Dat je zakon raspodjele slučajne varijable x. Diskretna slučajna varijabla, zakon raspodjele vjerovatnoće
Poglavlje 1. Diskretno slučajna vrijednost
§ 1. Koncepti slučajne varijable.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable.
Definicija : Slučajna je veličina koja, kao rezultat testiranja, uzima samo jednu vrijednost iz mogućeg skupa svojih vrijednosti, unaprijed nepoznatih i ovisno o slučajnim razlozima.
Postoje dvije vrste slučajnih varijabli: diskretne i kontinuirane.
Definicija : Poziva se slučajna varijabla X diskretno (diskontinuirano) ako je skup njegovih vrijednosti konačan ili beskonačan, ali prebrojiv.
Drugim riječima, moguće vrijednosti diskretne slučajne varijable mogu se prenumerisati.
Slučajna varijabla se može opisati korištenjem njenog zakona distribucije.
Definicija : Zakon distribucije diskretne slučajne varijable nazvati korespondenciju između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih vjerovatnoća.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable X može se specificirati u obliku tabele, u čijem su prvom redu navedene sve moguće vrijednosti slučajne varijable u rastućem redoslijedu, au drugom redu odgovarajuće vjerovatnoće ovih vrijednosti, tj.
gdje je r1+ r2+…+ rn=1
Takva tabela se naziva nizom distribucije diskretne slučajne varijable.
Ako je skup mogućih vrijednosti slučajne varijable beskonačan, tada niz p1+ p2+…+ pn+… konvergira i njegov zbir je jednak 1.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable X može se prikazati grafički, za koju se konstruiše izlomljena linija u pravougaonom koordinatnom sistemu, koja uzastopno povezuje tačke sa koordinatama (xi; pi), i=1,2,…n. Rezultirajuća linija se zove distributivni poligon (Sl. 1).
Organska hemija" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organska hemija su 0,7 i 0,8, respektivno. Napraviti zakon raspodele za slučajnu varijablu X - broj ispita koje će student položiti.
Rješenje. Razmatrana slučajna varijabla X kao rezultat ispita može poprimiti jednu od sljedećih vrijednosti: x1=0, x2=1, x3=2.
Nađimo vjerovatnoću ovih vrijednosti. Označimo događaje:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Dakle, zakon raspodjele slučajne varijable X dat je tablicom:
Kontrola: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Funkcija distribucije
Potpuni opis slučajne varijable također je dat funkcijom distribucije.
definicija: Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable X naziva se funkcija F(x), koja za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla X uzeti vrijednost manju od x:
F(x)=P(X<х)
Geometrijski, funkcija distribucije se tumači kao vjerovatnoća da će slučajna varijabla X uzeti vrijednost koja je predstavljena na brojevnoj pravoj tačkom koja leži lijevo od tačke x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) je neopadajuća funkcija na (-∞;+∞);
3) F(x) - kontinuirano s lijeve strane u tačkama x= xi (i=1,2,...n) i kontinuirano u svim ostalim tačkama;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Ako je zakon distribucije diskretne slučajne varijable X dat u obliku tabele:
tada je funkcija distribucije F(x) određena formulom:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 za x≤ x1,
r1 na x1< х≤ x2,
F(x)= r1 + r2 na x2< х≤ х3
1 za x> xn.
Njegov grafikon je prikazan na slici 2:
§ 3. Numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable.
Važne numeričke karakteristike uključuju očekivanu vrijednost.
Definicija: matematičko očekivanje M(X) diskretna slučajna varijabla X je zbir proizvoda svih njenih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća:
M(X) = ∑ xiri= x1r1 + x2r2+…+ xnrn
Matematičko očekivanje služi kao karakteristika prosječne vrijednosti slučajne varijable.
Svojstva matematičkog očekivanja:
1)M(C)=C, gdje je C konstantna vrijednost;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), gdje su X, Y nezavisne slučajne varijable;
5)M(X±C)=M(X)±C, gdje je C konstantna vrijednost;
Za karakterizaciju stepena disperzije mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable oko njene srednje vrijednosti, koristi se disperzija.
Definicija: Varijanca D ( X ) slučajna varijabla X je matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:
Svojstva disperzije:
1)D(C)=0, gdje je C konstantna vrijednost;
2)D(X)>0, gdje je X slučajna varijabla;
3)D(C X)=C2 D(X), gdje je C konstantna vrijednost;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), gdje su X, Y nezavisne slučajne varijable;
Za izračunavanje varijanse često je zgodno koristiti formulu:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
gdje je M(X)=∑ xi2ri= x12r1 + x22r2+…+ xn2rn
Varijanca D(X) ima dimenziju slučajne varijable na kvadrat, što nije uvijek zgodno. Stoga se vrijednost √D(X) koristi i kao indikator disperzije mogućih vrijednosti slučajne varijable.
definicija: Standardna devijacija σ(X) slučajna varijabla X naziva se kvadratni korijen varijanse:
Zadatak br. 2. Diskretna slučajna varijabla X određena je zakonom distribucije:
Pronađite P2, funkciju raspodjele F(x) i nacrtajte njen graf, kao i M(X), D(X), σ(X).
Rješenje: Pošto je zbir vjerovatnoća mogućih vrijednosti slučajne varijable X jednak 1, onda
R2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Nađimo funkciju distribucije F(x)=P(X Geometrijski, ova jednakost se može tumačiti na sljedeći način: F(x) je vjerovatnoća da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja je predstavljena na brojevnoj osi tačkom koja leži lijevo od tačke x. Ako je x≤-1, onda je F(x)=0, pošto ne postoji nijedna vrijednost ove slučajne varijable na (-∞;x); Ako je -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Ako je 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) postoje dvije vrijednosti x1=-1 i x2=0; Ako 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Ako 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Ako je x>3, onda je F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, jer četiri vrijednosti x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 spadaju u interval (-∞;x) i x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 na x≤-1, 0,1 na -1<х≤0, 0,2 na 0<х≤1, F(x)= 0,5 na 1<х≤2, 0,7 na 2<х≤3, 1 na x>3 Predstavimo funkciju F(x) grafički (slika 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845. §
4. Zakon binomne distribucije diskretna slučajna varijabla, Poissonov zakon. definicija: Binom
se naziva zakon distribucije diskretne slučajne varijable X - broj pojavljivanja događaja A u n nezavisnih ponovljenih pokušaja, u svakom od kojih se događaj A može dogoditi sa vjerovatnoćom p ili se ne dogoditi sa vjerovatnoćom q = 1-p. Tada se P(X=m) - vjerovatnoća pojave događaja A tačno m puta u n pokušaja izračunava korištenjem Bernoullijeve formule: R(H=m)=Smnpmqn-m Matematičko očekivanje, disperzija i standardna devijacija slučajne varijable X distribuirane prema binarnom zakonu nalaze se, respektivno, pomoću formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Vjerovatnoća događaja A - "izbacivanje petice" u svakom pokušaju je ista i jednaka je 1/6 , tj. P(A)=p=1/6, zatim P(A)=1-p=q=5/6, gdje je - “neuspeh u dobijanju petice.” Slučajna varijabla X može imati sljedeće vrijednosti: 0;1;2;3. Pronalazimo vjerovatnoću svake od mogućih vrijednosti X koristeći Bernoullijevu formulu: R(H=0)=R3(0)=S03r0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; R(H=1)=R3(1)=S13r1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; R(H=2)=R3(2)=S23r2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; R(H=3)=R3(3)=S33r3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. To. zakon raspodjele slučajne varijable X ima oblik: Kontrola: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Nađimo numeričke karakteristike slučajne varijable X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Zadatak br. 4. Automatska mašina štanca delove. Vjerovatnoća da će proizvedeni dio biti neispravan je 0,002. Pronađite vjerovatnoću da će među 1000 odabranih dijelova biti: a) 5 neispravnih; b) barem jedan je neispravan. Rješenje:
Broj n=1000 je velik, vjerovatnoća proizvodnje neispravnog dijela p=0,002 je mala, a događaji koji se razmatraju (ispostavi se da je dio neispravan) su nezavisni, stoga vrijedi Poissonova formula: Rn(m)= e-
λ
λm Nađimo λ=np=1000 0,002=2. a) Pronađite vjerovatnoću da će biti 5 neispravnih dijelova (m=5): R1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Pronađite vjerovatnoću da će postojati barem jedan neispravan dio. Događaj A – “barem jedan od odabranih dijelova je neispravan” je suprotan događaju – “svi odabrani dijelovi nisu neispravni.” Dakle, P(A) = 1-P(). Stoga je željena vjerovatnoća jednaka: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Zadaci za samostalan rad.
1.1
1.2.
Disperzovana slučajna varijabla X određena je zakonom distribucije: Naći p4, funkciju raspodjele F(X) i nacrtati njen graf, kao i M(X), D(X), σ(X). 1.3.
U kutiji je 9 markera, od kojih 2 više ne pišu. Uzmi 3 markera nasumce. Slučajna varijabla X je broj markera za pisanje među uzetima. Nacrtajte zakon raspodjele slučajne varijable. 1.4.
Na polici biblioteke je nasumično raspoređeno 6 udžbenika, od kojih su 4 ukoričena. Bibliotekar nasumično uzima 4 udžbenika. Slučajna varijabla X je broj ukoričenih udžbenika među preuzetim. Nacrtajte zakon raspodjele slučajne varijable. 1.5.
Na listiću su dva zadatka. Vjerovatnoća pravilnog rješavanja prvog zadatka je 0,9, a drugog 0,7. Slučajna varijabla X je broj tačno riješenih problema u listiću. Nacrtajte zakon raspodjele, izračunajte matematičko očekivanje i varijansu ove slučajne varijable, a također pronađite funkciju raspodjele F(x) i izgradite njen graf. 1.6.
Tri strijelca gađaju metu. Vjerovatnoća pogađanja mete jednim udarcem je 0,5 za prvog strijelca, 0,8 za drugog i 0,7 za trećeg. Slučajna varijabla X je broj pogodaka u metu ako strijelci ispaljuju jedan po jedan hitac. Naći zakon raspodjele, M(X),D(X). 1.7.
Košarkaš ubacuje loptu u koš sa vjerovatnoćom da pogodi svaki udarac 0,8. Za svaki pogodak dobija 10 poena, a ako promaši, neće mu biti dodeljeni poeni. Napraviti zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj poena koje košarkaš dobije u 3 udarca. Pronađite M(X),D(X), kao i vjerovatnoću da dobije više od 10 bodova. 1.8.
Na karticama su ispisana slova, ukupno 5 samoglasnika i 3 suglasnika. 3 karte se biraju nasumično i svaki put se uzeta karta vraća nazad. Slučajna varijabla X je broj samoglasnika među uzetima. Nacrtajte zakon raspodjele i pronađite M(X),D(X),σ(X). 1.9.
U prosjeku, 60% ugovora osiguravajuće društvo isplaćuje iznose osiguranja u vezi sa nastankom osiguranog slučaja. Napraviti zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj ugovora za koje je isplaćen iznos osiguranja između četiri nasumično odabrana ugovora. Pronađite numeričke karakteristike ove veličine. 1.10.
Radio stanica šalje pozivne znakove (ne više od četiri) u određenim intervalima dok se ne uspostavi dvosmjerna komunikacija. Vjerovatnoća primanja odgovora na pozivni znak je 0,3. Slučajna varijabla X je broj poslanih pozivnih znakova. Nacrtajte zakon raspodjele i pronađite F(x). 1.11.
Postoje 3 ključa, od kojih samo jedan odgovara bravi. Napraviti zakon za raspodjelu slučajne varijable X-broj pokušaja otvaranja brave, ako isprobani ključ ne učestvuje u narednim pokušajima. Pronađite M(X),D(X). 1.12.
Sprovedena su uzastopna nezavisna ispitivanja tri uređaja za pouzdanost. Svaki sljedeći uređaj se testira samo ako se prethodni pokazao pouzdanim. Vjerovatnoća prolaska testa za svaki uređaj je 0,9. Napraviti zakon raspodjele za slučajnu varijablu X-broj testiranih uređaja. 1.13
.Diskretna slučajna varijabla X ima tri moguće vrijednosti: x1=1, x2, x3 i x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Blok elektroničkog uređaja sadrži 100 identičnih elemenata. Vjerovatnoća otkaza svakog elementa tokom vremena T je 0,002. Elementi rade nezavisno. Odrediti vjerovatnoću da neće više od dva elementa otkazati za vrijeme T. 1.15.
Udžbenik je objavljen u tiražu od 50.000 primjeraka. Vjerovatnoća da je udžbenik pogrešno ukoričen je 0,0002. Pronađite vjerovatnoću da cirkulacija sadrži: a) četiri neispravne knjige, b) manje od dvije neispravne knjige. 1
.16.
Broj poziva koji pristižu na PBX svakog minuta distribuira se prema Poissonovom zakonu sa parametrom λ=1,5. Pronađite vjerovatnoću da će za minut stići sljedeće: a) dva poziva; b) najmanje jedan poziv. 1.17.
Pronađite M(Z),D(Z) ako je Z=3X+Y. 1.18.
Dati su zakoni distribucije dvije nezavisne slučajne varijable: Pronađite M(Z),D(Z) ako je Z=X+2Y. odgovori:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 na x≤-2, 0,3 na -2<х≤0, F(x)= 0,5 na 0<х≤2, 0,9 na 2<х≤5, 1 na x>5 0,3 na -1<х≤0, 0,4 na 0<х≤1, F(x)= 0,6 na 1<х≤2, 0,7 na 2<х≤3, 1 na x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 na x≤0, 0,03 na 0<х≤1, F(x)= 0,37 na 1<х≤2, 1 za x>2 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a)0,0189; b) 0,00049 1.16.
a)0,0702; b)0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Poglavlje 2. Kontinuirana slučajna varijabla
definicija: Kontinuirano
je veličina čije sve moguće vrijednosti u potpunosti ispunjavaju konačan ili beskonačan raspon brojevne prave. Očigledno, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačan. Kontinuirana slučajna varijabla može se specificirati korištenjem funkcije distribucije. definicija: F funkcija distribucije
kontinuirana slučajna varijabla X naziva se funkcija F(x), koja za svaku vrijednost određuje xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Funkcija distribucije se ponekad naziva kumulativna funkcija distribucije. Svojstva funkcije distribucije:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Za kontinuiranu slučajnu varijablu, funkcija distribucije je kontinuirana u bilo kojoj tački i diferencibilna svuda, osim, možda, u pojedinačnim tačkama. 3) Vjerovatnoća da slučajna varijabla X padne u jedan od intervala (a;b), [a;b], [a;b], jednaka je razlici između vrijednosti funkcije F(x) u tačkama a i b, tj. R(a)<Х 4) Vjerovatnoća da će kontinuirana slučajna varijabla X uzeti jednu zasebnu vrijednost je 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Određivanje kontinuirane slučajne varijable pomoću funkcije distribucije nije jedini način. Hajde da uvedemo koncept gustine raspodele verovatnoće (gustine distribucije). Definicija
:
Gustoća raspodjele vjerovatnoće
f
(
x
)
kontinuirane slučajne varijable X je derivacija njene funkcije distribucije, tj.: Funkcija gustoće vjerovatnoće se ponekad naziva diferencijalna funkcija raspodjele ili zakon diferencijalne distribucije. Poziva se graf distribucije gustine vjerovatnoće f(x). krivulja raspodjele vjerovatnoće
.
Svojstva distribucije gustine vjerovatnoće:
1) f(x) ≥0, na xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8s; b) Poznato je da je F(x)= ∫ f(x)dx Prema tome, x ako je x≤2, onda je F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 ako je x>6, onda je F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. dakle, 0 na x≤2, F(x)= (x-2)2/16 na 2<х≤6, 1 za x>6. Grafikon funkcije F(x) prikazan je na slici 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 na x≤0, F(x)= (3 arktan x)/π na 0<х≤√3, 1 za x>√3. Pronađite diferencijalnu funkciju distribucije f(x) Rješenje:
Pošto je f(x)= F’(x), onda DIV_ADBLOCK93"> · matematičko očekivanje M (X)
kontinuirane slučajne varijable X određene su jednakošću: M(X)= ∫ x f(x)dx, pod uslovom da ovaj integral konvergira apsolutno. · Disperzija
D
(
X
)
kontinuirana slučajna varijabla X određena je jednakošću: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, ili D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · Standardna devijacija σ(X)
kontinuirana slučajna varijabla određena je jednakošću: Sva svojstva matematičkog očekivanja i disperzije, o kojima smo ranije govorili za dispergovane slučajne varijable, vrijede i za kontinuirane. Zadatak br. 3. Slučajna varijabla X određena je diferencijalnom funkcijom f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Problemi za samostalno rješavanje.
2.1.
Kontinuirana slučajna varijabla X određena je funkcijom distribucije: 0 na x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 za x≤ π/6, F(x)= - cos 3x na π/6<х≤ π/3, 1 za x> π/3. Naći diferencijalnu funkciju distribucije f(x), i također R(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 na x≤2, f(x)= c x na 2<х≤4, 0 za x>4. 2.4.
Kontinuirana slučajna varijabla X određena je gustinom distribucije: 0 na x≤0, f(x)= c √x na 0<х≤1, 0 za x>1. Pronađite: a) broj c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> na x, 0 na x. Pronađite: a) F(x) i konstruirajte njegov graf; b) M(X),D(X), σ(X); c) vjerovatnoća da će u četiri nezavisna pokušaja vrijednost X uzeti tačno 2 puta vrijednost koja pripada intervalu (1;4). 2.6.
Gustoća distribucije vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X je data: f(x)= 2(x-2) na x, 0 na x. Pronađite: a) F(x) i konstruirajte njegov graf; b) M(X),D(X), σ (X); c) vjerovatnoća da će u tri nezavisna ispitivanja vrijednost X uzeti tačno 2 puta vrijednost koja pripada segmentu. 2.7.
Funkcija f(x) je data kao: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Funkcija f(x) je data kao: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Naći: a) vrijednost konstante c pri kojoj će funkcija biti gustina vjerovatnoće neke slučajne varijable X; b) funkcija raspodjele F(x). 2.9.
Slučajna varijabla X, koncentrisana na interval (3;7), određena je funkcijom distribucije F(x)= . Pronađite vjerovatnoću da slučajna varijabla X će imati vrijednost: a) manju od 5, b) ne manju od 7. 2.10.
Slučajna varijabla X, koncentrisana na interval (-1;4), je data funkcijom distribucije F(x)= . Pronađite vjerovatnoću da slučajna varijabla X će imati vrijednost: a) manju od 2, b) ne manju od 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Pronađite: a) broj c; b) M(X); c) vjerovatnoća P(X> M(X)). 2.12.
Slučajna varijabla je određena funkcijom diferencijalne distribucije: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Naći: a) M(X); b) vjerovatnoća P(X≤M(X)) 2.13.
Rem distribucija je data gustinom vjerovatnoće: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> za x ≥0. Dokažite da je f(x) zaista funkcija gustoće vjerovatnoće. 2.14.
Gustoća distribucije vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X je data: DIV_ADBLOCK96"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(Sl. 5) 2.16.
Slučajna varijabla X distribuira se prema zakonu “ pravougaonog trougla"u intervalu (0;4) (slika 5). Naći analitički izraz za gustinu vjerovatnoće f(x) na cijeloj brojevnoj pravoj. Odgovori
0 na x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 za x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x na π/6<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 za x≤a, f(x)= za a<х 0 za x≥b. Grafikon funkcije f(x) prikazan je na sl. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Zadatak br. 1. Slučajna varijabla X je ravnomjerno raspoređena na segmentu. Pronađite: a) gustinu distribucije vjerovatnoće f(x) i nacrtajte je; b) funkciju distribucije F(x) i nacrtaj je; c) M(X),D(X), σ(X). Rješenje:
Koristeći formule o kojima smo raspravljali, sa a=3, b=7, nalazimo: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> na 3≤h≤7, 0 za x>7 Napravimo njegov graf (slika 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 na x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Sl. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 na x<0, f(x)= λe-λh za x≥0. Funkcija distribucije slučajne varijable X, raspoređena prema eksponencijalnom zakonu, data je formulom: DIV_ADBLOCK98"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> Slika 6 Matematičko očekivanje, varijansa i standardna devijacija eksponencijalne distribucije su, respektivno, jednake: M(X)= , D(X)=, σ (H)= Dakle, matematičko očekivanje i standardna devijacija eksponencijalne distribucije su međusobno jednaki. Vjerovatnoća da će X upasti u interval (a;b) izračunava se po formuli: P(a<Х Zadatak br. 2. Prosječno vrijeme rada uređaja bez kvara je 100 sati Pod pretpostavkom da vrijeme bez kvara uređaja ima eksponencijalni zakon raspodjele, naći: a) gustina raspodjele vjerovatnoće; b) funkcija distribucije; c) vjerovatnoća da će vrijeme rada uređaja bez kvara premašiti 120 sati. Rješenje:
Prema uslovu, matematička distribucija M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 na x<0, a) f(x)= 0,01e -0,01x za x≥0. b) F(x)= 0 na x<0, 1-e -0,01x pri x≥0. c) Željenu vjerovatnoću nalazimo koristeći funkciju distribucije: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3. §
3.Normalni zakon distribucije definicija:
Kontinuirana slučajna varijabla X ima zakon normalne distribucije (Gaussov zakon),
ako njegova gustina distribucije ima oblik: gdje je m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Kriva normalne distribucije se naziva normalna ili Gausova kriva
(Sl.7) Funkcija distribucije slučajne varijable X, raspoređena prema normalnom zakonu, izražava se kroz Laplaceovu funkciju F (x) prema formuli: gdje je Laplaceova funkcija. komentar:
Funkcija F(x) je neparna (F(-h)=-F(h)), osim toga, za x>5 možemo pretpostaviti da je F(h) ≈1/2. Grafikon funkcije distribucije F(x) prikazan je na Sl. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Vjerovatnoća da je apsolutna vrijednost odstupanja manja pozitivan brojδ se izračunava pomoću formule: Konkretno, za m=0 vrijedi sljedeća jednakost: "Pravilo tri sigme"
Ako slučajna varijabla X ima zakon normalne distribucije sa parametrima m i σ, onda je gotovo sigurno da njena vrijednost leži u intervalu (a-3σ; a+3σ), jer https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Koristimo formulu: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Iz tabele vrednosti funkcije F(h) nalazimo F(1.5)=0.4332, F(1)=0.3413. Dakle, željena vjerovatnoća: P(28 Zadaci za samostalan rad
3.1.
Slučajna varijabla X je ravnomjerno raspoređena u intervalu (-3;5). Pronađite: b) funkcija raspodjele F(x); c) numeričke karakteristike; d) vjerovatnoća P(4<х<6). 3.2.
Slučajna varijabla X je ravnomjerno raspoređena na segmentu. Pronađite: a) gustina distribucije f(x); b) funkcija raspodjele F(x); c) numeričke karakteristike; d) vjerovatnoća P(3≤h≤6). 3.3.
Na autoputu je automatski semafor na kojem je zeleno svjetlo upaljeno 2 minute, žuto 3 sekunde, crveno 30 sekundi itd. Autoput se vozi u nasumičnom trenutku. Pronađite vjerovatnoću da će automobil proći semafor bez zaustavljanja. 3.4.
Vozovi podzemne željeznice voze redovno u intervalima od 2 minute. Putnik ulazi na platformu u nasumično vrijeme. Kolika je vjerovatnoća da će putnik morati čekati više od 50 sekundi na voz? Naći matematičko očekivanje slučajne varijable X - vrijeme čekanja na voz. 3.5.
Pronađite varijansu i standardnu devijaciju eksponencijalne distribucije koju daje funkcija distribucije: F(x)= 0 na x<0, 1.-8x za x≥0. 3.6.
Kontinuirana slučajna varijabla X određena je gustinom raspodjele vjerovatnoće: f(x)= 0 na x<0, 0,7 e-0,7x pri x≥0. a) Imenujte zakon raspodjele slučajne varijable koja se razmatra. b) Pronađite funkciju raspodjele F(X) i numeričke karakteristike slučajne varijable X. 3.7.
Slučajna varijabla X se distribuira prema eksponencijalnom zakonu određenom gustinom raspodjele vjerovatnoće: f(x)= 0 na x<0, 0,4 e-0,4 x pri x≥0. Odrediti vjerovatnoću da će kao rezultat testa X uzeti vrijednost iz intervala (2.5;5). 3.8.
Kontinuirana slučajna varijabla X distribuira se prema eksponencijalnom zakonu određenom funkcijom distribucije: F(x)= 0 na x<0, 1.-0,6x na x≥0 Pronađite vjerovatnoću da će, kao rezultat testa, X uzeti vrijednost iz segmenta. 3.9.
Očekivana vrijednost i standardna devijacija normalno distribuirane slučajne varijable su 8 i 2, respektivno. a) gustina distribucije f(x); b) vjerovatnoća da će kao rezultat testa X uzeti vrijednost iz intervala (10;14). 3.10.
Slučajna varijabla X je normalno distribuirana sa matematičkim očekivanjem od 3,5 i varijansom od 0,04. Pronađite: a) gustina distribucije f(x); b) vjerovatnoća da će kao rezultat testa X uzeti vrijednost iz segmenta . 3.11.
Slučajna varijabla X je normalno distribuirana sa M(X)=0 i D(X)=1. Koji je od događaja: |X|≤0,6 ili |X|≥0,6 vjerovatniji? 3.12.
Slučajna varijabla X je normalno distribuirana sa M(X)=0 i D(X)=1. Iz kojeg intervala (-0,5;-0,1) ili (1;2) je vjerovatnije da će uzeti vrijednost tokom jednog testa? 3.13.
Trenutna cijena po akciji može se modelirati korištenjem zakona normalne distribucije sa M(X)=10 den. jedinice i σ (X)=0,3 den. jedinice Pronađite: a) verovatnoća da će trenutna cena akcije biti od 9,8 den. jedinice do 10,4 dana jedinice; b) koristeći „pravilo tri sigme“, pronađite granice unutar kojih će se nalaziti trenutna cijena dionica. 3.14.
Supstanca se vaga bez sistematskih grešaka. Slučajne greške vaganja podliježu normalnom zakonu sa srednjim kvadratnim omjerom σ=5g. Naći vjerovatnoću da se u četiri nezavisna eksperimenta ne dogodi greška u tri vaganja u apsolutnoj vrijednosti 3r. 3.15.
Slučajna varijabla X je normalno distribuirana sa M(X)=12,6. Vjerovatnoća da slučajna varijabla padne u interval (11,4;13,8) je 0,6826. Naći standardnu devijaciju σ. 3.16.
Slučajna varijabla X je normalno distribuirana sa M(X)=12 i D(X)=36. Pronađite interval u koji će slučajna varijabla X pasti kao rezultat testa sa vjerovatnoćom od 0,9973. 3.17.
Deo proizveden u automatskoj mašini smatra se neispravnim ako odstupanje X njegovog kontrolisanog parametra od nominalne vrednosti premašuje modul 2 merne jedinice. Pretpostavlja se da je slučajna varijabla X normalno raspoređena sa M(X)=0 i σ(X)=0,7. Koliki procenat neispravnih delova mašina proizvodi? 3.18.
X parametar dijela se distribuira normalno sa matematičkim očekivanjem od 2 jednakim nominalnoj vrijednosti i standardnom devijacijom od 0,014. Naći vjerovatnoću da odstupanje X od nominalne vrijednosti neće preći 1% nominalne vrijednosti. Odgovori
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 za x≤-3, F(x)= lijevo"> 3.10.
a)f(x)= , b) R(3,1≤H≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤H≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. X; značenje F(5); vjerovatnoća da je slučajna varijabla Xće uzeti vrijednosti iz segmenta. Konstruirajte poligon distribucije. Postavite zakon raspodjele slučajne varijable X u obliku tabele. Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable X. Konstruirajte grafove funkcija i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu, mod i medijan slučajne varijable X. Uzorak A: 6 9 7 6 4 4 Uzorak B: 55 72 54 53 64 53 59 48 42 46 50 63 71 56 54 59 54 44 50 43 51 52 60 43 50 70 68 59 53 58 62 49 59 51 52 47 57 71 60 46 55 58 72 47 60 65 63 63 58 56 55 51 64 54 54 63 56 44 73 41 68 54 48 52 52 50 55 49 71 67 58 46 50 51 72 63 64 48 47 55 Opcija 17. Izračunajte njegovo matematičko očekivanje i varijansu. Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable X. Konstruirajte grafove funkcija i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu, mod i medijan slučajne varijable X. · prosjek uzorka; · varijansa uzorka; Mod i medijan; Uzorak A: 0 0 2 2 1 4 · prosjek uzorka; · varijansa uzorka; standardna devijacija uzorka; · mod i medijan; Uzorak B: 166 154 168 169 178 182 169 159 161 150 149 173 173 156 164 169 157 148 169 149 157 171 154 152 164 157 177 155 167 169 175 166 167 150 156 162 170 167 161 158 168 164 170 172 173 157 157 162 156 150 154 163 143 170 170 168 151 174 155 163 166 173 162 182 166 163 170 173 159 149 172 176 Opcija 18. Izračunajte njegovo matematičko očekivanje i varijansu. Pronađite funkciju raspodjele slučajne varijable X. Nacrtajte grafove funkcija i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu, mod i medijan slučajne varijable X. · prosjek uzorka; · varijansa uzorka; standardna devijacija uzorka; · mod i medijan; Uzorak A: 4 7 6 3 3 4 · prosjek uzorka; · varijansa uzorka; standardna devijacija uzorka; · mod i medijan; Uzorak B: 152 161 141 155 171 160 150 157 154 164 138 172 155 152 177 160 168 157 115 128 154 149 150 141 172 154 144 177 151 128 150 147 143 164 156 145 156 170 171 142 148 153 152 170 142 153 162 128 150 146 155 154 163 142 171 138 128 158 140 160 144 150 162 151 163 157 177 127 141 160 160 142 159 147 142 122 155 144 170 177 Opcija 19. 1. Na gradilištu radi 16 žena i 5 muškaraca. 3 osobe su odabrane nasumično koristeći njihove brojeve osoblja. Pronađite vjerovatnoću da će svi odabrani ljudi biti muškarci. 2. Bacaju se četiri novčića. Nađite vjerovatnoću da će samo dva novčića imati „grb“. 3. Riječ “PSIHOLOGIJA” je sastavljena od kartica, od kojih svaka ima po jedno slovo napisano. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odrediti vjerovatnoću da izvađena slova formiraju riječ: a) PSIHOLOGIJA; b) OSOBLJE. 4. Urna sadrži 6 crnih i 7 bijelih kuglica. 5 loptica se nasumično izvlači. Pronađite vjerovatnoću da među njima ima: a. 3 bijele kuglice; b. manje od 3 bijele kuglice; c. najmanje jednu bijelu loptu. 5. Vjerovatnoća nastanka događaja A u jednom ogledu je jednako 0,5. Pronađite vjerovatnoće sljedećih događaja: a. događaj A pojavljuje se 3 puta u seriji od 5 nezavisnih ispitivanja; b. događaj A pojavit će se najmanje 30 i ne više od 40 puta u seriji od 50 ispitivanja. 6. Postoji 100 mašina iste snage, koje rade nezavisno jedna od druge u istom režimu, u kojem im je pogon uključen 0,8 radnih sati. Kolika je vjerovatnoća da će se u bilo kojem trenutku uključiti od 70 do 86 mašina? 7. Prva urna sadrži 4 bijele i 7 crnih kuglica, a druga urna sadrži 8 bijelih i 3 crne kuglice. Iz prve urne se nasumično izvlače 4 kuglice, a iz druge 1 kugla. Nađite vjerovatnoću da se među izvučenim kuglicama nalaze samo 4 crne kuglice. 8. Salon automobila dnevno prima automobile tri marke u količinama: „Moskvič“ – 40%; "Oka" - 20%; "Volga" - 40% svih uvezenih automobila. Među automobilima Moskvich, 0,5% ima uređaj protiv krađe, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Pronađite vjerovatnoću da automobil odveden na pregled ima uređaj za zaštitu od krađe. 9. Brojevi i biraju se nasumično na segmentu. Odrediti vjerovatnoću da ovi brojevi zadovolje nejednakosti. 10. Dat je zakon raspodjele slučajne varijable X: Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable X; značenje F(2); vjerovatnoća da je slučajna varijabla Xće uzeti vrijednosti iz intervala . Konstruirajte poligon distribucije. kao što je poznato, slučajna varijabla
naziva se promjenjiva veličina koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable su označene velikim slovima latinice (X, Y, Z), a njihove vrijednosti su označene odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinualne (diskretne) i kontinuirane. Diskretna slučajna varijabla
je slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti sa određenim nenultim vjerovatnoćama. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable
je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable sa njihovim odgovarajućim vjerovatnoćama. Zakon o raspodjeli može se specificirati na jedan od sljedećih načina. 1
. Zakon distribucije se može dati u tabeli:
gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … . V) korišćenjem funkcija distribucije F(x)
, koji za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x). Svojstva funkcije F(x) 3
. Zakon distribucije može se grafički specificirati
– distributivni poligon (poligon) (vidi problem 3). Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije karakteristike zakona o raspodjeli. To može biti broj koji ima značenje “prosječne vrijednosti” slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njene srednje vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable. Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable
: Izdato je 1000 lutrijskih listića: njih 5 će osvojiti 500 rubalja, 10 će osvojiti 100 rubalja, 20 će osvojiti 50 rubalja, 50 će osvojiti 10 rubalja. Odrediti zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X - dobitak po listiću. Rješenje.
U skladu sa uslovima zadatka, moguće su sledeće vrednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500. Broj tiketa bez dobitka je 1000 – (5+10+20+50) = 915, zatim P(X=0) = 915/1000 = 0,915. Slično, nalazimo sve ostale vjerovatnoće: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Predstavimo rezultujući zakon u obliku tabele: Nađimo matematičko očekivanje vrijednosti X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5 Uređaj se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerovatnoća kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napraviti zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, konstruirati poligon distribucije. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju diskretne slučajne varijable. Rješenje.
1.
Diskretna slučajna varijabla X = (broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 = 0 (nijedan element uređaja nije uspio), x 2 = 1 (jedan element nije uspio), x 3 = 2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 =3 (tri elementa nisu uspjela). Kvarovi elemenata su nezavisni jedan od drugog, vjerovatnoće kvara svakog elementa su jednake, stoga je primjenjiv Bernulijeva formula
. S obzirom na to da prema uslovu, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo vjerovatnoće vrijednosti: Dakle, željeni zakon binomne distribucije X ima oblik: Crtamo moguće vrijednosti x i duž ose apscise, a odgovarajuće vjerovatnoće p i duž ordinatne ose. Konstruirajmo tačke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Povezivanjem ovih tačaka pravim segmentima dobijamo željeni poligon distribucije. 3.
Nađimo funkciju raspodjele F(x) = R(H Grafikon funkcije F(x) 4.
Za binomnu distribuciju X: U primjenama teorije vjerovatnoće, kvantitativne karakteristike eksperimenta su od primarnog značaja. Količina koja se može kvantitativno odrediti i koja kao rezultat eksperimenta može poprimiti različite vrijednosti u zavisnosti od slučaja naziva se slučajna varijabla. Primjeri slučajnih varijabli: 1. Koliko puta se parni broj poena pojavljuje u deset bacanja kocke. 2. Broj pogodaka u metu od strane strijelca koji ispaljuje seriju hitaca. 3. Broj fragmenata eksplodirajuće granate. U svakom od datih primjera, slučajna varijabla može poprimiti samo izolirane vrijednosti, odnosno vrijednosti koje se mogu numerisati pomoću prirodnog niza brojeva. Takva slučajna varijabla, čije su moguće vrijednosti pojedinačni izolovani brojevi, koje ova varijabla uzima sa određenim vjerovatnoćama, naziva se diskretno. Broj mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable može biti konačan ili beskonačan (prebrojiv). Zakon o raspodjeli Diskretna slučajna varijabla je lista njenih mogućih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća. Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable može se specificirati u obliku tabele (serija raspodjele vjerovatnoće), analitički i grafički (poligon raspodjele vjerovatnoće). Prilikom izvođenja eksperimenta, potrebno je procijeniti vrijednost koja se proučava „u prosjeku“. Ulogu prosječne vrijednosti slučajne varijable igra numerička karakteristika tzv matematičko očekivanje, koja je određena formulom Gdje x 1 , x 2
,.. , x n– vrijednosti slučajne varijable X, A str 1 ,str 2 ,
... , str n– vjerovatnoće ovih vrijednosti (imajte na umu da str 1
+
str 2
+…+
str n =
1). Primjer. Gađanje se vrši na metu (sl. 11). Pogodak u I daje tri boda, u II – dva boda, u III – jedan bod. Broj poena koje je jedan strijelac postigao u jednom šutu ima zakon raspodjele oblika Za upoređivanje vještine strijelaca dovoljno je uporediti prosječne vrijednosti postignutih poena, tj. matematička očekivanja M(X) I M(Y):
M(X)
=
1
0,4
+ 2
0,2
+ 3
0,4
= 2,0, M(Y)
=
1
0,2
+ 2
0,5
+ 3
0,3
= 2,1. Drugi strijelac u prosjeku daje nešto veći broj poena, tj. daće bolje rezultate kada se više puta ispaljuje. Zapazimo svojstva matematičkog očekivanja: 1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti: M(C)
=C. 2. Matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako je zbiru matematičkih očekivanja pojmova: M =(X 1 +
X 2 +…+
X n)=
M(X 1)+
M(X 2)+…+
M(X n). 3. Matematičko očekivanje proizvoda međusobno nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu matematičkih očekivanja faktora M(X 1 X 2 …
X n)
=
M(X 1)M(X 2)…
M(X n). 4. Matematička negacija binomne distribucije jednaka je proizvodu broja pokušaja i vjerovatnoće da će se događaj desiti u jednom pokušaju (zadatak 4.6). M(X)
= pr. Procijeniti kako slučajna varijabla „u prosjeku“ odstupa od svog matematičkog očekivanja, tj. Da bi se okarakterizirao širenje vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerojatnosti, koristi se koncept disperzije. Varijanca slučajna varijabla X naziva se matematičko očekivanje kvadratne devijacije: D(X)
=
M[(X
-
M(X)) 2 ]. Disperzija je numerička karakteristika disperzije slučajne varijable. Iz definicije je jasno da što je manja disperzija slučajne varijable, to su njene moguće vrijednosti bliže locirane oko matematičkog očekivanja, odnosno što bolje vrijednosti slučajne varijable karakterizira njeno matematičko očekivanje. . Iz definicije proizilazi da se varijansa može izračunati pomoću formule Pogodno je izračunati varijansu koristeći drugu formulu: D(X)
=
M(X 2)
- (M(X)) 2 .
Disperzija ima sledeća svojstva: 1. Varijanca konstante je nula: D(C)
=
0.
2. Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije kvadriranjem: D(CX)
=
C 2 D(X). 3. Varijanca zbira nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbiru varijanse pojmova: D(X 1 +
X 2 +
X 3 +…+
X n)=
D(X 1)+
D(X 2)+…+
D(X n) 4. Varijanca binomne distribucije jednaka je umnošku broja pokušaja i vjerovatnoće pojave i nenastupanja događaja u jednom pokusu: D(X)
= npq. U teoriji vjerovatnoće često se koristi numerička karakteristika jednaka kvadratnom korijenu varijanse slučajne varijable. Ova numerička karakteristika naziva se srednja kvadratna devijacija i označava se simbolom Karakterizira približnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njene prosječne vrijednosti i ima istu dimenziju kao i slučajna varijabla. 4.1.
Strijelac ispaljuje tri hica u metu. Vjerovatnoća da ćete pogoditi metu svakim udarcem je 0,3. Konstruirajte seriju distribucije za broj pogodaka. Rješenje. Broj pogodaka je diskretna slučajna varijabla X. Svaka vrijednost x n
slučajna varijabla X odgovara određenoj vjerovatnoći P n . Zakon distribucije diskretne slučajne varijable u ovom slučaju se može specificirati blizu distribucije. U ovom problemu X uzima vrijednosti 0, 1, 2, 3. Prema Bernoullijevoj formuli Nađimo vjerovatnoće mogućih vrijednosti slučajne varijable: R 3 (0)
= (0,7) 3 =
0,343, R 3 (1)
= R 3 (2)
= R 3 (3)
= (0,3) 3 =
0,027. Uređivanjem vrijednosti slučajne varijable X rastućim redom, dobijamo red distribucije: X n Imajte na umu da iznos znači vjerovatnoću da je slučajna varijabla Xće uzeti barem jednu vrijednost među mogućim, pa je ovaj događaj, prema tome, pouzdan 4.2
.U urni su četiri kuglice sa brojevima od 1 do 4. Izvađene su dvije lopte. Slučajna vrijednost X– zbir brojeva kuglica. Konstruirajte seriju distribucije slučajne varijable X. Rješenje. Vrijednosti slučajne varijable X su 3, 4, 5, 6, 7. Nađimo odgovarajuće vjerovatnoće. Vrijednost slučajne varijable 3 X može se prihvatiti u jedinom slučaju kada jedna od odabranih loptica ima broj 1, a druga 2. Broj mogućih ishoda testa jednak je broju kombinacija četiri (broj mogućih parova loptica) od dvije. Koristeći klasičnu formulu vjerovatnoće dobijamo Isto tako, R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6. Zbir 5 može se pojaviti u dva slučaja: 1 + 4 i 2 + 3, dakle X ima oblik: Pronađite funkciju distribucije F(x) slučajna varijabla X i zacrtaj. Izračunajte za X njegova matematička očekivanja i varijansa. Rješenje. Zakon distribucije slučajne varijable može biti specificiran funkcijom distribucije F(x)
= P(X
x).
Funkcija distribucije F(x) je neopadajuća, lijevo-kontinuirana funkcija definirana na cijeloj brojevnoj pravoj, dok F
(-
)=
0,F
(+
)=
1. Za diskretnu slučajnu varijablu, ova funkcija je izražena formulom Stoga u ovom slučaju Grafikon funkcije distribucije F(x) je stepenasta linija (slika 12) F(x) Očekivana vrijednostM(X) je ponderisani aritmetički prosjek vrijednosti X 1 , X 2 ,……X n slučajna varijabla X sa vagama ρ
1,
ρ
2, ……
, ρ
n
i naziva se srednja vrijednost slučajne varijable X. Prema formuli M(X)= x 1
ρ
1 + x 2
ρ
2 +……+ x n
ρ
n M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72. Disperzija karakterizira stupanj disperzije vrijednosti slučajne varijable od njene prosječne vrijednosti i označava se D(X): D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2)
–[M(X)] 2 . Za diskretnu slučajnu varijablu, varijansa ima oblik ili se može izračunati pomoću formule Zamjenom numeričkih podataka problema u formulu, dobivamo: M(X 2)
=
3 2
∙ 0,14+5 2
∙ 0,2+7 2
∙ 0,49+11 2
∙ 0,17 = 50,84 D(X)
= 50,84-6,72 2
= 5,6816. 4.4.
Dvije kockice se bacaju dva puta u isto vrijeme. Napišite binomni zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X- broj pojavljivanja parnog ukupnog broja poena na dvije kocke. Rješenje. Hajde da uvedemo slučajni događaj A= (dvije kockice s jednim bacanjem rezultirale su ukupnim paran brojem bodova). Koristeći klasičnu definiciju vjerovatnoće nalazimo R(A)=
Gdje n
- broj mogućih ishoda testa nalazi se prema pravilu množenje: n
= 6∙6 =36, m
-
broj ljudi koji favorizuju događaj A ishodi - jednaki m= 3∙6=18. Dakle, vjerovatnoća uspjeha u jednom pokušaju je ρ
= P(A)=
1/2.
Problem je riješen korištenjem Bernoullijevog testa. Jedan izazov ovdje bi bio baciti dvije kockice jednom. Broj takvih testova n
= 2. Slučajna varijabla X uzima vrijednosti 0, 1, 2 sa vjerovatnoćama R 2 (0)
= Potrebna binomna distribucija slučajne varijable X može se predstaviti kao distributivna serija: X n ρ
n 4.5
. U seriji od šest dijelova nalaze se četiri standardna. Tri dijela su odabrana nasumično. Konstruirajte distribuciju vjerovatnoće diskretne slučajne varijable X– broj standardnih dijelova među odabranim i pronađite njegovo matematičko očekivanje. Rješenje. Vrijednosti slučajne varijable X su brojevi 0,1,2,3. To je jasno R(X=0)=0, pošto postoje samo dva nestandardna dela. R(X=1) = R(X= 2) = R(X=3) = Zakon distribucije slučajne varijable X Predstavimo to u obliku distribucijske serije: X n ρ
n Očekivana vrijednost M(X)=1
∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2. 4.6
. Dokazati da je matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable X- broj pojavljivanja događaja A V n nezavisna ispitivanja, u svakom od kojih je vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi ρ
– jednako umnošku broja pokušaja sa vjerovatnoćom pojave događaja u jednom ogledu, odnosno dokazati da je matematičko očekivanje binomne distribucije M(X)
=n .
ρ
, i disperzija D(X)
=n.p.
. Rješenje. Slučajna vrijednost X može uzeti vrijednosti 0, 1, 2..., n. Vjerovatnoća R(X= k) nalazi se pomoću Bernoullijeve formule: R(X=k)= R n(k)= Serija distribucije slučajne varijable X ima oblik: X n ρ
n q n Gdje q=
1-
ρ
. Za matematičko očekivanje imamo izraz: M(X)= U slučaju jednog testa, odnosno sa n= 1 za slučajnu varijablu X 1 – broj pojavljivanja događaja A- serija distribucije ima oblik: X n ρ
n M(X 1)=
0∙q +
1
∙ str
=
str D(X 1)
=
str
–
str 2
=
str(1-
str)
=
pq. Ako X k – broj pojavljivanja događaja A u kom testu onda R(X To)=
ρ
I X=X 1 +X 2 +….+X n . Odavde dobijamo M(X)=M(X 1
)+M(X 2)+
… +M(X n)=
nρ,
D(X)=D(X 1)+D(X 2)+
...
+D(X n)=npq. 4.7.
Odjel za kontrolu kvalitete provjerava standardnost proizvoda. Vjerovatnoća da je proizvod standardan je 0,9. Svaka serija sadrži 5 proizvoda. Pronađite matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable X- broj serija od kojih će svaka sadržavati 4 standardna proizvoda - ako je 50 serija podvrgnuto kontroli. Rješenje. Vjerovatnoća da će u svakoj nasumično odabranoj seriji biti 4 standardna proizvoda je konstantna; označimo ga sa ρ
.Onda matematičko očekivanje slučajne varijable X jednaki M(X)=
50∙ρ.
Nađimo vjerovatnoću ρ
prema Bernoullijevoj formuli: ρ=P 5 (4)= M(X)=
50∙0,32=16. 4.8
. Bacaju se tri kockice. Nađite matematičko očekivanje zbira ispuštenih bodova. Rješenje. Možete pronaći distribuciju slučajne varijable X- zbir ispuštenih bodova i zatim njegovo matematičko očekivanje. Međutim, ovaj put je previše težak. Lakše je koristiti drugu tehniku koja predstavlja slučajnu varijablu X, čije je matematičko očekivanje potrebno izračunati, u obliku zbira nekoliko jednostavnijih slučajnih varijabli, čije je matematičko očekivanje lakše izračunati. Ako je slučajna varijabla X i je broj osvojenih bodova i– th kosti ( i= 1, 2, 3), zatim zbir bodova X biće izraženo u obliku X = X 1 + X 2 + X 3 . Da bi se izračunalo matematičko očekivanje originalne slučajne varijable, sve što ostaje je koristiti svojstvo matematičkog očekivanja M(X 1
+ X 2 + X 3
)= M(X 1
)+ M(X 2)+ M(X 3
). Očigledno je da R(X i = K)=
1/6, TO=
1, 2, 3, 4, 5, 6,
i=
1,
2, 3. Dakle, matematičko očekivanje slučajne varijable X i izgleda kao M(X i)
=
1/6∙1
+ 1/6∙2
+1/6∙3
+ 1/6∙4
+ 1/6∙5
+ 1/6∙6
= 7/2, M(X)
=
3∙7/2 = 10,5.
4.9.
Odredite matematičko očekivanje broja uređaja koji nisu uspjeli tijekom testiranja ako: a) vjerovatnoća kvara za sve uređaje je ista R, a broj uređaja koji se testiraju je jednak n; b) vjerovatnoća neuspjeha za i
–
uređaja je jednako str i
,
i=
1,
2, … , n. Rješenje. Neka je slučajna varijabla X je onda broj neispravnih uređaja X = X 1 + X 2 + … + X n ,
X i
=
To je jasno R(X i =
1)=
R i ,
R(X i =
0)=
1–
R i ,i= 1,
2,
…
,n. M(X i)=
1∙R i +
0∙(1-R i)=P i , M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + … + P n .
U slučaju “a” vjerovatnoća kvara uređaja je ista, tj R i =p,i= 1,
2, …
,n. M(X)=
n.p.. Ovaj odgovor bi se mogao dobiti odmah ako primijetimo da je slučajna varijabla X ima binomnu distribuciju sa parametrima ( n,
str).
4.10.
Dvije kockice se bacaju dva puta istovremeno. Napišite binomni zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X - broj bacanja parnog broja bodova na dvije kocke. Rješenje. Neka A=(baciti paran broj na prvu kockicu), B =(baciti paran broj na drugu kocku). Dobivanje parnog broja na obje kocke u jednom bacanju izražava se proizvodom AB. Onda R
(AB)
= R(A)∙R(IN)
=
Rezultat drugog bacanja dvije kocke ne zavisi od prvog, pa se Bernoullijeva formula primjenjuje kada n
=
2,p = 1/4,
q
=
1– p = 3/4.
Slučajna vrijednost X može imati vrijednosti 0, 1, 2 ,
čija se vjerovatnoća može naći pomoću Bernoullijeve formule: R(X= 0)= P 2
(0)
=
q
2
= 9/16, R(X= 1)= P 2
(1)= C R(X= 2)= P 2
(2)= C Serija distribucije slučajne varijable X: 4.11.
Uređaj se sastoji od velikog broja elemenata koji nezavisno rade sa istom vrlo malom verovatnoćom otkazivanja svakog elementa tokom vremena t. Pronađite prosječan broj odbijanja tokom vremena t elemenata, ako je vjerovatnoća da će barem jedan element otkazati tokom ovog vremena 0,98. Rješenje.
Broj ljudi koji su odbili tokom vremena t elementi – slučajna varijabla X, koji je raspoređen prema Poissonovom zakonu, pošto je broj elemenata veliki, elementi rade nezavisno i verovatnoća kvara svakog elementa je mala. Prosječan broj pojavljivanja događaja u n testovi jednaki M(X)
=
n.p..
Budući da je vjerovatnoća neuspjeha TO elementi iz n izraženo formulom R n
(TO)
gdje
=
n.p., onda je vjerovatnoća da nijedan element neće otkazati tokom vremena t
stižemo do K = 0: R n
(0)= e - . Stoga je vjerovatnoća suprotnog događaja u vremenu t
najmanje jedan element ne radi – jednako 1 - e -
. Prema uslovima zadatka, ova vjerovatnoća je 0,98. Iz Eq. 1
- e -
= 0,98, e -
= 1 – 0,98 =
0,02, odavde
=
-ln
0,02
4. Dakle, na vreme t rada uređaja, u prosjeku će 4 elementa otkazati. 4.12
. Kockice se bacaju dok se ne pojavi "dvojka". Pronađite prosječan broj bacanja. Rješenje. Hajde da uvedemo slučajnu varijablu X– broj testova koji se moraju izvršiti dok se ne dogodi događaj koji nas zanima. Verovatnoća da X= 1 je jednako vjerovatnoći da će se prilikom jednog bacanja kockice pojaviti „dvojka“, tj. R(X= 1)
= 1/6. Događaj X= 2 znači da se na prvom testu „dvojka“ nije pojavila, ali na drugom jeste. Vjerovatnoća događaja X= 2 se nalazi po pravilu množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja: R(X= 2)
= (5/6)∙(1/6) Isto tako, R(X= 3)
= (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4)
= (5/6) 2 ∙1/6 itd. Dobijamo niz distribucija vjerovatnoće: (5/6) To
∙1/6 Prosječan broj bacanja (pokušaja) je matematičko očekivanje M(X)
=
1∙1/6 +
2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6
+ … + TO
(5/6) TO -1 ∙1/6
+ … = 1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2
+ … + TO
(5/6) TO -1
+ …) Nađimo zbir niza: dakle, M(X)
=
(1/6) (1/ (1 –
5/6) 2
= 6. Dakle, trebate napraviti u prosjeku 6 bacanja kocke dok ne dođe do "dvojke". 4.13.
Nezavisni testovi se provode sa istom vjerovatnoćom nastanka događaja A u svakom testu. Pronađite vjerovatnoću da se neki događaj dogodi A, ako je varijansa broja pojavljivanja događaja u tri nezavisna ispitivanja 0,63 .
Rješenje. Broj pojavljivanja događaja u tri pokušaja je slučajna varijabla X, distribuiran prema binomskom zakonu. Varijanca broja pojavljivanja događaja u nezavisnim pokusima (sa istom vjerovatnoćom pojave događaja u svakom pokušaju) jednaka je umnošku broja pokušaja sa vjerovatnoćama nastanka i nenastupanja događaja (problem 4.6) D(X)
=
npq.
Po stanju n
=
3,
D(X)
=
0,63, tako da možete R nađi iz jednačine 0,63
= 3∙R(1-R), koji ima dva rješenja R 1
=
0,7 i R 2
=
0,3. ZAKON DISTRIBUCIJE I KARAKTERISTIKE RANDOM VARIABLES Slučajne varijable, njihova klasifikacija i metode opisa. Slučajna veličina je veličina koja kao rezultat eksperimenta može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, ali koja nije unaprijed poznata. Za slučajnu varijablu, stoga, možete odrediti samo vrijednosti, od kojih će jednu definitivno uzeti kao rezultat eksperimenta. U nastavku ćemo ove vrijednosti nazivati mogućim vrijednostima slučajne varijable. Budući da slučajna varijabla kvantitativno karakterizira slučajni rezultat eksperimenta, može se smatrati kvantitativnom karakteristikom slučajnog događaja. Slučajne varijable se obično označavaju velikim slovima latinice, na primjer, X..Y..Z, a njihove moguće vrijednosti odgovarajućim malim slovima. Postoje tri tipa slučajnih varijabli: Discrete; Kontinuirano; Miješano. Diskretno je slučajna varijabla čiji broj mogućih vrijednosti čini skup koji se može prebrojiti. Zauzvrat, skup čiji se elementi mogu numerisati naziva se prebrojiv. Riječ "diskretno" dolazi od latinskog discretus, što znači "diskontinuiran, koji se sastoji od odvojenih dijelova". Primjer 1. Diskretna slučajna varijabla je broj neispravnih dijelova X u seriji od n proizvoda. Zaista, moguće vrijednosti ove slučajne varijable su niz cijelih brojeva od 0 do n. Primjer 2. Diskretna slučajna varijabla je broj hitaca prije prvog pogotka u metu. Ovdje, kao u primjeru 1, moguće vrijednosti se mogu numerisati, iako je u graničnom slučaju moguća vrijednost beskonačno veliki broj. Kontinuirano je slučajna varijabla čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju određeni interval numeričke ose, koji se ponekad naziva interval postojanja ove slučajne varijable. Dakle, na bilo kojem konačnom intervalu postojanja, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačno velik. Primjer 3. Kontinuirana slučajna varijabla je mjesečna potrošnja električne energije preduzeća. Primjer 4. Kontinuirana slučajna varijabla je greška u mjerenju visine pomoću visinomjera. Neka se iz principa rada visinomera zna da je greška u opsegu od 0 do 2 m. Dakle, interval postojanja ove slučajne varijable je interval od 0 do 2 m. Zakon raspodjele slučajnih varijabli. Slučajna varijabla se smatra potpuno specificiranom ako su njene moguće vrijednosti naznačene na numeričkoj osi i uspostavljen je zakon raspodjele. Zakon raspodjele slučajne varijable je relacija koja uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerovatnoća. Za slučajnu varijablu se kaže da je raspoređena prema datom zakonu ili podliježe datom zakonu distribucije. Određeni broj vjerovatnoća, funkcija distribucije, gustina vjerovatnoće i karakteristična funkcija se koriste kao zakoni distribucije. Zakon raspodjele daje potpuni vjerojatni opis slučajne varijable. Prema zakonu distribucije, prije eksperimenta se može prosuditi koje će se moguće vrijednosti slučajne varijable pojavljivati češće, a koje rjeđe. Za diskretnu slučajnu varijablu, zakon raspodjele se može specificirati u obliku tabele, analitički (u obliku formule) i grafički. Najjednostavniji oblik specificiranja zakona distribucije diskretne slučajne varijable je tabela (matrica), koja uzlaznim redoslijedom navodi sve moguće vrijednosti slučajne varijable i njihove odgovarajuće vjerovatnoće, tj. Takva tabela se naziva nizom distribucije diskretne slučajne varijable. 1 Događaji X 1, X 2,..., X n, koji se sastoje u činjenici da će kao rezultat testa, slučajna varijabla X uzeti vrijednosti x 1, x 2,... x n, respektivno, su nedosljedne i jedino moguće (pošto su u tabeli navedene sve moguće vrijednosti slučajne varijable), tj. formiraju kompletnu grupu. Stoga je zbir njihovih vjerovatnoća jednak 1. Dakle, za bilo koju diskretnu slučajnu varijablu (Ova jedinica je nekako raspoređena među vrijednostima slučajne varijable, otuda i termin "distribucija"). Serija distribucije može se grafički prikazati ako se vrijednosti slučajne varijable nacrtaju duž ose apscise, a njihove odgovarajuće vjerovatnoće nanesene duž ordinatne ose. Veza dobijenih tačaka formira isprekidanu liniju koja se naziva poligon ili poligon distribucije verovatnoće (slika 1). Primjer Lutrija uključuje: automobil od 5.000 den. jedinice, 4 televizora po 250 den. jedinica, 5 video rekordera u vrednosti od 200 den. jedinice Ukupno je prodato 1000 karata za 7 dana. jedinice Sastavite zakon o raspodjeli za neto dobitke koje je primio učesnik lutrije koji je kupio jedan listić. Rješenje. Moguće vrijednosti slučajne varijable X - neto dobitak po listiću - jednake su 0-7 = -7 novca. jedinice (ako tiket nije dobio), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. jedinice (ako tiket ima dobitke od videorekordera, TV-a ili automobila). S obzirom da je od 1000 listića broj ne-dobitnika 990, a naznačeni dobici su 5, 4 i 1, i koristeći klasičnu definiciju vjerovatnoće, dobijamo.
1.2.
p4=0,1; 0 na x≤-1,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 za x≤a,
,
Normalna kriva je simetrična u odnosu na pravu x=m, ima maksimum na x=a, jednak .
,
X
–28
–20
–12
–4
str
0,22
0,44
0,17
0,1
0,07
X
str
0,1
0,2
0,3
0,4
Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ
Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λPrimjeri rješavanja zadataka na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"
Zadatak 1.
Zadatak 3.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 postojaće F(x) = 1, jer događaj je pouzdan. 
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varijansa D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
.
.
,
0,3(0,7) 2
= 0,441,
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
.
.
.
,
,R 2 (1)
=
∙
,R 2 (2)
=
=1/5,
= 3/5,
= 1/5.
ρ
To
(1-ρ
) n- To
ρq n- 1
ρq n- 2
ρ
n
ρq n -
1
+2
ρ
2
q n -
2
+…+.n
ρ
n
= 0,94∙0,1=0,32.
.
,R∙q
=
6/16,
,
R 2
=
1/16.
,
TOg
TO -1
= (
g TO)
g
.
Učitavanje...