətini $((d)_(0))$ absis ilə təpəsində götürür. Əlbəttə ki, biz bu absissanı standart sxemdən istifadə edərək hesablaya bilərik ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ düsturu var), lakin qeyd etmək daha məqsədəuyğun olardı. istədiyiniz təpənin parabolanın oxu simmetriyası üzərində yerləşdiyinə görə $((d)_(0))$ nöqtəsi $f\left(d \right)=0$ tənliyinin köklərindən bərabər məsafədədir:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\dörd ((d)_(2))=-6. \\ \end(hizalayın)\]

Buna görə də mötərizələri açmağa tələsmədim: orijinal formada kökləri tapmaq çox, çox asan idi. Beləliklə, absis −66 və −6 ədədlərinin arifmetik ortasına bərabərdir:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Aşkar edilmiş nömrə bizə nə verir? Onunla tələb olunan məhsul ən kiçik dəyəri alır (yeri gəlmişkən, biz heç vaxt $((y)_(\min ))$ hesablamamışıq - bu bizdən tələb olunmur). Eyni zamanda, bu rəqəm orijinal irəliləyişin fərqidir, yəni. cavabını tapdıq :)

Cavab: −36

Tapşırıq № 9. $-\frac(1)(2)$ və $-\frac(1)(6)$ ədədlərinin arasına üç ədəd daxil edin ki, bu ədədlərlə birlikdə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.

Həll. Əslində, ilk və son nömrə artıq məlum olan beş ədəd ardıcıllığı yaratmalıyıq. Çatışmayan ədədləri $x$, $y$ və $z$ dəyişənləri ilə işarə edək:

\[\left(((a)_(n)) \sağ)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \sağ\ )\]

Qeyd edək ki, $y$ rəqəmi ardıcıllığımızın "ortasıdır" - o, $x$ və $z$ rəqəmlərindən, $-\frac(1)(2)$ və $-\frac ədədlərindən bərabər məsafədədir. (1)( 6)$. Hal-hazırda $x$ və $z$ ədədlərindən $y$ əldə edə bilmiriksə, o zaman irəliləyişin uclarında vəziyyət fərqlidir. Arifmetik ortanı xatırlayaq:

İndi $y$-ı bilməklə, qalan ədədləri tapacağıq. Qeyd edək ki, $x$ $-\frac(1)(2)$ və indi tapdığımız $y=-\frac(1)(3)$ ədədləri arasında yerləşir. Buna görə

Bənzər əsaslandırmadan istifadə edərək, qalan rəqəmi tapırıq:

Hazır! Hər üç rəqəmi tapdıq. Onları cavabda ilkin ədədlərin arasına daxil edilməli olduğu ardıcıllıqla yazaq.

Cavab: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tapşırıq № 10. 2 və 42 ədədlərinin arasına daxil edilmiş ədədlərin birinci, ikinci və sonuncularının cəminin 56 olduğunu bilirsinizsə, bu ədədlərlə birlikdə arifmetik irəliləyiş təşkil edən bir neçə ədəd daxil edin.

Həll. Daha mürəkkəb bir problem, lakin əvvəlkilərlə eyni sxemə görə - arifmetik orta ilə həll olunur. Problem ondadır ki, biz neçə rəqəmin daxil edilməli olduğunu dəqiq bilmirik. Buna görə də, dəqiqlik üçün fərz edək ki, hər şeyi daxil etdikdən sonra tam olaraq $n$ ədədləri olacaq və onlardan birincisi 2, sonuncusu isə 42-dir. Bu halda tələb olunan arifmetik irəliləyiş aşağıdakı formada göstərilə bilər:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \sağ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Bununla belə, qeyd edək ki, $((a)_(2))$ və $((a)_(n-1))$ ədədləri kənarlardakı 2 və 42 rəqəmlərindən bir-birinə doğru bir addım atılır, yəni.. ardıcıllığın mərkəzinə. Və bu o deməkdir ki

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Lakin sonra yuxarıda yazılmış ifadə aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(hizalayın)\]

$((a)_(3))$ və $((a)_(1))$ bilməklə, irəliləyişin fərqini asanlıqla tapa bilərik:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\sol(3-1 \sağ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Sağ ox d=5. \\ \end(hizalayın)\]

Qalan şərtləri tapmaqdır:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(hizalayın)\]

