Как да измерим страните на триъгълник. Онлайн калкулатор Решаване на триъгълници. Цени за различни видове покривни хребети

В математиката, когато разглеждаме триъгълник, много внимание непременно се обръща на неговите страни. Тъй като тези елементи образуват тази геометрична фигура. Страните на триъгълник се използват за решаване на много геометрични задачи.

Определение на понятието

Отсечките, свързващи три точки, които не лежат на една и съща права линия, се наричат ​​страни на триъгълника. Разглежданите елементи ограничават част от равнината, която се нарича вътрешност на дадена геометрична фигура.

Математиците в своите изчисления допускат обобщения относно страните на геометричните фигури. И така, в изроден триъгълник три от неговите сегмента лежат на една права линия.

Характеристики на концепцията

Изчисляването на страните на триъгълник включва определянето на всички други параметри на фигурата. Познавайки дължината на всеки от тези сегменти, можете лесно да изчислите периметъра, площта и дори ъглите на триъгълника.

Ориз. 1. Произволен триъгълник.

Чрез сумиране на страните на тази фигура можете да определите периметъра.

P=a+b+c, където a, b, c са страните на триъгълника

И за да намерите площта на триъгълник, тогава трябва да използвате формулата на Heron.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Където p е полупериметърът.

Ъглите на дадена геометрична фигура се изчисляват чрез косинусовата теорема.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

смисъл

Чрез съотношението на страните на триъгълника се изразяват някои свойства на тази геометрична фигура:

• Срещу най-малката страна на триъгълника е най-малкият му ъгъл.
• Външният ъгъл на разглежданата геометрична фигура се получава чрез удължаване на една от страните.
• Противоположните равни ъгли на триъгълник са равни страни.
• Във всеки триъгълник една от страните винаги е по-голяма от разликата на другите два сегмента. И сборът на всички две страни на тази фигура е по-голям от третата.

Един от признаците за равенство на два триъгълника е съотношението на сбора от всички страни на геометрична фигура. Ако тези стойности са еднакви, тогава триъгълниците ще бъдат равни.

Някои свойства на триъгълника зависят от неговия тип. Следователно, първо трябва да вземете предвид размера на страните или ъглите на тази фигура.

Образуване на триъгълници

Ако двете страни на разглежданата геометрична фигура са еднакви, тогава този триъгълник се нарича равнобедрен.

Ориз. 2. Равнобедрен триъгълник.

Когато всички сегменти в триъгълника са равни, се получава равностранен триъгълник.

Ориз. 3. Равностранен триъгълник.

Всяко изчисление е по-удобно за извършване в случаите, когато произволен триъгълник може да бъде приписан на определен тип. Оттогава намирането на необходимия параметър на тази геометрична фигура ще бъде значително опростено.

Въпреки че правилно избраното тригонометрично уравнение ви позволява да решавате много проблеми, в които се разглежда произволен триъгълник.

Какво научихме?

Три отсечки, които са свързани с точки и не принадлежат на една и съща права линия, образуват триъгълник. Тези страни образуват геометрична равнина, която се използва за определяне на площта. С помощта на тези сегменти можете да намерите много важни характеристики на фигура, като периметър и ъгли. Съотношението на страните на триъгълника помага да се намери неговият тип. Някои свойства на дадена геометрична фигура могат да се използват само ако са известни размерите на всяка от нейните страни.

Тематична викторина

Рейтинг на статията

Среден рейтинг: 4.3. Общо получени оценки: 142.

Триъгълник се нарича правоъгълен, ако един от ъглите му е 90º. Страната, противоположна на правия ъгъл, се нарича хипотенуза, а другите две са катетите.

За намиране на ъгъла в правоъгълен триъгълник се използват някои свойства на правоъгълните триъгълници, а именно: фактът, че сумата от острите ъгли е 90º, както и фактът, че срещу крака, чиято дължина е половината от хипотенузата, лежи ъгъл равен на 30º.

Бърза навигация в статията

Равнобедрен триъгълник

Едно от свойствата на равнобедрен триъгълник е, че два от неговите ъгли са равни. За да изчислите стойностите на ъглите на правоъгълен равнобедрен триъгълник, трябва да знаете, че:

• Правият ъгъл е 90º.
• Стойностите на острите ъгли се определят по формулата: (180º-90º)/2=45º, т.е. ъглите α и β са 45º.

Ако е известна стойността на един от острите ъгли, вторият може да се намери по формулата: β=180º-90º-α, или α=180º-90º-β. Най-често това съотношение се използва, ако един от ъглите е 60º или 30º.

Ключови понятия

Сумата от вътрешните ъгли на триъгълник е 180º. Тъй като единият ъгъл е прав, другите два ще бъдат остри. За да ги намерите, трябва да знаете, че:

други методи

Остри ъгли правоъгълен триъгълникможе да се изчисли, като се знае стойността на медианата - линия, изтеглена от върха до противоположната страна на триъгълника, и височината - права линия, която е перпендикуляр, спуснат от правия ъгъл към хипотенузата. Нека s е медианата, изтеглена от прав ъгъл до средата на хипотенузата, h е височината. В този случай се оказва, че:

• sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
• cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
• sinα=h/b; sinβ=h/a.

Две страни

Ако дължините на хипотенузата и единия от краката или двете страни са известни в правоъгълен триъгълник, тригонометричните идентичности се използват за намиране на стойностите на острите ъгли:

• α=арксин(a/c), β=арксин(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

Правоъгълен триъгълник се намира в действителност на почти всеки ъгъл. Познаването на свойствата на тази фигура, както и способността да се изчисли нейната площ, несъмнено ще ви бъде полезно не само за решаване на задачи в геометрията, но и в житейски ситуации.

геометрия на триъгълника

В елементарната геометрия правоъгълният триъгълник е фигура, която се състои от три свързани сегмента, които образуват три ъгъла (два остри и един прав). Правоъгълният триъгълник е оригинална фигура, характеризираща се с редица важни свойства, които формират основата на тригонометрията. За разлика от обикновен триъгълник, страните на правоъгълна фигура имат свои собствени имена:

• Хипотенузата е най-дългата страна на триъгълник, която лежи срещу правия ъгъл.
• Крака - сегменти, които образуват прав ъгъл. В зависимост от разглеждания ъгъл, кракът може да бъде съседен на него (образувайки този ъгъл с хипотенузата) или противоположен (лежащ срещу ъгъла). Няма крака за неправоъгълни триъгълници.

Съотношението на катетите и хипотенузата формира основата на тригонометрията: синусите, тангентите и секущите се определят като съотношението на страните на правоъгълен триъгълник.

Правоъгълен триъгълник в действителност

Тази фигура е широко използвана в действителност. Триъгълниците се използват в дизайна и технологията, така че изчисляването на площта на фигурата трябва да се извърши от инженери, архитекти и дизайнери. Основите на тетраедри или призми имат формата на триъгълник - триизмерни фигури, които лесно се срещат в ежедневието. Освен това квадратът е най-простото представяне на "плосък" правоъгълен триъгълник в действителност. Квадратът е ключарски, чертожен, строителен и дърводелски инструмент, който се използва за изграждане на ъгли както от ученици, така и от инженери.

Площ на триъгълник

Площта на геометрична фигура е количествена оценка на това колко от равнината е ограничена от страните на триъгълник. Площта на обикновен триъгълник може да се намери по пет начина, като се използва формулата на Херон или се оперира при изчисления с такива променливи като основа, страна, ъгъл и радиус на вписаната или описаната окръжност. Най-простата формула за площ се изразява като:

където a е страната на триъгълника, h е неговата височина.

Формулата за изчисляване на площта на правоъгълен триъгълник е още по-проста:

където a и b са крака.

Работейки с нашия онлайн калкулатор, можете да изчислите площта на триъгълник с помощта на три двойки параметри:

• два крака;
• крак и прилежащ ъгъл;
• крак и противоположен ъгъл.

В задачи или ежедневни ситуации ще ви бъдат дадени различни комбинации от променливи, така че тази форма на калкулатор ви позволява да изчислите площта на триъгълник по няколко начина. Нека разгледаме няколко примера.

Примери от реалния живот

Керамични плочки

Да приемем, че искате да облицовате стените на кухнята с керамични плочки, които имат формата на правоъгълен триъгълник. За да определите консумацията на плочки, трябва да разберете площта на един елемент от облицовката и общата площ на повърхността, която трябва да се третира. Нека трябва да обработите 7 квадратни метра. Дължината на краката на един елемент е 19 см всеки, тогава площта на плочката ще бъде равна на:

Това означава, че площта на един елемент е 24,5 квадратни сантиметра или 0,01805 квадратни метра. Познавайки тези параметри, можете да изчислите, че за да завършите 7 квадратни метра стена, ще ви трябват 7 / 0,01805 = 387 облицовъчни плочки.

училищна задача

Да предположим, че в една училищна геометрична задача се изисква да се намери площта на правоъгълен триъгълник, като се знае само, че страната на единия крак е 5 см, а стойността на противоположния ъгъл е 30 градуса. Нашият онлайн калкулатор е придружен от илюстрация, показваща страните и ъглите на правоъгълен триъгълник. Ако страна a = 5 cm, тогава нейният противоположен ъгъл е ъгълът alpha, равен на 30 градуса. Въведете тези данни във формата на калкулатора и получете резултата:

По този начин калкулаторът не само изчислява площта даден триъгълник, но също така определя дължината на съседния катет и хипотенузата, както и стойността на втория ъгъл.

Заключение

Правоъгълните триъгълници се срещат в живота ни буквално на всеки ъгъл. Определянето на площта на такива фигури ще ви бъде полезно не само при решаване училищни задачигеометрия, но и ежедневни и професионални дейности.

АНДРЕЙ ПРОКИП: „МОЯТА ЛЮБОВ Е РУСКАТА ЕКОЛОГИЯ. ТРЯБВА ДА ИНВЕСТИРАТЕ В НЕГО!”
На 4-5 септември се проведе екологичният форум „Климатична форма на градовете”. Инициатор на организацията на събитието е организацията C40, която е основана през 2005 г. от ООН. Основната задача на формата и градовете е да контролират изменението на климатаградове.
Както показва практиката, за разлика от социалните събития и "сесии в нощни клубове", имаше малко депутати и общественици. Сред тези, които разкриха опасения екологична ситуациябеше Прокип Адрей Зиновиевич. Той взе активно участие във всички пленарни заседания, заедно със специалния представител на президента Руска федерацияпо въпросите на климата Руслан Еделгериев, заместник-кметът на Москва по жилищно-битови услуги Петр Бирюков, както и чуждестранни представители - кметът на италианския град Савона - Иларио Каприолио. Участниците представиха своите проекти и също така обсъдиха стратегии за поддържане на повишаването на глобалните температури, както и предложиха практически решения. устойчиво развитиеградове.
АНДРЕЙ ПРОКИП ЗА ШАШЛИКИТЕ, ЗАМЕСТНИКИТЕ И ЗЕЛЕНОТО СТРОИТЕЛСТВО
От особен интерес за руска странапредизвика представянето на оратори, сред които бяха европейски архитекти, учени и мерки от Савона. Темата на изказването беше ТОП направление – „зелено строителство“. Както самият Андрей Прокип заяви, „важно е правилно да се преразпределят ресурсите, както и да се вземат предвид стандартите на европейското строителство за такъв метрополис като Москва. Необходимо е Русия на федерално ниво да поеме курс към „зелено финансиране“, особено след като това е икономически осъществимо и, както показва практиката, печелившо. Той също така изрази загриженост относно влошаването на здравето на руснаците във връзка с екологични бедствия и неспазване на екологичните стандарти за изхвърляне на отпадъци от големи и малки промишлени предприятия. Той също така потвърди опасенията си благодарение на речта на Франческо Замбон, професор в Европейското бюро по здравни инвестиции на СЗО.
С характерен хумор Андрей се обърна към известни личности, които бяха поканени във форума, но така и не се появиха, с призив „да си спомнят природата, не само когато искат барбекю или ходят на риболов. В крайна сметка от благосклонността на природата зависи здравето на всички хора, което, за съжаление, включва и тях.
В допълнение към страстните изказвания за новата „любовница-природа“ на Андрей Зиновиевич и значението на поемането на отговорност за заобикаляща средасамо по себе си, значимо събитие на форума беше пленумна тема „Как да възпитаме следващото поколение“. Участниците във форума бяха единодушни в мнението си, че е необходимо да се образоват не само децата, но и възрастното поколение. Много е важно да се възпитава отговорност към природата както в ежедневието, така и в бизнеса.
За Москва ще стартира специален проект „Да се ​​научим да живеем цивилизовано“. Това образователен проектза всички слоеве от населението и възрастови категории. Но колкото и прекрасна да е теорията и добрите намерения, поговорката „докато печеният петел не кълне, глупакът няма да се прекръсти“ все още е актуална за Русия.
Според Тимъти Нетър, известен театрален режисьор, изкуството може да промени всичко. В едно от изказванията си той говори за това как идеята за опазване на природата трябва да бъде представена в театъра и киното и колко е важно да възпитаваме хората чрез изкуството да бъдат отговорни за това, което ще се случи с нас и природата утре.
Вниманието на rentv операторите и Андрей Прокирп беше привлечено от студенти от руски университети, които представиха проект за екологично чиста технология за производство на контейнери, устойчиви на влага и температура. Това е много спешен проблем, тъй като по света се приемат закони срещу пластмасовите контейнери, които между другото се разлагат повече от 30 години, замърсяват почвата и причиняват смъртта на животните.
Вдъхновяващо е, че Москва е един от 94-те града, участващи в организацията C40 и за трети път се провежда форумът, който всяка година привлича вниманието на все повече известни личности и граждани.

В геометрията ъгълът е фигура, образувана от два лъча, които излизат от една и съща точка (нарича се връх на ъгъла). В повечето случаи мерната единица за ъгъл е градуси (°) - не забравяйте, че пълен ъгъл или един оборот е равен на 360°. Можете да намерите стойността на ъгъла на многоъгълник по неговия тип и стойностите на други ъгли и ако е даден правоъгълен триъгълник, ъгълът може да се изчисли от две страни. Освен това ъгълът може да се измери с транспортир или да се изчисли с графичен калкулатор.

Стъпки

Как да намерите вътрешните ъгли на многоъгълник

Пребройте броя на страните на многоъгълника.За да изчислите вътрешните ъгли на многоъгълника, първо трябва да определите колко страни има многоъгълникът. Имайте предвид, че броят на страните на многоъгълника е равен на броя на неговите ъгли.

• Например, триъгълник има 3 страни и 3 вътрешни ъгъла, докато квадратът има 4 страни и 4 вътрешни ъгъла.

1. Изчислете сумата от всички вътрешни ъгли на многоъгълника.За да направите това, използвайте следната формула: (n - 2) x 180. В тази формула n е броят на страните на многоъгълника. Следват суми от ъгли на често срещани многоъгълници:

   • Сборът от ъглите на триъгълник (многоъгълник с 3 страни) е 180°.
   • Сборът от ъглите на четириъгълник (многоъгълник с 4 страни) е 360°.
   • Сборът от ъглите на петоъгълник (многоъгълник с 5 страни) е 540°.
   • Сборът от ъглите на шестоъгълник (многоъгълник с 6 страни) е 720°.
   • Сумата от ъглите на осмоъгълник (многоъгълник с 8 страни) е 1080°.

2. Разделете сбора от всички ъгли на правилния многоъгълник на броя на ъглите.Правилният многоъгълник е многоъгълник с равни страни и равни ъгли. Например, всеки ъгъл на равностранен триъгълник се изчислява по следния начин: 180 ÷ 3 = 60°, а всеки ъгъл на квадрат се изчислява, както следва: 360 ÷ 4 = 90°.

   • Равностранният триъгълник и квадратът са правилни многоъгълници. А сградата на Пентагона (Вашингтон, САЩ) и пътният знак Стоп имат формата на правилен осмоъгълник.

3. Извадете сбора на всички известни ъгли от общата сума на ъглите на неправилния многоъгълник.Ако страните на многоъгълника не са равни една на друга и ъглите му също не са равни един на друг, първо се сумират известните ъгли на многоъгълника. Сега извадете получената стойност от сбора на всички ъгли на многоъгълника - така намирате неизвестния ъгъл.

   • Например, като се има предвид, че 4-те ъгъла на петоъгълник са 80°, 100°, 120° и 140°, добавете тези числа: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Сега извадете тази стойност от сбора на всички ъгли на петоъгълникът; тази сума е равна на 540°: 540 - 440 = 100°. Така неизвестният ъгъл е 100°.

   съвет:неизвестният ъгъл на някои многоъгълници може да се изчисли, ако знаете свойствата на фигурата. Например в равнобедрен триъгълник две страни са равни и два ъгъла са равни; в успоредник (това е четириъгълник) противоположните страни са равни и противоположните ъгли са равни.

   Измерете дължината на двете страни на триъгълника.Най-дългата страна на правоъгълен триъгълник се нарича хипотенуза. Съседната страна е страната, която е близо до непознатия ъгъл. Противоположната страна е страната, която е срещу неизвестния ъгъл. Измерете две страни, за да изчислите неизвестните ъгли на триъгълник.

   съвет:използвайте графичния калкулатор, за да решите уравненията, или намерете онлайн таблица със стойностите на синусите, косинусите и тангентите.

   Изчислете синуса на ъгъла, ако знаете противоположната страна и хипотенузата.За да направите това, включете стойностите в уравнението: sin(x) = противоположната страна ÷ хипотенуза. Например, противоположната страна е 5 см, а хипотенузата е 10 см. Разделете 5/10 = 0,5. Така че sin(x) = 0,5, т.е. x = sin -1 (0,5).