Kompleksin triqonometrik forması. Kompleks ədədin triqonometrik forması. Kompleks ədədin cəbri formadan triqonometrik formaya çevrilməsi

3.1. Qütb koordinatları

Çox vaxt təyyarədə istifadə olunur qütb koordinat sistemi . O nöqtəsi verilirsə, müəyyən edilir, çağırılır dirək, və qütbdən çıxan şüa (bizim üçün bu oxdur Ox) – qütb oxu. M nöqtəsinin mövqeyi iki rəqəmlə müəyyən edilir: radius (və ya radius vektoru) və qütb oxu ilə vektor arasındakı bucaq φ.φ bucağı adlanır qütb bucağı; radyanla ölçülür və qütb oxundan saat yönünün əksinə sayılır.

Qütb koordinat sistemində nöqtənin mövqeyi sıralı ədədlər cütü (r; φ) ilə verilir. Qütbdə r = 0, və φ müəyyən edilməyib. Bütün digər məqamlar üçün r > 0, və φ 2π-nin qatı olan terminə qədər müəyyən edilir. Bu halda (r; φ) və (r 1 ; φ 1) ədəd cütləri eyni nöqtə ilə əlaqələndirilir, əgər .

Düzbucaqlı koordinat sistemi üçün xOy Nöqtənin kartezyen koordinatları onun qütb koordinatları ilə asanlıqla aşağıdakı kimi ifadə edilir:

3.2. Kompleks ədədin həndəsi şərhi

Müstəvidə Kartezian düzbucaqlı koordinat sistemini nəzərdən keçirək xOy.

İstənilən kompleks ədəd z=(a, b) müstəvidə koordinatları olan nöqtə ilə əlaqələndirilir. x, y), Harada koordinat x = a, yəni. kompleks ədədin həqiqi hissəsi, y = bi koordinatı isə xəyali hissədir.

Nöqtələri olan bir təyyarə mürəkkəb ədədlər- mürəkkəb müstəvi.

Şəkildə kompleks ədəd z = (a, b) nöqtəyə uyğun gəlir M(x, y).

Məşq edin.Çəkmək koordinat müstəvisi mürəkkəb ədədlər:

3.3. Kompleks ədədin triqonometrik forması

Təyyarədə olan kompleks ədəd bir nöqtənin koordinatlarına malikdir M(x;y). Burada:

Kompleks ədədin yazılması - kompleks ədədin triqonometrik forması.

r sayı çağırılır modul kompleks ədəd z və təyin olunur. Modul mənfi olmayan həqiqi ədəddir. üçün .

Modul yalnız və yalnız o halda sıfırdır z = 0, yəni. a = b = 0.

φ nömrəsi çağırılır arqument z və təyin edilir. z arqumenti qütb koordinat sistemindəki qütb bucağı kimi qeyri-müəyyən şəkildə müəyyən edilir, yəni 2π-nin qatı olan terminə qədər.

Sonra qəbul edirik: , burada φ arqumentin ən kiçik qiymətidir. Aydındır ki

.

Mövzunu daha dərindən öyrənərkən köməkçi arqument φ* təqdim edilir ki,

Misal 1. Kompleks ədədin triqonometrik formasını tapın.

Həll. 1) modulu nəzərdən keçirin: ;

2) φ axtarır: ;

3) triqonometrik forma:

Misal 2. Kompleks ədədin cəbri formasını tapın .

