Binomna distribucija. Diskretne distribucije u EXCEL-u. Binomna distribucija slučajne varijable Binomna distribucija Excel

Razmotrimo binomnu distribuciju, izračunajmo njeno matematičko očekivanje, varijansu i mod. Koristeći MS EXCEL funkciju BINOM.DIST(), napravićemo grafove funkcije distribucije i gustine vjerovatnoće. Procijenimo parametar distribucije p, matematičko očekivanje distribucije i standardnu ​​devijaciju. Uzmimo u obzir i Bernoullijevu distribuciju.

Definicija. Neka se održe n testovi, u svakom od kojih se mogu desiti samo 2 događaja: događaj „uspjeh“ s vjerovatnoćom str ili događaj „neuspjeha“ sa vjerovatnoćom q =1-p (tzv Bernoullijeva šema,Bernoullisuđenja).

Verovatnoća da dobijete tačno x uspjeh u ovim n testovi je jednak:

Broj uspjeha u uzorku x je slučajna varijabla koja ima Binomna distribucija(engleski) Binomdistribucija) str I n – su parametri ove distribucije.

Molimo zapamtite da to koristite Bernoullijeve šeme i shodno tome binomna distribucija, moraju biti ispunjeni sljedeći uslovi:

• Svaki test mora imati tačno dva ishoda, konvencionalno nazvana "uspjeh" i "neuspjeh".
• rezultat svakog testa ne treba da zavisi od rezultata prethodnih testova (nezavisnost testa).
• vjerovatnoća uspjeha str mora biti konstantan za sve testove.

Binomna distribucija u MS EXCEL-u

U MS EXCEL-u, počevši od verzije 2010, za postoji funkcija BINOM.DIST(), engleski naziv- BINOM.DIST(), koji vam omogućava da izračunate vjerovatnoću da će uzorak tačno sadržavati X"uspjeh" (tj. funkcija gustoće vjerovatnoće p(x), vidi formulu iznad), i kumulativna funkcija distribucije(vjerovatnoća da će uzorak imati x ili manje "uspjeha", uključujući 0).

Prije MS EXCEL 2010, EXCEL je imao funkciju BINOMIST(), koja vam također omogućava izračunavanje funkcija distribucije I gustina vjerovatnoće p(x). BINOMIST() je ostavljen u MS EXCEL 2010 radi kompatibilnosti.

Datoteka primjera sadrži grafikone distribucija gustine vjerovatnoće I .

Binomna distribucija ima oznaku B (n ; str) .

Bilješka: Za gradnju kumulativna funkcija distribucije savršen dijagram tipa Raspored, Za gustina distribucije – Histogram sa grupisanjem. Za više informacija o kreiranju grafikona pročitajte članak Osnovne vrste grafikona.

Bilješka: Radi praktičnosti pisanja formula, imena za parametre su kreirana u datoteci primjera Binomna distribucija: n i str.

Datoteka primjera prikazuje različite izračune vjerovatnoće pomoću MS EXCEL funkcija:

Kao što možete vidjeti na gornjoj slici, pretpostavlja se da:

• Beskonačna populacija iz koje je uzet uzorak sadrži 10% (ili 0,1) validnih elemenata (parametar str, treći argument funkcije = BINOM.DIST() )
• Da bi se izračunala vjerovatnoća da će u uzorku od 10 elemenata (parametar n, drugi argument funkcije) bit će točno 5 valjanih elemenata (prvi argument), potrebno je napisati formulu: =BINOM.DIST(5, 10, 0.1, FALSE)
• Poslednji, četvrti element je postavljen = FALSE, tj. vrijednost funkcije se vraća gustina distribucije .

Ako je vrijednost četvrtog argumenta TRUE, tada funkcija BINOM.DIST() vraća vrijednost kumulativna funkcija distribucije ili jednostavno Funkcija distribucije. U ovom slučaju možete izračunati vjerovatnoću da će broj dobrih elemenata u uzorku biti iz određenog raspona, na primjer, 2 ili manje (uključujući 0).

Da biste to uradili morate napisati formulu: = BINOM.DIST(2; 10; 0,1; TRUE)

Bilješka: Za necjelobrojnu vrijednost x, . Na primjer, slijedeće formuleće vratiti istu vrijednost: =BINOM.DIST( 2 ; 10; 0,1; ISTINITO)=BINOM.DIST( 2,9 ; 10; 0,1; ISTINITO)

Bilješka: U primjeru datoteke gustina vjerovatnoće I funkcija distribucije također izračunato korištenjem definicije i funkcije NUMBERCOMB() .

