Müəyyən inteqraldan istifadə edərək inqilab cisimlərinin həcmlərinin hesablanması. Bir sikloid qövsünün fırlanması ilə əldə edilən cismin həcmi Düz fiqurun sahəsi parametrik olaraq

Həndəsi mənasını anladığımız zaman müəyyən inteqral, x oxu və düz xətlərlə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin sahəsini tapa biləcəyiniz bir düsturumuz var. x = a, x = b, həmçinin davamlı (mənfi və ya müsbət olmayan) funksiya y = f(x). Bəzən rəqəmi parametrik formada məhdudlaşdıran funksiyanı təyin etmək daha rahatdır, yəni. t parametri vasitəsilə funksional asılılığı ifadə edin. İçində bu materialdan parametrik olaraq müəyyən edilmiş əyri ilə məhdudlaşırsa, fiqurun sahəsini necə tapa biləcəyinizi göstərəcəyik.

Nəzəriyyəni izah etdikdən və düsturu əldə etdikdən sonra bu cür fiqurların sahəsini tapmaq üçün bir neçə tipik nümunəyə baxacağıq.

Hesablama üçün əsas düstur

Fərz edək ki, bizim əyrixətti trapesiyamız var, onun sərhədləri x = a, x = b düz xətləri, O x oxu və parametrik olaraq təyin olunmuş əyri x = φ (t) y = ψ (t) və x = φ (t) və y = ψ (t) funksiyaları α intervalında fasiləsizdir; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Tərif 1

Belə şəraitdə trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ "(t) d t düsturundan istifadə etməlisiniz.

Onu x = φ (t) y = ψ (t) əvəzetmə üsulu ilə S (G) = ∫ a b f (x) d x əyri xətti trapezoidin sahəsi üçün düsturdan əldə etdik:

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Tərif 2

β intervalında x = φ (t) funksiyasının monoton azalması nəzərə alınmaqla; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Əgər x = φ (t) funksiyası əsas elementar funksiyalardan biri deyilsə, onda onun artıb-azalacağını müəyyən etmək üçün bir intervalda funksiyanın artırılması və azalmasının əsas qaydalarını yadda saxlamalıyıq.

Bu paraqrafda yuxarıda əldə edilmiş düsturdan istifadə edərək bir neçə problemi təhlil edəcəyik.

Misal 1

Vəziyyət: x = 2 cos t y = 3 sin t formalı tənliklərlə verilən xəttin yaratdığı fiqurun sahəsini tapın.

Həll

Parametrik olaraq müəyyən edilmiş bir xəttimiz var. Qrafik olaraq iki yarımox 2 və 3 olan ellips şəklində göstərilə bilər. İllüstrasiyaya baxın:

Gəlin birinci kvadrantı tutan nəticədə fiqurun 1 4 sahəsini tapmağa çalışaq. Region x ∈ a intervalındadır; b = 0; 2. Sonra, alınan dəyəri 4-ə vurun və bütün rəqəmin sahəsini tapın.

Hesablamalarımızın gedişatı budur:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

k-nin 0-a bərabər olması ilə β intervalını alırıq; α = 0; π 2. x = φ (t) = 2 cos t funksiyası monoton şəkildə azalacaq (daha ətraflı məlumat üçün əsas məqaləyə baxın. elementar funksiyalar və onların xüsusiyyətləri). Bu o deməkdir ki, siz sahənin hesablanması üçün düsturdan istifadə edə və Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək müəyyən inteqralı tapa bilərsiniz:

- ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2) 0 π 2 = 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π 2

Bu o deməkdir ki, orijinal əyri ilə verilən rəqəmin sahəsi S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π-ə bərabər olacaqdır.

Cavab: S(G) = 6π

Aydınlaşdıraq ki, yuxarıdakı məsələni həll edərkən ellipsin təkcə dörddə birini deyil, həm də yarısını - yuxarı və ya aşağısını götürmək mümkün idi. Yarım x ∈ a intervalında yerləşəcək; b = - 2; 2. Bu halda bizdə olacaq:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z

Beləliklə, k-nin 0-a bərabər olması ilə β alırıq; α = 0; π. Bu intervalda x = φ (t) = 2 cos t funksiyası monoton şəkildə azalacaq.