Burada dəyərləri əvəz etmək kifayətdir triqonometrik funksiyalar və ifadəni çevirin:

Misal 3. Kompleks ədədin modulunu və arqumentini tapın;

1) ;

2) ; φ – 4 rübdə:

3.4. Triqonometrik formada kompleks ədədlərlə əməliyyatlar

· Toplama və çıxma Cəbri formada mürəkkəb ədədlərlə etmək daha rahatdır:

· Vurma– sadə triqonometrik çevrilmələrdən istifadə etməklə göstərmək olar ki Çarpma zamanı ədədlərin modulları vurulur və arqumentlər əlavə olunur: ;

Bu bölmədə kompleks ədədin triqonometrik forması haqqında daha çox danışacağıq. Nümunəvi forma praktiki tapşırıqlarda daha az yayılmışdır. Mümkünsə yükləməyi və çap etməyi məsləhət görürəm. triqonometrik cədvəllər, metodik materialla Riyazi düsturlar və cədvəllər səhifəsində tanış olmaq olar. Masalar olmadan uzağa getmək olmaz.

İstənilən kompleks ədəd (sıfırdan başqa) triqonometrik formada yazıla bilər:

O haradadır kompleks ədədin modulu, A - mürəkkəb ədəd arqumenti.

Gəlin ədədi kompleks müstəvidə təmsil edək. İzahın dəqiqliyi və sadəliyi üçün onu birinci koordinat kvadrantına yerləşdirəcəyik, yəni. inanırıq ki:

Kompleks ədədin modulu mürəkkəb müstəvidə başlanğıcdan müvafiq nöqtəyə qədər olan məsafədir. Sadəcə qoymaq, modul uzunluqdur rəsmdə qırmızı ilə göstərilən radius vektoru.

Kompleks ədədin modulu adətən aşağıdakılarla işarələnir: və ya

Pifaqor teoremindən istifadə edərək kompleks ədədin modulunu tapmaq üçün düstur əldə etmək asandır: . Bu formula düzgündür hər hansı üçün“a” və “olmaq” mənalarını verir.

Qeyd : Kompleks ədədin modulu anlayışın ümumiləşdirilməsidir həqiqi ədədin modulu, bir nöqtədən başlanğıca qədər olan məsafə kimi.

Kompleks ədədin arqumentiçağırdı künc arasında müsbət yarımox həqiqi ox və başlanğıcdan müvafiq nöqtəyə çəkilmiş radius vektoru. Arqument tək üçün müəyyən edilməyib:.

Baxılan prinsip əslində qütb koordinatlarına bənzəyir, burada qütb radiusu və qütb bucağı bir nöqtəni unikal şəkildə təyin edir.

Mürəkkəb ədədin arqumenti standart olaraq işarələnir: və ya

Həndəsi mülahizələrdən arqumenti tapmaq üçün aşağıdakı düsturu əldə edirik:

. Diqqət! Bu düstur yalnız sağ yarım müstəvidə işləyir! Kompleks nömrə 1-ci və ya 4-cü koordinat kvadrantında yerləşmirsə, düstur bir qədər fərqli olacaq. Bu halları da təhlil edəcəyik.

Ancaq əvvəlcə kompleks ədədlərin koordinat oxlarında yerləşdiyi ən sadə nümunələrə baxaq.

Misal 7

Kompleks ədədləri triqonometrik formada təmsil edin: ,,,. Gəlin rəsm çəkək:

Əslində, tapşırıq şifahidir. Aydınlıq üçün kompleks ədədin triqonometrik formasını yenidən yazacağam:

Möhkəm xatırlayaq, modul - uzunluq(həmişə belədir mənfi olmayan), arqument - künc

1) Ədədi triqonometrik formada təqdim edək. Onun modulunu və arqumentini tapaq. Aydındır ki. Formuladan istifadə edərək formal hesablama:. Aydındır ki, (rəqəm birbaşa real müsbət yarımoxda yerləşir). Beləliklə, triqonometrik formada ədəd:.

Əks yoxlama hərəkəti gün kimi aydındır:

2) Ədədi triqonometrik formada təmsil edək. Onun modulunu və arqumentini tapaq. Aydındır ki. Formuladan istifadə edərək formal hesablama:. Aydındır ki, (və ya 90 dərəcə). Rəsmdə künc qırmızı rənglə göstərilmişdir. Beləliklə, triqonometrik formada ədəd: .

