Šta znači obim pravougaonika? Obim i površina pravougaonika. Prepoznatljive karakteristike pravougaonika

Pravougaonik ima mnoge karakteristične karakteristike, na osnovu kojih su razvijena pravila za izračunavanje njegovih različitih numeričkih karakteristika. Dakle, pravougaonik:

Ravna geometrijska figura;
Quadrangle;
Figura u kojoj su suprotne strane jednake i paralelne, svi uglovi su pravi.

Opseg je ukupna dužina svih strana figure.

Izračunavanje perimetra pravokutnika je prilično jednostavan zadatak.

Sve što trebate znati je širina i dužina pravougaonika. Pošto pravougaonik ima dve jednake dužine i dve jednake širine, meri se samo jedna stranica.

Opseg pravougaonika jednak je dvostrukom zbiru njegovih dviju stranica, dužine i širine.

P = (a + b) 2, gdje je a dužina pravougaonika, b širina pravougaonika.

Opseg pravokutnika se također može naći pomoću zbira svih strana.

P= a+a+b+b, gdje je a dužina pravougaonika, b širina pravougaonika.

Opseg kvadrata je dužina stranice kvadrata pomnožena sa 4.

P = a 4, gdje je a dužina stranice kvadrata.

Dodatak: Pronalaženje površine i perimetra pravougaonika

Nastavni plan i program za 3. razred uključuje proučavanje poligona i njihovih karakteristika. Da bismo razumjeli kako pronaći perimetar pravokutnika i površine, hajde da shvatimo šta se podrazumijeva pod ovim konceptima.

Osnovni koncepti

Pronalaženje perimetra i površine zahtijeva poznavanje nekih pojmova. To uključuje:

1. Pravi ugao. Formira se od 2 zraka koje imaju zajedničko porijeklo u obliku tačke. Prilikom učenja o oblicima (3. razred), pravi ugao se određuje pomoću kvadrata.
2. Pravougaonik. Ovo je četverougao čiji su uglovi u redu. Njegove strane se nazivaju dužina i širina. Kao što znate, suprotne strane ove figure su jednake.
3. Square. Je četverougao sa svim stranama jednakim.

Kada se upoznate sa poligonima, njihovi vrhovi se mogu nazvati ABCD. U matematici je uobičajeno da se tačke na crtežima nazivaju slovima latinične abecede. Ime poligona navodi sve vrhove bez praznina, na primjer trokut ABC.

Proračun perimetra

Opseg poligona je zbir dužina svih njegovih stranica. Ova vrijednost je označena latiničnim slovom P. Nivo znanja za predložene primjere je 3. razred.

Problem #1: „Nacrtaj pravougaonik širine 3 cm i dužine 4 cm sa vrhovima ABCD. Pronađite obim pravougaonika ABCD."

Formula će izgledati ovako: P=AB+BC+CD+AD ili P=AB×2+BC×2.

Odgovor: P=3+4+3+4=14 (cm) ili P=3×2 + 4×2=14 (cm).

Zadatak br. 2: "Kako pronaći obim pravouglog trougla ABC ako su stranice 5, 4 i 3 cm?"

Odgovor: P=5+4+3=12 (cm).

Zadatak br. 3: “Nađi obim pravougaonika čija je jedna strana 7 cm, a druga 2 cm duža.”

Odgovor: P=7+9+7+9=32 (cm).

Zadatak br. 4: „Takmičenje u plivanju se odvijalo u bazenu čiji je obim 120 m. Koliko je metara takmičar preplivao ako je bazen širok 10 m?“

U ovom problemu pitanje je kako pronaći dužinu bazena. Za rješavanje pronađite dužine stranica pravougaonika. Širina je poznata. Zbir dužina dvije nepoznate strane trebao bi biti 100 m. 120-10×2=100. Da biste saznali udaljenost koju je plivač prešao, potrebno je rezultat podijeliti sa 2. 100:2=50.

Odgovor: 50 (m).

Obračun površine

Složenija veličina je površina figure. Za mjerenje se koriste mjerenja. Standard među mjerama su kvadrati.

Površina kvadrata sa stranicom od 1 cm je 1 cm². Kvadratni decimetar se označava kao dm², a kvadratni metar se označava kao m².

Područja primjene mjernih jedinica mogu biti:

1. Mali predmeti se mjere u cm², kao što su fotografije, korice udžbenika i listovi papira.
2. U dm² možete izmjeriti geografsku kartu, prozorsko staklo, sliku.
3. Za mjerenje sprata, stana ili parcele koristi se m².

Ako nacrtate pravougaonik dužine 3 cm i širine 1 cm i podijelite ga na kvadrate sa stranom od 1 cm, tada će stati 3 kvadrata, što znači da će njegova površina biti 3 cm². Ako je pravougaonik podijeljen na kvadrate, bez poteškoća možemo pronaći i obim pravokutnika. U ovom slučaju to je 8 cm.

Drugi način za brojanje kvadrata koji se uklapaju u oblik je korištenje palete. Nacrtajmo kvadrat na paus papiru površine 1 dm², što je 100 cm². Stavite paus papir na figuru i izbrojite broj kvadratnih centimetara u jednom redu. Nakon toga saznajemo broj redova, a zatim množimo vrijednosti. To znači da je površina pravokutnika proizvod njegove dužine i širine.

Načini za poređenje područja:

1. Otprilike. Ponekad je dovoljno samo pogledati predmete, jer je u nekim slučajevima golim okom jasno da jedna figura zauzima više prostora, kao što je udžbenik koji leži na stolu pored pernice.
2. Overlay. Ako se oblici poklapaju kada se superponiraju, njihove su površine jednake. Ako se jedan od njih u potpunosti uklapa u drugi, tada je njegova površina manja. Prostori koje zauzimaju list sveske i stranica iz udžbenika mogu se uporediti tako što se oni preklapaju jedan preko drugog.
3. Po broju mjerenja. Kada se preklapaju, brojke se možda ne podudaraju, ali imaju istu površinu. U ovom slučaju, možete usporediti brojeći broj kvadrata na koje je lik podijeljen.
4. Brojevi. Numeričke vrijednosti izmjerene istim standardom uspoređuju se, na primjer, u m².

Primjer br. 1: „Švalja je sašila ćebe za bebu od četvrtastih raznobojnih komadića. Jedan komad dužine 1 dm, 5 komada u nizu. Koliko će decimetara trake trebati krojačica da obradi rubove ćebeta ako je površina 50 dm²?”

Da biste riješili problem, morate odgovoriti na pitanje kako pronaći dužinu pravokutnika. Zatim pronađite obim pravokutnika sastavljenog od kvadrata. Iz zadatka je jasno da je širina pokrivača 5 dm, a dužinu izračunamo tako što podijelimo 50 sa 5 i dobijemo 10 dm. Sada pronađite obim pravougaonika sa stranicama 5 i 10. P=5+5+10+10=30.

Odgovor: 30 (m).

Primjer br. 2: „Tokom iskopavanja otkriveno je područje gdje se mogu nalaziti antička blaga. Koliko će teritorije morati da istraže naučnici ako je obim 18 m, a širina pravougaonika 3 m?

Odredimo dužinu sekcije izvodeći 2 koraka. 18-3×2=12. 12:2=6. Potrebna teritorija će takođe biti jednaka 18 m² (6×3=18).

Odgovor: 18 (m²).

Dakle, poznavanje formula, izračunavanje površine i perimetra neće biti teško, a gornji primjeri će vam pomoći da vježbate rješavanje matematičkih problema.

Jedan od osnovnih pojmova matematike je obim pravougaonika. Postoji mnogo problema na ovu temu, čije se rješenje ne može učiniti bez formule perimetra i vještina za njeno izračunavanje.

Osnovni koncepti

Pravougaonik je četverougao u kojem su svi uglovi pravi, a suprotne stranice jednake i paralelne u parovima. U našem životu mnoge figure imaju oblik pravokutnika, na primjer, površina stola, bilježnice itd.

Pogledajmo primjer: Duž granica zemljišne parcele mora se postaviti ograda. Da biste saznali dužinu svake strane, morate ih izmjeriti.

Rice. 1. Zemljište u obliku pravougaonika.

Zemljište ima stranice dužine 2 m, 4 m, 2 m, 4 m. Dakle, da biste saznali ukupnu dužinu ograde, potrebno je sabrati dužine svih strana:

2+2+4+4= 2·2+4·2 =(2+4)·2 =12 m.

To je ta veličina koja se općenito naziva perimetrom. Dakle, da biste pronašli perimetar, morate sabrati sve strane figure. Slovo P se koristi za označavanje perimetra.

Da biste izračunali obim pravokutne figure, ne morate je dijeliti na pravokutnike, samo trebate izmjeriti sve strane ove figure ravnalom (trakom) i pronaći njihov zbir.

Opseg pravokutnika se mjeri u mm, cm, m, km itd. Ako je potrebno, podaci u zadatku se pretvaraju u isti sistem mjerenja.

Opseg pravokutnika se mjeri u različitim jedinicama: mm, cm, m, km itd. Ako je potrebno, podaci u zadatku se pretvaraju u jedan mjerni sistem.

Formula za obim figure

Ako uzmemo u obzir činjenicu da su suprotne strane pravokutnika jednake, onda možemo izvesti formulu za obim pravokutnika:

$P = (a+b) * 2$, gdje su a, b stranice figure.

Rice. 2. Pravougaonik, sa označenim suprotnim stranama.

Postoji još jedan način za pronalaženje perimetra. Ako je zadatku data samo jedna strana i površina figure, možete koristiti da izrazite drugu stranu u smislu površine. Tada će formula izgledati ovako:

$P = ((2S + 2a2)\over(a))$, gdje je S površina pravokutnika.

Rice. 3. Pravougaonik sa stranicama a, b.

Vježbajte : Izračunajte obim pravougaonika ako su njegove stranice 4 cm i 6 cm.

Rješenje:

Koristimo formulu $P = (a+b)*2$

$P = (4+6)*2=20 cm$

Dakle, obim figure je $P = 20 cm$.

Pošto je obod zbir svih strana figure, poluperimetar je zbir samo jedne dužine i širine. Da biste dobili obim, morate pomnožiti poluperimetar sa 2.

Površina i perimetar su dva osnovna koncepta za mjerenje bilo koje figure. Ne treba ih brkati, iako su povezani. Ako povećate ili smanjite područje, tada će se, u skladu s tim, njegov perimetar povećati ili smanjiti.

Šta smo naučili?

Naučili smo kako pronaći obim pravokutnika. Upoznali smo se i sa formulom za njeno izračunavanje. Ova tema se može susresti ne samo pri rješavanju matematičkih problema, već iu stvarnom životu.

Testirajte na temu

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.5. Ukupno primljenih ocjena: 363.

Lekcija i prezentacija na temu: "Obim i površina pravougaonika"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici Integral za 3. razred
Trener za 3. razred "Pravila i vježbe iz matematike"
Elektronski udžbenik za 3. razred "Matematika za 10 minuta"

Šta su pravougaonik i kvadrat

Pravougaonik je četverougao sa svim pravim uglovima. To znači da su suprotne strane jednake jedna drugoj.

Square je pravougaonik sa jednakim stranicama i jednakim uglovima. Zove se pravilan četvorougao.

Četverouglovi, uključujući pravokutnike i kvadrate, označeni su sa 4 slova - vrhovima. Za označavanje vrhova koriste se latinična slova: A B C D...

Primjer.

Ona glasi ovako: četvorougao ABCD; kvadratni EFGH.

Koliki je obim pravougaonika? Formula za izračunavanje perimetra

Perimetar pravougaonika je zbir dužina svih strana pravougaonika ili zbir dužine i širine pomnožen sa 2.

Perimetar je označen latiničnim slovom P. Budući da je obim dužina svih stranica pravougaonika, opseg se piše u jedinicama dužine: mm, cm, m, dm, km.

Na primjer, obim pravokutnika ABCD je označen kao P ABCD, gdje su A, B, C, D vrhovi pravougaonika.

Zapišimo formulu za obim četverokuta ABCD:

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

Primjer.
Dat je pravougaonik ABCD sa stranicama: AB=CD=5 cm i AD=BC=3 cm.
Definirajmo P ABCD.

Rješenje:
1. Nacrtajmo pravougaonik ABCD sa originalnim podacima.
2. Napišimo formulu za izračunavanje perimetra datog pravokutnika:

P ABCD = 2 * (AB + BC)

P ABCD = 2 * (5 cm + 3 cm) = 2 * 8 cm = 16 cm

Odgovor: P ABCD = 16 cm.

Formula za izračunavanje perimetra kvadrata

Imamo formulu za određivanje perimetra pravokutnika.

P ABCD = 2 * (AB + BC)

Koristimo ga da odredimo obim kvadrata. Uzimajući u obzir da su sve strane kvadrata jednake, dobijamo:

P ABCD = 4 * AB

Primjer.
Dat je kvadrat ABCD sa stranicom jednakom 6 cm Odredimo obim kvadrata.

Rješenje.
1. Nacrtajmo kvadrat ABCD sa originalnim podacima.

2. Prisjetimo se formule za izračunavanje perimetra kvadrata:

P ABCD = 4 * AB

3. Zamijenimo naše podatke u formulu:

P ABCD = 4 * 6 cm = 24 cm

Odgovor: P ABCD = 24 cm.

Problemi za pronalaženje perimetra pravougaonika

1. Izmjerite širinu i dužinu pravougaonika. Odredite njihov perimetar.

2. Nacrtaj pravougaonik ABCD sa stranicama 4 cm i 6 cm Odredi obim pravougaonika.

3. Nacrtajte kvadrat SEOM sa stranicom od 5 cm Odredite obim kvadrata.

Gdje se koristi izračun opsega pravokutnika?

1. Ustupljena je parcela, potrebno je ograditi ogradom. Koliko dugo će biti ograda?

U ovom zadatku potrebno je precizno izračunati perimetar stranice kako ne biste kupili višak materijala za izgradnju ograde.

2. Roditelji su odlučili da renoviraju dječiju sobu. Morate znati obim sobe i njenu površinu kako biste pravilno izračunali količinu tapeta.
Odredite dužinu i širinu sobe u kojoj živite. Odredite obim svoje sobe.

Kolika je površina pravougaonika?

Square je numerička karakteristika figure. Površina se mjeri u kvadratnim jedinicama za dužinu: cm 2, m 2, dm 2 itd. (centimetar na kvadrat, metar na kvadrat, decimetar na kvadrat, itd.)
U proračunima se označava latiničnim slovom S.

Da biste odredili površinu pravokutnika, pomnožite dužinu pravokutnika njegovom širinom.
Površina pravougaonika se izračunava množenjem dužine AC sa širinom CM. Hajde da to zapišemo kao formulu.

S AKMO = AK * KM

Primjer.
Kolika je površina pravougaonika AKMO ako su njegove stranice 7 cm i 2 cm?

S AKMO = AK * KM = 7 cm * 2 cm = 14 cm 2.

Odgovor: 14 cm 2.

Formula za izračunavanje površine kvadrata

Površina kvadrata se može odrediti množenjem stranice po sebi.

Primjer.
U ovom primjeru, površina kvadrata se izračunava množenjem stranice AB sa širinom BC, ali pošto su jednake, rezultat je množenje stranice AB sa AB.

S ABCO = AB * BC = AB * AB

Primjer.
Odredite površinu kvadrata AKMO sa stranicom od 8 cm.

S AKMO = AK * KM = 8 cm * 8 cm = 64 cm 2

Odgovor: 64 cm 2.

Problemi za pronalaženje površine pravokutnika i kvadrata

1. Dat je pravougaonik sa stranicama 20 mm i 60 mm. Izračunajte njegovu površinu. Odgovor napišite u kvadratnim centimetrima.

2. Kupljena je parcela za dachu dimenzija 20 m x 30 m. Odredite površinu vile i napišite odgovor u kvadratnim centimetrima.

Perimetar je zbir dužina svih strana poligona.

• Za izračunavanje perimetra geometrijskih figura koriste se posebne formule, gdje je perimetar označen slovom "P". Preporučuje se da naziv figure napišete malim slovima ispod znaka „P“ kako biste znali čiji obim nalazite.
• Obim se mjeri u jedinicama dužine: mm, cm, m, km itd.

Prepoznatljive karakteristike pravougaonika

• Pravougaonik je četvorougao.
• Sve paralelne stranice su jednake
• Svi uglovi = 90º.
• Na primjer, u svakodnevnom životu, pravougaonik se može naći u obliku knjige, monitora, poklopca stola ili vrata.

Kako izračunati obim pravougaonika

Postoje 2 načina da ga pronađete:

• 1 način. Zbrojite sve strane. P = a + a + b + b
• Metoda 2. Dodajte širinu i dužinu i pomnožite sa 2. P = (a + b) 2. ILI P = 2 a + 2 b. Stranice pravougaonika koje leže jedna naspram druge (nasuprot) nazivaju se dužina i širina.

"a"- dužina pravougaonika, duži par njegovih stranica.

"b"- širina pravougaonika, kraći par njegovih stranica.

Primjer problema za izračunavanje perimetra pravokutnika:

Izračunaj obim pravougaonika, njegova širina je 3 cm, a dužina 6.

Zapamtite formule za izračunavanje perimetra pravokutnika!

Poluperimetar je zbir jedne dužine i jedne širine .

• Poluperimetar pravougaonika - kada izvršite prvu radnju u zagradama - (a+b).
• Da biste dobili obim od poluperimetra, morate ga povećati za 2 puta, tj. pomnoži sa 2.

Kako pronaći površinu pravougaonika

Formula površine pravokutnika S= a*b

Ako su dužina jedne stranice i dužina dijagonale poznate u uvjetu, tada se površina može pronaći pomoću Pitagorine teoreme u takvim problemima; ona vam omogućava da pronađete dužinu stranice pravokutnog trokuta ako su dužine druge dvije strane su poznate.

• : a 2 + b 2 = c 2, gdje su a i b stranice trokuta, a c je hipotenuza, najduža stranica.

Zapamtite!

1. Svi kvadrati su pravokutnici, ali nisu svi pravokutnici kvadrati. jer:
   • Pravougaonik je četverougao sa svim pravim uglovima.
   • Square- pravougaonik sa svim stranama jednakim.
2. Ako pronađete površinu, odgovor će uvijek biti u kvadratnim jedinicama (mm 2, cm 2, m 2, km 2, itd.)

Prilikom rješavanja potrebno je uzeti u obzir da rješavanje problema pronalaženja površine pravokutnika samo iz dužine njegovih stranica zabranjeno je.

Ovo je lako provjeriti. Neka je obim pravougaonika 20 cm. To će biti tačno ako su njegove stranice 1 i 9, 2 i 8, 3 i 7 cm. Sva ova tri pravougaonika će imati isti obim, jednak dvadeset centimetara. (1 + 9) * 2 = 20 je potpuno isto kao (2 + 8) * 2 = 20 cm.
Kao što vidite, možemo odabrati beskrajan broj opcija dimenzije stranica pravokutnika, čiji će obim biti jednak navedenoj vrijednosti.

Područje pravokutnika s danim perimetrom od 20 cm, ali s različitim stranama, bit će različito. Za dati primjer - 9, 16 i 21 kvadratni centimetar, respektivno.
S 1 = 1 * 9 = 9 cm 2
S 2 = 2 * 8 = 16 cm 2
S 3 = 3 * 7 = 21 cm 2
Kao što vidite, postoji beskonačan broj opcija za površinu figure za dati perimetar.

Napomena za radoznale. U slučaju pravougaonika sa datim perimetrom, maksimalna površina će biti kvadrat.

Dakle, da biste izračunali površinu pravokutnika iz njegovog perimetra, morate znati ili omjer njegovih strana ili dužinu jedne od njih. Jedina figura koja ima nedvosmislenu ovisnost svoje površine o svom perimetru je krug. Samo za krug i moguće rješenje.

U ovoj lekciji:

• Problem 4. Promjena dužine stranica uz zadržavanje površine pravokutnika

Zadatak 1. Nađite stranice pravougaonika iz površine

Obim pravougaonika je 32 centimetra, a zbir površina kvadrata izgrađenih na svakoj od njegovih strana je 260 kvadratnih centimetara. Pronađite stranice pravougaonika.
Rješenje.

2(x+y)=32
Prema uslovima zadatka, zbir površina kvadrata konstruisanih na svakoj od njegovih strana (četiri kvadrata, respektivno) biće jednak
2x 2 +2y 2 =260
x+y=16
x=16-y
2(16-y) 2 +2y 2 =260
2(256-32y+y 2)+2y 2 =260
512-64g+4g 2 -260=0
4g 2 -64g+252=0
D=4096-16x252=64
x 1 =9
x 2 =7
Sada uzmimo u obzir to na osnovu činjenice da je x+y=16 (vidi gore) na x=9, zatim y=7 i obrnuto, ako je x=7, onda je y=9
Odgovori: Stranice pravougaonika su 7 i 9 centimetara

Zadatak 2. Pronađite stranice pravougaonika iz perimetra

Obim pravougaonika je 26 cm, a zbir površina kvadrata izgrađenih na njegove dve susedne strane je 89 kvadratnih metara. cm Nađite stranice pravougaonika.
Rješenje.
Označimo stranice pravougaonika sa x i y.
Tada je obim pravougaonika:
2(x+y)=26
Zbir površina kvadrata izgrađenih na svakoj od njegovih strana (postoje dva kvadrata, odnosno, a to su kvadrati širine i visine, budući da su stranice susjedne) bit će jednak
x 2 +y 2 =89
Rješavamo rezultirajući sistem jednačina. Iz prve jednačine to zaključujemo
x+y=13
y=13-y
Sada vršimo zamjenu u drugoj jednačini, zamjenjujući x njegovim ekvivalentom.
(13-y) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2g 2 -26y+80=0
Rješavamo rezultirajuću kvadratnu jednačinu.
D=676-640=36
x 1 =5
x 2 =8
Sada uzmimo u obzir to na osnovu činjenice da je x+y=13 (vidi gore) na x=5, zatim y=8 i obrnuto, ako je x=8, onda je y=5
Odgovor: 5 i 8 cm

Zadatak 3. Nađite površinu pravokutnika iz proporcija njegovih stranica

Nađite površinu pravokutnika ako je njegov obim 26 cm, a stranice proporcionalne 2 prema 3.

Rješenje.
Označimo stranice pravougaonika koeficijentom proporcionalnosti x.
Dakle, dužina jedne strane će biti jednaka 2x, a druge - 3x.

onda:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Sada, na osnovu dobijenih podataka, određujemo površinu pravokutnika:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm 2

Problem 4. Promjena dužine stranica uz zadržavanje površine pravokutnika

Dužina pravougaonika je povećana za 25%. Za koji postotak treba smanjiti širinu da se njena površina ne promijeni?

Rješenje.
Površina pravougaonika je
S = ab

U našem slučaju jedan od faktora je povećan za 25%, što znači a 2 = 1,25a. Dakle, nova površina pravougaonika treba da bude jednaka
S2 = 1,25ab

Dakle, da bi se površina pravokutnika vratila na početnu vrijednost, onda
S2 = S/1,25
S2 = 1,25ab / 1,25

Pošto se nova veličina a ne može mijenjati, onda
S 2 = (1.25a) b / 1.25

1 / 1,25 = 0,8
Dakle, vrijednost druge strane mora biti smanjena za (1 - 0,8) * 100% = 20%

Odgovori: širinu treba smanjiti za 20%.