Kolika je frekvencija harmonijskih oscilacija. Jednačina harmonijskih vibracija. Transformacije energije tokom harmonijskih oscilacija
Osnove Maxwellove teorije za elektromagnetno polje
Vrtložno električno polje
Iz Faradejevog zakona ξ=dF/dt sledi to bilo koji promjena fluksa magnetske indukcije povezanog s krugom dovodi do pojave elektromotorne sile indukcije i, kao rezultat, pojavljuje se indukcijska struja. Posljedično, pojava emf. elektromagnetna indukcija je moguća i u stacionarnom kolu smještenom u naizmjeničnom magnetskom polju. Međutim, e.m.f. u bilo kom kolu se javlja samo kada spoljne sile deluju na nosioce struje u njemu - sile neelektrostatičkog porekla (videti § 97). Stoga se postavlja pitanje o prirodi vanjskih sila u ovom slučaju.
Iskustvo pokazuje da ove strane sile nisu povezane ni sa termičkim ni sa hemijskim procesima u kolu; njihov se nastanak također ne može objasniti Lorentzovim silama, jer one ne djeluju na stacionarna naboja. Maxwell je pretpostavio da svako naizmjenično magnetsko polje pobuđuje električno polje u okolnom prostoru, što
i uzrok je pojave inducirane struje u kolu. Prema Maxwellovim zamislima, kolo u kojem se pojavljuje emf igra sporednu ulogu, jer je samo neka vrsta “uređaja” koji detektuje ovo polje.
prva jednačina Maxwell tvrdi da promjene u električnom polju stvaraju vrtložno magnetsko polje.
Druga jednadžba Maxwell izražava Faradejev zakon elektromagnetne indukcije: emf u bilo kojoj zatvorenoj petlji jednaka je brzini promjene (tj. vremenskoj derivaciji) magnetnog fluksa. Ali EMF je jednaka tangencijalnoj komponenti vektora jakosti električnog polja E, pomnoženoj sa dužinom kola. Za prelazak na rotor, kao u prvoj Maxwellovoj jednadžbi, dovoljno je podijeliti emf s površinom konture i usmjeriti potonju na nulu, tj. uzeti malu konturu koja pokriva tačku u prostoru koji se razmatra (sl. 9, c). Tada na desnoj strani jednadžbe više neće biti fluksa, već magnetske indukcije, budući da je fluks jednak indukciji pomnoženoj s površinom kruga.
Dakle, dobijamo: rotE = - dB/dt.
Dakle, vrtložno električno polje nastaje promjenama u magnetskom polju, što je prikazano na sl. 9,c i predstavljen je upravo datom formulom.
Treća i četvrta jednačina Maxwell se bavi naelektrisanjem i poljima koja oni stvaraju. Oni su zasnovani na Gaussovoj teoremi, koja kaže da je fluks vektora električne indukcije kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak naboju unutar te površine.
Čitava nauka se zasniva na Maxwellovim jednadžbama - elektrodinamici, koja dozvoljava stroge matematičke metode riješiti mnoge korisne praktični problemi. Moguće je izračunati, na primjer, polje zračenja različitih antena kako u slobodnom prostoru tako i blizu površine Zemlje ili blizu tijela bilo kojeg aviona, na primjer, avion ili raketa. Elektrodinamika omogućava proračun dizajna valovoda i rezonatora šupljina - uređaja koji se koriste na vrlo visokim frekvencijama u centimetarskom i milimetarskom opsegu valova, gdje konvencionalni prijenosni vodovi i oscilatorni krugovi više nisu prikladni. Bez elektrodinamike, razvoj radara, svemirskih radio komunikacija, antenske tehnologije i mnogih drugih oblasti moderne radiotehnike bio bi nemoguć.
Bias current
STRUJA POMAKA, vrijednost proporcionalna brzini promjene naizmjeničnog električnog polja u dielektriku ili vakuumu. Naziv "struja" je zbog činjenice da struja pomaka, kao i struja provodljivosti, stvara magnetsko polje.
Prilikom konstruiranja teorije elektromagnetnog polja, J. C. Maxwell je iznio hipotezu (kasnije potvrđenu eksperimentalno) da magnetsko polje nastaje ne samo kretanjem naboja (struja provodljivosti, ili jednostavno struja), već i bilo kojom promjenom vremena električno polje.
Koncept struje pomaka uveo je Maxwell kako bi uspostavio kvantitativne odnose između promjena električno polje i magnetsko polje koje izaziva.
Prema Maxwellovoj teoriji, u krugu naizmjenične struje koji sadrži kondenzator, naizmjenično električno polje u kondenzatoru u svakom trenutku vremena stvara isto magnetsko polje koje bi stvorila struja (nazvana struja pomaka) da teče između ploča kondenzator. Iz ove definicije proizilazi da J cm = J(tj. numeričke vrijednosti gustoće struje provodljivosti i gustoće struje pomaka su jednake), pa se, stoga, linije gustoće struje provodljivosti unutar vodiča kontinuirano pretvaraju u linije gustoće struje pomaka između ploča kondenzatora. Gustoća struje prednapona j cm karakterizira brzinu promjene električne indukcije D na vrijeme:
J cm = + ?D/?t.
