Brojevi: definicije, svojstva, znaci konvergencije, primjeri, rješenja. Brojevi: definicije, svojstva, znaci konvergencije, primjeri, rješenja Serija za d'Alembertov znak

Jean Leron d'Alembert je bio poznati francuski matematičar iz 18. vijeka. Generalno, d'Alembert se specijalizirao za diferencijalne jednadžbe i, na osnovu svog istraživanja, radio na balistici kako bi topovska kugla Njegovog Veličanstva bolje letjela. U isto vrijeme, nisam zaboravio na niz brojeva; nije uzalud da su se redovi Napoleonovih trupa kasnije tako jasno zbližili i razišli.

Prije nego što formulišemo sam znak, razmotrimo jedno važno pitanje:
Kada treba koristiti D'Alembertov test konvergencije?

Počnimo prvo s pregledom. Prisjetimo se slučajeva kada trebate koristiti najpopularnije granica poređenja. Ograničavajući kriterijum za poređenje se primenjuje kada je u opštem terminu serije:
1) Imenilac sadrži polinom.
2) Polinomi su i u brojniku i u nazivniku.
3) Jedan ili oba polinoma mogu biti ispod korijena.

Glavni preduslovi za primjenu d'Alembertovog testa su sljedeći:

1) Uobičajeni pojam serije („punjenje” serije) uključuje neki broj do određenog stepena, na primjer, , i tako dalje. Štaviše, uopće nije važno gdje se ta stvar nalazi, u brojniku ili u nazivniku - bitno je da je tu prisutna.

2) Uobičajeni pojam serije uključuje faktorijel. Šta je faktorijel? Ništa komplikovano, faktorijel je samo sažeti prikaz proizvoda:

…

…

! Kada koristimo d'Alembertov test, faktorijel ćemo morati detaljno opisati. Kao iu prethodnom paragrafu, faktorijel se može nalaziti na vrhu ili na dnu razlomka.

3) Ako u opštem terminu serije postoji „lanac faktora“, na primer, . Ovaj slučaj je rijedak, ali! Prilikom proučavanja takve serije često se pravi greška - vidi primjer 6.

Uz stepene i/ili faktorijele, polinomi se često nalaze u popunjavanju niza; to ne mijenja situaciju - potrebno je koristiti D'Alembertov znak.

Osim toga, u zajedničkom terminu serije i stepen i faktorijel mogu se pojaviti istovremeno; mogu postojati dva faktorijala, dva stepena, važno je da postoje barem nešto od razmatranih tačaka - a to je upravo preduslov za korišćenje D'Alembertovog znaka.

D'Alembertov znak: Hajde da razmotrimo niz pozitivnih brojeva. Ako postoji ograničenje omjera sljedećeg termina u odnosu na prethodni: , tada:
a) Kada se vesla konvergira
b) Kada se vesla divergira
c) Kada znak ne daje odgovor. Morate koristiti drugi znak. Najčešće se dobije u slučaju kada pokušavaju primijeniti d'Alembertov test gdje je potrebno koristiti test ograničavanja poređenja.

Ko i dalje ima problema sa granicama ili nerazumijevanjem granica, pogledajte temu Ograničenja. Primjeri rješenja. Bez razumijevanja granice i sposobnosti otkrivanja neizvjesnosti, nažalost, ne može se napredovati dalje. A sada dugo očekivani primjeri.

Primjer 1
Vidimo da u općem terminu serije imamo , a to je siguran preduvjet za korištenje d'Alembertovog testa. Prvo, kompletno rješenje i uzorak dizajna, komentari ispod.

Koristimo d'Alambertov znak:

konvergira.

(1) Sastavljamo omjer sljedećeg člana niza prema prethodnom: . Iz uvjeta vidimo da je opći pojam serije . Da biste dobili sljedećeg člana serije to je neophodno umjesto zamjene: .
(2) Riješimo se razlomka sa četiri sprata. Ako imate iskustva s rješenjem, možete preskočiti ovaj korak.
(3) Otvorite zagrade u brojiocu. U nazivniku uzimamo četiri iz stepena.
(4) Smanjite za . Konstantu uzimamo izvan predznaka granice. U brojniku predstavljamo slične pojmove u zagradama.
(5) Nesigurnost se otklanja na standardni način - dijeljenjem brojnika i imenioca sa “en” na najveći stepen.
(6) Delimo brojioce član po član imeniocima i označavamo članove koji teže nuli.
(7) Pojednostavljamo odgovor i napominjemo da uz zaključak da, prema D’Alembertovom kriteriju, proučavani niz konvergira.

U razmatranom primeru, u opštem terminu niza naišli smo na polinom 2. stepena. Šta učiniti ako postoji polinom 3., 4. ili višeg stepena? Činjenica je da ako je dat polinom višeg stupnja, tada će nastati poteškoće s otvaranjem zagrada. U ovom slučaju možete koristiti metodu “turbo” rješenja.

Primjer 2 Uzmimo sličan niz i ispitajmo ga na konvergenciju
Prvo kompletno rješenje, pa komentari:

Koristimo d'Alambertov znak:

Dakle, serija koja se proučava konvergira.

(1) Kreiramo relaciju .
(2) Riješimo se razlomka sa četiri sprata.
(3) Razmotrimo izraz u brojniku i izraz u nazivniku. Vidimo da u brojiocu trebamo otvoriti zagrade i podići ih na četvrti stepen: , što apsolutno ne želimo učiniti. Osim toga, za one koji nisu upoznati s Newtonovim binomom, ovaj zadatak možda uopće neće biti izvodljiv. Hajde da analiziramo više stepene: ako otvorimo zagrade na vrhu, dobićemo najviši stepen. Ispod imamo istu višu diplomu: . Po analogiji sa prethodnim primjerom, očito je da kada dijelimo brojnik i imenilac član po član, na kraju imamo jedan u granici. Ili, kako matematičari kažu, polinomi i - isti red rasta. Dakle, sasvim je moguće ocrtati omjer jednostavnom olovkom i odmah naznačiti da ova stvar teži jedan. Mi se bavimo drugim parom polinoma na isti način: i , oni također isti red rasta, a njihov omjer teži jedinstvu.

Zapravo, takav „hak“ je mogao biti izveden u primjeru br. 1, ali za polinom 2. stepena takvo rješenje još uvijek izgleda nekako nedostojno. Ja lično radim ovo: ako postoji polinom (ili polinomi) prvog ili drugog stepena, koristim "dugi" način da riješim primjer 1. Ako naiđem na polinom 3. ili više visoki stepeni, koristim “turbo” metodu sličnu primjeru 2.

Primjer 3 .

Pogledajmo tipične primjere sa faktorijalima:

Primjer 4 Ispitati konvergenciju serije

Uobičajeni pojam serije uključuje i stepen i faktorijel. Jasno je kao dan da se ovdje mora koristiti d'Alembertov znak. Hajde da odlučimo.

Dakle, serija koja se proučava divergira.

(1) Kreiramo relaciju . Ponavljamo ponovo. Po uslovu, zajednički član serije je: . Da biste dobili naredni termin u nizu, umjesto toga trebate zamijeniti, Dakle: .
(2) Riješimo se razlomka sa četiri sprata.
(3) Odvojite sedam od stepena. Detaljno opisujemo faktorijele. Kako to učiniti - pogledajte na početku lekcije.
(4) Režemo sve što se može rezati.
(5) Konstantu pomičemo izvan predznaka granice. Otvorite zagrade u brojiocu.
(6) Neizvjesnost eliminišemo na standardni način - dijeljenjem brojnika i imenioca sa “en” na najveći stepen.

Primjer 5 Ispitajte konvergenciju niza. Kompletno rješenje je ispod.

Primjer 6 Ispitati konvergenciju serije

Ponekad postoje serije koje u svom popunjavanju sadrže “lanac” faktora; ovu vrstu serija još nismo razmatrali. Kako proučavati seriju sa „lancem“ faktora? Koristite d'Alembertov znak. Ali prvo, da shvatimo šta se dešava, hajde da detaljno opišemo seriju:

Iz proširenja vidimo da svaki sljedeći član niza ima dodatni faktor dodan nazivniku, dakle, ako je zajednički član niza , tada je sljedeći član niza:
. Tu često automatski griješe, formalno pišu po algoritmu koji

Približno rješenje uzorka može izgledati ovako: Koristimo D'Alembertov znak:
Dakle, serija koja se proučava konvergira.
RADICAL CAUCHY ZNAK

Augustin Louis Cauchy je još poznatiji francuski matematičar. Svaki student može da vam kaže Cauchyjevu biografiju. tehnička specijalnost. U najživopisnijim bojama. Nije slučajno da je ovo ime uklesano na prvom spratu Ajfelove kule.

Cauchyjev test konvergencije za pozitivne nizove brojeva je donekle sličan D'Alembertovom testu o kojem se upravo raspravljalo.

Radikalni Cauchyjev znak: Hajde da razmotrimo niz pozitivnih brojeva. Ako postoji ograničenje: , tada:
a) Kada se vesla konvergira. Konkretno, serija konvergira na .
b) Kada se vesla divergira. Konkretno, serija se razilazi na .
c) Kada znak ne daje odgovor. Morate koristiti drugi znak. Zanimljivo je napomenuti da ako nam Cauchyjev test ne daje odgovor na pitanje konvergencije niza, onda nam ni D'Alembertov test neće dati odgovor. Ali ako d’Alembertov test ne daje odgovor, onda bi Cauchyjev test mogao “raditi”. To jest, Cauchyjev znak je u tom smislu jači znak.

Kada biste trebali koristiti radikalni Cauchyjev znak? Radikalni Cauchy test se obično koristi u slučajevima kada je zajednički termin serije FULLY je u stepenu ovisno o "en". Ili kada se korijen "dobar" izvuče iz uobičajenog člana serije. Ima i egzotičnih slučajeva, ali nećemo brinuti o njima.