Beləliklə, artıq 9-cu addımda biz ardıcıllığın sol ucuna - 42 rəqəminə çatacağıq. Ümumilikdə cəmi 7 rəqəm daxil edilməli idi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Cavab: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Proqressivlərlə bağlı söz problemləri

Sonda bir-ikisini nisbətən nəzərdən keçirmək istərdim sadə tapşırıqlar. Bu qədər sadədir: məktəbdə riyaziyyat oxuyan və yuxarıda yazılanları oxumayan tələbələrin əksəriyyəti üçün bu problemlər çətin görünə bilər. Buna baxmayaraq, bunlar OGE-də və riyaziyyatda Vahid Dövlət İmtahanında ortaya çıxan problem növləridir, buna görə də onlarla tanış olmağı məsləhət görürəm.

Tapşırıq № 11. Komanda yanvar ayında 62 ədəd, sonrakı hər ayda isə əvvəlki ayla müqayisədə 14 ədəd çox hissə istehsal edib. Komanda noyabr ayında neçə hissə istehsal etdi?

Həll. Aydındır ki, aya görə sadalanan hissələrin sayı artan arifmetik irəliləyişi təmsil edəcəkdir. Üstəlik:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\sol(n-1 \sağ)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noyabr ilin 11-ci ayıdır, ona görə də $((a)_(11))$ tapmalıyıq:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Buna görə də noyabrda 202 hissə istehsal olunacaq.

Tapşırıq № 12. Cildləmə emalatxanası yanvar ayında 216 kitab cildləyib, hər növbəti ayda əvvəlkindən 4 çox kitab cildləyib. Dekabrda emalatxana neçə kitab bağlayıb?

Həll. Hər şey eynidir:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\sol(n-1 \sağ)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dekabr ilin sonuncu, 12-ci ayıdır, ona görə də biz $((a)_(12))$ axtarırıq:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Cavab budur - dekabrda 260 kitab cildlənəcək.

Yaxşı, bura qədər oxumusunuzsa, sizi təbrik etməyə tələsirəm: arifmetik irəliləyişlərdə "gənc döyüşçü kursunu" uğurla başa vurdunuz. Təhlükəsiz olaraq növbəti dərsə keçə bilərsiniz, burada biz irəliləyişlərin cəminin düsturunu, həmçinin ondan vacib və çox faydalı nəticələri öyrənəcəyik.

Bəzi insanlar "tərəqqi" sözünü bölmələrdən çox mürəkkəb bir termin kimi ehtiyatla qəbul edirlər ali riyaziyyat. Bu vaxt, ən sadə arifmetik irəliləyiş taksi sayğacının işidir (onların hələ də mövcud olduğu yerdə). Bir neçə elementar anlayışı təhlil edərək arifmetik ardıcıllığın mahiyyətini (və riyaziyyatda “mahiyyəti əldə etməkdən” vacib heç nə yoxdur) başa düşmək o qədər də çətin deyil.

Riyazi ədədlər ardıcıllığı

Ədədi ardıcıllığa adətən hər birinin öz nömrəsi olan nömrələr seriyası deyilir.

a 1 ardıcıllığın ilk üzvüdür;

və 2 ardıcıllığın ikinci şərtidir;

və 7 ardıcıllığın yeddinci üzvüdür;

n isə ardıcıllığın n-ci üzvüdür;

Bununla belə, heç bir ixtiyari nömrələr və rəqəmlər dəsti bizi maraqlandırmır. Diqqətimizi n-ci həddinin qiymətinin onun sıra nömrəsi ilə riyazi şəkildə aydın şəkildə ifadə oluna bilən əlaqə ilə əlaqəli olduğu ədədi ardıcıllığa yönəldəcəyik. Başqa sözlə: n-ci ədədin ədədi qiyməti n-in hansısa funksiyasıdır.

a ədədi ardıcıllığın üzvünün qiymətidir;

n onun seriya nömrəsidir;

f(n) funksiyadır, burada n ədədi ardıcıllıqdakı sıra nömrəsi arqumentdir.

Tərif

Arifmetik irəliləyiş adətən hər bir sonrakı terminin əvvəlkindən eyni sayda böyük (kiçik) olduğu ədədi ardıcıllıq adlanır. Arifmetik ardıcıllığın n-ci həddi üçün düstur aşağıdakı kimidir:

a n - arifmetik irəliləyişin cari üzvünün qiyməti;

a n+1 - növbəti ədədin düsturu;

d - fərq (müəyyən sayda).