Struja pomaka ne proizvodi Jouleovu toplinu, već je glavna fizička svojina- sposobnost stvaranja magnetnog polja u okolnom prostoru.
Vrtložno magnetsko polje stvara ukupna struja čija je gustina j, jednak je zbiru gustine struje provodljivosti i struje pomaka?D/?t. Zato je za količinu ?D/?t uveden naziv struja.
Harmonski oscilator je sistem koji oscilira, opisan izrazom oblika d 2 s/dt 2 + ω 0 2 s = 0 ili
gdje dvije tačke iznad označavaju dvostruku diferencijaciju u vremenu. Oscilacije harmonijskog oscilatora su važan primjer periodičnog kretanja i služe kao tačan ili približan model u mnogim problemima klasične i kvantna fizika. Primjeri harmonijskog oscilatora uključuju opružna klatna, fizička i matematička klatna i oscilatorno kolo (za struje i napone tako male da se elementi kola mogu smatrati linearnim).
Zajedno sa progresivnim i rotacionim pokretima U mehanici tijela, oscilatorna kretanja su također od značajnog interesa. Mehaničke vibracije se nazivaju kretanja tijela koja se ponavljaju tačno (ili približno) u jednakim vremenskim intervalima. Zakon kretanja tijela koje oscilira specificira se pomoću određene periodične funkcije vremena x = f (t). Grafički prikaz ove funkcije daje vizuelni prikaz toka oscilatornog procesa tokom vremena.
Primjeri jednostavnih oscilatornih sistema su opterećenje na oprugu ili matematičko klatno (slika 2.1.1).
Mehaničke vibracije, poput oscilatornih procesa bilo koje druge fizičke prirode, mogu biti besplatno I prisiljen. Besplatne vibracije su izvršeni pod uticajem unutrašnje sile sistema nakon što je sistem izvučen iz ravnoteže. Oscilacije utega na oprugi ili oscilacije klatna su slobodne oscilacije. Vibracije koje nastaju pod uticajem vanjski nazivaju se sile koje se periodično mijenjaju prisiljen Najjednostavniji tip oscilatornog procesa je jednostavan harmonijske vibracije , koji su opisani jednadžbom
Frekvencija oscilovanja f pokazuje koliko se oscilacija dešava u 1 s. Jedinica frekvencije – herca(Hz). Frekvencija oscilovanja f vezano za cikličnu frekvenciju ω i period oscilovanja T omjeri:
daje zavisnost fluktuirajuće veličine S od vremena t; ovo je jednadžba slobodnih harmonijskih oscilacija u eksplicitnom obliku. Međutim, jednačina vibracija se obično shvata kao drugačiji prikaz ove jednačine, u diferencijalnom obliku. Radi određenosti, uzmimo jednačinu (1) u obliku
Hajde da ga razlikujemo dvaput s obzirom na vrijeme:
Može se vidjeti da vrijedi sljedeći odnos:
koja se zove jednadžba slobodnih harmonijskih oscilacija (u diferencijalnom obliku). Jednačina (1) je rješenje diferencijalne jednadžbe (2). Budući da je jednadžba (2) diferencijalna jednadžba drugog reda, potrebna su dva početna uvjeta da bi se dobilo potpuno rješenje (odnosno, odredite konstante uključene u jednačinu (1) A i j 0); na primjer, položaj i brzina oscilatornog sistema pri t = 0.
Sabiranje harmonijskih vibracija istog smjera i iste frekvencije. Beats
Neka postoje dvije harmonijske oscilacije istog smjera i iste frekvencije
Jednačina za rezultirajuću oscilaciju će imati oblik
Potvrdimo ovo dodavanjem jednadžbi sistema (4.1)
Primjena teoreme kosinusne sume i izvođenje algebarskih transformacija:
Moguće je pronaći vrijednosti A i φ0 tako da su jednačine zadovoljene
Uzimajući u obzir (4.3) kao dvije jednadžbe s dvije nepoznate A i φ0, nalazimo tako što ih kvadriramo i saberemo, a zatim podijelimo drugu s prvom:
Zamjenom (4.3) u (4.2) dobijamo:
Ili konačno, koristeći teoremu kosinusne sume, imamo:
Tijelo, koje učestvuje u dvije harmonijske oscilacije istog smjera i iste frekvencije, također vrši harmonijsku oscilaciju u istom smjeru i sa istom frekvencijom kao i dodane oscilacije. Amplituda rezultujuće oscilacije zavisi od fazne razlike (φ2-φ1) uglađenih oscilacija.
Ovisno o razlici faza (φ2-φ1):
1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), tada je A= A1+A2, tj. amplituda rezultujuće oscilacije A jednaka je zbiru amplituda dodatih oscilacija;
2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, ...), tada je A= |A1-A2|, tj. amplituda rezultujuće oscilacije jednaka je razlici u amplitudama dodatih oscilacija
Periodične promjene amplitude vibracija koje nastaju kada se dodaju dvije harmonijske vibracije sličnih frekvencija nazivaju se otkucaji.
Neka se te dvije oscilacije malo razlikuju po frekvenciji. Tada su amplitude dodatih oscilacija jednake A, a frekvencije jednake ω i ω+Δω, a Δω je mnogo manji od ω. Polaznu tačku biramo tako da početne faze obe oscilacije budu jednake nuli:
Hajde da rešimo sistem
Sistemsko rješenje:
Rezultirajuća oscilacija se može smatrati harmoničnom sa frekvencijom ω, amplitude A, koja varira na sljedeći način periodični zakon:
Učestalost promjene A je dvostruko veća od učestalosti promjene kosinusa. Frekvencija otkucaja jednaka je razlici u frekvencijama dodatih oscilacija: ωb = Δω
Period otkucaja:
Određivanje frekvencije tona (zvuk određene visine takta pomoću referentne i izmjerene vibracije je najčešće korištena metoda za poređenje izmjerene vrijednosti sa referentnom vrijednošću. Metoda otkucaja se koristi za podešavanje muzičkih instrumenata, analizu sluha itd. .
Povezane informacije.
2. Moment inercije i njegov proračun
Prema definiciji, moment inercije tijela u odnosu na osu jednak je zbiru proizvoda masa čestica kvadratima njihovih udaljenosti do ose rotacije ili
Međutim, ova formula nije prikladna za izračunavanje momenta inercije; budući da se masa čvrstog tijela kontinuirano distribuira, zbir treba zamijeniti integralom. Stoga, da bi se izračunao moment inercije, tijelo se dijeli na beskonačno male zapremine dV sa masom dm=dV. Onda
gdje je R udaljenost elementa dV od ose rotacije.
Ako je poznat moment inercije I C oko ose koja prolazi kroz centar mase, onda se lako može izračunati moment inercije oko bilo koje paralelne ose O koja prolazi na udaljenosti d od centra mase ili
I O = I C + md 2,
Ovaj omjer se zove Steinerova teorema: moment inercije tijela oko proizvoljne ose jednak zbiru moment inercije u odnosu na osu paralelnu s njom i koja prolazi kroz centar mase i umnožak mase tijela na kvadrat udaljenosti između osa.
3. Kinetička energija rotacije
Kinetička energija krutog tijela koje rotira oko fiksne ose
Diferencirajući formulu s obzirom na vrijeme, dobijamo zakon promjene kinetičke energije krutog tijela koje rotira oko fiksne ose:
–
brzina promjene kinetičke energije rotacionog kretanja jednaka je snazi momenta sile.
dK rotacija =M Z Z dt=M Z d K K 2 -K 1 =
one. promjena kinetičke energije rotacije jednaka je radu koji obavlja obrtni moment.
4. Ravno kretanje
Kretanje krutog tijela u kojem se centar mase kreće u fiksnoj ravni, a osa njegove rotacije koja prolazi kroz centar mase ostaje okomita na ovu ravan naziva se ravno kretanje. Ovo kretanje se može svesti na kombinaciju translacionog kretanja i rotacije okolo fiksna (fiksna) os, budući da u C-sistemu osa rotacije zapravo ostaje nepokretna. Stoga je kretanje u ravnini opisano pojednostavljenim sistemom od dvije jednačine kretanja:
Kinetička energija tijela koje se kreće u ravnini bit će:
i na kraju
,
od u u ovom slučaju i " - brzina rotacije i-te tačke oko fiksne ose.
Oscilacije
1. Harmonski oscilator
Oscilacije U principu, pokreti koji se ponavljaju tokom vremena nazivaju se.
Ako ova ponavljanja slijede u pravilnim intervalima, tj. x(t+T)=x(t), tada se oscilacije pozivaju periodično. Sistem koji pravi
vibracije se nazivaju oscilator. Oscilacije koje sistem, prepušten sam sebi, pravi nazivaju se prirodnim, a frekvencija oscilacija u ovom slučaju je prirodna frekvencija.
Harmonične vibracije vibracije koje se javljaju prema zakonu sin ili cos se nazivaju. Na primjer,
x(t)=A cos(t+ 0),
gdje je x(t) pomak čestice iz ravnotežnog položaja, A je maksimum
offset ili amplituda, t+ 0 -- faza oscilacije, 0 -- početna faza (pri t=0), 
-- ciklička frekvencija, je jednostavno frekvencija oscilovanja.
Sistem koji vrši harmonijske oscilacije naziva se harmonijski oscilator. Važno je da su amplituda i frekvencija harmonijskih oscilacija konstantne i nezavisne jedna od druge.
Uslovi za pojavu harmonijskih oscilacija: na česticu (ili sistem čestica) mora djelovati sila ili moment sile proporcionalan pomaku čestice iz ravnotežnog položaja i
pokušava da ga vrati u položaj ravnoteže. Takva sila (ili moment sile)
pozvao kvazielastična; ima oblik , gdje se k naziva kvazi krutost.
Konkretno, to može biti jednostavno elastična sila koja vibrira opružno klatno koje oscilira duž x ose. Jednačina gibanja takvog klatna ima oblik:
ili 
,
gdje se uvodi oznaka.
Direktnom zamjenom to je lako provjeriti rješavanjem jednačine
je funkcija
x=A cos( 0 t+ 0),
gdje je A i 0 -- konstante, da odredite koje trebate navesti dva početni uslovi: pozicija x(0)=x 0 čestice i njena brzina v x (0)=v 0 u početnom (nultom) trenutku vremena.
Ova jednačina je dinamička jednačina bilo koje
harmonijske vibracije sa prirodnom frekvencijom 0. Za težinu
period oscilovanja opružnog klatna
.
2. Fizička i matematička klatna
Fizičko klatno- je svako fizičko tijelo koje izvodi
oscilacije oko ose koja ne prolazi kroz centar mase u polju gravitacije.
Da bi prirodne oscilacije sistema bile harmonijske, potrebno je da amplituda ovih oscilacija bude mala. Inače, isto važi i za oprugu: F kontrola = -kx samo za male deformacije opruge x.
Period oscilovanja određuje se formulom:
.
Imajte na umu da je kvazielastični moment ovdje moment gravitacije
M i = - mgd , proporcionalno ugaonoj devijaciji .
Poseban slučaj fizičkog klatna je matematičko klatno-- tačkasta masa okačena na bestežinski nerastegljivi konac dužine l. Period male fluktuacije matematičko klatno
3. Prigušene harmonijske oscilacije
U stvarnoj situaciji, oscilator se posmatra spolja okruženje disipativne sile uvijek djeluju (viskozno trenje, otpor okoline)
, koji usporavaju kretanje. Jednačina kretanja tada poprima oblik:
.
Označavajući i , dobijamo dinamičku jednačinu prirodnih prigušenih harmonijskih oscilacija:
.
Kao i kod neprigušenih oscilacija, ovo je opći oblik jednačine.
Ako srednji otpor nije previsok
Funkcija 
predstavlja eksponencijalno opadajuću amplitudu oscilacija. Ovo smanjenje amplitude naziva se opuštanje(slabljenje) vibracija, a se zove koeficijent slabljenja oklevanje.
Vrijeme tokom kojeg se amplituda oscilacija smanjuje za e=2,71828 puta,
pozvao vrijeme opuštanja.
Pored koeficijenta slabljenja, uvodi se još jedna karakteristika,
pozvao logaritamski dekrement prigušenja-- to je prirodno
logaritam omjera amplituda (ili pomaka) tokom perioda:
Frekvencija prirodnih prigušenih oscilacija
zavisi ne samo od veličine kvazielastične sile i telesne mase, već i od
otpornost na životnu sredinu.
4. Sabiranje harmonijskih vibracija
Razmotrimo dva slučaja takvog sabiranja.
a) Oscilator učestvuje u dva međusobno okomite fluktuacije.
U ovom slučaju dvije kvazielastične sile djeluju duž osa x i y. Onda
Da bi se pronašla putanja oscilatora, vrijeme t treba isključiti iz ovih jednačina.
Najlakši način da to učinite je ako više frekvencija:
Gdje su n i m cijeli brojevi.
U ovom slučaju, putanja oscilatora će biti neka zatvoreno kriva zove Lissajousova figura.
Primjer: frekvencije oscilacija u x i y su iste ( 1 = 2 =), a razlika u fazama oscilovanja 
(radi jednostavnosti stavljamo 1 =0).
.
Odavde nalazimo: - Lissajousova figura će biti elipsa.
b) Oscilator osciluje jedan smjer.
Neka za sada postoje dvije takve oscilacije; Onda
Gdje 
I 
-- faze oscilovanja.
Vrlo je nezgodno dodavati vibracije analitički, posebno kada jesu
ne dva, već nekoliko; stoga se obično koristi geometrijski metoda vektorskog dijagrama.
5. Prisilne vibracije
Prisilne vibracije nastaju prilikom djelovanja na oscilator
spoljna periodična sila koja se menja po harmonijskom zakonu
sa frekvencijom ekst: 
.
Dinamička jednačina prisilne oscilacije:
Za stabilna oscilacija rješenje jednadžbe je harmonijska funkcija:
gdje je A amplituda prisilnih oscilacija, a fazno kašnjenje
od ubedljive sile.
Amplituda prisilnih oscilacija u stabilnom stanju:
Fazno zaostajanje stabilnih prisilnih oscilacija od eksternih
pokretačka snaga:
.
\hs Dakle: dolazi do prisilnih oscilacija u stabilnom stanju
sa konstantnom, vremenski nezavisnom amplitudom, tj. nemoj nestati
uprkos otporu okoline. To se objašnjava činjenicom da rad
dolazi do vanjske sile
povećanje mehaničke energije oscilatora i potpuno kompenzira
njegovo smanjenje, nastalo zbog djelovanja sile disipativne otpornosti
6. Rezonancija
Kao što se može vidjeti iz formule, amplituda prisilnih oscilacija
I ekst zavisi od frekvencije vanjske pokretačke sile ekst. Graf ove veze se zove rezonantna kriva ili amplitudno-frekvencijski odziv oscilatora.
Jednačina harmonijskih vibracija
Jednačina harmonijskog oscilovanja utvrđuje zavisnost koordinata tela o vremenu
Kosinusni graf u početnom trenutku ima maksimalnu vrijednost, a sinusni graf ima nultu vrijednost u početnom trenutku. Ako oscilaciju počnemo ispitivati iz ravnotežnog položaja, tada će oscilacija ponoviti sinusoidu. Ako oscilaciju počnemo razmatrati s pozicije maksimalnog odstupanja, tada će oscilacija biti opisana kosinusom. Ili se takva oscilacija može opisati sinusnom formulom sa početnom fazom.
Promjena brzine i ubrzanja tokom harmonijskih oscilacija
Ne samo da se koordinate tijela mijenjaju tokom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa. Ali veličine kao što su sila, brzina i ubrzanje također se mijenjaju slično. Sila i ubrzanje su maksimalne kada je oscilirajuće tijelo na krajnjim pozicijama gdje je pomak maksimalan, a nula kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj. Brzina je, naprotiv, u ekstremnim položajima nula, a kada tijelo prođe kroz ravnotežni položaj, ono dostiže svoju maksimalnu vrijednost.
Ako je oscilacija opisana zakonom kosinusa
Ako je oscilacija opisana prema sinusnom zakonu
Maksimalne vrijednosti brzine i ubrzanja
Analizirajući jednadžbe zavisnosti v(t) i a(t), možemo pretpostaviti da brzina i ubrzanje poprimaju maksimalne vrijednosti u slučaju kada je trigonometrijski faktor jednak 1 ili -1. Određeno formulom
Izbor početne faze omogućava nam da pređemo sa sinusne funkcije na kosinusnu funkciju kada opisujemo harmonijske oscilacije:Generalizirana harmonijska oscilacija u diferencijalnom obliku:
Da bi nastale slobodne vibracije po harmonijskom zakonu, potrebno je da sila koja teži da tijelo vrati u ravnotežni položaj bude proporcionalna pomaku tijela iz ravnotežnog položaja i usmjerena u smjeru suprotnom od pomaka:
gdje je masa oscilirajućeg tijela.
Fizički sistem u kojem mogu postojati harmonijske oscilacije naziva se harmonijski oscilator, a jednadžba harmonijskih vibracija je jednadžba harmonijskog oscilatora.
1.2. Dodatak vibracija
Često postoje slučajevi kada sistem istovremeno učestvuje u dve ili više oscilacija nezavisnih jedna od druge. U ovim slučajevima, kompleks oscilatorno kretanje, koji nastaje superponiranjem (dodavanjem) vibracija jedna na drugu. Očigledno, slučajevi sabiranja oscilacija mogu biti vrlo raznoliki. One ne zavise samo od broja dodatih oscilacija, već i od parametara oscilacija, od njihovih frekvencija, faza, amplituda i pravca. Nije moguće sagledati svu moguću raznolikost slučajeva sabiranja oscilacija, pa ćemo se ograničiti na razmatranje samo pojedinačnih primjera.
Sabiranje harmonijskih oscilacija usmjerenih duž jedne prave linije
Razmotrimo sabiranje identično usmjerenih oscilacija istog perioda, ali se razlikuju po početnoj fazi i amplitudi. Jednačine dodanih oscilacija date su u sljedećem obliku:
gdje i su pomaci; i – amplitude; i su početne faze sklopljenih oscilacija.
| Fig.2. |
Amplitudu rezultujuće oscilacije pogodno je odrediti pomoću vektorskog dijagrama (slika 2), na kojem su ucrtani vektori amplituda i sabranih oscilacija pod uglovima i na os, a prema pravilu paralelograma vektor amplituda od dobija se ukupna oscilacija.
Ako jednoliko rotirate sistem vektora (paralelogram) i projicirate vektore na osu , tada će njihove projekcije vršiti harmonijske oscilacije u skladu sa datim jednačinama. Međusobni dogovor vektora, a pritom ostaje nepromijenjena, stoga će oscilatorno kretanje projekcije rezultirajućeg vektora također biti harmonično.
Iz ovoga slijedi da je ukupno kretanje harmonijska oscilacija koja ima datu cikličku frekvenciju. Odredimo amplitudni modul A rezultirajuće oscilacije. U kut (iz jednakosti suprotnih uglova paralelograma).
dakle,
odavde: .
Prema kosinusnoj teoremi,
Početna faza rezultirajuće oscilacije određena je iz:
Relacije za fazu i amplitudu nam omogućavaju da pronađemo amplitudu i početnu fazu rezultujućeg kretanja i sastavimo njegovu jednačinu: .
Beats
Razmotrimo slučaj kada se frekvencije dvije dodane oscilacije malo razlikuju jedna od druge, a amplitude neka budu iste i početne faze, tj.
Dodajmo analitički ove jednadžbe:
Hajde da se transformišemo
| Rice. 3. |
Otkucaji se mogu primetiti kada se oglasi dve viljuške za podešavanje ako su frekvencije i vibracije blizu jedna drugoj.
Sabiranje međusobno okomitih vibracija
Neka materijalna tačka istovremeno učestvuje u dve harmonijske oscilacije koje se javljaju sa jednakim periodima u dva međusobno okomita pravca. Pravougaoni koordinatni sistem se može povezati sa ovim pravcima postavljanjem početka na ravnotežni položaj tačke. Označimo pomicanje tačke C duž i osi, respektivno, kroz i . (Sl. 4).
Razmotrimo nekoliko posebnih slučajeva.
1). Početne faze oscilacija su iste
Odaberimo početnu tačku vremena tako da početne faze obje oscilacije budu jednake nuli. Tada se pomaci duž osi i mogu izraziti jednadžbama:
Dijeleći ove jednakosti član po član, dobijamo jednadžbe za putanju tačke C:
ili .
Posljedično, kao rezultat sabiranja dvije međusobno okomite oscilacije, tačka C oscilira duž pravog segmenta koji prolazi kroz ishodište koordinata (slika 4).
| Rice. 4. |
Jednačine oscilovanja u ovom slučaju imaju oblik:
Jednačina putanje tačke:
Prema tome, tačka C oscilira duž pravolinijskog segmenta koji prolazi kroz ishodište koordinata, ali leži u različitim kvadrantima nego u prvom slučaju. Amplituda A rezultirajuće oscilacije u oba razmatrana slučaja jednake su:
3). Početna fazna razlika je .
Jednačine oscilovanja imaju oblik:
Podijelite prvu jednačinu sa , drugu sa :
Kvadirajmo obje jednakosti i zbrojimo ih. Dobijamo sljedeću jednačinu za putanju rezultujućeg kretanja oscilirajuće točke:
Oscilirajuća tačka C kreće se duž elipse sa poluosama i. Za jednake amplitude, putanja ukupnog kretanja će biti kružnica. U opštem slučaju, za , ali višestruko, tj. , kada se zbrajaju međusobno okomite oscilacije, oscilirajuća tačka se kreće duž krivih zvanih Lissajousove figure.
Lissajous figure
Lissajous figure– zatvorene trajektorije nacrtane tačkom koja istovremeno vrši dvije harmonijske oscilacije u dva međusobno okomita smjera.
Prvi je proučavao francuski naučnik Jules Antoine Lissajous. Izgled figura zavisi od odnosa između perioda (frekvencija), faza i amplituda obe oscilacije(Sl. 5).
| Fig.5. |
U najjednostavnijem slučaju jednakosti oba perioda, figure su elipse, koje se sa faznom razlikom ili degenerišu u prave segmente, a sa faznom razlikom i jednakim amplitudama pretvaraju se u krug. Ako se periodi obje oscilacije ne poklapaju točno, tada se fazna razlika stalno mijenja, zbog čega je elipsa cijelo vrijeme deformirana. U značajno različitim periodima, Lissajousove figure se ne primjećuju. Međutim, ako su periodi povezani kao cijeli brojevi, tada se nakon vremenskog perioda jednakog najmanjem višekratniku oba perioda, pokretna tačka vraća na isti položaj - dobijaju se Lissajousove figure složenijeg oblika.
Lissajousove figure se uklapaju u pravougaonik čiji se centar poklapa sa ishodištem, a stranice su paralelne sa koordinatnim osa i nalaze se na obje njihove strane na udaljenosti jednakim amplitudama oscilacija (slika 6).
Teme Kodifikator jedinstvenog državnog ispita: harmonijske vibracije; amplituda, period, frekvencija, faza oscilacija; slobodne vibracije, prisilne vibracije, rezonancija.
Oscilacije - To su promjene stanja sistema koje se ponavljaju tokom vremena. Koncept oscilacija pokriva veoma širok spektar pojava.
Vibracije mehaničkih sistema, odn mehaničke vibracije- to je mehaničko kretanje tijela ili sistema tijela, koje se ponavlja u vremenu i dešava se u blizini ravnotežnog položaja. Ravnotežna pozicija je stanje sistema u kojem može ostati neograničeno bez iskusenja vanjskih utjecaja.
Na primjer, ako se klatno skrene i pusti, ono će početi oscilirati. Položaj ravnoteže je položaj klatna u odsustvu odstupanja. Klatno, ako se ne ometa, može ostati u ovom položaju koliko god želite. Kako klatno oscilira, ono mnogo puta prolazi kroz svoj ravnotežni položaj.
Odmah nakon otpuštanja otpuštenog klatna ono je počelo da se kreće, prošlo ravnotežni položaj, dostiglo suprotni krajnji položaj, tu se na trenutak zaustavilo, krenulo u suprotnom smeru, ponovo prošlo ravnotežni položaj i vratilo se nazad. Jedno se dogodilo puni zamah. Zatim će se ovaj proces periodično ponavljati.
Amplituda oscilacije tijela je veličina njegovog najvećeg odstupanja od ravnotežnog položaja.
Period oscilacije - ovo je vrijeme jedne potpune oscilacije. Možemo reći da tokom perioda tijelo pređe put od četiri amplitude.
Frekvencija oscilovanja je recipročna vrijednost perioda: . Frekvencija se mjeri u hercima (Hz) i pokazuje koliko se potpunih oscilacija dešava u jednoj sekundi.
Harmonične vibracije.
Pretpostavit ćemo da je položaj oscilirajućeg tijela određen jednom koordinatom. Položaj ravnoteže odgovara vrijednosti . Glavni zadatak mehanike u ovom slučaju je pronaći funkciju koja daje koordinate tijela u bilo kojem trenutku.
Za matematički opis oscilacija prirodno je koristiti periodične funkcije. Postoji mnogo takvih funkcija, ali dvije od njih - sinus i kosinus - su najvažnije. Imaju mnoga dobra svojstva i usko su povezani sa širokim spektrom fizičkih pojava.
Budući da se sinusne i kosinusne funkcije dobivaju jedna od druge pomicanjem argumenta za , možemo se ograničiti samo na jednu od njih. Za određenost ćemo koristiti kosinus.
Harmonične vibracije- to su oscilacije u kojima koordinate zavise od vremena prema harmonijskom zakonu:
(1)
Hajde da saznamo značenje količina uključenih u ovu formulu.
Pozitivna vrijednost je najveća vrijednost modula koordinate (pošto je maksimalna vrijednost kosinusnog modula jednaka jedinici), odnosno najveće odstupanje od ravnotežnog položaja. Dakle - amplituda oscilacija.
Poziva se kosinusni argument faza oklevanje. magnituda, jednaka vrijednosti faza na , naziva se početna faza. Početna faza odgovara početnoj koordinati tijela: .
Količina se zove ciklička frekvencija. Nađimo njegovu vezu sa periodom i frekvencijom oscilacije. Jedna potpuna oscilacija odgovara prirastu faze jednakom radijanima: , odakle
(2)
(3)
Ciklična frekvencija se mjeri u rad/s (radijanima po sekundi).
U skladu sa izrazima (2) i (3) dobijamo još dva oblika pisanja harmonijskog zakona (1):
Grafikon funkcije (1), koji izražava zavisnost koordinate od vremena tokom harmonijskih oscilacija, prikazan je na Sl. 1 .
Harmonski zakon oblika (1) je najviše opšti karakter. Reagira, na primjer, na situacije u kojima su dvije početne radnje istovremeno izvršene na klatno: ono je odbijeno za određenu količinu i data mu je određena početna brzina. Postoje dva važna posebna slučaja kada jedna od ovih radnji nije izvršena.
Neka se klatno otkloni, ali početna brzina nije prijavljena (opušteno je bez početne brzine). Jasno je da u ovom slučaju, dakle, možemo staviti . Dobijamo kosinusni zakon:
Grafikon harmonijskih oscilacija u ovom slučaju prikazan je na sl. 2.
 |
| Rice. 2. Zakon kosinusa |
Pretpostavimo sada da klatno nije odbijeno, već mu je udarom prenesena početna brzina iz ravnotežnog položaja. U ovom slučaju, tako da možete staviti . Dobijamo zakon sinusa:
Grafikon oscilovanja je prikazan na sl. 3.
 |
| Rice. 3. Zakon sinusa |
Jednačina harmonijskih vibracija.
Vratimo se opštem harmonijskom zakonu (1). Razlikujemo ovu jednakost:
. (4)
Sada diferenciramo rezultirajuću jednakost (4):
. (5)
Uporedimo izraz (1) za koordinatu i izraz (5) za projekciju ubrzanja. Vidimo da se projekcija ubrzanja razlikuje od koordinata samo za faktor:
. (6)
Ovaj omjer se zove harmonijska jednačina. Takođe se može prepisati u ovom obliku:
. (7)
Sa matematičke tačke gledišta, jednačina (7) je diferencijalna jednadžba. Rješenja diferencijalne jednadžbe Funkcije služe (a ne brojevi, kao u običnoj algebri).
Dakle, može se dokazati da:
Rješenje jednadžbe (7) je bilo koja funkcija oblika (1) sa proizvoljnim ;
Nijedna druga funkcija nije rješenje ove jednačine.
Drugim riječima, relacije (6), (7) opisuju harmonijske oscilacije sa cikličnom frekvencijom i samo njih. Dvije konstante se određuju iz početnih uvjeta - iz početnih vrijednosti koordinate i brzine.
Opružno klatno.
Opružno klatno je opterećenje pričvršćeno na oprugu koja može oscilirati u horizontalnom ili okomitom smjeru.
Nađimo period malih horizontalnih oscilacija opružnog klatna (slika 4). Oscilacije će biti male ako je količina deformacije opruge mnogo manja od njenih dimenzija. Za male deformacije možemo koristiti Hookeov zakon. To će dovesti do toga da oscilacije budu harmonične.
Zanemarujemo trenje. Opterećenje ima masu i krutost opruge je jednaka .
