Šta se dešava ako podelite sa. Deljenje sa nulom. Fascinantna matematika. Nestandardne metode zabranjene podjele

Evgeniy SHIRYAEV, nastavnik i šef Matematičke laboratorije Politehničkog muzeja, rekao je AiF-u o podjeli sa nulom:

1. Nadležnost pitanja

Slažete se, ono što pravilo čini posebno provokativnim je zabrana. Kako to ne može da se uradi? Ko je zabranio? Šta je sa našim građanskim pravima?

Ni Ustav, ni Krivični zakonik, pa čak ni statut vaše škole ne protive se intelektualnom djelovanju koje nas zanima. To znači da zabrana nema pravnu snagu i ništa vas ne sprečava da pokušate nešto podijeliti sa nulom upravo ovdje, na stranicama AiF-a. Na primjer, hiljadu.

2. Podijelimo kako se uči

Zapamtite, kada ste prvi put naučili kako dijeliti, prvi primjeri su bili riješeni provjerom množenja: rezultat pomnožen djeliteljem morao se poklopiti s dividendom. Nije se poklopilo - nisu odlučili.

Primjer 1. 1000: 0 =...

Zaboravimo na trenutak zabranjeno pravilo i pokušajmo nekoliko puta da pogodimo odgovor.

Neispravni će biti odrezani čekom. Pokušajte sljedeće opcije: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Za svaku od njih provjera će dati isti rezultat:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0

Množenjem nule, sve se pretvara u sebe, a nikada u hiljadu. Zaključak je lako formulisati: nijedan broj neće proći test. To jest, nijedan broj ne može biti rezultat dijeljenja broja različitog od nule sa nulom. Takva podjela nije zabranjena, već jednostavno nema rezultata.

3. Nijansa

Zamalo smo propustili jednu priliku da pobijemo zabranu. Da, priznajemo da se broj različit od nule ne može podijeliti sa 0. Ali možda i sam 0 može?

Primjer 2. 0: 0 = ...

Koji su vaši prijedlozi za privatno? 100? Molimo: količnik 100 pomnožen sa djeliteljem 0 jednak je dividendi 0.

Više opcija! 1? Odgovara takođe. I −23, i 17, i to je to. U ovom primjeru, test će biti pozitivan za bilo koji broj. I, da budem iskren, rješenje u ovom primjeru ne bi trebalo nazvati brojem, već skupom brojeva. Svi. I ne treba dugo da se složimo da Alis nije Alis, već Meri En, i da su obe zečev san.

4. Šta je sa višom matematikom?

Problem je riješen, nijanse su uzete u obzir, tačke su stavljene, sve je postalo jasno - odgovor na primjer s dijeljenjem nulom ne može biti jedan broj. Rješavanje ovakvih problema je beznadežno i nemoguće. Što znači... zanimljivo! Uzmi dva.

Primjer 3. Smislite kako podijeliti 1000 sa 0.

Ali nema šanse. Ali 1000 se lako može podijeliti drugim brojevima. Pa, hajde da radimo barem ono što radi, čak i ako promijenimo zadatak. A onda se, vidite, zanesemo i odgovor će se pojaviti sam od sebe. Zaboravimo na nulu na minut i podijelimo sa sto:

Sto je daleko od nule. Napravimo korak ka tome smanjenjem djelitelja:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Dinamika je očigledna: što je djelitelj bliži nuli, to je veći količnik. Trend se može dalje promatrati prelaskom na razlomke i nastavkom smanjivanja brojilaca:

Ostaje napomenuti da se možemo približiti nuli koliko god želimo, čineći količnik velikim koliko želimo.

U ovom procesu nema nule i nema posljednjeg količnika. Naznačili smo kretanje prema njima tako što smo broj zamijenili nizom koji konvergira broju koji nas zanima:

Ovo podrazumijeva sličnu zamjenu za dividendu:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Nije uzalud što su strelice dvostrane: neke sekvence mogu konvergirati u brojeve. Tada možemo povezati niz s njegovim brojčanim ograničenjem.

Pogledajmo redoslijed količnika:

Neograničeno raste, ne teži ni jednom broju i ne nadmašuje bilo koji. Matematičari brojevima dodaju simbole ∞ da biste mogli staviti dvostranu strelicu pored takvog niza:

Poređenje s brojem nizova koji imaju ograničenje omogućava nam da predložimo rješenje za treći primjer:

Kada elementarno podijelimo niz koji konvergira do 1000 nizom pozitivnih brojeva koji konvergiraju do 0, dobivamo niz koji konvergira na ∞.

5. A evo nijanse sa dvije nule

Koji je rezultat dijeljenja dva niza pozitivnih brojeva koji konvergiraju nuli? Ako su isti, onda je jedinica identična. Ako niz dividendi brže konvergira na nulu, onda je to posebno niz s nultom granicom. A kada se elementi djelitelja smanjuju mnogo brže od elemenata dividende, slijed kvocijenta će jako rasti:

Neizvjesna situacija. I to se zove: nesigurnost tipa 0/0 . Kada matematičari vide nizove koji odgovaraju takvoj nesigurnosti, ne žure da dijele dva identična broja jedan s drugim, već shvate koji od nizova ide brže do nule i kako točno. I svaki primjer će imati svoj konkretan odgovor!

6. U životu

Ohmov zakon povezuje struju, napon i otpor u kolu. Često se piše u ovom obliku:

Dozvolimo sebi da zanemarimo uredno fizičko razumijevanje i formalno posmatramo desnu stranu kao količnik dva broja. Zamislimo da rješavamo školski problem na struju. Uvjet daje napon u voltima i otpor u omima. Pitanje je očigledno, rešenje je u jednoj akciji.

Pogledajmo sada definiciju supravodljivosti: ovo je svojstvo nekih metala da imaju nulti električni otpor.

Pa, hajde da riješimo problem za supravodljivo kolo? Samo ga namjesti R= 0 Ako ne uspije, fizika postavlja zanimljiv problem iza kojeg se, očito, krije naučno otkriće. A ljudi koji su uspjeli podijeliti sa nulom u ovoj situaciji dobili su Nobelovu nagradu. Korisno je moći zaobići sve zabrane!

Ako prekršite općeprihvaćena pravila u svijetu nauke, možete dobiti najneočekivanije rezultate.

Još od škole učitelji su nam govorili da u matematici postoji jedno pravilo koje se ne može prekršiti. Zvuči ovako: "Ne možete podijeliti sa nulom!"

Zašto tako poznati broj 0, s kojim se tako često susrećemo u svakodnevnom životu, uzrokuje toliko poteškoća pri izvođenju jednostavne aritmetičke operacije kao što je dijeljenje?

Hajde da pogledamo ovo pitanje.

Ako jedan broj podijelimo sa sve manjim brojevima, rezultat će biti sve veće vrijednosti. Na primjer

Dakle, ispada da ako podijelimo brojem koji teži nuli, dobit ćemo najveći rezultat koji teži beskonačnosti.

Da li to znači da ako podijelimo naš broj sa nulom, dobićemo beskonačnost?

Ovo zvuči logično, ali sve što znamo je da ako podijelimo brojem koji je po vrijednosti blizak nuli, onda će rezultat težiti samo beskonačnosti i to ne znači da ćemo kada podijelimo s nulom završiti s beskonačnošću. Zašto je to tako?

Prvo, moramo razumjeti šta je aritmetička operacija dijeljenja. Dakle, ako podijelimo 20 sa 10, to će značiti koliko puta ćemo morati sabrati broj 10 da dobijemo 20 kao rezultat, ili koji broj trebamo uzeti dva puta da dobijemo 20.

Općenito, dijeljenje je inverzna aritmetička operacija množenja. Na primjer, kada množimo bilo koji broj sa X, možemo postaviti pitanje: "Postoji li broj koji trebamo pomnožiti rezultatom da bismo saznali izvornu vrijednost X?" A ako postoji takav broj, onda će to biti inverzna vrijednost za X. Na primjer, ako pomnožimo 2 sa 5, dobićemo 10. Ako nakon toga pomnožimo 10 sa jednom petinom, opet ćemo dobiti 2:

Dakle, 1/5 je recipročna vrijednost 5, recipročna vrijednost 10 je 1/10.

Kao što ste već primijetili, kada množite broj sa recipročnim, odgovor će uvijek biti jedan. A ako želite podijeliti broj sa nulom, morat ćete pronaći njegov inverzni broj, koji bi trebao biti jednak jednom podijeljenom sa nulom.

To će značiti da kada se pomnoži sa nulom rezultat mora biti jedan, a pošto je poznato da ako pomnožite bilo koji broj sa 0 dobijete 0, onda je to nemoguće i nula nema recipročan broj.

Da li je moguće smisliti nešto da se zaobiđe ova kontradikcija?

Ranije su matematičari već pronašli načine da zaobiđu matematička pravila, jer je u prošlosti, prema matematičkim pravilima, bilo nemoguće dobiti vrijednost kvadratnog korijena negativnog broja, tada je predloženo da se takvi kvadratni korijeni označavaju imaginarnim brojevima. . Kao rezultat toga, pojavila se nova grana matematike o kompleksnim brojevima.

Pa zašto ne bismo pokušali da uvedemo i novo pravilo, prema kojem bi jedan podeljen sa nulom bio označen znakom beskonačnosti i da vidimo šta će se desiti?

Pretpostavimo da ne znamo ništa o beskonačnosti. U ovom slučaju, ako krenemo od recipročnog broja nula, a zatim množimo nulu sa beskonačnošću, trebali bismo dobiti jedan. A ako tome dodamo još jednu vrijednost nule podijeljenu sa beskonačnošću, rezultat bi trebao biti broj dva:

U skladu sa distributivnim zakonom matematike, lijeva strana jednačine se može predstaviti kao:

a pošto je 0+0=0, onda će naša jednadžba poprimiti oblik 0*∞=2, zbog činjenice da smo već definirali 0*∞=1, ispada da je 1=2.

Ovo zvuči smiješno. Međutim, ovaj se odgovor također ne može smatrati potpuno netočnim, jer takvi proračuni jednostavno ne rade za obične brojeve. Na primjer, u Riemannoj sferi se koristi dijeljenje nulom, ali na potpuno drugačiji način, a ovo je sasvim druga priča...

Ukratko, dijeljenje sa nulom na uobičajen način ne završava dobro, ali ipak to ne bi trebalo da nam bude prepreka da eksperimentišemo na polju matematike, u slučaju da uspijemo otvoriti nova područja za istraživanje.

Svi se iz škole sjećaju da se ne može dijeliti sa nulom. Osnovcima se nikada ne objašnjava zašto se to ne radi. Oni jednostavno nude da ovo shvate kao datost, zajedno s drugim zabranama poput „ne možete staviti prste u utičnice“ ili „ne biste trebali postavljati glupa pitanja odraslima“. AiF.ru je odlučio da sazna da li su učitelji škole bili u pravu.

Algebarsko objašnjenje nemogućnosti dijeljenja nulom

Sa algebarske tačke gledišta, ne možete dijeliti sa nulom jer to nema nikakvog smisla. Uzmimo dva proizvoljna broja, a i b, i pomnožimo ih sa nulom. a × 0 je jednako nuli, a b × 0 je jednako nuli. Ispada da su a × 0 i b × 0 jednaki, jer je proizvod u oba slučaja jednak nuli. Dakle, možemo kreirati jednačinu: 0 × a = 0 × b. Sada pretpostavimo da možemo podijeliti sa nulom: podijelimo obje strane jednačine s tim i dobijemo da je a = b. Ispada da ako dopustimo operaciju dijeljenja sa nulom, onda se svi brojevi poklapaju. Ali 5 nije jednako 6, a 10 nije jednako ½. Pojavljuje se nesigurnost, koju nastavnici ne žele reći radoznalim učenicima srednjih škola.

Objašnjenje nemogućnosti dijeljenja sa nulom sa stanovišta matematičke analize

U srednjoj školi izučavaju teoriju granica, koja takođe govori o nemogućnosti dijeljenja sa nulom. Ovaj broj se tamo tumači kao „nedefinisana beskonačno mala količina“. Dakle, ako razmotrimo jednačinu 0 × X = 0 u okviru ove teorije, otkrićemo da se X ne može naći jer da bismo to učinili morali bismo podijeliti nulu sa nulom. I to također nema nikakvog smisla, jer su i dividenda i djelitelj u ovom slučaju neodređene veličine, pa je nemoguće izvesti zaključak o njihovoj jednakosti ili nejednakosti.

Kada možete podijeliti sa nulom?

Za razliku od školaraca, studenti tehničkih univerziteta mogu dijeliti sa nulom. Operacija koja je nemoguća u algebri može se izvesti u drugim oblastima matematičkog znanja. U njima se pojavljuju novi dodatni uslovi problema koji dozvoljavaju ovu radnju. Dijeljenje sa nulom bit će moguće za one koji slušaju predavanja o nestandardnoj analizi, proučavaju Diracovu delta funkciju i upoznaju se s proširenom kompleksnom ravninom.

Stroga zabrana dijeljenja sa nulom uvedena je čak iu nižim razredima škole. Djeca obično ne razmišljaju o razlozima, ali zapravo je znati zašto je nešto zabranjeno i zanimljivo i korisno.

Aritmetičke operacije

Aritmetičke operacije koje se izučavaju u školi nisu ekvivalentne sa stanovišta matematičara. Oni priznaju samo dvije od ovih operacija kao valjane - zbrajanje i množenje. Oni su uključeni u sam pojam broja, a sve druge radnje s brojevima su na ovaj ili onaj način izgrađene na ova dva. Odnosno, ne samo da je dijeljenje sa nulom nemoguće, već je dijeljenje općenito nemoguće.

Oduzimanje i dijeljenje

Šta nedostaje ostalim akcijama? Opet, iz škole znamo da, na primjer, oduzeti četiri od sedam znači uzeti sedam slatkiša, pojesti ih četiri i prebrojati one koji ostanu. Ali matematičari ih, kada jedu slatkiše i općenito, doživljavaju potpuno drugačije. Za njih postoji samo sabiranje, odnosno oznaka 7 - 4 znači broj koji će, kada se doda broju 4, biti jednak 7. To jest, za matematičare, 7 - 4 je kratka oznaka jednačine : x + 4 = 7. Ovo nije oduzimanje, već problem - pronađite broj koji treba staviti umjesto x.

Isto vrijedi i za dijeljenje i množenje. Podijelivši deset sa dva, učenik mlađih razreda stavlja deset bombona u dvije identične hrpe. Matematičar i ovdje vidi jednačinu: 2 x = 10.

Ovo objašnjava zašto je dijeljenje nulom zabranjeno: to je jednostavno nemoguće. Unos 6:0 treba da se pretvori u jednačinu 0 · x = 6. To jest, potrebno je pronaći broj koji se može pomnožiti sa nulom i dobiti 6. Ali poznato je da množenje sa nulom uvijek daje nulu. Ovo je suštinsko svojstvo nule.

Dakle, ne postoji broj koji bi, kada se pomnoži sa nulom, dao neki drugi broj osim nule. To znači da ova jednačina nema rješenja, nema broja koji bi korelirao sa zapisom 6:0, odnosno nema smisla. Govore o njegovoj besmislenosti kada je dijeljenje sa nulom zabranjeno.

Da li je nula deljiva sa nulom?

Da li je moguće podijeliti nulu sa nulom? Jednačina 0 · x = 0 ne izaziva nikakve poteškoće, a možete uzeti ovu nulu za x i dobiti 0 · 0 = 0. Tada je 0: 0 = 0? Ali, ako, na primjer, uzmemo jedan kao x, također ćemo dobiti 0 1 = 0. Možete uzeti bilo koji broj za x i podijeliti sa nulom, a rezultat će ostati isti: 0: 0 = 9, 0 : 0 = 51, i tako dalje.

Dakle, apsolutno bilo koji broj se može ubaciti u ovu jednačinu, a nemoguće je izabrati bilo koji konkretan, nemoguće je odrediti koji je broj označen oznakom 0: 0. To jest, ovaj zapis također nema smisla, a podjela nulom je još uvijek nemoguće: nije čak ni djeljivo sam po sebi.

Ovo je važna karakteristika operacije dijeljenja, odnosno množenja i pridruženog broja nula.

Ostaje pitanje: da li je to moguće oduzeti? Moglo bi se reći da prava matematika počinje ovim zanimljivim pitanjem. Da biste pronašli odgovor na njega, morate naučiti formalne matematičke definicije skupova brojeva i upoznati se s operacijama na njima. Na primjer, ne postoje samo jednostavne, već i njihova podjela se razlikuje od podjele običnih. Ovo nije uključeno u školski program, ali univerzitetska predavanja iz matematike počinju time.

Čak iu školi, učitelji su pokušavali da nam ubiju u glavu najjednostavnije pravilo: "Bilo koji broj pomnožen sa nulom jednak je nuli!", - ali i dalje se oko njega stalno dižu brojne kontroverze. Neki ljudi samo pamte pravilo i ne zamaraju se pitanjem "zašto?" "Ne možete i to je to, jer su tako rekli u školi, pravilo je pravilo!" Neko može popuniti pola bilježnice formulama, dokazujući ovo pravilo ili, obrnuto, njegovu nelogičnost.

U kontaktu sa

Ko je na kraju u pravu?

Tokom ovih sporova, obojica ljudi sa suprotstavljenim stavovima gledaju jedni na druge kao ovan i svom snagom dokazuju da su u pravu. Mada, ako ih pogledate sa strane, možete vidjeti ne jednog, već dva ovna, koji rogove naslanjaju jedan na drugog. Jedina razlika između njih je što je jedan nešto manje obrazovan od drugog.

Oni koji ovo pravilo smatraju netačnim najčešće pokušavaju apelirati na logiku na ovaj način:

Imam dvije jabuke na stolu, ako stavim nula jabuka na njih, odnosno ne stavim ni jednu, onda moje dvije jabuke neće nestati! Pravilo je nelogično!

Zaista, jabuke neće nigdje nestati, ali ne zato što je pravilo nelogično, već zato što se ovdje koristi malo drugačija jednadžba: 2 + 0 = 2. Pa da odmah odbacimo ovaj zaključak - nelogičan je, iako ima suprotan cilj - da pozovem na logiku.

Šta je množenje

Prvobitno pravilo množenja je definisan samo za prirodne brojeve: množenje je broj koji se sam sebi dodaje određeni broj puta, što implicira da je broj prirodan. Dakle, bilo koji broj sa množenjem može se svesti na ovu jednačinu:

1. 25×3 = 75
2. 25 + 25 + 25 = 75
3. 25×3 = 25 + 25 + 25

Iz ove jednačine slijedi da da je množenje pojednostavljeno sabiranje.

Šta je nula

Svaka osoba od djetinjstva zna: nula je praznina.Uprkos činjenici da ova praznina ima oznaku, ona ne nosi ništa. Drevni istočnjački naučnici su mislili drugačije - pristupili su tom pitanju filozofski i povukli neke paralele između praznine i beskonačnosti i u ovom broju vidjeli duboko značenje. Na kraju krajeva, nula, koja ima značenje praznine, koja stoji pored bilo kojeg prirodnog broja, množi je deset puta. Otuda sva kontroverza oko množenja - ovaj broj nosi toliko nedosljednosti da postaje teško ne zbuniti se. Osim toga, nula se stalno koristi za definiranje praznih znamenki u decimalnim razlomcima, to se radi i prije i nakon decimalnog zareza.

Da li je moguće množiti prazninom?

Možete množiti sa nulom, ali je beskorisno, jer, kako god neko rekao, čak i kada množite negativne brojeve, i dalje ćete dobiti nulu. Dovoljno je samo zapamtiti ovo jednostavno pravilo i više nikada ne postavljati ovo pitanje. Zapravo, sve je jednostavnije nego što se čini na prvi pogled. Ne postoje skrivena značenja i tajne, kako su vjerovali drevni naučnici. U nastavku ćemo dati najlogičnije objašnjenje da je ovo množenje beskorisno, jer kada pomnožite broj s njim, i dalje ćete dobiti istu stvar - nulu.

Da se vratimo na sam početak, na argument o dvije jabuke, 2 puta 0 izgleda ovako:

• Ako pojedete dvije jabuke pet puta, onda jedete 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 jabuka
• Ako pojedete dva od njih tri puta, onda jedete 2×3 = 2+2+2 = 6 jabuka
• Ako pojedete dvije jabuke nula puta, onda se ništa neće jesti - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Na kraju krajeva, pojesti jabuku 0 puta znači ne pojesti ni jednu. To će biti jasno i najmanjem djetetu. Šta god da se kaže, rezultat će biti 0, dva ili tri se mogu zamijeniti apsolutno bilo kojim brojem i rezultat će biti apsolutno isti. I pojednostavljeno rečeno, onda nula je ništa, a kada imate nema ničega, onda koliko god množite, i dalje je isto biće nula. Ne postoji takva stvar kao što je magija, i ništa neće napraviti jabuku, čak i ako pomnožite 0 sa milion. Ovo je najjednostavnije, najrazumljivije i najlogičnije objašnjenje pravila množenja nulom. Za osobu koja je daleko od svih formula i matematike, takvo objašnjenje će biti dovoljno da se nesklad u glavi razriješi i sve dođe na svoje mjesto.

Division

Iz svega navedenog proizilazi još jedno važno pravilo:

Ne možete podijeliti sa nulom!

Ovo pravilo nam se također uporno bušilo u glavu od djetinjstva. Znamo samo da je nemoguće učiniti sve, a da ne napunimo glavu nepotrebnim informacijama. Ako vam se neočekivano postavi pitanje zašto je zabranjeno dijeljenje sa nulom, onda će većina biti zbunjena i neće moći jasno odgovoriti na najjednostavnije pitanje iz školskog programa, jer oko ovog pravila nema toliko sporova i kontradikcija.

Svi su jednostavno zapamtili pravilo i nisu dijelili sa nulom, ne sluteći da je odgovor skriven na površini. Zbrajanje, množenje, dijeljenje i oduzimanje su nejednaki; od navedenog vrijede samo množenje i sabiranje, a sve ostale manipulacije brojevima se grade od njih. To jest, oznaka 10:2 je skraćenica jednačine 2 * x = 10. To znači da je oznaka 10: 0 ista skraćenica za 0 * x = 10. Ispada da je dijeljenje nulom zadatak za Nađite broj, množeći sa 0, dobijate 10. A mi smo već shvatili da takav broj ne postoji, što znači da ova jednačina nema rješenja i biće a priori netačna.

Da ti kažem,

Da ne bi dijelili sa 0!

Izrežite 1 kako želite, po dužini,

Samo nemojte dijeliti sa 0!