İstifadə , ədədin cəbri formasını geri qaytarmaq asandır (eyni zamanda yoxlama apararaq):

3) Ədədi triqonometrik formada təqdim edək. Onun modulunu tapaq və

arqument. Aydındır ki. Formuladan istifadə edərək rəsmi hesablama:

Aydındır ki, (və ya 180 dərəcə). Rəsmdə künc mavi rənglə göstərilmişdir. Beləliklə, triqonometrik formada ədəd:.

İmtahan:

4) Və dördüncü maraqlı hadisə. Aydındır ki. Formuladan istifadə edərək formal hesablama:.

Arqument iki şəkildə yazıla bilər: Birinci yol: (270 dərəcə) və müvafiq olaraq: . İmtahan:

Bununla belə, aşağıdakı qayda daha standartdır: Bucaq 180 dərəcədən çox olarsa, sonra mənfi işarəsi və bucağın əks istiqaməti (“sürüşmə”) ilə yazılır: (mənfi 90 dərəcə), rəsmdə bucaq yaşıl rənglə qeyd olunur. Diqqət etmək asandır

hansı bucaq eynidir.

Beləliklə, giriş formasını alır:

Diqqət! Heç bir halda kosinusun paritetindən, sinusun qəribəliyindən istifadə etməməli və qeydi daha da "sadələşdirməməlisiniz":

Yeri gəlmişkən, triqonometrik və tərs triqonometrik funksiyaların görünüşünü və xassələrini xatırlamaq faydalıdır; istinad materialları səhifənin son paraqraflarında yerləşir Qrafiklər və əsas elementar funksiyaların xassələri. Və mürəkkəb ədədlər daha asan öyrəniləcək!

Ən sadə nümunələrin dizaynında bunu belə yazmalısınız: : "modulun olduğu aydındır... arqumentin... olduğu aydındır...". Bu, həqiqətən aydındır və şifahi şəkildə həll etmək asandır.

Daha ümumi halları nəzərdən keçirməyə davam edək. Modulla bağlı heç bir problem yoxdur, həmişə formuladan istifadə etməlisiniz. Ancaq arqumenti tapmaq üçün düsturlar fərqli olacaq, nömrənin hansı koordinat rübündə yerləşdiyindən asılıdır. Bu vəziyyətdə üç seçim mümkündür (onları yenidən yazmaq faydalıdır):

1) Əgər (1-ci və 4-cü koordinat rübləri və ya sağ yarım müstəvi) olarsa, arqument düsturdan istifadə etməklə tapılmalıdır.

2) Əgər (2-ci koordinat rübü), onda arqument düsturdan istifadə etməklə tapılmalıdır .

3) Əgər (3-cü koordinat rübü), onda arqument düsturdan istifadə etməklə tapılmalıdır .

Misal 8

Kompleks ədədləri triqonometrik formada təmsil edin: ,,,.

Hazır düsturlar olduğundan, rəsmi tamamlamaq lazım deyil. Ancaq bir məqam var: sizdən bir ədədi triqonometrik formada təmsil etməyiniz xahiş edildikdə, o zaman Hər halda rəsm çəkmək daha yaxşıdır. Fakt budur ki, rəsmsiz bir həll tez-tez müəllimlər tərəfindən rədd edilir, rəsmin olmaması mənfi və uğursuzluq üçün ciddi bir səbəbdir.

Rəqəmləri mürəkkəb formada təqdim edirik və birinci və üçüncü nömrələr müstəqil həll üçün olacaq.

Ədədi triqonometrik formada təmsil edək. Onun modulunu və arqumentini tapaq.

O vaxtdan (2-ci hal), sonra

- bu, arktangentin qəribəliyindən istifadə etməli olduğunuz yerdir. Təəssüf ki, cədvəldə dəyəri yoxdur, ona görə də belə hallarda arqument çətin formada buraxılmalıdır: – triqonometrik formada ədədlər.

Ədədi triqonometrik formada təmsil edək. Onun modulunu və arqumentini tapaq.

Çünki (1-ci hal), sonra (mənfi 60 dərəcə).

Beləliklə:

– triqonometrik formada olan ədəd.

Ancaq burada, artıq qeyd edildiyi kimi, çatışmazlıqlar var toxunma.

Əyləncəli qrafik yoxlama metoduna əlavə olaraq, artıq Nümunə 7-də həyata keçirilmiş analitik yoxlama da var. Biz istifadə edirik. triqonometrik funksiyaların qiymətləri cədvəli, bucağın tam olaraq masa bucağı (və ya 300 dərəcə) olduğunu nəzərə alaraq: – orijinal cəbri formada ədədlər.

Rəqəmləri triqonometrik formada özünüz təqdim edin. Qısa bir həll və dərsin sonunda cavab.

Bölmənin sonunda kompleks ədədin eksponensial forması haqqında qısaca.

İstənilən kompleks ədəd (sıfırdan başqa) eksponensial formada yazıla bilər:

Kompleks ədədin modulu haradadır və kompleks ədədin arqumentidir.

Kompleks ədədi eksponensial formada göstərmək üçün nə etmək lazımdır? Demək olar ki, eyni: bir rəsm yerinə yetirin, modul və arqument tapın. Və nömrəni formada yazın.

Məsələn, əvvəlki nümunədəki nömrə üçün modul və arqument tapdıq:,. Onda bu ədəd eksponensial formada aşağıdakı kimi yazılacaq:.

Eksponensial formada rəqəm belə görünəcək:

Nömrə - Belə ki:

Yeganə məsləhətdir göstəriciyə toxunmayın eksponentlər, amilləri yenidən təşkil etməyə ehtiyac yoxdur, mötərizələri açmaq və s. Kompleks ədəd eksponensial formada yazılır ciddi şəkildə formaya görə.

Cəbri formada yazılmış kompleks ədədlər üzərində əməliyyatlar

Kompleks ədədin cəbri forması z =(a,b).formanın cəbri ifadəsi adlanır

z = a + bi.

Kompleks ədədlər üzərində arifmetik əməllər z 1 =a 1 + b 1 i Və z 2 =a 2 + b 2 i, cəbri formada yazılanlar aşağıdakı kimi həyata keçirilir.

1. Kompleks ədədlərin cəmi (fərqi).

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

olanlar. toplama (çıxma) oxşar həddləri azaltmaqla çoxhədlilərin toplanması qaydasına uyğun olaraq həyata keçirilir.

2. Kompleks ədədlərin hasili

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

olanlar. vurma faktı nəzərə alınmaqla çoxhədlilərin vurulması üçün adi qaydaya əsasən həyata keçirilir. i 2 = 1.

3. İki mürəkkəb ədədin bölünməsi aşağıdakı qaydaya əsasən aparılır:

, (z 2 ≠ 0),

olanlar. bölünmə dividend və bölücü bölücünün birləşmə nömrəsinə vurmaqla həyata keçirilir.

Kompleks ədədlərin eksponentasiyası aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Bunu göstərmək asandır

Nümunələr.

1. Kompleks ədədlərin cəmini tapın z 1 = 2 – i Və z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Kompleks ədədlərin hasilini tapın z 1 = 2 – 3i Və z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3i∙ 5i = 7+22i.

3. Hissəni tapın z bölmədən z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Tənliyi həll edin: , x Və y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Kompleks ədədlərin bərabərliyinə görə bizdə:

harada x =–1 , y= 4.

5. Hesablayın: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Əgər varsa hesablayın.

.

7. Ədədin əksini hesablayın z=3-i.