Bundan sonra ellipsin yarısının sahəsini hesablayırıq:

- ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Qeyd etmək lazımdır ki, yalnız yuxarı və ya aşağı götürə bilərsiniz, lakin sağ və ya sol deyil.

Verilmiş ellips üçün mərkəzi başlanğıcda yerləşəcək parametrik tənlik yarada bilərsiniz. O, x = a · cos t y = b · sin t kimi görünəcək. Yuxarıdakı nümunədə olduğu kimi davam edərək, a = πab ilə S e l və p ellipsin sahəsini hesablamaq üçün bir düstur alırıq.

Siz x = R · cos t y = R · sin t tənliyindən istifadə edərək mərkəzi başlanğıcda yerləşən çevrəni təyin edə bilərsiniz, burada t parametr, R isə bu çevrənin radiusudur. Dərhal bir ellipsin sahəsi üçün düsturdan istifadə etsək, onda R radiusu olan bir dairənin sahəsini hesablaya biləcəyimiz bir düstur alacağıq: S k r y r a = πR 2 .

Gəlin daha bir problemə baxaq.

Misal 2

Vəziyyət: X = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t parametrik olaraq təyin edilmiş əyri ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsinin nəyə bərabər olacağını tapın.

Həll

Dərhal aydınlaşdıraq ki, bu əyri uzanmış astroid formasına malikdir. Tipik olaraq astroid x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t formasının tənliyi ilə ifadə edilir.

İndi belə bir əyrinin necə qurulacağına ətraflı baxaq. Fərdi nöqtələrə əsaslanaraq quraq. Bu ən çox yayılmış üsuldur və əksər tapşırıqlar üçün tətbiq olunur. Daha çox mürəkkəb nümunələr parametrik müəyyən edilmiş funksiyanı müəyyən etmək üçün diferensial hesablama tələb edir.

Bizdə x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t var.

Bu funksiyalar t-nin bütün real dəyərləri üçün müəyyən edilir. Sin və cos üçün onların dövri olduğu və dövrünün 2 pi olduğu məlumdur. Bəzi t = t 0 ∈ 0 üçün x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t funksiyalarının qiymətlərini hesabladıqdan sonra; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8, biz x 0 xal alırıq; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .

Ümumi dəyərlərin cədvəlini yaradaq:

t 0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 = φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t 0	9 π 8	5 π 4	11 π 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2π
x 0 = φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

Bundan sonra, təyyarədə lazımi nöqtələri qeyd edin və onları bir xətt ilə birləşdirin.

İndi fiqurun birinci koordinat rübündə yerləşən hissəsinin sahəsini tapmalıyıq. Bunun üçün x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Əgər k 0-a bərabərdirsə, onda β intervalını alırıq; α = 0; π 2 və x = φ (t) = 3 cos 3 t funksiyası onun üzərində monoton şəkildə azalacaq. İndi sahə düsturunu götürürük və hesablayırıq:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t " d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə etməklə hesablana bilən müəyyən inteqrallar əldə etdik. Bu düstur üçün antiderivativləri təkrarlanan J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) düsturundan istifadə etməklə tapmaq olar, burada J n (x) = ∫ günah n x d x.

∫ sin 4 t d t = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 0 π 6 ∫ + π2 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

Bir rəqəmin dörddə birinin sahəsini hesabladıq. 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16-a bərabərdir.

Bu dəyəri 4-ə vursaq, bütün rəqəmin sahəsini alırıq - 9 π 4.

