Funksiyaların növləri və onların qrafikləri cədvəli. Funksiyaların əsas xassələri. Xətti funksiyanın xassələri

Güc funksiyası. Bu funksiyadır: y = axn, Harada a, n- daimi. At n= 1 alırıq birbaşa mütənasiblik: y = balta; n = 2 - saat ; n = - 1 - kvadrat parabola tərs mütənasiblik və ya. hiperbola Beləliklə, bu funksiyalar güc funksiyasının xüsusi hallarıdır. Biz bilirik ki, sıfırdan fərqli hər hansı bir ədədin sıfır gücüdür 1, buna görə də, at n= 0 güc funksiyası sabit dəyərə çevrilir: = y a , yəni. onun cədvəli düz xətt, oxa paralelX, mənşəyi istisna olmaqla ( zəhmət olmasa izah edin y= 1 ) Niyə ? ). Bütün bu hallar (ile (nŞəkil 13-də göstərilmişdir 0) və Şək. 14 ( < 0). Отрицательные значения nx burada nəzərə alınmır, yəni

çağırdı kub parabola Şəkil 16 funksiyanı göstərir. = 0 güc funksiyası sabit dəyərə çevrilir: = n 2 Bu. funksiyasıdır kvadrat parabolaya tərs, onun qrafiki kvadrat parabolanın qrafikini 1-ci koordinat bucağının bissektrisasının ətrafında fırlatmaqla əldə edilir.

Bu, hər hansı tərs funksiyanın qrafikini onun ilkin funksiyasının qrafikindən əldə etmək üsuludur. Qrafikdən görürük ki, bu, ikiqiymətli funksiyadır (bu, qarşısındakı ± işarəsi ilə də göstərilir. kvadrat kök 1, buna görə də, at). Bu cür funksiyalar elementar riyaziyyatda öyrənilmir, ona görə də funksiya kimi biz adətən onun qollarından birini nəzərdən keçiririk: yuxarı və ya aşağı.

Əsas elementar funksiyalar

bunlardır: sabit funksiya (sabit), kök -ci dərəcə, güc funksiyası, eksponensial, loqarifmik funksiya, triqonometrik və tərs triqonometrik funksiyalar. Daimi funksiya. Sabit funksiya bütün həqiqi ədədlər çoxluğunda düsturla verilir, burada C - bəzi real rəqəm. Daimi funksiya müstəqil dəyişənin hər bir faktiki dəyərini əlaqələndirir x asılı dəyişənin eyni dəyəri y

- məna İLƏ. Sabit funksiyaya sabit də deyilir. Sabit funksiyanın qrafiki x oxuna paralel və koordinatları olan nöqtədən keçən düz xəttdir.,(0,C) və , aşağıdakı şəkildəki müvafiq olaraq qara, qırmızı və mavi xətlərə uyğundur.

Sabit funksiyanın xassələri.

Domen: real ədədlərin bütün dəsti.

Sabit funksiya cütdür.

Dəyərlər diapazonu: ibarət dəst tək asılı dəyişənin eyni dəyəri.

Daimi funksiya artan və azalmayandır (buna görə də sabitdir).

Sabitin qabarıqlığı və qabarıqlığı haqqında danışmağın mənası yoxdur.

Asimptotlar yoxdur.

Funksiya nöqtədən keçir İLƏ koordinat müstəvisi.

n-ci dərəcəli kök.

Burada düsturla verilən əsas elementar funksiyanı nəzərdən keçirək 1, buna görə də, at – natural ədəd, birdən böyük.

n-ci kök, n cüt ədəddir.

Kök funksiyasından başlayaq 1, buna görə də, at-kök eksponentin cüt dəyərləri üçün güc 1, buna görə də, at.

Nümunə olaraq, burada funksiya qrafiklərinin təsvirləri olan bir şəkil var və , onlar qara, qırmızı və mavi xətlərə uyğundur.

Cüt dərəcəli kök funksiyalarının qrafikləri eksponentin digər qiymətləri üçün oxşar görünüşə malikdir.

Kök funksiyasının xassələri1, buna görə də, at - hətta üçün güc1, buna görə də, at .

n-ci kök, n tək ədəddir.

Kök funksiyası 1, buna görə də, at-tək kök eksponenti ilə -inci güc 1, buna görə də, at bütün həqiqi ədədlər toplusunda müəyyən edilir. Məsələn, burada funksiya qrafikləri var və , onlar qara, qırmızı və mavi əyrilərə uyğundur.

Kök eksponentin digər tək qiymətləri üçün funksiya qrafikləri oxşar görünüşə malik olacaq.

Kök funksiyasının xassələri1, buna görə də, at - tək üçün güc1, buna görə də, at .

Quraşdırma funksiyası

Diqqətinizə bütün hüquqları şirkətə məxsus olan onlayn funksiya qrafiklərinin qurulması xidmətini təklif edirik Desmos. Funksiyaları daxil etmək üçün sol sütundan istifadə edin. Siz əl ilə və ya pəncərənin altındakı virtual klaviaturadan istifadə edərək daxil edə bilərsiniz. Pəncərəni qrafiklə böyütmək üçün həm sol sütunu, həm də virtual klaviaturanı gizlədə bilərsiniz.

Onlayn diaqramın üstünlükləri

• Daxil edilmiş funksiyaların vizual göstərilməsi
• Çox mürəkkəb qrafiklərin qurulması
• Dolayı şəkildə göstərilən qrafiklərin qurulması (məsələn, ellips x^2/9+y^2/16=1)
• Diaqramları saxlamaq və İnternetdə hər kəs üçün əlçatan olan onlara keçid almaq imkanı
• Şkala, xətt rənginə nəzarət
• Qrafiklərin nöqtələr üzrə çəkilməsi, sabitlərdən istifadə etmək imkanı
• Bir neçə funksiya qrafikinin eyni vaxtda çəkilməsi
• Qütb koordinatlarında qrafiklər (r və θ(\theta) istifadə edin)

Bizimlə onlayn olaraq müxtəlif mürəkkəblikdə qrafiklər qurmaq asandır. Tikinti dərhal həyata keçirilir. Xidmət funksiyaların kəsişmə nöqtələrini tapmaq, problemlərin həlli zamanı illüstrasiyalar kimi onları Word sənədinə köçürmək üçün qrafikləri təsvir etmək və funksiya qrafiklərinin davranış xüsusiyyətlərini təhlil etmək üçün tələb olunur. Bu veb-sayt səhifəsində qrafiklərlə işləmək üçün optimal brauzer Google Chrome-dur. Digər brauzerlərdən istifadə edərkən düzgün işləməyə zəmanət verilmir.

Bilik əsas elementar funksiyalar, onların xassələri və qrafikləri vurma cədvəllərini bilməkdən az əhəmiyyətli deyil. Onlar bünövrə kimidirlər, hər şey onlara əsaslanır, hər şey onlardan qurulur və hər şey onların üzərinə düşür.

Bu yazıda biz bütün əsas elementar funksiyaları sadalayacağıq, onların qrafiklərini təqdim edəcəyik və nəticə və sübut olmadan verəcəyik. əsas elementar funksiyaların xassələri sxemə görə:

• funksiyanın tərif sahəsinin, şaquli asimptotların sərhədlərində davranışı (lazım olduqda, funksiyanın kəsilmə nöqtələrinin məqalə təsnifatına baxın);
• cüt və tək;
• qabarıqlıq (yuxarı qabarıqlıq) və qabarıqlıq (aşağıya doğru qabarıqlıq), əyilmə nöqtələri (lazım olduqda, funksiyanın qabarıqlığına, qabarıqlığın istiqamətinə, əyilmə nöqtələrinə, qabarıqlıq və əyilmə şərtlərinə baxın);
• əyri və üfüqi asimptotlar;
• funksiyaların tək nöqtələri;
• bəzi funksiyaların xüsusi xassələri (məsələn, triqonometrik funksiyaların ən kiçik müsbət dövrü).

