Heron düsturundan istifadə edərək üçbucağı tapaq. Üçbucağın sahəsi. Dördbucaqlıların sahəsinin hesablanması
Bu düstur a, b və c tərəflərinə əsasən üçbucağın sahəsini hesablamağa imkan verir:
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),burada p üçbucağın yarım perimetridir, yəni. p = (a + b + c)/2.
Düstur qədim yunan riyaziyyatçısı İsgəndəriyyə Heronun şərəfinə adlandırılmışdır (təxminən 1-ci əsr). Heron, sahələri də tam ədəd olan tam tərəfləri olan üçbucaqları nəzərdən keçirdi. Belə üçbucaqlara Heron üçbucaqları deyilir. Məsələn, bunlar tərəfləri 13, 14, 15 və ya 51, 52, 53 olan üçbucaqlardır.
Dördbucaqlılar üçün Heron düsturunun analoqları var. a, b, c və d tərəfləri boyunca dördbucaqlı qurmaq probleminin birdən çox həlli olduğuna görə, ümumi vəziyyətdə dördbucağın sahəsini hesablamaq üçün yalnız uzunluqları bilmək kifayət deyil. tərəflərin. Əlavə parametrlər daxil etməli və ya məhdudiyyətlər qoymalısınız. Məsələn, yazılmış dördbucağın sahəsi düsturla tapılır: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)
Dördbucaqlı eyni zamanda həm yazılı, həm də ətrafa çəkilibsə, onun sahəsi belədir daha sadə düsturdan istifadə etməklə: S=√(abcd).
İsgəndəriyyə Heron - Yunan riyaziyyatçısı və mexaniki.
O, ilk dəfə avtomatik qapıları, avtomatik kukla teatrını, avtomat avtomatı, tez atəş açan özünü yükləyən arbalet, buxar turbin, avtomatik bəzəklər, yolların uzunluğunu ölçmək üçün cihaz (qədim odometr) və s. O, ilk dəfə proqramlaşdırıla bilən cihazları (ətrafına iplə sarılmış sancaqlar olan val) yaratmışdır.
O, həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika üzrə təhsil alıb. Əsas əsərləri: Metrika, Pnevmatika, Avtomatopoetika, Mexanika (əsər tamamilə ərəb tərcüməsində qorunub saxlanılmışdır), Katoptrika (güzgülər haqqında elm; yalnız latın tərcüməsində qorunub saxlanılmışdır) və s. 1814-cü ildə Heronun “Diopter haqqında” essesi tapılmışdır. faktiki olaraq düzbucaqlı koordinatların istifadəsinə əsaslanan torpaq ölçmələrinin qaydalarını müəyyən edir. Heron sələflərinin nailiyyətlərindən istifadə etdi: Evklid, Arximed, Lampsaklı Strato. Onun bir çox kitabları geri qaytarıla bilməyəcək şəkildə itmişdir (tumarlar İsgəndəriyyə Kitabxanasında saxlanılırdı).
Heron "Mexanika" traktatında sadə maşınların beş növünü təsvir etdi: rıçaq, qapı, paz, vint və blok.
Heron “Pnevmatika” traktatında müxtəlif sifonlar, ağıllı dizayn edilmiş gəmilər və sıxılmış hava və ya buxarla idarə olunan avtomatları təsvir etmişdir. Bu, ilk buxar turbini olan aeolipile - su buxarının jetlərinin gücü ilə fırlanan top; qapıları açmaq üçün maşın, "müqəddəs" su satmaq üçün maşın, yanğın nasosu, su orqanı, mexaniki kukla teatrı.
"Diopter haqqında" kitabında geodeziya işləri üçün istifadə olunan ən sadə cihaz olan diopter təsvir edilmişdir. Heron öz traktatında düzbucaqlı koordinatlardan istifadəyə əsaslanaraq yerin ölçülməsi qaydalarını müəyyən edir.
Catoptrics-də Heron işıq şüalarının düzlüyünü sonsuz yüksək yayılma sürəti ilə əsaslandırır. Heron, silindrik güzgülərə xüsusi diqqət yetirərək, müxtəlif növ güzgüləri nəzərdən keçirir.