Eyni şəkildə, x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t tənlikləri ilə verilən astroidin sahəsinin S a stroid = 3 πa 2 8 düsturu ilə tapıla biləcəyini sübut edə bilərik. , və x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t xətti ilə məhdudlaşdırılan rəqəmin sahəsi S = 3 πab 8 düsturu ilə hesablanır.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Sikloid qövsün əsas ətrafında fırlanması nəticəsində yaranan cismin həcmini tapaq. Roberval onu əmələ gələn yumurta formalı gövdəni (şək. 5.1) sonsuz nazik təbəqələrə parçalayaraq, bu təbəqələrə silindrlər yazaraq və onların həcmlərini əlavə etməklə tapmışdır. Sübut uzun, yorucu və tamamilə ciddi deyil. Buna görə hesablamaq üçün müraciət edirik ali riyaziyyat. Sikloidin tənliyini parametrik olaraq təyin edək.

İnteqral hesablamada həcmləri öyrənərkən aşağıdakı qeyddən istifadə olunur:

Əgər əyrixətti trapesiyanı məhdudlaşdıran əyri parametrik tənliklərlə verilirsə və bu tənliklərdəki funksiyalar müəyyən inteqralda dəyişən teoreminin dəyişmə şərtlərini ödəyirsə, onda həcm inqilab orqanları Ox oxu ətrafında trapesiya, düsturla hesablanacaq:

Bizə lazım olan həcmi tapmaq üçün bu düsturdan istifadə edək.

Eyni şəkildə, bu cismin səthini hesablayırıq.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - xərc), 0 ? t ? 2р)

İnteqral hesablamada var aşağıdakı formula seqmentdə müəyyən edilmiş əyrinin x oxu ətrafında çevrilmə cisminin səth sahəsini parametrik olaraq tapmaq üçün (t 0 ?t ?t 1):

Bu düsturu sikloid tənliyimizə tətbiq edərək əldə edirik:

Sikloid qövsün fırlanması nəticəsində yaranan başqa bir səthi də nəzərdən keçirək. Bunun üçün biz sikloid tağının əsasına nisbətən güzgü şəklini quracağıq və sikloidin əmələ gətirdiyi oval fiquru və onun əksini KT oxu ətrafında çevirəcəyik (şək. 5.2).

Əvvəlcə sikloid qövsün KT oxu ətrafında fırlanması nəticəsində əmələ gələn cismin həcmini tapaq. Onun həcmini (*) düsturu ilə hesablayacağıq:

Beləliklə, bu şalgam formalı gövdənin yarısının həcmini hesabladıq. Sonra bütün həcm bərabər olacaq

haqqında dərslərdə müstəvidə düz xəttin tənliyi Və fəzada düz xəttin tənlikləri.

Köhnə bir dostla tanış olun:

Əyrixətti trapesiya qürurla bir qrafiklə taclanır və bildiyiniz kimi, sahəsi müəyyən inteqraldan istifadə etməklə hesablanır elementar düstura görə və ya qısaca: .

Nə zaman vəziyyəti nəzərdən keçirək eyni funksiya parametrik formada verilir.

Bu vəziyyətdə ərazini necə tapmaq olar?

Bəzilərində olduqca spesifik parametrin dəyəri, parametrik tənliklər nöqtənin koordinatlarını təyin edəcək və digəri üçün olduqca spesifik dəyər – nöqtənin koordinatları. “te” inklüzivdən daxil olana dəyişdikdə, parametrik tənliklər əyrini “çəkir”. Düşünürəm ki, inteqrasiyanın sərhədləri ilə bağlı hər şey aydın oldu. İndi inteqrala əvəzinə"X" və "Y" funksiyaları əvəz edirik və diferensial açırıq:

Qeyd : funksiyalarının olduğu güman edilir davamlı inteqrasiya intervalı və əlavə olaraq funksiya haqqında monoton Onun üzərinə.

Fırlanma cisminin həcminin düsturu sadədir:

Əyri trapesiyanı ox ətrafında fırlatmaqla əldə edilən cismin həcmi düsturla hesablanır və ya: . Biz ona parametrik funksiyaları, eləcə də inteqrasiya limitlərini əvəz edirik:

Zəhmət olmasa hər iki iş düsturunu arayış kitabçanıza qeyd edin.

