QRUP NƏZƏRİYYƏSİNİN ƏSASLARI

Mühazirələr kursu

Krasnoyarsk, 2007

Senaşov, V.I.

Qrup nəzəriyyəsinin əsasları: mühazirələr kursu / , . – Krasnoyarsk: FGOU VPO “Sibir Federal Universiteti, Təbiət İnstitutu və humanitar elmlər”, 20s.

“Qrup nəzəriyyəsinin əsasları” fənni “Ali cəbr” intizamının davamıdır və əsas fənlərdən birini təmsil edir. xüsusi fənlər tələbələrin “Riyaziyyat” ixtisasına hazırlanmasında. Mühazirə kursu cəbr və riyazi məntiq kafedrası üzrə ixtisaslaşan bakalavr və magistr tələbələri üçün nəzərdə tutulub.

© Krasnoyarsk Təbiət İnstitutu və

Humanitar elmlər, 2007.

BÖLMƏ 1. ÜMUMİ MƏLUMAT ………………………………….. 5

Mövzu 1. GİRİŞ ………………………………………… 5

Qruplar nəzəriyyəsinin yaranması və inkişafı haqqında tarixi məlumatlar.

Tədqiqatın məqsəd və vəzifələri. Qısa təsvir müasir

qrup nəzəriyyəsinin vəziyyəti. Ədəbiyyat icmalı. Ümumi məlumat.

Mövzu 2. Qruplar, alt qruplar………………………………… 7

Qrupun tərifi, nümunələr. Alt qrup tərifi,

alt qrupların nümunələri.

BÖLMƏ 2. QRUPLARIN SINIFLARI, QRUPLARIN TƏLİF NÖVLƏRİ………. 9

Mövzu 3. Qrupların sinifləri, nümunələr…………………………… 9

Sonlu və sonsuz qruplar, dövri qruplar,

burulmayan qruplar, qarışıq qruplar, misallar.

Mövzu 4.Yaradıcı dəstlər. Siklik qruplar, siklik qrupun alt qrupları …………………………………… 11

Dəstlər yaradaraq qrupların müəyyən edilməsi. Dövrlü, 2 yaradılan və 3 yaradılan qrupların nümunələri.

BÖLMƏ 3. QRUP STRUKTURU ………………………………… 12

Mövzu 5. Csiniflərarası…………………………………………………….. 12

Qonşu siniflərin xassələri. Alt qrup indeksi, Laqran teoremi

Yaxşı, nəticələr.

Mövzu 6.Birləşən elementlərin sinifləri. Normallaşdırıcı və mərkəzləşdirici ………………………………………………… 13

Konjugat elementlərin siniflərinin tərifi və xassələri, nə zaman

tədbirlər. Mərkəzləşdiricinin, normallaşdırıcının, qoşma elementlərin siniflərinin gücünə dair teoremin tərifi.

Mövzu 7.Mərkəz, kommutator. Amil qrupu ………………………… 14

Mərkəzin, kommutatorun tərifləri. Nümunələr.

Mövzu 8. Tam qruplar ………………………………………… 16

Tam qruplar, nümunələr. Tam qruplar üzrə teoremlər.

BÖLMƏ 4. QRUP GÖRÜNTÜLƏRİ…………………………………. 17

Mövzu 9. Əvəzedici qruplar ………………………………….

Əvəzedici qrupların tərifləri və xassələri. Cayley teoremi.

Mövzu 10.Homomorfizmlər…………………………………… 18

Homomorfizmin tərifi, homomorf xəritələrin nümunələri

ny, homomorfizmlər haqqında teoremlər.

Mövzu 11. İzomorfizmlər………………………………………… 20

İzomorfizmin tərifi, izomorf qrupların nümunələri.

Mövzu 12. Avtomorfizmlər…………………………………. 21

Avtomorfizmin tərifi. Avtomorfizmlərin növləri, holomorflar.

BÖLMƏ 5.QRUPLARIN İŞLƏRİ …………………………… 24

Mövzu 13.Birbaşa və Kartezyen məhsullar……………… 24

Təriflər. Xətlərə parçalana bilən qrupların nümunələri və

Kartezyen məhsullar.

Mövzu 14. Yarı birbaşa məhsul, pulsuz

iş və digər iş növləri………………… 27

Yarı birbaşa məhsul, pulsuz məhsul, birləşdirilmiş alt qrup ilə pulsuz məhsul, vahid məhsul.

Mövzu 15.Qruplarda cərgələr……………………………………….. 31

Normal sıra, subnormal sıra. Sətirli qrupların növləri.

Mövzu 16. Sylow teoremi………………………………….. 32

Sylow alt qrupları. Sylow teoremi. Sylow teoreminin tətbiqləri.

Mövzu 17.Cəbr sistemləri …………………………… 33

Cəbr sistemlərinin nümunələri. Qrupoid, yarımqrup, kvazqrup, ilmə, qrup, halqa, sahə.

BÖLMƏ 6. QRUPLARDA SON ŞƏRTLƏR …………… 35

Mövzu 18. Minimallıq şərtləri olan qruplar və

maksimum …………………………………………………………………. 35

Minimum və maksimum şərtləri olan qruplar. Çernikov qrupları və onların xassələri.

Mövzu 19. Sonluluq şərtləri ………………………………… 38

Biprimitiv sonluq şərtləri, biprimitiv üçün konjugat

əzalar, onların zəifləməsi və ümumiləşdirilməsi. Şunkov qrupları. Nümunələr.

BÖLMƏ 7. QRUPLARIN NÜMUNƏLƏRİ ……………………………………. 40

Mövzu 20. Dihedral qruplar…………………………………. 40

Dihedral qrupların tərifləri və xassələri.

Mövzu 21. Əvəzetmə qrupları və matrislər ………………………… 43

Əvəzetmələr və matrislər qrupları. Dihedron qrupunun təmsili

əvəzetmələr qrupu.

Mövzu 22. Hərəkət qrupları ……………………………….. 48

Həndəsi çevrilmələr. Hərəkətlər. Fiqurların simmetriyası.

Müntəzəm çoxüzlülərin simmetriya qrupları. Məkan və müstəvi fiqurların sonlu və sonsuz simmetriya qrupları.

BÖLMƏ 8. NƏTİCƏ …………………………………… 54

Mövzu 23. Qrupların atlasları……………………………………5 4

Qrup masaları. Sonlu sadə qrupların və təsvirlərin atlasları

sonlu qruplar.

