Zəifləmənin səbəbi odur ki, hər hansı bir salınım sistemində bərpaedici qüvvə ilə yanaşı, həmişə müxtəlif növ hava müqaviməti mövcuddur.

hərəkəti ləngidən və s. Hər yelləncəkdə bir hissəsi sürtünmə qüvvələrinə qarşı işə sərf olunur. Nəhayət, bu iş əvvəlcə salınan sistemə verilən bütün enerji təchizatını istehlak edir.

Nəzərdən keçirərkən, biz ideal, ciddi dövri təbii rəqslərlə məşğul olurduq. Həqiqi rəqsləri təsvir etmək üçün belə bir modeldən istifadə etməklə, təsvirdə qeyri-dəqiqliyə bilərəkdən yol veririk. Bununla belə, belə bir sadələşdirmə ona görə uyğundur ki, bir çox salınan sistemlərdə sürtünmə nəticəsində yaranan salınımların sönümlənməsi həqiqətən kiçikdir: sistem nəzərəçarpacaq dərəcədə azalmadan çoxlu rəqslər etməyi bacarır.

Söndürülmüş salınımların qrafikləri

Amortizasiyanın mövcudluğunda təbii salınım (şəkil 1) harmonik olmağı dayandırır. Üstəlik, sönümlənmiş salınma dövri bir proses olmaqdan çıxır - sürtünmə təkcə salınımların amplitudasına deyil (yəni sönməyə səbəb olur), həm də yelləncəklərin müddətinə təsir göstərir. Sürtünmə artdıqca sistemin bir tam salınmanı tamamlaması üçün tələb olunan vaxt artır. Söndürülmüş salınımların qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. 2.

Şəkil 1. Pulsuz harmonik qrafik

Şəkil 2. Sönümlü salınım qrafiki

Salınım sistemlərinin xarakterik xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki, yüngül sürtünmə amplitudadan çox daha az dərəcədə salınma müddətinə təsir edir. Bu vəziyyət saatların təkmilləşdirilməsində böyük rol oynadı. İlk saat 1673-cü ildə holland fiziki və riyaziyyatçısı Kristian Huygens tərəfindən yaradılmışdır.Bu ili müasir saat mexanizmlərinin doğulduğu tarix hesab etmək olar. Sarkaclı saatların hərəkəti, ümumiyyətlə, bir çox amillərdən asılı olan sürtünmə səbəbindən dəyişikliklərə az həssasdır, əvvəlki sarkaçlı saatların sürəti isə sürtünmədən çox asılı idi.

Praktikada rəqslərin sönümlənməsini həm azaltmaq, həm də artırmaq lazımdır. Məsələn, saatların hərəkətlərini dizayn edərkən, onlar saat balanslaşdırıcısının salınımlarını azaltmağa çalışırlar. Bunun üçün balanslaşdırıcı oxu sərt daşdan (aqat və ya yaqut) yaxşı cilalanmış konusvari rulmanlara söykənən iti uclarla təchiz edilmişdir. Əksinə, bir çox ölçü alətlərində cihazın hərəkət edən hissəsinin ölçmə prosesində tez bir zamanda quraşdırılması, lakin çoxlu sayda salınımlara məruz qalması çox arzu edilir. Bu vəziyyətdə zəifləməni artırmaq üçün müxtəlif amortizatorlar istifadə olunur - sürtünməni və ümumiyyətlə enerji itkisini artıran cihazlar.

1.21. 3DAMPEDİLMİŞ, MƏCBUR SƏRƏNMƏLƏR

Söndürülmüş rəqslərin diferensial tənliyi və onun həlli. Zəifləmə əmsalı. Loqarifmik göyərtəçürümə vaxtı.Salınma keyfiyyət amilibədən sistemi.Aperiodik proses. Məcburi rəqslərin diferensial tənliyi və onun həlli.Məcburi rəqslərin amplitudası və fazası. Salınımların qurulması prosesi. Rezonans hadisəsi.Öz-özünə salınımlar.

Salınımların sönümlənməsi, salınım sisteminin enerji itkisi ilə əlaqədar olaraq, zamanla rəqslərin amplitudasının tədricən azalmasıdır.

Sönümsüz təbii salınımlar idealizasiyadır. Zəifləmənin səbəbləri fərqli ola bilər. Mexanik sistemdə vibrasiya sürtünmənin olması ilə sönür. Salınım sistemində yığılan bütün enerji tükəndikdə, salınımlar dayanacaq. Buna görə də amplituda sönümlü salınımlar sıfıra bərabər olana qədər azalır.

Təbiətinə görə müxtəlif olan sistemlərdə sönümlü rəqslər, təbii rəqslər kimi, bir nöqteyi-nəzərdən - ümumi xüsusiyyətlərdən nəzərdən keçirilə bilər. Bununla belə, amplituda və dövr kimi xüsusiyyətlər təbii sönümlənməmiş rəqslər üçün eyni xüsusiyyətlərlə müqayisədə yenidən müəyyənləşməni, digərləri isə əlavə və aydınlaşdırma tələb edir. Sönümlü salınımların ümumi xüsusiyyətləri və anlayışları aşağıdakılardır:

Diferensial tənliyi rəqs prosesi zamanı vibrasiya enerjisinin azalması nəzərə alınmaqla almaq lazımdır.

