Aguilar Eugenio Manuel Fernandez

14.04.2018 - 5:26

Većina školski udžbenici, objavljene proteklih stotina godina, prožete su idejama “progresa” ili “evolucije” – idejom da svaka naredna generacija čovječanstva zna i može više i bolje od prethodne. A ako uporedite vrijeme prije nekoliko desetina ili stotina generacija, kontrast postaje jednostavno očigledan.

Mudrost drevnih

Zaista, treba samo pogledati portrete ili biste uglednih stručnjaka koji često ilustruju odgovarajuće odlomke: visoka čela, naborana lica, ozbiljne oči, ugledne mršave brade - a zatim ih uporediti s onim što je predstavljeno u istim paragrafima kao najviši postignuće ovih naučnika da frknu s mješavinom arogancije i prezira.

Ha! Razmišljali su i radili cijeli život, čitali bezbroj djela drugih mislilaca, raspravljali se sa sebi sličnima kako bi stvorili nekakvu Talesovu teoremu ili Pascalov zakon, koji sada svako dijete ne najviših razreda nauči za nekoliko lekcija. Nije li ovo jasan dokaz napretka?

Ne, ne, takav prezir stav nikada nije eksplicitno predstavljen; naprotiv, naše knjige riječima veličaju mudrost drevnih na svaki mogući način. Međutim, vrijedi spojiti dva i dva, pa će i najzaostaliji učenik shvatiti: ako je ovo mudrost, šta je onda bila glupost u to vrijeme?! Kako su naši preci bili primitivni!

U tom svjetlu, ideja da su prije samo nekoliko hiljada divljaka u natkoljenicama sa grubo tesanim kamenim sjekirama jahali svijetom, za koje su se čak i luk i strijela činili vrhuncem tehnološkog genija, čini se vrlo vjerodostojnom. I još ranije? Zaboravi! Majmuni, samo majmuni. Postoje neke kontradiktornosti sa ovom slikom razvoja civilizacije - na primjer, „mračno doba“ srednjeg vijeka zapadna evropa ili nevjerovatnih "sedam svjetskih čuda" izgleda nisu ništa drugo do izuzeci koji potvrđuju pravilo.

Arhimedov zakon

Ali koliko je opravdano takvo uzdizanje nad genijima prošlih vekova? Da li je zaista istina da ako je neko od njih nekako završio u našim danima, onda bilo koji student srednja škola možete li se lako uporediti s njim u smislu mentalnog razvoja? I mogao ga je udariti nekakvim logaritmom ili integralom?

Okrenimo se jednom od nama naizgled najpoznatijih mislilaca antički svijet. Arhimed. Svi znaju njegovu priču, zar ne? Prikazan je u bezbroj knjiga i naučnopopularnih filmova, čak iu nekoliko dječjih crtanih filmova. Smiješni starac koji je gol trčao gradom vičući "Eureka!", nakon što je jednostavnim eksperimentom u vlastitom kupatilu otkrio da "tjelo uronjeno u tekućinu podliježe sili uzgona jednakoj težini tečnosti koju istiskuje .”

Koristeći ovaj princip, kasnije nazvan "Arhimedov zakon", naučio je da proizvoljno mjeri zapreminu tijela. složenog oblika. I usput je pomogao tiraninu iz Sirakuze da razotkrije varalicu draguljara koji je napravio krunu po mjeri ne od čistog zlata, već od legure zlata i srebra. Bio je i poznati mehaničar, autor “Arhimedovog zavrtnja” i brojnih vojnih mašina i mehanizama koji su užasavali starorimske osvajače. Oni su, međutim, uprkos svim lukavim vojnim spravama, nekako zauzeli Sirakuzu, a jadni Arhimed je umro od ruke neukog rimskog vojnika jer je zahtevao „da ne dira njegove crteže“.

I, evo, rekao je i: „Daj mi uporište i okrenuću Zemlju!“ - koji je, uprkos svom impresivnom zvuku, bio samo ilustracija najjednostavnijeg mehaničkog principa poluge. Pa, to je verovatno sve, zar ne?

Poznavanje Ekumene

Avaj, ni blizu. Svaka manje-više ozbiljna biografija će nam reći da Arhimed nije bio samo izvanredan filozof, prirodnjak i pronalazač, već, prije svega, jedan od najvećih matematičara grčko-rimskog doba. Bio je daleko od samouka, ali je dobio odlično obrazovanje u Aleksandriji Egipatskoj, glavnoj naučni centar tog vremena, i cijeli svoj život proveo u prepisci sa naučnicima iz tog vremena.

Količina znanja koja je bila dostupna u Aleksandriji u 3. veku pre nove ere je izvan mašte, jer je sadržavala ne samo dostignuća svih naroda mediteranskog basena, već, zahvaljujući pohodima Aleksandra Velikog, i mnoge misteriozne civilizacije Mezopotamija, Perzija, pa čak i dolina Inda. Dakle, preko Arhimeda se možemo nadati da ćemo barem malo dotaknuti znanje gotovo cijele “Ekumene”.

Štaviše, istoričari nauke s pravom veruju da o Arhimedu znamo mnogo više nego o bilo kom drugom antičkom matematičaru. Istina, odmah dodaju da o drugima ne znamo praktično ništa. Tako da uvredljivo malo znamo o Arhimedu. Naravno, niko nije sumnjao u Arhimedovu odličnu matematičku reputaciju hiljadama godina, ali što je dalje išao, postavljalo se više pitanja o tome kakve je tačno rezultate i, što je najvažnije, KAKO postigao.

Izgubljeni dokazi

Činjenica je da je vrlo malo Arhimedovih originalnih djela opstalo ne samo do danas, već čak i do renesanse, kada se prvi put nakon mnogo stotina godina pojavilo interesovanje za ozbiljnu matematiku. Ne govorimo, naravno, o rukopisima pisanim svojom rukom, već barem o pouzdanim kopijama kopija ili potpunim prijevodima na druge jezike.

Nažalost, ogroman dio antičkog naslijeđa sačuvan je samo u citatima drugih, ponekad mnogo kasnijih autora, a to se ne odnosi samo na Arhimeda, već i na apsolutno sve druge izuzetne antičke naučnike i filozofe. Ono što mislimo da znamo o njima je samo mali dio onoga što su zapravo postigli. Osim toga, ovaj mali dio sadrži bezbroj slučajnih i namjernih izobličenja mnogih pisara, prevodilaca i komentatora, od kojih nisu svi bili podjednako pošteni i savjesni.

Štaviše, kao i mnogi matematičari ranih epoha, Arhimed u svojim djelima nije uvijek davao detaljni dokazi njihove formule i teoreme. To je bilo zbog činjenice da za praktična primjena nikakvi dokazi nisu potrebni, a uz to da je oduvijek postojao krug zavidnika koji su htjeli prisvojiti značajan rezultat sebi. Čuvanje u tajnosti metode dokazivanja omogućilo je da se potvrdi nečije autorstvo ili opovrgne autorstvo varalice, ako se ukazala potreba. Ponekad su, da bi se situacija dodatno zbunila, objavljivani lažni dokazi sa namjerno unesenim netačnostima i greškama.

Naravno, kada je rezultat dobio opšte priznanje, tačni dokazi su ipak bili objavljeni, ali je, iz očiglednih razloga, broj rukopisa koji su ih zabeležili bio mnogo manji od broja onih koji su dali samo konačno rešenje. Dodatno je to zakomplikovala činjenica da u starogrčkoj matematici crteži ne samo da su ilustrirali tekst dokaza, već su i sami bili njegov suštinski dio - a nije svaki pisar bio dovoljno vješt u kopiranju kompleksa. geometrijski oblici. Zbog toga su mnogi dokazi zauvijek izgubljeni.

Arhimedov metod

Oko hiljadu godina, među takvim radovima koji su zauvek izgubljeni za čovečanstvo bio je Arhimedov traktat „Metoda teorema mehanike“, često poznat jednostavno kao „Metoda“. U njemu je Arhimed detaljno objasnio kako je postigao neke od svojih najnevjerovatnijih rezultata.

Njegov značaj za razumijevanje zaostavštine ovog starogrčkog mislioca je toliko velik da istoričari nauke ponekad ovu raspravu nazivaju „odlivom Arhimedovog mozga“. Bez pristupa barem izvodima iz ovog teksta, smatralo se da je gotovo nemoguće utvrditi pravi nivo Arhimedovog matematičkog znanja i vještina.

Prvi tračak nade da će ovo djelo još preživjeti pojavio se sredinom 19. stoljeća. Zauzimanje Egipta od strane Napoleonove vojske i izvoz ogromne količine kulturnih dobara odatle u Evropu izazvali su zanimanje prosvijećenih ljudi za proučavanje Drevnog istoka. U tom trenutku kvintesencija svega antičke istorije Biblija je razmatrana, ali je njen autoritet donekle potkopan kritikama prosvjetiteljskih mislilaca.