Mövzu 24. Nəticə ………………………………………..5 6

Baxış cari vəziyyət qrup nəzəriyyəsi.

Əlavə …………………………………………………………. 57

Mövzu 25.Frobenius qrupları………………………….. 57

BİBLİOQRAFİK SİYAHISI ……………………………… 62

BÖLMƏ 1. ÜMUMİ MƏLUMAT

Mövzu 1. GİRİŞ

Qruplar nəzəriyyəsinin yaranması və inkişafı haqqında tarixi məlumatlar. Qrup anlayışı 18-ci əsrdə yaranıb, o, bir neçə fəndən irəli gəlir: radikallarda cəbri tənliklərin həlli nəzəriyyəsi (1771-ci ildə J. Laqranj və A. Vandermondun əsərlərində bu nəzəriyyənin ehtiyacları üçün ilk dəfə əvəzetmələrdən istifadə edilmişdir. və əvəzetmələr qrupunun bitişik olanlara parçalanması siniflər əldə edildi, 19-cu əsrdə əvəzetmə qrupunun xassələri ilə tənliklərin xassələri arasında dərin əlaqələr 1824-cü ildə N. Abel və 1830-cu ildə E. Qalua tərəfindən göstərildi. Qrup nəzəriyyəsində E. Qaluanın nailiyyətləri xüsusilə diqqəti cəlb edir 1870-ci ildə əvəzetmələr qrupu haqqında traktatda bu istiqamətdə tədqiqat işləyib hazırlamışdır). Proyektiv həndəsədə, bundan asılı olmayaraq, müxtəlif çevrilmələr altında fiqurların davranışı öyrənildikdə qruplar yaranır ki, bu da çevrilmələrin özünün öyrənilməsinə və onların təsnifatının axtarışına səbəb olur (burada biz bunu öyrənən A. Moebiusun adlarını qeyd edə bilərik. qohumluğun elementar növləri həndəsi fiqurlar, Qrupu elementlər və münasibətlər yaradan sistem kimi başa düşmüş A. Cayley, 1872-ci ildə təsnifat üçün əsas kimi transformasiya qrupu anlayışını qoyan “Erlangen Proqramı”nın yaradıcısı F. Klein. həndəsələrdən). Qrup-nəzəri fikirləri ədədlər nəzəriyyəsində də izləmək olar. L. Eyler 1761-ci ildə “səlahiyyətlərin bölünməsi zamanı qalan qalıqları” tədqiq edərkən müqayisələrdən və qalıq siniflərinə, yəni alt qruplar üzrə bitişik siniflərə bölmələrdən istifadə etmişdir. 1801-ci ildə K.Qauss “Arifmetik tədqiqatlar” əsərində çevrənin bölmə tənliyinin Qalua qrupunun altqruplarını təyin etdi və “ikili kvadrat formaların tərkibini” öyrənərkən sübut etdi ki, ekvivalent formalar sinifləri bir tənlik təşkil edir. tərkibinə görə sonlu Abel qrupu.

19-cu əsrin sonlarında. qrupun müasir mücərrəd konsepsiyası işlənib hazırlanmışdır. 1895-ci ildə S. Lee artıq qrupu assosiativ olan və eynilik və tərs elementləri təmin edən əməliyyat altında bağlanmış çevrilmələr toplusu kimi müəyyən etmişdir.

Qrupların sonluluğu fərziyyəsi olmadan və elementlərin təbiəti haqqında fərziyyələr olmadan tədqiqi 1916-cı ildə həmyerlimizin “Qrupların abstrakt nəzəriyyəsi” kitabında müstəqil riyaziyyat sahəsinə çevrildi.

Hal-hazırda qrup nəzəriyyəsi cəbrin ən inkişaf etmiş sahələrindən biridir, həm riyaziyyatın özündə, həm də ondan kənarda çoxsaylı tətbiqlərə malikdir - topologiyada, funksiyalar nəzəriyyəsində, kristalloqrafiyada, kvant mexanikası və riyaziyyat və elmin digər sahələri.

Bu mühazirə kursunda biz universitetin cəbr kursuna daxil olan qruplar nəzəriyyəsinin əsas təriflərini və teoremlərini qısaca xatırlayırıq. Sonra dinləyicini ərazi ilə tanış edirik müasir nəzəriyyə qrupları son onilliklərin nəticələrinin təqdimatı vasitəsilə. Sonluluq şərtləri olan qruplar və qruplar nümunələri üzərində xüsusi olaraq ətraflı dayanaq.

Tədqiqatın məqsəd və vəzifələri.“Qrup nəzəriyyəsinin əsasları” fənni “Ali cəbr” kursunun davamıdır və tələbələrin “Riyaziyyat” ixtisasına hazırlanmasında əsas xüsusi fənlərdən biridir.

İntizamın tədrisində məqsəd qruplar nəzəriyyəsinin əsas tərifləri və əsas teoremləri ilə tanış olmaq, həmçinin öyrənilən teoremlərdən yeni teoremlərin sübutunda istifadə etmək və qrup nümunələri qurmaq bacarıq və bacarıqlarını inkişaf etdirməkdir.

İntizamın öyrənilməsi prosesində “Riyaziyyat” ixtisası üzrə tədqiqatçı və müəllim kimi peşəkar fəaliyyət üçün bilik, bacarıq və vərdişlərə yiyələnmək lazımdır.

Mütəxəssis bilməlidir: qrupların əsas siniflərini, sonlu və sonsuz qrupların klassik nümunələrini, qruplar nəzəriyyəsinin əsas teoremlərini; bacarmalı: öyrənilən teoremləri yeni teoremlərin isbatında tətbiq etməli, xüsusi ədəbiyyatdan, arayış kitabçalarından, riyazi ensiklopediyalardan istifadə etməli, praktiki bacarıqlara yiyələnməlidir. müstəqil iş qrup strukturlarını öyrənərkən, bir fikir var müasir tendensiyalar Rusiyada və dünyada qrup nəzəriyyəsinin inkişafı.

Mühazirə kursunu yazarkən müəlliflər oxucunu qrup nəzəriyyəsinin klassik kursunun anlayışları və teoremləri ilə qısaca tanış etmək və mümkünsə, Krasnoyarsk qrup nəzəriyyəsi və qrup nəzəriyyəsi məktəbində formalaşmış anlayışlar üzərində ətraflı dayanmaq məqsədi daşıyırdılar. hazırda həm ölkəmizdə, həm də xaricdə fəal şəkildə öyrənilir.

