Sərt cismin sabit ox ətrafında fırlanması. Sərt cismin sabit ox ətrafında fırlanma hərəkəti Sabit ox ətrafında fırlanma hərəkəti qanunu

TƏRİF: Sərt cismin fırlanma hərəkəti bədənin bütün nöqtələrinin dairələr şəklində hərəkət etdiyi, mərkəzləri eyni düz xətt üzərində olan belə bir hərəkəti fırlanma oxu adlandıracağıq.

Fırlanmanın dinamikasını öyrənmək üçün məlum kinematik kəmiyyətlərə əlavə edirik iki miqdar: güc anı(M) və ətalət anı(J).

1. Təcrübədən məlumdur: fırlanma hərəkətinin sürətlənməsi təkcə cismə təsir edən qüvvənin böyüklüyündən deyil, həm də fırlanma oxundan qüvvənin hərəkət etdiyi xəttə qədər olan məsafədən də asılıdır. Bu vəziyyəti xarakterizə etmək üçün fiziki kəmiyyət çağırılır güc anı.

Ən sadə halı nəzərdən keçirək.

TƏRİF: Müəyyən bir “O” nöqtəsi ətrafında qüvvənin momenti ifadəsi ilə müəyyən edilən vektor kəmiyyətidir, burada “O” nöqtəsindən qüvvənin tətbiqi nöqtəsinə çəkilmiş radius vektoru.

Tərifdən belə çıxır ki, bu eksenel vektordur. Onun istiqaməti elə seçilir ki, vektorun “O” nöqtəsi ətrafında qüvvə və vektor istiqamətində fırlanması sağ əlli sistem təşkil etsin. Qüvvə momentinin modulu bərabərdir, burada a vektorların istiqamətləri arasındakı bucaq və , və l= r günah a “O” nöqtəsindən qüvvənin təsir etdiyi düz xəttə endirilən perpendikulyarın uzunluğudur (adlanır). güc çiyin“O” nöqtəsinə nisbətən) (şək. 4.2).

2. Eksperimental məlumatlar göstərir ki, bucaq sürətlənməsinin böyüklüyünə təkcə fırlanan cismin kütləsi deyil, həm də fırlanma oxuna nisbətən kütlənin paylanması da təsir göstərir. Bu vəziyyəti nəzərə alan kəmiyyət deyilir ətalət anı fırlanma oxuna nisbətən.

TƏRİF: Düzünü desək, ətalət anı müəyyən bir fırlanma oxuna nisbətən cismə elementar kütlələrin məhsullarının verilmiş oxdan olan məsafələrinin kvadratları ilə cəminə bərabər olan J dəyəri deyilir.

Toplama, bədənin bölündüyü bütün elementar kütlələr üzərində aparılır. Nəzərə almaq lazımdır ki, bu kəmiyyət (J) fırlanmadan asılı olmayaraq mövcuddur (baxmayaraq ki, sərt cismin fırlanması nəzərə alınarkən ətalət anı anlayışı tətbiq edilmişdir).

Hərəkətdə və ya fırlanma vəziyyətində olmasından asılı olmayaraq hər bir cismin hər hansı oxa nisbətən müəyyən ətalət momenti vardır, necə ki, cismin hərəkət və ya sükunət vəziyyətindən asılı olmayaraq kütləsi var.

Nəzərə alsaq, ətalət momenti aşağıdakı kimi göstərilə bilər: . Bu əlaqə təxminidir və elementar həcmlər və müvafiq kütlə elementləri nə qədər kiçik olsa, bir o qədər dəqiq olar. Nəticə etibarilə, ətalət anlarının tapılması vəzifəsi inteqrasiyaya düşür: . Burada inteqrasiya bədənin bütün həcmi üzərində həyata keçirilir.

Düzgün həndəsi formalı bəzi cisimlərin ətalət momentlərini yazaq.

1. Uniforma uzun çubuq.
düyü. 4.3	Çubuğun ortasından keçən və çubuğa perpendikulyar olan ox ətrafında ətalət momenti bərabərdir
2. Möhkəm silindr və ya disk.
düyü. 4.4	Həndəsi oxla üst-üstə düşən ox ətrafında ətalət anı bərabərdir.
3. R ​​radiuslu nazik divarlı silindr.
düyü. 4.5
4. Radius R olan topun mərkəzindən keçən oxa nisbətən ətalət anı
düyü. 4.6
5. Nazik diskin ətalət anı (qalınlığı b<
düyü. 4.7
6. Blokun ətalət anı
düyü. 4.8
7. Halqanın ətalət anı
düyü. 4.9

Burada ətalət anının hesablanması olduqca sadədir, çünki Cismin homojen və simmetrik olduğu qəbul edilir və ətalət anı simmetriya oxuna nisbətən müəyyən edilir.

Cismin hər hansı oxa nisbətən ətalət momentini təyin etmək üçün Ştayner teoremindən istifadə etmək lazımdır.

TƏRİF: İxtiyari ox ətrafında ətalət anı J verilmişə paralel olan və bədənin ətalət mərkəzindən keçən oxa nisbətən J c ətalət anının cəminə və cismin kütləsinin oxlar arasındakı məsafənin kvadratına məhsuluna bərabərdir (Şəkil 2). 4.10).

Bu məqalədə fizikanın mühüm bölməsi - “Fırlanma hərəkətinin kinematikası və dinamikası” təsvir edilmişdir.

Fırlanma hərəkətinin kinematikasının əsas anlayışları

Maddi nöqtənin sabit ox ətrafında fırlanma hərəkəti belə hərəkət adlanır ki, onun trayektoriyası oxa perpendikulyar müstəvidə yerləşən dairədir və mərkəzi fırlanma oxunda yerləşir.

Sərt cismin fırlanma hərəkəti maddi nöqtənin fırlanma hərəkəti qaydasına uyğun olaraq bədənin bütün nöqtələrinin konsentrik (mərkəzləri eyni oxda yerləşən) dairələr boyunca hərəkət etdiyi hərəkətdir.

İxtiyari sərt cismin T cizgi müstəvisinə perpendikulyar olan O oxu ətrafında dönsün. Bu cismin üzərində M nöqtəsini seçək.Bu nöqtə fırlanan zaman O oxu ətrafında radiuslu dairəni təsvir edəcək. r.

Bir müddət sonra radius orijinal vəziyyətinə nisbətən Δφ bucağı ilə fırlanacaq.

Sağ vidanın istiqaməti (saat istiqamətində) müsbət fırlanma istiqaməti kimi qəbul edilir. Zamanla fırlanma bucağının dəyişməsi sərt cismin fırlanma hərəkətinin tənliyi adlanır:

φ = φ(t).

Əgər φ radyanla ölçülürsə (1 rad onun radiusuna bərabər uzunluqlu qövsə uyğun bucaqdır), onda M maddi nöqtəsinin Δt vaxtında keçəcəyi dairəvi qövsün uzunluğu ΔS bərabərdir:

ΔS = Δφr.

Vahid fırlanma hərəkətinin kinematikasının əsas elementləri

Qısa müddət ərzində maddi nöqtənin hərəkətinin ölçüsü dt elementar fırlanma vektoru kimi xidmət edir dφ.

Maddi nöqtənin və ya cismin bucaq sürəti elementar fırlanma vektorunun bu fırlanma müddətinə nisbəti ilə müəyyən edilən fiziki kəmiyyətdir. Vektorun istiqamətini O oxu boyunca sağ vint qaydası ilə təyin etmək olar.Skalar formada:

ω = dφ/dt.

Əgər ω = dφ/dt = sabit, onda belə hərəkət vahid fırlanma hərəkəti adlanır. Onunla bucaq sürəti düsturla müəyyən edilir

ω = φ/t.

İlkin düstura görə, bucaq sürətinin ölçüsü

[ω] = 1 rad/s.

Bir cismin vahid fırlanma hərəkəti fırlanma müddəti ilə təsvir edilə bilər. Fırlanma müddəti T, cismin fırlanma oxu ətrafında bir tam dövr etmə müddətini təyin edən fiziki kəmiyyətdir ([T] = 1 s). Əgər bucaq sürəti düsturunda t = T, φ = 2 π (r radiusunun bir tam dövrəsi) götürsək, onda

ω = 2π/T,

Beləliklə, fırlanma müddətini aşağıdakı kimi müəyyənləşdiririk:

T = 2π/ω.

Bir cismin vahid vaxtda etdiyi dövrlərin sayı ν fırlanma tezliyi adlanır və bu, bərabərdir:

ν = 1/T.

Tezlik vahidləri: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Bucaq sürəti və fırlanma tezliyi üçün düsturları müqayisə edərək, bu kəmiyyətləri birləşdirən bir ifadə əldə edirik:

ω = 2πν.

Qeyri-bərabər fırlanma hərəkətinin kinematikasının əsas elementləri

Sərt cismin və ya maddi nöqtənin sabit ox ətrafında qeyri-bərabər fırlanma hərəkəti zamanla dəyişən bucaq sürəti ilə xarakterizə olunur.

Vektor ε , bucaq sürətinin dəyişmə sürətini xarakterizə edən bucaq sürətləndirici vektoru adlanır:

ε = dω/dt.

Bir bədən fırlanırsa, sürətlənirsə, yəni dω/dt > 0, vektor ω ilə eyni istiqamətdə ox boyunca istiqamətə malikdir.