Primjer 7 Ispitati konvergenciju serije

Vidimo da je opći pojam serije u potpunosti pod potencijom ovisno o , što znači da trebamo koristiti radikalni Cauchyjev test:

Dakle, serija koja se proučava divergira.

(1) Zajednički pojam niza formuliramo ispod korijena.
(2) Prepisujemo istu stvar, samo bez korijena, koristeći svojstvo stupnjeva.
(3) U indikatoru dijelimo brojilac sa nazivnikom član po član, što pokazuje da
(4) Kao rezultat, imamo neizvjesnost. Ovde bi mogao da odeš dug put: kocka, kocka, zatim podijelite brojilac i imenilac sa “en” na najveći stepen. Ali unutra u ovom slučaju Postoji efikasnije rješenje: možete podijeliti brojnik i nazivnik po članu direktno pod konstantnom snagom. Da biste eliminisali nesigurnost, podijelite brojilac i imenilac sa (najveća snaga).
(5) Mi zapravo vršimo dijeljenje pojam i ukazujemo na članove koji teže nuli.
(6) Sjetimo se odgovora, označimo šta imamo i zaključimo da se niz razilazi.

Evo jednostavnijeg primjera za nezavisna odluka:

Primjer 8 Ispitati konvergenciju serije

I još par tipičnih primjera.

Kompletno rješenje i uzorak dizajna nalaze se u nastavku.

Primjer 9 Ispitati konvergenciju serije
Koristimo radikalni Cauchy test:

Dakle, serija koja se proučava konvergira.

(1) Stavite zajednički član niza ispod korijena.
(2) Istu stvar prepisujemo, ali bez korijena, dok otvaramo zagrade koristeći skraćenu formulu množenja: .
(3) U indikatoru, dijelimo brojilac sa nazivnikom član po član i označavamo da .
(4) Nesigurnost oblika . Ovdje možete direktno podijeliti brojilac sa nazivnikom u zagradi sa “en” do najvišeg stepena. Sa nečim sličnim smo se susreli prilikom učenja druga divna granica. Ali ovdje je situacija drugačija. Kada bi koeficijenti na višim snagama bili identičan, na primjer: , tada trik s podjelom po članu više ne bi funkcionirao, te bi bilo potrebno koristiti drugu izvanrednu granicu. Ali mi imamo ove koeficijente drugačije(5 i 6), stoga je moguće (i potrebno) podijeliti pojam po pojam (usput, naprotiv - druga izuzetna granica za drugačije koeficijenti na višim snagama više ne rade).
(5) Mi zapravo vršimo podjelu pojam i ukazujemo koji pojmovi teže nuli.
(6) Neizvjesnost je eliminirana, ostaje najjednostavnija granica: Zašto u beskonačno velika teži nuli? Zato što osnova stepena zadovoljava nejednakost. Ako neko sumnja u pravednost limita, onda neću biti lijen, uzeću kalkulator:
Ako onda
Ako onda
Ako onda
Ako onda
Ako onda
… itd. do beskonačnosti - odnosno u granici:
(7) Ukazujemo da zaključujemo da red konvergira.

Primjer 10 Ispitati konvergenciju serije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

Ponekad se za rješenje nudi provokativan primjer, na primjer:. Ovdje u eksponentu nema "en", samo konstanta. Ovdje morate kvadrirati brojnik i nazivnik (dobijete polinome), a zatim slijedite algoritam iz članka Redovi za lutke. U takvom primjeru bi trebao raditi ili neophodan test za konvergenciju serije ili ograničavajući test za poređenje.
INTEGRALNI CAUCHY ZNAK

Razočarat ću one koji nisu dobro razumjeli materijal za prvi kurs. Da biste primijenili Cauchyjev integralni test, morate biti manje-više sigurni u pronalaženje izvoda, integrala, a također morate imati vještinu računanja nepravilan integral prva vrsta. U udžbenicima na matematička analiza Integralni Cauchyjev test je matematički striktno zadan; hajde da formulišemo test na vrlo primitivan, ali razumljiv način. I odmah primjeri za pojašnjenje.

Integralni Cauchy test: Hajde da razmotrimo niz pozitivnih brojeva. Da li se ovaj niz konvergira ili razilazi?

Primjer 11 Ispitati konvergenciju serije

Gotovo klasik. Prirodni logaritam i neko sranje.

Glavni preduvjet za korištenje Cauchyjevog integralnog testa je je činjenica da u općem terminu niza postoji određena funkcija i njen izvod. Iz teme Derivat vjerovatno se sjećate najjednostavnije tablice: , a mi imamo upravo takav kanonski slučaj.

Kako koristiti integralni atribut? Prvo uzimamo integralnu ikonu i prepisujemo gornju i donju granicu sa „brojala“ serije: . Zatim, pod integralom, prepisujemo „punjenje“ serije slovom „he“: . Nešto nedostaje..., o, da, potrebno je i da zalijepite ikonicu diferencijala u brojiocu: .

Sada treba da izračunamo nepravilan integral. U ovom slučaju moguća su dva slučaja:

1) Ako se ispostavi da integral konvergira, tada će se i naš niz konvergirati.

2) Ako se ispostavi da se integral divergira, onda će se i naš niz divergirati.

Ponavljam, ako se zanemari materijal, onda će čitanje paragrafa biti teško i nejasno, jer se upotreba neke karakteristike u suštini svodi na izračunavanje nepravilan integral prva vrsta.

Kompletno rješenje i primjer formata bi trebali izgledati otprilike ovako:

Koristimo integralni znak:

Dakle, serija koja se proučava divergira zajedno sa odgovarajućim nepravilnim integralom.

Primjer 12 Ispitati konvergenciju serije

Dizajn rješenja i uzorka na kraju lekcije

U razmatranim primjerima, logaritam bi također mogao biti ispod korijena; to ne bi promijenilo metodu rješenja.

I još dva primjera za početak

Primjer 13 Ispitati konvergenciju serije

Prema opštim „parametrima“, čini se da je opšti termin serije prikladan za korišćenje graničnog kriterijuma za poređenje. Samo treba da otvorite zagrade i odmah predate kandidatu da u potpunosti uporedi ovu seriju sa konvergentnim nizom. Međutim, malo sam se varao, zagrade se možda neće otvoriti, ali će ipak rješenje kroz ograničavajući kriterij poređenja izgledati prilično pretenciozno.

Stoga koristimo integralni Cauchyjev test:

Funkcija integranda je kontinuirana

konvergira zajedno sa odgovarajućim nepravilnim integralom.

! Bilješka:rezultirajući broj jenije zbir serije!!!

Primjer 14 Ispitati konvergenciju serije

Rješenje i dizajn uzorka nalaze se na kraju odjeljka koji se završava.

Kako biste u potpunosti i nepovratno savladali temu brojevnih nizova, posjetite teme.

Rješenja i odgovori:

Primjer 3:Koristimo d'Alambertov znak:

Dakle, serija koja se proučava divergira.
Napomena: Također je bilo moguće koristiti metodu “turbo” rješenja: odmah olovkom zaokružite omjer, označite da teži jedinstvu i zapišite: “istog reda rasta”.

Primjer 5: Koristimo d'Alembertov znak: Dakle, serija koja se proučava konvergira.

Primjer 8:

Dakle, serija koja se proučava konvergira.

Primjer 10:
Koristimo radikalni Cauchy test.

Dakle, serija koja se proučava divergira.
Napomena: Ovdje je osnova stepen, dakle

Primjer 12: Koristimo integralni znak.

Dobija se konačan broj, što znači niz koji se proučava konvergira

Primjer 14: Koristimo znak integrala
Integrand je kontinuiran na .

Dakle, serija koja se proučava divergira zajedno sa odgovarajućim nepravilnim integralom.
Napomena: Serija se takođe može ispitati pomoćuograničavajući kriterijum za poređenje . Da biste to učinili, morate otvoriti zagrade ispod korijena i usporediti seriju koja se proučava s divergentnom serijom.

Naizmjenični redovi. Leibnizov znak. Primjeri rješenja

Da biste razumjeli primjere ove lekcije, morate dobro razumjeti niz pozitivnih brojeva: razumjeti šta je niz, znati potreban znak za konvergenciju niza, biti u stanju primijeniti testove poređenja, d'Alembertov test , Cauchyjev test. Tema se može pokrenuti gotovo od nule dosljednim proučavanjem članaka Redovi za lutke I D'Alembertov znak. Cauchyjevi znaci. Logično, ova lekcija je treća po redu i omogućit će vam ne samo razumijevanje naizmjeničnih redova, već i konsolidaciju već obrađenog materijala! Bit će malo novosti, a savladavanje naizmjeničnih redova neće biti teško. Sve je jednostavno i dostupno.

Šta je naizmjenična serija? To je jasno ili gotovo jasno iz samog imena. Samo jednostavan primjer. Pogledajmo seriju i opišimo je detaljnije:

A sada će biti ubitačan komentar. Članovi naizmjeničnog niza imaju naizmjenične znakove: plus, minus, plus, minus, plus, minus itd. do beskonačnosti.
Poravnanje daje množitelj: ako je paran, bit će znak plus, ako je neparan, bit će znak minus. U matematičkom žargonu, ova stvar se zove "flašer". Dakle, naizmjenični niz se „identifikuje“ sa minus jedan do stepena „en“.

U praktičnim primjerima, izmjenu članova niza može obezbijediti ne samo množitelj, već i njegova braća i sestre: , , , …. Na primjer:

Zamka su "obmane": , , itd. - takvi množitelji ne omogućavaju promjenu znaka. Potpuno je jasno da za bilo koji prirodni: , , . Redovi sa obmanama izmiču se ne samo posebno darovitim učenicima, oni se s vremena na vreme „sama od sebe“ javljaju tokom rešavanja funkcionalne serije.