Salınma tənliyi diferensial tənliyin həllidir.

Söndürülmüş salınımların amplitudası zamandan asılıdır.

Tezlik və dövr salınımların zəifləmə dərəcəsindən asılıdır.

Faza və ilkin faza davamlı rəqslər üçün eyni məna daşıyır.

Mexanik sönümlü salınımlar.

Mexanik sistem : sürtünmə qüvvələrini nəzərə alan yay sarkacı.

Sarkaç üzərində hərəkət edən qüvvələr :

Elastik qüvvə., burada k yayın sərtlik əmsalı, x sarkacın tarazlıq mövqeyindən yerdəyişməsidir.

Müqavimət qüvvəsi. Hərəkət sürətinə v mütənasib olan müqavimət qüvvəsini nəzərdən keçirək (bu asılılıq müqavimət qüvvələrinin böyük sinfi üçün xarakterikdir): . Mənfi işarə müqavimət qüvvəsinin istiqamətinin bədənin sürətinin istiqamətinə əks olduğunu göstərir. Sürtünmə əmsalı r ədədi olaraq bədən hərəkətinin vahid sürətində yaranan sürükləmə qüvvəsinə bərabərdir:

Hərəkət qanunu yay sarkacı - bu Nyutonun ikinci qanunudur:

m a = F məs. + F müqavimət

Nəzərə alsaq ki, hər ikisi , Nyutonun ikinci qanununu formada yazırıq:

. (21.1)

Tənliyin bütün şərtlərini m-ə bölmək və hamısını sağ tərəfə keçirməklə əldə edirik diferensial tənlik sönümlü salınımlar:

Harada işarə edək β – zəifləmə əmsalı , , Harada ω 0 – salınım sistemində enerji itkiləri olmadıqda sönümsüz sərbəst rəqslərin tezliyi.

Yeni notasiyada sönümlü salınımların diferensial tənliyi formaya malikdir:

. (21.2)

Bu ikinci dərəcəli xətti diferensial tənlikdir.

Bu xətti diferensial tənlik dəyişənləri dəyişdirməklə həll edilir. t zamanından asılı olaraq x funksiyasını aşağıdakı formada təqdim edək:

.

z funksiyasının da zaman funksiyası olduğunu nəzərə alaraq, bu funksiyanın zamana görə birinci və ikinci törəmələrini tapaq:

, .

İfadələri diferensial tənliyə əvəz edək:

Bənzər şərtləri tənlikdə təqdim edək və hər bir həddi - ilə azaldaq, tənliyi əldə edirik:

.

Kəmiyyəti qeyd edək .

Tənliyin həlli funksiyalarıdır, .

Dəyişən x-ə qayıdaraq, söndürülmüş salınımların tənlikləri üçün düsturları alırıq:

Beləliklə , sönümlü rəqslərin tənliyi diferensial tənliyin (21.2) həllidir:

Söndürülmüş tezlik :

(yalnız əsl kök fiziki məna daşıyır, buna görə də ).

Söndürülmüş salınımlar dövrü :

(21.5)

Söndürülməmiş rəqslər üçün dövr anlayışına qoyulan məna sönümlü rəqslər üçün uyğun deyil, çünki salınım enerjisi itkisi səbəbindən salınan sistem heç vaxt ilkin vəziyyətinə qayıtmır. Sürtünmə olduqda vibrasiya daha yavaş olur: .

Söndürülmüş salınımlar dövrü sistemin bir istiqamətdə iki dəfə tarazlıq vəziyyətini keçdiyi minimum vaxt dövrüdür.

Yay sarkacının mexaniki sistemi üçün bizdə:

, .

Söndürülmüş salınımların amplitudası :

Bir yay sarkacı üçün.

Söndürülmüş salınımların amplitudası sabit dəyər deyil, zamanla dəyişir, β əmsalı nə qədər sürətli olarsa. Buna görə də, sönümlənməmiş sərbəst rəqslər üçün əvvəllər verilmiş amplituda tərifi sönümlü rəqslər üçün dəyişdirilməlidir.

Kiçik zəifləmələr üçün sönümlü salınımların amplitudası dövr ərzində tarazlıq vəziyyətindən ən böyük sapma adlanır.

Qrafiklər Zamana qarşı yerdəyişmə və amplituda qarşı zaman qrafikləri Şəkil 21.1 və 21.2-də təqdim edilmişdir.

Şəkil 21.1 – Söndürülmüş rəqslər üçün yerdəyişmənin vaxtından asılılığı.

Şəkil 21.2 – Söndürülmüş rəqslər üçün amplitudanın zamandan asılılığı

Söndürülmüş salınımların xüsusiyyətləri.

1. Zəifləmə əmsalı β .

Söndürülmüş salınımların amplitudası eksponensial qanuna uyğun olaraq dəyişir:

τ vaxtı ərzində salınma amplitudası “e” dəfə azalsın (“e” natural loqarifmin əsasıdır, e ≈ 2.718). Sonra, bir tərəfdən, , digər tərəfdən isə A zat amplitudalarını təsvir edərək. (t) və A zat. (t+τ), bizdə var . Bu əlaqələrdən βτ = 1 əmələ gəlir, deməli .

Vaxt intervalı τ , bu müddət ərzində amplituda “e” dəfə azalır, relaksasiya vaxtı adlanır.

Zəifləmə əmsalı β – istirahət vaxtı ilə tərs mütənasib miqdar.

2. Loqarifmik sönüm azalması δ - zamanla dövrlə ayrılmış ardıcıl iki amplitudun nisbətinin natural loqarifminə ədədi olaraq bərabər fiziki kəmiyyət.

Əgər zəifləmə kiçikdirsə, yəni. β dəyəri kiçikdir, sonra amplituda dövr ərzində bir qədər dəyişir və loqarifmik azalma aşağıdakı kimi müəyyən edilə bilər:

,

A zat haradadır. (t) və A zat. (t+NT) – e zamanı və N dövrlərdən sonra, yəni zamanda (t+NT) salınımların amplitüdləri.

3. Keyfiyyət faktoru Q salınım sistemi – (2π) ν kəmiyyətinin hasilinə və ixtiyari vaxt anında sistemin W(t) enerjisinin sönümlü salınımların bir dövrü ərzində enerji itkisinə nisbətinə bərabər ölçüsüz fiziki kəmiyyət:

.

Enerji amplitudanın kvadratına mütənasib olduğundan, deməli

Loqarifmik azalmanın kiçik dəyərləri üçün δ, salınım sisteminin keyfiyyət əmsalı bərabərdir

,

burada N e amplitudanın “e” dəfə azaldığı rəqslərin sayıdır.

Belə ki, yay sarkacının keyfiyyət əmsalıdır.Rəsmə sisteminin keyfiyyət əmsalı nə qədər yüksək olarsa, zəifləmə bir o qədər az olarsa, belə sistemdə dövri proses bir o qədər uzun sürər. Salınım sisteminin keyfiyyət faktoru - enerjinin zamanla yayılmasını xarakterizə edən ölçüsüz kəmiyyət.

4. β əmsalı artdıqca sönümlü rəqslərin tezliyi azalır və dövr artır. ω 0 = β-da sönümlü rəqslərin tezliyi sıfıra bərabər olur ω zat. = 0 və T zat. = ∞. Bu zaman salınımlar dövri xarakterini itirir və çağırılır aperiodik.

ω 0 = β-da vibrasiya enerjisinin azalmasına cavabdeh olan sistem parametrləri adlanan dəyərləri alır. tənqidi . Yay sarkacı üçün ω 0 = β şərti aşağıdakı kimi yazılacaq: kəmiyyəti haradan tapırıq kritik müqavimət əmsalı:

.

düyü. 21.3. Aperiodik rəqslərin amplitüdünün zamandan asılılığı

Məcburi vibrasiya.

Bütün real salınımlar sönür. Həqiqi salınımların kifayət qədər uzun müddətə baş verməsi üçün dövri olaraq xarici dövri dəyişən qüvvə ilə hərəkət edərək salınım sisteminin enerjisini vaxtaşırı artırmaq lazımdır.

Xarici olarsa salınımlar fenomenini nəzərdən keçirək (məcbur) qüvvə harmonik qanuna uyğun olaraq zamanla dəyişir. Bu halda sistemlərdə rəqslər yaranacaq ki, onların xarakteri bu və ya digər dərəcədə hərəkətverici qüvvənin xarakterini təkrarlayacaq. Belə salınımlar deyilir məcbur .

Məcburi mexaniki vibrasiyaların ümumi əlamətləri.

1. Xarici qüvvənin təsir etdiyi yay sarkacının məcburi mexaniki rəqslərini nəzərdən keçirək. (məcburedici ) dövri qüvvə . Sarkac üzərində hərəkət edən qüvvələr, tarazlıq vəziyyətindən çıxarıldıqdan sonra, salınım sisteminin özündə inkişaf edir. Bunlar elastik qüvvə və müqavimət qüvvəsidir.

Hərəkət qanunu (Nyutonun ikinci qanunu) aşağıdakı kimi yazılacaq:

(21.6)

Tənliyin hər iki tərəfini m-ə bölək, bunu nəzərə alaq və alaq diferensial tənlik məcburi salınımlar:

işarə edək ( β – zəifləmə əmsalı ), (ω 0 – sönümsüz sərbəst rəqslərin tezliyi), kütlə vahidinə təsir edən qüvvə. Bu qeydlərdə diferensial tənlik məcburi salınımlar aşağıdakı formada olacaq:

(21.7)

Bu, sağ tərəfi sıfırdan fərqli olan ikinci dərəcəli diferensial tənlikdir. Belə bir tənliyin həlli iki həllin cəmidir

.

– homojen diferensial tənliyin ümumi həlli, yəni. sıfıra bərabər olduqda sağ tərəfi olmayan diferensial tənlik. Biz belə bir həlli bilirik - bu, dəyəri salınım sisteminin ilkin şərtləri ilə təyin olunan sabitin dəqiqliyinə yazılmış sönümlü salınımların tənliyidir:

Daha əvvəl müzakirə etdik ki, həll sinus funksiyaları baxımından yazıla bilər.

Əgər hərəkətverici qüvvə işə salındıqdan sonra Δt kifayət qədər böyük müddətdən sonra sarkacın salınması prosesini nəzərdən keçirsək (Şəkil 21.2), onda sistemdə sönümlənmiş rəqslər praktiki olaraq dayanacaq. Və sonra sağ tərəfi olan diferensial tənliyin həlli həll olacaqdır.

Həll qeyri-homogen diferensial tənliyin xüsusi həllidir, yəni. sağ tərəfi olan tənliklər. Diferensial tənliklər nəzəriyyəsindən məlumdur ki, sağ tərəf harmonik qanuna uyğun olaraq dəyişdikdə, həll hüququn dəyişmə tezliyinə Ω uyğun dəyişmə tezliyi ilə harmonik funksiya (sin və ya cos) olacaqdır. -əl tərəfi:

harada A ampl. – məcburi rəqslərin amplitudası, φ 0 – faza sürüşməsi , olanlar. hərəkətverici qüvvə fazası ilə məcburi rəqs fazası arasındakı faza fərqi. Və amplituda A amp. , və faza sürüşməsi φ 0 sistemin parametrlərindən (β, ω 0) və hərəkətverici qüvvənin tezliyindən Ω asılıdır.

Məcburi salınımlar dövrü bərabərdir (21.9)

Şəkil 4.1-də məcburi vibrasiyaların qrafiki.

Şəkil 21.3. Məcburi salınım qrafiki

Sabit vəziyyətdə olan məcburi rəqslər də harmonikdir.

Məcburi rəqslərin amplitudası və faza sürüşməsinin xarici təsirin tezliyindən asılılığı. Rezonans.

1. Harmonik qanuna görə dəyişən xarici qüvvənin təsir etdiyi yay sarkacının mexaniki sisteminə qayıdaq. Belə bir sistem üçün müvafiq olaraq diferensial tənlik və onun həlli formaya malikdir:

, .

Salınma amplitüdünün və faza sürüşməsinin xarici hərəkətverici qüvvənin tezliyindən asılılığını təhlil edək, bunun üçün x-in birinci və ikinci törəmələrini tapıb diferensial tənlikdə əvəz edək.

Vektor diaqramı metodundan istifadə edək. Tənlik göstərir ki, tənliyin sol tərəfindəki üç vibrasiyanın cəmi (Şəkil 4.1) sağ tərəfdəki vibrasiyaya bərabər olmalıdır. Vektor diaqramı t-nin ixtiyari momenti üçün tərtib edilmişdir. Ondan müəyyən edə bilərsiniz.

Şəkil 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

, , dəyərini nəzərə alaraq φ 0 və A ampl üçün düsturlar alırıq. mexaniki sistem:

,

.

2. Salınan mexaniki sistemdə məcburi rəqslərin amplitudasının hərəkətverici qüvvənin tezliyindən və müqavimət qüvvəsinin böyüklüyündən asılılığını öyrənir, bu məlumatlardan istifadə edərək qrafik qururuq. . Tədqiqatın nəticələri Şəkil 21.5-də öz əksini tapmışdır ki, bu da müəyyən hərəkətverici qüvvə tezliyində olduğunu göstərir rəqslərin amplitudası kəskin şəkildə artır. Və bu artım daha böyükdür, zəifləmə əmsalı β nə qədər aşağı olarsa. Salınımların amplitudası sonsuz böyük olduqda.

Amplituda kəskin artım fenomeni bərabər hərəkətverici qüvvənin tezliyində məcburi rəqslər , rezonans adlanır.

(21.12)

Şəkil 21.5-dəki əyrilər əlaqəni əks etdirir və çağırılır amplituda rezonans əyriləri .

Şəkil 21.5 – Məcburi rəqslərin amplitudasının hərəkətverici qüvvənin tezliyindən asılılığının qrafikləri.

Rezonans salınımlarının amplitudası aşağıdakı formada olacaq:

Məcburi vibrasiyalardır sönümsüz dalğalanmalar. Sürtünmə nəticəsində qaçınılmaz enerji itkiləri, dövri olaraq hərəkət edən qüvvənin xarici mənbəyindən enerji təchizatı ilə kompensasiya edilir. Elə sistemlər var ki, sönümsüz salınımlar dövri xarici təsirlər hesabına deyil, belə sistemlərin daimi mənbədən enerji təchizatını tənzimləmək qabiliyyəti nəticəsində yaranır. Belə sistemlər adlanır öz-özünə salınan, və belə sistemlərdə sönümsüz rəqslər prosesidir öz-özünə salınımlar.

Öz-özünə salınan sistemdə üç xarakterik elementi ayırd etmək olar - salınım sistemi, enerji mənbəyi və salınım sistemi ilə mənbə arasında əks əlaqə cihazı. Öz sönümlü salınımlarını yerinə yetirə bilən istənilən mexaniki sistemdən (məsələn, divar saatının sarkacı) salınım sistemi kimi istifadə edilə bilər.

Enerji mənbəyi yayın deformasiya enerjisi və ya qravitasiya sahəsində yükün potensial enerjisi ola bilər. Geribildirim cihazı özü-özünə salınan sistemin mənbədən enerji axınını tənzimləyən mexanizmdir. Şəkildə. Şəkil 21.6-da öz-özünə salınan sistemin müxtəlif elementlərinin qarşılıqlı təsirinin diaqramı göstərilir.

Mexanik öz-özünə salınan sistemə misal olaraq saat mexanizmini göstərmək olar lövbər tərəqqi (Şəkil 21.7.). Eğik dişləri olan qaçış çarxı, çəkisi olan bir zəncir atıldığı dişli tambura sərt şəkildə bağlanır. Sarkacın yuxarı ucunda mərkəzi sarkacın oxunda olan dairəvi qövs boyunca əyilmiş iki sərt materialdan ibarət bir anker (lövbər) var. Əl saatlarında çəki yayla, sarkaç isə balanslaşdırıcı ilə əvəz olunur - spiral yay ilə birləşdirilmiş əl çarxı.

Balanslaşdırıcı öz oxu ətrafında burulma vibrasiyasını həyata keçirir. Saatda salınan sistem sarkaç və ya balanslaşdırıcıdır. Enerji mənbəyi qaldırılmış çəki və ya yara yayıdır. Geribildirim üçün istifadə edilən cihaz, çalışan təkərin bir yarım dövrədə bir dişi döndərməsinə imkan verən lövbərdir.

Əlaqə lövbərin işləyən təkərlə qarşılıqlı əlaqəsi ilə təmin edilir. Sarkacın hər bir salınması ilə işləyən təkərin bir dişi lövbər çəngəlini sarkacın hərəkət istiqamətində itələyir, ona enerjinin müəyyən bir hissəsini ötürür, bu da sürtünmə nəticəsində enerji itkilərini kompensasiya edir. Beləliklə, çəkinin (yaxud bükülmüş yayın) potensial enerjisi tədricən, ayrı-ayrı hissələrdə sarkaca ötürülür.

Mexanik özünü salınan sistemlər ətrafımızdakı həyatda və texnologiyada geniş yayılmışdır. Öz-özünə salınmalar buxar maşınlarında, daxiliyanma mühərriklərində, elektrik zənglərində, əyilmiş musiqi alətlərinin simlərində, nəfəs alətlərinin borularındakı hava sütunlarında, danışarkən və ya oxuyarkən səs tellərində və s.

Bu bölməni öyrənərkən, lütfən, bunu unutmayın dalğalanmalar müxtəlif fiziki təbiətlilər ümumi riyazi mövqelərdən təsvir edilmişdir. Burada harmonik rəqs, faza, faza fərqi, amplituda, tezlik, rəqs dövrü kimi anlayışları aydın başa düşmək lazımdır.

Nəzərə almaq lazımdır ki, hər hansı bir real salınım sistemində mühitin müqaviməti var, yəni. salınımlar sönəcək. Salınımların sönümlənməsini xarakterizə etmək üçün sönüm əmsalı və loqarifmik azalma tətbiq edilir.

Əgər rəqslər xarici, vaxtaşırı dəyişən qüvvənin təsiri altında baş verirsə, belə rəqslərə məcburi deyilir. Onlar sönməz olacaqlar. Məcburi rəqslərin amplitudası hərəkətverici qüvvənin tezliyindən asılıdır. Məcburi rəqslərin tezliyi təbii rəqslərin tezliyinə yaxınlaşdıqca məcburi rəqslərin amplitudası kəskin şəkildə artır. Bu fenomen rezonans adlanır.

Elektromaqnit dalğalarının tədqiqinə keçərkən bunu aydın başa düşməlisinizelektromaqnit dalğasıkosmosda yayılan elektromaqnit sahəsidir. Elektromaqnit dalğaları yayan ən sadə sistem elektrik dipoludur. Əgər dipol harmonik salınımlara məruz qalırsa, o zaman monoxromatik dalğa yayır.

Formula cədvəli: salınımlar və dalğalar

Söndürülmüş salınımlar

Yay sarkacının sönümlü salınımları

Söndürülmüş salınımlar- enerjisi zamanla azalan vibrasiyalar. Növlərin sonsuz davamlı prosesi təbiətdə qeyri-mümkündür. İstənilən osilatorun sərbəst salınımları gec-tez sönür və dayanır. Buna görə də praktikada biz adətən sönümlü salınımlarla məşğul oluruq. Onlar rəqslərin amplitüdünün olması ilə xarakterizə olunur A azalan funksiyadır. Tipik olaraq, zəifləmə mühitin müqavimət qüvvələrinin təsiri altında baş verir, ən çox salınma sürətindən və ya kvadratından xətti asılılıq kimi ifadə edilir.

Akustikada: zəifləmə - siqnal səviyyəsinin tam eşidilməzliyə qədər azaldılması.

Yay sarkacının sönümlü salınımları

Yaydan (Huk qanununa tabe olan) bir ucu sərt şəkildə sabitlənmiş, digər tərəfində isə kütlə cismi olan bir sistem olsun. m. Müqavimət qüvvəsinin əmsalı olan sürətə mütənasib olduğu mühitdə salınımlar baş verir c(bax viskoz sürtünmə).

Kökləri aşağıdakı düsturla hesablanır

Həll yolları

Zəifləmə əmsalının dəyərindən asılı olaraq, həll üç mümkün varianta bölünür.

• Aperiodiklik

Əgər , onda iki həqiqi kök var və diferensial tənliyin həlli aşağıdakı formanı alır:

Bu halda, rəqslər lap əvvəldən eksponensial olaraq azalır.

• Aperiodiklik həddi

Əgər , iki həqiqi kök üst-üstə düşürsə və tənliyin həlli belədir:

Bu halda, müvəqqəti artım ola bilər, lakin sonra eksponensial çürümə.

• Zəif zəifləmə

Əgər , onda xarakterik tənliyin həlli iki mürəkkəb birləşmiş kökdür

Sonra orijinal diferensial tənliyin həlli olur

Söndürülmüş salınımların təbii tezliyi haradadır.

Sabitlər və hər bir halda ilkin şərtlərdən müəyyən edilir:

həmçinin bax

• Zəifləmənin azalması

Ədəbiyyat

Lit.: Savelyev İ.V., Ümumi fizika kursu: Mexanika, 2001.

Wikimedia Fondu. 2010.

Digər lüğətlərdə "sönümlü salınımların" nə olduğuna baxın:

Söndürülmüş salınımlar- Söndürülmüş salınımlar. SÖNDÜLMƏN VİBRASYONLAR, enerji itkiləri səbəbindən zamanla A amplitudası azalan rəqslər: mexaniki sistemlərdə sürtünmə nəticəsində rəqs enerjisinin istiliyə çevrilməsi (məsələn, asma nöqtəsində... ... Təsvirli Ensiklopedik Lüğət

A(t) = Аоexp (?t) eksponensial qanununa uyğun olaraq A amplitudası t zamanla azalan təbii rəqslər (? mexaniki sönümlü rəqslər və ohmik üçün özlü sürtünmə qüvvələri hesabına enerjinin dağılması nəticəsində zəifləmənin göstəricisi. .. ... Böyük ensiklopedik lüğət

Amplitudası tədricən azalan salınımlar, məs. asmada hava müqaviməti və sürtünmə ilə qarşılaşan sarkacın salınımları. Təbiətdə baş verən bütün sərbəst vibrasiyalar az və ya çox dərəcədə Z.K. Electrical Z.K... ...Dəniz lüğətidir.

sönümlü salınımlar- Ümumiləşdirilmiş koordinat diapazonunun və ya onun törəməsinin zamana görə azalan dəyərləri ilə mexaniki rəqslər. [Tövsiyə olunan şərtlər toplusu. Məsələ 106. Mexaniki vibrasiya. SSRİ Elmlər Akademiyası. Elmi və Texniki Komitə ...... Texniki Tərcüməçi Bələdçisi

Söndürülmüş salınımlar- (VİBRASYON) yelləncək dəyərləri azalan salınımlar (vibrasiya)... Əməyin mühafizəsi rus ensiklopediyası

A(t) = A0exp(?α t) eksponensial qanununa uyğun olaraq A amplitudası t zamanla azalan sistemin təbii rəqsləri (α, mexaniki sönümlü üçün özlü sürtünmə qüvvələrinin təsiri nəticəsində enerjinin dağılması ilə əlaqədardır. salınımlar və ohmik ...... ensiklopedik lüğət

Söndürülmüş salınımlar- 31. Sönümlü salınımlar Yelləncək dəyərlərinin azalması ilə rəqslər Mənbə... Normativ-texniki sənədlərin terminlərinin lüğət-aparat kitabı

Sistemin təbii salınımları, A(t) = = Aoehr(at) eksponensial qanununa uyğun olaraq A-dan ryx-ə qədər olan amplituda t vaxtı ilə mexaniki üçün özlü sürtünmə qüvvələri hesabına enerjinin yayılmasına görə azalır. 3. və elektrik üçün ohmik müqavimət ... Təbiət elmi. ensiklopedik lüğət

sönümlü salınımlar- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika attikmenys: engl. sönümlü salınım vok. gedämpfte Schwingung, f rus. sönümlü salınımlar, n pranc. salınımların amortizasiyası, f; salınımlar decroissantes, f … Avtomatik terminlər žodynas

sönümlü salınımlar- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika attikmenys: engl. sönümlü salınımlar; söndürülmüş vibrasiya; ölən salınımlar vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. sönümlü salınımlar, n pranc. salınımlar amorties, f … Fizikos terminų žodynas

İndiyə qədər biz, artıq qeyd edildiyi kimi, sistemdə vahid qüvvənin - elastik qüvvənin və ya kvazi-elastik qüvvənin mövcudluğunda yaranan harmonik rəqsləri nəzərdən keçirdik. Bizi əhatə edən təbiətdə, daha dəqiq desək, belə dalğalanmalar yoxdur. Həqiqi sistemlərdə elastik və ya kvazi-elastik qüvvələrə əlavə olaraq, həmişə elastik qüvvələrdən təsir xarakterinə görə fərqlənən digər qüvvələr də mövcuddur - bunlar sistemin cisimlərinin ətraf mühitlə qarşılıqlı təsiri zamanı yaranan qüvvələrdir - dissipativ qüvvələr. Onların fəaliyyətinin son nəticəsi hərəkət edən cismin mexaniki enerjisinin istiliyə çevrilməsidir. Başqa sözlə, səpilmə baş verir və ya dağılması mexaniki enerji. Enerjinin yayılması prosesi sırf mexaniki deyil və onun təsviri üçün fizikanın digər sahələrinin biliklərindən istifadə tələb olunur. Mexanika çərçivəsində bu prosesi sürtünmə və ya müqavimət qüvvələrini təqdim etməklə təsvir edə bilərik. Enerjinin dağılması nəticəsində rəqsin amplitudası azalır. Bu vəziyyətdə, bir cismin və ya cisimlər sisteminin titrəyişlərinin söndüyünü söyləmək adətdir. Söndürülmüş salınımlar artıq harmonik deyil, çünki onların amplitudası və tezliyi zamanla dəyişir.

Salınan sistemdə enerjinin yayılması səbəbindən davamlı azalan amplituda ilə baş verən rəqslərə deyilir. solma.Əgər tarazlıq vəziyyətindən çıxarılan salınım sistemi müqavimətsiz və enerjinin yayılması (dağıdılması) olmadan yalnız daxili qüvvələrin təsiri altında rəqs edirsə, onda baş verən rəqslərə deyilir. pulsuz(və ya öz) sönümsüz rəqslər. Enerji itkisi olan real mexaniki sistemlərdə sərbəst rəqslər həmişə sönür. Onların tezliyi co sönümsüz sistemin salınımlarının co 0 tezliyindən fərqlənir (müqavimət qüvvələrinin təsiri nə qədər çox olarsa, müqavimət qüvvələrinin təsiri də bir o qədər çox olar).

Yay sarkacının nümunəsindən istifadə edərək sönümlü salınımları nəzərdən keçirək. Gəlin özümüzü kiçik salınımları nəzərə almaqla məhdudlaşdıraq. Aşağı salınım sürətlərində müqavimət qüvvəsi salınan yerdəyişmələrin sürətinə mütənasib olaraq qəbul edilə bilər.

Harada v = 4 - salınım sürəti; G - sürtünmə əmsalı adlanan mütənasiblik amili. Müqavimət qüvvəsi üçün ifadədə mənfi işarə (2.79) onun salınan cismin hərəkət sürətinə əks istiqamətə yönəldilməsi ilə əlaqədardır.

Kvazielastik qüvvə i^p = - və müqavimət qüvvəsi üçün ifadələri bilmək Fc= bu qüvvələrin birləşmiş təsirini nəzərə alaraq, sönümlü rəqslər edən cismin dinamik hərəkət tənliyini yaza bilərik.

Bu tənlikdə (2.49) düsturuna uyğun olaraq əmsalı (3) ilə əvəz edirik Sən], bundan sonra sonuncu tənliyi bölüb alırıq

Formanın zaman funksiyası kimi (2.81) tənliyinin həllini axtaracağıq

Burada y sabit dəyəri hələ də qeyri-müəyyəndir. Sadəlik üçün nəzərdən keçirdiyimiz ilkin mərhələ sıfıra bərabər qəbul ediləcək, yəni. salınan yerdəyişmə tarazlıq mövqeyindən (sıfır koordinat) keçdikdə saniyəölçəni "yandıra" bilərik.

Söndürülmüş rəqslərin diferensial tənliyinə (2.81) fərz edilən həlli (2.82), eləcə də ondan alınan sürətləri əvəz etməklə y qiymətini təyin edə bilərik.

və sürətlənmə

(2.83) və (2.84) (2.82) ilə birlikdə (2.81) əvəz etmək /1 () e": "-ə azaltdıqdan və "-1"-ə vurduqdan sonra əldə edirik. Bu kvadrat tənliyi y üçün həll etdikdən sonra əldə edirik.

(2.82) y-ni əvəz edərək, sönümlü salınımlar zamanı yerdəyişmənin zamandan necə asılı olduğunu tapırıq. Qeydi təqdim edək

burada co simvolu sönümlü salınımların bucaq tezliyini və sönümsüz sərbəst rəqslərin bucaq tezliyini ifadə edir. Görünür ki, S > 0 üçün söndürülmüş rəqslərin tezliyi həmişə tezlikdən azdır

Beləliklə, və buna görə də sönümlü rəqslər zamanı yerdəyişmə kimi ifadə edilə bilər

İkinci eksponentdə "+" və ya "-" işarəsinin seçilməsi ixtiyaridir və rəqslərin l ilə faza yerdəyişməsinə uyğundur. “+” işarəsinin seçimini nəzərə alaraq sönümlənmiş rəqsləri yazacağıq, sonra (2.90) ifadəsi olacaq.

Bu yerdəyişmənin vaxtından arzu olunan asılılığıdır. O, həmçinin triqonometrik formada yenidən yazıla bilər (real hissə ilə məhdudlaşır)

İstənilən amplituda asılılığı A(t) kimi zaman zaman təmsil oluna bilər

Harada A(,- zamanda amplituda t = 0.

Sabit 8, müqavimət əmsalının nisbətinə (2.88) uyğun olaraq bərabərdir G kütləni ikiqat artırmaq T salınan cisim deyilir vibrasiya sönüm əmsalı. Bu əmsalın fiziki mənasını öyrənək. Söndürülmüş rəqslərin amplitudasının e (təbii loqarifmlərin əsası e = 2,72) dəfə azalacağı t vaxtını tapaq. Bunu etmək üçün qoyaq

(2.93) münasibətindən istifadə edərək əldə edirik: və ya

buradan izləyir

Beləliklə, zəifləmə əmsalı 8 t vaxtının əksidir, bundan sonra sönümlü salınımların amplitudası e dəfə azalacaq. Zaman ölçüsünə malik olan m kəmiyyəti adlanır sönümlü salınım prosesinin zaman sabiti.

8 əmsalına əlavə olaraq, sözdə loqarifmik sönüm azalması X, dövrə bərabər zaman intervalı ilə bir-birindən ayrılmış iki rəqs amplitüdünün nisbətinin natural loqarifminə bərabərdir. T

Simvol ilə göstərilən loqarifmin altındakı ifadə d, sadəcə çağırılır dalğalanmaların azalması (zəifləmənin azalması).

Genlik ifadəsindən (2.93) istifadə edərək, əldə edirik:

Loqarifmik sönüm azalmasının fiziki mənasını öyrənək. N rəqsdən sonra rəqslərin amplitudası e dəfə azalsın. Bədənin tamamlanacağı vaxt t N rəqsləri t = dövrü ilə ifadə etmək olar N.T. Bu dəyəri m (2.97) ilə əvəz edərək, əldə edirik 8NT= 1. 67 "= A. olduğundan, onda NX = 1 və ya

Beləliklə, loqarifmik sönüm azalması sönümlü salınımların amplitudasının e dəfə azalacağı rəqslərin sayının əksidir.

Bəzi hallarda salınma amplitüdünün zamandan asılılığı A(t) Onu loqarifmik sönüm azaldılması ilə ifadə etmək rahatdır A. Göstərici 6 1 (2.93) ifadələri (2.99)-a uyğun olaraq aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Sonra (2.93) ifadəsi formasını alır

burada qiymət ədədə bərabərdir N t zamanı ərzində sistem tərəfindən edilən salınımlar.

Cədvəl 2.1 bəzi salınım sistemlərinin loqarifmik sönüm azalmasının təxmini dəyərlərini (böyüklük sırasına görə) göstərir.

Cədvəl 2.1

Bəzi salınım sistemlərinin zəifləmə azalmalarının dəyərləri

İndi müqavimət qüvvələrinin salınım tezliyinə təsirini təhlil edək. Bir cisim tarazlıq mövqeyindən hərəkət edərək tarazlıq vəziyyətinə qayıtdıqda, ona hər zaman bir müqavimət qüvvəsi təsir göstərərək onun yavaşlamasına səbəb olur.

Bu o deməkdir ki, sönümlü rəqslər zamanı yolun eyni hissələri sərbəst rəqslər zamanı olduğundan daha böyük bir zaman intervalında bədən tərəfindən örtüləcəkdir. Söndürülmüş salınımlar dövrü T, buna görə də təbii sərbəst salınımların daha böyük dövrü olacaq. (2.89) ifadəsindən aydın olur ki, tezliklər fərqi artdıqca zəifləmə əmsalı b çoxalır. Böyük b (b > coo) üçün sönümlü salınımlar degenerasiya olur aperiodik (qeyri-dövri) proses, burada, ilkin şərtlərdən asılı olaraq, sistem ondan keçmədən dərhal tarazlıq vəziyyətinə qayıdır və ya dayanmadan əvvəl tarazlıq mövqeyindən bir dəfə keçir (yalnız bir rəqs edir) - şəklə baxın. 2.16.

düyü. 2.16. Sönümlü salınımlar:

Şəkil 2.16-da, A asılılıq qrafikini göstərir %(t) Və A(t)(5 > co 0 və ilkin faza so olduqda, rəqslər tamamilə qeyri-mümkündür (bu hal bərabərlikdən (2.89) müəyyən edilən tezliyin xəyali qiymətinə uyğundur). Sistem sönümlənir, salınım prosesi isə aperiodik olur (Şəkil 2.16, b).

• exp(x) qeydi e* ilə bərabərdir. Hər iki formadan istifadə edəcəyik.
• Salınımların ümumi nəzərdən keçirilməsində, salınım mərhələsinin tam dəyəri ilkin şərtlərlə verilir, yəni. zamanın ilkin anında (t = 0) yerdəyişmənin miqyası 4(0 və sürət 4(0)) və termini ehtiva edir.