Heronun "Metrika" və ondan çıxarılmış "Həndəsə" və "Stereometriya" kitabları haqqında məlumat kitabçalarıdır. tətbiqi riyaziyyat. Metrica-da olan məlumatlar arasında:
Müntəzəm çoxbucaqlıların sahələri üçün düsturlar.
Müntəzəm polihedra, piramida, konus, kəsik konus, torus, sferik seqmentin həcmləri.
Üçbucağın sahəsini tərəflərinin uzunluqlarına görə hesablamaq üçün Heron düsturu (Arximed tərəfindən kəşf edilmişdir).
Kvadrat tənliklərin ədədi həlli qaydaları.
Kvadrat və kub kökləri çıxarmaq üçün alqoritmlər.
Heronun "Təriflər" kitabı geniş həndəsi təriflər toplusudur və əksər hallarda Evklidin "Elementlər" tərifləri ilə üst-üstə düşür.
Dərsin xülasəsi
Mövzu: "Heron düsturu və üçbucağın sahəsi üçün digər düsturlar."
Dərs növü : yeni biliklərin kəşf edilməsi dərsi.
Sinif: 10.
Dərsin məqsədləri: dərs zamanı öyrənilən üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün düsturların şüurlu şəkildə təkrarlanmasını təmin edin. məktəb kurikulumu. Heronun II düsturunu, düzbucaqlı koordinat sistemində verilmiş üçbucağın sahəsinin düsturunu bilmə ehtiyacını göstərin. Problemləri həll edərkən bu düsturların şüurlu şəkildə mənimsənilməsini və tətbiqini təmin edin.
Tapşırıqlar:
Təhsil: inkişaf məntiqi təfəkkür, müstəqil qərar vermək bacarığı təlim məqsədləri; inkişaf marağıtələbələr, mövzuya idrak marağı; tələbələrin yaradıcı təfəkkürünün və riyazi nitqinin inkişafı;
Təhsil: riyaziyyata marağı artırmaq; üçün şərait yaradırünsiyyət bacarıqlarının formalaşdırılması və güclü iradəli keyfiyyətlərşəxsiyyət.
Təhsil: biliyin dərinləşdirilməsihəqiqi ədədin modulu; tipik problemləri həll etmək bacarığını öyrətmək.
Universal öyrənmə fəaliyyəti:
Şəxsi: şəxsiyyətə və onun ləyaqətinə hörmət; sabit koqnitiv maraq; bərabər münasibətlər və qarşılıqlı hörmət əsasında dialoq aparmaq bacarığı.
Tənzimləyici: dərsdə fəaliyyət üçün məqsədlər təyin etmək; məqsədə çatmağın yollarını planlaşdırmaq; danışıqlar əsasında problemli vəziyyətdə qərarlar qəbul etmək.
Koqnitiv: V problemlərin həlli, tapşırıqların və hesablamaların yerinə yetirilməsi üçün ümumi üsulları mənimsəmək; real ədədlərin modul xüsusiyyətlərindən istifadə əsasında tapşırıqları yerinə yetirmək.
Ünsiyyətcil: A öz fəaliyyətini planlaşdırmaq və tənzimləmək üçün nitqdən adekvat istifadə etmək; öz fikrinizi formalaşdırın.
Texniki dəstək : kompüter, proyektor, interaktiv lövhə.
Dərsin strukturu
Motivasiya mərhələsi – 2 dəq.
Ev tapşırığı - 1 dəq.
Təklif olunan mövzu üzrə biliklərin yenilənməsi və ilk sınaq hərəkətinin həyata keçirilməsi mərhələsi – 10 dəqiqə.
Çətinliklərin müəyyən edilməsi: yeni materialın mürəkkəbliyi nədir, problemi məhz nə yaradır, ziddiyyətləri axtarmaq - 4 dəq.
Layihənin hazırlanması, onların mövcud çətinliklərinin həlli planı, bir çox variantın nəzərdən keçirilməsi, optimal həll yolunun axtarışı - 2 dəq.
Çətinliyi həll etmək üçün seçilmiş planın həyata keçirilməsi - 5 dəq.
Yeni biliklərin ilkin möhkəmləndirilməsi - 10 dəq.
Müstəqil iş və standarta uyğun yoxlama - 5 dəq.
Tədris fəaliyyətləri, özünü təhlil, hisslər və emosiyalar üzərində əksini özündə cəmləşdirən refleksiya – 1 dəq.
Dərslər zamanı.
Motivasiya mərhələsi.
Salam uşaqlar, əyləşin. Bu gün dərsimiz aşağıdakı plana uyğun olacaq: dərs zamanı yeni mövzunu öyrənəcəyik: “ Heron düsturu və üçbucağın sahəsi üçün digər düsturlar "; Bildiyiniz düsturları təkrarlayaq; Məsələləri həll edərkən bu düsturları necə tətbiq edəcəyimizi öyrənək. Beləliklə, işə başlayaq.
Təklif olunan mövzu üzrə biliklərin yenilənməsi və ilk sınaq hərəkətinin həyata keçirilməsi mərhələsi.
Slayd 1.
Dərsin mövzusunu yazın. Birbaşa düsturlara keçməzdən əvvəl üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün hansı düsturları bildiyinizi xatırlayaq?
Slayd 2.
Bu düsturları yazın.
Üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün hansı düsturları bilirsiniz?(şagirdlər öyrəndikləri bütün düsturları xatırlayırlar)
Slayd 3.
Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi. S=ab. Formulu yazın
Slayd 4.
İstənilən üçbucağın sahəsi. S= A . a = , = Formulu yazın.
Slayd 5. İki tərəfə əsaslanan üçbucağın sahəsi və onların arasındakı bucaq.
S=½·ab·sinα. Formulu yazın.
İndi sahə tapmaq üçün yeni düsturları öyrənəcəyik.
Slayd 6.
İçəri daxil edilmiş dairənin radiusu baxımından üçbucağın sahəsi. S= P r. Formulu yazın.
Slayd 7.
Dairənin R-radiusu baxımından üçbucağın sahəsi.
Formulu yazın.
Slayd 8.
Heron düsturu.
Sübut etməyə başlamazdan əvvəl həndəsənin iki teoremini - sinuslar teoremini və kosinuslar teoremini xatırlayaq.
1. , a=2R; b=2R; c=2R
2., cosγ = .
Slayd 9-10
Heron düsturunun sübutu. Formulu yazın.
Slayd 11.
Üç tərəfə əsaslanan üçbucağın sahəsinin düsturu eramızdan əvvəl III əsrdə Arximed tərəfindən kəşf edilmişdir. Bununla belə, müvafiq işlər günümüzə gəlib çatmayıb. Bu düstur İsgəndəriyyə Heronunun (eramızın I əsri) “Metrikləri”ndə var və onun adını daşıyır. Heron tərəfləri tam ədəd olan və sahələri də tam olan üçbucaqlarla maraqlanırdı. Belə üçbucaqlara Heron üçbucaqları deyilir. Ən sadə Heron üçbucağı Misir üçbucağıdır
Çətinliyin müəyyən edilməsi: yeni materialın mürəkkəbliyi nədir, problemi məhz nə yaradır, ziddiyyət axtarmaq.
Slayd 12.
Verilmiş tərəfləri olan üçbucağın sahəsini tapın: 4,6,8. Problemi həll etmək üçün kifayət qədər məlumat varmı? Bu problemi həll etmək üçün hansı düsturdan istifadə edə bilərsiniz?
Layihənin hazırlanması, onların mövcud çətinliklərinin həlli planı, bir çox variantların nəzərdən keçirilməsi, optimal həll yolunun axtarışı.
Bu problem Heron düsturu ilə həll edilə bilər. Əvvəlcə üçbucağın yarım perimetrini tapmalı və sonra alınan dəyərləri düsturla əvəz etməlisiniz.
Çətinliyi həll etmək üçün seçilmiş planın həyata keçirilməsi.
