Y x-in tam hissəsidir. Çoxaltmaq əvəzinə əlavə və çıxın. Antienin bəzi xüsusiyyətləri

A.G.Mordkoviç və P.V.-nin dərsliyindən istifadə etməklə 10-cu sinif cəbrinin öyrənilməsi. Semenov, tələbələr ilk dəfə y = [x] ədədinin tam hissəsinin funksiyası ilə qarşılaşdılar. Bəziləri bununla maraqlanırdı, lakin çox az nəzəri məlumat və hətta ədədin tam hissəsini ehtiva edən tapşırıqlar var idi. Uşaqların mövzuya marağını dəstəkləmək üçün bu dərsliyi yaratmaq ideyası yarandı.

Kurs proqramının icrası fizika-riyaziyyat tələbələri üçün 10-cu sinfin 1-ci yarısı üçün nəzərdə tutulmuşdur.

Kursun məqsədi: tələbələrin biliklərini genişləndirmək riyazi funksiyalar müxtəlif mürəkkəblik dərəcələrində tənlik və bərabərsizliklərin həlli zamanı funksiyalar haqqında biliklərdən istifadə etmək bacarığını inkişaf etdirmək. Təqdim olunan dərslik istinad xarakterli nəzəri məlumatları ehtiva edir. Bu, y = [x] ədədinin tam hissəsinin funksiyası və y = (x) ədədinin kəsr hissəsinin funksiyası, onların qrafikləri haqqında məlumatdır. Ədədin tam hissəsini ehtiva edən qrafiklərin çevrilmələri izah olunur. Ədədin tam və ya kəsr hissəsini ehtiva edən ən sadə tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli yolları nəzərdən keçirilir. Kvadrat, kəsr - rasional tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli üsulları kimi, ədədin tam və ya kəsr hissəsini ehtiva edən tənliklər sistemləri.

Təlimatda tapşırıqlar var müstəqil qərar.

Təlimata aşağıdakı məqamlar daxildir:

Giriş.

§1. y = [x] və y = (x) funksiyalarına giriş.

§2. Ədədin kəsr və ya tam hissəsini ehtiva edən tənliklər.

2.1 Ən sadə tənliklər.

2.2 = g (x) şəklində olan tənliklərin həlli.

2.3 Tənliklərin həlli üçün qrafik üsul.

2.4 Yeni dəyişən tətbiq etməklə tənliklərin həlli.

2.5 Tənliklər sistemləri.

§3. Ədədin tam hissəsini ehtiva edən funksiyaların qrafiklərinin çevrilməsi.

3.1 y = formalı funksiyaların qrafiklərinin çəkilməsi

3.2 y = f ([x]) formalı funksiyaların qrafiklərinin çəkilməsi.

§4. Ədədin tam və ya kəsr hissəsini ehtiva edən bərabərsizliklər.

§5. Olimpiada tapşırıqlarında ədədlərin tam və kəsr hissələri.

Müstəqil həll üçün tapşırıqlara cavablar.

Dərslik funksiya haqqında fikirlərin inkişafını və tətbiqi bacarıqların formalaşmasını təmin edir.

İxtisas təhsili problemlərini həll edən müəllimlərə ünvanlanıb.

Yüklə:

Önizləmə:

Rozina T.A

Bir bütövü ehtiva edən problemlər

və ya ədədin kəsr hissəsi

Mezhdurechensk 2011

Hörmətli orta məktəb şagirdləri!

Siz “Ədədin tam və kəsr hissələri” mövzusunun dərindən öyrənilməsinə başlamaq üzrəsiniz. Bu dərslik sizə müxtəlif mürəkkəblik dərəcələrində tənlik və bərabərsizliklərin həlli zamanı riyazi funksiyalar haqqında biliklərinizi genişləndirməyə imkan verəcək. Təqdim olunan dərslik istinad xarakterli nəzəri məlumatları ehtiva edir, ədədin tam və ya kəsr hissəsini ehtiva edən qrafiklərin çevrilmələrini izah edir və ən sadə tənliklərin həlli yollarını nəzərdən keçirir. Həmçinin kvadrat, kəsr rasional tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli üsulları, tənliklər sistemləri. Təlimatda müstəqil həll üçün tapşırıqlar var. Dərslik“Ədədin tam və kəsr hissələri” mövzusunda əldə etdiyiniz bilikləri sistemləşdirməyə və ümumiləşdirməyə kömək edəcəkdir.

Uğurlar!

§1. y = [x] və y = (x) funksiyalarına giriş………………………4

§2. Ədədin tam və ya kəsr hissəsini ehtiva edən tənliklər......7

Ən sadə tənliklər…………………………………7

= g(x) şəklində tənliklərin həlli…………………..8.

2.3 Tənliklərin həlli üçün qrafik üsul………………10

Yeni dəyişən təqdim etməklə tənliklərin həlli……11

Tənlik sistemləri……………………………………….12

§3. Tam ədədi olan funksiyaların qrafiklərinin çevrilməsi

Nömrənin bir hissəsi ..............................................................

3.1 y = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………formasında olan funksiyaların qrafiklərinin çəkilişi13
3.2 y = f([x]) formalı funksiyaların qrafiklərinin çəkilməsi……………15

§4. Ədədin tam və ya kəsr hissəsini ehtiva edən bərabərsizliklər...17

……

§5. Olimpiada tapşırıqlarında ədədin tam və ya kəsr hissəsi......20

Müstəqil həll üçün tapşırıqların cavabları………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………23 cavablar

İstinadlar…………………………………………………………25

§1. y = [x] funksiyalarına giriş

və y = (x)

Ədədin tam və kəsr hissələrinin tarixi və tərifi

Ədədin tam hissəsi anlayışı alman riyaziyyatçısı İohann Karl Fridrix Qauss (1771-1855), “Ədədlər nəzəriyyəsi üzrə əməliyyatlar” kitabının müəllifi tərəfindən təqdim edilmişdir. Qauss həmçinin xüsusi funksiyalar, seriyalar, ədədi üsullar nəzəriyyəsini inkişaf etdirdi, riyazi fizikanın problemlərini həll etdi, yaratdı. riyazi nəzəriyyə potensial.

Həqiqi x ədədinin tam hissəsi [x] və ya E(x) simvolu ilə işarələnir.

Simvol [x] 1808-ci ildə K. Qauss tərəfindən təqdim edilmişdir.

Ədədin tam hissəsinin funksiyası Adrien Marie Legendre tərəfindən təqdim edilmişdir ( 1752-1833). - fransız riyaziyyatçısı. Onun 1798-ci ildə nəşr olunan “Rəqəmlər nəzəriyyəsində təcrübə” əsəri 18-ci əsrin arifmetika nailiyyətlərinin nəticəsi olan fundamental əsərdir. Onun şərəfinə y = [x] funksiyası çağırılır fransız sözü“Antje” (fransızca “entier” – bütöv) deməkdir E(x).

Tərif: x ədədinin tam hissəsi x-dən çox olmayan ən böyük c tam ədədidir, yəni. əgər [x] = c, c ≤ x olarsa

Məsələn: = 2;

[-1,5] = -2.

Funksiyanın bəzi dəyərlərindən istifadə edərək onun qrafikini qura bilərsiniz. Bu belə görünür:

y = [x] funksiyasının xassələri:

1. y = [x] funksiyasının təyin olunma oblastı bütün R həqiqi ədədlərinin çoxluğudur.

2. y = [x] funksiyasının diapazonu bütün Z tam ədədlərinin çoxluğudur.

3. y = [x] funksiyası hissə-hissə sabitdir, azalmır.

4. Ümumi funksiya.

5. Funksiya dövri deyil.

6. Funksiya məhdud deyil.

7. Funksiyanın kəsilmə nöqtəsi var.

8. y=0, x-də.

Məsələn: (3.7) = 0.7

{-2,4} = 0,6.

y = (x) funksiyasının qrafikini çəkək. Bu belə görünür:

y = (x) funksiyasının ən sadə xassələri:

1. y = (x) funksiyasının təyin olunma oblastı bütün R həqiqi ədədlərinin çoxluğudur.

2. y = (x) funksiyasının qiymət diapazonu yarım intervaldır və y = (x) bəzi tapşırıqları yerinə yetirməyə kömək edəcək.

MÜSTƏQİL HƏLL ÜÇÜN VƏZİFƏLƏR

1) Funksiya qrafiklərini qurun:

A) y = [x] + 5;

B) y = (x) - 2;

B) y = |[x]|.

2) x və y ədədləri nə ola bilər, əgər:

A) [x + y] = y;

B) [x - y] = x;

B) (x - y) = x;

D) (x + y) = y.

3) x - y fərqinin böyüklüyü haqqında nə demək olar, əgər:

A) [x] = [y];

B) (x) = (y).

4) Hansı daha böyükdür: [a] və ya (a)?

§2. Ədədin tam və ya kəsr hissəsini ehtiva edən tənliklər

2.1. Ən sadə tənliklər

Ən sadə tənliklərə [x] = a formalı tənliklər daxildir.

Bu tip tənliklər təriflə həll olunur:

a ≤ x

Əgər a kəsrli ədəddirsə, onda belə tənliyin kökləri olmayacaq.

Məsələnin həllinə baxaqbu tənliklərdən biri:

[x + 1.3] = - 5. Tərifinə görə belə tənlik bərabərsizliyə çevrilir:

5 ≤ x + 1.3

Bu tənliyin həlli olacaq.

Cavab: x[-6.3;-5.3).

Ən sadə kateqoriyaya aid olan başqa bir tənliyi nəzərdən keçirək:

[x+1] + [x-2]-[x+3] = 2

Bu tip tənlikləri həll etmək üçün tam funksiyanın xassəsindən istifadə etmək lazımdır: Əgər p tam ədəddirsə, onda bərabərlik doğrudur.

[x ± p] = [x] ± p

Sübut: x = [x] + (x)

[ [x] + (x) ± p] = [ [x] + (x)] ± p

x = k + a, burada k = [x], a = (x)

[k + a ± p] = [k + a] ± p = [x] ±p.

Təklif olunan tənliyi sübut edilmiş xassədən istifadə edərək həll edək: [x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 2 alırıq. Oxşar şərtləri gətirək və ən sadə tənliyi [x] = 6 alaq. Onun həlli belədir. yarım interval x = 1

Tənliyi bərabərsizliyə çevirək: 1 ≤ x 2 -5x+6

x 2 - 5x + 6

x 2 - 5x + 6 ≥ 1 və həll edin;

x 2 - 5x + 4

x 2 - 5x + 5>0

x(1;4) alırıq

Х(-∞;(5 -)/2][(5 +)/2; +∞),

X(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).

Cavab: x(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).

Tənlikləri həll edin:

1) = 1

2) = 0,487

3) – = 2

4) [x 2] = 4

5) [x] 2 = 4

6) = - 5

7) [x 2 – x + 4] = 2

8) = - 1

9) = 4,2

10) (x) – [x] + x = 0

11) x + (x) + [x] = 0

12) [4x – 5] = 7

2.2 =g(x) formalı tənliklərin həlli

=g(x) formalı tənliyi onları tənliyə endirməklə həll etmək olar

[x] = a.

1-ci misala baxaq.

Tənliyi həll edin

Tənliyin sağ tərəfini yeni a dəyişəni ilə əvəz edək və buradan x ifadə edək

11a = 16x + 16, 16x = 11a – 16,

Sonra = =

İndi dəyişən üçün tənliyi həll edək A .

Tam hissənin işarəsini təriflə genişləndirək və bərabərsizliklər sistemindən istifadə edərək yazaq:

İntervaldan a: 3;4;5;6;7 bütün tam dəyərlərini seçirik və tərs əvəzi həyata keçiririk:

Cavab:

Misal 2.

Tənliyi həll edin:

Mötərizədə verilən hər bir ədədi məxrəcə bölün:

Ədədin tam hissəsinin tərifindən belə çıxır ki, (a+1) tam ədəd olmalıdır, yəni a tam ədəddir.a, (a+1), (a+2) ədədləri ardıcıl üç ədəddir, yəni onlardan biri mütləq 2-yə, biri isə 3-ə bölünür. Buna görə də ədədlərin hasili 6-ya bölünür.

Bu tam ədəddir. deməkdir

Gəlin bu tənliyi həll edək.

a(a+1)(a+2) - 6(a+1) = 0

(a+1)(a(a+2) - 6) = 0

a + 1 = 0 və ya 2 + 2a – 6 = 0

a = -1 D = 28

A = -1 ± (tam ədəd deyil).

Cavab: -1.

Tənliyi həll edin:

2.3. Tənliklərin həlli üçün qrafik üsul

Misal 1. [x] = 2(x)

Həll. Gəlin bu tənliyi qrafik şəkildə həll edək. y = [x] və y = 2(x) funksiyalarının qrafikini çəkək. Onların kəsişmə nöqtələrinin absislərini tapaq.

Cavab: x = 0; x = 1.5.

Bəzi hallarda qrafiklərin kəsişmə nöqtələrinin ordinatlarını tapmaq üçün qrafikdən istifadə etmək daha rahatdır. Sonra alınan dəyəri tənliklərdən birinə əvəz edin və istədiyiniz x dəyərlərini tapın.

MÜSTƏQİL HƏLL ÜÇÜN VƏZİFƏLƏR

Tənlikləri qrafik olaraq həll edin:

(x) = 1 – x;
(x) + 1 = [x];
= 3x;
3(x) = x;
(x) = 5x + 2;
[|x|] = x;
[|x|] = x + 4;
[|x|] = 3|x| - 1;
2(x) – 1 = [x] + 2;

10) 2(x) = 1 tənliyinin neçə həlli var?.

2.4. Yeni dəyişən təqdim etməklə tənliklərin həlli.

Birinci misala baxaq:

(x) 2 -8(x)+7 = 0

(x) a, 0 a ilə əvəz edin

a 2 - 8a + 7 = 0, onu Vyeta teoreminə tərs teoremdən istifadə edərək həll edirik: Nəticədə köklər a = 7 və a = 1-dir. Gəlin tərs əvəzləmə aparaq və iki yeni tənlik əldə edək: (x) = 7 və (x) = 1. Bu tənliklərin hər ikisinin kökü yoxdur. Buna görə də tənliyin həlli yoxdur.

Cavab: həll yolları yoxdur.

Başqa bir işə baxaqyenisini təqdim etməklə tənliyin həlli

dəyişən:

3[x] 3 + 2[x] 2 + 5[x]-10 = 0

[x] = a, az dəyişikliyini edək. və biz For yeni kub tənliyini alırıq 3 +2a 2 +5a-10=0. Bu tənliyin birinci kökünü seçməklə tapacağıq: a=1 tənliyin köküdür. Tənliyimizi (a-1) bölürük. alırıq kvadrat tənlik 3a 2 + 5a +10=0. Bu tənliyin mənfi diskriminantı var, yəni onun həlli yoxdur. Yəni a=1 tənliyin yeganə köküdür. Əks əvəzetməni həyata keçiririk: [x]=a=1. Ədədin tam hissəsini təyin etməklə nəticə tənliyini həll edirik: x 2 + 8[x]-9 = 0

3(x-[x]) 2 + 2([x]-x)-16 = 0

[x] 4 -14 [x] 2 +25 = 0

(2(x)+1) 3 – (2(x)-1) 3 = 2

(x-[x]) 2 = 4

5[x] 2 -7[x]-6 = 0
6(x) 2 +(x)-1 =0
1/([x]-1) - 1/([x]+1) = 3-[x]
12(x) 3 -25(x) 2 +(x)+2 = 0

10) 10[x] 3 -11[x] 2 -31[x]-10 = 0

2.5. Tənliklər sistemləri.

Tənliklər sistemini nəzərdən keçirin:

2[x] + 3[y] = 8,

3[x] – [y] = 1.

Onu ya əlavə etməklə, həm də əvəz etməklə həll etmək olar. Birinci üsula diqqət yetirək.

2[x] + 3[y] = 8,

9[x] – 3[y] = 3.

İki tənliyi əlavə etdikdən sonra 11[x] = 11 alırıq. Beləliklə

[x] = 1. Bu dəyəri sistemin birinci tənliyində əvəz edin və alın

[y] = 2.

[x] = 1 və [y] = 2 sistemin həlləridir. Yəni x= 18 yaş

18-x-y

3) 3[x] – 2(y) = 6

[x] 2 – 4(y) = 4

4) 3(x) – 4(y) = -6

6(x) – (y) 2 = 3.

§3. Ədədin tam hissəsini ehtiva edən funksiyaların qrafiklərinin çevrilməsi

3.1. y = formalı funksiyaların qrafiklərinin çəkilməsi

y = f(x) funksiyasının qrafiki olsun. y = funksiyasının qrafikini çəkmək üçün aşağıdakı kimi hərəkət edin:

y = n, y = n + 1 düz xətlərinin kəsişmə nöqtələrini y = f(x) funksiyasının qrafiki ilə qeyd edirik. Bu nöqtələr y = funksiyasının qrafikinə aiddir, çünki onların ordinatları tam ədədlərdir (şəkildə bunlar A, B, C, D nöqtələridir).

y = [x] funksiyasının qrafikini çəkək. Bunun üçün

y = n, n = 0 düz xətləri çəkin; -1; +1; -2; +2; ... və y = n, y = n + 1 düz xətlərinin əmələ gətirdiyi zolaqlardan birini nəzərdən keçirək.
y = n, y = n + 1 xətlərinin kəsişmə nöqtələrini qrafiklə qeyd edirik.

y = [x] funksiyaları. Bu nöqtələr y = [x] funksiyasının qrafikinə aiddir,

Çünki onların koordinatları tam ədəddir.

Göstərilən zolaqda y = [x] funksiyasının qrafikinin qalan nöqtələrini əldə etmək üçün y = x qrafikinin O oxuna paralel zolağa düşən hissəsini proyeksiya edin. saat y = n, y = n + 1 düz xəttinə. y = x funksiyasının qrafikinin bu hissəsinin hər hansı M nöqtəsi belə y ordinatına malik olduğundan 0 ki, n 0 0 ] = n
y = x funksiyasının qrafikində nöqtələrin olduğu bir-birinin zolağında tikinti oxşar şəkildə aparılır.

MÜSTƏQİL HƏLL ÜÇÜN VƏZİFƏLƏR

Funksiyaların qrafiki:

3.2. y = f([x]) formasında funksiyanın qrafikinin çəkilməsi

Bəzi y = f(x) funksiyasının qrafiki verilsin. y = f([x]) funksiyasının qrafiki aşağıdakı kimi qurulur:

x = n, n = 0 düz xətləri çəkin; -1; +1; -2; +2; ...
y = n və y = n + 1 xətlərinin əmələ gətirdiyi zolaqlardan birini nəzərdən keçirək. y = f(x) funksiyasının qrafikinin bu xətlərlə kəsişməsinin A və B nöqtələri y = funksiyasının qrafikinə aiddir. f([x]), çünki onların absisləri tam ədədlərdir.

Göstərilən zolaqda y = f([x]) funksiyasının qrafikinin qalan nöqtələrini əldə etmək üçün y = f(x) funksiyasının qrafikinin bu zolağa düşən hissəsini O oxuna paralel proyeksiya edirik. y düz xəttinə y = f(n).
y = f(x) funksiyasının qrafikində nöqtələrin olduğu bir-birinin zolağında tikinti oxşar şəkildə aparılır.

y = funksiyasının qrafikini qurmağı nəzərdən keçirək. Bunun üçün y = funksiyasının qrafikini nöqtəli xəttlə çəkəcəyik. Daha

nömrələri.

3. y = funksiyasının qrafikində nöqtələrin olduğu hər bir digər zolaqda, tikinti oxşar şəkildə həyata keçirilir.

MÜSTƏQİL HƏLL ÜÇÜN VƏZİFƏLƏR

Funksiyaların qrafiki:

§4. Ədədin tam və ya kəsr hissələrini ehtiva edən bərabərsizliklər

Aşağıdakı münasibətləri [x] və (x) ilə əsas bərabərsizliklər adlandıraq: [x] > b və (x) > b. Onların həlli üçün əlverişli üsul qrafik metoddur. Bunu iki misalla izah edək.

Misal 1. [x] ≥ b

Həll. İki y = [x] və y = b funksiyasını təqdim edək və onların qrafiklərini eyni rəsm üzərində çəkək. Aydındır ki, onda iki halı ayırmaq lazımdır: b – tam və b – tam olmayan.

Case 1. b – tam ədəd

Şəkildən görünür ki, qrafiklər -də üst-üstə düşür.

Deməli, [x] ≥ b bərabərsizliyinin həlli x ≥ b şüası olacaqdır.

2-ci hal. b qeyri-tam ədəddir.

Bu halda y = [x] və y = b funksiyalarının qrafikləri kəsişmir. Lakin y = [x] qrafikinin xəttin yuxarısında yerləşən hissəsi koordinatları ([b] + 1; [b] + 1) olan nöqtədən başlayır. Beləliklə, [x] ≥ b bərabərsizliyinin həlli x ≥ [b] + 1 şüasıdır.

Əsas bərabərsizliklərin digər növləri də tam eyni şəkildə öyrənilir. Bu tədqiqatların nəticələri aşağıdakı cədvəldə ümumiləşdirilmişdir.

[X]

(x) ≥ b, (x) > b, b ≥1

Həll yolu yoxdur

(x) ≥ b, (x) > b, b

(-∞; +∞)

(x) ≥ b, (x) > b, 0 ≤ b

n + b ≤ x

n+b

(x) ≤ b, (x)

(-∞; +∞)

(x) ≤ b, (x)

Həll yolu yoxdur

(x) ≤ b, (x)

n≤x≤b+n

Bir nümunəyə baxaq bərabərsizliyin həlli yolları:

[x]-i a dəyişəni ilə əvəz edək, burada a tam ədəddir.

>1; >0; >0; >0.

Interval metodundan istifadə edərək > -4 [x] > -4 tapırıq

Alınan bərabərsizlikləri həll etmək üçün tərtib edilmiş cədvəldən istifadə edirik:

x ≥ -3,

Cavab: [-3;1).

MÜSTƏQİL HƏLL ÜÇÜN VƏZİFƏLƏR.

1) [x]

2) [x] ≤ 2

3) [x] > 2.3

4) [x] 2

5) [x] 2 -5 [x] -6

6) [x] 2 - 7 [x] + 6 0

7) 30[x] 2 -121[x] + 80

8) [x] 2 + 3[x]-4 0

9) 3(x) 2 -8(x)-4

10) 110[x] 2 -167[x] + 163 0

11) > 2

12) > 1

13) 0

14) 0

§5. Olimpiada tapşırıqlarında ədədin tam və ya kəsr hissəsi

Misal 1.

İstənilən natural n ədədi üçün ədədin 5-ə bölündüyünü sübut edin.

Sübut: n cüt ədəd olsun, yəni. n=2m, burada m N,

Buna görə də.

Sonra bu ifadə formasına malikdir: ,

olanlar. istənilən cüt n üçün 5-ə bölünür.

Əgər n = 2m -1 olarsa, onda

onda bu ifadə belə görünür:

Bu ədəd hər hansı tək n üçün 5-ə bölünür.

Deməli, bu ifadə istənilən natural n üçün 5-ə bölünür.

Misal 2.

Formanın bütün sadə ədədlərini tapın, burada n N.

Həll. Qoy olsun. Əgər n=3k olarsa, p=3k olar 2 . Bu ədəd sadə və 3-ə bərabər olacaq, k=1.

Əgər n=3k+1, k0 olarsa, onda

Bu ədəd sadə və k=1 olduqda 5-ə bərabər olacaqdır.

Əgər n = 3k + 2, k 0 olarsa, onda

İstənilən kN üçün kompozit nömrə.

Cavab: 3;5

Misal 3.

Ədədlər iki, üç və altının qatları olan cərgədə yazılır. Bu seriyada mininci yerdə olacaq ədədi tapın.

Həll:

İstənilən ədəd x olsun, onda bu seriyada ikiyə çarpan olan ədədlər seriyası - , üçünün qatlarıdır - , altının qatlarıdır - . Amma ədədlər altıya, ikiyə və üçə, yəni. üç dəfə hesablanacaq. Buna görə də ədədlərin cəmindən. İki, üç, altının qatları üçün altının qatlarının sayını iki dəfə çıxarmaq lazımdır. Sonra bu problemin həlli üçün tənlik belədir:

Aşağıdakı qeydi təqdim edək:

Onda a+b-c=1000 (*) və ədədin tam hissəsinin tərifinə görə əldə edirik:

Hər bərabərsizlik şərtini 6-ya vuraraq, əldə edirik:

6a3x

6b2x

İlk iki bərabərsizliyi əlavə edib onlardan üçüncü bərabərsizliyi çıxarsaq, əldə edirik:

6(a+b+c) 4x

Gəlin bərabərlikdən (*) istifadə edək, onda: 60004x

1500x

Tənliyin həlli nömrələri olacaq: 1500 və 1501, lakin məsələnin şərtlərinə görə yalnız 1500 rəqəmi uyğun gəlir.

Cavab: 1500

Misal 4.

Məlumdur ki, kiçik qardaşın yaşı 8-dən çox deyil, lakin 7-dən az deyil. Əgər kiçik qardaşın tam illərinin sayı iki dəfə, onun yaşının yarımçıq illərinin (yəni aylarının) sayı üç dəfə artırılsa, cəmi böyük qardaşın yaşı olacaqdır. Qardaşların hər birinin yaşını aylarla dəqiq göstərin, əgər onların ümumi yaşının 21 il 8 ay olduğu məlumdursa.

Həll:

Onda x (il) kiçik qardaşın yaşı olsun(aylar) yaşındadır. Problemin şərtlərinə görə(il) – böyük qardaşın yaşı. Hər iki qardaşın ümumi yaşı:

(ilin).

3( , 3x + ,

(x)=x - [x] olduğundan, onda. (Formanın tənliyi = bx + c, burada a,b,c R)

N=6, n=7.

n=6 olduqda, x = - problemin şərtlərini qane etmir.

n=7 olduqda, x =.

Kiçik qardaşın yaşı 7 yaş 2 aydır.

Böyük qardaşın yaşı 14 yaş 6 aydır.

Cavab: kiçik qardaşın yaşı 7 yaş 2 aydır,

Böyük qardaşın yaşı 14 yaş 6 aydır.

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar.

1. Tənlikləri həll edin: a) x+2[x] = 3.2; b) x 3 –[x] =3

2. m və n natural ədədləri kobud və n-dir

Və ya

3. 1-dən böyük x ədədi verilmişdir. Bərabərlik lazımdırmı?

Tənliklər sistemini həll edin: x+[y]+(z) = 1.1

Y+[z]+(x)=2.2

Z+[x]+(y)=3.3.

4. Məlumdur ki, lentdəki tam sayğacların sayı qismən sayğacların sayından (yəni santimetr) 4 dəfə çoxdur. Bantın mümkün olan maksimum uzunluğunu müəyyənləşdirin.

Müstəqil həll üçün tapşırıqlara cavablar.

§1 2. a) xЄ d) x Є Z; y Є >(a), əgər a ≥ 1, (a) ≥ [a], əgər a

§2. 2.1 1) , nЄ Z

3) , n Z

6) (- ∞; 2);, n≥3, n Z

§5. 1. a) x = 1.2

Əgər (x) x ədədinin kəsir hissəsidirsə, onda [x] + (x) = x.

Sonra [x] + (x) + 2[x] = 3.2. 3[x] + (x) = 3.2. 3[x] tam ədəd olduğundan və 0 ≤ (x)

B) x =.

Qeyd. [x] = x- (x), burada 0 ≤ (x)

X 3 - x + (x) = 3, buradan 2 2 - 1) ≤ 3.

Birinci cəmi ikincidən m – n böyükdür.

Mütləq.

Qeyd. Əgər [√] = n, onda n 4 ≤ x 4 . İndi asandır

[√ ] = n olduğunu sübut edin.

(1; 0,2; 2,1)
3m 75 sm.

Biblioqrafiya

Alekseeva V., Uskova N. Ədədin tam və kəsr hissələrini ehtiva edən məsələlər // Riyaziyyat. 1997. № 17. S.59-63.
Voronova A.N. Tam və ya kəsr hissəsinin işarəsi altında dəyişənli tənlik // Məktəbdə riyaziyyat. 2002. №4. səh. 58-60.
Voronova A.N. Tam hissənin işarəsi altında dəyişənli bərabərsizliklər // Məktəbdə riyaziyyat. 2002. № 2. S.56-59.
Galkin E.V. Riyaziyyatdan qeyri-standart məsələlər. Cəbr: Dərslik. 7-11 sinif şagirdləri üçün dərslik. Çelyabinsk: "Vzglyad", 2004.
Seçmə dərslər üçün 10-cu sinif riyaziyyat kursu üzrə əlavə fəsillər: Şagirdlər üçün dərs vəsaiti / Komp. ARXASI. Eunuch. M.: Təhsil, 1979.
Erovenko V.A., O.V.Mixaskova O.V. Ədədin tam və kəsr hissələrinin funksiyaları nümunəsindən istifadə edərək Okcamın metodoloji prinsipi // Məktəbdə riyaziyyat. 2003. № 3. S.58-66.

7. Kirzimov V. Tərkibində tam ədədi olan tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli

Ədədin kəsr hissəsi // Riyaziyyat. 2002.№30. səh. 26-28.

8. Shreiner A.A. “Region riyaziyyat olimpiadalarının tapşırıqları

Novosibirsk vilayəti". Novosibirsk 2000.

9. “Riyaziyyat” kataloqu, Moskva “AST-PRESS” 1997.

10. Raichmist R.B. “Funksiyaların qrafikləri. Tapşırıqlar və məşqlər." Moskva.

“Məktəb – mətbuat” 1997.

11. Mordkoviç A.G., Semenov P.V. və başqaları “Cəbr və təhlilin başlanğıcı. 10

Sinif. 2-ci hissə. Problemlər kitabı. Profil səviyyəsi» Smolensk

"Mnemosyne" 2007.

y=b(bZ)

Johann Gauss

Adrien Legendre

Funksiya [ x] ən böyüyə bərabərdir Bütün nömrə, üstün x (x– istənilən həqiqi ədəd). Misal üçün:

Funksiya [ x] “qırılma nöqtələrinə” malikdir: tam ədədlər üçün x o "qəfil dəyişir".

Şəkil 2-də bu funksiyanın qrafiki göstərilir və üfüqi seqmentlərin hər birinin sol ucu qrafikə (qalın nöqtələr) aiddir, sağ ucu isə aidiyyəti yoxdur.

Sübut etməyə çalışın ki, əgər bir ədədin kanonik parçalanması n! onda var

Oxşar düsturlar üçün də keçərlidir

Bunu bilməklə, məsələn, 100 rəqəminin neçə sıfırla bitdiyini müəyyən etmək asandır! Doğrudan da, olsun. Sonra

Və .

Beləliklə, 100! Bölünən, yəni. iyirmi dörd sıfırla bitir.

Kvadrat parçalardan fiqurlar

Faydalı və həyəcanlı əyləncəyə 3-cü şəklə (a) uyğun olaraq kəsilmiş yeddi kvadrat parçasından fiqurlar tərtib etmək daxildir və verilmiş fiqurları tərtib edərkən bütün yeddi parçadan istifadə edilməli və onlar hər biri ilə qismən də olsa üst-üstə düşməlidir. başqa.

Şəkildə. Şəkil 4 simmetrik fiqurları göstərir 1. Şəkildə göstərilən kvadratın hissələrindən bu rəqəmləri birləşdirməyə çalışın. 3, (a).

Eyni rəsmlərdən bir çox başqa fiqurlar yarada bilərsiniz (məsələn, müxtəlif obyektlərin, heyvanların və s. şəkillər).

Oyunun daha az yayılmış versiyası Şəkildə göstərilən kvadratın parçalarından fiqurlar hazırlamaqdır. 3, (b).

Sehrli kvadratlar

Sehrli kvadrat "n 2 -kvadrat" bölünmüş kvadratı çağıraq n 2 hüceyrələr əvvəlcə doldurulur n 2 natural ədədlər ki, istənilən üfüqi və ya şaquli cərgədəki, eləcə də kvadratın hər hansı diaqonalındakı ədədlərin cəmi eyni ədədə bərabər olsun.

Əgər hər hansı üfüqi və şaquli cərgədəki ədədlərin cəmi eyni olarsa, kvadrat adlanır. yarı sehrli.

Sehrli 4 2 kvadrat məşhur “Melanxoliya” tablosunda kvadrat təsvir edən 16-cı əsrdə yaşamış riyaziyyatçı və rəssam Dürerin adını daşıyır.

Yeri gəlmişkən, bu kvadratın iki aşağı orta rəqəmi rəsmin yaranma tarixi olan 1514 rəqəmini təşkil edir.

Yalnız səkkiz doqquz hüceyrəli sehrli kvadrat var. Bir-birinin güzgü təsviri olan ikisi şəkildə göstərilmişdir; qalan altısını bu kvadratlardan mərkəz ətrafında 90°, 180°, 270° fırladaraq əldə etmək olar.

2. n=3 üçün sehrli kvadratlar məsələsini tam araşdırmaq çətin deyil

Həqiqətən, S 3 = 15 və 15 rəqəmini cəmi kimi təmsil etməyin yalnız səkkiz yolu var. müxtəlif nömrələr(birdən doqquza qədər):

15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6

Qeyd edək ki, 1, 3, 7, 9 rəqəmlərinin hər biri ikiyə, 2, 4, 6, 8 rəqəmlərinin hər biri üç müəyyən edilmiş məbləğə, dörd cəmdə isə yalnız 5 rəqəmi daxil edilir. Digər tərəfdən, səkkiz üç xanalı cərgədən: üç üfüqi, üç şaquli və iki diaqonal, kvadratın künc xanalarının hər birindən üç sıra, mərkəzi xanadan dördü və qalan xanaların hər birindən iki sıra keçir. . Buna görə də 5 rəqəmi mütləq mərkəzi xanada, 2, 4, 6, 8 rəqəmləri künc xanalarında, 1, 3, 7, 9 rəqəmləri isə kvadratın qalan xanalarında olmalıdır.

Şkolnik nəşriyyatı

Volqoqrad, 2003
A.P.Domoryad

BBK 22.1я2я72

Domoryad Alexander Petroviç

Riyazi oyunlar və əyləncə

Sevimlilər

Redaktor Kopylova A.N.

Tech. redaktor Muraşova N.Ya.

Korrektor Secheiko L.O.

26 sentyabr 2003-cü ildə işə qəbul üçün təqdim edilmişdir. 14 dekabr 2003-cü ildə çap üçün imzalanmışdır. Format 84x 108 ¼.Phys.print.l. 8.375. Şərti soba 13.74. Akademik-red.l. 12.82. Tiraj 200.000 nüsxədir. 979 nömrəli əmr. Kitabın qiyməti 50 rubl təşkil edir.

Domoryad A.P.

Riyazi oyunlar və əyləncələr: Sevimlilər.- Volqoqrad: VSPU, 2003. - 20 s.

Kitabda Domoryad A.P.-nin monoqrafiyasından seçilmiş problemlər təqdim olunur. 1961-ci ildə Moskvada Dövlət Fizika-Riyaziyyat Ədəbiyyatı Nəşriyyatı tərəfindən nəşr olunan "Riyazi oyunlar və əyləncələr".

ISBN5-09-001292-Х BBK22.1я2я72

Ön söz 6

Üç cədvəldən istifadə edərək nəzərdə tutulan nömrənin müəyyən edilməsi 7

Solitaire 8

11-i vurmaq əvəzinə toplama və çıxmaq

[x] funksiyası (x-in tam hissəsi) 12

Kvadrat parçalardan fiqurlar 14

Sehrli kvadratlar 16

Əlavə 17

Ön söz

Müxtəlif müəlliflər tərəfindən ümumi ad altında birləşdirilən müxtəlif materiallardan riyaziyyat oyunları və əyləncə, uzun müddət riyaziyyatçıların diqqətini cəlb edən bir neçə "klassik əyləncə" qrupunu ayırd edə bilərik:

Demək olar ki, tükənməz həllər müxtəlifliyinə imkan verən problemlərə orijinal həll yollarının axtarışı ilə əlaqəli əyləncə; Adətən onlar həllərin sayını müəyyən etməkdə, böyük qrup həllər və ya bəzi xüsusi tələblərə cavab verən həllər verən metodların işlənib hazırlanmasında maraqlıdırlar.
Riyazi oyunlar, yəni. iki "hərəkətin" yan-yana oynadığı, müəyyən edilmiş qaydalara uyğun olaraq növbə ilə yerinə yetirildiyi, müəyyən bir məqsədə doğru səy göstərdiyi və hər hansı bir ilkin mövqenin qalibi əvvəlcədən müəyyənləşdirməsi və necə olduğunu göstərməsi mümkün olan oyunlar - hər hansı bir hərəkətlə. rəqib - o, qələbə qazana bilər.
"Bir nəfərin oyunları", yəni. bu qaydalara uyğun olaraq bir oyunçu tərəfindən həyata keçirilən bir sıra əməliyyatlar vasitəsilə müəyyən, əvvəlcədən müəyyən edilmiş məqsədə nail olmaq lazım olan əyləncə; burada məqsədə hansı şəraitdə nail olmaq mümkün olduğu ilə maraqlanır və axtarırlar ən kiçik rəqəm nail olmaq üçün lazım olan hərəkətlər.

Bu kitabın böyük bir hissəsi klassik oyunlara və əyləncələrə həsr olunub.

Hər kəs əzmkarlıq və ixtiraçılıq nümayiş etdirərək maraqlı (özünün!) nəticələrini əldə etməyə cəhd edə bilər.

Məsələn, "sehrli kvadratlar" bəstələmək kimi klassik əyləncələr nisbətən dar bir dairəyə müraciət edə bilərsə, məsələn, kəsilmiş kvadratın detallarından simmetrik fiqurlar tərtib etmək, rəqəmsal maraqları axtarmaq və s. İstənilən riyazi təlim həm həvəskarlara, həm də riyaziyyatı sevməyənlərə həzz verə bilər. Eyni sözləri orta məktəbin 9-11-ci siniflərində hazırlıq tələb edən əyləncələr haqqında da demək olar.

Bir çox əyləncələr və hətta fərdi problemlər riyaziyyat həvəskarları üçün müstəqil tədqiqat üçün mövzular təklif edə bilər.

Ümumiyyətlə, kitab riyaziyyatı 10-11-ci siniflərdə oxuyan oxucular üçün nəzərdə tutulub, baxmayaraq ki, materialın çox hissəsi IX sinif şagirdləri üçün, bəzi suallar isə hətta 5-8-ci sinif şagirdləri üçün əlçatandır.

Bir çox abzaslardan riyaziyyat müəllimləri dərsdənkənar fəaliyyətləri təşkil etmək üçün istifadə edə bilərlər.

Müxtəlif kateqoriyalı oxucular bu kitabdan müxtəlif üsullarla istifadə edə bilərlər: riyaziyyata həvəsi olmayan insanlar oyun və əyləncələrin əsaslandırmasına getmədən, imanla bağlı fərdi ifadələr götürmədən rəqəmlərin, rəqəmlərin və s.-nin maraqlı xüsusiyyətləri ilə tanış ola bilərlər; Riyaziyyat həvəskarlarına kitabın ayrı-ayrı hissələrini qələm və kağızla öyrənməyi, təklif olunan problemləri həll etməyi və düşünmək üçün təklif olunan fərdi suallara cavab verməyi tövsiyə edirik.

Üç cədvəldən istifadə edərək nəzərdə tutulan nömrənin müəyyən edilməsi

Üç cədvəlin hər birində 1-dən 60-a qədər rəqəmləri ardıcıl olaraq yerləşdirərək, birinci cədvəldə hər biri iyirmi rəqəmdən ibarət üç sütunda, ikincidə - hər biri 15 ədəddən ibarət dörd sütunda, üçüncüdə - beş sütunda olsunlar. hər biri 12 ədəddən ibarət olmaqla (şək. 1-ə baxın) 1-ci, 2-ci və 2-ci sütunlarda nəzərdə tutulan ədədi ehtiva edən sütunların α, β, γ nömrələri varsa, kiminsə düşündüyü N sayını (N≤60) tez müəyyən etmək asandır. 3-cü cədvəllər göstərilir: N 40α+45β+36γ ədədinin 60-a bölünməsindən tam qalıq olacaq və ya başqa sözlə, N tam olaraq kiçik olacaq müsbət rəqəm, cəmi (40α+45β+36γ) modulu 60 ilə müqayisə edilə bilər. Məsələn, α=3, β=2, γ=1 ilə:

40α+45β+36γ≡0+30+36≡6 (mod60), yəni. N=6.

I	II	III	IV	V
1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
51	52	53	54	55
56	57	58	59	60

I		II		III
1		2		3
4		5		6
7		8		9
.		.		.
.		.		.
.		.		.
55		56		57
58		59		60
I	II		III		IV
1	2		3		4
5	6		7		8
.	.		.		.
.	.		.		.
.	.		.		.
53	54		55		56
57	58		59		60

Bənzər bir sual üç, dörd, beş və yeddi sütunlu dörd cədvəldə yerləşdirilən 420-yə qədər olan ədədlər üçün həll edilə bilər: əgər - nəzərdə tutulan nömrənin olduğu sütunların nömrələri, o zaman bölündükdən sonra qalana bərabərdir. 420-də 280α+105β+336γ+120δ sayı.

Tapeworm

		737773	747774	757775
		636663	642264	656665
515551	555252	535553	544554	554455	555556	555557
414441	424442	434443	444444	454445	464446	474447
313331	323332	333333	343334	353335	363336	373337
		232223	242224	252225
		131113	141114	111115

adlı oyun lent qurd otuz üç kvadratdan ibarət lövhədə oynanılır. Bu lövhəni şahmat taxtasını çarpaz formalı kəsikli karton vərəqlə örtməklə asanlıqla əldə etmək olar.
Faydalı və həyəcanlı əyləncəyə 3-cü şəklə (a) uyğun olaraq kəsilmiş yeddi kvadrat parçasından fiqurlar tərtib etmək daxildir və verilmiş fiqurları tərtib edərkən bütün yeddi parçadan istifadə edilməli və onlar hər biri ilə qismən də olsa üst-üstə düşməlidir. başqa.

Şəkildə. Şəkil 4 simmetrik fiqurları göstərir 1. Şəkildə göstərilən kvadratın hissələrindən bu rəqəmləri birləşdirməyə çalışın. 3, (a).

(a) (b)
şək.3

düyü. 4
Eyni rəsmlərdən bir çox başqa fiqurlar yarada bilərsiniz (məsələn, müxtəlif obyektlərin, heyvanların və s. şəkillər).

Oyunun daha az yayılmış versiyası Şəkildə göstərilən kvadratın parçalarından fiqurlar hazırlamaqdır. 3, (b).

Sehrli kvadratlar

Sehrli kvadrat "n 2 -kvadrat" bölünmüş kvadratı çağıraq n 2 hüceyrələr əvvəlcə doldurulur n 2 natural ədədlər hər hansı üfüqi və ya şaquli cərgədəki, eləcə də kvadratın hər hansı bir diaqonalındakı ədədlərin cəmi eyni ədədə bərabər olsun

Əgər hər hansı üfüqi və şaquli cərgədəki ədədlərin cəmi eyni olarsa, kvadrat adlanır. yarı sehrli.

, üzərində kvadrat təsvir edən 16-cı əsrin riyaziyyatçısı və rəssamı məşhur rəsm"Melanxoliya".

Yeri gəlmişkən, bu kvadratın iki aşağı orta rəqəmi rəsmin yaranma tarixi olan 1514 rəqəmini təşkil edir.
Yalnız səkkiz doqquz hüceyrəli sehrli kvadrat var. Bir-birinin güzgü təsviri olan ikisi şəkildə göstərilmişdir; qalan altısını bu kvadratlardan mərkəz ətrafında 90°, 180°, 270° fırladaraq əldə etmək olar.

2. n=3 üçün sehrli kvadratlar məsələsini tam araşdırmaq çətin deyil

Həqiqətən, S 3 = 15 və 15 rəqəmini müxtəlif ədədlərin cəmi kimi (birdən doqquza qədər) təmsil etməyin yalnız səkkiz yolu var:

15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6

Qeyd edək ki, 1, 3, 7, 9 rəqəmlərinin hər biri ikiyə, 2, 4, 6, 8 rəqəmlərinin hər biri üç müəyyən edilmiş məbləğə, dörd cəmdə isə yalnız 5 rəqəmi daxil edilir. Digər tərəfdən, səkkiz üç xanalı cərgədən: üç üfüqi, üç şaquli və iki diaqonal, kvadratın künc xanalarının hər birindən üç sıra, mərkəzi xanadan dördü və qalan xanaların hər birindən iki sıra keçir. . Buna görə də 5 rəqəmi mütləq mərkəzi xanada, 2, 4, 6, 8 rəqəmləri künc xanalarında, 1, 3, 7,9 rəqəmləri isə kvadratın qalan xanalarında olmalıdır.

Əyləncəli riyaziyyatla heyrətamiz görüşlər

Ən maraqlı problemlər toplusu

Elmlər kraliçasının gözəl siması RİYAZİYYAT

1 Rəqəmlər V.I.-nin kitabından götürülmüşdür. Obreimov "Üçlü tapmaca"

Möhtəşəm BÜTÜN PARÇA(ƏDƏNİN BÜTÜN HISSI OLAN TƏNLİKLƏRİN HƏLL METODU)

Le Thanh Dat

sinif 10 f/m, GBOU PO "İstedadlı Uşaqlar üçün Vilayət Lisey-İnternat Məktəbi", Penza

Tsepkova Natalya Mixaylovna

Elmi rəhbər, Dövlət Büdcə Tədris Müəssisəsinin ali kateqoriyalı riyaziyyat müəllimi “İstedadlı Uşaqlar üçün İl Lisey-İnternat Məktəbi” adına Dövlət Pedaqoji Universitetinin Peşə hazırlığının pedaqogikası və psixologiyası kafedrasının abituriyenti. V.G. Belinsky, Penza

Son zamanlar getdikcə daha çox olimpiadalarda, riyaziyyat yarışlarında, eləcə də bir çoxlarında Vahid Dövlət İmtahan variantları riyaziyyatda (C6) x ədədinin tam hissəsini ehtiva edən problemlər var.

Ədədlər nəzəriyyəsinin müxtəlif suallarında, riyazi analiz, rekursiv funksiyalar nəzəriyyəsi və riyaziyyatın digər sahələrində həqiqi ədədin tam və kəsr hissələri anlayışlarından istifadə olunur. Ilə məktəb və siniflərin proqramında dərindən öyrənilməsi Riyaziyyata bu anlayışlarla bağlı fərdi suallar daxildir, lakin 9-cu sinif üçün cəbr dərsliyində onların təqdimatına cəmi 34 sətir ayrılmışdır.

Həqiqi ədədin tam hissəsi anlayışını təqdim edək və onun bəzi xassələrini nəzərdən keçirək.

Tərif. Həqiqi x ədədinin tam hissəsi x-dən böyük olmayan ən böyük tam ədəddir.

Bütün hissənin xüsusiyyətləri:

1. [x]=x əgər x€Z.

2. [x]≤x<[x]+1.

3. =[x]+m, əgər m€Z olarsa.

Qarşılaşdığımız və ədədin tam hissəsini ehtiva edən tapşırıqları nəzərdən keçirərək və təhlil edərkən onların vahidliyini gördük və standart həllə gətirib çıxardı - bəzi ifadələri dəyişənlə əvəz etdik.

Məsələn, ++=6.

Sonra x+2.6 = y əvəz edin

[y]++=6,

[y]+[y]+1+[y]+2=6,

Əvəzinə qayıdın: y= x+2.6, sonra

1x+2.6<2,

1.6 x<-0,6.

Cavab: [-1,6; -0.6).

2011-2012-ci illərdə şöbə təhsil müəssisələrinin bazasında məktəblilər üçün rayonlararası riyaziyyat olimpiadasından götürülmüş başqa bir tənliyi nəzərdən keçirək ki, bu da əvəzetmə ilə həll olunur:

=k əvəz edək.

. (2)

(2) ifadəsindəki x ifadəsini (1) əvəz edək, onda

40k-39 10k<40k+1,

1) 40k-39 10k, 2) 10k<40k+1,

K 1.3, k> .

1) və 2)-dən => k=0; k=1.

k=0 x= olduqda;

k=1 x=0,8-də.

Cavab: ; 0.8.

Sual yaranır: bu əvəzetmələrin üsulu nəticənin tapılmasına səbəb olmayan tənliyi tapmaq mümkündürmü və onu necə həll etmək olar?

Tənliyi nəzərdən keçirin: +-=5.

Bu tənliyin mürəkkəbliyi x ədədinin qeyri-müəyyənliyindədir.

Qoy x=0,4, onda =1; =1; =4, və x=0,8-də =1; =2; =5.

Tam hissələri olan tənlikdə naməlumun qeyri-müəyyənliyini nəzərə almaq üçün hər bir terminin tam hissənin qiymətini 1-ə dəyişdirdiyi nöqtələri tapmaq lazımdır. Gəlin onları adlandıraq. kritik nöqtələr və konkret misal nəzərdən keçirin.

X=t+a, t ədədin tam hissəsi, a ədədin kəsr hissəsidir.

T+t-t+4-3-3++-=5,

T++-=7,

A=0,7; a=0,4; a=0,5 – kritik nöqtələr.

1) a€=a € N,

0≤t<1,

(2c-3) 2 =3a 2 -12c+46,

4c 2 -12c+9-3a 2 +12c-46=0,

4c 2 -37-3a 2 =0,

4c 2 -37-3[c] 2 =0,

4(a+t) 2 -37-3a 2 =0,

(a+t) 2 = ,

T=- -a - məsələnin şərtlərinə uyğun gəlmir,