Direktno proučavanje spomenika prošlih civilizacija otvorilo je priliku da se biblijski tekst potvrdi činjenicama, a mnogi Evropljani i Amerikanci su s entuzijazmom prihvatili ovaj zadatak. Neki su putovali po zemljama Bliskog istoka u potrazi za izgubljenim umjetničkim djelima, neki su o svom trošku iskopali ruševine izgubljenih gradova, a neki su tražili davno zaboravljene rukopise u bibliotekama bliskoistočnih zemalja.

biblijski učenjak

Avaj, uprkos činjenici da su mnogi od ovih „bibličara“ 19. veka postigli zadivljujuće rezultate, uglavnom su bili veoma daleko od profesionalnih. Što savršeno ilustruje sljedeća epizoda. Poznati nemački „bibličar“ Konstantin fon Tišendorf radio je u bibliotekama u Konstantinopolju 1840-ih.

Odatle je kući donio stranicu rukopisa koja ga je zanimala, na kojoj je primijetio neke poluizbrisane složene matematičke proračune na grčkom.

Koliko god da je tužno priznati, on ju je očigledno jednostavno istrgao iz knjige kada je bibliotekarka gledala na drugu stranu. Sada se ova stranica čuva u biblioteci Univerziteta u Kembridžu, i kao dokaz nevjerovatnog slučajnog otkrića i kao varvarski stav nekih zapadnih „naučnika“ prema naslijeđu antike.

Iako je ova stranica kasnije igrala ulogu u otkrivanju Arhimedove zaostavštine, stvarna zasluga za otkriće knjige, koja je kasnije postala poznata kao Arhimedov palimpsest, pripada ne Tišendorfu, već opskurnom turskom bibliotekaru. Prilikom sastavljanja kataloga obratio je pažnju i na redove matematičkih proračuna i citirao izvod iz njih u bibliotečkom katalogu, koji je objavljen i distribuiran širom svijeta.

Nevjerovatan dokument

Početkom 20. vijeka ovaj katalog je dospio u ruke danskog istoričara i filologa Johana Ludwiga Heiberga, koji je bio toliko zaintrigiran da nije bio previše lijen da dođe do Carigrada, te se lično upoznao sa knjigom 1906. godine. Ono što je vidio šokiralo ga je do srži.

Ispostavilo se da je neverovatan dokument pao u njegove ruke. Na prvi pogled, prilično obična liturgijska knjiga iz pustinjskog manastira Mar Saba, blizu Jerusalima, prepisana u 13. veku. Ali ako bolje pogledate, u liturgijskom tekstu bilo je slabih linija ranijeg grčkog, prepunih naučnih i filozofskih termina. Svakom stručnjaku koji je poznavao kulturu srednjeg vijeka odmah je bilo jasno šta to znači.

Jao, pergament na kojem su pisane srednjovjekovne knjige napravljen je od teleće kože i bio je skupa stvar. Stoga se nedostatak ovog materijala često rješavao prilično jednostavno: manje potrebne knjige su se dijelile u posebne listove, sa tih listova se čistilo mastilo, zatim su se ponovo spajale i na njima se ispisivao novi tekst. Termin "palimpsest" samo znači rukopis preko izbrisanog teksta.

U slučaju Arhimedovog palimpsesta, svaki od originalnih listova je takođe presavijen na pola kako bi se stvorila manja knjiga. Zato se ispostavilo da je novi tekst ispisan preko starog. Kao materijal za pisanje, nepoznati monah-prepisivač koristio je zbirke naučnih i političkih radova sastavljene u Vizantijskom carstvu oko 950-ih godina. Srećom, čišćenje nije obavljeno baš temeljito, što je omogućilo da se otkrije izvorni tekst.

Preliminarno ispitivanje Hajberga pokazalo je da autorstvo velikog broja tekstova 10. veka pripada nikom drugom do Arhimedu i, što je najvažnije, među njima je gotovo u potpunosti prisutan žuđeni „Metod“! Nažalost, biblioteka je zabranila da se rukopis ukloni iz svojih prostorija (nakon susreta sa likovima poput Tišendorfa, ko ih može kriviti?), pa je naučnik unajmio fotografa da mu ponovo fotografiše ceo kodeks. Zatim, naoružan ništa više od povećala, Heiberg je počeo mukotrpno dešifrirati fotokopiju. Uspio je dosta toga srediti, a konačni rezultat je objavljen 1910-15, objavljen je prilično brzo i engleski prijevod. Otkriće izgubljenog Arhimedovog djela izazvalo je veliku buku i čak je dospjelo na naslovnu stranicu New York Timesa.

Ali teška sudbina Arhimedovog Palimpsesta nije tu završila. Za vrijeme Prvog svjetskog rata (kao rezultat toga Otomansko carstvo prestao da postoji) i tokom pustošenja neposredno nakon njega, u Carigradu apsolutno nije bilo vremena za antičke rukopise. Kao iu vrijeme Napoleona iz Egipta, dvadesetih godina prošlog stoljeća u Evropu se slio ogroman tok turskih dragocjenosti. Tek mnogo kasnije bilo je moguće utvrditi da je određeni privatni kolekcionar mogao kupiti i odnijeti Palimpsest u Pariz. Gdje je za dugo vremena postao samo radoznalost, vrteći se u svijetu vrlo dalekom od znanja.

Kod od zaborava

Interes za knjigu ponovo je oživeo tek 1971. godine, opet zahvaljujući bibliotečkom katalogu. Stručnjak za drevnu grčku kulturu sa Oksforda, Najdžel Vilson, skrenuo je pažnju na jedan zanimljiv dokument iz Kembridž biblioteke, nama već poznata stranica, koju je Tišendorf grubo istrgao.

Činjenica je da je pretraga u starogrčkim rječnicima pokazala da su neki od termina korištenih na stranici karakteristični upravo za Arhimedova djela.

Wilson je dobio dozvolu da detaljnije ispita dokument i ne samo da je potvrdio da stranica pripada Palimpsestu, već je i dokazao da se uz pomoć do tada nedostupnih tehnologija (kao što je ultraljubičasto osvjetljenje) tekst iz 10. stoljeća može u potpunosti obnoviti.

Ostalo je samo pronaći šifru koja je potonula u zaborav. Akademski svijet je započeo intenzivnu potragu, ali nije bilo ničega. Konačno, 1991. godine, uposlenik jedne od vodećih svjetskih aukcijskih kuća, Christie's, dobio je pismo od jedne francuske porodice u kojoj je pisalo da žele da prodaju taj isti Palimpsest. Vijest je primljena s priličnom dozom skepticizma, ali naknadno ispitivanje je donijelo neočekivano pozitivnu presudu.

Kao rezultat senzacionalnog nadmetanja, dokument je prodan anonimnom milijarderu za 2 miliona dolara. Sve svjetskih naučnika zadržali su dah - uostalom, voljom novog vlasnika, knjiga bi jednostavno mogla biti zauvijek zaključana u sef.

Prava noćna mora

Na sreću, strahovi su bili neosnovani. Kada se Will Noel, kustos rukopisa u Waltersovom muzeju umjetnosti u Baltimoru (SAD), obratio agentu vlasnika sa zahtjevom da dobije dozvolu za restauraciju i proučavanje Palimpsesta, njegova inicijativa je primljena sa oduševljenjem. Kažu da se milijarder obogatio visokom tehnologijom i stoga nije bio tako daleko od nauke i njenih interesa.

Od 1999 do 2008 čitava grupa stručnjaka iz raznih oblasti, od filologije i istorije umetnosti do spektroskopije i kompjuterske analize podataka, bavio se restauracijom i skeniranjem Arhimedovog palimpsesta. To nije bio lak posao.

Sam Noel opisuje svoj prvi utisak o rukopisu: "Bio sam užasnut, zgrožen, ovo je apsolutno odvratan dokument, izgleda veoma, veoma, veoma ružno, nimalo kao veliki artefakt. Samo noćna mora, prava noćna mora! Spaljen , sa obiljem "PVA ljepila duž kraja, ispod pruga ovog ljepila, sakriven je veliki dio Arhimedovog teksta, koji smo hteli da restauriramo. Kancelarijski kit ima svuda, stranice su prekrivene papirnim trakama. Jednostavno ne postoje riječi koje bi opisale loše stanje Arhimedovog palimpsesta."

U manastiru je knjiga aktivno korišćena u bogosluženjima, pa je na mnogim mestima umrljana voskom za sveće. Tokom misterioznog perioda 1920-1990. neko je na nekim stranicama falsifikovao šarene "starovizantijske" minijature u pokušaju da podigne vrednost rukopisa. Ali glavni problem je bio taj što je cijeli kodeks bio ozbiljno oštećen buđom, koja je na nekim mjestima progrizla stranice.

Zrnca pijeska u svemiru

Ali bilo je i radosti. Kada je kodeks izrezan na zasebne listove, otkriveno je da su mnogi redovi Arhimedovog teksta skriveni unutar poveza i stoga nedostupni Heibergu - ponekad su to bile ključne tačke u dokazu teorema.

Fotografija u različitim rasponima elektromagnetnog spektra, od infracrvenog do rendgenskog, praćena kompjuterskom obradom slike, omogućila je rekonstrukciju slova teksta iz 10. stoljeća čak i tamo gdje su bila na neki način skrivena ili potpuno nevidljiva golim okom.

Ali čemu sav ovaj mukotrpan rad? Zašto tražiti mnogo godina? Šta se može naći u tekstu Arhimedovih radova, a posebno u „Metodi“ skrivenoj od nas milenijumom, da bi opravdalo entuzijazam naučnika u vezi sa Arhimedovim palimpsestom?