Kako ispitati konvergenciju naizmjeničnog niza? Koristite Leibnizov test. Ne želim ništa da govorim o nemačkom gigantu misli Gotfridu Vilhelmu Lajbnicu, jer je pored svojih matematičkih radova napisao i nekoliko tomova o filozofiji. Opasno za mozak.

Leibnizov test: Ako su članovi naizmjeničnog niza monotono smanjenje modula, tada red konvergira. Ili u dvije tačke:

2) Članovi serije smanjuju apsolutnu vrijednost: . Štaviše, one se monotono smanjuju.

Ako je završeno oboje uslovima, tada se red konvergira.

Kratke informacije o modulu su date u priručnikuVruće formule školski kurs matematičari , ali radi pogodnosti još jednom:

Šta znači "modulo"? Modul, kako se sjećamo iz škole, „jede“ znak minus. Vratimo se na red. Mentalno obrišite sve znakove gumicom i pogledajmo brojke. To ćemo vidjeti svaki sljedećičlan serije manje nego prethodni. Dakle, sljedeće fraze znače istu stvar:

– Članovi serije bez obzira na znak se smanjuju.
– Članovi serije se smanjuju modulo.
– Članovi serije se smanjuju u apsolutnoj vrijednosti.
– Modul zajednički član serije teži nuli: Kraj pomoći

Hajdemo sada malo o monotoniji. Monotonija je dosadna doslednost.

Članovi serije strogo monotono smanjenje modula ako SVAKI SLJEDEĆI član serije modulo MANJE nego prethodno: . Serija ima strogu monotonost pada, može se detaljno opisati:

Ili možemo ukratko reći: svaki sljedeći član serije modulo manje od prethodnog: .

Članovi serije nije striktno monotono smanjenje u modulu ako SVAKI SLJEDEĆI član serije po modulu NIJE VEĆI od prethodnog: . Razmotrimo niz sa faktorijalom: Ovdje postoji labava monotonost, budući da su prva dva člana serije identična po modulu. Odnosno, svaki sljedeći član serije modulo ne više od prethodnog: .

Pod uslovima Lajbnicove teoreme, opadajuća monotonost mora biti zadovoljena (nije bitno da li je stroga ili nestroga). U ovom slučaju, članovi serije mogu čak i povećanje modula za neko vrijeme, ali “rep” serije mora nužno biti monotono opadajući. Ne treba se bojati onoga što sam nagomilao, praktični primjeri će sve staviti na svoje mjesto:

Primjer 1 Ispitati konvergenciju serije

Uobičajeni pojam serije uključuje faktor, što znači da morate koristiti Leibnizov kriterij

1) Provjera reda za izmjenu. Obično se u ovoj tački odluke detaljno opisuje serija i izriče presuda „Serija se naizmjenično“.

2) Da li se članovi serije smanjuju u apsolutnoj vrijednosti? Potrebno je riješiti limit, koji je najčešće vrlo jednostavan.

– članovi serije se ne smanjuju po modulu. Inače, o monotoniji smanjenja više nema potrebe da se raspravlja. Zaključak: serija se razilazi.

Kako shvatiti šta je jednako? Veoma jednostavno. Kao što znate, modul uništava nedostatke, pa da biste ga stvorili, samo trebate ukloniti trepćuće svjetlo s krova. U ovom slučaju, zajednički termin serije je . Glupo uklanjamo "trepćuće svjetlo": .

Primjer 2 Ispitati konvergenciju serije

Koristimo Leibnizov kriterijum:

1) Serija se izmjenjuje.

2) – uslovi serije smanjuju apsolutnu vrijednost. Svaki sljedeći član niza je manje apsolutne vrijednosti od prethodnog: stoga je smanjenje monotono.

Zaključak: niz konvergira.

Sve bi bilo vrlo jednostavno - ali ovo nije kraj rješenja!

Ako se niz konvergira prema Leibnizovom testu, onda se kaže i da je niz konvergira uslovno.

Ako niz sastavljen od modula također konvergira, onda kažu da je niz konvergira apsolutno.

Stoga je na dnevnom redu druga faza rješavanja tipičnog problema – proučavanje predznaka naizmjeničnog niza za apsolutnu konvergenciju.

Nisam ja kriva - to je samo teorija nizova brojeva =)

Hajde da ispitamo našu seriju za apsolutnu konvergenciju.
Sastavimo niz modula - opet jednostavno uklanjamo faktor koji osigurava smjenu znakova: - divergira (harmonični niz).

Tako i naša serija nije apsolutno konvergentan.
Serija se proučava konvergira samo uslovno.

Imajte na umu da u primjeru br. 1 nema potrebe za proučavanjem neapsolutne konvergencije, jer je u prvom koraku zaključeno da se redovi divergiraju.

Skupljamo kante, lopate, automobile i ostavljamo sandbox da gledamo svijet širom otvorenih očiju iz kabine mog bagera:

Primjer 3 Ispitati konvergenciju niza. Koristimo Leibnizov kriterijum:

1)
Ova serija je naizmjenična.

2) – uslovi serije smanjuju apsolutnu vrijednost. Svaki sljedeći član niza je manje apsolutne vrijednosti od prethodnog: to znači da je smanjenje monotono. Zaključak: Serija se konvergira.

Analizirajući popunjenost niza, dolazimo do zaključka da je ovdje potrebno koristiti granični kriterij za poređenje. Pogodnije je otvoriti zagrade u nazivniku:

Uporedimo ovaj niz sa konvergentnim nizom. Za poređenje koristimo ograničavajući kriterij.

Dobija se konačan broj različit od nule, što znači da red konvergira sa nizom . Serija se proučava konvergira apsolutno.

Primjer 4 Ispitati konvergenciju serije

Primjer 5 Ispitati konvergenciju serije

Ovo su primjeri za koje možete sami odlučiti. Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju odjeljka.

Kao što vidite, naizmjenični redovi su jednostavni i dosadni! Ali nemojte žuriti da zatvorite stranicu, u samo nekoliko ekrana ćemo pogledati slučaj koji mnoge zbunjuje. U međuvremenu, još par primjera za vježbanje i ponavljanje.

Primjer 6 Ispitati konvergenciju serije

Koristimo Leibnizov kriterijum.
1) Serija se izmjenjuje.
2)
Članovi serije smanjuju modul. Svaki sljedeći član niza je manje apsolutne vrijednosti od prethodnog, što znači da je smanjenje monotono. Zaključak: niz konvergira.

Napominjemo da nisam detaljno opisao članove serije. Uvijek ih je preporučljivo opisati, ali zbog neodoljive lijenosti u “teškim” slučajevima možete se ograničiti na frazu “Serija se naizmjenično mijenja u znaku”. Uzgred, nema potrebe da ovu tačku tretiramo formalno, uvek proveravamo(bar mentalno) da se serija zapravo izmjenjuje. Brzi pogled ne uspijeva, a greška se automatski pravi. Zapamtite o "obmanama", , , ako postoje, onda ih se morate riješiti, dobivajući "redovnu" seriju s pozitivnim pojmovima.

Druga suptilnost se tiče fraze o monotoniji, koju sam takođe skratio koliko god je to moguće. To možete učiniti i gotovo uvijek će vaš zadatak biti prihvaćen. Reći ću nešto sasvim loše - lično često prećutim monotoniju, a takav broj prođe. Ali budite spremni da opišete sve do detalja, sve do detaljnih lanaca nejednakosti (vidi primjer na početku lekcije). Osim toga, ponekad monotonija nije stroga, i to također treba pratiti kako bi se riječ “manje” zamijenila riječju “nema više”.

Ispitujemo seriju za apsolutnu konvergenciju:

Očigledno, morate koristiti radikalni Cauchyjev test:

Dakle, serija konvergira. Serija se proučava konvergira apsolutno.

Primjer 7 Ispitati konvergenciju serije

Ovo je primjer za nezavisno rješenje. Često postoje naizmjenični redovi koji izazivaju poteškoće.

Primjer 8 Ispitati konvergenciju serije

Koristimo Leibnizov kriterijum:
1) Serija se izmjenjuje.

Poenta je da ne postoje standardne, svakodnevne tehnike za rješavanje takvih ograničenja. Gdje ide ova granica? Do nule, do beskonačnosti? Ovdje je važno ŠTO raste brže u beskonačnosti– brojnik ili imenilac.

NAPOMENA: koncept redoslijeda rasta funkcije detaljno je obrađen u člankuMetode rješavanja granica . Imamo granice sekvence, ali to ne mijenja suštinu.

Ako brojnik na raste brže od faktorijala, onda . Ako, u beskonačnosti, faktorijel raste brže od brojioca, onda će, naprotiv, „povući“ granicu na nulu: . Ili je možda ova granica jednaka nekom broju različitom od nule?

Pokušajmo zapisati prvih nekoliko pojmova serije:
možete zamijeniti neki polinom hiljaditog stepena, to opet neće promijeniti situaciju - prije ili kasnije faktorijal će ipak "prestići" tako užasan polinom. Faktorski više high order rast od bilo koje sekvence snage.

– Faktorijal raste brže od proizvod bilo koje količine eksponencijalni i potencijski nizovi (naš slučaj).

– Bilo koji eksponencijalni niz raste brže od bilo kojeg niza snage, na primjer: , . Eksponencijalni niz viši red rasta od bilo koje sekvence snage. Slično faktorijalu, eksponencijalni niz "vuče" proizvod bilo kojeg broja bilo koje sekvence ili polinoma: .