Qrup nəzəriyyəsinin mövcud vəziyyətinin qısa təsviri. Hazırda qruplar nəzəriyyəsi riyaziyyatın yaxşı inkişaf etmiş bir sahəsidir. Hər il sonlu və sonsuz qruplar nəzəriyyəsinə həsr olunmuş beynəlxalq konfranslar keçirilir. Təkcə Rusiyada 2007-ci ildə bir neçə beynəlxalq konfranslar qrup nəzəriyyəsinə görə, onlardan biri Krasnoyarskdadır.

Rusiyanın Moskva, Sankt-Peterburq, Yekaterinburq, Novosibirsk, Omsk, Tomsk, İrkutsk, Çelyabinsk, Krasnoyarsk və başqa şəhərlərində qrup nəzəriyyəsi ilə məşğul olan yaxşı inkişaf etmiş məktəblər var. Qruplar nəzəriyyəsinin müxtəlif sahələri ilə yüzlərlə yüksək ixtisaslı mütəxəssis məşğul olur. Rusiyada “Cəbr və məntiq”, “Siberian Mathematical Journal”, “Fundamental and Logic” jurnalları tətbiqi riyaziyyat", "Diskret riyaziyyat", "Elmlər Akademiyasının Hesabatları", qrup nəzəriyyəsi ilə bağlı məqalələrin böyük payını tutur. Rus alimləri sonlu və sonsuz qruplar haqqında onlarla monoqrafiya yazmışlar. Rus qrup nəzəriyyəsi mütəxəssislərinin nailiyyətləri çoxdan bütün dünyada layiqincə tanınıb.

Ədəbiyyat icmalı.“Qrup nəzəriyyəsinin əsasları” fənnini öyrənərkən dərsliklərdən və təklif olunan ədəbiyyat siyahısından istifadə etməyi tövsiyə edirik.

Mövzu 2. Qruplar, alt qruplar

Qrupun tərifi, nümunələr.

Tərif. Deyirlər ki, komplekt verilir ikili əməliyyat, çoxluğun hər hansı iki elementini eyni çoxluğun tək elementi ilə əlaqələndirən qanun müəyyən edilərsə.

Tərif.Çox Güzərində göstərilən ikili cəbr əməliyyatı ilə adlanır qrup, Əgər:

1) bu əməliyyat assosiativdir, yəni. (ab)c = a(bc) hər hansı bir element üçün a, b, c-dən G;

2) içində G tək element var e: ae=ea=a hər hansı bir element üçün a-dən G;

3) hər bir element üçün a-dən G V G mövcuddur geri element https://pandia.ru/text/78/123/images/image002_125.gif" width="99" height="21 src=">.

Bütün cüt ədədlər əlavə olunduqda qrup təşkil edir. Əlavə qrupu həm də verilmiş ədədin qatları olan tam ədədlər toplusudur n. Tək ədədlər çoxluğu artıq toplama əməliyyatı altında qrup olmayacaq, çünki bu əməliyyat bizi bu çoxluğun hüdudlarından kənara çıxarır. Qrup həm də vurma əməliyyatına görə sıfırdan fərqli bütün müsbət rasional ədədlərdən əmələ gəlir. Vurma əməliyyatında 1 və -1 rəqəmləri son qrupu təşkil edir.

Tərif. Qrup Gçağırdı Abelian və ya kommutativ, qrupun bütün elementləri bir-biri ilə hərəkət edərsə, yəni kommutativ qanun təmin edilir ab = ba hər hansı bir element üçün a, b qrupdan G.

Abel qruplarına misal olaraq toplama əməliyyatı ilə bağlı nəzərə alınan rasional ədədlər, həqiqi ədədlər və kompleks ədədlər çoxluqları ola bilər. Qeyri-abel qruplarına ikidən çox element üzrə əvəzetmə qrupları, vurma ilə bağlı matris qrupları daxildir.

Tərif. Element sırasıən kiçik adlanır natural ədəd n belə ki an = e. | ilə işarələnir a|.

Tərif. Qrup sifarişi G onun elementlərinin sayı deyilir.

Qrup sırasını göstərir G vasitəsilə | G|. Elementlər çoxluğu sonsuzdursa, bunu deyirik G sonsuz nizama malikdir və | yazın G| = https://pandia.ru/text/78/123/images/image004_81.gif" eni="95" hündürlük="29"> | ai M, mi = 1, n = 1, 2, 3, …}.

Sübut. Teoremin tərtibinə daxil edilmiş elementlər çoxluğunu ilə işarə edək H.

Aydındır ki, HH H, H-1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image007_53.gif" eni="16" hündürlük="16 src="> H.

Digər tərəfdən,<M> https://pandia.ru/text/78/123/images/image010_47.gif" width="13" height="13 src="> H ). Element xçağırdı nümayəndəsiəlaqəli sinif. Sağ koset oxşar şəkildə müəyyən edilir.

Qonşu siniflərin xüsusiyyətləri:

1) kosetlər ya kəsişmir, ya da üst-üstə düşür;

2) kosetlər eyni kardinallığa malikdir;

3) elementlər a, b alt qruplara görə bir qonşu sinifdə yer alır H, Əgər b-1 a H.

Xüsusiyyətlərin sübutu oxucunun ixtiyarına verilir.

Tərif. Bir qrupun bitişik siniflərinin sayı G alt qrup üzrə Hçağırdı indeks qruplar G alt qrup üzrə H və | ilə işarələnir G:H|.

Neumann Lemması. Qoy G - sonlu altqruplar dəsti üzərində sonlu sayda kosetlərin birliyi olan qrup. Sonra bu alt qruplardan ən azı birinin sonlu indeksi var G.

Sübut. Tutaq ki, teorem yanlışdır və alt qrupların hər biri H 1 ,…, Hn sonsuz indeksə malikdir G. Teoremin tərtibində göstərilən kosetlərə parçalanma olsun:

G = g 11H 1 .gif" eni="16" hündürlük="20 src="> .gif" eni="16 hündürlük=20" hündürlük="20"> g 21H 2 … H 2 …

….gif" eni="16" hündürlük="20">... .gif" eni="16" hündürlük="20">… H 1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif" eni="36" hündürlük="28 src=">H 1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif" eni="36" hündürlük="28 src=">H 1 g 21H 2 … .gif" eni="16 hündürlük=20" hündürlük="20">….gif" eni="16" hündürlük="20">… https://pandia.ru/text/78/123/images/image018_24.gif" width="20 height=19" height="19">.

