Ova metoda predlaže aproksimaciju integranda na parcijalnom segmentu parabolom koja prolazi kroz tačke
(x j , f(x j)), Gdje j = i-1; i-0.5; i, odnosno aproksimiramo funkciju integranda Lagrangeovim interpolacijskim polinomom drugog stepena:

Nakon izvođenja integracije dobijamo:

To je ono što je Simpsonova formula ili paraboličnu formulu. Na segmentu
[a, b] Simpsonova formula poprima oblik

Grafički prikaz Simpsonove metode prikazan je na Sl. 2.4.

Rice. 10.4. Simpsonova metoda

Riješimo se frakcijskih indeksa u izrazu (2.16) redesignacijom varijabli:

Tada Simpsonova formula poprima oblik

Greška formule (2.18) se procjenjuje sljedećim izrazom:

Gdje h·n = b-a, . Dakle, greška Simpsonove formule je proporcionalna O(h 4).

Komentar. Treba napomenuti da je u Simpsonovoj formuli segment integracije nužno podijeljen čak broj intervala.

10.5. Izračunavanje određenih integrala metodama
Monte Carlo

Metode o kojima smo ranije govorili nazivaju se deterministički , odnosno lišen elementa slučajnosti.

Monte Carlo metode(MMK) su numeričke metode za rješavanje matematičkih problema korištenjem modeliranja slučajnih varijabli. MMC-ovi omogućavaju uspješno rješavanje matematičkih problema uzrokovanih probabilističkim procesima. Štaviše, kada rješavate probleme koji nisu povezani ni sa kakvim vjerovatnoćama, možete umjetno osmisliti vjerojatnosni model (pa čak i više od jednog) koji vam omogućava da riješite ove probleme. Razmotrimo izračunavanje određenog integrala

Kada se ovaj integral izračunava pomoću formule pravokutnika, interval [ a, b] podijeliti na N identični intervali, u čijoj sredini su izračunate vrijednosti integranda. Izračunavanjem vrijednosti funkcije na slučajnim čvorovima, možete dobiti precizniji rezultat:

Ovdje je γ i slučajni broj ravnomjerno raspoređen u intervalu
. Greška u izračunavanju MMC integrala je ~ , što je znatno veće od one kod prethodno proučavanih determinističkih metoda.

Na sl. Na slici 2.5 prikazana je grafička implementacija Monte Carlo metode za izračunavanje jednog integrala sa slučajnim čvorovima (2.21) i (2.22).

(2.23)

Rice. 10.6. Integracija metodom Monte Carlo (2. slučaj)

Kao što se može videti na sl. 2.6, integralna kriva leži u jediničnom kvadratu, i ako možemo dobiti parove slučajnih brojeva ravnomjerno raspoređenih po intervalu, tada se rezultirajuće vrijednosti (γ 1, γ 2) mogu tumačiti kao koordinate tačke u jediničnom kvadratu. Zatim, ako se dobije dosta ovih parova brojeva, to možemo približno pretpostaviti
. Evo S je broj parova tačaka koji padaju ispod krive, i N– ukupan broj parova brojeva.

Primjer 2.1. Izračunajte sljedeći integral:

Problem je riješen raznim metodama. Dobijeni rezultati su sažeti u tabeli. 2.1.

Tabela 2.1

Komentar. Izbor integrala tabele omogućio nam je da uporedimo grešku svake metode i saznamo uticaj broja particija na tačnost proračuna.

11 PRIBLIŽNO RJEŠENJE NELINEARNOG
I TRANSCENDENTNE JEDNAČINE

Da bismo pronašli definitivni integral metodom trapeza, površina krivolinijskog trapeza se također dijeli na n pravokutnih trapeza sa visinama h i bazama 1, 2, 3,..u n, gdje je n broj pravokutnog trapeza . Integral će biti numerički jednak zbiru površina pravokutnih trapeza (slika 4).