– Ima li išta „hladnije“ od faktorijela? Jedi! Eksponencijalni niz stepena (“en” u stepen “en”) raste brže od faktorijela. U praksi je to rijetko, ali informacije neće biti suvišne. Kraj pomoći

Dakle, druga tačka studije (sećate li se ovoga? =)) može se napisati na sledeći način:
2) , budući da je red rasta veći od .
Članovi serije smanjuju modul, počevši od nekog broja, u ovom slučaju svaki sljedeći član niza ima manju apsolutnu vrijednost od prethodnog, pa je smanjenje monotono.

Zaključak: niz konvergira.

Evo upravo čudnog slučaja kada se članovi serije prvi puta povećaju u apsolutnoj vrijednosti, zbog čega smo imali pogrešno početno mišljenje o granici. ali, počevši od nekog broja "en", faktorijel je preuzet brojicom, a „rep“ niza postaje monotono opadajući, što je fundamentalno važno za ispunjavanje uslova Leibnizove teoreme. Šta je tačno ovo "en" prilično je teško otkriti.

Prema odgovarajućoj teoremi, iz apsolutne konvergencije niza slijedi uslovna konvergencija niza. Zaključak: Studijska serija konvergira apsolutno.

I za kraj, par primjera da sami odlučite. Jedna iz iste opere (ponovo pročitajte pomoć), ali jednostavnija. Još jedan za gurmane je konsolidacija integralnog znaka konvergencije.

Primjer 9 Ispitati konvergenciju serije

Primjer 10 Ispitati konvergenciju serije

Nakon kvalitetnog proučavanja brojčanih pozitivnih i naizmjeničnih serija, mirne savjesti možete preći na funkcionalne serije, koji nisu ništa manje monotoni, a monotoni su zanimljivi.

Rješenja i odgovori:

Primjer 4: Koristimo Leibnizov kriterijum:

1) Ova serija je naizmjenična.
2)
Članovi serije se ne smanjuju po modulu. Zaključak: Serija se razilazi.. , u ovom slučaju svaki sljedeći član niza ima manju apsolutnu vrijednost od prethodnog, pa je smanjenje monotono.

Dakle, niz divergira zajedno sa odgovarajućim nepravilnim integralom. Serija se proučava konvergira samo uslovno.

Ovaj članak prikuplja i strukturira informacije potrebne za rješavanje gotovo bilo kojeg primjera na temu nizova brojeva, od pronalaženja zbira niza do njegovog ispitivanja radi konvergencije.

Pregled članka.

Počnimo s definicijama pozitivnih i naizmjeničnih nizova i konceptom konvergencije. Zatim ćemo razmotriti standardne nizove, kao što su harmonijski redovi, generalizirani harmonijski nizovi, i podsjetiti se formule za pronalaženje sume beskonačno opadajuće geometrijske progresije. Nakon toga prelazimo na svojstva konvergentnih redova, zadržavamo se na neophodnom uslovu za konvergenciju niza i navodimo dovoljne kriterijume za konvergenciju niza. Teoriju ćemo razvodniti rješenjima tipičnih primjera s detaljnim objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Osnovne definicije i koncepti.

Hajde da imamo niz brojeva gde .

Evo primjera niza brojeva: .

Brojne serije je zbir članova numeričkog niza oblika .

Kao primjer numeričke serije možete dati zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije sa nazivnikom q = -0,5: .

Called zajednički član brojevnog niza ili k-ti član serije.

Za prethodni primjer, opći pojam niza brojeva ima oblik .

Djelomični zbir niza brojeva je zbir oblika , gdje je n neki prirodni broj. naziva se i n-ti parcijalni zbir niza brojeva.

Na primjer, četvrti djelimični zbir serije Tu je .

Djelomični iznosi formiraju beskonačan niz djelomični iznosi numeričke serije.

Za našu seriju, n-ti parcijalni zbir se nalazi pomoću formule za zbir prvih n članova geometrijske progresije , odnosno imat ćemo sljedeći niz parcijalnih suma: .

Brojni niz se zove konvergentan, ako postoji konačan limit niza parcijalnih suma. Ako granica niza parcijalnih suma niza brojeva ne postoji ili je beskonačna, tada se niz naziva divergentan.

Zbir konvergentnog niza brojeva naziva se granica niza njegovih parcijalnih suma, tj. .

U našem primjeru, dakle, serija konvergira, a njen zbir je jednak šesnaest trećina: .

Primjer divergentnog niza je zbir geometrijske progresije sa nazivnikom većim od jedan: . n-ti parcijalni zbroj je određen izrazom , a granica parcijalnih suma je beskonačna: .

Drugi primjer divergentnog niza brojeva je zbir oblika . U ovom slučaju, n-ti parcijalni zbir može se izračunati kao . Granica parcijalnih suma je beskonačna .

Zbir forme pozvao serija harmonijskih brojeva.

Zbir forme , gdje je s neki realan broj, se zove generalizovan harmonijskim brojevnim nizom.

Gore navedene definicije su dovoljne da opravdaju sljedeće vrlo često korištene izjave; preporučujemo da ih zapamtite.

HARMONIČKI SERIJ JE DIVERGENTAN.

Dokažimo divergenciju harmonijskog niza.

Pretpostavimo da se niz konvergira. Tada postoji konačan limit njegovih parcijalnih suma. U ovom slučaju, možemo napisati i , što nas dovodi do jednakosti .

Na drugoj strani,

Sljedeće nejednakosti su van sumnje. Dakle, . Rezultirajuća nejednakost nam ukazuje da je jednakost se ne može postići, što je u suprotnosti sa našom pretpostavkom o konvergenciji harmonijskog niza.

Zaključak: harmonijski niz divergira.

ZBIR GEOMETRIJSKE PROGRESIJE VRSTE SA DIMINATOROM q JE KONVERGIRANI NUMERIČKI NIZ IF , I DIVERGENTNI NIZ ZA .

Dokažimo to.

Znamo da se zbir prvih n članova geometrijske progresije nalazi po formuli .

Kada pošteno

što ukazuje na konvergenciju brojevnog niza.

Za q = 1 imamo niz brojeva . Njegove parcijalne sume se nalaze kao , a granica parcijalnih suma je beskonačna , što ukazuje na divergenciju serije u ovom slučaju.

Ako je q = -1, tada će niz brojeva poprimiti oblik . Parcijalne sume imaju vrijednost za neparno n, a za parno n. Iz ovoga možemo zaključiti da nema ograničenja na parcijalne sume i da se niz divergira.

Kada pošteno

što ukazuje na divergenciju niza brojeva.

OPĆENITO, HARMONIČKI NIZ KONVERGIRATI NA s > 1 I DIVERGIRATI NA .

Dokaz.

Za s = 1 dobijamo harmonijski niz, a gore smo utvrdili njegovu divergenciju.

At s nejednakost vrijedi za sve prirodne k. Zbog divergencije harmonijskog niza, može se tvrditi da je niz njegovih parcijalnih suma neograničen (pošto ne postoji konačna granica). Tada je niz parcijalnih suma brojevnog niza utoliko više neograničen (svaki član ovog niza je veći od odgovarajućeg člana harmonijskog niza); dakle, generalizovani harmonijski red divergira kao s.

Ostaje dokazati konvergenciju niza za s > 1.

Zapišimo razliku:

Očigledno, onda

Zapišimo rezultirajuću nejednakost za n = 2, 4, 8, 16, …

Koristeći ove rezultate, možete učiniti sljedeće s originalnim nizom brojeva:

Izraz je zbir geometrijske progresije čiji je imenilac . Pošto razmatramo slučaj za s > 1, onda. Zbog toga
. Dakle, niz parcijalnih suma generalizovanog harmonijskog niza za s > 1 je rastući i istovremeno ograničen odozgo vrijednošću , dakle, ima granicu, što ukazuje na konvergenciju niza. Dokaz je potpun.

Brojni niz se zove pozitivan znak, ako su svi njegovi članovi pozitivni, tj. .

Brojni niz se zove signalternating, ako su znakovi njegovih susjednih članova različiti. Naizmjenični niz brojeva može se napisati kao ili , Gdje .

Brojni niz se zove naizmjenični znak, ako sadrži beskonačan broj i pozitivnih i negativnih članova.

Naizmjenični niz brojeva je poseban slučaj niza naizmjeničnih brojeva.

Redovi

su pozitivni, naizmjenični i naizmjenični, redom.

Za naizmjenični niz postoji koncept apsolutne i uvjetne konvergencije.

apsolutno konvergentno, ako se niz apsolutnih vrijednosti njegovih članova konvergira, odnosno konvergira niz pozitivnih brojeva.

Na primjer, niz brojeva I apsolutno konvergiraju, pošto se niz konvergira , što je zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije.

Naizmjenična serija se naziva uslovno konvergentan, ako se red divergira i red konvergira.

Primjer uslovno konvergentnog niza brojeva je niz . Brojne serije , sastavljen od apsolutnih vrijednosti članova originalnog niza, divergentan, jer je harmoničan. U isto vrijeme, originalni niz je konvergentan, što se lako uspostavlja pomoću . Dakle, brojčani znak je naizmjenični niz uslovno konvergentan.

Svojstva konvergentnih brojevnih nizova.

Primjer.

Dokazati konvergenciju niza brojeva.

Rješenje.

Hajde da napišemo seriju u drugom obliku . Brojčani niz konvergira, budući da je generalizovani harmonijski red konvergentan za s > 1, a zbog drugog svojstva konvergentnog brojevnog niza konvergentan će i niz sa numeričkim koeficijentom.

Primjer.

Konvergiraju li se brojevi brojeva?

Rješenje.

Transformirajmo originalnu seriju: . Tako smo dobili zbir dva niza brojeva i , a svaki od njih konvergira (vidi prethodni primjer). Prema tome, na osnovu treće osobine konvergentnog niza brojeva, originalni niz takođe konvergira.