Aydındır ki, çox altqruplar üzərində sonlu sayda kosetlərin birləşməsidir H 2, …, Hn və ehtiva edir g 11H 1, eynilə

g 11H 1 .gif" eni="16" hündürlük="20 src="> .gif" eni="19" hündürlük="17"> .gif" eni="24" hündürlük="16"> gh, h hg, h https://pandia.ru/text/78/123/images/image024_20.gif" eni="15" hündürlük="15 src="> G), sol və sağ kosetlər daxil olarsa G By H uyğun.

Kosetlərin digər xassələri üçün bax.

Mövzu 6.Birləşən elementlərin sinifləri. Normallaşdırıcı və mərkəzləşdirici

Qohum elementlərin siniflərinin tərifi və xassələri, nümunələr. Element a konjugatdır elementi ilə b qrupda G, əgər varsa x-dən G, Nə = b.

Bundan əlavə, təyinat =ax dəstlərə köçürmələr: AB = {ab | a A, b B). Bu qeyddə normal alt qrupun tərifi aşağıdakı kimidir: H G sonra və yalnız nə vaxt HGH.

Teorem 6.1. Birləşdirilmiş elementlərin sıraları bərabərdir.

Sübut. Qoy = b. Fərz edək ki, | a| = n, |b| = m Və n < m. Sonra ( )n = bir = e, Amma bne. Nəticədə ortaya çıxan ziddiyyət teoremi sübut edir.

Konjugasiya ekvivalentlik münasibətidir. (Yəni konyuqasiya üçün üç xassə təmin edilir: refleksivlik, simmetriya və keçidlilik.) Bütün qrup birləşmiş elementlərin ayrı-ayrı siniflərinə bölünür. aG. Bütün say sistemlərində və Abel qruplarında qoşma elementlərin sinifləri bir elementdən ibarətdir. Ümumiyyətlə, müxtəlif siniflər müxtəlif səlahiyyətlərə malik ola bilər. Normalizator sinif gücünü ölçmək üçün bir vasitə kimi xidmət edir.

Qohum elementlərin hər bir sinfinin bir elementdən ibarət olduğu qruplara misal olaraq bütün Abel qruplarıdır. Üçüncü dərəcəli permutasiyalar qrupunda birləşən elementlərin üç sinfi var: eynilik elementindən ibarət sinif, iki üçüncü dərəcəli elementdən ibarət sinif və üç konyuqativ involutiondən ibarət sinif.

Mərkəzləşdiricinin, normallaşdırıcının, qoşma elementlərin siniflərinin gücünə dair teoremin tərifi.

Tərif. Qoy M- qrupun ixtiyari alt çoxluğu G, H- onun alt qrupu. Dəstin normalizatoru M qrupda G dəst adlanır N.H.(M) = { h | hM = Mh, h H }.

Tərif.Mərkəzləşdirici təyin edin M qrupda G dəst adlanır CG(M)={g|gm=mg, m M}.

Abel qruplarında hər hansı elementin mərkəzləşdiricisi bütün qrupla üst-üstə düşür. Üçüncü dərəcəli permutasiyalar qrupunda bütün elementlərin mərkəzləşdiriciləri bu elementlərin yaratdığı tsiklik qruplarla üst-üstə düşür.

Teorem 6.2.Əgər M- alt çoxluq və H- qrupun alt qrupu G, sonra alt çoxluqlar sinfinin gücü ilə konyuqasiya olunur M elementləri H indeksinə bərabər | H : N.H.(M) |. Xüsusilə, | aG| = |G : NG(a) |.

Sübut. Göstərək Mx, xH, sağ kosetlərə H By N = N.H.(M): (Mx)= Nx. Ekran mütləq: dən Mx = Mn axır Nx = Ny. Bir-birdir, çünki Nx = Ny ehtiva edir Mx = Mn. Bu, hər hansı bir sinif üçün olduğu üçün "to" xəritəsidir Nx prototipi var Mx. Teorem sübut edilmişdir.

Mövzu 7.Mərkəz, kommutator. Faktor qrupu

Mərkəzin, kommutatorun tərifləri. Nümunələr. Qrupun strukturu əsasən onun elementlərinin dəyişkənliyi ilə müəyyən edilir. Qrupun bütün elementləri ilə birlikdə hərəkət edən elementlər toplusu alt qrupdur.

Tərif.Qrup mərkəzi G dəst adlanır Z(G)=CG(G).

Məşq edin. Qrup G Abelian əgər və ancaq Z(G)= G.

Tərif. Elementlər a, b qruplar G nə vaxt gediş-gəliş

a-1 b-1 ab = e.

Abel qrupları onların mərkəzi ilə üst-üstə düşür. Üçüncü dərəcəli əvəzetmələr qrupunda mərkəz unitardır.

Tərif.Keçid [a, b] elementləri a, bəsər adlanır

[a , b] = a-1 b-1 ab.

Tərif. Bütün kommutatorlar tərəfindən yaradılan alt qrup deyilir kommutator qruplar.

Kommutator bir qrupun kommutativlikdən sapmasını ölçən bir vasitədir.

Tərif.Əgər L, M bir qrupun alt çoxluqlarıdır, onda onların qarşılıqlı kommutantı alt qrup adlanır

[L , M] = < [a , b] | a L, b M >.

Nümunələr.

1. [ Sn , Sn] = An, hər kəs üçün n.

2. [ An, An] = bir, n > 4.

3. [G , G] = 1 əgər G Abelian

Məşqlər.

1. Sübut edin [ a , b]-1= [b , a].

2. Sübut edin [ ab , c] = [a , c]b[ b , c].

Bütün kitabları pulsuz və qeydiyyat olmadan yükləmək olar.