Triqonometrik formada mürəkkəb ədədlər

Kompleks təyyarə kartezyen koordinatları olan müstəvi adlanır ( x, y), koordinatları olan hər bir nöqtə ( a, b) mürəkkəb ədədlə əlaqələndirilir z = a + bi. Bu halda absis oxu deyilir real ox, və ordinat oxudur xəyali. Sonra hər bir kompleks ədəd a+bi həndəsi şəkildə müstəvidə nöqtə kimi təsvir edilmişdir A (a, b) və ya vektor.

Buna görə də nöqtənin mövqeyi A(və buna görə də kompleks bir ədəd z) vektorunun uzunluğu ilə təyin edilə bilər | = r və bucaq j, vektoru ilə | | real oxun müsbət istiqaməti ilə. Vektorun uzunluğu deyilir kompleks ədədin modulu və | ilə işarələnir z |=r, və bucaq jçağırdı mürəkkəb ədəd arqumenti və təyin edilir j = arg z.

Aydındır ki, | z| ³ 0 və | z | = 0 Û z = 0.

Şəkildən. 2 aydındır ki.

Mürəkkəb ədədin arqumenti birmənalı deyil, lakin 2 dəqiqliyi ilə müəyyən edilir pk,kÎ Z.

Şəkildən. 2 də aydın olur ki, əgər z=a+bi Və j=arg z, Bu

cos j =,günah j =, tg j =.

Əgər zÎR Və z> 0, onda arg z = 0 +2pk;

Əgər z ОR Və z< 0, onda arg z = p + 2pk;

Əgər z = 0,arg z müəyyənləşdirilmişdir.

Arqumentin əsas dəyəri 0 intervalında müəyyən edilir £ arg z£2 p,

və ya -səh£ arg z £ p.

Nümunələr:

1. Kompleks ədədlərin modulunu tapın z 1 = 4 – 3i Və z 2 = –2–2i.

2. Şərtlərlə müəyyən edilmiş kompleks müstəvidə sahələri müəyyənləşdirin:

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+i) | £3; 4) £6 | z – i| £7.

Həll və cavablar:

1) | z| = 5 Û Û - radiusu 5 və mərkəzi başlanğıcda olan dairənin tənliyi.

2) Mərkəzi başlanğıcda olan radiusu 6 olan dairə.

3) Radiusu 3 olan dairə, mərkəzi nöqtədə z 0 = 2 + i.

4) Bir nöqtədə mərkəzi olan radiusları 6 və 7 olan dairələrlə məhdudlaşan halqa z 0 = i.

3. Ədədlərin modulunu və arqumentini tapın: 1) ; 2) .

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ ,

.

İpucu: Əsas arqumenti təyin edərkən kompleks müstəvidən istifadə edin.

Beləliklə: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 =, .

4) , r 4 = 1, j 4 =, .

KOMPLEKS NÖMRƏLƏR XI

§ 256. Kompleks ədədlərin triqonometrik forması

Kompleks ədəd olsun a + bi vektoruna uyğundur O.A.> koordinatları ilə ( a, b ) (bax Şəkil 332).

Bu vektorun uzunluğunu ilə işarə edək r , və ox ilə etdiyi bucaq X , vasitəsilə φ . Sinus və kosinusun tərifinə görə:

a / r = cos φ , b / r = günah φ .

Buna görə də A = r cos φ , b = r günah φ . Ancaq bu vəziyyətdə kompleks nömrə a + bi kimi yazmaq olar:

a + bi = r cos φ + ir günah φ = r (cos φ + i günah φ ).

Məlum olduğu kimi, istənilən vektorun uzunluğunun kvadratı məbləğinə bərabərdir onun koordinatlarının kvadratları. Buna görə də r 2 = a 2 + b 2, haradan r = √a 2 + b 2

Belə ki, istənilən kompleks ədəd a + bi şəklində təmsil oluna bilər :

a + bi = r (cos φ + i günah φ ), (1)

harada r = √a 2 + b 2 və bucaq φ şərtlə müəyyən edilir:

Mürəkkəb ədədlərin yazılmasının bu forması deyilir triqonometrik.

Nömrə r düsturda (1) deyilir modul, və bucaq φ - arqument, kompleks ədəd a + bi .

Əgər mürəkkəb ədəddirsə a + bi sıfıra bərabər deyil, onda onun modulu müsbətdir; əgər a + bi = 0, onda a = b = 0 və sonra r = 0.

Hər hansı bir kompleks ədədin modulu unikal şəkildə müəyyən edilir.

Əgər mürəkkəb ədəddirsə a + bi sıfıra bərabər deyilsə, onun arqumenti (2) düsturları ilə müəyyən edilir. mütləq 2-ə bölünən bucaq üçün dəqiqdir π . Əgər a + bi = 0, onda a = b = 0. Bu halda r = 0. (1) düsturundan bunu arqument kimi başa düşmək asandır φ V bu halda istənilən bucağı seçə bilərsiniz: hər halda φ

0 (cos φ + i günah φ ) = 0.

Buna görə də null arqumenti qeyri-müəyyəndir.

Kompleks ədədin modulu r bəzən | işarələnir z |, və arg arqumenti z . Mürəkkəb ədədlərin triqonometrik formada təqdim edilməsinə dair bir neçə nümunəyə baxaq.

Misal. 1. 1 + i .

Gəlin modulu tapaq r və mübahisə φ bu nömrə.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Buna görə də günah φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, haradandır φ = π / 4 + 2nπ .

Beləliklə,

1 + i = √ 2 ,

Harada P - istənilən tam ədəd. Adətən, kompleks ədədin arqumentinin sonsuz dəyər dəstindən 0 ilə 2 arasında olan biri seçilir. π . Bu halda, bu dəyər π / 4 . Buna görə də

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i günah π / 4)

Misal 2. Kompleks ədədi triqonometrik formada yazın √ 3 - i . Bizdə:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, günah φ = - 1 / 2

Buna görə də 2-ə bölünən bucağa qədər π , φ = 11 / 6 π ; deməli,

√ 3 - i = 2(cos 11/6 π + i günah 11/6 π ).

Misal 3 Kompleks ədədi triqonometrik formada yazın i.

Kompleks nömrə i vektoruna uyğundur O.A.> , oxun A nöqtəsində bitir saat ordinat 1 ilə (şək. 333). Belə vektorun uzunluğu 1-dir və onun x oxu ilə etdiyi bucaq bərabərdir π / 2. Buna görə də

i = cos π / 2 + i günah π / 2 .

Misal 4. 3 kompleks nömrəsini triqonometrik formada yazın.

3 nömrəli kompleks vektora uyğundur O.A. > X absis 3 (şək. 334).

Belə vektorun uzunluğu 3, x oxu ilə etdiyi bucaq isə 0-dır

3 = 3 (cos 0 + i günah 0),

Misal 5.-5 kompleks ədədini triqonometrik formada yazın.

Kompleks sayı -5 vektora uyğundur O.A.> bir ox nöqtəsində bitən X absis ilə -5 (şək. 335). Belə vektorun uzunluğu 5-dir və onun x oxu ilə yaratdığı bucaq bərabərdir π . Buna görə də

5 = 5 (cos π + i günah π ).

Məşqlər

2047. Bu mürəkkəb ədədləri onların modullarını və arqumentlərini təyin edərək triqonometrik formada yazın:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Müstəvidə modulları r və arqumentləri φ şərtləri ödəyən kompleks ədədləri təmsil edən nöqtələr toplusunu göstərin:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Ədədlər eyni zamanda kompleks ədədin modulu ola bilərmi? r Və - r ?

2050. Kompleks ədədin arqumenti eyni zamanda bucaq ola bilərmi? φ Və - φ ?

Bu kompleks ədədləri triqonometrik formada təqdim edin, onların modullarını və arqumentlərini təyin edin:

2051*. 1 + cos α + i günah α . 2054*. 2(20° - i günah 20°).

2052*. günah φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i günah 15°).