Primjer.

Dokazati konvergenciju niza brojeva i izračunaj njenu količinu.

Rješenje.

Ovaj niz brojeva može se predstaviti kao razlika dva niza:

Svaki od ovih nizova predstavlja zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije i stoga je konvergentan. Treće svojstvo konvergentnog niza nam omogućava da tvrdimo da originalni brojni niz konvergira. Izračunajmo njen zbir.

Prvi član niza je jedan, a nazivnik odgovarajuće geometrijske progresije jednak je 0,5, dakle, .

Prvi član niza je 3, a imenilac odgovarajuće beskonačno opadajuće geometrijske progresije je 1/3, pa .

Iskoristimo dobivene rezultate da pronađemo zbir originalnog niza brojeva:

Neophodan uslov za konvergenciju niza.

Ako brojevni niz konvergira, tada je granica njegovog k-tog člana jednaka nuli: .

Prilikom ispitivanja konvergencije bilo kojeg niza brojeva, prva stvar koju treba provjeriti je ispunjenje potrebnog uvjeta konvergencije. Neispunjavanje ovog uvjeta ukazuje na divergenciju brojevnog niza, odnosno, ako , tada se serija divergira.

S druge strane, morate shvatiti da ovaj uslov nije dovoljan. Odnosno, ispunjenje jednakosti ne ukazuje na konvergenciju brojevnog niza. Na primjer, za harmonijski niz je zadovoljen neophodan uslov za konvergenciju i red divergira.

Primjer.

Ispitati konvergenciju niza brojeva.

Rješenje.

Provjerimo neophodan uslov za konvergenciju niza brojeva:

Limit N-ti član brojevnog niza nije jednak nuli, pa se niz divergira.

Dovoljni znaci konvergencije pozitivnog niza.

Kada koristite dovoljno značajki za proučavanje nizova brojeva za konvergenciju, stalno se susrećete sa problemima, pa preporučujemo da se obratite ovom odeljku ako imate bilo kakvih poteškoća.

Neophodan i dovoljan uslov za konvergenciju pozitivnog niza brojeva.

Za konvergenciju pozitivnog niza brojeva neophodno je i dovoljno da niz njegovih parcijalnih suma bude ograničen.

Počnimo sa znakovima poređenja serija. Njihova suština je u poređenju numeričkog niza koji se proučava sa nizom čija je konvergencija ili divergencija poznata.

Prvi, drugi i treći znak poređenja.

Prvi znak poređenja serija.

Neka i biti dva pozitivna niza brojeva i nejednakost vrijedi za sve k = 1, 2, 3, ... Tada konvergencija serije implicira konvergenciju, a divergencija serije implicira divergenciju od .

Prvi kriterijum poređenja se koristi veoma često i veoma je moćan alat za proučavanje nizova brojeva radi konvergencije. Glavni problem je odabir odgovarajuće serije za poređenje. Niz za poređenje se obično (ali ne uvijek) bira tako da je eksponent k-tog člana jednak razlici između eksponenata brojnika i nazivnika k-tog člana numeričkog niza koji se proučava. Na primjer, neka je razlika između eksponenata brojnika i nazivnika jednaka 2 – 3 = -1, pa za poređenje biramo niz s k-tim članom, odnosno harmonijski niz. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer.

Uspostaviti konvergenciju ili divergenciju niza.

Rješenje.

Pošto je granica opšteg člana niza jednaka nuli, onda je nužni uslov za konvergenciju niza zadovoljen.

Lako je vidjeti da je nejednakost istinita za sve prirodne k. Znamo da je harmonijski niz divergentan, pa je prema prvom kriteriju poređenja i originalni niz divergentan.

Primjer.

Ispitajte konvergenciju brojevnog niza.

Rješenje.

Preduvjet konvergencija brojevnog niza je zadovoljena, jer . Nejednakost je očigledna za bilo koju prirodnu vrijednost k. Niz konvergira, pošto je generalizovani harmonijski red konvergentan za s > 1. Dakle, prvi znak poređenja nizova nam omogućava da konvergenciju originalnog niza brojeva.

Primjer.

Odredite konvergenciju ili divergenciju niza brojeva.

Rješenje.

, dakle, neophodan uslov za konvergenciju brojevnog niza je zadovoljen. Koji red da odaberem za poređenje? Brojčani niz se nameće sam od sebe, a da bismo se odlučili za s, pažljivo ispitujemo niz brojeva. Članovi niza brojeva rastu prema beskonačnosti. Dakle, počevši od nekog broja N (naime, od N = 1619), članovi ovog niza će biti veći od 2. Počevši od ovog broja N, nejednakost je tačna. Niz brojeva konvergira zbog prvog svojstva konvergentnog niza, jer se dobija iz konvergentnog niza odbacivanjem prvih N – 1 članova. Dakle, prema prvom svojstvu poređenja, red je konvergentan, a na osnovu prvog svojstva konvergentnog niza brojeva, niz će takođe konvergentan.

Drugi znak poređenja.

Neka i biti pozitivan niz brojeva. Ako , tada konvergencija serije implicira konvergenciju od . Ako , Tada divergencija broja serije implicira divergenciju od .

Posljedica.

Ako i , tada konvergencija jednog niza implicira konvergenciju drugog, a divergencija implicira divergenciju.

Mi ispitujemo konvergenciju nizova koristeći drugi kriterijum poređenja. Kao niz uzimamo konvergentni niz. Nađimo granicu omjera k-tih članova niza brojeva:

Dakle, prema drugom kriteriju poređenja, iz konvergencije niza brojeva, slijedi konvergencija originalnog niza.

Primjer.

Ispitati konvergenciju brojevnog niza.

Rješenje.

Provjerimo neophodan uslov za konvergenciju reda . Uslov je ispunjen. Da bismo primijenili drugi kriterij poređenja, uzmimo harmonijski niz. Nađimo granicu omjera k-tih članova:

Posljedično, iz divergencije harmonijskog niza slijedi divergencija originalnog niza prema drugom kriteriju poređenja.

Za informaciju, predstavljamo treći kriterij za poređenje serija.

Treći znak poređenja.

Neka i biti pozitivan niz brojeva. Ako je uslov zadovoljen iz nekog broja N, tada konvergencija niza implicira konvergenciju, a divergencija niza divergenciju.

D'Alembertov znak.

Komentar.

D'Alembertov test vrijedi ako je granica beskonačna, odnosno ako , tada red konvergira ako , tada se serija razilazi.

Ako je , tada d'Alembertov test ne daje informacije o konvergenciji ili divergenciji serije i potrebno je dodatno istraživanje.

Primjer.

Ispitajte konvergenciju niza brojeva koristeći d'Alembertov test.

Rješenje.

Provjerimo ispunjenje potrebnog uvjeta za konvergenciju niza brojeva; izračunajmo granicu koristeći:

Uslov je ispunjen.

Koristimo d'Alambertov znak:

Dakle, serija konvergira.

Radikalni Cauchy znak.

Neka je niz pozitivnih brojeva. Ako , tada brojni niz konvergira, ako , tada se niz divergira.

Komentar.

Cauchyjev radikalni test vrijedi ako je granica beskonačna, odnosno ako , tada red konvergira ako , tada se serija razilazi.

Ako je , tada radikalni Cauchyjev test ne daje informacije o konvergenciji ili divergenciji serije i potrebno je dodatno istraživanje.

Obično je prilično lako razaznati slučajeve u kojima je najbolje koristiti radikalni Cauchy test. Tipičan slučaj je kada je opći član brojevnog niza eksponencijalni potencijski izraz. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer.

Ispitati konvergenciju pozitivnog niza brojeva koristeći radikalni Cauchyjev test.

Rješenje.

. Koristeći radikalni Cauchy test dobijamo .

Dakle, serija konvergira.

Primjer.

Konvergiraju li se brojevi brojeva? .

Rješenje.

Koristimo radikalni Cauchy test , dakle, niz brojeva konvergira.

Integralni Cauchy test.

Neka je niz pozitivnih brojeva. Kreirajmo funkciju kontinuiranog argumenta y = f(x) sličnu funkciji. Neka je funkcija y = f(x) pozitivna, kontinuirana i opadajuća na intervalu , gdje je ). Zatim u slučaju konvergencije nepravilan integral brojčani niz koji se proučava konvergira. Ako se nepravilni integral divergira, onda se i originalni niz divergira.

Kada provjeravate smanjenje funkcije y = f(x) na intervalu, teorija iz odjeljka može vam biti korisna.

Primjer.

Ispitajte niz brojeva sa pozitivnim pojmovima za konvergenciju.

Rješenje.

Neophodan uslov za konvergenciju niza je zadovoljen, pošto . Razmotrimo funkciju. Pozitivan je, kontinuiran i opadajući na intervalu. Kontinuitet i pozitivnost ove funkcije je van sumnje, ali hajde da se zadržimo na smanjenju malo detaljnije. Nađimo derivat:
. Na intervalu je negativan, pa se funkcija smanjuje na ovom intervalu.

Znaci konvergencije serija.
D'Alembertov znak. Cauchyjevi znaci

Rad, rad - i razumijevanje će doći kasnije
J.L. d'Alembert

Čestitam svima na startu školske godine! Danas je 1. septembar, a u čast praznika, odlučio sam da upoznam čitaoce sa onim čemu se radujete i želite da saznate već duže vreme - znaci konvergencije numeričkih pozitivnih nizova. Prvoseptembarski raspust i moje čestitke su uvijek aktuelne, u redu je ako je vani ljeto, sada polažete treći put, proučite ako ste posjetili ovu stranicu!