Əgər maraqlanırsınızsa və ya, onda nəzəriyyənin bu bölmələrinə keçə bilərsiniz.

Əsas elementar funksiyalar bunlardır: sabit funksiya (sabit), n-ci kök, güc funksiyası, eksponensial, loqarifmik funksiya, triqonometrik və tərs triqonometrik funksiyalar.

Səhifə naviqasiyası.

Əsas elementar funksiyalar

Sabit funksiya bütün həqiqi ədədlər çoxluğunda düsturla müəyyən edilir, burada C bəzi həqiqi ədəddir. Sabit funksiya x müstəqil dəyişənin hər bir real qiymətini y asılı dəyişənin eyni qiyməti ilə - C dəyəri ilə əlaqələndirir. Sabit funksiyaya sabit də deyilir.

Sabit funksiyanın qrafiki x oxuna paralel və koordinatları (0,C) olan nöqtədən keçən düz xəttdir. Nümunə olaraq aşağıdakı şəkildə qara, qırmızı və mavi xətlərə uyğun gələn y=5, y=-2 və sabit funksiyalarının qrafiklərini göstərəcəyik.

Sabit funksiyanın xassələri.

• Domen: real ədədlərin bütün dəsti.
• Sabit funksiya cütdür.
• Qiymətlər diapazonu: tək C ədədindən ibarət çoxluq.
• Daimi funksiya artan və azalmayandır (buna görə də sabitdir).
• Sabitin qabarıqlığı və qabarıqlığı haqqında danışmağın mənası yoxdur.
• Asimptotlar yoxdur.
• Funksiya koordinat müstəvisinin (0,C) nöqtəsindən keçir.

n-ci dərəcəli kök.

Düsturu ilə verilən əsas elementar funksiyanı nəzərdən keçirək, burada n birdən böyük natural ədəddir.

n-ci dərəcəli kök, n cüt ədəddir.

N kök göstəricisinin cüt dəyərləri üçün n-ci kök funksiyasından başlayaq.

Nümunə olaraq, burada funksiya qrafiklərinin təsvirləri olan bir şəkil var və , onlar qara, qırmızı və mavi xətlərə uyğundur.

Cüt dərəcəli kök funksiyalarının qrafikləri eksponentin digər qiymətləri üçün oxşar görünüşə malikdir.

Cüt n üçün n-ci kök funksiyasının xassələri.

n-ci kök, n tək ədəddir.

Tək kök göstəricisi n olan n-ci kök funksiyası bütün həqiqi ədədlər toplusunda müəyyən edilir. Məsələn, burada funksiya qrafikləri var və , onlar qara, qırmızı və mavi əyrilərə uyğundur.

Kök eksponentin digər tək qiymətləri üçün funksiya qrafikləri oxşar görünüşə malik olacaq.

Tək n üçün n-ci kök funksiyasının xassələri.

Güc funksiyası.

Güc funksiyası formanın düsturu ilə verilir.

Qüvvət funksiyasının qrafiklərinin formasını və eksponentin qiymətindən asılı olaraq güc funksiyasının xassələrini nəzərdən keçirək.

Tam eksponent a olan güc funksiyasından başlayaq. Bu zaman güc funksiyalarının qrafiklərinin görünüşü və funksiyaların xassələri eksponentin bərabər və ya təkliyindən, həmçinin işarəsindən asılıdır. Buna görə də, əvvəlcə a eksponentinin tək müsbət qiymətləri, sonra cüt müsbət göstəricilər, sonra tək mənfi eksponentlər və nəhayət, hətta mənfi a üçün güc funksiyalarını nəzərdən keçirəcəyik.

Kəsrə və irrasional göstəricilərə malik güc funksiyalarının xassələri (həmçinin belə güc funksiyalarının qrafiklərinin növü) a eksponentinin qiymətindən asılıdır. Onları, birincisi, sıfırdan birə, ikincisi, birdən böyük üçün, üçüncüsü, mənfi birdən sıfıra qədər, dördüncü, mənfi birdən kiçik üçün nəzərdən keçirəcəyik.

Bu bölmənin sonunda tamlıq üçün sıfır eksponentli güc funksiyasını təsvir edəcəyik.

Tək müsbət eksponentli güc funksiyası.

Tək müsbət göstəricili, yəni a = 1,3,5,... olan güc funksiyasını nəzərdən keçirək.

Aşağıdakı şəkildə güc funksiyalarının qrafikləri göstərilir – qara xətt, – mavi xətt, – qırmızı xətt, – yaşıl xətt. a=1 üçün bizdə var xətti funksiya y=x.

Tək müsbət eksponentli güc funksiyasının xassələri.

Hətta müsbət göstərici ilə güc funksiyası.

Cüt müsbət göstəricili güc funksiyasını nəzərdən keçirək, yəni a = 2,4,6,... üçün.

Nümunə olaraq güc funksiyalarının qrafiklərini veririk – qara xətt, – mavi xətt, – qırmızı xətt. a=2 üçün bizdə var kvadrat funksiya, kimin qrafikidir kvadratik parabola.

Cüt müsbət eksponentli güc funksiyasının xassələri.

Tək mənfi eksponentli güc funksiyası.

Eksponentin tək mənfi qiymətləri üçün güc funksiyasının qrafiklərinə baxın, yəni a = -1, -3, -5,....

Şəkildə misal olaraq güc funksiyalarının qrafikləri göstərilir - qara xətt, - mavi xətt, - qırmızı xətt, - yaşıl xətt. a=-1 üçün bizdə var kvadrat parabola, kimin qrafikidir hiperbola.

Tək mənfi eksponentli güc funksiyasının xassələri.

Hətta mənfi eksponentli güc funksiyası.

a=-2,-4,-6,… üçün güc funksiyasına keçək.

Şəkildə güc funksiyalarının qrafikləri göstərilir – qara xətt, – mavi xətt, – qırmızı xətt.

Cüt mənfi eksponentli güc funksiyasının xassələri.

Qiyməti sıfırdan böyük və birdən kiçik olan rasional və ya irrasional eksponentli güc funksiyası.

Diqqət edin!Əgər a tək məxrəcli müsbət kəsrdirsə, onda bəzi müəlliflər güc funksiyasının təyinetmə sahəsini interval hesab edirlər. Müəyyən edilmişdir ki, a eksponenti azalmayan kəsrdir. İndi cəbr və təhlilin başlanğıcı üzrə bir çox dərsliklərin müəllifləri arqumentin mənfi qiymətləri üçün tək məxrəcli kəsr şəklində eksponentlə güc funksiyalarını TƏYİD ETMİR. Biz məhz bu fikrə əməl edəcəyik, yəni çoxluğu kəsr müsbət göstəriciləri olan güc funksiyalarının təyini oblastları hesab edəcəyik. Tələbələrə fikir ayrılıqlarının qarşısını almaq üçün müəlliminizin bu incə məqamla bağlı fikrini öyrənməyi tövsiyə edirik.

Rasional və ya irrasional göstəricisi a olan güc funksiyasını nəzərdən keçirək.

a=11/12 (qara xətt), a=5/7 (qırmızı xətt), (mavi xətt), a=2/5 (yaşıl xətt) üçün güc funksiyalarının qrafiklərini təqdim edək.

Tam olmayan rasional və ya irrasional eksponenti birdən böyük olan güc funksiyası.

Tam ədədi olmayan rasional və ya irrasional göstəricisi a olan güc funksiyasını nəzərdən keçirək.

Güc funksiyalarının qrafiklərini təqdim edək, düsturlarla verilir (müvafiq olaraq qara, qırmızı, mavi və yaşıl xətlər).

a eksponentinin digər qiymətləri üçün funksiyanın qrafikləri oxşar görünüşə malik olacaqdır.

-də güc funksiyasının xassələri.

Həqiqi eksponenti mənfi birdən böyük və sıfırdan kiçik olan güc funksiyası.

Diqqət edin!Əgər a tək məxrəcli mənfi kəsrdirsə, onda bəzi müəlliflər güc funksiyasının tərif sahəsini interval hesab edirlər. . Müəyyən edilmişdir ki, a eksponenti azalmayan kəsrdir. İndi cəbr və təhlilin başlanğıcı üzrə bir çox dərsliklərin müəllifləri arqumentin mənfi qiymətləri üçün tək məxrəcli kəsr şəklində eksponentlə güc funksiyalarını TƏYİD ETMİR. Biz məhz bu fikrə sadiq qalacağıq, yəni kəsr mənfi göstəriciləri olan dərəcə funksiyalarının təyini sahələrini müvafiq olaraq çoxluq hesab edəcəyik. Tələbələrə fikir ayrılıqlarının qarşısını almaq üçün müəlliminizin bu incə məqamla bağlı fikrini öyrənməyi tövsiyə edirik.

Gəlin güc funksiyasına keçək, kgod.

Güc funksiyalarının qrafiklərinin forması haqqında yaxşı təsəvvürə malik olmaq üçün funksiyaların qrafiklərinə nümunələr veririk. (müvafiq olaraq qara, qırmızı, mavi və yaşıl əyrilər).

a, eksponentli güc funksiyasının xassələri.

Tam olmayan real eksponenti mənfi birdən kiçik olan güc funksiyası.

üçün güc funksiyalarının qrafiklərinə nümunələr verək , onlar müvafiq olaraq qara, qırmızı, mavi və yaşıl xətlərlə təsvir edilmişdir.

Tam olmayan mənfi eksponenti mənfi birdən kiçik olan güc funksiyasının xassələri.

a = 0 olduqda, funksiyamız var - bu, (0;1) nöqtəsinin xaric edildiyi düz xəttdir (0 0 ifadəsinə heç bir əhəmiyyət verməmək razılaşdırıldı).

Eksponensial funksiya.

Əsas elementar funksiyalardan biri eksponensial funksiyadır.

Cədvəl eksponensial funksiya, burada və əsasın qiymətindən asılı olaraq müxtəlif formalar alır a. Gəlin bunu anlayaq.

Əvvəlcə eksponensial funksiyanın əsasının sıfırdan 1-ə qədər qiymət alması halını nəzərdən keçirək, yəni .

Nümunə olaraq a = 1/2 – mavi xətt, a = 5/6 – qırmızı xətt üçün eksponensial funksiyanın qrafiklərini təqdim edirik. Eksponensial funksiyanın qrafikləri bazanın digər qiymətləri üçün intervaldan oxşar görünüşə malikdir.

Əsası birdən kiçik olan eksponensial funksiyanın xassələri.

Eksponensial funksiyanın əsasının birdən böyük olması halına keçək, yəni .

Bir illüstrasiya olaraq, eksponensial funksiyaların qrafiklərini təqdim edirik - mavi xətt və - qırmızı xətt. Bazanın birdən böyük digər qiymətləri üçün eksponensial funksiyanın qrafikləri oxşar görünüşə malik olacaqdır.

Əsası birdən böyük olan eksponensial funksiyanın xassələri.

Loqarifmik funksiya.

Növbəti əsas elementar funksiya loqarifmik funksiyadır, burada , . Loqarifmik funksiya yalnız arqumentin müsbət qiymətləri üçün, yəni üçün müəyyən edilir.

Loqarifmik funksiyanın qrafiki a əsasının qiymətindən asılı olaraq müxtəlif formalar alır.