Koordinata odgovara ravnotežnom položaju u kojem opruga nije deformisana. Posljedično, veličina deformacije opruge jednaka je modulu koordinata opterećenja.
 |
| Rice. 4. Opružno klatno |
U horizontalnom smjeru na opterećenje djeluje samo elastična sila opruge. Drugi Newtonov zakon za opterećenje u projekciji na osu ima oblik:
. (8)
Ako (opterećenje je pomaknuto udesno, kao na slici), tada je elastična sila usmjerena u suprotnom smjeru, i . Obrnuto, ako , Tada . Znaci i stalno su suprotni, pa se Hookeov zakon može napisati na sljedeći način:
Tada relacija (8) poprima oblik:
Dobili smo jednadžbu harmonijskih oscilacija oblika (6), u kojoj
Ciklična frekvencija oscilovanja opružnog klatna je dakle jednaka:
. (9)
Odavde i iz odnosa nalazimo period horizontalnih oscilacija opružnog klatna:
. (10)
Ako okačite teret na oprugu, dobit ćete opružno klatno koje oscilira u vertikalnom smjeru. Može se pokazati da u ovom slučaju formula (10) vrijedi za period oscilovanja.
Matematičko klatno.
Matematičko klatno je malo tijelo okačeno na bestežinski nerastegljivi konac (slika 5). Matematičko klatno može oscilirati u vertikalnoj ravni u polju gravitacije.
 |
| Rice. 5. Matematičko klatno |
Nađimo period malih oscilacija matematičkog klatna. Dužina konca je . Otpor zraka zanemarujemo.
Zapišimo drugi Newtonov zakon za klatno:
i projektovati ga na osu:
Ako klatno zauzme položaj kao na slici (tj.), tada:
Ako je klatno na drugoj strani ravnotežnog položaja (tj.), tada:
Dakle, za bilo koji položaj klatna imamo:
. (11)
Kada klatno miruje u ravnotežnom položaju, jednakost je zadovoljena. Za male oscilacije, kada su odstupanja klatna od ravnotežnog položaja mala (u poređenju sa dužinom niti), približna jednakost je zadovoljena. Koristimo ga u formuli (11):
Ovo je jednadžba harmonijskih oscilacija oblika (6), u kojoj
Stoga je ciklična frekvencija oscilacija matematičkog klatna jednaka:
. (12)
Otuda period oscilovanja matematičkog klatna:
. (13)
Imajte na umu da formula (13) ne uključuje masu tereta. Za razliku od opružnog klatna, period oscilovanja matematičkog klatna ne zavisi od njegove mase.
Slobodne i prisilne vibracije.
Kažu da sistem radi slobodne vibracije, ako se jednom ukloni iz ravnotežnog položaja i potom prepusti samome sebi. Nema periodičnih eksternih
U ovom slučaju sistem ne doživljava nikakve uticaje, niti postoje unutrašnji izvori energije koji podržavaju oscilacije u sistemu.
Oscilacije opruge i matematičkog klatna o kojima se govorilo su primjeri slobodnih oscilacija.
Frekvencija kojom se javljaju slobodne vibracije naziva se prirodna frekvencija oscilatorni sistem. Dakle, formule (9) i (12) daju prirodne (ciklične) frekvencije oscilacija opruge i matematičkog klatna.
U idealiziranoj situaciji u odsustvu trenja, slobodne oscilacije su neprigušene, odnosno imaju konstantnu amplitudu i traju neograničeno. U realnim oscilatornim sistemima trenje je uvek prisutno, pa slobodne vibracije postepeno odumiru (slika 6).
Prisilne vibracije- to su oscilacije koje vrši sistem pod uticajem spoljne sile koja se periodično menja tokom vremena (tzv. pokretačka sila).
Pretpostavimo da je prirodna frekvencija oscilacija sistema jednaka , a pokretačka sila zavisi od vremena prema harmonijskom zakonu:
Tokom nekog vremena uspostavljaju se prisilne oscilacije: sistem pravi složeno kretanje, koje je superpozicija prinudnih i slobodnih oscilacija. Slobodne oscilacije postepeno odumiru, a u stabilnom stanju sistem vrši prisilne oscilacije, koje se takođe ispostavljaju harmonijskim. Frekvencija stabilnih prisilnih oscilacija poklapa se sa frekvencijom
sila prisiljavanja (spoljna sila, takoreći, nameće svoju frekvenciju sistemu).
Amplituda uspostavljenih prinudnih oscilacija zavisi od frekvencije pokretačke sile. Grafikon ove zavisnosti je prikazan na Sl. 7.
 |
| Rice. 7. Rezonancija |
Vidimo da se rezonancija javlja u blizini frekvencije - fenomen povećanja amplitude prisilnih oscilacija. Rezonantna frekvencija je približno jednaka prirodnoj frekvenciji oscilacija sistema: , a ta jednakost se ispunjava točnije što je trenje u sistemu manje. U odsustvu trenja, rezonantna frekvencija se poklapa sa prirodnom frekvencijom oscilacija, a amplituda oscilacija raste do beskonačnosti na .
Učitavanje...