Pokazatelji distribucije

IN primjer datoteke na radnom listu Primjer Postoje formule za izračunavanje nekih indikatora distribucije:

• =n*p;
• (standardna devijacija na kvadrat) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

Hajde da izvedemo formulu matematičko očekivanjeBinomna distribucija koristeći Bernoullijevo kolo .

Po definiciji, slučajna varijabla X in Bernulijeva shema(Bernoullijeva slučajna varijabla) ima funkcija distribucije :

Ova distribucija se zove Bernulijeva distribucija .

Bilješka : Bernulijeva distribucija– poseban slučaj Binomna distribucija sa parametrom n=1.

Hajde da generišemo 3 niza od po 100 brojeva sa različitim verovatnoćama uspeha: 0,1; 0,5 i 0,9. Da biste to učinili u prozoru Generisanje slučajnih brojeva Postavimo sljedeće parametre za svaku vjerovatnoću p:

Bilješka: Ako postavite opciju Slučajno rasipanje (Random Seed), tada možete odabrati određeni nasumični skup generiranih brojeva. Na primjer, postavljanjem ove opcije =25, možete generirati iste skupove slučajnih brojeva na različitim računarima (ako su, naravno, drugi parametri distribucije isti). Vrijednost opcije može imati cjelobrojne vrijednosti od 1 do 32,767 Slučajno rasipanje može biti zbunjujuće. Bilo bi bolje da se to prevede kao Birajte broj sa slučajnim brojevima .

Kao rezultat, imaćemo 3 kolone od 100 brojeva, na osnovu kojih možemo, na primjer, procijeniti vjerovatnoću uspjeha str prema formuli: Broj uspjeha/100(cm. primjer lista datoteka GenerationBernoulli).

Bilješka: Za Bernoullijeve distribucije sa p=0,5 možete koristiti formulu =RANDBETWEEN(0;1) koja odgovara .

Generisanje slučajnih brojeva. Binomna distribucija

Pretpostavimo da u uzorku ima 7 neispravnih proizvoda. To znači da je “vrlo vjerovatno” da se udio neispravnih proizvoda promijenio str, što je karakteristika našeg proizvodnog procesa. Iako je takva situacija “vrlo vjerovatna”, postoji mogućnost (alfa rizik, greška tipa 1, “lažna uzbuna”) da str je ostao nepromijenjen, a povećan broj neispravnih proizvoda je posljedica slučajnog uzorkovanja.

Kao što se može vidjeti na slici ispod, 7 je broj neispravnih proizvoda koji je prihvatljiv za proces sa p=0,21 pri istoj vrijednosti Alpha. Ovo ilustruje da kada se prekorači granična vrijednost neispravnih predmeta u uzorku, str„najvjerovatnije“ se povećao. Izraz “najvjerovatnije” znači da postoji samo 10% vjerovatnoće (100%-90%) da je odstupanje procenta neispravnih proizvoda iznad praga samo zbog slučajnih razloga.

Dakle, prekoračenje graničnog broja neispravnih proizvoda u uzorku može poslužiti kao signal da se proces poremetio i da je počeo proizvoditi rabljene proizvode. O veći procenat neispravnih proizvoda.

Bilješka: Prije MS EXCEL 2010, EXCEL je imao funkciju CRITBINOM(), koja je ekvivalentna BINOM.INV(). CRITBINOM() je ostavljen u MS EXCEL 2010 i novijim radi kompatibilnosti.

Odnos binomske distribucije prema drugim distribucijama

Ako je parametar nBinomna distribucija teži beskonačnosti, i str teži 0, tada u ovom slučaju Binomna distribucija može se aproksimirati. Možemo formulisati uslove kada je aproksimacija Poissonova distribucija radi dobro:

• str(što manje str i više n, što je tačnija aproksimacija);
• str >0,9 (s obzirom na to q =1- str, proračuni u ovom slučaju moraju se izvršiti do kraja q(A X potrebno je zamijeniti sa n - x). Dakle, što manje q i više n, to je tačnija aproksimacija).

Na 0,110 Binomna distribucija može se aproksimirati.

sa svoje strane, Binomna distribucija može poslužiti kao dobra aproksimacija kada je veličina populacije N Hipergeometrijska distribucija mnogo veća od veličine uzorka n (tj., N>>n ili n/N). Možete pročitati više o odnosu između gornjih distribucija u članku moguće i sa kojom tačnošću su objašnjene.

SAVJET: O drugim MS EXCEL distribucijama možete pročitati u članku.

Binomna distribucija je jedna od najvažnijih distribucija vjerovatnoće diskretne varijacije slučajna varijabla. Binomna distribucija je raspodjela vjerovatnoće broja m pojava događaja A V n međusobno nezavisna zapažanja. Često događaj A se naziva "uspjeh" zapažanja, a suprotan događaj se naziva "neuspjeh", ali ova oznaka je vrlo uslovna.