Tapmaq səh
səh=(13+14+15)/2=21
səh- a=21-13=8
p-b=21-14=7
p-c=21-15=6
S = 21*8*7*6=84
Cavab verin :84
Tapşırıq № 2
Üçbucağın tərəflərini tapınABC, əgər üçbucaqların sahəsiABO, BCO, ACO, burada O yazılmış dairənin mərkəzidir, 17,65,80 dc-ə bərabərdir 2 .
Həll: 
S=17+65+80=162 – üçbucaqların sahələrini toplayın. Formula görə
S ABO =1/2 AB* r, buna görə də 17=1/2AB* r; 65=1/2ВС* r; 80=1/2 A.C.* r
34/r=AB; 130/r=BC; 160/r=AC
tapın səh
səh= (34+130+160)/2=162/ r
(r-a)=162-34=128 (r- c)=162-160=2
(R- b)=162-130=32
Heron düsturuna görəS= 128/ r*2/ r*32/ r*162/ r=256*5184/ r 4 =1152/ r 2
Çünki S=162, buna görə dər = 1152/162=3128/18
Cavab: AB=34/3128/18, BC=130/3128/18, AC=160/3128/18.
Yeni biliklərin ilkin konsolidasiyası.
№10(1)
Verilmiş tərəfləri olan üçbucağın sahəsini tapın:
№12
Müstəqil iş və standarta uyğun sınaq.
№10.(2)
Ev tapşırığı . S.83, No 10(3), No 15
Tədris fəaliyyətləri, introspeksiya və hisslər və emosiyaların əks olunmasını əhatə edən əks etdirmə.
Bu gün hansı düsturları təkrar etdiniz?
Bu gün hansı düsturları öyrəndiniz?
Baza və hündürlüyü bilməklə tapmaq olar. Diaqramın bütün sadəliyi ondan ibarətdir ki, hündürlük a əsasını iki hissəyə 1 və 2 hissəyə, üçbucağın özünü isə sahəsi və olan iki düzbucaqlı üçbucağa ayırır. Sonra bütün üçbucağın sahəsi göstərilən iki sahənin cəmi olacaq və mötərizədən hündürlüyün bir saniyəsini götürsək, cəmində bazanı geri alırıq:
Hesablamalar üçün daha çətin bir üsul Heron düsturudur, bunun üçün hər üç tərəfi bilməlisiniz. Bu düstur üçün əvvəlcə üçbucağın yarım perimetrini hesablamalısınız: 
Heron düsturunun özü yarımperimetrin kvadrat kökünü nəzərdə tutur, öz növbəsində onun hər tərəfdəki fərqinə vurulur.
Hər hansı bir üçbucaq üçün də uyğun olan aşağıdakı üsul, iki tərəfdən keçən üçbucağın sahəsini və aralarındakı bucağı tapmağa imkan verir. Bunun sübutu hündürlük düsturundan gəlir - hündürlüyü məlum tərəflərdən hər hansı birinə çəkirik və α bucağının sinüsü vasitəsilə h=a⋅sinα alırıq. Sahəni hesablamaq üçün hündürlüyün yarısını ikinci tərəfə vurun.
Başqa bir yol, 2 bucağı və onların arasındakı tərəfi bilən üçbucağın sahəsini tapmaqdır. Bu formulun sübutu olduqca sadədir və diaqramdan aydın şəkildə görünə bilər.
Hündürlüyü üçüncü bucağın təpəsindən məlum tərəfə endiririk və nəticədə yaranan seqmentləri müvafiq olaraq x adlandırırıq. From düz üçbucaqlar aydın olur ki, birinci x seqment hasilinə bərabərdir
Teorem. Üçbucağın sahəsi onun tərəfinin və hündürlüyünün məhsulunun yarısına bərabərdir:
Sübut çox sadədir. Bu üçbucaq ABC(Şəkil 1.15) onu paraleloqrama qədər quraq ABDC. Üçbucaqlar ABC Və DCBüç tərəfdən bərabərdir, ona görə də onların sahələri bərabərdir. Beləliklə, üçbucağın sahəsi ABC paraleloqramın sahəsinin yarısına bərabərdir ABDC, yəni.