Elliot, Dauber. Fizikada simmetriya. 2 cilddə. 1983 364+414 s. djvu. bir arxivdə 7.4 MB.
Fizikada simmetriya prinsiplərinə dair ikicildlik (ingilis fizikləri tərəfindən) monoqrafiya. 1-ci cilddə simmetriyalar nəzəriyyəsinin əsasını təşkil edən qruplar nəzəriyyəsi və qrupların təsvirləri nəzəriyyəsi qısa şəkildə təsvir edilir və bu nəzəriyyənin atomların strukturunun təhlilinə tətbiqi nəzərdən keçirilir və kristal qəfəslər, həmçinin nüvələrin simmetriya xassələrinin təsvirinə və elementar hissəciklər. 2-ci cilddə molekulların elektron quruluşu, məkan və zamanın simmetriya xassələri, permutasiya qrupları və unitar qruplar, xarici sahələrdə hissəciklərin xassələri müzakirə olunur.
Geniş spektrli fiziklər və riyaziyyatçılar - tədqiqatçılar, aspirantlar və tələbələr üçün.
Kitab bir fizik tərəfindən və fiziklər üçün yazılmışdır. Bu, riyaziyyatçılar üçün çılpaq bir abstraksiya deyil, lakin bir çox fiziki sistemlər nəzərdən keçirilir. Mən bunu tövsiyə edirəm.

Yüklə

YENİ O.V. Boqopolski. Qrup nəzəriyyəsinə giriş. 2002 148 s. djvu. 732 KB.
Kitabın məqsədi qrup nəzəriyyəsinə sürətli və dərin giriş təmin etməkdir. Birinci hissə nəzəriyyənin əsaslarını müəyyən edir, Mathieu sporadik qrupunu qurur və onun kodlaşdırma nəzəriyyəsi və Steiner sistemləri ilə əlaqəsini izah edir. İkinci hissədə ağaclara təsir edən qrupların Bass-Serre nəzəriyyəsi araşdırılır. Kitabın xüsusi xüsusiyyəti sonlu və sonsuz qruplar nəzəriyyəsinə həndəsi yanaşmadır. Çoxlu sayda nümunələr, məşqlər və şəkillər var.
Tədqiqatçılar, aspirantlar və universitet tələbələri üçün.
Bu giriş kifayət qədər mürəkkəbdir və cəbr haqqında yaxşı bilik tələb edir.

. . . . . . . . . . . . Yüklə

OK. Əminov. Simmetriya nəzəriyyəsi. Mühazirə qeydləri və tapşırıqlar. 2002 192 s. djvu.
Bu dərs vəsaiti müəllifin uzun illər nəzəri fizika üzrə ixtisaslaşan tələbələr üçün oxuduğu “Riyaziyyatın əlavə fəsilləri” mühazirə kursu, III kurs tələbələri üçün “Simmetriya nəzəriyyəsi” seçmə kursu əsasında tərtib edilmişdir. fizika fakültəsinin magistrantları üçün “Riyaziyyatın tətbiqi ilə əlavə fəsilləri” kursu. Mühazirələrin məzmunu əsasən formada təqdim olunur qısa xülasə; Laboratoriya tapşırıqlarının yerinə yetirildiyi mövzular daha ətraflı təsvir edilmişdir. Hər bölmə üzrə problemlər tələbələr tərəfindən həll edilir praktik məşğələlər və müstəqil olaraq. Ümumiyyətlə, bu vəsait tələbələrə tövsiyə olunan ədəbiyyatla dərsdənkənar işlərdə kömək etmək məqsədi daşıyır.

. . . . . . . . . . . . Yüklə

V.A. Artamonov, L. Slovokhotov. Qruplar və onların fizika, kimya, kristalloqrafiyada tətbiqi. 2005 512 s. djvu. 5.4 MB.
Qruplar nəzəriyyəsi sistemli şəkildə təqdim olunur və onun fiziki-kimyəvi tətbiqləri nəzərdən keçirilir. Əsas qrup konstruksiyaları, sonlu yaradılan abel və kristalloqrafik qruplar nəzəriyyəsi, sonlu qrupların, xətti qrupların və onların Li cəbrlərinin təsvirləri nəzəriyyəsinin əsasları təqdim olunur. Kvazikristallar, renormalizasiya qrupları, Hopf cəbrləri və topoloji qruplar qısaca müzakirə olunur. Mexanika, molekulyar spektroskopiya və fizikada simmetriya əlaqələri müzakirə olunur möhkəm, həmçinin atomlar, nüvələr və elementar hissəciklər nəzəriyyəsində.
Ali təhsilin təbiət elmləri tələbələri üçün təhsil müəssisələri. Klassik universitet təhsili üzrə UMO möhürü. Aspirantlar və tədqiqatçılar üçün faydalı ola bilər.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Yükləyin

Alekseev V. B. Abel teoremi məsələlərdə və həllərdə. 2001 190 s. PDF. 1.4 MB.
Bu kitabdan oxucu necə qərar verəcəyini öyrənəcək cəbri tənliklər Bir naməlum olan 3-cü və 4-cü dərəcələr və niyə tənlikləri daha çox həll etmək lazımdır yüksək dərəcə mövcud deyil ümumi düsturlar(radikallarda). Eyni zamanda o, müasir riyaziyyatın iki çox mühüm bölməsi - qruplar nəzəriyyəsi və kompleks dəyişənin funksiyaları nəzəriyyəsi ilə tanış olacaq. Bu kitabın əsas məqsədlərindən biri oxucuya riyaziyyatda özünü sınamaq imkanı yaratmaqdır. Bunun üçün demək olar ki, bütün materiallar təriflər, nümunələr və çoxlu sayda problemlər şəklində təqdim olunur, təlimatlar və həllər ilə təmin edilir.
Kitab ciddi riyaziyyatla maraqlanan (orta məktəb şagirdlərindən başlayaraq) geniş oxucu kütləsi üçün nəzərdə tutulub və oxucudan hər hansı xüsusi qabaqcadan biliyə malik olmasını tələb etmir. Kitab həm də riyazi dərnəyin işi üçün dərslik kimi xidmət edə bilər. Mən sonuncuya şübhə edirəm. İndi belə məktəblilər yoxdur. Amma kitab faydalıdır.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Yüklə

Barut A., Ronçka R. Qrup təmsil nəzəriyyəsi və onun tətbiqləri. 2 kitabda. 1980 djvu. bir arxivdə
Kitab 1. Fəsil 1-11. 452 səh. 4,9 MB. Kitab 1. Fəsillər 12-21+ Əlavələr. 393 səhifə 2.8 MB.
Monoqrafiyanın müəllifləri tanınmış Amerika və Polşa alimləri, fizikada qrup nəzəri metodları üzrə mütəxəssislərdir. Kitabda müasirlik təsvir edilmişdir təsirli üsullar qrupların və Lie cəbrlərinin təsvirləri nəzəriyyəsinin nəticələri və onların fiziki tətbiqləri geniş şəkildə əks etdirilir. Müəlliflər təqdimatın riyazi sərtliyi, materialın tamlığı ilə dilin aydınlığı və əlçatanlığının uğurlu birləşməsinə nail olmuşlar; Bütün fəsillər diqqətlə seçilmiş məşqlərlə müşayiət olunur.
Birincidə (1-11-ci fəsillər) verilmişdir ümumi nəzəriyyə qrupları və Lie cəbrləri, onların sonlu ölçülü təsvirləri açıq şəkildə qurulmuş, Li cəbrlərinin qeyri-məhdud operatorlarla təsviri nəzəriyyəsi və Li cəbrlərinin təsvirlərinin inteqrallıq nəzəriyyəsi təqdim edilmişdir.
İkincidə: Lie cəbrinin təsvirlərinin kvartodinamik tətbiqləri. Qrup nəzəriyyəsi və kvant nəzəriyyəsində qrup təmsilləri. Lie qrupları üzrə harmonik analiz. Xüsusi funksiyalar və qrup baxışları. Homojen fəzalarda harmonik analiz. İnduksiya edilmiş təmsillər. Yarımbaşqa məhsulların induksiya edilmiş təsvirləri. İnduksiyalı təsvirlər haqqında əsas teoremlər. Yarımsadə Lie qruplarının induksiya edilmiş təmsilləri.

. . . . . . . . . . . . Yüklə

Vilenkin. Xüsusi funksiyalar və qrupların təmsilçilik nəzəriyyəsi. Ölçü 4.3 MB. 600 s djvu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Yüklə

Gelfand, Minlos, Şapiro. Fırlanma qrupunun və Lorentz qrupunun təmsili, onların tətbiqi. Ölçü 3.8 MB. 367 s. djvu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Yüklə

Naimark. Qrup təmsil nəzəriyyəsi. Ölçü 24.0 MB. 564 s. PDF.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Yüklə

Rumer Yu., Fet A. I. Unitar simmetriya nəzəriyyəsi. 405 s. djvu. 3.2 MB.
Kitab üç hissəyə bölünən 18 fəsildən ibarətdir: riyazi giriş, hadronların unitar təsnifatı, kütlə düsturları.
Birinci hissədə mürəkkəb xətti fəzalar və onların üzərində qurulma nəzəriyyəsindən əsas faktlar, qrupların əsas xassələri, cəbrlər və onların təsvirləri verilir. Təqdimat zamanı təriflərin və teoremlərin dəqiq ifadələri verilir, bir qayda olaraq, teoremlərin sübutları buraxılır; Bu hissəyə təqdim olunan nəticələrin mənasını və səbəbini izah edən çoxsaylı şərhlər daxildir.
İkinci hissə simmetriyanı təsvir etmək üçün lazım olan xüsusi qrupların (və onların təmsillərinin) ətraflı öyrənilməsini təmin edir. güclü qarşılıqlı təsirlər, yəni. SU(2), SU(3), SU(4) və SU(6) qrupları. Bu hissədə nəzəriyyənin fizika üçün zəruri olan tərəflərinə diqqət yetirilir.
Sonuncu hissə kütlə düsturlarının alınmasına həsr olunub və o, riyazidən daha çox fizikidir. Kütləvi düsturlar üçün onları daha geniş şəkildə şərh etməyə imkan verən yeni əsaslandırma təklif olunur. Biblioqrafiyada müzakirə olunan mövzuya dair əsas əsərlər yer alır.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Yüklə

Hamermesh. Qrup nəzəriyyəsi və onun fiziki problemlərə tətbiqi. Ölçü 4.6 MB. 590 s. djv.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Yüklə

K. Chevalley. Yalan qrupu nəzəriyyəsi. 3 cilddə. djvu.
Cild 1. 1948. 316 səh. 7,7 MB.
K. Chevalley kitabının gücü, adətən köhnə dərsliklərdə aparılan yerli nöqteyi-nəzərdən fərqli olaraq, Lie qruplarının bütövlükdə sistematik şəkildə nəzərdən keçirilməsidir. Bu təqdimat sistemi ilk dəfə L. S. Pontryagin tərəfindən "Davamlı Qruplar Nəzəriyyəsi" (G.T.T.I. 1938) kitabında tətbiq edilmişdir, lakin burada yalnız son fəsillər Li qruplarının aktual nəzəriyyəsinə həsr edilmişdir.
K.Çevallinin kitabı elmi riyaziyyatçılar, yuxarı kurs tələbələri və aspirantlar üçün nəzərdə tutulub. Onu oxumaq üçün siz kombinatorial və çoxluq-nəzəri topologiyanın əsas anlayışlarını və abstrakt qruplar nəzəriyyəsini mənimsəməlisiniz.
2-ci cild. Cəbri qruplar. 1958 316 səh. 7,7 MB.
İkinci cild cəbri qruplar nəzəriyyəsinin (əmsallar arasında cəbri əlaqələrlə müəyyən edilən matrislər qrupları) təqdimatına həsr edilmişdir. son illərəsasən müəllifin özünün əsərlərində. Bu, dünya ədəbiyyatında cəbr qrupları nəzəriyyəsinin ilk sistemli təqdimatıdır.
Kitab riyaziyyatçılar - yuxarı kurs tələbələri, aspirantlar və tədqiqatçılar üçün nəzərdə tutulub.
Cild 3. Lie cəbrlərinin ümumi nəzəriyyəsi. 1958 306 səh. 4,8 MB.
Üçüncü cild Lie cəbrlərinin ümumi nəzəriyyəsini təqdim edir. İndiyə qədər rus dilində xüsusi olaraq bu nəzəriyyəyə həsr olunmuş heç bir monoqrafiya yox idi.
Bu cild də əvvəlkilər kimi riyaziyyatçılar - yuxarı kurs tələbələri, aspirantlar və elmi işçilər üçün nəzərdə tutulub.

Bu mətn bir neçə səbəbə görə ortaya çıxdı. Birincisi, böyük əksəriyyətin müasir riyaziyyatın nə etdiyini bilmir. Qrup nəzəriyyəsi, əlbəttə ki, müasir riyaziyyatın hamısı deyil, onun yalnız kiçik bir hissəsidir, lakin ən çox yayılmış nəzəriyyələrdən biridir. yüksək səviyyələr abstraksiya, bu da onu müasir riyaziyyatın bir qolunun yaxşı nümunəsinə çevirir.

İkincisi, bir qrup olaraq belə təbii və sadə (izah etmək üçün) obyekt əksər alimlərə praktiki olaraq məlum deyil. Doğrudan da, insana simmetriya anlayışından daha təbii və tanış nə ola bilər. Doğuşdan biz könüllü və ya qeyri-ixtiyari olaraq ətrafdakı cisimlərdə simmetriya axtarırıq və obyekt nə qədər simmetrik olsa, bizə bir o qədər mükəmməl görünür. Qədim yunanlar topu ideal fiqur hesab edirdilər, çünki topun çoxlu simmetriyaları var. Hər hansı bir nəzər salın məşhur rəsm, və orada aydın simmetriya oxunu (və bəzən birdən çox) görəcəksiniz. İstənilən musiqi parçası dövrədə inkişaf edir, daim orijinal mövzuya qayıdır, yəni orada da simmetriya var. Hətta bir çox dinlərdə hörmət edilən xaç kimi məşhur bir simvol çox sayda simmetriyaya görə bizə gözəl görünür: onun hər hansı bir hissəsinə nisbətən fırlana və əks oluna bilər. Ancaq xaçı svastikaya çevirin və dərhal narahat hisslər keçirəcəksiniz, çünki xaçın simmetriyalarının çoxunu məhv etdiniz. Beləliklə, müəyyən bir obyektin bizə nə qədər mükəmməl göründüyünü təyin edən simmetriyadır və simmetriyaları öyrənən bir elm kimi qrup nəzəriyyəsini mübaliğəsiz olaraq kamillik elmi adlandırmaq olar.

Üçüncüsü, elmi populyar məqalələrini maraqla oxuduğum Sergey Popov və İqor İvanov kimi gözəl alimlərin və elmi populyarlaşdıranların nümunəsindən ilham alıram.

Mətn əvvəlcə çoxlu riyaziyyatı bilən oxucu üçün əlçatan olması nəzərdə tutulduğundan məktəb kurikulumu, mətnin bəzi xüsusi hissələri (əslində onun böyük əksəriyyəti), adətən burada veriləndən daha çətin başa düşülən materialı ehtiva edir. məktəb kursu cəbr, işarə ilə başlayıb işarə ilə bitəcək (bu o demək deyil ki, belə mətni başa düşmək məktəb riyaziyyatından başqa bir şey tələb etmir; çətinliklər məntiqi xarakter daşıyacaq). Fakt budur ki, qrup nəzəriyyəsi müasir riyaziyyatda ən yüksək abstraksiya səviyyələrindən biridir və buna görə də qruplar bəzən təcrübəsiz oxucu üçün təsəvvür etmək çox çətin olan elementlərdən ibarətdir.

Aleksey Savvateev mühazirələrin gedişi haqqında:

Sizi “Məktəb Qrupları Nəzəriyyəsi” adlandırdığım qrup nəzəriyyəsi üzrə mini kursuma dəvət edirəm.

İnanıram ki, qrup nəzəriyyəsi orta siniflərdə tədris edilməlidir - simvolik qeydin tətbiqi ilə eyni vaxtda ( x,y,z hərfləri s.) Çünki verilmiş modul (bir tərəfdən) və permutasiyalar (digər tərəfdən) üçün qalıqlar sistemlərindən qrup haqqında ümumi anlayışa aparan abstraksiya səviyyəsi 3,4 rəqəmlərindən abstraksiya səviyyəsindən yüksək deyildir. ,5 simvollara. Müəyyən bir modul üçün qalıq sistemləri kimi, permütasyonları artıq ikinci və ya üçüncü sinifdə başa düşmək və mənimsəmək asandır.

Minikursda mən boşluqları bağlayıram məktəb təhsili qrup nəzəriyyəsi ilə bağlı və konkret misallar qruplar. Qalıqlar haqqında əsas faktlar qurulacaq, Fermatın kiçik teoremi isbat ediləcək, üç və dörd simvol üzrə dəyişmə qruplarının alt qrupları öyrəniləcək, verilmiş qrupun normal altqrupu anlayışı və qrupun sadəliyi təqdim ediləcək.

Onda sübut olunacaq ki, n≥5 simvollar üzrə cüt permutasiyalar qrupu sadədir (bu, cəbri tənliklərin radikallarda həll oluna bilməsi ilə bağlı suallara yol açacaq), həmçinin müstəvi (fəza) tərcümələrin altqrupunun normaldır. müvafiq obyektin bütün (affin) hərəkətləri qrupu. Aşağı ölçülü hərəkət qrupları tam xarakter alacaqlar (Chales teoremi və müxtəlif növ hərəkətlərin tərkibi qanunları).

Aleksey Vladimiroviç Savvateev - fizika elmləri doktoru riyaziyyat elmləri, oyun nəzəriyyəsi sahəsində mütəxəssis, Dmitri Pozharsky Universitetinin rektoru, uşaqlar və böyüklər arasında riyaziyyatın populyarlaşdırıcısı. Bir neçə yerdə eyni vaxtda işləyir elmi müəssisələr, o cümlədən Tədqiqat Laboratoriyasında sosial münasibətlər və NES cəmiyyətinin müxtəlifliyi. Yandex Məlumat Təhlili Məktəbində mühazirələr oxuyur və nəzəri tədqiqatlarda iştirak edir. İrkutskda əmək haqqının 0,2 misli ilə İDU-da dosent işləyir.

Şərhlər: 0

Aleksey Savvateev

Həndəsə - klassik Evklid, Lobaçevski, proyektiv və sferik - müasir riyaziyyat kafedralarının proqramlarında (məktəbləri demirəm) kifayət qədər diqqət yetirilmir. Eyni zamanda vizual və son dərəcə gözəldir. Bir çox ifadələr vizual olaraq aydındır və eyni zamanda gözlənilməzdir (Niyə İrkutskdan Lissabona uçan bir təyyarə əvvəlcə Norilsk istiqamətində uçur?) 8 mühazirədə tələbələr riyaziyyatın bu sahəsində ilkin məlumatlarla tanış olacaqlar. , iki min ildən çox əvvələ aiddir. Biz elmin müasir sahələrinə birbaşa aparan daha mürəkkəb materialla bitirəcəyik. Qrup nəzəriyyəsi və Lie cəbrinin əsasları əhatə olunacaq.