Binomni uslovi distribucije:

• ukupno sprovedeno n suđenja u kojima je događaj A može se dogoditi ili ne mora;
• događaj A u svakom ispitivanju može se dogoditi sa istom vjerovatnoćom str;
• testovi su međusobno nezavisni.

Verovatnoća da u n događaj testiranja A doći će tačno m puta, može se izračunati korištenjem Bernoullijeve formule:

Gdje str- vjerovatnoća da će se događaj dogoditi A;

q = 1 - str- vjerovatnoća da se dogodi suprotan događaj.

Hajde da to shvatimo zašto je binomna distribucija povezana s Bernoullijevom formulom na gore opisan način? . Događaj - broj uspjeha na n testovi su podijeljeni u više opcija, u svakoj od kojih se postiže uspjeh m testovi, a neuspjeh - u n - m testovi. Hajde da razmotrimo jednu od ovih opcija - B1 . Koristeći pravilo za sabiranje vjerovatnoća, množimo vjerovatnoće suprotnih događaja:

,

i ako označimo q = 1 - str, To

.

Bilo koja druga opcija u kojoj m uspjeh i n - m neuspjesi. Broj takvih opcija jednak je broju načina na koje se može n test get m uspjeh.

Zbir svih vjerovatnoća m brojevi pojavljivanja događaja A(brojevi od 0 do n) je jednako jedan:

gdje svaki član predstavlja pojam u Newtonovom binomu. Stoga se distribucija koja se razmatra naziva binomna distribucija.

U praksi je često potrebno izračunati vjerovatnoće „ne više od m uspjeh u n testovi" ili "barem m uspjeh u n testovi". Za to se koriste sljedeće formule.

Integralna funkcija, tj vjerovatnoća F(m) šta je unutra n posmatrački događaj A više neće doći m jednom, može se izračunati pomoću formule:

Zauzvrat vjerovatnoća F(≥m) šta je unutra n posmatrački događaj A neće doći ništa manje m jednom, izračunava se po formuli:

Ponekad je zgodnije izračunati vjerovatnoću da n posmatrački događaj A više neće doći m puta, kroz vjerovatnoću suprotnog događaja:

.

Koju formulu koristiti ovisi o tome koja od njih ima zbir koji sadrži manje članova.

Karakteristike binomne distribucije se izračunavaju korištenjem sljedećih formula .

Očekivana vrijednost: .

Disperzija: .

Standardna devijacija: .

Binomna distribucija i proračuni u MS Excel-u

Binomna vjerovatnoća P n( m) i vrijednosti integralne funkcije F(m) može se izračunati pomoću MS Excel funkcije BINOM.DIST. Prozor za odgovarajući proračun je prikazan ispod (lijevim klikom za povećanje).

MS Excel zahtijeva da unesete sljedeće podatke:

• broj uspjeha;
• broj testova;
• vjerovatnoća uspjeha;
• integral - logička vrijednost: 0 - ako treba izračunati vjerovatnoću P n( m) i 1 - ako je vjerovatnoća F(m).

Primjer 1. Direktor kompanije sumirao je informacije o broju prodatih kamera u posljednjih 100 dana. Tabela sažima informacije i izračunava vjerovatnoće da će određeni broj kamera biti prodat dnevno.

Dan završava profitom ako se proda 13 ili više kamera. Verovatnoća da će dan biti odrađen profitabilno:

Verovatnoća da će se dan raditi bez profita:

Neka je vjerovatnoća da se dan radi sa profitom konstantna i jednaka 0,61, a broj prodanih kamera dnevno ne zavisi od dana. Tada možemo koristiti binomnu distribuciju, gdje je događaj A- dan će se raditi sa profitom, - bez dobiti.

Verovatnoća da će svih 6 dana biti odrađeno sa profitom:

.

Isti rezultat dobijamo koristeći MS Excel funkciju BINOM.DIST (vrijednost integralne vrijednosti je 0):

P 6 (6 ) = BINOM.DIST(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.

Verovatnoća da će od 6 dana 4 ili više dana biti odrađeno sa profitom:

Gdje ,

,

Koristeći MS Excel funkciju BINOM.DIST, izračunavamo vjerovatnoću da od 6 dana ne više od 3 dana bude završeno sa profitom (vrijednost integralne vrijednosti je 1):

P 6 (≤3 ) = BINOM.DIST(3; 6; 0,61; 1) = 0,435.

Verovatnoća da će svih 6 dana biti razrađeno sa gubicima:

,

Isti indikator možemo izračunati koristeći MS Excel funkciju BINOM.DIST:

P 6 (0 ) = BINOM.DIST(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.

Riješite problem sami, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 2. U urni se nalaze 2 bijele i 3 crne kuglice. Iz urne se vadi kugla, postavlja se boja i vraća nazad. Pokušaj se ponavlja 5 puta. Broj pojavljivanja bijelih kuglica je diskretna slučajna varijabla X, distribuiran prema binomskom zakonu. Nacrtajte zakon raspodjele slučajne varijable. Definirajte mod, matematičko očekivanje i disperziju.

Nastavimo zajedno rješavati probleme

Primjer 3. Iz kurirske službe smo otišli na lokacije n= 5 kurira. Svaki kurir je vjerovatno str= 0,3, bez obzira na druge, kasni za objekat. Diskretna slučajna varijabla X- broj kasnih kurira. Konstruirajte seriju distribucije za ovu slučajnu varijablu. Pronađite njegovo matematičko očekivanje, varijansu, standardnu ​​devijaciju. Pronađite vjerovatnoću da će najmanje dva kurira zakasniti na objekte.

U ovom i narednih nekoliko postova ćemo se osvrnuti na matematičke modele slučajnih događaja. Matematički model je matematički izraz koji predstavlja slučajnu varijablu. Za diskretne slučajne varijable, ovaj matematički izraz je poznat kao funkcija distribucije.

Ako vam problem dozvoljava da eksplicitno napišete matematički izraz koji predstavlja slučajnu varijablu, možete izračunati tačnu vjerovatnoću bilo koje od njenih vrijednosti. U ovom slučaju možete izračunati i navesti sve vrijednosti funkcije distribucije. Različite distribucije slučajnih varijabli susrećemo se u poslovnim, sociološkim i medicinskim aplikacijama. Jedna od najkorisnijih distribucija je binom.

Binomna distribucija koristi se za simulaciju situacija koje karakteriziraju sljedeće karakteristike.

• Uzorak se sastoji od fiksnog broja elemenata n, koji predstavlja rezultate određenog testa.
• Svaki element uzorka pripada jednoj od dvije međusobno isključive kategorije koje iscrpljuju cijeli prostor uzorka. Obično se ove dvije kategorije nazivaju uspjehom i neuspjehom.
• Vjerovatnoća uspjeha R je konstantan. Stoga je vjerovatnoća neuspjeha 1 – str.
• Ishod (tj. uspjeh ili neuspjeh) bilo kojeg suđenja ne zavisi od ishoda drugog ispitivanja. Kako bi se osigurala neovisnost ishoda, elementi uzorka se obično dobivaju korištenjem dvije različite metode. Svaki element u uzorku je nasumično izvučen iz beskonačne populacije bez reverzije ili iz konačne populacije sa reverzijom.

Preuzmite bilješku u formatu ili, primjere u formatu

Binomna distribucija se koristi za procjenu broja uspjeha u uzorku koji se sastoji od n zapažanja. Uzmimo naručivanje kao primjer. Za naručivanje, kupci kompanije Saxon mogu koristiti interaktivni elektronski obrazac i poslati ga kompaniji. Informacijski sistem zatim provjerava greške, nepotpune ili netačne informacije u nalozima. Svaka narudžba u pitanju je označena i uključena u dnevni izvještaj o izuzetcima. Podaci koje je kompanija prikupila pokazuju da je vjerovatnoća greške u narudžbi 0,1. Kompanija bi želela da zna kolika je verovatnoća pronalaženja određenog broja pogrešnih naloga u datom uzorku. Na primjer, pretpostavimo da su kupci ispunili četiri elektronski obrasci. Kolika je vjerovatnoća da će sve narudžbe biti bez grešaka? Kako izračunati ovu vjerovatnoću? Pod uspjehom ćemo shvatiti grešku prilikom popunjavanja obrasca, a svi ostali ishodi će se smatrati neuspjehom. Podsjetimo da nas zanima broj pogrešnih naloga u datom uzorku.

Kakve rezultate možemo vidjeti? Ako se uzorak sastoji od četiri reda, jedan, dva, tri ili sva četiri mogu biti netačni, a svi mogu biti tačni. Može li slučajna varijabla koja opisuje broj pogrešno popunjenih obrazaca poprimiti bilo koju drugu vrijednost? To nije moguće jer broj neispravnih obrazaca ne može premašiti veličinu uzorka n ili biti negativan. Dakle, slučajna varijabla koja poštuje zakon binomne distribucije uzima vrijednosti od 0 do n.

Pretpostavimo da su na uzorku od četiri reda uočeni sljedeći ishodi:

Kolika je vjerovatnoća pronalaženja tri pogrešna reda u uzorku od četiri naloga, u navedenom redoslijedu? Zbog preliminarne studije pokazalo da je vjerovatnoća greške prilikom popunjavanja obrasca 0,10, vjerovatnoće gore navedenih ishoda se izračunavaju na sljedeći način:

Pošto ishodi ne zavise jedan od drugog, verovatnoća navedenog niza ishoda je jednaka: p*p*(1–p)*p = 0,1*0,1*0,9*0,1 = 0,0009. Ako trebate izračunati broj izbora X n elemenata, trebali biste koristiti formulu kombinacije (1):

gdje n! = n * (n –1) * (n – 2) * … * 2 * 1 - faktorijel broja n, i 0! = 1 i 1! = 1 po definiciji.

Ovaj izraz se često naziva . Dakle, ako je n = 4 i X = 3, broj sekvenci koje se sastoje od tri elementa ekstrahirane iz uzorka veličine 4 određuje se sljedećom formulom:

Stoga se vjerovatnoća otkrivanja tri pogrešna naloga izračunava na sljedeći način:

(Broj mogućih sekvenci) *
(vjerovatnoća određenog niza) = 4 * 0,0009 = 0,0036

Slično, možete izračunati vjerovatnoću da će između četiri naloga biti jedan ili dva pogrešna, kao i vjerovatnoću da su svi nalozi pogrešni ili da su svi tačni. Međutim, sa povećanjem veličine uzorka n određivanje vjerovatnoće određenog niza ishoda postaje teže. U ovom slučaju, prikladno matematički model, koji opisuje binomnu distribuciju broja izbora X objekata iz selekcije koja sadrži n elementi.

Binomna distribucija

Gdje P(X)- vjerovatnoća X uspjeh za datu veličinu uzorka n i vjerovatnoća uspjeha R, X = 0, 1, … n.

Imajte na umu da je formula (2) formalizacija intuitivnih zaključaka. Slučajna vrijednost X, koji se povinuje binomnoj distribuciji, može uzeti bilo koju cjelobrojnu vrijednost u rasponu od 0 do n. Posao RX(1 – str)n – X predstavlja vjerovatnoću određenog niza koji se sastoji od X uspjeh u veličini uzorka jednaka n. Vrijednost određuje broj mogućih kombinacija koje se sastoje od X uspjeh u n testovi. Dakle, za dati broj testova n i vjerovatnoća uspjeha R vjerovatnoća niza koji se sastoji od X uspjeh, jednak

P(X) = (broj mogućih nizova) * (vjerovatnoća određenog niza) =

Razmotrimo primjere koji ilustruju primjenu formule (2).

1. Pretpostavimo da je vjerovatnoća pogrešnog popunjavanja formulara 0,1. Kolika je vjerovatnoća da će od četiri popunjena formulara tri biti netačna? Koristeći formulu (2), nalazimo da je vjerovatnoća otkrivanja tri pogrešna reda u uzorku koji se sastoji od četiri reda jednaka

2. Pretpostavimo da je vjerovatnoća pogrešnog popunjavanja formulara 0,1. Kolika je vjerovatnoća da će od četiri popunjena obrasca najmanje tri biti netačna? Kao što je prikazano u prethodnom primjeru, vjerovatnoća da će od četiri popunjena obrasca tri biti netačna je 0,0036. Da biste izračunali vjerovatnoću da će od četiri popunjena obrasca najmanje tri biti netačna, morate dodati vjerovatnoću da će između četiri popunjena obrasca tri biti netačna i vjerovatnoću da će između četiri popunjena obrasca svi biti netačni. Vjerovatnoća drugog događaja je

Dakle, vjerovatnoća da će od četiri popunjena formulara najmanje tri biti netačna jednaka je

P(X > 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037

3. Pretpostavimo da je vjerovatnoća pogrešnog popunjavanja formulara 0,1. Kolika je vjerovatnoća da će od četiri popunjena obrasca manje od tri biti netačna? Vjerovatnoća ovog događaja

P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Koristeći formulu (2), izračunavamo svaku od ovih vjerovatnoća:

Prema tome, P(X< 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.

Verovatnoća P(X< 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х>3. Tada je P(X< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.

Kako se veličina uzorka povećava n proračuni slični onima koji su izvedeni u primjeru 3 postaju teški. Da bi se izbjegle ove komplikacije, mnoge binomne vjerovatnoće su unaprijed tablične. Neke od ovih vjerovatnoća prikazane su na Sl. 1. Na primjer, da dobijete vjerovatnoću da X= 2 at n= 4 i str= 0.1, treba izdvojiti iz tabele broj na preseku prave X= 2 i kolone R = 0,1.

Rice. 1. Binomna vjerovatnoća pri n = 4, X= 2 i R = 0,1

Binomna distribucija se može izračunati pomoću Excel funkcije =BINOM.DIST() (slika 2), koja ima 4 parametra: broj uspjeha - X, broj testova (ili veličina uzorka) – n, vjerovatnoća uspjeha – R, parametar integral, koji uzima vrijednost TRUE (u ovom slučaju se izračunava vjerovatnoća ni manje ni više X događaji) ili LAŽNO (u ovom slučaju se izračunava vjerovatnoća upravo X događaji).

Rice. 2. Parametri funkcije =BINOM.DIST()

Za gornja tri primjera, proračuni su prikazani na Sl. 3 (pogledajte i Excel datoteku). Svaka kolona sadrži jednu formulu. Brojevi pokazuju odgovore na primjere odgovarajućeg broja).

Rice. 3. Proračun binomne distribucije u Excelu za n= 4 i str = 0,1

Svojstva binomne distribucije

Binomna distribucija zavisi od parametara n I R. Binomna distribucija može biti ili simetrična ili asimetrična. Ako je p = 0,05, binomna distribucija je simetrična bez obzira na vrijednost parametra n. Međutim, ako je p ≠ 0,05, distribucija postaje iskrivljena. Što je bliža vrijednost parametra R do 0,05 i što je veća veličina uzorka n, manje je izražena asimetrija distribucije. Dakle, distribucija broja pogrešno popunjenih obrazaca je nagnuta udesno jer str= 0,1 (slika 4).

Rice. 4. Histogram binomne distribucije na n= 4 i str = 0,1

Očekivanje binomne distribucije jednak proizvodu veličine uzorka n na vjerovatnoću uspjeha R:

(3) M = E(X) =n.p.

U prosjeku, uz dovoljno dugu seriju testova u uzorku koji se sastoji od četiri reda, može postojati p = E(X) = 4 x 0,1 = 0,4 pogrešno popunjenih obrazaca.

Standardna devijacija binomske distribucije

Na primjer, standardna devijacija broja pogrešno popunjenih obrazaca u računovodstvu informacioni sistem jednako:

Korišteni su materijali iz knjige Levin i dr. Statistika za menadžere. – M.: Williams, 2004. – str. 307–313

Teorija vjerovatnoće nevidljivo je prisutna u našim životima. Ne obraćamo pažnju na to, ali svaki događaj u našem životu ima jednu ili drugu vjerovatnoću. Uzimajući u obzir ogroman broj mogućih scenarija, postaje neophodno da odredimo najvjerovatniji i najmanje vjerojatni od njih. Najpogodnije je takve vjerovatnoće podatke analizirati grafički. Distribucija nam može pomoći u tome. Binom je jedan od najlakših i najpreciznijih.

Prije nego što prijeđemo direktno na matematiku i teoriju vjerovatnoće, hajde da shvatimo ko je prvi došao do ove vrste distribucije i kakva je istorija razvoja matematičkog aparata za ovaj koncept.

Priča

Koncept vjerovatnoće poznat je od davnina. Međutim, stari matematičari tome nisu pridavali veliki značaj i mogli su samo da postave temelje teoriji koja je kasnije postala teorija vjerovatnoće. Stvorili su neke kombinatorne metode koje su uvelike pomogle onima koji su kasnije stvorili i razvili samu teoriju.

U drugoj polovini sedamnaestog veka počelo je formiranje osnovnih pojmova i metoda teorije verovatnoće. Uvedene su definicije slučajnih varijabli i metode za izračunavanje vjerovatnoće jednostavnih i nekih složenih nezavisnih i zavisnih događaja. Ovo interesovanje za slučajne varijable i verovatnoće bilo je diktirano kockanjem: svaka osoba je želela da zna kakve su mu šanse za pobedu.

Sljedeća faza bila je primjena metoda matematičke analize u teoriji vjerovatnoće. Istaknuti matematičari kao što su Laplace, Gauss, Poisson i Bernoulli preuzeli su ovaj zadatak. Upravo su oni podigli ovu oblast matematike na novi nivo. James Bernoulli je bio taj koji je otkrio binomni zakon raspodjele. Inače, kako ćemo kasnije saznati, na osnovu ovog otkrića napravljeno je još nekoliko, što je omogućilo stvaranje zakona normalne distribucije i mnogih drugih.

Sada, prije nego što počnemo opisivati ​​binomnu distribuciju, malo ćemo osvježiti naše sjećanje na koncepte teorije vjerovatnoće, koje smo vjerovatno već zaboravili iz škole.

Osnove teorije vjerovatnoće

Razmotrit ćemo takve sisteme, zbog kojih su moguća samo dva ishoda: „uspjeh“ i „neuspjeh“. To je lako razumjeti na primjeru: bacamo novčić, nadajući se da će iskrsnuti. Vjerovatnoće svakog od mogućih događaja (padanje glava - "uspjeh", padanje glava - "neuspjeh") jednake su 50 posto ako je novčić savršeno izbalansiran i nema drugih faktora koji bi mogli utjecati na eksperiment.

Bio je to najjednostavniji događaj. Ali postoje i oni složeni sistemi, u kojem se izvode sekvencijalne radnje, a vjerovatnoće ishoda ovih radnji će se razlikovati. Na primjer, razmotrite sljedeći sistem: u kutiji, čiji sadržaj ne možemo vidjeti, nalazi se šest apsolutno identičnih loptica, tri para plave, crvene i bijele boje. Moramo nasumce dobiti nekoliko loptica. Shodno tome, tako što ćemo prvo izvući jednu od bijelih loptica, značajno ćemo smanjiti vjerovatnoću da ćemo sljedeće dobiti i bijelu loptu. To se događa jer se broj objekata u sistemu mijenja.

U sljedećem odjeljku ćemo pogledati složenije matematičke koncepte koji nas približavaju onome što su riječi " normalna distribucija", "binomna distribucija" i slično.

Elementi matematičke statistike

U statistici, koja je jedno od područja primjene teorije vjerovatnoće, postoji mnogo primjera gdje podaci za analizu nisu dati eksplicitno. Odnosno, ne brojčano, već u obliku podjele po karakteristikama, na primjer, po spolu. Da bi se na takve podatke primijenili matematički alati i iz dobivenih rezultata izveli neki zaključci, potrebno je izvorne podatke pretvoriti u numerički format. Obično, da bi se to postiglo, pozitivnom ishodu se dodeljuje vrednost 1, a negativnom 0. Tako dobijamo statističke podatke koji se mogu analizirati pomoću matematičkih metoda.

Sljedeći korak u razumijevanju šta je binomna distribucija slučajne varijable je određivanje varijanse slučajne varijable i matematičkog očekivanja. O tome ćemo govoriti u sljedećem odjeljku.

Očekivana vrijednost

Zapravo, nije teško razumjeti šta je matematičko očekivanje. Zamislite sistem u kojem postoji mnogo različitih događaja sa svojim različitim vjerovatnoćama. Matematičko očekivanje će biti količina jednak zbiru proizvode vrijednosti ovih događaja (u matematičkom obliku o kojem smo raspravljali u prošlom dijelu) vjerovatnoćom njihovog nastanka.

Matematičko očekivanje binomske distribucije izračunava se pomoću iste šeme: uzimamo vrijednost slučajne varijable, množimo je sa vjerovatnoćom pozitivnog ishoda, a zatim zbrajamo rezultirajuće podatke za sve varijable. Vrlo je zgodno ove podatke prikazati grafički - na taj način se bolje uočava razlika između matematičkih očekivanja različitih vrijednosti.

U sljedećem dijelu ćemo vam reći nešto o još jednom konceptu - varijansi slučajne varijable. Takođe je blisko povezan sa konceptom binomne distribucije verovatnoće i njegova je karakteristika.

Varijanca binomne distribucije

Ova vrijednost je usko povezana sa prethodnom i također karakterizira distribuciju statističkih podataka. Predstavlja prosječni kvadrat odstupanja vrijednosti od njihovog matematičkog očekivanja. Odnosno, varijansa slučajne varijable je zbir kvadrata razlika između vrijednosti slučajne varijable i njene matematičko očekivanje, pomnoženo sa vjerovatnoćom ovog događaja.

Generalno, ovo je sve što treba da znamo o varijansi da bismo razumeli šta je binomna distribucija verovatnoće. Pređimo sada direktno na našu glavnu temu. Naime, šta se krije iza ovako naizgled prilično složene fraze „zakon binomne distribucije“.

Binomna distribucija

Hajde da prvo shvatimo zašto je ova distribucija binomna. Dolazi od riječi "binom". Možda ste čuli za Newtonov binom – formulu koja se može koristiti za proširenje sume bilo koja dva broja a i b na bilo koji nenegativni stepen n.

Kao što ste vjerovatno već pretpostavili, Newtonova binomna formula i formula binomne distribucije su gotovo iste formule. Uz jedini izuzetak što drugi ima praktičan značaj za određene veličine, a prvi je samo opći matematički alat, čija primjena u praksi može biti različita.

Formule distribucije

Funkcija binomne distribucije može se napisati kao zbir sljedećih članova:

(n!/(n-k)!k!)*p k *q n-k

Ovdje je n broj nezavisnih nasumičnih eksperimenata, p je broj uspješnih ishoda, q je broj neuspješnih ishoda, k je broj eksperimenta (može imati vrijednosti od 0 do n),! - oznaka faktorijala, funkcije broja čija je vrijednost jednaka proizvodu svih brojeva koji dolaze ispred njega (na primjer, za broj 4: 4!=1*2*3*4=24).

Osim toga, funkcija binomne distribucije može se napisati kao nepotpuna beta funkcija. Međutim, ovo je složenija definicija, koja se koristi samo pri rješavanju složenih statističkih problema.

Binomna distribucija, čije smo primjere pogledali iznad, jedna je od najčešćih jednostavni tipovi distribucije u teoriji vjerovatnoće. Postoji i normalna distribucija, koja je vrsta binoma. Najčešće se koristi i najlakše je izračunati. Postoje i Bernoullijeve distribucije, Poissonove distribucije i uslovne distribucije. Svi oni grafički karakterišu opsege verovatnoće određenog procesa pod različitim uslovima.

U narednom odeljku ćemo razmotriti aspekte koji se odnose na upotrebu ovog matematičkog aparata u pravi zivot. Na prvi pogled, naravno, čini se da je ovo samo još jedna matematička stvar koja, kao i obično, ne nalazi primjenu u stvarnom životu, i uglavnom nikome nije potrebna osim samim matematičarima. Međutim, to nije slučaj. Uostalom, sve vrste distribucija i njihovi grafički prikazi stvoreni su isključivo u praktične svrhe, a ne kao hir naučnika.

Aplikacija

Naravno, najvažnija primjena distribucija je u statistici, jer zahtijevaju složenu analizu mnogih podataka. Kao što praksa pokazuje, mnogi skupovi podataka imaju približno iste raspodjele vrijednosti: kritična područja vrlo niskih i vrlo visokih vrijednosti, po pravilu, sadrže manje elemenata od prosječnih vrijednosti.

Analiza velikih skupova podataka potrebna je ne samo u statistici. Neophodan je, na primjer, u fizička hemija. U ovoj nauci se koristi za određivanje mnogih veličina koje su povezane sa nasumičnim vibracijama i kretanjima atoma i molekula.

U sljedećem dijelu ćemo razumjeti koliko je važno koristiti statističke koncepte kao što je binom distribucija slučajne varijable u Svakodnevni život za tebe i mene.

Zašto mi treba?

Mnogi ljudi sebi postavljaju ovo pitanje kada je u pitanju matematika. Inače, matematiku se ne zove uzalud kraljica nauka. To je osnova fizike, hemije, biologije, ekonomije, a u svakoj od ovih nauka se koristi i neka distribucija: da li je diskretna binomna raspodela ili normalna, nije bitno. A ako bolje pogledamo svijet oko nas, vidjet ćemo da se matematika koristi svuda: u svakodnevnom životu, na poslu, pa čak i međuljudski odnosi mogu biti predstavljeni u obliku statističkih podataka i analizirani (ovo, inače, , to su oni koji rade u posebnim organizacijama koji se bave prikupljanjem informacija).

Hajde da sada malo porazgovaramo o tome šta treba da uradite ako trebate da znate mnogo više o ovoj temi od onoga što smo naveli u ovom članku.

Informacije koje smo dali u ovom članku daleko su od potpune. Postoji mnogo nijansi u vezi sa oblikom distribucije. Binomna distribucija je, kao što smo već saznali, jedan od glavnih tipova na kojima je cjelina matematička statistika i teorija vjerovatnoće.

Ako se zainteresujete, ili u vezi sa svojim radom trebate znati mnogo više o ovoj temi, morat ćete proučiti stručnu literaturu. Trebalo bi da počnete sa univerzitetskim kursom matematička analiza i dođi tamo do odjeljka o teoriji vjerovatnoće. Poznavanje serija će takođe biti od koristi, jer binomna distribucija verovatnoće nije ništa drugo do niz uzastopnih članova.

Zaključak

Prije nego što završimo članak, htjeli bismo vam reći još jednu zanimljivost. To se direktno tiče teme našeg članka i cjelokupne matematike općenito.

Mnogi ljudi kažu da je matematika beskorisna nauka i ništa što su učili u školi im nije bilo od koristi. Ali znanje nikada nije suvišno, a ako vam nešto ne koristi u životu, to znači da se toga jednostavno ne sjećate. Ako imate znanje, oni vam mogu pomoći, ali ako nemate, onda ne možete očekivati ​​pomoć od njih.

Dakle, pogledali smo koncept binomne distribucije i sve definicije povezane s njim i razgovarali o tome kako se primjenjuje u našim životima.