Müəyyən etmək asandır ki, fərq müsbət olarsa (d>0), onda nəzərdən keçirilən silsilənin hər bir sonrakı üzvü əvvəlkindən böyük olacaq və belə arifmetik irəliləyiş artacaq.

Aşağıdakı qrafikdə nömrə ardıcıllığının niyə “artan” adlandırıldığını görmək asandır.

Fərqin mənfi olduğu hallarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Müəyyən edilmiş üzv dəyəri

Bəzən arifmetik irəliləyişin hər hansı a n ixtiyari həddinin qiymətini təyin etmək lazımdır. Bu, birincidən istədiyinizə qədər arifmetik irəliləyişin bütün üzvlərinin dəyərlərini ardıcıl olaraq hesablamaqla edilə bilər. Lakin, məsələn, beş minlik və ya səkkiz milyonuncu terminin dəyərini tapmaq lazımdırsa, bu yol həmişə məqbul deyil. Ənənəvi hesablamalar çox vaxt aparacaq. Bununla belə, müəyyən arifmetik irəliləyiş müəyyən düsturlardan istifadə etməklə öyrənilə bilər. n-ci həd üçün də bir düstur var: arifmetik irəliləyişin hər hansı bir üzvünün qiyməti, irəliləyişin fərqi ilə irəliləyişin birinci həddinin cəmi kimi müəyyən edilə bilər, istədiyiniz hədd sayına vurulur, azalır. bir.

Formula irəliləyişin artması və azalması üçün universaldır.

Verilmiş bir terminin dəyərinin hesablanması nümunəsi

Arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün qiymətini tapmaq üçün aşağıdakı məsələni həll edək.

Şərt: parametrləri olan arifmetik irəliləyiş var:

Ardıcıllığın birinci həddi 3-dür;

Nömrələr seriyasındakı fərq 1,2-dir.

Tapşırıq: 214 şərtin qiymətini tapmaq lazımdır

Həlli: verilmiş terminin dəyərini müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə edirik:

a(n) = a1 + d(n-1)

Problem ifadəsindəki məlumatları ifadəyə əvəz edərək, əldə edirik:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Cavab: Ardıcıllığın 214-cü həddi 258,6-ya bərabərdir.

Bu hesablama metodunun üstünlükləri göz qabağındadır - bütün həll 2 sətirdən çox deyil.

Verilmiş sayda terminlərin cəmi

Çox vaxt müəyyən bir arifmetik seriyada onun bəzi seqmentlərinin qiymətlərinin cəmini müəyyən etmək lazımdır. Bunu etmək üçün hər bir terminin dəyərlərini hesablamağa və sonra onları əlavə etməyə ehtiyac yoxdur. Bu üsul, cəmi tapılmalı olan terminlərin sayı az olduqda tətbiq edilir. Digər hallarda aşağıdakı düsturdan istifadə etmək daha rahatdır.

1-dən n-ə qədər olan arifmetik irəliləyişin hədlərinin cəmi birinci və n-ci hədlərin cəminə bərabərdir, n həddinin sayına vurulur və ikiyə bölünür. Düsturda n-ci həddin qiyməti məqalənin əvvəlki abzasındakı ifadə ilə əvəz edilərsə, alırıq:

Hesablama nümunəsi

Məsələn, aşağıdakı şərtlərlə problemi həll edək:

Ardıcıllığın birinci üzvü sıfırdır;

Fərq 0,5-dir.

Problem 56-dan 101-ə qədər seriyanın şərtlərinin cəminin müəyyən edilməsini tələb edir.

Həll. Proqresiyanın miqdarını təyin etmək üçün düsturdan istifadə edək:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Əvvəlcə problemimizin verilmiş şərtlərini düsturla əvəz etməklə irəliləyişin 101 şərtlərinin qiymətlərinin cəmini təyin edirik:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Aydındır ki, 56-dan 101-ə qədər irəliləyişin şərtlərinin cəmini tapmaq üçün S 101-dən S 55-i çıxarmaq lazımdır.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Beləliklə, bu nümunə üçün arifmetik irəliləyişin cəmi:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Arifmetik proqresiyanın praktik tətbiqi nümunəsi

Məqalənin sonunda birinci abzasda verilən arifmetik ardıcıllığın nümunəsinə qayıdaq - taksimetrə (taksi avtomobili sayğacı). Bu misalı nəzərdən keçirək.

Taksiyə minmək (buraya 3 km səyahət daxildir) 50 rubla başa gəlir. Hər bir sonrakı kilometr 22 rubl/km dərəcəsi ilə ödənilir. Səyahət məsafəsi 30 km-dir. Gəzintinin qiymətini hesablayın.

1. Qiyməti eniş qiymətinə daxil olan ilk 3 km-i ataq.

30 - 3 = 27 km.

2. Sonrakı hesablama arifmetik ədədlər seriyasını təhlil etməkdən başqa bir şey deyil.

Üzv sayı - səyahət edilmiş kilometrlərin sayı (mənfi ilk üç).

Üzvün dəyəri cəmidir.

Bu problemdə ilk müddət 1 = 50 rubla bərabər olacaqdır.

Tərəqqi fərqi d = 22 r.

bizi maraqlandıran rəqəm arifmetik proqresiyanın (27+1)-ci həddinin qiymətidir - 27-ci kilometrin sonunda sayğacın göstəricisi 27,999... = 28 km-dir.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Özbaşına uzun müddət üçün təqvim məlumatlarının hesablamaları müəyyən ədədi ardıcıllıqları təsvir edən düsturlara əsaslanır. Astronomiyada orbitin uzunluğu həndəsi cəhətdən göy cisminin ulduza olan məsafəsindən asılıdır. Bundan əlavə, müxtəlif ədəd seriyaları statistikada və riyaziyyatın digər tətbiqi sahələrində uğurla istifadə olunur.

Say ardıcıllığının başqa bir növü həndəsidir

Həndəsi irəliləyiş arifmetik irəliləyişlə müqayisədə daha çox dəyişmə sürəti ilə xarakterizə olunur. Təsadüfi deyil ki, siyasətdə, sosiologiyada, tibbdə müəyyən bir hadisənin, məsələn, xəstəliyin epidemiya zamanı yüksək yayılma sürətini göstərmək üçün prosesin həndəsi irəliləyişlə inkişaf etdiyini tez-tez deyirlər.

Həndəsi ədədlər seriyasının N-ci həddi əvvəlkindən onunla fərqlənir ki, o, hansısa sabit ədədə vurulur - məxrəc, məsələn, birinci hədd 1, məxrəc müvafiq olaraq 2-yə bərabərdir, onda:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - həndəsi proqresiyanın cari müddətinin qiyməti;

b n+1 - həndəsi proqresiyanın növbəti həddinin düsturu;

q həndəsi proqresiyanın məxrəcidir (sabit ədəd).

Arifmetik irəliləyişin qrafiki düz xəttdirsə, həndəsi irəliləyiş bir qədər fərqli bir şəkil çəkir:

Arifmetikada olduğu kimi, həndəsi irəliləyişdə də ixtiyari bir müddətin qiyməti üçün bir düstur var. Həndəsi irəliləyişin hər hansı n-ci həddi birinci hədisin hasilinə və n-in gücünə bir azalmış irəliləyişin məxrəcinə bərabərdir:

Misal. Birinci həddi 3-ə, məxrəci isə 1,5-ə bərabər olan həndəsi irəliləyişimiz var. Proqresiyanın 5-ci həddini tapaq

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Verilmiş sayda terminlərin cəmi də xüsusi düsturla hesablanır. Həndəsi proqresiyanın ilk n hədlərinin cəmi, irəliləyişin n-ci həddi ilə onun məxrəci ilə irəliləyişin birinci həddi arasındakı fərqin bir azalmış məxrəcə bölünməsinə bərabərdir:

Əgər b n yuxarıda müzakirə olunan düsturla əvəz edilərsə, nəzərdən keçirilən ədəd seriyasının ilk n şərtlərinin cəminin qiyməti aşağıdakı formanı alacaq:

Misal. Həndəsi irəliləyiş 1-ə bərabər olan birinci həddlə başlayır. Məxrəc 3-ə qoyulur. İlk səkkiz üzvün cəmini tapaq.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Orta məktəbdə (9-cu sinif) cəbri öyrənərkən mühüm mövzulardan biri də proqressiyaları - həndəsi və arifmetikləri özündə cəmləşdirən ədədi ardıcıllıqların öyrənilməsidir. Bu yazıda arifmetik irəliləyişlərə və həlləri olan nümunələrə baxacağıq.

Arifmetik irəliləyiş nədir?

Bunu başa düşmək üçün sözügedən irəliləyişi müəyyənləşdirmək, həmçinin problemlərin həllində sonradan istifadə olunacaq əsas düsturları təqdim etmək lazımdır.

Arifmetik və ya cəbri irəliləyiş hər bir üzvü əvvəlkindən müəyyən sabit qiymətlə fərqlənən sıralı rasional ədədlər toplusudur. Bu kəmiyyət fərq adlanır. Yəni, sıralanmış ədədlər seriyasının hər hansı üzvünü və fərqi bilməklə, bütün arifmetik irəliləyişi bərpa edə bilərsiniz.

Bir misal verək. Aşağıdakı nömrələr ardıcıllığı arifmetik irəliləyiş olacaq: 4, 8, 12, 16, ..., çünki bu vəziyyətdə fərq 4-dür (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Lakin 3, 5, 8, 12, 17 ədədləri artıq nəzərdən keçirilən irəliləyiş növünə aid edilə bilməz, çünki onun üçün fərq sabit dəyər deyil (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠). 17 - 12).

Vacib düsturlar

İndi arifmetik irəliləyişdən istifadə edərək məsələləri həll etmək üçün lazım olacaq əsas düsturları təqdim edək. a n simvolu ilə işarə edək n-ci dövr n-nin tam ədəd olduğu ardıcıllıqlar. Biz fərqi latın d hərfi ilə işarə edirik. Sonra aşağıdakı ifadələr etibarlıdır:

1. n-ci həddinin qiymətini təyin etmək üçün aşağıdakı düstur uyğundur: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. İlk n üzvün cəmini təyin etmək üçün: S n = (a n +a 1)*n/2.

9-cu sinifdə həlli ilə arifmetik irəliləyişin hər hansı bir nümunəsini başa düşmək üçün bu iki düsturu xatırlamaq kifayətdir, çünki baxılan növdəki hər hansı bir problem onların istifadəsinə əsaslanır. Həm də yadda saxlamalısınız ki, irəliləyiş fərqi düsturla müəyyən edilir: d = a n - a n-1.

Nümunə 1: naməlum terminin tapılması

Arifmetik proqressiyanın sadə nümunəsini və onun həlli üçün istifadə edilməli olan düsturları verək.

10, 8, 6, 4, ... ardıcıllığı verilsin, onda beş şərt tapmaq lazımdır.

Problemin şərtlərindən belə çıxır ki, ilk 4 şərt məlumdur. Beşinci iki şəkildə müəyyən edilə bilər:

1. Əvvəlcə fərqi hesablayaq. Bizdə: d = 8 - 10 = -2. Eynilə, bir-birinin yanında duran hər hansı digər iki üzvü götürə bilərsiniz. Məsələn, d = 4 - 6 = -2. Məlum olduğu üçün d = a n - a n-1, onda d = a 5 - a 4, ondan alırıq: a 5 = a 4 + d. Biz məlum dəyərləri əvəz edirik: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. İkinci üsul da sözügedən irəliləyişin fərqini bilmək tələb edir, ona görə də əvvəlcə onu yuxarıda göstərildiyi kimi müəyyən etməlisiniz (d = -2). Birinci terminin a 1 = 10 olduğunu bilərək, ardıcıllığın n nömrəsi üçün düsturdan istifadə edirik. Bizdə: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Son ifadədə n = 5-i əvəz edərək, alarıq: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Gördüyünüz kimi, hər iki həll yolu eyni nəticəyə gətirib çıxardı. Qeyd edək ki, bu nümunədə irəliləyiş fərqi d mənfi qiymətdir. Bu cür ardıcıllıqlar azalan adlanır, çünki hər növbəti termin əvvəlkindən azdır.

Nümunə №2: irəliləyiş fərqi

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək, necə olduğuna dair bir nümunə verək

Məlumdur ki, bəzilərində 1-ci hədd 6-ya, 7-ci hədd isə 18-ə bərabər olur.Fərqi tapmaq və bu ardıcıllığı 7-ci həddə bərpa etmək lazımdır.