Müşahidələrimə görə, həcmi tapmaqda problemlər olduqca nadirdir və buna görə də bu dərsdəki nümunələrin əhəmiyyətli bir hissəsi sahənin tapılmasına həsr olunacaq. İşləri uzun müddət təxirə salmayaq:

Misal 1

Əyri trapezoidin sahəsini hesablayın , Əgər

Həll: düsturdan istifadə edin .

Həmişə və hər yerdə başa düşülən bir mövzuda klassik problem:

Misal 2

Ellipsin sahəsini hesablayın

Həll: müəyyənlik üçün parametrik tənliklərin müəyyən etdiyini fərz edirik kanonik ellips mərkəzi başlanğıcda, yarım böyük ox “a” və yarım kiçik ox “be” ilə. Yəni şərtə görə bizə bundan başqa heç nə təklif olunmur

ellipsin sahəsini tapın

Aydındır ki, parametrik funksiyalar dövridir və . Düsturu doldura biləcəyiniz görünür, amma hər şey o qədər də şəffaf deyil. Gəlin öyrənək istiqamət, hansı parametrik tənliklərdə ellips “çəkir”. Bələdçi olaraq, ən çox uyğun gələn bir neçə nöqtəni tapacağıq sadə dəyərlər parametr:

“Te” parametri sıfırdan “iki pi”yə dəyişdikdə parametrik tənliklərin ellips “çəkdiyini” başa düşmək asandır. saat əqrəbinin əksinə:

Fiqurun simmetriyasına görə, biz 1-ci koordinat rübündə sahənin hissəsini hesablayırıq və nəticəni 4-ə vururuq. Burada əsas olaraq yuxarıda şərh etdiyim eyni mənzərəni görürük: parametrik tənliklər qövsü “çəkir”. oxun "əks istiqamətində" ellipsin, lakin sahə rəqəmləri soldan sağa sayılır! Buna görə də aşağı inteqrasiya limiti qiymətə uyğundur və üst limit – dəyər.

Artıq dərsdə məsləhət verdiyim kimi Qütb koordinatlarında sahə, dördqat nəticə daha yaxşıdır Bir anda:

İnteqral (əgər kimsə birdən belə inanılmaz boşluq aşkar edərsə) sinifdə təhlil edildi Triqonometrik funksiyaların inteqralları.

Cavab verin:

Əslində, biz ərazini tapmaq üçün bir düstur əldə etdik ellips. Təcrübədə "a" və "ol" kimi xüsusi dəyərləri olan bir tapşırıqla qarşılaşsanız, problem ümumi formada həll edildiyi üçün asanlıqla barışdıra/yoxlaya bilərsiniz.

Ellipsin sahəsi də düzbucaqlı koordinatlarda hesablanır, bunun üçün tənlikdən “y”-ni ifadə etməli və məsələni məqalənin 4-cü misalındakı kimi həll etməlisiniz. Müəyyən inteqralların həlli üçün effektiv üsullar. Bu nümunəyə baxdığınızdan əmin olun və parametrik olaraq təyin olunarsa, ellipsin sahəsini hesablamaq nə qədər asan olduğunu müqayisə edin.

Və təbii ki, demək olar ki, unutdum, parametrik tənliklər qeyri-kanonik mövqedə bir çevrə və ya ellipsi təyin edə bilər.

Misal 3

Bir sikloidin bir qövsünün sahəsini hesablayın

Problemi həll etmək üçün onun nə olduğunu bilmək lazımdır sikloid və ya heç olmasa rəsmi şəkildə rəsmi tamamlayın. Dərsin sonunda nümunə dizayn. Ancaq sizi uzağa göndərməyəcəyəm, bu xəttin qrafikinə aşağıdakı məsələdə baxa bilərsiniz:

Misal 4

Həll: parametrik tənliklər sikloidi təyin edin və məhdudiyyət ondan bəhs etdiyimizi göstərir birinci qövs, parametr dəyəri daxilində dəyişdikdə "çəkilir". Nəzərə alın ki, bu "rəsm"in "düzgün" istiqaməti (soldan sağa), yəni inteqrasiyanın sərhədləri ilə bağlı heç bir problem olmayacaq. Ancaq bir çox başqa gözəl şeylər görünəcək =) Tənlik qurulur birbaşa, x oxuna paralel və əlavə şərt (santimetr. xətti bərabərsizliklər) bizə aşağıdakı rəqəmin sahəsini hesablamalı olduğumuzu söyləyir:

İstədiyiniz kölgə şəklini assosiativ olaraq "evin damı", düzbucaqlı - "evin divarı" və bütün quruluşu (divar + dam) - "evin fasadı" adlandıracağam. Baxmayaraq ki, bu bina daha çox bir növ inəkxanaya bənzəyir =)

"Dam" sahəsini tapmaq üçün "divar" sahəsini "fasad" sahəsindən çıxarmaq lazımdır.

Əvvəlcə "fasad" ilə məşğul olaq. Onun sahəsini tapmaq üçün xəttin sikloidin ilk qövsü ilə kəsişmə nöqtələrini təyin edən dəyərləri tapmaq lazımdır (nöqtələr və ). Parametrik tənliyə əvəz edək:

Triqonometrik tənliyi sadəcə baxmaqla asanlıqla həll etmək olar kosinus süjeti: intervalda bərabərlik iki köklə ödənilir: . Prinsipcə, hər şey aydındır, amma buna baxmayaraq, təhlükəsiz oynayaq və onları tənliklə əvəz edək:

– bu nöqtənin “X” koordinatıdır;

– və bu nöqtənin “X” koordinatıdır.

Beləliklə, biz əmin olduq ki, parametr dəyəri nöqtəyə, qiymət isə nöqtəyə uyğundur.

Gəlin "fasadın" sahəsini hesablayaq. Daha yığcam notasiya üçün funksiya çox vaxt birbaşa inteqralın altında fərqlənir:

"Divarın" sahəsi düzbucaqlının bitişik tərəflərinin uzunluqlarını vuraraq "məktəb" metodundan istifadə edərək hesablana bilər. Uzunluğu göz qabağındadır, qalan onu tapmaqdır. "tse" və "be" nöqtələrinin "X" koordinatları arasındakı fərq kimi hesablanır (əvvəllər tapılmışdır):

Divar sahəsi:

Əlbəttə ki, ən sadə köməyi ilə belə tapmaqda utanc yoxdur müəyyən inteqral seqmentdəki funksiyadan:

Nəticədə, dam sahəsi:

Cavab verin:

Və təbii ki, əgər rəsmimiz varsa, əldə edilən nəticənin həqiqətə bənzəyib-oxşamadığını qutu-qutu təxmin edirik. Oxşar

Növbəti tapşırıq üçün müstəqil qərar:

Misal 5

Tənliklərlə verilmiş xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın

Həll alqoritmini qısaca sistemləşdirək:

– Əksər hallarda siz rəsm çəkməli və sahəsini tapmaq istədiyiniz rəqəmi müəyyənləşdirməli olacaqsınız.

– İkinci mərhələdə, tələb olunan sahənin necə hesablandığını başa düşməlisiniz: bu, tək əyri trapesiya ola bilər, sahələr fərqi ola bilər, sahələrin cəmi ola bilər - bir sözlə, baxdığımız bütün fişlər. dərsdə.

– Üçüncü addımda fiqurun simmetriyasından istifadə etməyin məqsədəuyğun olub-olmadığını təhlil etməliyik (əgər simmetrik olarsa) və sonra inteqrasiyanın sərhədlərini (parametrin ilkin və son qiyməti) öyrənməliyik. Adətən bu sadə triqonometrik tənliyin həllini tələb edir - burada istifadə edə bilərsiniz analitik metod, qrafik metodu və ya uyğun olaraq zəruri köklərin sadə seçimi triqonometrik cədvəl.