Fırlanma hərəkəti yavaş olarsa - dω/dt< 0 , onda ε və ω vektorları əks istiqamətə yönəldilir.

Şərh. Qeyri-bərabər fırlanma hərəkəti baş verdikdə, ω vektoru təkcə böyüklükdə deyil, həm də istiqamətdə dəyişə bilər (fırlanma oxunun fırlanması zamanı).

Tərcümə və fırlanma hərəkətini xarakterizə edən kəmiyyətlər arasında əlaqə

Məlumdur ki, qövs uzunluğu radiusun fırlanma bucağı və onun dəyəri ilə əlaqə ilə bağlıdır.

ΔS = Δφ r.

Sonra fırlanma hərəkətini yerinə yetirən maddi nöqtənin xətti sürəti

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Fırlanma köçürmə hərəkətini yerinə yetirən maddi nöqtənin normal sürətlənməsi aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Beləliklə, skalyar formada

a = ω 2 r.

Fırlanma hərəkətini yerinə yetirən tangensial sürətlənmiş material nöqtəsi

a = ε r.

Maddi nöqtənin momentumu

Kütləsi m i olan maddi nöqtənin trayektoriyasının radius vektorunun və onun impulsunun vektor hasilinə bu nöqtənin fırlanma oxu ətrafında bucaq impulsu deyilir. Vektorun istiqaməti düzgün vida qaydasından istifadə etməklə müəyyən edilə bilər.

Maddi nöqtənin momentumu ( L i) r i və υ i vasitəsilə çəkilmiş müstəviyə perpendikulyar yönəldilir və onlarla vektorların sağ üçqatını əmələ gətirir (yəni vektorun ucundan hərəkət edərkən r i Kimə υ i sağ vida vektorun istiqamətini göstərəcək L i).

Skalar formada

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Dairədə hərəkət edərkən i-ci maddi nöqtə üçün radius vektoru ilə xətti sürət vektorunun qarşılıqlı perpendikulyar olduğunu nəzərə alsaq,

sin(υ i , r i) = 1.

Beləliklə, fırlanma hərəkəti üçün maddi nöqtənin bucaq momenti formasını alacaqdır

L = m i υ i r i .

i-ci maddi nöqtəyə təsir edən qüvvə momenti

Qüvvənin tətbiqi nöqtəsinə çəkilmiş radius vektorunun vektor hasilinə və bu qüvvəyə fırlanma oxuna nisbətən i-ci maddi nöqtəyə təsir edən qüvvənin momenti deyilir.

Skalar formada

M i = r i F i sin(r i , F i).

Bunu nəzərə alaraq r i sinα = l i ,M i = l i F i .

Böyüklük l i, fırlanma nöqtəsindən qüvvənin təsir istiqamətinə endirilən perpendikulyarın uzunluğuna bərabər olan qüvvənin qolu adlanır. F i.

Fırlanma hərəkətinin dinamikası

Fırlanma hərəkətinin dinamikası üçün tənlik aşağıdakı kimi yazılır:

M = dL/dt.

Qanunun tərtibi belədir: sabit ox ətrafında fırlanan cismin bucaq impulsunun dəyişmə sürəti cismə tətbiq olunan bütün xarici qüvvələrin bu oxuna nisbətən yaranan anına bərabərdir.

İmpuls momenti və ətalət anı

Məlumdur ki, i-ci maddi nöqtə üçün skalyar formada bucaq impulsu düsturla verilir

L i = m i υ i r i .

Əgər xətti sürət əvəzinə onun ifadəsini bucaq sürəti ilə əvəz etsək:

υ i = ωr i,

onda bucaq impulsunun ifadəsi şəklini alacaq

L i = m i r i 2 ω.

Böyüklük I i = m i r i 2 kütlə mərkəzindən keçən mütləq sərt cismin i-ci maddi nöqtəsinin oxuna nisbətən ətalət momenti adlanır. Sonra maddi nöqtənin bucaq momentumunu yazırıq:

L i = I i ω.

Mütləq sərt cismin bucaq impulsunu bu cismi təşkil edən maddi nöqtələrin bucaq momentumunun cəmi kimi yazırıq:

L = Iω.

Qüvvə momenti və ətalət momenti

Fırlanma hərəkəti qanunu deyir:

M = dL/dt.

Məlumdur ki, cismin bucaq momentumu ətalət momenti ilə göstərilə bilər:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Bucaq təcilinin ifadə ilə təyin olunduğunu nəzərə alsaq

ε = dω/dt,

ətalət momenti ilə təmsil olunan qüvvə momenti üçün düstur alırıq:

M = Iε.

Şərh. Qüvvə momenti, ona səbəb olan açısal sürətlənmə sıfırdan böyükdürsə və əksinə müsbət hesab olunur.

Ştayner teoremi. Ətalət momentlərinin toplanması qanunu

Əgər cismin fırlanma oxu onun kütlə mərkəzindən keçmirsə, bu oxa nisbətən Ştayner teoremindən istifadə edərək onun ətalət momentini tapmaq olar:
I = I 0 + ma 2,

Harada mən 0- bədənin ilkin ətalət anı; m- bədən kütləsi; a- oxlar arasındakı məsafə.

Əgər sabit bir ox ətrafında dönən bir sistem meydana gəlir n cisimlər, onda bu tip sistemin ümumi ətalət anı onun komponentlərinin momentlərinin cəminə bərabər olacaqdır (ətalət anlarının toplanması qanunu).

Hərəkət zamanı cismin fırlanma oxu adlanan müəyyən bir düz xətt üzərində yerləşən bütün nöqtələri hərəkətsiz qalırsa, sərt cismin hərəkəti fırlanma adlanır.(Şəkil 2.15).

Fırlanma hərəkəti zamanı bədənin mövqeyi adətən müəyyən edilir fırlanma bucağı bədən , fırlanma oxundan keçən sabit və hərəkət edən təyyarələr arasındakı dihedral bucaq kimi ölçülür. Üstəlik, daşınan təyyarə fırlanan gövdəyə bağlıdır.

Mənşəyi fırlanma oxunun ixtiyari O nöqtəsində yerləşəcək hərəkətli və sabit koordinat sistemlərini nəzərdən keçirək. Hərəkətli və sabit koordinat sistemləri üçün ümumi olan Oz oxu fırlanma oxu, ox boyunca yönəldiləcəkdir. Oh sabit koordinat sistemindən, biz onu Oz oxuna perpendikulyar yönləndiririk ki, o, sabit müstəvidə, oxda olsun. Oh 1 Hərəkət edən koordinat sistemini Oz oxuna perpendikulyar istiqamətləndirək ki, o, hərəkət edən müstəvidə olsun (şəkil 2.15).

Bir cismin fırlanma oxuna perpendikulyar bir müstəvi ilə kəsiyini nəzərə alsaq, onda fırlanma bucağı φ sabit ox arasındakı bucaq kimi müəyyən edilə bilər Oh və hərəkətli ox Oh 1, dəyişməz olaraq fırlanan gövdə ilə əlaqələndirilir (Şəkil 2.16).

Bədənin fırlanma bucağı üçün istinad istiqaməti qəbul edilir φ Oz oxunun müsbət istiqamətindən baxdıqda saat əqrəbinin əksi müsbət hesab olunur.

Bərabərlik φ = φ(t), bucaq dəyişikliyini təsvir edir φ zamanla sərt cismin fırlanma hərəkətinin qanunu və ya tənliyi adlanır.

Sərt cismin fırlanma bucağının dəyişmə sürəti və istiqaməti ilə xarakterizə olunur bucaq sürəti. Bucaq sürətinin mütləq dəyəri adətən yunan əlifbasının hərfi ilə işarələnir ω (omeqa). Bucaq sürətinin cəbri qiyməti adətən ilə işarələnir. Bucaq sürətinin cəbri dəyəri fırlanma bucağının ilk dəfə törəməsinə bərabərdir:

. (2.33)

Bucaq sürətinin vahidləri zaman vahidinə bölünən bucaq vahidlərinə bərabərdir, məsələn, deg/dəq, rad/h. SI sistemində bucaq sürətinin ölçü vahidi rad/s-dir, lakin daha çox bu ölçü vahidinin adı 1/s kimi yazılır.

Əgər > 0 olarsa, fırlanma oxuna uyğunlaşdırılmış koordinat oxunun sonundan baxdıqda bədən saat əqrəbinin əksinə fırlanır.

Əgər< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Bucaq sürətinin dəyişmə sürəti və istiqaməti açısal sürətlənmə ilə xarakterizə olunur. Bucaq sürətlənməsinin mütləq dəyəri adətən yunan əlifbasının e (epsilon) hərfi ilə işarələnir. Bucaq sürətinin cəbri qiyməti adətən ilə işarələnir. Bucaq sürətinin cəbri dəyəri bucaq sürətinin cəbri dəyərinin vaxtına görə birinci törəmə və ya fırlanma bucağının ikinci törəməsi ilə bərabərdir:

Bucaq sürətinin vahidləri bucaq vahidlərinin zaman vahidinin kvadratına bölünməsinə bərabərdir. Məsələn, deg/s 2, rad/h 2. SI sistemində bucaq sürətlənməsinin ölçü vahidi rad/s 2-dir, lakin daha çox bu ölçü vahidinin adı 1/s 2 kimi yazılır.