Za one koji tek počinju proučavati serije, preporučujem da prvo pročitaju članak Brojevi za lutke. Zapravo, ova kolica su nastavak banketa. Dakle, danas ćemo u lekciji pogledati primjere i rješenja na teme:

Jedan od uobičajenih znakova poređenja koji se nalazi u praktičnim primjerima je D'Alembertov znak. Cauchyjevi znakovi su manje uobičajeni, ali i vrlo popularni. Kao i uvijek, trudiću se da materijal predstavim jednostavno, pristupačno i razumljivo. Tema nije najteža, a svi zadaci su u određenoj mjeri standardni.

D'Alembertov test konvergencije

Jean Leron d'Alembert je bio poznati francuski matematičar iz 18. vijeka. Općenito, d’Alembert se specijalizirao za diferencijalne jednadžbe i, na osnovu svojih istraživanja, proučavao je balistiku kako bi topovske kugle Njegovog Veličanstva bolje letjele. U isto vrijeme, nisam zaboravio na niz brojeva; nije uzalud da su se redovi Napoleonovih trupa kasnije tako jasno zbližili i razišli.

Prije nego što formulišemo sam znak, razmotrimo jedno važno pitanje:
Kada treba koristiti D'Alembertov test konvergencije?

1) Imenilac sadrži polinom.
2) Polinomi su i u brojniku i u nazivniku.
3) Jedan ili oba polinoma mogu biti ispod korijena.
4) Naravno, može biti više polinoma i korijena.

Glavni preduslovi za primjenu d'Alembertovog testa su sljedeći:

1) Uobičajeni pojam serije („ispunjavanje” serije) uključuje neki broj do određenog stepena, na primjer, , , i tako dalje. Štaviše, uopće nije važno gdje se ta stvar nalazi, u brojniku ili u nazivniku - bitno je da je tu prisutna.

2) Uobičajeni pojam serije uključuje faktorijel. Ukrstili smo mačeve sa faktorijalima još u lekciji Brojevi niz i njegova granica. Međutim, neće škoditi da ponovo raširite stolnjak koji ste sami sastavili:

…

…

! Kada koristimo d'Alembertov test, faktorijel ćemo morati detaljno opisati. Kao iu prethodnom paragrafu, faktorijel se može nalaziti na vrhu ili na dnu razlomka.

3) Ako u opštem terminu serije postoji „lanac faktora“, npr. . Ovaj slučaj je rijedak, ali! Prilikom proučavanja takve serije često se pravi greška - vidi primjer 6.

Uz stepene i/ili faktorijele, polinomi se često nalaze u popunjavanju niza; to ne mijenja situaciju - potrebno je koristiti D'Alembertov znak.

D'Alembertov znak: Hajde da razmotrimo niz pozitivnih brojeva. Ako postoji ograničenje omjera sljedećeg termina u odnosu na prethodni: , tada:
a) Kada se vesla konvergira
b) Kada se vesla divergira
c) Kada znak ne daje odgovor. Morate koristiti drugi znak. Najčešće se dobije u slučaju kada pokušavaju primijeniti D'Alembertov test gdje je potrebno koristiti test ograničavanja poređenja.

Za one koji i dalje imaju problema sa granicama ili nerazumijevanjem granica pogledajte lekciju Ograničenja. Primjeri rješenja. Bez razumijevanja granice i sposobnosti otkrivanja neizvjesnosti, nažalost, ne može se napredovati dalje.

A sada dugo očekivani primjeri.

Primjer 1

Vidimo da u općem terminu serije imamo , a to je siguran preduvjet za korištenje d'Alembertovog testa. Prvo, kompletno rješenje i uzorak dizajna, komentari ispod.

Koristimo d'Alambertov znak:

konvergira.
(1) Sastavljamo omjer sljedećeg člana niza prema prethodnom: . Iz uvjeta vidimo da je opći pojam serije . Da biste dobili sljedećeg člana serije koji vam je potreban UMJESTO za zamjenu: .
(2) Riješimo se razlomka sa četiri sprata. Ako imate iskustva s rješenjem, možete preskočiti ovaj korak.
(3) Otvorite zagrade u brojiocu. U nazivniku uzimamo četiri iz stepena.
(4) Smanjite za . Konstantu uzimamo izvan predznaka granice. U brojniku predstavljamo slične pojmove u zagradama.
(5) Nesigurnost se otklanja na standardni način - dijeljenjem brojnika i imenioca sa “en” na najveći stepen.
(6) Delimo brojioce član po član imeniocima i označavamo članove koji teže nuli.
(7) Pojednostavljamo odgovor i napominjemo da uz zaključak da, prema D’Alembertovom kriteriju, proučavani niz konvergira.

Primjer 2

Uzmimo sličan niz i ispitajmo ga na konvergenciju

Prvo kompletno rješenje, pa komentari:

Koristimo d'Alambertov znak:

Dakle, serija koja se proučava konvergira.

(1) Kreiramo relaciju .

(3) Razmotrimo izraz u brojniku i izrazu u nazivniku. Vidimo da u brojiocu trebamo otvoriti zagrade i podići ih na četvrti stepen: , što apsolutno ne želimo učiniti. A za one koji nisu upoznati s Newtonovim binomom, ovaj će zadatak biti još teži. Hajde da analiziramo više stepene: ako otvorimo zagrade na vrhu , onda ćemo dobiti višu diplomu. Ispod imamo istu višu diplomu: . Po analogiji sa prethodnim primjerom, očito je da kada dijelimo brojnik i imenilac član po član, na kraju imamo jedan u granici. Ili, kako matematičari kažu, polinomi i - isti red rasta. Dakle, sasvim je moguće ocrtati odnos jednostavnom olovkom i odmah naznačite da ova stvar teži jednom. Mi se bavimo drugim parom polinoma na isti način: i , oni također isti red rasta, a njihov omjer teži jedinstvu.

Zapravo, takav „hak“ je mogao biti izveden u primjeru br. 1, ali za polinom 2. stepena takvo rješenje još uvijek izgleda nekako nedostojno. Ja lično radim ovo: ako postoji polinom (ili polinomi) prvog ili drugog stepena, koristim metodu „duge“ za rješavanje primjera 1. Ako naiđem na polinom 3. ili višeg stepena, koristim “turbo” metoda slična primjeru 2.

Primjer 3

Ispitati konvergenciju serije

Pogledajmo tipične primjere sa faktorijalima:

Primjer 4

Ispitati konvergenciju serije

Uobičajeni pojam serije uključuje i stepen i faktorijel. Jasno je kao dan da se ovdje mora koristiti d'Alembertov znak. Hajde da odlučimo.

Dakle, serija koja se proučava divergira.
(1) Kreiramo relaciju . Ponavljamo ponovo. Po uslovu, zajednički termin serije je: . Da biste dobili naredni termin u nizu, umjesto toga trebate zamijeniti, Dakle: .
(2) Riješimo se razlomka sa četiri sprata.
(3) Odvojite sedam od stepena. Detaljno opisujemo faktorijele. Kako to učiniti - pogledajte početak lekcije ili članak o nizovima brojeva.
(4) Režemo sve što se može rezati.
(5) Konstantu pomičemo izvan predznaka granice. Otvorite zagrade u brojiocu.
(6) Neizvjesnost eliminišemo na standardni način - dijeljenjem brojnika i imenioca sa “en” na najveći stepen.

Primjer 5

Ispitati konvergenciju serije

Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije

Primjer 6

Ispitati konvergenciju serije

Iz proširenja vidimo da svaki sljedeći član niza ima dodatni faktor dodan nazivniku, dakle, ako je zajednički član niza , zatim sljedeći član serije:
. Tu često automatski griješe, formalno pišu po algoritmu koji

Primjer rješenja može izgledati ovako:

Koristimo d'Alambertov znak:

Dakle, serija koja se proučava konvergira.

Radikalni Cauchyjev znak

Augustin Louis Cauchy je još poznatiji francuski matematičar. Svaki student inženjerstva može vam reći Cauchyjevu biografiju. U najživopisnijim bojama. Nije slučajno da je ovo ime uklesano na prvom spratu Ajfelove kule.

Cauchyjev test konvergencije za pozitivne nizove brojeva je donekle sličan D'Alembertovom testu o kojem se upravo raspravljalo.

Radikalni Cauchyjev znak: Hajde da razmotrimo niz pozitivnih brojeva. Ako postoji ograničenje: , tada:
a) Kada se vesla konvergira. Konkretno, serija konvergira na .
b) Kada se vesla divergira. Konkretno, serija se razilazi na .
c) Kada znak ne daje odgovor. Morate koristiti drugi znak. Zanimljivo je napomenuti da ako nam Cauchyjev test ne daje odgovor na pitanje konvergencije niza, onda ni D'Alembertov test neće dati odgovor. Ali ako d’Alembertov test ne daje odgovor, onda bi Cauchyjev test mogao “raditi”. To jest, Cauchyjev znak je u tom smislu jači znak.

Kada biste trebali koristiti radikalni Cauchyjev znak? Radikalni Cauchyjev test se obično koristi u slučajevima kada se korijen “dobar” izdvaja iz uobičajenog člana serije. Po pravilu, ova paprika je u stepenu što zavisi od. Ima i egzotičnih slučajeva, ali nećemo brinuti o njima.

Primjer 7

Ispitati konvergenciju serije

Vidimo da je razlomak potpuno pod stepenom ovisno o “en”, što znači da trebamo koristiti radikalni Cauchyjev test:

Dakle, serija koja se proučava divergira.

(1) Zajednički pojam niza formuliramo ispod korijena.

(2) Prepisujemo istu stvar, samo bez korijena, koristeći svojstvo stupnjeva.
(3) U indikatoru dijelimo brojilac sa nazivnikom član po član, što pokazuje da
(4) Kao rezultat, imamo neizvjesnost. Ovdje možete ići dug put: kocka, kocka, a zatim podijelite brojilac i imenilac sa “en” kockom. Ali u ovom slučaju postoji efikasnije rješenje: ova tehnika se može koristiti direktno pod konstantnim stepenom. Da biste eliminisali nesigurnost, podijelite brojilac i imenilac sa (najveća snaga polinoma).

(5) Vršimo dijeljenje pojam i ukazujemo na članove koji teže nuli.
(6) Sjetimo se odgovora, označimo šta imamo i zaključimo da se niz razilazi.

Evo jednostavnijeg primjera koji možete sami riješiti:

Primjer 8

Ispitati konvergenciju serije

I još par tipičnih primjera.

Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije

Primjer 9

Ispitati konvergenciju serije
Koristimo radikalni Cauchy test:

Dakle, serija koja se proučava konvergira.

(1) Stavite zajednički član niza ispod korijena.

(2) Prepisujemo istu stvar, ali bez korijena, dok otvaramo zagrade koristeći skraćenu formulu množenja: .
(3) U indikatoru, dijelimo brojilac sa nazivnikom član po član i označavamo da .
(4) Dobija se nesigurnost oblika, a i ovdje se podjela može izvršiti direktno pod stepenom. Ali uz jedan uslov: koeficijenti viših potencija polinoma moraju biti različiti. Naše su različite (5 i 6), te je stoga moguće (i potrebno) obje etaže podijeliti na . Ako ovi koeficijenti su isti, na primjer (1 i 1): , onda takav trik ne funkcionira i morate ga koristiti druga divna granica. Ako se sjećate, o ovim suptilnostima se govorilo u posljednjem pasusu članka Metode rješavanja granica.

(5) Mi zapravo vršimo podjelu pojam i ukazujemo koji pojmovi teže nuli.
(6) Nesigurnost je eliminirana, ostaje nam najjednostavnija granica: . Zašto u beskonačno velika teži nuli? Zato što osnova stepena zadovoljava nejednakost. Ako neko sumnja u pravednost limita , onda neću biti lijen, uzeću kalkulator:
Ako onda
Ako onda
Ako onda
Ako onda
Ako onda
… itd. do beskonačnosti - odnosno u granici:

Samo tako beskonačno opadajuća geometrijska progresija na prstima =)
! Nikada ne koristite ovu tehniku kao dokaz! Jer samo zato što je nešto očigledno, to ne znači da je ispravno.

(7) Ukazujemo da zaključujemo da red konvergira.

Primjer 10

Ispitati konvergenciju serije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

Integralni Cauchy test

Ili samo integralni znak. Razočarat ću one koji nisu dobro razumjeli materijal za prvi kurs. Da biste primijenili Cauchyjev integralni test, morate biti manje-više sigurni u pronalaženje izvoda, integrala, a također morate imati vještinu računanja nepravilan integral prva vrsta.

U udžbenicima matematičke analize integralni Cauchy test dat matematički strogo, ali previše zbunjujuće, pa ću znak formulisati ne prestrogo, ali jasno:

Hajde da razmotrimo niz pozitivnih brojeva. Ako postoji nepravilan integral, tada niz konvergira ili divergira zajedno sa ovim integralom.

I samo nekoliko primjera za pojašnjenje:

Primjer 11

Ispitati konvergenciju serije

Gotovo klasik. Prirodni logaritam i neko sranje.

Glavni preduvjet za korištenje Cauchyjevog integralnog testa je je činjenica da opšti pojam niza sadrži faktore slične određenoj funkciji i njenom derivatu. Iz teme

D'Alembertov test konvergencije Radikalni Cauchyjev test konvergencije Integralni Cauchyjev test konvergencije

Prije nego što formulišemo sam znak, razmotrimo jedno važno pitanje:
Kada treba koristiti D'Alembertov test konvergencije?

Glavni preduslovi za primjenu d'Alembertovog testa su sljedeći:

2) Uobičajeni pojam serije uključuje faktorijel. Ukrstili smo mačeve sa faktorijalima nazad na času Brojčani niz i njegova granica. Međutim, neće škoditi da ponovo raširite stolnjak koji ste sami sastavili:

…

…

! Kada koristimo d'Alembertov test, faktorijel ćemo morati detaljno opisati. Kao iu prethodnom paragrafu, faktorijel se može nalaziti na vrhu ili na dnu razlomka.

3) Ako u opštem terminu serije postoji „lanac faktora“, na primer, . Ovaj slučaj je rijedak, ali! Prilikom proučavanja takve serije često se pravi greška - vidi primjer 6.

Uz stepene i/ili faktorijele, polinomi se često nalaze u popunjavanju niza; to ne mijenja situaciju - potrebno je koristiti D'Alembertov znak.

Osim toga, u zajedničkom terminu serije i stepen i faktorijel mogu se pojaviti istovremeno; mogu postojati dva faktorijala, dva stepena, važno je da postoje barem nešto razmatrane tačke - a to je upravo preduslov za korišćenje D'Alembertovog znaka.

D'Alembertov znak: Hajde da razmotrimo niz pozitivnih brojeva. Ako postoji ograničenje omjera sljedećeg termina u odnosu na prethodni: , tada:
a) Kada se vesla konvergira. Konkretno, serija konvergira na .
b) Kada se vesla divergira. Konkretno, serija se razilazi na .
c) Kada znak ne daje odgovor. Morate koristiti drugi znak. Najčešće se dobije u slučaju kada pokušavaju primijeniti d'Alembertov test gdje je potrebno koristiti test ograničavanja poređenja.

A sada dugo očekivani primjeri.

Primjer 1

Vidimo da u općem terminu serije imamo , a to je siguran preduvjet za korištenje d'Alembertovog testa. Prvo, kompletno rješenje i uzorak dizajna, komentari ispod.

Koristimo d'Alambertov znak:

konvergira.

Primjer 2

Uzmimo sličan niz i ispitajmo ga na konvergenciju

Prvo kompletno rješenje, pa komentari:

Koristimo d'Alambertov znak:

Dakle, serija koja se proučava konvergira.

Zapravo, takav „hak“ je mogao biti izveden u primjeru br. 1, ali za polinom 2. stepena takvo rješenje još uvijek izgleda nekako nedostojno. Ja lično radim ovo: ako postoji polinom (ili polinomi) prvog ili drugog stepena, koristim metodu „duge“ za rješavanje primjera 1. Ako naiđem na polinom 3. ili višeg stepena, koristim “turbo” metoda slična primjeru 2.

Primjer 3

Ispitati konvergenciju serije

Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije o brojčanim nizovima.
(4) Režemo sve što se može rezati.
(5) Konstantu pomičemo izvan predznaka granice. Otvorite zagrade u brojiocu.
(6) Neizvjesnost eliminišemo na standardni način - dijeljenjem brojnika i imenioca sa “en” na najveći stepen.

Primjer 5

Ispitati konvergenciju serije

Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije

Primjer 6

Ispitati konvergenciju serije

Primjer rješenja može izgledati ovako:

Koristimo d'Alambertov znak:

Dakle, serija koja se proučava konvergira.

Prije nego što formulišemo sam znak, razmotrimo jedno važno pitanje:
Kada treba koristiti D'Alembertov test konvergencije?

Glavni preduslovi za primjenu d'Alembertovog testa su sljedeći:

1) Uobičajeni pojam serije („punjenje” serije) uključuje neki broj do određenog stepena, na primjer, , i tako dalje. Štaviše, uopće nije važno gdje se te funkcije nalaze, u brojniku ili u nazivniku – bitno je da su tu prisutne.

2) Uobičajeni pojam serije uključuje faktorijel. Šta je faktorijel?

…

…

! Kada koristimo d'Alembertov test, faktorijel ćemo morati detaljno opisati. Kao iu prethodnom paragrafu, faktorijel se može nalaziti na vrhu ili na dnu razlomka.

3) Ako u opštem terminu serije postoji „lanac faktora“, npr. . Ovaj slučaj je rijedak.

Uz stepene i/ili faktorijele, polinomi se često nalaze u popunjavanju niza; to ne mijenja situaciju - potrebno je koristiti D'Alembertov znak.

Bez razumijevanja granice i sposobnosti otkrivanja neizvjesnosti, nažalost, ne može se napredovati dalje.

primjer:
Rješenje: Vidimo da u općem terminu serije imamo , a to je siguran preduvjet za korištenje d'Alembertovog testa.

Koristimo d'Alambertov znak:

konvergira.

Radikalni Cauchy znak.

Cauchyjev test konvergencije za pozitivne nizove brojeva je donekle sličan D'Alembertovom testu o kojem se upravo raspravljalo.

! Zanimljivo je napomenuti da ako nam Cauchyjev test ne daje odgovor na pitanje konvergencije niza, onda nam ni D'Alembertov test neće dati odgovor. Ali ako d’Alembertov test ne daje odgovor, onda bi Cauchyjev test mogao “raditi”. To jest, Cauchyjev znak je u tom smislu jači znak.

!!! Kada biste trebali koristiti radikalni Cauchyjev znak? Radikalni Cauchy test se obično koristi u slučajevima kada je zajednički termin serije FULLY je u stepenu ovisno o "en". Ili kada se korijen "dobar" izvuče iz uobičajenog člana serije. Ima i egzotičnih slučajeva, ali nećemo brinuti o njima.

primjer: Ispitati konvergenciju serije

Rješenje: Vidimo da je opći pojam serije u potpunosti pod potencijom ovisno o , što znači da trebamo koristiti radikalni Cauchyjev test:

Dakle, serija koja se proučava divergira.

Integralni Cauchy test.

Da biste primijenili Cauchyjev integralni test, morate biti manje-više sigurni u pronalaženje izvoda, integrala, a također morate imati vještinu računanja nepravilan integral prva vrsta.

Formulisaću ga svojim rečima (radi lakšeg razumevanja).

Integralni Cauchy test: Hajde da razmotrimo niz pozitivnih brojeva. Ovaj niz konvergira ili divergira zajedno sa odgovarajućim nepravilnim integralom.

! !! Glavni preduvjet za korištenje Cauchyjevog integralnog testa je je činjenica da u općem terminu niza postoji određena funkcija i njen izvod.

primjer: Ispitati konvergenciju serije

Rješenje: Iz teme Derivat vjerovatno se sjećate najjednostavnije tablice: , a mi imamo upravo takav kanonski slučaj.

Kako koristiti integralni atribut? Prvo uzimamo integralnu ikonu i prepisujemo gornju i donju granicu sa „brojala“ serije: . Zatim, ispod integrala, prepisujemo "punjenje" serije slovom "X": .

Sada treba da izračunamo nepravilan integral. U ovom slučaju moguća su dva slučaja:

1) Ako se ispostavi da integral konvergira, tada će se i naš niz konvergirati.

2) Ako se ispostavi da se integral divergira, onda će se i naš niz divergirati.

Koristimo integralni znak:

Funkcija integranda je kontinuirana

Dakle, serija koja se proučava divergira zajedno sa odgovarajućim nepravilnim integralom.

primjer: Istražite konvergenciju serije

Rješenje: pre svega, hajde da proverimo neophodan znak konvergencije niza. Ovo nije formalnost, već odlična prilika da se pozabavimo primjerom s “malim krvoprolićem”.

Redoslijed brojeva viši redosled rasta, nego , dakle , odnosno zadovoljen je neophodan predznak konvergencije, a nizovi mogu konvergirati ili divergirati.

Dakle, morate koristiti neku vrstu znaka. Ali koji? Granica poređenja očito se ne uklapa, pošto je logaritam utisnut u zajednički član niza, d'Alembertovi i Cauchyjevi znakovi takođe ne dovode do rezultata. Da jesmo, onda bismo barem mogli proći integralna karakteristika.

„Pregled scene“ sugeriše divergentni niz (slučaj generalizovanog harmonijskog niza), ali se opet postavlja pitanje kako uzeti u obzir logaritam u brojiocu?

Ono što ostaje je prvi znak poređenja, zasnovan na nejednakostima, koji se često ne uzima u obzir i skuplja prašinu na udaljenoj polici. Opišimo seriju detaljnije:

Da vas podsjetim – neograničeno raste numerički niz:

I, počevši od broja, nejednakost će biti zadovoljena:

odnosno članovi serije će biti čak više relevantnih članova divergentan red.

Kao rezultat toga, serija nema izbora nego da se rasprši.

Konvergencija ili divergencija niza brojeva zavisi od njegovog „beskonačnog repa“ (ostatka). U našem slučaju možemo zanemariti činjenicu da nejednakost nije tačna za prva dva broja – to ne utiče na zaključak.

Gotov primjer bi trebao izgledati otprilike ovako:

Uporedimo ovu seriju sa divergentnom serijom.
Za sve brojeve, počevši od , nejednakost je zadovoljena, dakle, prema kriteriju poređenja, serija koja se proučava divergira.

Naizmjenični redovi. Leibnizov znak. Primjeri rješenja.

Šta je naizmjenična serija? To je jasno ili gotovo jasno iz samog imena. Samo jednostavan primjer.

Pogledajmo seriju i opišimo je detaljnije:

Poravnanje daje množitelj: ako je paran, bit će znak plus, ako je neparan, bit će znak minus.

U praktičnim primjerima, izmjenu članova niza može obezbijediti ne samo množitelj, već i njegova braća i sestre: , , , …. Na primjer:

Zamka su "obmane": , , itd. - takvi množitelji ne omogućavaju promjenu znaka. Potpuno je jasno da za bilo koji prirodni: , , .

Kako ispitati konvergenciju naizmjeničnog niza? Koristite Leibnizov test.

Leibnizov test: Ako su u naizmjeničnom nizu ispunjena dva uslova: 1) članovi serije monotono opadaju u apsolutnoj vrijednosti. 2) granica zajedničkog člana u modulu jednaka je nuli, tada red konvergira, a modul zbira ovog niza ne prelazi modul prvog člana.

Kratke informacije o modulu:

Šta znači "modulo"? Modul, kako se sjećamo iz škole, „jede“ znak minus. Vratimo se na red . Mentalno obrišite sve znakove gumicom i pogledajmo brojke. To ćemo vidjeti svaki sljedećičlan serije manje nego prethodni.

Sad malo o monotoniji.

Članovi serije strogo monotono smanjenje modula ako SVAKI SLJEDEĆI član serije modulo MANJE nego prethodno: . Za red Stroga monotonost opadanja je ispunjena, može se detaljno opisati:

Ili možemo ukratko reći: svaki sljedeći član serije modulo manje od prethodnog: .

Članovi serije nije striktno monotono smanjenje u modulu ako SVAKI SLJEDEĆI član serije po modulu NIJE VEĆI od prethodnog: . Razmotrimo niz sa faktorijelom: Ovdje postoji labava monotonost, budući da su prva dva člana serije identična po modulu. Odnosno, svaki sljedeći član serije modulo ne više od prethodnog: .

primjer: Ispitati konvergenciju serije

Rješenje: Uobičajeni pojam serije uključuje faktor, što znači da morate koristiti Leibnizov kriterij

1) Provjera serije za monotono smanjenje.

1<2<3<…, т.е. n+1>n – prvi uslov nije ispunjen

2) – drugi uslov takođe nije ispunjen.

Zaključak: serija se razilazi.

definicija: Ako se niz konvergira prema Leibnizovom kriteriju i niz sastavljen od modula također konvergira, onda kažu da je niz konvergira apsolutno.

Ako se niz konvergira prema Leibnizovom kriteriju, a niz sastavljen od modula divergira, tada se kaže da je niz konvergira uslovno.

Ako se niz sastavljen od modula konvergira, onda i ovaj niz konvergira.

Stoga se naizmjenični konvergentni nizovi moraju ispitati na apsolutnu ili uslovnu konvergenciju.

primjer:

Rješenje: Koristimo Leibnizov kriterijum:

1) Svaki sljedeći član niza je apsolutne vrijednosti manji od prethodnog: – prvi uslov je ispunjen.

2) – i drugi uslov je zadovoljen.

Zaključak: niz konvergira.

Provjerimo uslovnu ili apsolutnu konvergenciju.

Napravimo niz modula - opet jednostavno uklanjamo množitelj, koji osigurava izmjenu znakova:
– divergira (harmonijski niz).

Tako i naša serija nije apsolutno konvergentan.
Serija se proučava konvergira uslovno.

primjer: Ispitajte niz za uslovnu ili apsolutnu konvergenciju

Rješenje: Koristimo Leibnizov kriterijum:
1) Pokušajmo zapisati prvih nekoliko pojmova serije:

…?!

Ako brojnik na raste brže od faktorijala, onda . Ako, u beskonačnosti, faktorijel raste brže od brojilaca, onda će on, naprotiv, "povući" granicu na nulu: . Ili je možda ova granica jednaka nekom broju različitom od nule? ili . Umjesto toga, možete zamijeniti neki polinom hiljaditog stepena, to opet neće promijeniti situaciju - prije ili kasnije faktorijel će ipak "prestići" tako užasan polinom. Faktorski viši red rasta.

– Faktorijal raste brže od proizvod bilo koje količine eksponencijalni i potencijski nizovi(naš slučaj).

– Ima li išta „jače“ od faktorijala? Jedi! Eksponencijalni niz stepena (“en” na stepen od “en”) raste brže od faktorijala. U praksi je to rijetko, ali informacije neće biti suvišne.

Kraj pomoći

Dakle, druga tačka studije se može napisati na sledeći način:
2) , budući da je red rasta veći od .
Članovi serije smanjuju modul, počevši od nekog broja, u ovom slučaju svaki sljedeći član niza ima manju apsolutnu vrijednost od prethodnog, pa je smanjenje monotono.

Zaključak: niz konvergira.

Evo upravo čudnog slučaja kada se članovi serije prvi puta povećaju u apsolutnoj vrijednosti, zbog čega smo imali pogrešno početno mišljenje o granici. ali, počevši od nekog broja "en", faktorijel prestiže brojilac, a "rep" niza postaje monotono opadajući, što je fundamentalno važno za ispunjavanje uslova Leibnizove teoreme. Šta je tačno ovo "en" prilično je teško otkriti..

Ispitujemo niz za apsolutnu ili uslovnu konvergenciju:

I ovdje D’Alembertov znak već radi:

Koristimo d'Alambertov znak:

Dakle, serija konvergira.

Serija se proučava konvergira apsolutno.

Analizirani primjer se može riješiti i na drugi način (koristimo dovoljan kriterij za konvergenciju naizmjeničnog niza).

Dovoljan znak konvergencije naizmjeničnog niza: Ako se niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti članova datog niza konvergira, tada konvergira i dati niz.

drugi način:

Ispitajte niz za uslovnu ili apsolutnu konvergenciju

Rješenje : Ispitujemo seriju za apsolutnu konvergenciju:

Koristimo d'Alambertov znak:

Dakle, serija konvergira.
Na osnovu dovoljnog kriterija za konvergenciju naizmjeničnog niza, sam niz konvergira.

Zaključak: Studijska serija konvergira apsolutno.

Za izračunavanje sume niza sa datom tačnošću Koristićemo sljedeću teoremu:

Neka se naizmjenični niz potpiše zadovoljava uslove Lajbnicovog kriterijuma i neka - njegov n th parcijalni iznos. Tada red konvergira i greška u približnom izračunavanju njegovog sume S u apsolutnoj vrijednosti ne prelazi modul prvog odbačenog člana: