Kompleksni broj je broj oblika z =x + i * y, gdje su x i y realni brojevi, i i = imaginarna jedinica (tj. broj čiji je kvadrat -1). Definirati reprezentaciju argument sveobuhvatan brojevi, morate pogledati kompleksan broj na kompleksnoj ravni u polarnom koordinatnom sistemu.

Instrukcije

1. Ravan na kojoj su predstavljeni kompleksni kompleksi brojevi, naziva se složenim. Na ovoj ravni horizontalnu osu zauzima real brojevi(x), a vertikalna osa je imaginarna brojevi(y). Na takvoj ravni, broj je dan sa dvije koordinate z = (x, y). U polarnom koordinatnom sistemu, koordinate tačke su modul i argument. Modul je udaljenost |z| od tačke do početka. Da li se ugao naziva argumentom? između vektora koji povezuje tačku i koordinatni predgovor i horizontalne ose koordinatnog sistema (vidi sliku).

2. Slika pokazuje da je složeni modul brojevi z = x + i * y se nalazi pomoću Pitagorine teoreme: |z| = ? (x^2 + y^2). Dalji argument brojevi z se nalazi kao oštar ugao trokuta - kroz vrijednosti trigonometrijskih funkcija sin, cos, tan:sin? =y/? (x^2 + y^2),cos ? = x / ? (x^2 + y^2),tg ? = y/x.

3. Recimo, neka je zadan broj z = 5 * (1 + ?3 * i). Prije svega, odaberite stvarni i imaginarni dio: z = 5 +5 * ?3 * i. Ispada da je realni dio x = 5, a imaginarni dio y = 5 * ?3. Izračunajte modul brojevi: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Zatim, pronađite sinus ugla?: sin ? = 5 / 10 = 1 / 2. Odatle dobijamo argument brojevi z je jednako 30°.

4. Primjer 2. Neka je zadan broj z = 5 * i. Sa slike se vidi da je ugao? = 90°. Provjerite ovu vrijednost koristeći gornju formulu. Zapišite koordinate ovoga brojevi na kompleksnoj ravni: z = (0, 5). Modul brojevi|z| = 5. Tangent ugla tg? = 5 / 5 = 1. Šta odatle slijedi? = 90°.

5. Primjer 3. Recimo da trebamo pronaći argument za zbir 2 kompleksna broja z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Prema pravilima sabiranja, sabirate ova dva kompleksa brojevi: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Zatim, prema gornjem dijagramu, izračunajte argument: tg? = 9 / 3 = 3.

Bilješka!
Ako je broj z = 0, tada vrijednost argumenta za njega nije definirana.

Koristan savjet
Vrijednost argumenta kompleksnog broja određuje se s točnošću od 2 * ? * k, gdje je k bilo koji cijeli broj. Značenje argumenta? takav da -?

Definicija 8.3 (1).

Dužina |z| vektor z = (x,y) naziva se modulom kompleksnog broja z = x + yi

Budući da dužina svake strane trokuta ne prelazi zbir dužina njegove dvije druge strane, a apsolutna vrijednost razlike u dužinama dviju stranica trokuta nije manja od dužine treće strane , tada za bilo koja dva kompleksna broja z 1 i z 2 vrijede nejednakosti

Definicija 8.3 (2).

Argument kompleksnog broja. Ako je φ ugao koji formira vektor z različit od nule sa realnom osom, tada će svaki ugao oblika (φ + 2πn, gdje je n cijeli broj, a samo ugao ove vrste, također biti ugao formiran od vektor z sa realnom osom.

Skup svih uglova koje formira vektor različit od nule z = = (x, y) sa realnom osom naziva se argument kompleksnog broja z = x + yi i označava se sa arg z. Svaki element ovog skupa naziva se vrijednost argumenta broja z (slika 8.3(1)).

Rice. 8.3(1).

Budući da je vektor ravnine različit od nule jedinstveno određen svojom dužinom i kutom koji formira sa x osom, tada su dva kompleksna broja različita od nule jednaka ako i samo ako su njihove apsolutne vrijednosti i argumenti jednaki.

Ako je, na primjer, uvjet 0≤φ nametnut vrijednostima argumenta φ broja z<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Definicija 8.3.(3)

Trigonometrijski oblik pisanja kompleksnog broja. Realni i imaginarni dijelovi kompleksnog broja z = x + ui ≠ 0 izraženi su kroz njegov modul r= |z| i argument φ kako slijedi (iz definicije sinusa i kosinusa):

Desna strana ove jednakosti naziva se trigonometrijski oblik pisanja kompleksnog broja z. Takođe ćemo ga koristiti za z = 0; u ovom slučaju, r = 0, a φ može uzeti bilo koju vrijednost - argument broja 0 je nedefiniran. Dakle, svaki kompleksni broj se može napisati u trigonometrijskom obliku.

Takođe je jasno da ako je kompleksni broj z napisan u obliku

tada je broj r njegov modul, pošto

A φ je jedna od vrijednosti njegovog argumenta

Trigonometrijski oblik pisanja kompleksnih brojeva može biti zgodan za korištenje pri množenju kompleksnih brojeva; posebno vam omogućava da saznate geometrijsko značenje proizvoda kompleksnih brojeva.

Pronađimo formule za množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku. Ako

zatim prema pravilu množenja kompleksnih brojeva (koristeći formule za sinus i kosinus zbroja)

Dakle, kada se množe kompleksni brojevi, njihove apsolutne vrijednosti se množe, a argumenti se dodaju:

Primenjujući ovu formulu uzastopno na n kompleksnih brojeva, dobijamo

Ako su svih n brojeva jednaki, dobijamo

Gdje za

izvedeno

Dakle, za kompleksni broj čija je apsolutna vrijednost 1 (dakle, ima oblik

Ova jednakost se zove Moivreove formule

Drugim riječima, kada se dijele kompleksni brojevi, dijele se njihovi moduli,

a argumenti se oduzimaju.

Primjeri 8.3 (1).

Nacrtajte na kompleksnoj ravni C skup tačaka koje zadovoljavaju sljedeće uslove:

Koji predstavlja dati kompleksni broj $z=a+bi$ naziva se modul datog kompleksnog broja.

Modul datog kompleksnog broja izračunava se pomoću sljedeće formule:

Primjer 1

Izračunajte modul datih kompleksnih brojeva $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Izračunavamo modul kompleksnog broja $z=a+bi$ koristeći formulu: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Za originalni kompleksni broj $z_(1) =13$ dobijamo $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

Za originalni kompleksni broj $\, z_(2) =4i$ dobijamo $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Za originalni kompleksni broj $\, z_(3) =4+3i$ dobijamo $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Definicija 2

Ugao $\varphi $ formiran pozitivnim smjerom realne ose i vektorom radijusa $\overrightarrow(OM) $, koji odgovara datom kompleksnom broju $z=a+bi$, naziva se argumentom ovog broja i je označen sa $\arg z$.

Napomena 1

Modul i argument datog kompleksnog broja se eksplicitno koriste kada se kompleksni broj predstavlja u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - trigonometrijski oblik;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - eksponencijalni oblik.

Primjer 2

Napišite kompleksni broj u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku, dat sljedećim podacima: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Zamijenite podatke $r=3;\varphi =\pi $ u odgovarajuće formule i dobijete:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - trigonometrijski oblik

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - eksponencijalni oblik.

2) Zamijenite podatke $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ u odgovarajuće formule i dobijete:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - trigonometrijski oblik

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - eksponencijalni oblik.

Primjer 3

Odredite modul i argument datih kompleksnih brojeva:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi)(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Modul i argument ćemo pronaći koristeći formule za pisanje datog kompleksnog broja u trigonometrijskom, odnosno eksponencijalnom obliku

\ \

1) Za originalni kompleksni broj $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ dobijamo $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Za početni kompleksni broj $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ mi dobiti $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Za početni kompleksni broj $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ dobijamo $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Za originalni kompleksni broj $z=13\cdot e^(i\pi ) $ dobijamo $r=13;\varphi =\pi $.

Argument $\varphi $ datog kompleksnog broja $z=a+bi$ može se izračunati korištenjem sljedećih formula:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

U praksi, za izračunavanje vrijednosti argumenta datog kompleksnog broja $z=a+bi$, obično se koristi formula:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a

ili riješiti sistem jednačina

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(array)\right. $. (**)

Primjer 4

Izračunajte argument datih kompleksnih brojeva: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Pošto je $z=3$, onda je $a=3,b=0$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Pošto je $z=4i$, onda je $a=0,b=4$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Pošto je $z=1+i$, onda je $a=1,b=1$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja rješavanjem sistema (**):

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(niz)\desno. .\]

Iz kursa trigonometrije je poznato da je $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ za ugao koji odgovara prvoj koordinatnoj četvrtini i jednak je $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Pošto je $z=-5$, onda je $a=-5,b=0$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Pošto je $z=-2i$, onda je $a=0,b=-2$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Napomena 2

Broj $z_(3)$ je predstavljen tačkom $(0;1)$, stoga je dužina odgovarajućeg radijus vektora jednaka 1, tj. $r=1$, a argument $\varphi =\frac(\pi )(2) $ prema napomeni 3.

Broj $z_(4)$ je predstavljen tačkom $(0;-1)$, dakle, dužina odgovarajućeg radijus vektora je 1, tj. $r=1$, a argument $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ prema napomeni 3.

Broj $z_(5) $ predstavljen je tačkom $(2;2)$, stoga je dužina odgovarajućeg radijus vektora jednaka $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, tj. $r=2\sqrt(2) $, a argument $\varphi =\frac(\pi )(4) $ svojstvom pravouglog trougla.

Kompleksni broj je broj oblika z =x + i * y, gdje su x i y realni brojevi, i i = imaginarna jedinica (tj. broj čiji je kvadrat -1). Definisati koncept argument sveobuhvatan brojevi, potrebno je razmotriti kompleksan broj na kompleksnoj ravni u polarnom koordinatnom sistemu.

Instrukcije

Ravan na kojoj su predstavljeni kompleksni kompleksi brojevi, naziva se složenim. Na ovoj ravni horizontalnu osu zauzima real brojevi(x), a vertikalna osa je imaginarna brojevi(y). Na takvoj ravni, broj je dan sa dvije koordinate z = (x, y). U polarnom koordinatnom sistemu, koordinate tačke su modul i argument. Modul je udaljenost |z| od tačke do početka. Argument je ugao između vektora koji povezuje tačku i ishodište i horizontalne ose koordinatnog sistema (vidi sliku).

Slika pokazuje da je složeni modul brojevi z = x + i * y se nalazi pomoću Pitagorine teoreme: |z| = ? (x^2 + y^2). Sledeći argument brojevi z se nalazi kao oštar ugao trokuta - kroz vrednosti trigonometrijskih funkcija sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x / ? (x^2 + y^2),
tg = y/x.

Na primjer, neka je zadan broj z = 5 * (1 + ?3 * i). Prije svega, odaberite stvarni i imaginarni dio: z = 5 +5 * ?3 * i. Ispada da je realni dio x = 5, a imaginarni dio y = 5 * ?3. Izračunajte modul brojevi: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Zatim pronađite sinus kuta: sin = 5 / 10 = 1 / 2. Ovo daje argument brojevi z je jednako 30°.

Primjer 2. Neka je zadan broj z = 5 * i. Slika pokazuje da je ugao = 90°. Provjerite ovu vrijednost koristeći gornju formulu. Zapišite koordinate ovoga brojevi na kompleksnoj ravni: z = (0, 5). Modul brojevi|z| = 5. Tangent ugla tg = 5 / 5 = 1. Iz toga slijedi da je = 90°.

Primjer 3. Neka je potrebno pronaći argument zbira dva kompleksna broja z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Prema pravilima sabiranja, sabirate ova dva kompleksa brojevi: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Zatim, koristeći gornji dijagram, izračunajte argument: tg = 9 / 3 = 3.