Aleksey Savvateev

Qalua nəzəriyyəsi cəbrin bir qoludur ki, sahə nəzəriyyəsinin müəyyən suallarını qruplar nəzəriyyəsinin dilində yenidən tərtib etməyə imkan verir, onları müəyyən mənada sadələşdirir. Qalua nəzəriyyəsi klassik problemlərin həllinə vahid, zərif bir yanaşma təqdim edir: kompas və hökmdarla hansı fiqurları qurmaq olar? Hansı cəbri tənlikləri standart cəbri əməliyyatlardan (toplama, çıxma, vurma, bölmə və kökləmə) istifadə etməklə həll etmək olar?

Aleksey Savvateev

Aleksey Savvateev, Aleksey Semikhatov

Elm məsələsi

Niyə riyaziyyatçılar davamlı olaraq yeniləri ilə çıxış edirlər? həll edilməyən problemlər? Müasir riyaziyyat niyə lazımdır? Alimlər arasında müasir riyaziyyat elmlərinin bütün sahələrini anlayan yoxdur. Riyaziyyatçılar isə getdikcə daha çox həll olunmayan problemlərlə qarşılaşırlar və sonra onlarla onilliklər boyu mübarizə aparırlar. Bütün bunlar niyə? Və riyaziyyatın həyatımıza nə dəxli var? Proqramın qonağı fizika-riyaziyyat elmləri doktoru Aleksey Savvateyevdir. Aleksey Semixatovun müsahibəsi.

Aleksandr Bufetov

Anatoli Verşik

Yalnız bu yaxınlarda və həmişə olduğu kimi, eyni vaxtda və müstəqil olaraq bir neçə riyaziyyatçı qrupuna müxtəlif səbəblərdən müəyyən bir qrupun təsadüfi seçilmiş alt qruplarını sistematik şəkildə öyrənmək lazım idi. Natiq üçün bu hadisə müəyyən qrupun bütün alt qruplarının qəfəslərində konyuqasiya-invariant ölçüləri tapmaq vəzifəsi idi. Bu problem təmsillər nəzəriyyəsi (bəzi qrupların faktor təmsilləri) və nəzəriyyənin özü üçün vacibdir dinamik sistemlər(tamamilə azad olmayan hərəkətlər). Digər səbəblər yerli simmetrik fəzalarda Betti ədədlərinin asimptotikası, qrupların ağaclar üzərindəki hərəkətləri, təsadüfi homojen fəzalarda gəzinti nəzəriyyəsi və görünür, bunlar hamısı deyil. Məruzə həsr olunacaq ümumi anlayışlar, fundamental bir nümunənin təhlili, yəni simmetrik qrupun təsadüfi alt qrupu nədir - sonlu və sonsuz və nəhayət, bütün bunların simvollar nəzəriyyəsi ilə necə əlaqəli olduğunun izahı.

Yevgeni Smirnov

Yansıma qrupları, əkslər dəsti ilə yaranan sabit əyrilik fəzasının (kürə, Evklid və ya hiperbolik fəza) diskret hərəkətlər qrupudur. Reflection qrupları müxtəlif cəbri məsələlərdə təəccüblü şəkildə tez-tez görünür.

İvan Arjantsev

Bu kursda biz sonlu ölçülü kommutativ assosiativ cəbrlər kimi gözəl və tamamilə elementar obyekti öyrənirik. mürəkkəb ədədlər. Burada ilk struktur nəticələrini sübut etmək olduqca asandır, lakin tam təsnifat əldə etmək çətin ki, mümkün deyil. Sonlu ölçülü cəbrlərlə işləmək üçün müxtəlif üsulları (maksimum ideallar və yerli cəbrlər, filtrasiya və qiymətləndirmə, Hilbert-Samuel ardıcıllığı və əsas) müzakirə edəcəyik və aşağı ölçülü cəbrlərin açıq təsvirini əldə edəcəyik. Məlum olur ki, son ölçülü cəbrlər kommutativ matris qruplarının afin və proyektiv fəzalarda açıq orbit hərəkətləri ilə sıx bağlıdır. Bu əlaqəni izah edəcəyik. İzahat prosesində təbii olaraq xətti operatorun göstəricisi, qrup təsviri və siklik modul, Li cəbri və onu əhatə edən universal anlayışlar yaranacaqdır.

Mixail Tyomkin

Tetraedrləri üzləri boyunca bir-birinin yanında yerləşdirməklə mühüm riyazi obyekt olan sadə komplekslərin nümunələrini əldə etmək olar. Belə bir quruluşun üçbucaqlarını qara-ağ rəngə boyayaq və hər tetraedrin bərabər sayda qara və ağ üzü varsa, rəngləməni yaxşı adlandıraq. Belə çıxır ki, (standart olaraq sadə şəkildə bölünmüş) aşağı ölçülü kürələr vəziyyətində ağ üçbucaqlar dəsti öyrənilməyə layiq bir obyektə çevrilir: Möbius zolağı və ya proyektiv müstəvi. Bu cisimlərin üçbucaqlara necə bölündüyünü dəqiq təsvir edərkən, təbii olaraq ikosahedron - gözəl müntəzəm çoxüzlü olacağıq. Onun öz birləşmələri qrupunu öyrənmək bizə nə qədər yaxşı rənglərin olduğunu anlamağa imkan verəcəkdir. Yolda biz riyaziyyatın belə mühüm əsas anlayışları ilə qarşılaşacağıq ki, yuxarıda qeyd olunan sadə kompleks və simmetriya qrupu, hərəkət və s.

İvan Losev

Mühazirələr sonlu qrupların təsvirləri nəzəriyyəsindən əsas məlumatları təqdim edir, Verşik və Okunkovun simmetrik qrupların təsvirlərinə yanaşmasını izah edir və baş verənlərdən danışır. müsbət xüsusiyyətlər və Lie cəbrinin bununla nə əlaqəsi var? Kurs birinci kursdan başlayaraq cəbr kursunu yaxşı mənimsəmiş tələbələr üçün başa düşülən olmalıdır.