Odavno se znalo da Arhimeda zanimaju vrlo veliki brojevi i vrlo male količine, te povezivanje jednog s drugim. Na primjer, da bi izračunao obim kruga, upisao ga je u mnogokut s velikim brojem stranica, ali malom dužinom. Ili ga je zanimao broj sićušnih zrna pijeska u Univerzumu, koji je predstavljen kao ogroman broj. Ovo je aproksimacija onome što se danas naziva beskonačno velikim i beskonačno malim količinama. Ali da li je Arhimed bio sposoban da operiše sa matematičkom beskonačnošću u pravom, modernom smislu te reči?

Arhimedovi integrali

a na prvi pogled, beskonačnost nije ništa drugo do apstraktna matematička apstrakcija. Ali tek nakon što su matematičari naučili da rade s ovom kategorijom, pojavila se takozvana „matematička analiza“, matematički pristup opisivanju bilo kakvih promjena, a posebno kretanja. Ovaj pristup je u osnovi gotovo svih modernih inženjerskih, fizičkih, pa čak i ekonomskih proračuna; bez njega je nemoguće izgraditi neboder, dizajnirati avion ili izračunati lansiranje satelita u orbitu.

Osnovu naše moderne matematičke analize, diferencijalni i integralni račun, stvorili su Njutn i Lajbnic krajem 17. veka i skoro odmah je svet počeo da se menja. Dakle, upravo rad sa beskonačnošću razlikuje civilizaciju konjske vuče i vjetrenjača ne samo od civilizacije kompjutera i svemirskih brodova, već čak i od civilizacije parnih mašina i željeznica.

Dakle, pitanje beskonačnosti ima ogroman, moglo bi se čak reći i "civilizacijski" značaj. I nakon Heibergovog rada na početku 20. stoljeća, a posebno nakon rada Noelovog tima prije nekoliko godina, koji je isprečio mnoga i-a, odgovor na ovo pitanje je vrlo jasan i jasan: da, Arhimed je poznavao koncept beskonačnosti. vrlo dobro, i ne samo teoretski operisao s njim, već ga i praktično koristio u proračunima! Njegovi proračuni su besprijekorni, njegovi dokazi izdržavaju pažljivo testiranje od strane modernih matematičara. Smiješno je, on prilično često koristi ono što se u modernoj matematici zove "Riemann sums", u čast poznati matematičar... XIX vijek.

Kada izračunava zapremine, Arhimed koristi tehniku ​​koja se može nazvati samo integralnim računom. Istina, ako detaljno pročitate njegove proračune, imate osjećaj da je riječ o integralnom proračunu „iz drugog svijeta“. Iako ima mnogo toga zajedničkog s onim što nam je danas poznato, neki pristupi izgledaju potpuno strano i neprirodno. Nisu ni gori ni bolji, samo su drugačiji. I od ovoga mi se jeza niz kičmu: ovo višu matematiku, genetski ni na koji način u vezi sa savremenim! Milenijumima nakon Arhimeda, savremeni naučnici su sve ovo izmislili ispočetka, iznova, sa istim sadržajem, ali u malo drugačijem obliku.

Metoda iscrpljivanja

Nažalost, Arhimedov Palimpsest ne daje i ne može odgovoriti na još jedno intrigantno pitanje: u kojoj su mjeri takve metode proračuna bile jedinstvene za Arhimeda i odražavale su njegovu vlastitu genijalnost, a u kojoj su bile tipične za grčko-rimske matematičare i inženjere općenito? Najmanje jedna metoda proračuna, vrsta računa kojom je Arhimed savladao, može se pratiti oko 5. veka pre nove ere. e. Ovo je „metoda iscrpljivanja“, koja je razvijena u Ancient Greece obično se povezuje s imenom Eudoxusa iz Knida, iako postoje dokazi da je bio poznat i ranije.

Naravno, ovaj metod je kasnije ili ponovo izmišljen ili rekonstruisan u 17. veku. Iskustvo matematike poslednjih vekova govori nam da naučnici koji tečno govore primijenjena matematika, vrlo rijetko su odgovorni za teorijske proboje. Arhimed je, prije svega, primijenjeni naučnik, zanimaju ga problemi izračunavanja specifičnih dužina, površina i zapremina.

Dakle, vrlo je moguće da njegova metodologija za rad s beskonačnim količinama nije bila toliko razvijena, koliko dotjerana ili prerađena od strane njega. Ali ako naučnici iz Aleksandrije ili neki drugi naučna škola antički svijet u slobodnom vlasništvu matematička analiza, ključ za moderne tehnologije, šta bi još mogli znati i moći? Horizonti koje ovakva pretpostavka otvara oduzimaju dah.

Gorka lekcija

Sada kada znamo priču o Arhimedovom Palimpsestu, možemo se povući i razmisliti. Da, nažalost, njegovo otkriće je kasno. U 20. veku postao je senzacija, ali senzacija samo među stručnjacima za istoriju nauke. Ali šta bi se dogodilo da je njegova priča ispala drugačije? Da je ovaj rukopis pao u ruke naučnika 100, 300, 500 godina ranije? Šta da je Newton pročitao ovu knjigu još u školi? Ili Kopernik? Ili ?

Savremeni istraživači sa sigurnošću tvrde da bi čak i za matematičare 19. veka ovaj rad bio od više od akademskog interesa. Za matematičare 17.-18. veka, njegov značaj bio bi ogroman.

A u renesansi, ako bi pao u prave ruke, jednostavno bi proizveo efekat eksplozije bombe, potpuno preoblikujući budući razvoj matematike i inženjerstva. Šta smo izgubili gubitkom pristupa samo jednoj drevnoj knjizi vekovima? Gradovi na Marsu, međuzvjezdani svemirski brodovi, ekološki prihvatljivi termonuklearni reaktori? Nikada nećemo saznati...

Ali ovu gorku lekciju ne treba gubiti. Koliko je jednako važnih, a možda i vrijednijih knjiga i dokumenata još uvijek skriveno od nas? Da li je na prašnjavim policama u arhivima i bibliotekama, skriveno u skladištima muzeja, zaključano u vatrostalnim ormarićima kolekcionara? Koliko tajni čuvaju nedešifrovane klinaste ploče i natpisi na zidovima drevnih građevina?

Ako se tekst napisan 200-ih godina prije nove ere još uvijek može smatrati revolucionarnim najmanje dvije hiljade godina kasnije, postoje li drevna djela koja danas mogu dati značajan poticaj nauci i tehnologiji? Preuzimamo rizik i nikada nećemo saznati ako se ne riješimo arogantno ignorantne ideje o „primitivnosti“ naših predaka.

Podsjetimo, razgovarali smo i o tajnom znanju starih sveštenika koji su to znali

Georgy Khaletsky

• 6172 pregleda

Arhimed je bio čovjek tako uzvišenog načina razmišljanja, takve dubine duše i bogatstva znanja da nije htio ništa pisati o stvarima koje su mu dale slavu ne smrtnog, već božanskog uma, ali, s obzirom na konstruisanje mašina i, uopšte, bilo koje umetnosti koja se bavi svakodnevnim potrebama, niskim i grubim, sav svoj žar je usmerio na takve aktivnosti u kojima se lepota i savršenstvo ne mešaju sa potrebamaživot. I ne može se ne povjerovati pričama da ga je potajno začarala izvjesna sirena koja ga nije napuštala ni na trenutak, pa je zato zaboravila na hranu i brigu o svom tijelu. Napravio je mnoga divna otkrića, ali je zamolio svoje prijatelje i rođake da na njegov grob stave samo cilindar s loptom unutra i napišu izračun omjera njihovih zapremina.

Arhimed nije prikačio od velikog značaja sve mašine koje je napravio, smatrao ih je samo jednostavnim geometrijskim igračkama sa kojima je radio slobodno vrijeme, a potom uglavnom na insistiranje kralja Hijera, koji je svoje studije stalno usmjeravao sa čisto intelektualnih tema na materijalne stvari.

U trenutku opasnosti koja je prijetila njegovom rodnom gradu, Arhimed je uspio napustiti svoju "kancelariju" i posvetiti svu svoju snagu njenoj odbrani.

Sve je to tako lijepo da se nehotice postavlja pitanje: „Je li to istina? Nije li ovo legenda nastala oko Arhimeda? A da su takve legende zapravo nastale može se vidjeti i iz vrlo uobičajenog objašnjenja kako je Arhimed otkrio zakon koji nosi njegovo ime: svako tijelo uronjeno u tečnost gubi na težini onoliko koliko tečnost teži u zapremini ovog tela. Ovo objašnjenje se zasniva na sljedećem izvještaju rimskog arhitekte Vitruvija.

„Kada je Hiero, koji je stekao kraljevsku vlast u Sirakuzi, nakon uspješnog završetka svojih pohoda, odlučio, zakletvom besmrtnim bogovima, da stavi bogatu krunu u jedan od hramova, naredio je da se to napravi uz određenu naknadu. i izvagao potrebnu količinu zlata izvođaču. U dogovoreno vreme Arhimed (3. vek pre nove ere) isporučio je kralju fino izvedeno delo, koje je očigledno tačno odgovaralo težini zlata koja je za njega dodeljena.