Bucaq sürətinin və bucaq sürətinin cəbri qiymətləri eyni işarəyə malikdirsə, bucaq sürəti zamanla böyüklükdə artır, fərqlidirsə, azalır.

Bucaq sürəti sabitdirsə ( ω = const), onda bədənin fırlanmasının vahid olduğunu söyləmək adətdir. Bu halda:

φ = t + φ 0, (2.35)

Harada φ 0 - ilkin fırlanma bucağı.

Əgər bucaq sürəti sabitdirsə (e = const), onda cismin fırlanmasının bərabər sürətləndirilməsi (vahid yavaş) demək adətdir. Bu halda:

Harada 0 - ilkin bucaq sürəti.

Digər hallarda, asılılığı müəyyən etmək φ -dan Və (2.33), (2.34) ifadələrini verilmiş ilkin şərtlər daxilində inteqrasiya etmək lazımdır.

Rəsmlərdə bədənin fırlanma istiqaməti bəzən əyri ox ilə göstərilir (şək. 2.17).

Çox vaxt mexanikada bucaq sürəti və bucaq sürəti vektor kəmiyyətləri kimi qəbul edilir. Və . Bu vektorların hər ikisi bədənin fırlanma oxu boyunca yönəldilmişdir. Üstəlik vektor fırlanma oxu ilə üst-üstə düşən koordinat oxunun istiqamətini təyin edən vahid vektorla bir istiqamətə yönəldilir, əgər >0, və əgər əksinə
Vektorun istiqaməti eyni şəkildə seçilir (şək. 2.18).

Bir cismin fırlanma hərəkəti zamanı onun hər bir nöqtəsi (fırlanma oxunda yerləşən nöqtələr istisna olmaqla) nöqtədən fırlanma oxuna qədər olan ən qısa məsafəyə bərabər radiuslu bir dairə olan traektoriya boyunca hərəkət edir (Şəkil 2). 2.19).

Hər hansı bir nöqtədə çevrənin tangensi radiusla 90° bucaq yaratdığından, fırlanma hərəkəti edən cismin nöqtəsinin sürət vektoru radiusa perpendikulyar yönəldiləcək və çevrənin müstəvisində yatacaq. nöqtənin hərəkət trayektoriyası. Sürətlənmənin tangensial komponenti sürətlə eyni xətt üzərində yerləşəcək və normal komponent dairənin mərkəzinə doğru radial olaraq yönəldiləcək. Buna görə də bəzən fırlanma hərəkəti zamanı sürətlənmənin tangensial və normal komponentləri müvafiq olaraq adlanır fırlanan və mərkəzləşdirilmiş (oxlu) komponentlər (Şəkil 2.19)

Nöqtənin sürətinin cəbri dəyəri aşağıdakı ifadə ilə müəyyən edilir:

, (2.37)

burada R = OM nöqtədən fırlanma oxuna qədər olan ən qısa məsafədir.

Sürətlənmənin tangensial komponentinin cəbri qiyməti aşağıdakı ifadə ilə müəyyən edilir:

. (2.38)

Sürətlənmənin normal komponentinin modulu aşağıdakı ifadə ilə müəyyən edilir:

. (2.39)

Fırlanma hərəkəti zamanı nöqtənin sürətlənmə vektoru paraleloqram qaydası ilə tangens və normal komponentlərin həndəsi cəmi kimi müəyyən edilir. Buna görə, sürətlənmə modulu Pifaqor teoremindən istifadə etməklə müəyyən edilə bilər:

Əgər bucaq sürəti və bucaq sürəti vektor kəmiyyətləri kimi müəyyən edilirsə , , onda sürətin vektorlarını, sürətlənmənin tangensial və normal komponentlərini düsturlarla təyin etmək olar:

fırlanma oxunun ixtiyari nöqtəsindən M nöqtəsinə çəkilmiş radius vektoru haradadır (şək. 2.20).

Bir cismin fırlanma hərəkəti ilə bağlı problemlərin həlli adətən heç bir çətinlik yaratmır. (2.33)-(2.40) düsturlarından istifadə etməklə istənilən naməlum parametri asanlıqla müəyyən edə bilərsiniz.

Həm fırlanma, həm də köçürmə hərəkətini yerinə yetirən bir-biri ilə əlaqəli bir neçə cisimdən ibarət mexanizmlərin öyrənilməsi ilə bağlı problemlərin həlli zamanı müəyyən çətinliklər yaranır.

Belə məsələlərin həllinə ümumi yanaşma ondan ibarətdir ki, bir cisimdən digərinə hərəkət bir nöqtədən - toxunma (təmas) nöqtəsi vasitəsilə ötürülür. Bundan əlavə, təmasda olan cisimlər təmas nöqtəsində bərabər sürətlərə və tangensial sürətlənmə komponentlərinə malikdirlər. Təmas nöqtəsində təmasda olan cisimlər üçün sürətlənmənin normal komponentləri fərqlidir, onlar cisimlərin nöqtələrinin trayektoriyasından asılıdır.

Bu tipli məsələləri həll edərkən, konkret şəraitdən asılı olaraq həm 2.3-cü bölmədə verilmiş düsturlardan, həm də nöqtənin hərəkətini təbii (2.7), (2.14) kimi göstərərkən onun sürətini və sürətini təyin etmək üçün düsturlardan istifadə etmək rahatdır. ) (2.16) və ya koordinat (2.3), (2.4), (2.10), (2.11) üsulları. Üstəlik, əgər nöqtənin aid olduğu cismin hərəkəti fırlanmadırsa, nöqtənin trayektoriyası çevrə olacaq. Əgər cismin hərəkəti düzxətli köçürmədirsə, onda nöqtənin trayektoriyası düz xətt olacaqdır.

Misal 2.4. Bədən sabit bir ox ətrafında fırlanır. Bədənin fırlanma bucağı qanuna uyğun olaraq dəyişir φ = π t 3 sevindim. Fırlanma oxundan OM = R = 0,5 m məsafədə yerləşən nöqtə üçün zaman anında sürəti, tangensi, sürətlənmə və sürətlənmənin normal komponentlərini təyin edin. t 1= 0,5 s. Rəsmdə bu vektorların istiqamətini göstərin.

Cismin fırlanma oxuna perpendikulyar O nöqtəsindən keçən müstəvi ilə kəsiyini nəzərdən keçirək (şək. 2.21). Bu şəkildə O nöqtəsi fırlanma oxunun kəsişmə nöqtəsi ilə kəsici müstəvi, nöqtədir M o Və M 1- müvafiq olaraq M nöqtəsinin ilkin və cari vəziyyəti. O və nöqtələri vasitəsilə M o sabit ox çəkin Oh, və O və nöqtələri vasitəsilə M 1 - daşınan ox Oh 1. Bu oxlar arasındakı bucaq bərabər olacaqdır

Fırlanma bucağının dəyişmə qanununu diferensiallaşdırmaqla cismin bucaq sürətinin dəyişmə qanununu tapırıq:

Bu anda t 1 bucaq sürəti bərabər olacaq

Bucaq sürətinin dəyişmə qanununu diferensiallaşdırmaqla cismin bucaq sürətinin dəyişmə qanununu tapacağıq:

Bu anda t 1 bucaq sürəti bərabər olacaq:

1/s 2,

Sürət vektorlarının cəbri qiymətlərini, sürətlənmənin tangensial komponentini, sürətlənmənin normal komponentinin modulunu və sürətlənmə modulunu (2.37), (2.38), (2.39), (2.40) düsturlarından istifadə edərək tapırıq:

M/s 2 ;

m/s 2 .

Bucaqdan bəri φ 1>0 olarsa, biz onu Ox oxundan saat əqrəbinin əksinə hərəkət etdirəcəyik. Və o vaxtdan > 0, sonra vektorlar radiusuna perpendikulyar yönəldiləcəkdir OM 1 ki, biz onların saat əqrəbinin əksinə fırlandığını görürük. Vektor radius boyunca yönəldiləcəkdir OM 1 fırlanma oxuna. Vektor Vektorlar üzərində paraleloqram qaydasına uyğun quraq τ Və .

Misal 2.5. Yükün düzxətli ötürmə hərəkətinin verilmiş tənliyinə görə 1 x = 0,6t 2 - 0,18 (m) sürəti, həmçinin sürətlənmənin tangensial, normal komponentini və zaman anında mexanizmin M nöqtəsinin sürətlənməsini müəyyənləşdirir. t 1, 1-ci yükün getdiyi yol s = 0,2 m olduqda.Məsələni həll edərkən 2-ci və 3-cü cisimlərin təmas nöqtəsində sürüşmənin olmadığını qəbul edəcəyik, R 2= 1,0 m, r 2 = 0,6 m, R 3 = 0,5 m (Şəkil 2.22).

1-ci yükün düzxətli ötürmə hərəkəti qanunu koordinat şəklində verilmişdir. Gəlin zamanla anı müəyyən edək t 1, bunun üçün 1 yükün keçdiyi yol s-ə bərabər olacaqdır

s = x(t l)-x(0),

haradan alırıq:

0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.