Ancaq burada belə bir sual yaranır: nə üçün hər hansı üçbucaq üçün əsasın və hündürlüyün mümkün üç yarım məhsulu eynidır? Ancaq bunu ümumi iti bucaqlı düzbucaqlıların oxşarlığından sübut etmək asandır. Üçbucağı nəzərdən keçirək ABC(Şəkil 1.16):
Və buna görə də
Bununla belə, in məktəb dərslikləri Bu belə deyil. Əksinə, üç yarım məhsulun bərabərliyi bütün bu yarımməhsulların üçbucağın sahəsini ifadə etməsi əsasında qurulur. Beləliklə, vahid funksiyanın mövcudluğundan dolayı istifadə olunur. Ancaq burada bir nümunə göstərmək üçün əlverişli və ibrətamiz bir fürsət gəlir riyazi modelləşdirmə. Doğrudan da, sahə anlayışının arxasında fiziki reallıq dayanır, lakin üç yarım məhsulun bərabərliyinin birbaşa yoxlanılması bu anlayışın riyaziyyat dilinə tərcümə keyfiyyətini göstərir.
Yuxarıdakı üçbucağın sahəsi teoremindən istifadə edərək, iki üçbucağın sahələrini müqayisə etmək çox vaxt rahatdır. Aşağıda teoremdən bəzi açıq-aydın, lakin mühüm nəticələri təqdim edirik.
Nəticə 1. Üçbucağın təpə nöqtəsi əsasına paralel düz xətt boyunca hərəkət edirsə, onda onun sahəsi dəyişmir.
Şəkildə. 1.17 üçbucaq ABC Və ABD ortaq zəmin var AB və bərabər hündürlüklər düz xətt olduğundan bu bazaya endirilir A təpələri ehtiva edən İLƏ Və D bazaya paralel AB, və buna görə də bu üçbucaqların sahələri bərabərdir.
Nəticə 1 aşağıdakı kimi yenidən formalaşdırıla bilər.
Nəticə 1?. Bir seqment verilsin AB. Çox xal M belə ki, üçbucağın sahəsi AMV bərabərdir verilmiş dəyər S, seqmentə paralel iki xətt var AB və ondan uzaqda yerləşənlər (şək. 1. 18)
Nəticə 2. Verilmiş bucağa bitişik üçbucağın tərəflərindən biri artarsa k dəfə, sonra onun sahəsi də artacaq k bir dəfə.
Şəkildə. 1.19 üçbucaq ABC Və ABDümumi hündürlüyü var BH, buna görə də onların sahələrinin nisbəti əsasların nisbətinə bərabərdir
Mühüm xüsusi hallar Nəticə 2-dən irəli gəlir:
1. Median üçbucağı iki kiçik hissəyə ayırır.
2. Tərəfləri arasında bağlanmış üçbucağın bucağının bisektoru A Və b, kimi sahələri əlaqəli olan iki üçbucağa bölür a : b.
Nəticə 3. İki üçbucağın ümumi bucağı varsa, onların sahələri bu bucağı əhatə edən tərəflərin hasilinə mütənasibdir.
Bu, ondan irəli gəlir ki, (şək. 1.19)
Xüsusilə, aşağıdakı bəyanatda deyilir:
İki üçbucaq oxşardırsa və onlardan birinin tərəfi olarsa k digərinin müvafiq tərəflərindən dəfələrlə böyükdürsə, onda onun sahəsi olur kİkincinin sahəsinin 2 qatı.
Üçbucağın sahəsi üçün Heron düsturunu aşağıdakı iki yolla əldə edirik. Birincidə kosinus teoremindən istifadə edirik:
burada a, b, c üçbucağın tərəflərinin uzunluqları, r c tərəfinə qarşı olan bucaqdır.
(1.3)-dən tapırıq.
Bunu nəzərə alaraq
üçbucağın yarım perimetri haradadır, alırıq.
Yüklənir...