Nakon što je kralj saznao da je dio zlata sakriven i da je prilikom izrade krune u njega umiješana ista količina srebra, on je, ogorčen na uvredu koja mu je nanesena i ne nalazeći načina da dokaže ovu krađu, obratio se Arhimedu sa zahtjevom da sami preuzmete rješenje ovog problema.

Dogodilo se da je Arhimed, dok je razmišljao o tome, sedeći u kadi primetio da što je dublje zaronio telo u nju, to je više vode isticalo preko ivice. Ova ideja mu je poslužila kao način da riješi svoje pitanje, te je bez oklijevanja, presrećan, iskočio iz kade i odjurio svojoj kući, glasno vičući da je našao ono što je tražio, jer je dok je trčao stalno vikao u Grčki "eureka, eureka".

Imajte na umu da Vitruvijeva priča ne pominje Arhimedov zakon. Zapravo, kao što se može vidjeti iz metrike Herona iz Aleksandrije (oko 100. godine nove ere), Arhimed je vjerovao da ako je tijelo koje se mjeri prenosivo, onda treba napraviti pravokutnu posudu koja može primiti ovo tijelo, napuniti ga vodom i spustiti ga u njegovo tijelo je pogrešno; onda je jasno da će se određena količina vode izliti na način da kolika je bila zapremina tijela uronjenog u vodu, toliko će vode nedostajati u ovoj posudi nakon što se tijelo iz nje izvadi.

Ako izmjerite prostor koji je postao prazan, možete pronaći zapreminu spuštenog tijela, a samim tim i gustinu.

Pokušajmo sada zamisliti Arhimeda oslobođenog od nagomilanih legendi. Njegov učenik Heraklid sastavio je izgubljenu/sada biografiju svog učitelja.

Ova biografija je očigledno bila vrlo ikonografska, jer je autor čak Arhimedu pripisao otkriće konusnih presjeka, koji nikako ne mogu odgovarati stvarnosti. Pokušajmo rekonstruirati Arhimedovu biografiju na osnovu pouzdano utvrđenih činjenica.

Arhimed je umro 212. pne. e. - godine kada je rimska vojska zauzela Sirakuzu. Vizantijski pisac 12. veka. Tsetsi izvještava da je umro u 75. godini; na osnovu toga, opšte je prihvaćeno da je Arhimed rođen na Siciliji 287. godine pne. e. Kada je Arhimed imao oko deset godina, slavni kralj Pir iz Epira napao je Siciliju.

U borbi protiv Pira uznapredovao je Hiero, koji je bio Arhimedov rođak, a 270. godine p.n.e. e. postao vladar Sirakuze. Prva polovina njegove vladavine nije bila mirna; uključio se u prvi punski rat (264-241 pne), gdje se borio protiv Rimljana u savezu sa Kartaginjanima, ali se ubrzo povukao iz rata. Na kraju rata, Sicilija je postala rimska provincija, Sirakuza je i dalje bila slobodna.

Od 241. pne e. počinje miran period vladavine Hijera, koji je pokušavao da održi dobre odnose i sa Rimljanima i sa Kartaginjanima; ipak, on se aktivno priprema da odbije moguće napade na slobodu Sirakuze i jača odbranu svog rodnog grada, uključujući Arhimeda u ovo djelo, kako je napisao Plutarh.

Ovo je bila pozadina u kojoj su se odvijale Arhimedove aktivnosti. Od kompletnih Arhimedovih djela koja su do nas došla, razmotrimo sljedeće.

1. "Kvadratura parabole."

2. Dvije knjige “O lopti i cilindru”.

3. “O konoidima i sferoidima.”

4. "O spiralama."

Ova djela predstavljaju kompletnu grupu poruka koje je Arhimed napisao izvjesnom Dositeju, učeniku Konona sa Samosa, koji je bio nešto poput Arhimedovog naučnog nadzornika i dao mu program rada oličen u ovim porukama. Redoslijed kojim su ovi eseji napisani u potpunosti je utvrđen iz uvoda koji ih prate.

Prvo od ovih djela napisano je Dositeju nakon Kononove smrti. Konon sa Samosa bio je poznat istoričarima iz sledeće legende. Godine 246. pne. e. egipatski vladar Ptolemej III Euergetes započeo je Treći sirijski rat i krenuo u pohod na Antiohiju; njegova supruga Verenika, moleći se za uspješan završetak pohoda, žrtvovala je svoju kosu bogovima. Nakon završetka kampanje, ispostavilo se da njena kosa nije u slepoočnici; tada je dvorski astronom Conon izjavio da su te dlake bogovi postavili na nebo i formirali novo sazviježđe "Kosa Berenike". Ovaj događaj opjevao je dvorski pjesnik Kalimah, zbog čega je postao poznat istoričarima.

Kononbio je u stvari veoma važan naučnik koji je imao veliki uticaj na naučni razvoj Arhimeda, koji ga je mogao sresti na Siciliji, gdje je Konon vršio astronomska istraživanja, ili u Aleksandriji za vrijeme Arhimedovog boravka tamo.

Drugi naučnik sa kojim je Arhimed vodio prepisku bio je čuveni Eratosten iz Kirene (285-205. p.n.e.), koga je Ptolemej Euerget pozvao u Aleksandriju 245. godine da obrazuje svog sina i naslednika Ptolomeja IV Filopatora. Najpogodnije vrijeme za ovu posjetu došlo je nakon završetka prvog punskog rata, kada je vladar Sirakuze, Hijero, mogao da pusti Arhimeda u Aleksandriju.

Po tome je važna legenda o Bernici 246. godine prije Krista. e. Konon je bio živ, stoga je esej "O kvadraturi parabole" napisan nakon ove godine. Ali 246. Arhimed je već imao 41 godinu, tako da je Arhimed morao da se bavi naučnim radom u svojim padom godina, približavajući se godinama života. od 50. Istoričari obično datiraju Kononu smrt u tridesete godine 3. vijeka prije nove ere, tada bi se vjerovatno kvadratura Parabole mogla datirati u otprilike 235. pne.

Odredimo približno vrijeme preostalih Arhimedovih djela:

5. Dva knjiga "Na ravnoteži" ravne figure».

6." Efod, ili Poslanica Eratostenu o mehaničkim teoremama".

7. Dvije knjige “O lebdećim tijelima.”

8. "Mjerenje kruga."

9. "Psamit".

10. “Problem bika.”

Dvije knjige "O ravnoteži ravnih figura" imaju za cilj određivanje težišta paraboličnog segmenta; tako su napisani nakon "Kvadratura parabole".

U uvodu Efoda, Arhimed je pisao o teoremama koje je pronašao. Ispostavilo se da su ove teoreme različite od onih koje su ranije pronađene: zaista, u prethodnim teoremama konoidna i sferoidna tijela, kao i njihovi segmenti, upoređivani su po veličini sa stošcima i cilindrima, a nijedno od ovih tijela nije bilo jednako čvrsta figura ograničena ravninama; tijela koja se razmatraju, ograničena dvjema ravnima i cilindričnim površinama, ispada da je svako jednako jednoj od čvrstih figura ograničenih ravnima.

Dakle, "Ephod" je napisan nakon "Konoida i sferoida".

Druga knjiga, “O lebdećim tijelima”, ispituje ravnotežni položaj paraboloidnog segmenta, za koji je potrebno znati položaj težišta odgovarajuće zapremine. Pošto je ovaj položaj definisan u „Efodu“, posle „Efoda“ su napisane knjige o plivanju.

Dakle, redoslijed ovih djela se može smatrati utvrđenim - svi su napisani nakon "Kvadrature parabole".

Preostala tri rada se odnose na računarsku matematiku. Od njih je posebno zanimljiva knjiga „O merenju krugova“, napisana, kako je sam Arhimed napisao, ranije od „Psamite“.

U prva četiri navedena dela (u poslanicama Dositeju), Arhimed se bavi određivanjem površina i zapremina različitih figura i tela. Njegovo rješenje se sastoji od dvije faze: u prvoj, on rješava problem prvo mehanički, razbijajući proučavanu figuru na vrlo male dijelove, vrlo slične Demokritovom „nedjeljivom“; Dobivši tako rješenje zadatka, on ga dokazuje strogo geometrijski, koristeći Eudoxusovu metodu iscrpljivanja, konstruirajući uzastopne skupove pravolinijskih figura ili ploča tako da „iscrpljuju“ cijelu površinu ili volumen mjerene figure. U "Kvadraturi parabole" on to čini uzimajući metodu iscrpljivanja u izvornom obliku. Razmotrimo ovu metodu.

Neka AOB(Sl. 3) predstavlja segment parabole, čiju površinu treba odrediti; neka OS bude osa parabole, koju uzimamo za os X, zatim odnos između apscisa X i ordinate at parabola će izgledati ovako:

Fig.3

Arhimed koristi svojstvo parabole da su svi njeni prečnici paralelni. On upisuje trougao u parabolu AOB, čiji se vrh poklapa sa vrhom parabole; Uzmimo površinu ovog trougla kao jedan. Od ose Oh je tada osa parabole WITH- sredina prave linije AB, OS- prečnik segmenta AOB.

Nakon odabira trougla AOB dobijamo još dva segmenta parabole. Hajde da podelimo akorde OA I OB na pola u bodovima D I D" i nacrtati segmente DE I D"E". Povezivanje tačaka pravim linijama E I E" shodno tome sa A, O I IN, dobijamo još dva trougla AEO I VE"O. Hajde da nacrtamo prave linije DD" I EE" rezultirajuća figura će očigledno biti paralelogram.

Ali Npr. predstavlja ordinatu koja odgovara apscisi O.G., A AC- ordinata za apscisu OS. Jer A.C.=2Npr., zatim prema jednačini (1) parabole

ili

Pomerimo trouglove AEO I BE"O paralelno sa osom Oh tako da postanu baze na pravoj liniji AB. Od visina ED I ED" jednaka, onda je lako vidjeti da je zbir površina ovih trouglova u pomaknutom položaju jednak četvrtini AOB, ili, od područja AOB uzeti kao jedno.

Zbir površina dobijena tri trougla je:

Ako uzmemo u obzir još četiri segmenta na akordima AE, EO, OE" i E"B i u njih upiši trouglove, onda će slično razmišljanje pokazati da je zbir površina ova četiri trokuta jednaksume trougla AEO I OE"B; zbrajanjem ovih trouglova dobijamo zbir

Nastavljajući razmišljati na isti način, nalazimo da je površina segmenta koji se razmatra jednaka zbroju geometrijske progresije:

Dakle, ako se pravokutnik (paralelogram) konstruiše na osnovu segmenta AB i njegove ose OS, tada će površina paraboličkog segmenta biti jednaka 2/3 površine ovog paralelograma.

U knjigama "O sferi i cilindru" zapaža se sljedeća evolucija metode iscrpljivanja. Utvrđena vrijednost leži između dva zbroja, od kojih je jedan veći, a drugi manji od utvrđene vrijednosti, a omjer ovih suma se može proizvoljno približiti jedinici.

Ista metoda je korišćena u knjigama “O spiralama” i “O konoidima i sferoidima”, ali sada je definitivni uslov da se razlika između ovih suma može proizvoljno približiti nuli.

Budući da knjiga “O mjerenju kruga” koristi treći oblik metode iscrpljivanja, ima razloga vjerovati da je ova knjiga nastala tek prije djela “O spiralama” i “O konoidima i sferoidima”. Osim toga, zanimljiva je sličnost tema knjige “O spiralama” i “Mjerenja kruga”: obje se tiču ​​određivanja obima, ali se samo u prvoj knjizi obim dobija konstrukcijom, a u drugi proračunom.

Dakle, najranije sačuvano kompletno Arhimedovo djelo je “Kvadratura parabole”, koju je napisao u dobi od 45 godina. Šta je Arhimed ranije radio? Polibijevo izvješće o opsadi Sirakuze navodi da Prvi punski rat nije riješio pitanje oblika odnosa između Rima i Kartage. Kartaginjani se nisu mogli pomiriti s gubitkom Sicilije, a nešto kasnije i Sardinije i Korzike, koje je zauzeo Rim.

Godine 218. pne. e. Drugi punski rat započeo je pohodom. Hanibala od Španije preko Alpa do Italije. Niz sjajnih Hanibalovih pobjeda, od kojih je najvažnija bila pobjeda kod Kane (216. pne.), doveo je Rim u veoma tešku situaciju, ali Rimljani se ipak nisu predavali. Hanibal je morao da traži saveznike. Sljedeće godine nakon pobjede kod Kane umro je devedesetogodišnji Hijero, koji je ostao vjeran Rimu, ali je nakon njegove smrti u Sirakuzi prevladala antirimska stranka i Sirakuza se pridružila ustanku grčkih kolonija na Siciliji. Vojska pod komandom Apija Klaudija i flota pod komandom Marka Marcela poslate su protiv Sirakuze. Rimljani su prvim napadom željeli zauzeti Sirakuzu, nadajući se da će sa velikim brojem radnika pripreme završiti u roku od pet dana. Ali u isto vrijeme, nisu uzeli u obzir Arhimedovu umjetnost, nisu shvatili da ponekad talenat jedne osobe može učiniti više od ogromnog broja ruku. Arhimed je pripremio takva sredstva odbrane unutar grada, kao i protiv napadača s mora, da se branioci nisu morali zamarati nepredviđenim radom u slučaju neočekivanih metoda napada; Unaprijed su imali sve spremno da u svakom slučaju odbiju neprijatelja.

Zatim Polibije govori o napadu rimske flote s mora. Arhimed je napravio mašine, prilagođavajući ih bacanju projektila na bilo koju daljinu. Dakle, ako je neprijatelj plivao izdaleka, tada ga je Arhimed pogodio dalekometnim bacačima kamena teškim granatama ili strijelama i gurnuo ga u težak položaj. Kada su granate počele da lete iznad neprijatelja, Arhimed je koristio manje mašine, svaki put u zavisnosti od udaljenosti, i toliko je uplašio Rimljane da se nisu usuđivali da napadnu ili priđu gradu na brodovima. Konačno, Marcus (Marcellus), iznerviran neuspjesima, bio je primoran da pokuša noću tajno prići gradu na brodovima. Kada su se Rimljani približili obali na udaljenosti od gađanja, Arhimed je upotrijebio još jedno sredstvo usmjereno protiv vojnika koji su se borili s brodova, naime: naredio je da se na zidu naprave mnoge rupe u visini visine čovjeka, spolja širine od četiri prsta; Na otvore sa unutrašnje strane zida postavljao je puške, kroz otvore pucao na brodske vojnike i time im oduzimao svaku mogućnost da bilo šta urade. Dakle, bez obzira da li je neprijatelj bio daleko ili blizu, Arhimed ne samo da je uništio sve svoje planove, već je i izazvao veliku pustoš u svojim redovima.

Trenutno se ono što je Arhimed radio naziva kvadratnim gađanjem: čitava oblast koja okružuje tvrđavu podijeljena je na kvadrate i za svaki kvadrat je određena elevacija (ugao sa horizontom njuške) za top iz kojeg se puca. Jedina razlika je u tome što je u Arhimedovo vrijeme, umjesto promjene elevacije, bilo potrebno koristiti promjenu kalibra topa. U svakom slučaju, kada bi se neprijatelj pojavio u bilo kojem polju, korišteno je oružje kalibra koji odgovara ovom kvadratu. Ova vrsta nuliranja zahtijeva mnogo preliminarnog rada kako bi se odredile udaljenosti za različite kvadrate i odabrao najbolji kalibar oružja.

Kada se brod približio gradskom zidu, pored dejstva bacača, sa vozila se spustila i gvozdena šapa pričvršćena za lanac; rukovalac usta mašine je ovom šapom uhvatio pramac broda na nekom mestu i zatim spustio kraj mašine koja se nalazila unutar grada. Kada je pramac plovila podignut na ovaj način i brod postavljen okomito na krmi, krak poluge je nepomično fiksiran, a šapa zajedno sa lancem odvojena je od stroja pomoću uređaja za otpuštanje. Zbog toga su neki brodovi ležali na boku, drugi su se potpuno prevrnuli, dok je većina, pavši glavom u more sa znatne visine, potonula i napunila se vodom, što je izazvalo veliku pometnju i užas među posadom. Arhimedova domišljatost dovela je Marka u očaj; sa žaljenjem je video da se opkoljeni rugaju njegovim naporima i da mu nanose velike gubitke.

Rimljani su mnogo patili od bacača kamena i katapulta iz kojih su na njih pucali; Sirakužani su imali na lageru mnoga izvrsna i precizna bacačka oružja, za koje je kralj Hijero dao sredstva, a Arhimed je izumeo i vešto napravio mašine.

Proračun mašina koje podižu brodove je nezamisliv bez uzimanja u obzir gubitka težine broda uronjenog u more; ovo se može uporediti sa otkrićem Arhimedovog zakona.

Razmotrimo sada detaljno dvije Arhimedove knjige “O ravnoteži ravnih figura” (ili o težištu ravnih figura). Za prvu knjigu ovog rada se kaže da je posvećena teoriji poluge; neki autori čak smatraju da je ova knjiga, odvojeno uzeta, prvo Arhimedovo djelo, a druga knjiga, koja sadrži definiciju težišta paraboličnog segmenta, predstavlja samostalno djelo.

Međutim, u prvoj knjizi određuju se samo težišta onih ravnih figura (paralelogram, trokut) koji su potrebni za dokazivanje teorema druge knjige. Osim toga, mnoge odredbe u drugoj knjizi su generalizacije napravljene na osnovu misli iznesenih u prvoj knjizi (prva rečenica druge knjige je generalizacija pete i šeste rečenice prve knjige). Prva knjiga se ne može smatrati prvim esejem na temu koja se razmatra, jer ne daje ono najvažnije - definiciju težišta. To je učinjeno u radu koji je prethodio stvaranju kvadrature parabole, u kojem se spominju ove radnje. Odlomci iz njega sačuvani su u Mehanici Herona iz Aleksandrije i Matematičkoj biblioteci Papus. Najvažniji od ovih odlomaka je definicija koju je Arhimed formulisao o konceptu težišta: težište tela je tačka koja se nalazi unutar njega, koja ima svojstvo da ako se teško telo mentalno okači iz njega, ostaje u mirovanju i zadržava svoj prvobitni položaj.

Zakone ravnoteže Arhimed izvodi iz sljedećih pretpostavki postavljenih na početku prve knjige “O ravnoteži”.

1. Jednake težine na jednakim dužinama su uravnotežene, ali na nejednakim dužinama nisu uravnotežene, već nadmašuju utege na većoj dužini.

2. Ako se prilikom balansiranja utega na bilo kojoj dužini nešto doda jednom od utega, onda oni neće biti balansirani, već će težiti uteg kojem je to dodato.

3. Ako se nekom od utega nešto oduzme, oni neće biti balansirani, ali će težiti težina sa koje nije oduzeto.

4. Kada se međusobno kombinuju jednake i slične ravne figure, međusobno se kombinuju i njihovi centri gravitacije.

5. Za nejednake, ali slične figure, težišta se nalaze slično.

6. Ako su količine uravnotežene na bilo kojoj dužini, tada su i količine jednake njima uravnotežene na istim dužinama.

7. U bilo kojoj figuri čiji je obim svuda konveksan u istom smjeru, težište se nalazi unutar figure.

Predstavimo Arhimedov dokaz u obliku koji mu je dao Galileo.

Neka u tački O visi sa sredine klackalice MN ima dužinu 2(a+b)(Sl. 4).

Rice. 4

Ujednačena greda je pričvršćena za ovu klackalicu pomoću beskonačnog broja vertikalnih užadi. KL iste dužine 2(a+b). Čitav sistem će očigledno biti u ravnoteži, koja neće biti poremećena ako presečemo gredu duž linije SS u dva segmenta: KS- dužina 2 A I C.L.- dužina 2 b. Nakon toga, izrezali smo sve užad osim dva: aa I BB, koji se nalazi na sredini segmenata KS i CL, zbog čega ni ravnoteža neće biti poremećena. Dakle, vrijednost KS = 2A na ramenu JSC = bće uravnotežiti vrijednost C.L. na ramenu OB - A. Drugim riječima, u ravnoteži, opterećenja primijenjena u A I IN, bit će obrnuto proporcionalan odgovarajućim ramenima.

Ravnoteža se neće poremetiti ako oba odrezana dijela okrenemo oko njihovih osa aa I BB pod bilo kojim uglovima; Upravo to implicira pretpostavka 6, što je ekvivalentno ovoj formulaciji. Djelovanje opterećenja primijenjenog u datoj tački određeno je samo njegovom veličinom, odnosno uopće ne ovisi o obliku ili orijentaciji tog opterećenja.

Mogućnost rotacije obje ose grede oko osi aa I BB javlja se samo prema Machovom zakonu proporcionalnosti momenata dužini kraka u prvom stepenu i isključuje druge zakone, na primjer, kvadratnu zavisnost; Stoga je Arhimedov dokaz prilično rigorozan.

Zakon ravnoteže poluge Arhimed koristi kao osnovu metode geometrijske integracije, koju je iznio u Efodu, kao sredstvo za istraživanje i preliminarno rješavanje problema. Pokazaćemo to jednostavan primjer, naime na kvadraturi paraboličkog segmenta koji je gore razmatran, ali ćemo samo pojednostaviti: nećemo pronaći površinu segmenta, koja je jednaka dvije trećine paralelograma, već površinu koja ostaje od paralelogram ako je ovaj segment izrezan iz njega. Tada se problem može formulirati na sljedeći način: pronaći površinu zatvorenu između x-ose i luka parabole zadanog jednadžbom, i ordinata koja odgovara apscisi OA=l(Sl. 5).

Rice. 5

Uzmimo polugu jednake ruke AOG dužina 2 l sa tačkom oslonca O; na jedno od njegovih ramena postavićemo kvadrat OAV i podijelite ga na niz vrlo tankih traka širine Δ x. Neka KL- jedna od ovih pruga koja odgovara apscisi uredu = X; zatim ordinatu KL = atće biti izraženo Oh 2 i cijelom površinom trake

Pomaknimo ga na kraj poluge A; moment ove trake u odnosu na tačku O jednaki

Pokušajmo izbalansirati ovaj trenutak tako što ćemo okačiti traku na lijevu stranu poluge na istoj udaljenosti x MN iste širine Δh. Dužina odgovarajuće ordinate MN odredit će se poređenjem momenata obje trake u odnosu na O:

gdje

Radeći to sa svakom trakom, na lijevom kraku poluge dobijamo niz traka kontinuirano raspoređenih po dužini GO. Budući da su ordinate ovih traka proporcionalne udaljenostima X, tada će njihovi krajevi biti smješteni u pravoj liniji ONT; ekstremna ordinatna vrijednost GT = al 2.

Square S = OAV, centriran na kraju A, balansiran sa pričvršćenim sa strane O.G. trougao OGT. Površina ovog trougla je

a je udaljenost njegovog centra gravitacije od vrha O:

Uspoređujući moment ovog trougla u odnosu na O sa momentom otprilike u istoj tački, koncentrisan na tačku A potrebna površina S, dobijamo

gdje

ili

što se poklapa sa gore navedenim rezultatom.

Uspeh zaključivanja dobija se kao rezultat snižavanja stepena krive koja se razmatra – određivanje veličine površine ograničene sa dva pravougaona segmenta, a krivulja drugog stepena se svodi na određivanje centar gravitacije područje ograničeno krivom prvog stepena, odnosno pravom linijom. Ova metoda se očito može primijeniti na krive čija jednačina ima oblik y = ax h.

Pored navedenih radova, koji su do nas u cijelosti došli, fragmenti više od ranih radova Arhimed, dostupan u Heronovoj "Mehanici" i u 8. knjizi Papusove "Biblioteke".

Heron ima odlomak iz Arhimedove knjige nosača, gdje se ne primjećuju tragovi koncepta centra gravitacije. On piše: ako je greda oslonjena na krajevima, tada polovina težine pada na svaki oslonac; ako između krajeva postoji treći oslonac, tada polovina težine greda u oba susjedna raspona pada na njega; tako srednji oslonac nosi polovinu težine cijele grede bez obzira gdje je postavljen.

Iz Arhimedove knjige, čiji je naslov teško odrediti (da li je „O poluzi“, ili „O ravnoteži“ ili „Mehanici“), postoje veliki odlomci: jedan u Heronovoj „Mehanici“ (Knjiga I, str. 24), a drugi u Pappusovoj "Matematičkoj biblioteci" (Knjiga VIII, str. 5-8). Ovi odlomci pokazuju kako je dokazano postojanje i jedinstvenost težišta krutog tijela proizvoljnog oblika.

Arhimed ispituje vertikalnu ravan A B C D, omeđen odozgo vodoravnom linijom AB. Ako se teško tijelo postavi na ovu pravu liniju, ono može biti u takvom položaju da će ostati u mirovanju, bez rotacije ili pada. Ako sada mentalno nastavimo avionom A B C D, tada će ležeće tijelo presjeći na dva dijela koji imaju jednake momente i međusobno su uravnoteženi. Ako onda prerasporedite teret tako da dodiruje pravu liniju AB sa svojim drugim dijelom, tada mu možete dati takav položaj da će, spuštena, ostati u mirovanju i neće pasti. Ako ponovo zamislimo avion A B C D proširena, tada će i teret podijeliti na dva međusobno uravnotežena dijela i presjeći će ga prva ravnina koja je podijelila isto opterećenje na dva međusobno uravnotežena dijela; da se ove ravni ne seku, onda bi isti delovi bili i uravnoteženi i neuravnoteženi, što je apsurdno.

Zamislimo pravu liniju AB, okomito na horizontalnu ravan; staviti opterećenje na tačku A tako da on, koristeći direktnu AB kao stalak, ostao je neometan. Ako nastavimo pravo AB, tada će neki njegov dio biti unutar dotičnog tijela. Stavimo ga ponovo na ovu pravu liniju drugim dijelom tako da opet postane nepomičan; zatim produžena linija ABće biti presječen segmentom koji je prvobitno sadržan u tijelu.

Zaista, da se ne siječe, onda bi bilo moguće da se neke ravnine povučene kroz svaku od ovih linija ne sijeku unutar tijela, a svaka od njih dijeli opterećenje na dijelove koji su i uravnoteženi i neuravnoteženi, što je besmisleno. ; dakle, pomenute linije će se ukrštati unutar tela.

Ako je u drugim položajima opterećenje se stavlja na točku A tako da ostane u mirovanju, onda će opet produžena prava linija AB nužno preseći segmente prvobitnih pravih linija sadržanih u telu. Iz ovoga je jasno da se takve zamišljene prave seku jedna drugu u istoj tački; ova tačka se zove centar gravitacije.

Kao posljedica toga, ispada da tijelo fiksirano u ovoj tački ostaje u ravnoteži u bilo kojem položaju.

Gore opisani metod se koristi i u pravilima koja je dao Heron (Mehanika, knjiga II, str. 35-36) za pronalaženje težišta različitih ravnih figura. Da bismo to učinili, određujemo težište trokuta koji je ujednačen po debljini i ujednačen po težini. Neka je zadan trougao ABC(Sl. 6). Hajde da podelimo liniju Ned polovina u tački D i povežite se A I D. Ako oslonite trokut na pravu AD, neće imati trenutak u oba smjera, budući da su trouglovi ABD I ADC su jednaki. Na isti način, ako podijelite liniju AC u tački E i povežite tačke IN I E, onda ako oslonite trokut na liniju BE, takođe se neće naginjati u jednom ili drugom smjeru. Budući da je trokut, oslonjen na svaku od linija AD I BE, je u ravnoteži svojih dijelova i ne naginje se u jednom ili drugom smjeru, tada zajednička tačka F, gdje se ove dvije linije seku je centar gravitacije.

Fig.6

Od trouglova ABD I ADC jednaka, to je neke istraživače navelo na pomisao da su Arhimed ili jedan od njegovih prethodnika vjerovali da će težište ravne figure biti tačka u kojoj se linije seku, dijeleći površinu figure na dva jednaka dijela. Nemogućnost takve pretpostavke odmah se utvrđuje ako pročitamo kako se određuje težište četverougla.

Neka je zadan četvorougao A B C D(Sl. 7). Hajde da povežemo tačke IN I D i podijeliti BD polovina u tački E; hajde da se povežemo A I E, E I WITH i podijelite linije AE I EU u tačkama F I N Na način na koji AE bila jednaka dvostrukoj vrijednosti F.E., A CH- udvostručeno NE. Zatim centar gravitacije trougla ABD- tačka F, i centar trougla BDC- tačka N.

Rice. 7Sl.8

Istu stvar dobijamo ako predstavljamo trougao ABD koncentrisano u jednoj tački F i trougao BCD- u tački H. Onda linija FH postaje klackalica na čijim krajevima se nalaze ove količine. Stoga, ako podijelite liniju FH u tački G Na način na koji G.H. vezano za FG kakva je težina F, tj. težina trougla ABD na težinu N- na težinu trougla BDC, zatim pokažite G, u kojem su obje težine uravnotežene, je težište ovog četverougla.

Trenutak težine F jednak je zbroju momenata težina svih dijelova trougla ABD, drugim riječima, Arhimed je imao na raspolaganju sav materijal moderne teorije paralelnih sila. Stoga se pri prenošenju Arhimedovih rezultata može koristiti moderna prezentacija, pod uslovom da je njegov crtež sačuvan.

Pokažimo kako je Arhimed odredio težište segmenta parabole (predlog VIII druge knjige „O ravnoteži ravnih figura“).

Neka je zadan parabolički segment AOB sa vrhom O(Sl. 8). Nacrtajmo prečnik OS i upisati trougao u parabolu AOB. Gore je prikazano da je površina segmenta parabole jednaka 4/3 trokuta AOB. Pretpostavimo da je ova površina jednaka tri, tada je površina preostalih segmenata parabole AOF I WON biće jednaka jedan. Hajde da podelimo akorde OA I OB na pola; nacrtajmo prečnike FD I NE, kao i direktno DE I FH. Evo

Neka OS = h; centar gravitacije paraboličnog segmenta leži na OS, i segmenti AFO I OVN- odnosno na prečnike FD I EH.

Pretpostavimo da je udaljenost od centra segmenta AOB na zemlju AB jednaki kh, Gdje k- neizvjestan koeficijent; jednako udaljenosti od prave linije DE težišta segmenata AOF I WON su jednaki:-. Zatim, visina centra gravitacije trokuta AOB iznad baze AB jednako 1/3 h, i udaljenost SK = h/2. Sada dobijamo taj moment površine segmenta AOB relativno AB jednak zbiru momenti površina trougla AOB i oba segmenta AFO I VNO. U ovom slučaju

Smanjujući ovaj izraz za A, nakon očiglednih pojednostavljenja dobijamo

gdje

Dakle, težište paraboličnog segmenta je u prečniku na udaljenosti od 2/5 njegove dužine od baze. Drugo Arhimedovo djelo, koje ima određeni odnos prema mehanici, je knjiga “O spiralama”. Na samom početku zanimljiva je terminologija koja pokazuje razvoj pojma brzine. “Brzina” se još nije koristila kao imenica u Arhimedovo vrijeme: postojao je pridjev koji se koristio kao “manje ili više brz” i “jednako brz”; ovo je bio naziv za pokrete u kojima su se prelazile iste staze u isto vrijeme, bez obzira na to kako su se ti pokreti odvijali. Kako bi označio jednoličnost kretanja, Arhimed je koristio izraz „jednako brz sam sa sobom“, tj. kretanja moraju biti jednako brza u svim vremenskim intervalima na koje se može podijeliti cjelokupno kretanje.

Glavna tema ovog rada je zadatak: konstruisati pravu liniju čija bi dužina bila jednaka obimu. Da bi to riješio, Arhimed koristi kinematičku metodu; on gradi krivu, takozvanu Arhimedovu spiralu, čiji radijus vektor varira proporcionalno polarnom uglu (slika 9).

Fig.9

Neka tačka O predstavlja pol spirale, čiji je vektor radijusa tokom prve revolucije postao jednak r = OA, i prava linija AD je tangenta na spiralu u tački A. Spirala se formira kao rezultat dodavanja dva pokreta: ujednačeno - pravolinijsko u pravoj liniji OAS a uniforma - kružna. Ako je tačka koja opisuje liniju stala kada je stigla u tačku A, onda bi u prijenosnoj rotaciji opisivao krug prikazan na crtežu AKL sa radijusom r.

Neka AC I AE predstavljaju vrlo male pomake tačke koja opisuje spiralu u obje komponente kretanja - duž polumjera i okomito na nju duž kružnice. Prilikom dodavanja ovih pokreta, tačka koja opisuje spiralu iz pozicije A ići će do tačke D i ravno AD bit će tangentna na spiralu. Okomito na polumjer OA napravimo direktan OB i nastavite po tangenti AD sve dok ne preseče ovu pravu u tački IN. Na početku prve revolucije prava linija je zauzimala položaj OAS; od OA izmjereni su uglovi rotacije rotirajuće prave linije.

Nakon isteka prvog vremena rotacije, prava linija će se vratiti u prvobitni položaj, ugao rotacije će postati jednak 360° i tačka A rotirajuća ravna linija će opisati krug polumjera r. Dakle, staza koju prelazi tačka A u relativnom kretanju duž poluprečnika tokom prve revolucije, jednaka je OA, a u prijenosnom kretanju oko kruga - njegova dužina. Ali ti putevi su povezani kao brzine, ili kao pomaci u istom vremenskom periodu, tj AC I AE. Iz sličnosti trouglova AED i BOA dobijamo:

Drugim riječima, ako OA je put koji prelazi tačka u linearnom relativnom kretanju, dakle IN- putanja koju je prešla tačka u isto vreme A u pokretnom kretanju, tj. obima AKLA.

Trougao AED, u suštini predstavlja diferencijalni trokut Barrow-Newton, a moguće je da se koncept ovog trougla pojavio kod Isaaca Barrowa kao rezultat čitanja Arhimedovih djela, koja je objavio s revidiranim dokazima 1675. godine. U svakom slučaju, studija o Arhimedova dela matematičara XVII V. bio je neophodan pripremni rad za pojavu klasične infinitezimalne analize.

Posljednje Arhimedovo djelo je njegov esej “O lebdećim tijelima”. U prvoj knjizi uspostavlja osnovne zakone ravnoteže tijela u tečnosti i razmatra uslove ravnoteže sfernog segmenta uronjenog u vodu, čiju površinu smatra i sfernom, poput površine pravih zemaljskih mora. U drugoj knjizi on formuliše zakon koji nosi njegovo ime, a zatim razmatra uslove ravnoteže za segment paraboloida obrtanja koji lebdi u tečnosti, a površina tečnosti se sada smatra ravnom.

Njegovo razmišljanje se zasniva na teoremama koje određuju volumen i položaj težišta segmenta paraboloida okretanja.

Kada se teško čvrsto tijelo uroni u tečnost čija je gustina veća od gustine tela, ono potonu u tečnost tako da površina tečnosti (tzv. plutajuća ravan) odseče zapreminu od tela, tj. težina tečnosti u kojoj je jednaka težini tela.

Ako konstruiramo sve plutajuće ravnine za različite položaje plutajućeg tijela, tada će omotač svih takvih ravni biti određena površina, koja se naziva površina presjeka.

Centri gravitacije volumena odsječenih plutajućim ravnima formiraju površinu koja se naziva površina centara.

Za ove površine postoje sljedeće teoreme.

1. Plutajuća ravnina dodiruje površinu sekcija u težištu figure, odsječena površinom tijela na plutajućoj ravni.

2. Tangentna ravan na površinu centara je paralelna sa odgovarajućom plutajućom ravninom.

Da bismo pronašli sve plutajuće ravni u ravnotežnim položajima plutajućeg tijela, potrebno je spustiti normale na površinu centara iz njegovog centra gravitacije i nacrtati presječnu ravninu koja odgovara tim normalama. Ovi avioni će biti potrebni plutajući avioni.

Arhimed je razmatrao samo one položaje ravnoteže kada je osnova segmenta ili potpuno izvan površine tečnosti (vrh segmenta je okrenut nadole) ili potpuno unutar tečnosti (segment lebdi sa vrhom iznad površine tečnosti).

Budući da segment pripada paraboloidu okretanja, ovaj problem se može svesti na ravan zamjenom svih površina linijama koje predstavljaju njihove presjeke ravninom povučenom kroz osu paraboloida. Označimo poprečni presjek ovog segmenta ABA, njegova osa OB, baza AOA i centar gravitacije Od 0(OS 0= l/3 OB) (Sl. 10). Neka NN- presek segmenta po površini tečnosti, D.B.- osa uronjenog dijela, a E(DE= l/3 D.B.) je težište zapremine uronjenog dijela.

Rice. 10

Površina presjeka će biti predstavljena parabolom LDL, čiji vrh D nalazi se na površini tečnosti; ova parabola predstavlja parabolu ABA, pomaknut prema gore za rastojanje BD. Da biste dobili površinu centara, trebate koristiti tačku E nacrtaj istu parabolu KEK. Ako Arhimed uzme u obzir slučaj gde je baza AOA je iznad površine tečnosti, onda mu je potreban deo D"DD" parabole preseka ograničenih tačkama D",D", čije tangente prolaze kroz kraj A baze, kao i pripadajući dio E"EE" parabole centara ( D"E" paralelno OB). Nemoguće mu je nastaviti ove površine dalje, jer bi za to morao odrediti volumen segmenta odsječenog ravninom koja siječe i bočnu površinu segmenta i ravan osnove, a nije riješio ovaj problem.

Ako je potrebno odrediti ravnotežni položaj segmenta koji pluta vrhom prema gore, tada je potrebno odrediti volumen i težište uronjenog dijela segmenta koji će imati oblik ANNA, drugim riječima, predstavljat će razliku dva parabolična segmenta BNN I VAA. Na osnovu toga možemo konstruisati nove krive presjeka i centara, koji će također biti neke parabole.

Zatim treba razmotriti momente para formiranog težinom segmenta i silom pritiska istisnute vode primijenjene na težište uronjenog dijela; ravnoteža nastaje kada se, nakon odstupanja od ravnotežnog položaja, ovaj trenutak pokaže kao restorativni. Dakle, Arhimed dobija samo stabilne ravnotežne pozicije.

Razlika između Arhimedove metode i moderne metode je u tome što se sada pretpostavlja da je gustina tečnosti konstantna i da se menjaju dimenzije segmenta koji se razmatra, dok Arhimed zadržava položaj tela konstantnim, ali menja gustinu tela. tečnost. Njegova metodologija se, u suštini, malo razlikuje od metodologije razvijene u 19. veku. koristeći Dupinove teoreme.

Iz ovoga ne treba izvlačiti zaključak o identitetu ovih metoda, kao što to čine neki istraživači, nalazeći kod Arhimeda čak i koncept metacentra, ustanovljen tek u 18. veku.

Glavna razlika je u tome što Arhimed nije mogao konstruirati površine presjeka za sve položaje tijela u odnosu na površinu tekućine, pa je stoga nije ni poznavao, jer je kod Grka konstruktivnost bila kriterij za postojanje jedne ili druge geometrijske slike ili operacija. Snagom svog genija, Arhimed je uspeo da se uzdigne do visina koje je nauka dostigla u 19. veku.

Da bismo u potpunosti okarakterizirali Arhimeda, treba napomenuti da je Arhimed pronašao vrijednost. Šta ga je navelo da pronađe numerički izraz za omjer kruga i prečnika, pogotovo jer je već imao konstrukciju koja mu je omogućila da pronađe pravu liniju jednaku dužini date kružnice?

U istoriji evropske nauke oko 1600. godine, matematičari su takođe tražili precizniju vrednost za broj π. Bilo je to vrijeme kada je Hadrian Maecius pronašao značenje, a Ludolf iz Kelna izračunao je broj π tačno do 36. decimale. Willibrod Snell je otkrio metodu triangulacije i primijenio je da odredi veličinu Zemlje.

Da li je bilo nečeg sličnog u vreme Arhimeda? Tit Livije, opisujući opsadu Sirakuze u 24. knjizi svoje istorije Rima, naziva Arhimeda „jedinstvenim posmatračem neba i svetila“. Arhimed se prisjeća pronađene brojčane vrijednosti I u svom "Psamitu", gdje govori o određivanju veličine svijeta i izračunavanju broja zrna pijeska koja bi mogla ispuniti volumen svijeta. On također vrši zapažanja kako bi izračunao veličinu Sunca i njegovu udaljenost od Zemlje. Svoja zapažanja primjenjuje na centar Zemlje; Inače, ovo je prva pojava u istoriji astronomije koncepta takozvane paralakse; Najbliži Arhimedov prethodnik, Aristarh sa Samosa, koji je vršio ista posmatranja na površini Zemlje, verovao je da ona daju iste rezultate kao da su posmatranja vršena iz centra Zemlje.

Da bi odredio potrebnu količinu peska, Arhimed je stvorio brojevni sistem kojim se mogu predstaviti veoma veliki brojevi. On nije jedini koji je to radio: brojevni sistem za velike brojeve kreirao je njegov mlađi savremenik Apolonije iz Perge. Istina, Arhimedov inženjerski um nije bio ograničen na jednostavne proračune; on, koji nije pridavao veliki značaj mašinama koje je napravio, opisao je samo jednu od njih - "astronomsku sferu" koju je izgradio. Ovu kuglu, nakon što su Rimljani zauzeli Sirakuzu, dao je u plijen Marku Marcelu, koji ju je smjestio u Hram hrabrosti i zadržao za sebe samo drugi, manji primjerak.

U Ciceronovom dijalogu "O državi", jedan od likova, Sulpicije Gall (koji je također bio astronom i predvidio je čak i pomračenje Mjeseca) prikazuje ovu sferu. Pripovjedač koji ga je slušao rekao je za Arhimeda da je ovaj Sicilijanac imao genija kojem ljudska priroda, čini se, nije sposobna izjednačiti. Da bi mogao predstaviti kretanje Sunca, Mjeseca i pet zvijezda, morao je napustiti upotrebu čvrste sfere, na kojoj bi ih bilo nemoguće reproducirati, i smisliti drugu potpuno drugačijeg tipa.

Ono što je bilo čudesno u Arhimedovom izumu bila je umetnost u kojoj je mogao da se ujedini u jedan sistem i da reprodukuje, pomoću jedne rotacije, sva veoma različita kretanja i različite periode revolucija različitih svetila. Kada je Gall pokrenuo sferu, sa svakim okretanjem moglo se vidjeti kako se Mjesec pojavio nakon Sunca na horizontu Zemlje; kako se svaki dan pojavljuje na nebu; tada se moglo vidjeti kako je Sunce nestalo na nebu, a zatim malo-pomalo Mjesec uronio u zemljinu sjenu baš u trenutku kada je Sunce bilo na suprotnoj strani.

Još jedno Arhimedovo djelo, pronađeno u 18. stoljeću, povezano je s velikim brojevima. a objavio je 1773. poznati njemački pisac Lesing. Ovo je takozvani “Problem bika”, koji je Arhimed poslao da ga riješe aleksandrijski naučnici koji se bave sličnim pitanjima:

Koliko bikova ima Sunce, možeš li mi ga naći, stranče?

(Ako razmišljate o njima, smatrajte ih mudrošću, ako niste vanzemaljci).

Kao na poljima Trinacrian Sicilije, ostrva masti

Nekada ih je mnogo paslo u četiri stada.

Stada su se razlikovala po boji: jedno je blistalo mlečno belo,

Dark morski talas drugo stado je imalo boju.

Treća je bila crvena, zadnja je bila šarena. I u svakom

Krdo je bilo ispunjeno mužjacima velike snage.

Ako X, Y, Z I T Označimo brojeve bijelih, crnih, crvenih i šarenih bikova, tada oni moraju zadovoljiti sljedeće jednačine:

Također odvojite krave, koliko je svake boje bilo,

Barem te niko u broju neće nazvati neznalicom,

Ipak, nećete biti ubrajani među mudrace.

Ove nesigurne jednačine se mogu riješiti; najmanje vrijednosti nepoznanica koje ih zadovoljavaju izražene su sedmo- i osmocifrenim brojevima. Arhimed to ne smatra dovoljnim da bi zaslužio titulu mudraca. Tako on dodaje još dva uslova:

1. Zbir bijelih i crnih bikova mora biti tačan kvadrat:

2. Zbir šarenih i crvenih bikova mora biti jednak određenom trouglastom broju:

Gdje P I P"- neki cijeli brojevi.

Nakon toga, Arhimed nastavlja:

Ako ovo nađeš, stranče, razmišljajući kroz svoj um,

I možete tačno imenovati broj svakog stada,

Onda odlazi, ponosan na pobjedu, i to će biti razmotreno

Da ste u ovoj mudrosti potpuno sve nadmašili.

Brojni matematičari su radili na rješavanju ovih problema. U njemačkom prijevodu Arhimedovog izdanja Th. Heath označava redosled ukupnog broja bikova:

Arhimed je postavio problem za koji je znao da je praktično nemoguće riješiti.