Naməlum termini müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə edək: a n = (n - 1) * d + a 1 . Şərtdən məlum olan məlumatları, yəni a 1 və a 7 rəqəmlərini ona əvəz edək: 18 = 6 + 6 * d. Bu ifadədən asanlıqla fərqi hesablaya bilərsiniz: d = (18 - 6) /6 = 2. Beləliklə, məsələnin birinci hissəsinə cavab verdik.

Ardıcıllığı 7-ci həddə bərpa etmək üçün cəbri irəliləmənin tərifindən istifadə etməlisiniz, yəni a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d və s. Nəticədə, biz bütün ardıcıllığı bərpa edirik: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Nümunə № 3: irəliləmənin tərtib edilməsi

Problemi daha da mürəkkəbləşdirək. İndi arifmetik irəliləyişin necə tapılacağı sualına cavab verməliyik. Aşağıdakı misal göstərmək olar: iki ədəd verilir, məsələn - 4 və 5. Cəbri irəliləyiş yaratmaq lazımdır ki, bunların arasında daha üç həd yerləşsin.

Bu problemi həll etməyə başlamazdan əvvəl, verilən nömrələrin gələcək inkişafda hansı yeri tutacağını başa düşməlisiniz. Onların arasında daha üç termin olacağı üçün a 1 = -4 və 5 = 5 olacaq. Bunu müəyyən etdikdən sonra əvvəlkinə bənzəyən məsələyə keçirik. Yenə n-ci müddət üçün düsturdan istifadə edirik, alırıq: a 5 = a 1 + 4 * d. Kimdən: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Burada əldə etdiyimiz fərqin tam dəyəri deyil, rasional ədəddir, ona görə də cəbri irəliləyiş üçün düsturlar eyni qalır.

İndi tapılan fərqi 1-ə əlavə edək və irəliləyişin çatışmayan şərtlərini bərpa edək. Alırıq: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, üst-üstə düşür problemin şərtləri ilə.

Nümunə № 4: irəliləmənin birinci müddəti

Həllləri ilə arifmetik irəliləyiş nümunələri verməyə davam edək. Əvvəlki bütün məsələlərdə cəbri irəliləyişin ilk nömrəsi məlum idi. İndi fərqli tipli bir məsələni nəzərdən keçirək: iki ədəd verilsin, burada a 15 = 50 və 43 = 37. Bu ardıcıllığın hansı rəqəmlə başladığını tapmaq lazımdır.

İndiyə qədər istifadə olunan düsturlar 1 və d haqqında bilikləri nəzərdə tutur. Problem bəyanatında bu nömrələr haqqında heç nə məlum deyil. Buna baxmayaraq, məlumatın mövcud olduğu hər bir termin üçün ifadələr yazacağıq: a 15 = a 1 + 14 * d və a 43 = a 1 + 42 * d. 2 naməlum kəmiyyətin (a 1 və d) olduğu iki tənlik aldıq. Bu o deməkdir ki, problem xətti tənliklər sisteminin həllinə endirilir.

Bu sistemi həll etməyin ən asan yolu hər tənlikdə 1 ifadə etmək və sonra ortaya çıxan ifadələri müqayisə etməkdir. Birinci tənlik: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikinci tənlik: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Bu ifadələri bərabərləşdirərək alırıq: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, buradan fərq d = ​​(37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (yalnız 3 onluq yer verilir).

d-ni bilməklə, 1 üçün yuxarıdakı 2 ifadədən hər hansı birini istifadə edə bilərsiniz. Məsələn, birinci: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Əldə edilən nəticə ilə bağlı şübhəniz varsa, onu yoxlaya bilərsiniz, məsələn, şərtdə göstərilən irəliləyişin 43-cü müddətini təyin edin. Alırıq: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Kiçik xəta hesablamalarda mində yuvarlaqlaşdırmadan istifadə edilməsi ilə bağlıdır.

Nümunə № 5: məbləğ

İndi arifmetik irəliləyişin cəminin həlli ilə bir neçə nümunəyə baxaq.

Aşağıdakı formada ədədi irəliləyiş verilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Bu ədədlərin 100-nün cəmini necə hesablamaq olar?

Kompüter texnologiyasının inkişafı sayəsində bu problemi həll etmək, yəni bütün rəqəmləri ardıcıl olaraq əlavə etmək mümkündür, insan Enter düyməsini basan kimi kompüter bunu edəcəkdir. Lakin təqdim olunan ədədlər silsiləsi cəbri proqressiya olduğuna və fərqinin 1-ə bərabər olduğuna diqqət yetirsəniz, problemi əqli şəkildə həll etmək olar. Cəmi üçün düstur tətbiq edərək, əldə edirik: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Maraqlıdır ki, bu problemin “Qauss” adlandırılması ona görədir ki, XVIII əsrin əvvəllərində hələ cəmi 10 yaşı olan məşhur alman onu bir neçə saniyə ərzində beynində həll edə bilmişdi. Oğlan cəbri irəliləyişin cəminin düsturunu bilmirdi, amma fərq etdi ki, ardıcıllığın sonundakı ədədləri cüt-cüt əlavə etsəniz, həmişə eyni nəticəni alırsınız, yəni 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... və bu məbləğlər tam olaraq 50 (100 / 2) olacağından, düzgün cavabı almaq üçün 50-ni 101-ə vurmaq kifayətdir.

Nümunə № 6: n-dən m-ə qədər olan şərtlərin cəmi

Arifmetik irəliləyişin cəminin başqa tipik nümunəsi aşağıdakılardır: bir sıra ədədlər verildikdə: 3, 7, 11, 15, ..., onun 8-dən 14-ə qədər olan şərtlərinin cəminin nəyə bərabər olacağını tapmaq lazımdır. .

Problem iki yolla həll olunur. Bunlardan birincisi 8-dən 14-ə qədər naməlum şərtləri tapmağı və sonra onları ardıcıl olaraq cəmləməyi əhatə edir. Termin az olduğu üçün bu üsul kifayət qədər əmək tələb etmir. Buna baxmayaraq, bu problemi daha universal olan ikinci üsuldan istifadə etməklə həll etmək təklif olunur.

İdeya m və n şərtləri arasında cəbri irəliləyişin cəmi üçün düstur əldə etməkdir, burada n > m tam ədədlərdir. Hər iki halda cəmi üçün iki ifadə yazırıq:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m olduğundan aydın olur ki, 2-ci cəm birincini ehtiva edir. Son nəticə o deməkdir ki, bu cəmlər arasındakı fərqi götürsək və ona a m termini əlavə etsək (fərq alındıqda S n cəmindən çıxılır) məsələyə lazımi cavabı alacağıq. Bizdə: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Bu ifadədə n və m üçün düsturları əvəz etmək lazımdır. Sonra əldə edirik: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Əldə edilən düstur bir qədər çətin olur, lakin S mn cəmi yalnız n, m, a 1 və d-dən asılıdır. Bizim vəziyyətimizdə a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu ədədləri əvəz edərək, alarıq: S mn = 301.

Yuxarıdakı həllərdən göründüyü kimi, bütün məsələlər n-ci həd üçün ifadə və birinci hədlər çoxluğunun cəminin düsturu haqqında biliklərə əsaslanır. Bu problemlərdən hər hansı birini həll etməyə başlamazdan əvvəl şərti diqqətlə oxumaq, nə tapmaq lazım olduğunu aydın şəkildə başa düşmək və yalnız bundan sonra həllinə davam etmək tövsiyə olunur.

Başqa bir ipucu sadəliyə çalışmaqdır, yəni mürəkkəb riyazi hesablamalardan istifadə etmədən suala cavab verə bilsəniz, bunu etməlisiniz, çünki bu vəziyyətdə səhv etmək ehtimalı daha azdır. Məsələn, 6 nömrəli həlli olan arifmetik irəliləyiş nümunəsində S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m düsturunda dayanmaq olar və fasilə ümumi vəzifə ayrı-ayrı alt tapşırıqlara (in bu haldaəvvəlcə a n və a m şərtlərini tapın).

Əldə edilən nəticə ilə bağlı şübhəniz varsa, verilmiş nümunələrdən bəzilərində edildiyi kimi onu yoxlamaq tövsiyə olunur. Arifmetik irəliləyişin necə tapılacağını öyrəndik. Bunu başa düşsəniz, o qədər də çətin deyil.