Rice. 4

n - broj particija

Greška trapezoidne formule se procjenjuje brojem

Greška formule trapeza opada brže s rastom od greške formule pravokutnika. Stoga, trapezoidna formula omogućava veću preciznost od metode pravokutnika.

Simpsonova formula

Ako za svaki par segmenata konstruišemo polinom drugog stepena, a zatim ga integrišemo na segment i koristimo svojstvo aditivnosti integrala, dobićemo Simpsonovu formulu.

U Simpsonovoj metodi, da bi se izračunao definitivni integral, ceo interval integracije se deli na podintervale jednake dužine h=(b-a)/n. Broj segmenata particije je paran broj. Zatim se na svakom paru susjednih podintervala funkcija integranda f(x) zamjenjuje Lagrangeovim polinomom drugog stepena (slika 5).

Rice. 5 Funkcija y=f(x) na segmentu je zamijenjena polinomom 2. reda

Razmotrimo integrand na segmentu. Zamenimo ovaj integrand sa Lagranžeovim interpolacionim polinomom drugog stepena, koji se poklapa sa y= u tačkama:

Integrirajmo na segmentu:

Hajde da uvedemo promjenu varijabli:

S obzirom na zamjenske formule,

Nakon izvođenja integracije dobijamo Simpsonovu formulu:

Dobivena vrijednost za integral poklapa se s površinom krivolinijskog trapeza omeđenog osom, pravim linijama i parabolom koja prolazi kroz tačke. Na segmentu će Simpsonova formula izgledati ovako:

U formuli parabole, vrijednost funkcije f(x) u neparnim tačkama particije x 1, x 3, ..., x 2n-1 ima koeficijent 4, u parnim tačkama x 2, x 4, . .., x 2n-2 - koeficijent 2 i na dvije granične tačke x 0 =a, x n =b - koeficijent 1.

Geometrijsko značenje Simpsonove formule: površina krivolinijskog trapeza ispod grafa funkcije f(x) na segmentu je približno zamijenjena zbrojem površina figura koje leže ispod parabola.

Ako funkcija f(x) ima kontinuirani izvod četvrtog reda, tada apsolutna vrijednost greške Simpsonove formule nije veća od

gdje je M najveća vrijednost na segmentu. Pošto n 4 raste brže od n 2, greška Simpsonove formule opada sa povećanjem n mnogo brže od greške trapezoidne formule.

Izračunajmo integral

Ovaj integral je lako izračunati:

Uzmimo n jednako 10, h=0,1, izračunajmo vrijednosti integrala u tačkama particije, kao i polucijele tačke.

Koristeći formulu prosječnih pravougaonika, dobijamo I ravan = 0,785606 (greška je 0,027%), koristeći trapezoidnu formulu I zamku = 0,784981 (greška je oko 0,054. Kod metode desnog i lijevog pravougaonika greška je veća od 3%.

Da bismo uporedili tačnost približnih formula, izračunajmo ponovo integral

ali sada prema Simpsonovoj formuli sa n=4. Podijelimo segment na četiri jednaka dijela točkama x 0 =0, x 1 =1/4, x 2 =1/2, x 3 =3/4, x 4 =1 i izračunajmo približno vrijednosti funkcije f(x)=1/( 1+x) u ovim tačkama: 0 =1,0000, 1 =0,8000, 2 =0,6667, 3 =0,5714, 4 =0,5000.

Koristeći Simpsonovu formulu dobijamo

Procijenimo grešku dobijenog rezultata. Za integrand funkciju f(x)=1/(1+x) imamo: f (4) (x)=24/(1+x) 5, što znači da je na segmentu . Dakle, možemo uzeti M=24, a greška rezultata ne prelazi 24/(2880 4 4)=0,0004. Upoređujući približnu vrijednost sa tačnom, zaključujemo da je apsolutna greška rezultata dobivenog Simpsonovom formulom manja od 0,00011. Ovo je u skladu s gornjom procjenom greške i, osim toga, ukazuje da je Simpsonova formula mnogo tačnija od trapezne formule. Stoga se Simpsonova formula češće koristi za približno izračunavanje određenih integrala nego trapezna formula.

Podijelimo segment integracije [ A, b] na paran broj n jednaki dijelovi u koracima h. Na svakom segmentu [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [x i-1, x i+1],..., [ x n-2, x n] funkcija integranda f(X) zamjenjujemo interpolacijskim polinomom drugog stepena:

Koeficijenti ovih kvadratnih trinoma mogu se naći iz uslova za jednakost polinoma u tačkama odgovarajućih tabelarnih podataka. Možemo uzeti kao Lagrangeov interpolacijski polinom drugog stepena koji prolazi kroz tačke :

Zbir elementarnih površina i (slika 3.3) može se izračunati korištenjem određenog integrala. Uzimajući u obzir jednakosti koje dobijamo

-

Rice. 3.3. Ilustracija za Simpsonovu metodu

Nakon što smo izvršili takve proračune za svaki elementarni segment, sumiramo rezultirajuće izraze:

Ovaj izraz za S uzima se kao vrijednost definitivnog integrala:

(3.35)

Rezultirajući odnos se zove Simpsonova formula ili parabola formula.

Ova formula se može dobiti i na druge načine, na primjer, korištenjem trapezoidne metode dva puta prilikom particioniranja segmenta [ A, b] na dijelove sa stepenicama h i 2 h ili kombinovanjem formula pravougaonika i trapeza (videti odeljak 3.2.6).

Ponekad se Simpsonova formula piše koristeći polucijele indekse. U ovom slučaju, broj segmenata particije P proizvoljno (ne nužno parno), a Simpsonova formula ima oblik

(3.36)

Lako je vidjeti da se formula (3.36) poklapa sa (3.35) ako se formula (3.35) primijeni za broj segmenata particije 2 n i korak h/2.

Primjer. Izračunajte integral koristeći Simpsonovu metodu

Vrijednosti funkcije na n = 10, h = 0,1 date su u tabeli. 3.3. Primjenom formule (3.35) nalazimo

Utvrđeno je da se rezultat numeričke integracije Simpsonovom metodom poklapa sa tačnom vrednošću (šest značajnih cifara).

Jedan od mogućih algoritama za izračunavanje određenog integrala primenom Simpsonove metode prikazan je na Sl. 3.4. Granice segmenta integracije [ A, b],greška ε, kao i formula za izračunavanje vrijednosti integranda y =f(x) .

Rice. 3.4. Algoritam Simpsonove metode

U početku je segment podijeljen na dva dijela sa korakom h =(b- a)/2. Izračunava se vrijednost integrala I 1. Tada se broj koraka udvostručuje, vrijednost se izračunava I 2 u koracima h/2. Uslov za završetak računa se uzima u obliku . Ako ovaj uvjet nije ispunjen, novi korak se dijeli na pola, itd.

Imajte na umu da je prikazano na sl. 3.4 algoritam nije optimalan: prilikom izračunavanja svake aproksimacije I 2 vrijednosti funkcije se ne koriste f(x), već pronađen u prethodnoj fazi. O ekonomičnijim algoritmima će se raspravljati u odjeljku. 3.2.7.

Pojavljuje se problem numeričkog izračunavanja određenog integrala, koji se može riješiti korištenjem formula koje se nazivaju kvadraturne formule.

Prisjetimo se najjednostavnijih formula za numeričku integraciju.