! unutma ki, parametrik tənliklər sağdan sola xətt “çəkə” bilər, bu halda işçi düsturda müvafiq qeyd və düzəliş edirik.

– Son mərhələdə isə texniki hesablamalar aparılır. Rəsmdən alınan cavabın inandırıcılığını qiymətləndirmək həmişə xoşdur.

İndi isə ulduzla çoxdan gözlənilən görüş:

Misal 6

Tənliklərlə verilmiş xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın

Həll: tənliklərlə verilmiş əyridir astroid, Və xətti bərabərsizlik rəsmdəki kölgəli rəqəmi unikal şəkildə müəyyənləşdirir:

Xəttin və astroidin kəsişmə nöqtələrini təyin edən parametr dəyərlərini tapaq. Bunu etmək üçün parametrik tənliyi əvəz edək:

Belə bir tənliyin həlli üsulları artıq yuxarıda sadalanmışdır, xüsusən də bu köklər aşağıdakılara uyğun olaraq asanlıqla seçilə bilər. triqonometrik cədvəl.

Şəkil x oxuna görə simmetrikdir, ona görə də sahənin yuxarı yarısını hesablayaq (mavi kölgə) və nəticəni ikiqat artıraq.

Dəyəri parametrik tənliyə əvəz edək:
Nəticədə, astroid və düz xəttin yuxarı (bizə ehtiyacımız olan) kəsişmə nöqtəsinin "Yunan" koordinatını əldə etdik.

Astroidin sağ təpəsi açıq şəkildə dəyərə uyğundur. Hər halda yoxlayaq:
, yoxlanılması lazım olan şeydi.

Ellipsdə olduğu kimi, parametrik tənliklər də astroidin qövsünü sağdan sola “çəkir”. Müxtəliflik üçün sonluğu ikinci şəkildə formatlayacağam: parametr limit daxilində dəyişdikdə, funksiya azalır, buna görə də (ikiqat artırmağı unutmayın!!):

İnteqral olduqca çətin oldu və "hər şeyi özünüzlə daşımamaq" üçün həlli dayandırmaq və inteqrandı ayrıca çevirmək daha yaxşıdır. Standart dərəcəsini aşağı salın istifadə etməklə triqonometrik düsturlar:

Uyğundur, son müddətdə funksiyanı diferensial işarənin altına qoyaq:

Cavab verin:

Bəli, ulduzlarla bir az çətindir =)

Aşağıdakı tapşırıq qabaqcıl tələbələr üçün nəzərdə tutulub:

Misal 7

Tənliklərlə verilmiş xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın

Bunu həll etmək üçün artıq nəzərdən keçirdiyimiz materiallar kifayət edəcəkdir, lakin adi yol çox uzundur və indi sizə başqa bir təsirli üsul haqqında məlumat verəcəyəm. İdeya əslində dərsdən tanışdır Müəyyən inteqraldan istifadə edərək sahənin hesablanması– bu, “y” dəyişəni üzərində inteqrasiya və düsturun istifadəsidir . Parametrik funksiyaları ona əvəz edərək, güzgü işləmə düsturu əldə edirik:

Doğrudan da, niyə "standartdan" daha pisdir? Bu, parametrik formanın başqa bir üstünlüyüdür - tənlik təkcə “adi” deyil, həm də rolunu oynamağa qadirdir eyni vaxtda Və tərs funksiya.

IN bu halda funksiyalarının olduğu güman edilir davamlı inteqrasiya intervalı və funksiyası haqqında monoton Onun üzərinə. Üstəlik, əgər azalır inteqrasiya intervalında (parametrik tənliklər "əks istiqamətdə" qrafiki "çəkir" (diqqət!!) ox), sonra artıq müzakirə olunan texnologiyadan istifadə edərək, inteqrasiya həddini yenidən təşkil etməli və ya əvvəlcə inteqralın qarşısına "mənfi" qoymalısınız.

7 nömrəli nümunənin həlli və cavabı dərsin sonundadır.

Son mini-bölmə daha nadir bir problemə həsr edilmişdir:

Fırlanma cisminin həcmini necə tapmaq olar,
rəqəm parametrik müəyyən edilmiş xətt ilə məhdudlaşırsa?

Dərsin əvvəlində əldə edilən düsturu yeniləyək: . Ümumi həll üsulu sahənin tapılması ilə tamamilə eynidir. Piggy bankımdan bir neçə tapşırıq çıxaracağam.

Parametrik olaraq müəyyən edilmiş xətlərlə məhdudlaşan fiqurların sahələrini hesablamağa imkan verən nəticə düsturunun tətbiqi nümunələrini nəzərdən keçirək.

Misal.

Parametrik tənlikləri formaya malik olan bir xətt ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Həll.

Bizim nümunəmizdə parametrik olaraq təyin olunan xətt 2 və 3 vahid yarım oxları olan bir ellipsdir. Gəlin onu quraq.

Ərazini tapaq birinci kvadrantda yerləşən ellipsin dörddə biri. Bu sahə intervalda yerləşir . Yaranan dəyəri dördə vuraraq bütün rəqəmin sahəsini hesablayırıq.

Bizdə nə var:

üçün k = 0 intervalı alırıq . Bu intervalda funksiya monoton şəkildə azalır (bölməyə bax). Sahəni hesablamaq və Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək müəyyən inteqralı tapmaq üçün düsturdan istifadə edirik:

Beləliklə, orijinal rəqəmin sahəsi bərabərdir .

Şərh.

Məntiqi sual yaranır: niyə ellipsin yarısını yox, dörddə birini götürdük? Fiqurun yuxarı (və ya aşağı) yarısını görmək mümkün idi. O, intervaldadır . Bu halda biz alacaqdıq

Yəni k = 0 üçün intervalı alırıq. Bu intervalda funksiya monoton şəkildə azalır.

Sonra ellipsin yarısının sahəsi tapılır

Ancaq ellipsin sağ və ya sol yarısını götürə bilməyəcəksiniz.

Başlanğıcda və a və b yarımoxlarında mərkəzləşdirilmiş ellipsin parametrik təsviri formaya malikdir. Təhlil olunan nümunədəki kimi hərəkət etsək, alırıq ellipsin sahəsini hesablamaq üçün düstur .

R radiusunun başlanğıcında mərkəzi olan dairə t parametri vasitəsilə tənliklər sistemi ilə təyin olunur. Ellipsin sahəsi üçün alınan düsturdan istifadə etsəniz, dərhal yaza bilərsiniz bir dairənin sahəsini tapmaq üçün düstur radius R: .

Daha bir misal həll edək.

Misal.

Parametrik olaraq müəyyən edilmiş əyri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Həll.

Bir az irəliyə baxsaq, əyri "uzadılmış" astroiddir. (Astroid aşağıdakı parametrik təmsilə malikdir).

Gəlin rəqəmi bağlayan əyrinin qurulması üzərində ətraflı dayanaq. Biz onu nöqtə-nöqtə quracağıq. Tipik olaraq, belə bir tikinti əksər problemləri həll etmək üçün kifayətdir. Daha mürəkkəb hallarda, şübhəsiz ki, ətraflı parametrik tədqiqat tələb olunacaq. verilmiş funksiya diferensial hesablamadan istifadə etməklə.

Bizim nümunəmizdə.

Bu funksiyalar t parametrinin bütün real qiymətləri üçün müəyyən edilir və sinus və kosinusun xassələrindən bilirik ki, onlar iki pi dövrü ilə dövridir. Beləliklə, bəziləri üçün funksiya dəyərlərini hesablamaq (Misal üçün ), bir sıra xal alırıq .

Rahatlıq üçün dəyərləri cədvələ daxil edək:

Biz müstəvidə nöqtələri qeyd edirik və ARADIMLI olaraq onları bir xətt ilə birləşdiririk.

Birinci koordinat kvadrantında yerləşən bölgənin sahəsini hesablayaq. Bu sahə üçün .

At k=0 intervalı alırıq , funksiyası üzərində monoton şəkildə azalır. Sahəni tapmaq üçün formula tətbiq edirik:

Biz Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə etməklə nəticələnən müəyyən inteqralları hesablayırıq və formanın təkrarlanan düsturundan istifadə edərək Nyuton-Leybniz düsturunun əks törəmələrini tapırıq. , Harada .

Beləliklə, dörddəbir rəqəmin sahəsi , onda bütün fiqurun sahəsi bərabərdir.

Eynilə bunu da göstərmək olar astroid sahəsi kimi yerləşir , və xətt ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsi düsturla hesablanır.

İnqilab səthinin sahəsi üçün düsturlara keçməzdən əvvəl, inqilabın özünün səthinin qısa bir formulunu verəcəyik. İnqilab səthi və ya eyni şeydir, inqilab cisminin səthi bir seqmentin fırlanması ilə əmələ gələn məkan fiqurudur. AB ox ətrafında əyri öküz(aşağıdakı şəkil).

Gəlin yuxarıdan əyrinin qeyd olunan seqmenti ilə məhdudlaşan əyri trapesiya təsəvvür edək. Bu trapesiyanı eyni ox ətrafında fırlatmaqla əmələ gələn cisim öküz, və fırlanma bədənidir. İnqilab səthinin sahəsi və ya inqilab cisminin səthi düz xətlərin oxu ətrafında fırlanma nəticəsində yaranan dairələri saymadan onun xarici qabığıdır. x = a Və x = b .

Qeyd edək ki, inqilab cismi və buna uyğun olaraq onun səthi də fiqurun ox ətrafında deyil, fırlanması ilə də əmələ gələ bilər. öküz, və oxun ətrafında ay.

Düzbucaqlı koordinatlarda göstərilən bir inqilab səthinin sahəsinin hesablanması

Tənliyi müstəvidə düzbucaqlı koordinatlarda edək y = f(x) ətrafında fırlanması olan bir əyri verilmişdir koordinat oxu fırlanma bədəni əmələ gəlir.

İnqilabın səth sahəsini hesablamaq üçün formula aşağıdakı kimidir:

(1).

Misal 1.Öz oxu ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn paraboloidin səth sahəsini tapın öküz dəyişikliyə uyğun gələn parabolanın qövsü x-dan x= 0-a x = a .

Həll. Parabolanın qövsünü təyin edən funksiyanı açıq şəkildə ifadə edək:

Bu funksiyanın törəməsini tapaq:

İnqilab səthinin sahəsini tapmaq üçün düsturdan istifadə etməzdən əvvəl onun inteqranının kökü təmsil edən hissəsini yazaq və orada tapdığımız törəməni əvəz edək:

Cavab: Əyri qövsünün uzunluğu

Misal 2. Bir ox ətrafında fırlanma nəticəsində yaranan səth sahəsini tapın öküz astroid.

Həll. Birinci rübdə yerləşən astroidin bir qolunun fırlanması nəticəsində yaranan səth sahəsini hesablamaq və onu 2-yə vurmaq kifayətdir. Astroid tənliyindən biz açıq şəkildə əvəz etməli olduğumuz funksiyanı ifadə edəcəyik. fırlanma səthinin sahəsini tapmaq üçün formula:

Biz 0-dan inteqrasiya edirik a:

Parametrik olaraq müəyyən edilmiş bir inqilab səthinin sahəsinin hesablanması

İnqilabın səthini təşkil edən əyrinin parametrik tənliklərlə verildiyi halı nəzərdən keçirək

Sonra fırlanma səthinin sahəsi düsturla hesablanır

(2).

Misal 3. Bir ox ətrafında fırlanma nəticəsində yaranan inqilab səthinin sahəsini tapın ay sikloid və düz xətt ilə məhdudlaşan fiqur y = a. Sikloid parametrik tənliklərlə verilir