Beləliklə,

Hərəkət tənliyini zamana görə diferensiallaşdıraraq, 1 yükünün Ox oxuna sürət və təcil proyeksiyalarını tapırıq:

Xanım 2 ;

Bu anda t = t 1 yükün 1 sürətinin proyeksiyası bərabər olacaq:

yəni yükün 1 sürətlənməsinin proyeksiyası kimi sıfırdan böyük olacaq. Buna görə də 1-ci yük t anında olacaq. 1 bərabər sürətlə aşağı hərəkət edin, müvafiq olaraq 2-ci cisim saat əqrəbinin əksinə bərabər sürətlə fırlanacaq və 3-cü bədən saat yönünün əksinə fırlanacaq.

2-ci gövdə 1-ci gövdə tərəfindən barabana sarılmış ip vasitəsilə fırlanma vəziyyətinə gətirilir. Buna görə də 1-ci gövdənin nöqtələrinin, 2-ci gövdənin nağarasının sapının və səthinin sürətlərinin modulları bərabərdir, cismin 1-ci nöqtələrinin, sapın və sürətlənmənin tangensial komponentinin sürətləndirici modulları bərabərdir. 2-ci gövdənin barabanının səthinin nöqtələri də bərabər olacaqdır.Buna görə də 2-ci cismin bucaq sürətinin modulu aşağıdakı kimi müəyyən edilə bilər.

2-ci cismin bucaq sürətləndirilməsi modulu bərabər olacaq:

1/s 2 .

2-ci cismin K nöqtəsi - 2 və 3-cü cisimlərin təmas nöqtəsi üçün sürət modullarını və sürətlənmənin tangensial komponentini təyin edək:

Xanım, Xanım 2

2 və 3-cü cisimlər qarşılıqlı sürüşmədən fırlandıqlarından, sürətin böyüklükləri və K nöqtəsinin sürətlənməsinin tangensial komponenti - bu cisimlər üçün təmas nöqtəsi bərabər olacaqdır.

onu bədənin fırlanma istiqamətində radiusa perpendikulyar istiqamətləndirək, çünki cisim 3 bərabər sürətlə fırlanır.

Proqressiv bu cisimlə daim bağlı olan istənilən düz xəttin ilkin vəziyyətinə paralel qaldığı sərt cismin hərəkətidir.

Teorem. Sərt cismin köçürmə hərəkəti zamanı onun bütün nöqtələri eyni trayektoriyaları təsvir edir və hər bir anda böyüklük və istiqamətdə bərabər sürət və sürətə malikdir.

Sübut. Gəlin iki nöqtədən keçək və , xətti hərəkət edən bədən seqmenti
və bu seqmentin mövqeyində hərəkətini nəzərdən keçirin
. Eyni zamanda, nöqtə trayektoriyasını təsvir edir
, və nöqtə - traektoriya
(Şəkil 56).

Nəzərə alsaq ki, seqment
özünə paralel hərəkət edir və uzunluğu dəyişməzsə, müəyyən etmək olar ki, nöqtələrin trayektoriyaları Və eyni olacaq. Bu o deməkdir ki, teoremin birinci hissəsi isbat edilmişdir. Nöqtələrin yerini müəyyən edəcəyik Və sabit mənşəyə nisbətən vektor üsulu . Üstəlik, bu radiuslar - vektorlar asılıdır
. Çünki. seqmentin nə uzunluğu, nə də istiqaməti
bədən hərəkət edərkən dəyişmir, sonra vektor

. Asılılıqdan (24) istifadə edərək sürətləri təyin etməyə davam edək:

, alırıq
.

Asılılıqdan (26) istifadə edərək sürətlənmələrin təyin edilməsinə keçək:

, alırıq
.

Sübut edilmiş teoremdən belə nəticə çıxır ki, yalnız bir nöqtənin hərəkəti məlum olarsa, cismin ötürmə hərəkəti tam təyin olunacaqdır. Buna görə də, sərt bir cismin tərcümə hərəkətinin öyrənilməsi onun nöqtələrindən birinin hərəkətinin öyrənilməsinə gəlir, yəni. kinematik problemə qədər.

Mövzu 11. Sərt cismin fırlanma hərəkəti

Fırlanma Bu, iki nöqtəsinin bütün hərəkət boyu hərəkətsiz qaldığı sərt bir cismin hərəkətidir. Bu halda bu iki sabit nöqtədən keçən düz xətt deyilir fırlanma oxu.

Bu hərəkət zamanı cismin fırlanma oxu üzərində yatmayan hər bir nöqtəsi müstəvisi fırlanma oxuna perpendikulyar olan və mərkəzi bu oxun üzərində yerləşən çevrəni təsvir edir.

Biz fırlanma oxu vasitəsilə gövdəyə dəyişməz olaraq bağlı olan və onunla birlikdə fırlanan sabit I və daşınan müstəvi II çəkirik (şək. 57). II müstəvinin və müvafiq olaraq, bütün bədən kosmosda I müstəvisinə münasibətdə tamamilə bucaqla müəyyən edilir. . Bədən bir ox ətrafında fırlandıqda bu bucaq zamanın davamlı və birmənalı funksiyasıdır. Buna görə də, bu bucağın zamanla dəyişmə qanununu bilməklə, cismin kosmosdakı mövqeyini təyin edə bilərik:

- cismin fırlanma hərəkəti qanunu. (43)

Bu vəziyyətdə bucağı qəbul edəcəyik oxun müsbət ucundan baxıldıqda, sabit bir müstəvidən saat əqrəbinin əksi istiqamətində ölçülür. . Sabit ox ətrafında fırlanan cismin mövqeyi bir parametrlə müəyyən edildiyi üçün belə bir cismin bir sərbəstlik dərəcəsi olduğu deyilir.

Bucaq sürəti

Cismin fırlanma bucağının zamanla dəyişməsinə bucaq deyilir bədən sürəti və təyin edilir
(omeqa):

.(44)

Bucaq sürəti, xətti sürət kimi, vektor kəmiyyətdir və bu vektor bədənin fırlanma oxu üzərində qurulmuşdur. O, fırlanma oxu boyunca həmin istiqamətə yönəldilmişdir ki, onun ucundan başlanğıcına baxdıqda, bədənin saat əqrəbinin əksinə fırlandığını görmək olar (şək. 58). Bu vektorun modulu asılılıqla müəyyən edilir (44). Tətbiq nöqtəsi oxda ixtiyari olaraq seçilə bilər, çünki vektor onun hərəkət xətti boyunca köçürülə bilər. Fırlanma oxunun orth-vektorunu ilə işarə etsək , onda bucaq sürəti üçün vektor ifadəsini alırıq:

. (45)

Bucaq sürətlənməsi

Cismin bucaq sürətinin zamanla dəyişmə sürətinə deyilir açısal sürətlənmə bədən və təyin olunur (epsilon):

. (46)

Bucaq sürətlənməsi vektor kəmiyyətdir və bu vektor bədənin fırlanma oxu üzərində qurulmuşdur. O, fırlanma oxu boyunca həmin istiqamətə yönəldilmişdir ki, onun ucundan başlanğıcına baxdıqda, saat əqrəbinin əksi istiqamətində epsilonun fırlanma istiqamətini görmək olar (şək. 58). Bu vektorun modulu asılılıqla müəyyən edilir (46). Tətbiq nöqtəsi oxda ixtiyari olaraq seçilə bilər, çünki vektor onun hərəkət xətti boyunca köçürülə bilər.

Fırlanma oxunun orth-vektorunu ilə işarə etsək , onda bucaq sürətlənməsi üçün vektor ifadəsini alırıq:

. (47)

Bucaq sürəti və təcil eyni işarədədirsə, cisim fırlanır sürətləndirilmiş və fərqlidirsə - yavaş-yavaş. Yavaş fırlanma nümunəsi Şəkildə göstərilmişdir. 58.

Fırlanma hərəkətinin xüsusi hallarını nəzərdən keçirək.

1. Vahid fırlanma:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. Bərabər fırlanma:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

Xətti və bucaq parametrləri arasında əlaqə

İxtiyari bir nöqtənin hərəkətini nəzərdən keçirək
fırlanan bədən. Bu halda, nöqtənin trayektoriyası radiuslu bir dairə olacaqdır
, fırlanma oxuna perpendikulyar müstəvidə yerləşir (şək. 59, A).

Fərz edək ki, zaman anında nöqtə yerindədir
. Tutaq ki, bədən müsbət istiqamətdə fırlanır, yəni. artan bucaq istiqamətində . Bir anda
nöqtə mövqe tutacaq
. Qövsü işarə edək
. Buna görə də, müəyyən bir müddət ərzində
nöqtə yolu keçdi
. Onun orta sürəti , və nə zaman
,
. Lakin, Şek. 59, b, aydındır ki
. Sonra. Nəhayət alırıq

. (50)

Burada - nöqtənin xətti sürəti
. Daha əvvəl əldə edildiyi kimi, bu sürət müəyyən bir nöqtədə traektoriyaya tangensial olaraq yönəldilir, yəni. dairəyə tangens.

Beləliklə, fırlanan cismin nöqtəsinin xətti (çevrəvi) sürətinin modulu bucaq sürətinin mütləq qiymətinin və bu nöqtədən fırlanma oxuna qədər olan məsafənin hasilinə bərabərdir.

İndi nöqtənin sürətləndirilməsinin xətti komponentlərini bucaq parametrləri ilə birləşdirək.

,
. (51)

Sabit ox ətrafında fırlanan sərt cismin nöqtəsinin tangensial sürətləndirilməsinin modulu cismin bucaq sürətinin hasilinə və bu nöqtədən fırlanma oxuna qədər olan məsafəyə bərabərdir.

,
. (52)

Sabit ox ətrafında fırlanan sərt cismin nöqtəsinin normal sürətlənmə modulu cismin bucaq sürətinin kvadratının hasilinə və bu nöqtədən fırlanma oxuna qədər olan məsafəyə bərabərdir.

Sonra nöqtənin tam sürətlənməsinin ifadəsi şəklini alır

. (53)

Vektor istiqamətləri ,,Şəkil 59-da göstərilmişdir, V.

Düz hərəkət sərt cismin bütün nöqtələrinin müəyyən bir sabit müstəviyə paralel hərəkət etdiyi bir hərəkətdir. Belə hərəkətlərin nümunələri:

Əsası verilmiş sabit müstəvi boyunca sürüşən hər hansı bir cismin hərəkəti;

Təkərin yolun düz hissəsi (rels) boyunca yuvarlanması.

Müstəvi hərəkət tənliklərini alırıq. Bunu etmək üçün təbəqənin müstəvisində hərəkət edən düz bir fiqur düşünün (şək. 60). Bu hərəkəti sabit koordinat sistemi ilə əlaqələndirək
, və fiqurun özü ilə hərəkət edən koordinat sistemini birləşdiririk
, onunla hərəkət edən.

Aydındır ki, stasionar müstəvidə hərəkət edən fiqurun mövqeyi hərəkət edən oxların mövqeyi ilə müəyyən edilir
sabit oxlara nisbətən
. Bu mövqe hərəkət edən başlanğıcın mövqeyi ilə müəyyən edilir , yəni. koordinatları ,və fırlanma bucağı , oxdan sayacağımız nisbətən sabit olan hərəkət edən koordinat sistemi saat əqrəbi istiqamətində hərəkətə əks istiqamətdə.

Nəticə etibarı ilə, düz bir fiqurun öz müstəvisində hərəkəti, dəyərləri olduqda tamamilə müəyyən ediləcəkdir ,,, yəni. formanın tənlikləri:

,
,
. (54)

Tənliklər (54) sərt cismin müstəvi hərəkət tənlikləridir, çünki bu funksiyalar məlumdursa, zamanın hər anı üçün bu tənliklərdən müvafiq olaraq tapmaq mümkündür. ,,, yəni. zamanın müəyyən anında hərəkət edən fiqurun mövqeyini müəyyənləşdirin.

Xüsusi halları nəzərdən keçirək:

1.

, onda bədənin hərəkəti tərcümə olacaq, çünki hərəkət edən oxlar ilkin vəziyyətinə paralel qalaraq hərəkət edirlər.

2.

,

. Bu hərəkətlə yalnız fırlanma bucağı dəyişir , yəni. cisim nöqtədən cizgi müstəvisinə perpendikulyar keçən ox ətrafında fırlanacaq .

Düz fiqurun hərəkətinin translyasiya və fırlanmaya parçalanması

Ardıcıl iki mövqeyi nəzərdən keçirin Və
anlarda bədən tərəfindən işğal edilir Və
(Şəkil 61). Bədən mövqedən mövqe tutmaq
aşağıdakı kimi köçürülə bilər. Əvvəlcə bədəni hərəkət etdirək tədricən. Bu vəziyyətdə, seqment
mövqeyə özünə paralel hərəkət edəcək
, daha sonra dönək bir nöqtə (qütb) ətrafında bədən bucaq altında
nöqtələr üst-üstə düşənə qədər Və .

Beləliklə, hər hansı bir müstəvi hərəkət seçilmiş qütb və fırlanma hərəkəti ilə birlikdə köçürmə hərəkətinin cəmi kimi təqdim edilə bilər, bu dirəyə nisbətən.

Müstəvi hərəkəti yerinə yetirən cismin nöqtələrinin sürətlərini təyin etmək üçün istifadə oluna bilən üsulları nəzərdən keçirək.

1. Qütb üsulu. Bu üsul, müstəvi hərəkətin translyasiya və fırlanma olaraq parçalanmasına əsaslanır. Düz bir fiqurun hər hansı bir nöqtəsinin sürəti iki komponent şəklində təqdim edilə bilər: tərcümə, ixtiyari olaraq seçilmiş bir nöqtənin sürətinə bərabər sürət ilə -dirəklər , və bu qütb ətrafında fırlanır.

Düz bir cismi nəzərdən keçirək (şək. 62). Hərəkət tənlikləri bunlardır:
,
,
.

Bu tənliklərdən nöqtənin sürətini təyin edirik (koordinatların təyin edilməsi metodunda olduğu kimi)

,
,
.

Beləliklə, nöqtənin sürəti - kəmiyyət məlumdur. Bu nöqtəni qütb kimi götürüb ixtiyari nöqtənin sürətini təyin edirik
orqanlar.

Sürət
tərcümə komponentindən ibarət olacaqdır , nöqtə ilə birlikdə hərəkət edərkən , və fırlanma
, nöqtəni döndərərkən
nöqtəyə nisbətən . Nöqtə sürəti nöqtəsinə keçin
özünə paraleldir, çünki köçürmə hərəkəti zamanı bütün nöqtələrin sürətləri həm böyüklük, həm də istiqamətdə bərabərdir. Sürət
asılılıqla müəyyən ediləcək (50)
, və bu vektor radiusa perpendikulyar yönəldilmişdir
fırlanma istiqamətində
. Vektor
vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın diaqonalı boyunca yönəldiləcəkdir Və
, və onun modulu asılılıqla müəyyən edilir:

, .(55)

2. Cismin iki nöqtəsinin sürətlərinin proyeksiyalarına dair teorem.

Sərt cismin iki nöqtəsinin sürətlərinin bu nöqtələri birləşdirən düz xəttə proyeksiyaları bir-birinə bərabərdir.

Bədənin iki nöqtəsini nəzərdən keçirin Və (Şəkil 63). Bir nöqtə götürmək qütbdən kənarda istiqaməti müəyyən edirik asılı olaraq (55):
. Bu vektor bərabərliyini xəttə proyeksiya edirik
və bunu nəzərə alaraq
perpendikulyar
, alırıq

3. Ani sürət mərkəzi.

Ani sürət mərkəzi(MCS) müəyyən bir zamanda sürəti sıfır olan bir nöqtədir.

Göstərək ki, əgər cisim translyasiya ilə hərəkət etmirsə, onda belə bir nöqtə zamanın hər anında mövcuddur və üstəlik, unikaldır. Bir anda icazə verin xal Və bölmədə yatan cəsədlər , sürətləri var Və , bir-birinə paralel deyil (şək. 64). Sonra işarə edin
, vektorlara perpendikulyarların kəsişməsində uzanır Və , və bir MCS olacaq, çünki
.

Doğrudan da, bunu fərz etsək
, onda (56) Teoremə görə vektor
eyni zamanda perpendikulyar olmalıdır
Və
, bu mümkün deyil. Eyni teoremdən aydın olur ki, başqa heç bir kəsik nöqtəsi yoxdur zamanın bu anında sıfıra bərabər sürət ola bilməz.

Qütb metodundan istifadə
- qütb, nöqtənin sürətini təyin edin (55): çünki
,
. (57)

Bənzər bir nəticə bədənin hər hansı digər nöqtəsi üçün də əldə edilə bilər. Buna görə də, bədənin hər hansı bir nöqtəsinin sürəti onun MCS-ə nisbətən fırlanma sürətinə bərabərdir:

,
,
, yəni. bədən nöqtələrinin sürətləri onların MCS-ə olan məsafələri ilə mütənasibdir.

Düz fiqurun nöqtələrinin sürətlərini təyin etmək üçün nəzərdən keçirilən üç üsuldan aydın olur ki, MCS üstünlük təşkil edir, çünki burada sürət həm böyüklükdə, həm də bir komponent istiqamətində dərhal müəyyən edilir. Ancaq MCS-nin bədən üçün mövqeyini bildiyimiz və ya müəyyən edə bildiyimiz təqdirdə bu üsuldan istifadə edilə bilər.

MCS-nin mövqeyinin müəyyən edilməsi

1. Əgər cismin verilmiş mövqeyi üçün cismin iki nöqtəsinin sürətlərinin istiqamətlərini bilsək, onda MCS bu sürət vektorlarına perpendikulyarların kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.

2. Bədənin iki nöqtəsinin sürətləri antiparaleldir (şək. 65, A). Bu halda, sürətlərə perpendikulyar ümumi olacaq, yəni. MCS bu perpendikulyarda bir yerdə yerləşir. MCS-nin mövqeyini müəyyən etmək üçün sürət vektorlarının uclarını birləşdirmək lazımdır. Bu xəttin perpendikulyar ilə kəsişmə nöqtəsi istənilən MCS olacaqdır. Bu halda MCS bu iki nöqtə arasında yerləşir.

3. Bədənin iki nöqtəsinin sürətləri paraleldir, lakin böyüklüklərinə görə bərabər deyil (şək. 65, b). MDS-nin əldə edilməsi proseduru 2-ci bənddə təsvir edilənə bənzəyir.

d) İki nöqtənin sürətləri həm böyüklük, həm də istiqamətdə bərabərdir (şək. 65, V). Bədənin bütün nöqtələrinin sürətlərinin bərabər olduğu ani köçürmə hərəkəti halını alırıq. Nəticə etibarilə, bu vəziyyətdə cismin bucaq sürəti sıfırdır:

4. Sabit səthdə sürüşmədən yuvarlanan təkər üçün MCS-i təyin edək (şək. 65, G). Hərəkət sürüşmədən baş verdiyi üçün təkərin səthlə təmas nöqtəsində sürət eyni və sıfıra bərabər olacaq, çünki səth sabitdir. Nəticə etibarilə, təkərin stasionar səthlə təmas nöqtəsi MCS olacaqdır.

Müstəvi fiqurun nöqtələrinin təcillərinin təyini

Düz bir fiqurun nöqtələrinin təcillərini təyin edərkən, sürətləri təyin etmək üsulları ilə bir analoq var.

1. Qütb üsulu. Sürətləri təyin edərkən, sürətini bildiyimiz və ya təyin edə biləcəyimiz cismin ixtiyari nöqtəsini qütb kimi qəbul edirik. Sonra yastı fiqurun hər hansı bir nöqtəsinin sürətlənməsi qütbün təcillərinin cəminə və bu qütb ətrafında fırlanma hərəkətində sürətlənməyə bərabərdir:

Bu vəziyyətdə komponent
nöqtənin sürətini təyin edir qütbün ətrafında fırlandığı üçün . Fırlanan zaman nöqtənin traektoriyası əyri xətti olacaq, yəni
(Şəkil 66).

Onda asılılıq (58) formasını alır
. (59)

(51) və (52) asılılıqları nəzərə alaraq əldə edirik
,
.

2. Ani sürətləndirmə mərkəzi.

Ani sürətləndirmə mərkəzi(MCU) müəyyən bir zamanda sürətlənməsi sıfır olan bir nöqtədir.

Göstərək ki, hər hansı bir zaman anında belə bir nöqtə mövcuddur. Bir nöqtəni dirək kimi qəbul edirik , kimin sürətləndirilməsi
Biz bilirik. Bucağı tapmaq , içində yatmaq
, və şərti təmin edir
. Əgər
, Bu
və əksinə, yəni. künc istiqamətində ləngiyir . Nöqtədən təxirə salaq bucaq altında vektor etmək
xətt seqmenti
(Şəkil 67). Belə konstruksiyalarla əldə edilən nöqtə
MCU olacaq.

Həqiqətən, nöqtənin sürətlənməsi
təcillərin cəminə bərabərdir
dirəklər və sürətlənmə
qütb ətrafında fırlanma hərəkətində :
.

,
. Sonra
. Digər tərəfdən, sürətlənmə
seqmentin istiqaməti ilə formalaşır
künc
, şərti qane edir
. Bucağın tangensi qarşısında mənfi işarə qoyulur , fırlanmadan bəri
dirəyə nisbətən saat yönünün əksinə və bucaq
saat əqrəbi istiqamətində qoyulur. Sonra
.

Beləliklə,
daha sonra
.

MCU-nun müəyyənləşdirilməsinin xüsusi halları

1.
. Sonra
, və buna görə də MCU mövcud deyil. Bu vəziyyətdə, bədən tərcümə ilə hərəkət edir, yəni. bədənin bütün nöqtələrinin sürətləri və təcilləri bərabərdir.

2.
. Sonra
,
. Bu o deməkdir ki, MCU bədənin nöqtələrinin təcillərinin hərəkət xətlərinin kəsişməsində yerləşir (Şəkil 68, A).

3.
. Sonra,
,
. Bu o deməkdir ki, MCU bədənin nöqtələrinin təcillərinə perpendikulyarların kəsişməsində yerləşir (Şəkil 68, b).

4.
. Sonra
,

. Bu o deməkdir ki, MCU cismin nöqtələrinin bucaq altındakı təcillərinə çəkilən şüaların kəsişməsində yerləşir. (Şəkil 68, V).

Baxılan xüsusi hallardan belə nəticəyə gələ bilərik: mətləbi qəbul etsək
qütbdən kənarda, düz fiqurun hər hansı bir nöqtəsinin sürətlənməsi MCU ətrafında fırlanma hərəkətində sürətlənmə ilə müəyyən edilir:

. (60)

Kompleks nöqtə hərəkəti bir nöqtənin eyni vaxtda iki və ya daha çox hərəkətdə iştirak etdiyi hərəkət deyilir. Belə bir hərəkətlə nöqtənin mövqeyi hərəkət edən və nisbətən stasionar istinad sistemlərinə nisbətən müəyyən edilir.

Nöqtənin hərəkət edən istinad çərçivəsinə nisbətən hərəkətinə deyilir nöqtənin nisbi hərəkəti . Nisbi hərəkətin parametrlərini qeyd etməyə razıyıq
.

Hərəkət edən istinad sisteminin stasionar istinad sisteminə nisbətən hərəkət nöqtəsinin hazırda üst-üstə düşdüyü nöqtənin hərəkəti adlanır. nöqtənin portativ hərəkəti . Biz portativ hərəkətin parametrlərini qeyd etməyə razıyıq
.

Sabit istinad çərçivəsinə nisbətən bir nöqtənin hərəkəti deyilir mütləq (mürəkkəb) nöqtə hərəkəti . Mütləq hərəkətin parametrlərini qeyd etməyə razıyıq
.

Mürəkkəb hərəkətə misal olaraq, hərəkət edən nəqliyyat vasitəsində (tramvay) bir insanın hərəkətini nəzərdən keçirə bilərik. Bu zaman insanın hərəkəti hərəkət edən koordinat sistemi - tramvay və sabit koordinat sistemi - yer (yol) ilə bağlıdır. O zaman yuxarıda verilmiş təriflərə əsasən insanın tramvaya nisbətən hərəkəti nisbi, yerə nisbətən tramvayla birlikdə hərəkəti daşınan, insanın yerə nisbətən hərəkəti isə mütləqdir.

Nöqtənin yerini müəyyən edəcəyik
radiuslar - hərəkətə nisbətən vektorlar
və hərəkətsiz
koordinat sistemləri (şək. 69). Aşağıdakı qeydi təqdim edək: - nöqtənin mövqeyini təyin edən radius vektoru
hərəkət edən koordinat sisteminə nisbətən
,
;- hərəkət edən koordinat sisteminin başlanğıcının mövqeyini təyin edən radius vektoru (nöqtə ) (nöqtə );- radius – nöqtənin mövqeyini təyin edən vektor
sabit koordinat sisteminə nisbətən
;
,.

Nisbi, daşınan və mütləq hərəkətlərə uyğun şərtlər (məhdudiyyətlər) əldə edək.

1. Nisbi hərəkəti nəzərdən keçirərkən, güman edəcəyik ki, nöqtə
hərəkət edən koordinat sisteminə nisbətən hərəkət edir
, və hərəkət edən koordinat sisteminin özü
sabit koordinat sisteminə nisbətən
hərəkət etmir.

Sonra nöqtənin koordinatları
nisbi hərəkətdə dəyişəcək, lakin hərəkət edən koordinat sisteminin orth-vektorları istiqamətdə dəyişməyəcək:

,

,

.

2. Daşınan hərəkəti nəzərdən keçirərkən, nöqtənin koordinatlarını qəbul edəcəyik
hərəkət edən koordinat sisteminə nisbətən sabitdir və nöqtə hərəkət edən koordinat sistemi ilə birlikdə hərəkət edir
nisbətən stasionar
:

,

,

,.

3. Mütləq hərəkətlə nöqtə də nisbətən hərəkət edir
və koordinat sistemi ilə birlikdə
nisbətən stasionar
:

Sonra (27) nəzərə alınmaqla sürətlər üçün ifadələr formaya malikdir

,
,

Bu asılılıqları müqayisə edərək mütləq sürət üçün ifadəni əldə edirik:
. (61)

Mürəkkəb hərəkətdə olan nöqtənin sürətlərinin əlavə edilməsi haqqında teorem əldə etdik: nöqtənin mütləq sürəti nisbi və daşınan sürət komponentlərinin həndəsi cəminə bərabərdir.

(31) asılılığından istifadə edərək, sürətlənmələr üçün ifadələr alırıq:

,

Bu asılılıqları müqayisə edərək mütləq sürətlənmə ifadəsini əldə edirik:
.

Biz müəyyən etdik ki, nöqtənin mütləq sürətlənməsi nisbi və daşınan sürətlənmə komponentlərinin həndəsi cəminə bərabər deyil. Xüsusi hallar üçün mötərizədə mütləq sürətlənmə komponentini təyin edək.

1. Nöqtənin portativ tərcümə hərəkəti
. Bu halda hərəkət edən koordinat sisteminin oxları
sonra hər zaman özlərinə paralel hərəkət edin.

,

,

,
,
,
, Sonra
. Nəhayət alırıq

. (62)

Əgər nöqtənin daşınan hərəkəti translyasiyadırsa, onda nöqtənin mütləq sürətlənməsi sürətlənmənin nisbi və daşınan komponentlərinin həndəsi cəminə bərabərdir.

2. Nöqtənin daşınan hərəkəti qeyri-translationaldır. Bu o deməkdir ki, bu halda hərəkət edən koordinat sistemi
bucaq sürəti ilə ani fırlanma oxu ətrafında fırlanır (Şəkil 70). Vektorun sonundakı nöqtəni işarə edək vasitəsilə . Sonra (15) təyininin vektor metodundan istifadə edərək, bu nöqtənin sürət vektorunu alırıq
.

Digər tərəfdə,
. Bu vektor bərabərliklərinin sağ tərəflərini bərabərləşdirərək əldə edirik:
. Qalan vahid vektorlar üçün eyni şəkildə davam edərək, əldə edirik:
,
.

Ümumi halda nöqtənin mütləq sürətlənməsi nisbi və daşınan sürətlənmə komponentlərinin həndəsi cəminə üstəgəl daşınan hərəkətin bucaq sürət vektorunun və nisbi hərəkətin xətti sürət vektorunun ikiqat vektor məhsuluna bərabərdir.

Daşınan hərəkətin bucaq sürət vektoru ilə nisbi hərəkətin xətti sürət vektorunun ikiqat vektor hasilinə deyilir. Koriolis sürətlənməsi və təyin edilir

. (64)

Koriolis sürətlənməsi translyasiya hərəkətində nisbi sürətin dəyişməsini və nisbi hərəkətdə ötürmə sürətinin dəyişməsini xarakterizə edir.

rəhbərlik etdi
vektor məhsulu qaydasına uyğun olaraq. Koriolis sürətlənmə vektoru həmişə vektorların yaratdığı müstəviyə perpendikulyar yönəldilir Və , elə bir şəkildə ki, vektorun ucundan baxanda
, növbəyə baxın Kimə , ən kiçik bucaq vasitəsilə, saat yönünün əksinə.

Coriolis sürətlənmə modulu bərabərdir.

Fırlanma bucağı, bucaq sürəti və bucaq sürəti

Sərt cismin sabit ox ətrafında fırlanması Bədənin iki nöqtəsinin bütün hərəkət zamanı hərəkətsiz qaldığı belə bir hərəkət deyilir. Bu zaman cismin sabit nöqtələrindən keçən düz xətt üzərində yerləşən bütün nöqtələri də hərəkətsiz qalır. Bu xətt adlanır bədənin fırlanma oxu.

Əgər A Və IN- bədənin sabit nöqtələri (şəkil 15 ), onda fırlanma oxu oxdur oz, kosmosda istənilən istiqamətə malik ola bilər, mütləq şaquli deyil. Bir ox istiqaməti Oz müsbət kimi qəbul edilir.

Fırlanma oxu vasitəsilə sabit bir təyyarə çəkirik By və mobil P, fırlanan gövdəyə yapışdırılır. Zamanın ilkin anında hər iki təyyarə üst-üstə düşsün. Sonra bir anda t hərəkət edən müstəvi və fırlanan cismin özünün mövqeyi təyyarələr arasındakı dihedral bucaq və müvafiq xətti bucaq ilə müəyyən edilə bilər. φ bu müstəvilərdə yerləşən və fırlanma oxuna perpendikulyar düz xətlər arasında. Künc φ çağırdı bədənin fırlanma bucağı.

Bədənin seçilmiş istinad sisteminə nisbətən mövqeyi hər hansı birində tamamilə müəyyən edilir

tənlik verilmişsə, zaman anı φ =f(t) (5)

Harada f(t)- zamanın istənilən iki dəfə diferensiallana bilən funksiyası. Bu tənlik adlanır sərt cismin sabit ox ətrafında fırlanması üçün tənlik.

Sabit bir ox ətrafında fırlanan bir cismin bir sərbəstlik dərəcəsi var, çünki onun mövqeyi yalnız bir parametr - bucaq göstərilməklə müəyyən edilir. φ .

Künc φ saat əqrəbinin əksi istiqamətində çəkildikdə müsbət, oxun müsbət istiqamətindən baxdıqda isə əks istiqamətdə mənfi hesab olunur. Oz. Sabit bir ox ətrafında fırlanma zamanı cismin nöqtələrinin trayektoriyaları fırlanma oxuna perpendikulyar olan müstəvilərdə yerləşən dairələrdir.

Sərt cismin sabit ox ətrafında fırlanma hərəkətini xarakterizə etmək üçün biz bucaq sürəti və bucaq sürəti anlayışlarını təqdim edirik. Bədənin cəbri bucaq sürəti zamanın istənilən anında bu anda fırlanma bucağının vaxtına görə birinci törəmə adlanır, yəni. dφ/dt = φ. Bədən saat əqrəbinin əksinə fırlandıqda müsbət kəmiyyətdir, çünki fırlanma bucağı zamanla artır, bədən saat əqrəbi istiqamətində fırlandıqda isə mənfi olur, çünki fırlanma bucağı azalır.

Bucaq sürət modulu ilə işarələnir ω. Sonra ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

Bucaq sürətinin ölçüsü (6) bəndinə uyğun olaraq təyin edilir.

[ω] = bucaq/zaman = rad/s = s -1.

Mühəndislikdə bucaq sürəti dəqiqədə dövrlərlə ifadə olunan fırlanma sürətidir. 1 dəqiqədən sonra bədən bir açı ilə fırlanacaq 2πп,Əgər P- dəqiqədə inqilabların sayı. Bu bucağı dəqiqədə saniyələrin sayına bölsək, alırıq: (7)

Bədənin cəbri açısal sürətləndirilməsi cəbri sürətin vaxtına görə birinci törəmə adlanır, yəni. fırlanma bucağının ikinci törəməsi d 2 φ/dt 2 = ω. Bucaq sürətləndirmə modulunu işarə edək ε , Sonra ε=|φ| (8)

Bucaq sürətlənməsinin ölçüsü (8)-dən alınır:

[ε ] = bucaq sürəti/zaman = rad/s 2 = s -2

Əgər φ’’>0 saat φ’>0 , onda cəbri bucaq sürəti zamanla artır və buna görə də cisim müsbət istiqamətdə (saat əqrəbinin əksinə) zaman anında sürətlə fırlanır. At φ’’<0 Və φ’<0 bədən sürətlə mənfi istiqamətdə fırlanır. Əgər φ’’<0 saat φ’>0 , onda müsbət istiqamətdə yavaş fırlanmamız var. At φ’’>0 Və φ’<0 , yəni. yavaş fırlanma mənfi istiqamətdə baş verir. Şəkillərdəki bucaq sürəti və bucaq sürəti fırlanma oxu ətrafında qövs oxları ilə təsvir edilmişdir. Bucaq sürəti üçün qövs oxu cisimlərin fırlanma istiqamətini göstərir;

Sürətlənmiş fırlanma üçün bucaq sürəti və bucaq sürətlənməsi üçün qövs oxları eyni istiqamətlərə malikdir; yavaş fırlanma üçün istiqamətləri əksdir.

Sərt cismin fırlanmasının xüsusi halları

Əgər fırlanmanın vahid olduğu deyilir ω=const, φ= φ’t

Əgər fırlanma vahid olacaq ε=const. φ’= φ’ 0 + φ’’t və

Ümumiyyətlə, əgər φ’’ həmişə yox,

Bədən nöqtələrinin sürətləri və təcilləri

Sərt cismin sabit bir ox ətrafında fırlanması üçün tənlik məlumdur φ= f(t)(Şəkil 16). Məsafə s xal M hərəkət edən müstəvidə P nöqtədən ölçülən dairəvi qövs (nöqtə traektoriyası) boyunca M o, sabit müstəvidə yerləşir, bucaq vasitəsilə ifadə edilir φ asılılıq s=hφ, Harada h-nöqtənin hərəkət etdiyi dairənin radiusu. Bir nöqtədən ən qısa məsafədir M fırlanma oxuna. Buna bəzən nöqtənin fırlanma radiusu da deyilir. Bədənin hər bir nöqtəsində, bədən sabit bir ox ətrafında fırlandıqda fırlanma radiusu dəyişməz qalır.

Nöqtənin cəbri sürəti M düsturla müəyyən edilir v τ =s’=hφ Nöqtə sürət modulu: v=hω(9)

Sabit bir ox ətrafında fırlanan zaman bədən nöqtələrinin sürətləri onların bu oxa olan ən qısa məsafələrinə mütənasibdir. Mütənasiblik əmsalı bucaq sürətidir. Nöqtələrin sürətləri trayektoriyalara tangenslər boyunca yönəldilir və buna görə də fırlanma radiuslarına perpendikulyardır. Düz xətt seqmentində yerləşən bədən nöqtələrinin sürətləri OM,(9)-a uyğun olaraq xətti qanuna görə paylanır. Onlar bir-birinə paraleldir və ucları fırlanma oxundan keçən eyni düz xətt üzərində yerləşir. Bir nöqtənin sürətini tangensial və normal komponentlərə parçalayırıq, yəni. a=a τ +a nτ Tangensial və normal sürətlənmələr (10) düsturlarından istifadə etməklə hesablanır.

bir dairə üçün əyrilik radiusu olduğundan p=h(şək. 17 ). Beləliklə,

Nöqtələrin tangens, normal və tam təcilləri, eləcə də sürətlər də xətti qanuna uyğun olaraq paylanır. Onlar nöqtələrin fırlanma oxuna olan məsafələrindən xətti asılıdır. Normal sürətlənmə dairənin radiusu boyunca fırlanma oxuna doğru yönəldilir. Tangensial sürətlənmənin istiqaməti cəbri bucaq sürətinin işarəsindən asılıdır. At φ’>0 Və φ’’>0 və ya φ’<0 Və φ’<0 cismin sürətləndirilmiş fırlanması və vektorların istiqamətləri var a τ Və v uyğunlaşdırmaq. Əgər φ’ Və φ’" müxtəlif əlamətlərə malikdir (yavaş fırlanma), sonra a τ Və v bir-birinə qarşı yönəldilmişdir.

təyin edərək α bir nöqtənin ümumi sürətlənməsi ilə onun fırlanma radiusu arasındakı bucaq, bizdə var

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

normal sürətlənmədən bəri a p həmişə pozitiv. Künc A bədənin bütün nöqtələri üçün eynidir. Sərt cismin fırlanma istiqamətindən asılı olmayaraq, bucaq sürətinin qövs oxu istiqamətində sürətlənmədən fırlanma radiusuna qədər təxirə salınmalıdır.

Bucaq sürətinin və bucaq sürətinin vektorları

Cismin bucaq sürəti və bucaq sürətinin vektorları anlayışlarını təqdim edək. Əgər TO müsbət istiqamətə yönəlmiş fırlanma oxunun vahid vektoru, sonra bucaq sürət vektorlarıdır. ώ və açısal sürətlənmə ε ifadələrlə müəyyən edilir (12)

Çünki k böyüklüyü və istiqamətində vektor sabitidir, onda (12)-dən belə nəticə çıxır ki

ε=dώ/dt(13)

At φ’>0 Və φ’’>0 vektor istiqamətləri ώ Və ε uyğunlaşdırmaq. Onların hər ikisi fırlanma oxunun müsbət tərəfinə yönəldilmişdir Oz(Şəkil 18.a) Əgər φ’>0 Və φ’’<0 , sonra onlar əks istiqamətlərə yönəldilir (şək. 18.b ). Bucaq sürətləndirilməsi vektoru sürətlənmiş fırlanma zamanı bucaq sürət vektoru ilə istiqamətdə üst-üstə düşür və yavaş fırlanma zamanı onun əksidir. Vektorlar ώ Və ε fırlanma oxunun istənilən nöqtəsində təsvir edilə bilər. Onlar hərəkət edən vektorlardır. Bu xassə bədən nöqtələrinin sürətləri və təcilləri üçün vektor düsturlarından irəli gəlir.

Kompleks nöqtə hərəkəti

Əsas anlayışlar

Sərt cismin bəzi daha mürəkkəb hərəkət növlərini öyrənmək üçün nöqtənin ən sadə mürəkkəb hərəkətini nəzərdən keçirmək məqsədəuyğundur. Bir çox məsələlərdə nöqtənin hərəkəti bir-birinə nisbətən hərəkət edən iki (və ya daha çox) istinad sisteminə nisbətən nəzərə alınmalıdır. Beləliklə, Aya doğru hərəkət edən kosmik gəminin hərəkəti eyni vaxtda həm Yerə nisbətən, həm də Yerə nisbətən hərəkət edən Aya nisbətən nəzərə alınmalıdır. Nöqtənin istənilən hərəkəti bir neçə hərəkətdən ibarət mürəkkəb hesab oluna bilər. Məsələn, gəminin Yerə nisbətən çay boyunca hərəkətini suda və axan su ilə birlikdə hərəkətdən ibarət mürəkkəb hesab etmək olar.

Ən sadə halda nöqtənin mürəkkəb hərəkəti nisbi və tərcümə hərəkətlərindən ibarətdir. Gəlin bu hərəkətləri müəyyən edək. Bir-birinə nisbətən hərəkət edən iki istinad sistemimiz olsun. Əgər bu sistemlərdən biri O l x 1 y 1 z 1(şək. 19 ) əsas və ya stasionar kimi qəbul edilir (onun digər istinad sistemlərinə nisbətən hərəkəti nəzərə alınmır), sonra ikinci istinad sistemi Oxyz birinciyə nisbətən hərəkət edəcək. Hərəkət edən istinad çərçivəsinə nisbətən nöqtənin hərəkəti Oxyzçağırdı qohum. Bu hərəkətin trayektoriyası, sürəti və sürətlənməsi kimi xüsusiyyətləri deyilir qohum. Onlar r indeksi ilə təyin olunur; sürət və sürətləndirmə üçün v r, a r.Əsas və ya sabit sistem istinad çərçivəsinə nisbətən nöqtənin hərəkəti O 1 x 1 y 1 z 1çağırdı mütləq(və ya kompleks ). Buna bəzən də deyilir kompozit hərəkat. Bu hərəkətin trayektoriyası, sürəti və sürətlənməsi mütləq adlanır. Mütləq hərəkətin sürəti və sürətlənməsi hərflərlə göstərilir v, a indeksləri yoxdur.

Nöqtənin daşınan hərəkəti, nəzərdən keçirilən anda bu sistemə möhkəm bir şəkildə bağlanmış bir nöqtə kimi hərəkət edən istinad çərçivəsi ilə birlikdə etdiyi hərəkətdir. Nisbi hərəkətə görə müxtəlif vaxtlarda hərəkət edən nöqtə bədənin müxtəlif nöqtələri ilə üst-üstə düşür S, hərəkət edən istinad sisteminin qoşulduğu. Portativ sürət və portativ sürətlənmə bədənin həmin nöqtəsinin sürəti və sürətlənməsidir S, hansı ilə hərəkət nöqtəsi hazırda üst-üstə düşür. Portativ sürət və sürətlənmə işarə edir v e, a e.

Bədənin bütün nöqtələrinin trayektoriyaları varsa S,Şəkildə (Şəkil 20) təsvir edilmiş hərəkətli istinad sisteminə əlavə olunur, sonra biz xətlər ailəsini - nöqtənin daşınan hərəkətinin traektoriyaları ailəsini əldə edirik. M. Nöqtənin nisbi hərəkətinə görə M zamanın hər anında portativ hərəkət trayektoriyalarından birində olur. Nöqtə M bu transfer trayektoriyaları ailəsinin hər bir trayektoriyasında yalnız bir nöqtə ilə üst-üstə düşə bilər. Bununla əlaqədar, bəzən portativ hərəkətin trayektoriyalarının olmadığına inanılır, çünki xətləri portativ hərəkətin trayektoriyaları kimi nəzərdən keçirmək lazımdır, bunun üçün yalnız bir nöqtə əslində trayektoriyanın bir nöqtəsidir.

Nöqtənin kinematikasında bu istinad sisteminin digər sistemlərə nisbətən hərəkət edib-etməməsindən asılı olmayaraq hər hansı istinad sisteminə nisbətən nöqtənin hərəkəti öyrənilirdi. Ən sadə halda nisbi və məcazi hərəkətdən ibarət olan mürəkkəb hərəkəti nəzərə alaraq bu araşdırmanı tamamlayaq. Bir və eyni mütləq hərəkət, müxtəlif hərəkətli istinad çərçivələrini seçərək, müxtəlif daşınan və müvafiq olaraq nisbi hərəkətlərdən ibarət hesab edilə bilər.

Sürət əlavəsi

Bu nöqtənin nisbi və daşınan hərəkətlərinin sürətləri məlumdursa, onun mütləq hərəkətinin sürətini təyin edək. Nöqtə hərəkət edən Oxyz istinad çərçivəsinə nisbətən yalnız bir, nisbi hərəkət etsin və t anında nisbi hərəkətin trayektoriyası üzrə M mövqeyini tutsun (şək. 20). t+ t zamanında nisbi hərəkətə görə nöqtə nisbi hərəkətin trayektoriyası üzrə MM 1 hərəkət edərək M 1 vəziyyətində olacaq. Fərz edək ki, mətləb buradadır Oxyz və nisbi trayektoriya ilə müəyyən əyri boyunca hərəkət edəcək MM 2.Əgər nöqtə həm nisbi, həm də daşınan hərəkətlərdə eyni vaxtda iştirak edirsə, onda A zamanında; köçəcək MM" mütləq hərəkət trayektoriyası boyunca və zaman anında t+At vəzifəsini tutacaq M". Vaxt olsa At az sonra limitə gedin at, sıfıra meylli olduqda, əyrilər boyunca kiçik yerdəyişmələr akkordların seqmentləri ilə əvəz edilə bilər və yerdəyişmə vektorları kimi qəbul edilə bilər. Vektor yerdəyişmələrini əlavə edərək, əldə edirik

Bu baxımdan, daha yüksək səviyyəli kiçik miqdarlar sıfıra doğru atılır at, sıfıra meyl edir. Həddinə çatırıq, bizdə (14)

Beləliklə, (14) (15) formasını alacaq.

Sözdə sürətin əlavə teoremi alınır: nöqtənin mütləq hərəkətinin sürəti bu nöqtənin daşınan və nisbi hərəkətlərinin sürətlərinin vektor cəminə bərabərdir.Ümumi halda daşınan və nisbi hərəkətlərin sürətləri perpendikulyar olmadığı üçün (15')

Əlaqədar məlumat.