Izračunajmo približnu brojčanu vrijednost. Integracijski interval [a, b] dijelimo na n jednakih dijelova dijeljenjem tačaka
, koji se nazivaju čvorovi kvadraturne formule. Neka su poznate vrijednosti u čvorovima
:

Magnituda

naziva se integracijski interval ili korak. Imajte na umu da se u praksi - proračunima, broj i bira mali, obično nije veći od 10-20. U parcijalnom intervalu

integrand je zamijenjen interpolacijskim polinomom

što približno predstavlja funkciju f (x) na intervalu koji se razmatra.

a) Zadržimo onda samo jedan prvi član u interpolacionom polinomu

Rezultirajuća kvadratna formula

zove se formula pravougaonika.

b) Zadržimo onda prva dva člana u interpolacionom polinomu

(2)

Formula (2) se naziva trapezoidna formula.

c) Interval integracije
podijelit ćemo ga na paran broj od 2n jednakih dijelova, a korak integracije h će biti jednak . Na intervalu
dužine 2h, zamjenjujemo integrand interpolacijskim polinomom drugog stepena, tj. zadržavamo prva tri člana u polinomu:

Dobivena kvadraturna formula naziva se Simpsonova formula

(3)

Formule (1), (2) i (3) imaju jednostavno geometrijsko značenje. U formuli pravougaonika, funkcija integranda f(x) na intervalu
zamjenjuje se pravim segmentom y = yk, paralelnim sa apscisom, au trapezoidnoj formuli - pravim segmentom
i izračunava se površina pravokutnika i pravolinijskog trapeza, koji se zatim zbrajaju. U Simpsonovoj formuli, funkcija f(x) na intervalu
dužina 2h je zamijenjena kvadratnim trinomom - parabolom
Izračunava se površina krivolinijskog paraboličnog trapeza, a zatim se površine zbrajaju.

ZAKLJUČAK

Na kraju rada, želio bih napomenuti niz karakteristika primjene gore navedenih metoda. Svaka metoda približnog rješenja određenog integrala ima svoje prednosti i nedostatke; ovisno o zadatku treba koristiti posebne metode.

Varijabilna metoda zamjene je jedna od glavnih metoda za izračunavanje neodređenih integrala. Čak i u slučajevima kada integrišemo nekom drugom metodom, često moramo da pribegnemo promjeni varijabli u srednjim proračunima. Uspjeh integracije u velikoj mjeri ovisi o tome da li smo u stanju odabrati tako uspješnu promjenu varijabli koja bi pojednostavila dati integral.

U suštini, proučavanje integracijskih metoda svodi se na otkrivanje kakvu vrstu zamjene varijable treba napraviti za ovaj ili onaj tip integranda.

dakle, integracija bilo kojeg racionalnog razlomka svodi na integraciju polinoma i nekoliko prostih razlomaka.

Integral bilo koje racionalne funkcije može se izraziti kroz elementarne funkcije u konačnom obliku, i to:

kroz logaritme - u slučajevima prostih razlomaka tipa 1;

kroz racionalne funkcije - u slučaju prostih razlomaka tipa 2

kroz logaritme i arktangente - u slučaju prostih razlomaka tipa 3

preko racionalnih funkcija i arktangensa - u slučaju prostih razlomaka tipa 4. Univerzalna trigonometrijska zamjena uvijek racionalizira integrand, ali često dovodi do vrlo glomaznih racionalnih razlomaka, za koje je, posebno, gotovo nemoguće pronaći korijene nazivnika. Stoga se, kad god je to moguće, koriste parcijalne zamjene, koje također racionaliziraju integrand i dovode do manje složenih razlomaka.

Newton–Leibnizova formula je opšti pristup pronalaženju određenih integrala.

Što se tiče tehnika izračunavanja definitivnih integrala, one se praktično ne razlikuju od svih tih tehnika i metoda.

Nanesite na potpuno isti način metode zamjene(promjena varijable), metoda integracije po dijelovima, iste tehnike za pronalaženje antiderivata za trigonometrijske, iracionalne i transcendentalne funkcije. Jedina posebnost je da je pri korištenju ovih tehnika potrebno proširiti transformaciju ne samo na funkciju integranda, već i na granice integracije. Prilikom zamjene integracijske varijable, ne zaboravite promijeniti granice integracije u skladu s tim.

Pravilno iz teoreme, uslov za kontinuitet funkcije je dovoljan uslov za integrabilnost funkcije. Ali to ne znači da određeni integral postoji samo za kontinuirane funkcije. Klasa integrabilnih funkcija je mnogo šira. Na primjer, postoji definitivan integral funkcija koje imaju konačan broj točaka diskontinuiteta.

Izračunavanje određenog integrala neprekidne funkcije pomoću Newton-Leibnizove formule svodi se na pronalaženje antiderivata, koji uvijek postoji, ali nije uvijek elementarna funkcija ili funkcija za koju su sastavljene tablice koje omogućavaju dobivanje vrijednosti integral. U brojnim aplikacijama, integrabilna funkcija je navedena u tabeli i Newton-Leibniz formula nije direktno primjenjiva.

Ako želite da dobijete što precizniji rezultat, to je idealno Simpsonova metoda.

Iz onoga što je prethodno proučeno, možemo izvući sljedeći zaključak da se integral koristi u naukama kao što su fizika, geometrija, matematika i druge nauke. Pomoću integrala izračunava se rad sile, pronalaze koordinate centra mase i putanja koju pređe materijalna tačka. U geometriji se koristi za izračunavanje volumena tijela, pronalaženje dužine luka krive itd.

Odsjek za višu matematiku

Završio: Matveev F.I.

Provjerio: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1.Numeričke metode integracije

2. Izvođenje Simpsonove formule

3.Geometrijska ilustracija

4.Odabir koraka integracije

5.Primjeri

1. Numeričke metode integracije

Problem numeričke integracije je izračunavanje integrala

Kroz niz vrijednosti integranda.

Problemi numeričke integracije moraju se riješiti za funkcije navedene u tabelama, funkcije čiji se integrali ne uzimaju u elementarne funkcije, itd. Razmotrimo samo funkcije jedne varijable.

Umjesto funkcije koju treba integrirati, integriramo interpolacijski polinom. Metode zasnovane na zamjeni integrala interpolacijskim polinomom omogućavaju procjenu tačnosti rezultata pomoću parametara polinoma ili odabir ovih parametara na osnovu date tačnosti.

Numeričke metode se mogu uslovno grupirati prema metodi aproksimacije integranda.

Newton-Cotes metode se zasnivaju na aproksimaciji funkcije polinomom stepena. Algoritam ove klase razlikuje se samo po stepenu polinoma. Po pravilu, čvorovi aproksimirajućeg polinoma su ekvirelirani.

Metode integracije splajn-a baziraju se na aproksimaciji funkcije polinomom po komadima.

Metode najveće algebarske tačnosti (Gaussova metoda) koriste posebno odabrane nejednake čvorove koji daju minimalnu grešku integracije za dati (odabrani) broj čvorova.

Monte Carlo metode se najčešće koriste prilikom izračunavanja više integrala; čvorovi se biraju nasumično, a odgovor je vjerovatnoća.

totalna greška

greška u skraćenju

greška zaokruživanja

Bez obzira na odabranu metodu, u procesu numeričke integracije potrebno je izračunati približnu vrijednost integrala i procijeniti grešku. Greška se smanjuje kako se n-broj povećava

segmentne particije. Međutim, ovo povećava grešku zaokruživanja

zbrajanjem vrijednosti integrala izračunatih na parcijalnim segmentima.

Greška skraćivanja zavisi od svojstava integrala i dužine parcijalnog segmenta.

2. Izvođenje Simpsonove formule

Ako za svaki par segmenata konstruišemo polinom drugog stepena, a zatim ga integrišemo i koristimo svojstvo aditivnosti integrala, dobićemo Simpsonovu formulu.

Razmotrimo integrand na segmentu . Zamenimo ovaj integrand sa Lagranžeovim interpolacionim polinomom drugog stepena, koji se poklapa sa u tačkama:

Hajde da integrišemo:

i zove se Simpsonova formula.

Dobivena vrijednost za integral poklapa se s površinom krivolinijskog trapeza ograničenog osom, pravim linijama i parabolom koja prolazi kroz tačke

Procijenimo sada grešku integracije koristeći Simpsonovu formulu. Pretpostavit ćemo da na intervalu postoje kontinuirani derivati . Hajde da nadoknadimo razliku

Već je moguće primijeniti teoremu o srednjoj vrijednosti na svaki od ova dva integrala, budući da je funkcija kontinuirana na i nenegativna na prvom intervalu integracije i nepozitivna na drugom (tj. ne mijenja predznak na svakom ovih intervala). Zbog toga:

(koristili smo teoremu srednje vrijednosti jer je - kontinuirana funkcija; ).

Dvaput diferencirajući i zatim primjenjujući teoremu srednje vrijednosti, dobijamo još jedan izraz za:

, Gdje

Iz obje procjene za proizlazi da je Simpsonova formula egzaktna za polinome stepena ne većeg od tri. Napišimo Simpsonovu formulu, na primjer, u obliku:

Ako je segment integracije prevelik, onda se dijeli na jednake dijelove (pod pretpostavkom ), a zatim na svaki par susjednih segmenata, ,..., primijeniti Simpsonovu formulu, odnosno:

Napišimo Simpsonovu formulu u opštem obliku:

Greška Simpsonove formule - metoda četvrtog reda:

, (3)

Budući da Simpsonova metoda omogućava postizanje visoke preciznosti, ako ne i previsoke. U suprotnom, metoda drugog reda može dati veću preciznost.

Na primjer, za funkciju, trapezoidni oblik for daje tačan rezultat, dok korištenjem Simpsonove formule dobijamo

3. Geometrijska ilustracija

Na segmentu dužine 2h konstruisana je parabola koja prolazi kroz tri tačke, . Površina ispod parabole, zatvorena između ose OX i pravih linija, uzima se jednakom integralu.

Posebnost primene Simpsonove formule je činjenica da je broj particija integracionog segmenta paran.

Ako je broj segmenata particije neparan, tada za prva tri segmenta treba primijeniti formulu koristeći parabolu trećeg stepena koja prolazi kroz prve četiri točke da bi se aproksimirao integrand.

(4)

Ovo je Simpsonova formula tri osmine.

Za proizvoljan segment integracije, formula (4) se može „nastaviti“; u ovom slučaju, broj parcijalnih segmenata mora biti višekratnik od tri (tačke).

, m=2,3,... (5)

Cijeli dio

Možete dobiti Newton-Cotes formule višeg reda:

(6)

Broj segmenata particije;

Stepen korištenog polinoma;

Derivat th reda u tački ;

Korak razdvajanja.

U tabeli 1 prikazani su koeficijenti. Svaka linija odgovara jednom skupu intervala po čvorovima za konstruiranje polinoma stepena k. Da biste koristili ovu šemu za više skupova (na primjer, sa k=2 i n=6), morate "nastaviti" koeficijente, a zatim ih dodati.

Tabela 1:

Algoritam za procjenu greške za trapezoidne i Simpsonove formule može se napisati kao: (7),

gdje je koeficijent koji ovisi o metodi integracije i svojstvima integranda;

h - korak integracije;

p - red metode.

Rungeovo pravilo se koristi za izračunavanje greške tako što se integral izračunava dva puta sa koracima h i kh.

(8) - a posteriori procjena. Tada je Iref.= +Ro (9), rafinirana vrijednost integrala.

Ako je redoslijed metode nepoznat, potrebno je izračunati I treći put sa korakom , odnosno:

iz sistema od tri jednačine:

sa nepoznatim I, A i p dobijamo:

Iz (10) slijedi (11)

Dakle, metoda dvostrukog proračuna, korišćena potreban broj puta, omogućava da se izračuna integral sa datim stepenom tačnosti. Potreban broj particija se bira automatski. U ovom slučaju, možete koristiti višestruke pozive potprograma odgovarajućih metoda integracije bez promjene algoritama ovih metoda. Međutim, za metode koje koriste jednako povezane čvorove, moguće je modificirati algoritme i prepoloviti broj izračunavanja integranda korištenjem integralnih suma akumuliranih tokom prethodnih višestrukih particija intervala integracije. Dvije približne vrijednosti integrala i, izračunate trapezoidnom metodom sa koracima i, povezane su relacijom:

Slično, za integrale izračunate pomoću formule sa koracima i , vrijede sljedeće relacije:

,

(13)

4. Izbor koraka integracije

Da biste odabrali korak integracije, možete koristiti izraz ostatka. Uzmimo, na primjer, ostatak Simpsonove formule:

Ako je ê ê, onda ê ê .

Na osnovu zadate tačnosti e metode integracije određujemo odgovarajući korak iz posljednje nejednačine.

, .

Međutim, ova metoda zahtijeva evaluaciju (koja nije uvijek moguća u praksi). Stoga koriste druge metode za određivanje procjene tačnosti, koje omogućavaju odabir željenog koraka h tokom proračuna.

Pogledajmo jednu od ovih tehnika. Neka

,

gdje je približna vrijednost integrala sa korakom . Smanjimo korak za pola, dijeleći segment na dva jednaka dijela i ().

Pretpostavimo sada da se ne mijenja prebrzo, tako da je gotovo konstantan: . Onda I , gdje , to je .

Iz ovoga možemo izvući sljedeći zaključak: ako , odnosno, ako je , , a tražena tačnost, tada je korak pogodan za izračunavanje integrala sa dovoljnom tačnošću. Ako, onda se izračun ponavlja u koracima, a zatim upoređuje, itd. Ovo pravilo se zove Rungeovo pravilo.

Međutim, kada se primjenjuje Rungeovo pravilo, potrebno je uzeti u obzir veličinu računske greške: kako se ona smanjuje, apsolutna greška izračunavanja integrala raste (ovisnost o je obrnuto proporcionalna) i, ako je dovoljno mala, ona može ispasti veća od greške metode. Ako prelazi , tada se Rungeovo pravilo ne može primijeniti na ovaj korak i ne može se postići željena preciznost. U takvim slučajevima potrebno je povećati vrijednost.

Prilikom izvođenja Rungeovog pravila, u suštini ste koristili pretpostavku da . Ako postoji samo tabela vrijednosti, onda se provjera „konstantnosti“ može izvršiti direktno iz tabele.Daljnji razvoj gore navedenih algoritama omogućava nam da pređemo na adaptivne algoritme, u kojima odabirom različitog koraka integracije u različitim dijelovima segmenta integracije, u zavisnosti od svojstava, smanjuje se broj izračunavanja integranda.

Druga shema za pročišćavanje integralnih vrijednosti je Eithnenov proces. Integral se izračunava u koracima, i . Izračunavanje vrijednosti. Onda (14).

Mera tačnosti Simpsonove metode je:

5. Primjeri

Primjer 1. Izračunajte integral koristeći Simpsonovu formulu ako je dat tablicom. Procijenite grešku.

Tabela 3.

Rješenje: Izračunajmo po formuli (1) za i integral .

Prema Rungeovom pravilu dobijamo Accept.

Primjer 2. Izračunaj integral .

Rešenje: Imamo . Dakle h==0.1. Rezultati proračuna su prikazani u tabeli 4.

Tabela 4.

Izračunavanje integrala pomoću Simpsonove formule

		y0=1,00000; -0,329573ê£ 3. Procjene greške Simpsonove metode: £ 0,0000017 za =0,1, £ 0,0000002 za =0,05. Kako bi se spriječilo da greške zaokruživanja iskrive tako precizan rezultat za Simpsonovu formulu, svi proračuni su izvedeni sa šest decimalnih mjesta. Konačni rezultati: