Diferencijalne jednadžbe kretanja. Diferencijalne jednadžbe kretanja materijalne tačke Uvod u dinamiku. Osnovne odredbe

DINAMIKA

Elektronski udžbenik iz discipline: “Teorijska mehanika”

za studente obrazac za prepisku obuku

U skladu sa Federalnim obrazovnim standardom

(treća generacija)

Sidorov V.N., doktor tehničkih nauka, prof

Jaroslavski državni tehnički univerzitet

Jaroslavlj, 2016

Uvod………………………………………………………………………………………………

Dinamika………………………………………………………………………………..

1.Uvod u dinamiku. Osnovne odredbe …………………………

1.1.Osnovni koncepti i definicije…………………………………………

1.2. Newtonovi zakoni i problemi dinamike………………………………

1.3.Glavne vrste snaga…………………………………………………………………… .........

Sila gravitacije……………………………………………………………….

Gravitacija ……………………………………………………………………..

Sila trenja ……………………………………………………………………

Elastična sila……………………………………………………………………..

1.4.Diferencijalne jednadžbe pokreti………………………………..

Diferencijalne jednadžbe kretanja tačke………………..

Diferencijalne jednadžbe mehaničkog kretanja

sistemi………………………………………………………….

2. Opće teoreme dinamike………………………. ……………………

2.1.Teorema o kretanju centra masa ……………….. ………………

2.2.Teorema o promjeni impulsa………………………………

2.3.Teorema o promjeni ugaonog momenta…………

Teorema trenutka…………………………………………………………………………………

Kinetički moment krutog tijela……………………………………….

Aksijalni moment inercije krutog tijela …………………………..

Huygens – Steiner – Euler teorem…………………………………..

Jednačina dinamike rotacionog kretanja krutog tijela...

2.4.Teorema o promjeni kinetičke energije…………………..

Teorema o promjeni kinetičke energije materijala

bodova………………………………………………………………………….

Teorema o promjeni kinetičke energije mehaničke

sistemi…………………………………………………………

Formule za izračunavanje kinetičke energije čvrstog tijela

u različitim slučajevima kretanja………………………………………………………

Primjeri izračunavanja rada sila………………………………….

2.5 Zakon održanja mehaničke energije……………………….

Uvod

„Ko nije upoznat sa zakonima mehanike

ne može poznavati prirodu"

Galileo Galilei

Značaj mehanike, njenu značajnu ulogu u unapređenju proizvodnje, povećanju njene efikasnosti, ubrzanju naučno-tehničkog procesa i uvođenju naučnih dostignuća, povećanju produktivnosti rada i poboljšanju kvaliteta proizvoda, nažalost, ne razumeju jasno svi rukovodioci ministarstava i resora. , viši obrazovne institucije, kao i šta predstavlja mehanika naših dana /1/ O tome se po pravilu sudi po sadržaju teorijske mehanike koja se izučava u svim visokotehničkim obrazovnim ustanovama.

Studenti treba da znaju koliko je značajna teorijska mehanika, kao jedna od temeljnih inženjerskih disciplina visokog obrazovanja, naučna osnova najvažnijih sekcija. moderna tehnologija, svojevrsni most koji povezuje matematiku i fiziku sa primenjenim naukama, sa budućom profesijom. U nastavi na teorijske mehanike Po prvi put studenti se podučavaju sistemskom razmišljanju i sposobnosti postavljanja i rješavanja praktičnih problema. Riješite ih do kraja, do brojčanog rezultata. Naučite analizirati rješenje, uspostaviti granice njegove primjenjivosti i zahtjeve za tačnost izvornih podataka.

Podjednako je važno da studenti znaju da je teorijska mehanika samo uvodni, iako apsolutno neophodan, dio kolosalne građevine moderne mehanike u širem smislu ove fundamentalne nauke. Da će se razvijati iu drugim granama mehanike: čvrstoći materijala, teoriji ploča i školjki, teoriji vibracija, regulaciji i stabilnosti, kinematici i dinamici mašina i mehanizama, mehanici tečnosti i gasa, hemijskoj mehanici.

Dostignuća u svim oblastima mašinstva i instrumenata, građevinske industrije i hidrotehnike, rudarstva i prerade rude, uglja, nafte i gasa, železničkog i drumskog saobraćaja, brodogradnje, vazduhoplovstva i svemirske tehnologije zasnivaju se na dubokom razumevanju zakona mehanika.

Udžbenik je namijenjen studentima mašinstva, auto-mehaničkih specijalnosti dopisnih predmeta na tehničkom fakultetu po skraćenom programu predmeta.

Dakle, nekoliko definicija.

Teorijska mehanika je nauka koja proučava opšte zakone mehaničkog kretanja i ravnoteže materijalnih objekata i rezultirajuće mehaničke interakcije između materijalnih objekata.

Ispod mehaničko kretanje materijalnog objekta razumeti promena njegovog položaja u odnosu na druge materijalne objekte koja se dešava tokom vremena.

Ispod mehanička interakcija implicirati takva djelovanja tijela jedno na drugo, pri čemu se mijenjaju kretanja ovih tijela, ili se sama deformišu (mijenjaju svoj oblik).

Teorijska mehanika se sastoji od tri dijela: statike, kinematike i dinamike.

DINAMIKA

Uvod u dinamiku. Osnovne odredbe

Osnovni pojmovi i definicije

Formulirajmo još jednom u malo drugačijem obliku definiciju dinamike kao dijela mehanike.

Dynamics – grana mehanike koja proučava kretanje materijalnih objekata, uzimajući u obzir sile koje djeluju na njih.

Obično proučavanje dinamike počinje proučavanjem dinamika materijalne tačke a zatim nastavite sa učenjem dinamika mehaničkog sistema.

Zbog sličnosti formulacija mnogih teorema i zakona ovih dijelova dinamike, kako bi se izbjeglo nepotrebno dupliciranje i smanjio obim teksta udžbenika, preporučljivo je ove dijelove dinamike prikazati zajedno.

Hajde da uvedemo neke definicije.

Inercija (zakon inercije) – svojstvo tijela da održavaju stanje mirovanja ili ravnomjerno pravolinijsko translacijsko gibanje u odsustvu djelovanja drugih tijela na njega (tj. u odsustvu sila).

Inercija - sposobnost tijela da se odupru pokušajima da se uz pomoć sila promijeni stanje mirovanja ili uniforme pravolinijsko kretanje .

Kvantitativna mjera inercije je težina(m). Standard mase je kilogram (kg).

Iz toga slijedi da što je tijelo inertnije, što je veća njegova masa, manje se mijenja njegovo stanje mirovanja ili ravnomjernog kretanja pod utjecajem određene sile, to se manje mijenja brzina tijela, tj. tijelo je u stanju da se bolje odupre sili. I obrnuto, što je masa tijela manja, to se više mijenja njegovo stanje mirovanja ili ravnomjernog kretanja, to se više mijenja brzina tijela, tj. Tijelo je manje otporno na silu.

Zakoni i problemi dinamike

Hajde da formulišemo zakone dinamike materijalne tačke. U teorijskoj mehanici oni su prihvaćeni kao aksiomi. Valjanost ovih zakona je zbog činjenice da se na njihovoj osnovi gradi čitavo zdanje klasične mehanike, čiji se zakoni sprovode sa velikom tačnošću. Kršenja zakona klasične mehanike uočavaju se samo pri velikim brzinama (relativistička mehanika) i na mikroskopskoj skali (kvantna mehanika).

Glavne vrste snaga

Najprije uvedemo podjelu svih sila koje se nalaze u prirodi na aktivne i reaktivne (reakcije veza).

Aktivan navedite silu koja može pokrenuti tijelo u mirovanju.

Reakcija veza nastaje kao rezultat djelovanja aktivne sile na neslobodno tijelo i sprječava kretanje tijela. Zapravo, dakle, posljedica, odgovor, posljedica aktivne sile.

Razmotrimo sile koje se najčešće susreću u problemima mehanike.

Gravitacija

Ova sila gravitacionog privlačenja između dva tijela, određena zakonom univerzalne gravitacije:

gdje je ubrzanje gravitacije na površini Zemlje, brojčano jednako g≈ 9,8 m/s 2, m– masa tijela, ili mehaničkog sistema, definisana kao ukupna masa svih tačaka sistema:

gdje je radijus vektor k- oh tačka sistema. Koordinate centra mase se mogu dobiti projektovanjem obe strane jednakosti (3.6) na ose:

(7)

Sila trenja

Inženjerski proračuni su zasnovani na eksperimentalno utvrđenim zakonima koji se nazivaju zakoni suhog trenja (u nedostatku podmazivanja), ili Coulombovi zakoni:

· Prilikom pokušaja pomicanja jednog tijela duž površine drugog, javlja se sila trenja ( statička sila trenja ), čija vrijednost može uzeti vrijednosti od nule do neke granične vrijednosti.

· Veličina krajnje sile trenja jednaka je proizvodu nekog bezdimenzionalnog, eksperimentalno određenog koeficijenta trenja f na sili normalnog pritiska N, tj.

.

(8)

· Po dostizanju granične vrijednosti statičke sile trenja, nakon iscrpljivanja adhezionih svojstava spojnih površina, tijelo počinje da se kreće duž potporne površine, a sila otpora kretanju je gotovo konstantna i ne ovisi o brzini (u razumnim granicama). Ova sila se zove sila trenja klizanja a jednaka je graničnoj vrijednosti sile statičkog trenja.

· površine.

Predstavimo vrijednosti koeficijenta trenja za neka tijela:

Table 1

Trenje kotrljanja

Fig.1

Kada se točak kotrlja bez klizanja (slika 1), reakcija oslonca se pomiče blago naprijed u pravcu kretanja točka. Razlog tome je asimetrična deformacija materijala kotača i potporne površine u kontaktnoj zoni. Pod uticajem sile, pritisak na ivici B kontaktne zone raste, a na ivici A opada. Kao rezultat, reakcija se pomjera prema kretanju kotača za određenu količinu k, zvao koeficijent trenja kotrljanja . Par sila djeluje na točak i sa momentom otpora kotrljanja usmjerenim protiv rotacije točka:

U uslovima ravnoteže sa ravnomernim kotrljanjem, momenti sila uparuju , i , međusobno se balansiraju: , iz čega sledi procena vrednosti sile usmerene protiv kretanja tela: . (10)

Omjer za većinu materijala je znatno manji od koeficijenta trenja f. To objašnjava činjenicu da u tehnologiji, kad god je to moguće, nastoje zamijeniti klizanje kotrljanjem.

Elastična sila

Ovo je sila kojom deformisano telo nastoji da se vrati u prvobitno, nedeformisano stanje. Ako, na primjer, rastegnete oprugu za određenu količinu λ , tada su elastična sila i njen modul jednaki, respektivno:

.

(11)

Znak minus u vektorskom odnosu pokazuje da je sila usmjerena u suprotnom smjeru od pomaka. Magnituda With se zove " rigidnost "i ima dimenziju N/m.

Diferencijalne jednadžbe kretanja

Diferencijalne jednadžbe kretanja tačke

Vratimo se izrazu osnovnog zakona dinamike tačke u obliku (3.2), zapisujući ga u obliku vektorskih diferencijalnih jednadžbi 1. i 2. reda (subscript će odgovarati broju sile):

(17)

(18)

Uporedimo, na primjer, sisteme jednačina (15) i (17). Lako je vidjeti da se opis kretanja tačke u koordinatnim osama svodi na 3 diferencijalne jednadžbe 2. reda, ili (nakon transformacije) na 6 jednačina 1. reda. Istovremeno, opis kretanja tačke u prirodnim osovinama povezan je sa mešovitim sistemom jednačina, koji se sastoji od jedne diferencijalne jednačine 1. reda (u odnosu na brzinu) i dve algebarske.

Iz ovoga možemo zaključiti da kada se analizira kretanje materijalne tačke, ponekad je lakše rešiti prvi i drugi problem dinamike, formulisanjem jednadžbi gibanja u prirodnim osovinama.

Prvi ili direktni problem dinamike materijalne tačke uključuje probleme u kojima je, s obzirom na jednačine kretanja tačke i njene mase, potrebno pronaći silu (ili sile) koje na nju djeluju.

Drugi ili inverzni problem dinamike materijalne tačke uključuje probleme u kojima je na osnovu njene mase, sile (ili sila) koje na nju deluju i poznatih kinematičkih početnih uslova potrebno odrediti jednačine njenog kretanja.

Treba napomenuti da se prilikom rješavanja 1. problema dinamike diferencijalne jednadžbe pretvaraju u algebarske, čije je rješenje sistema trivijalan zadatak. Prilikom rješavanja 2. problema dinamike, za rješavanje sistema diferencijalnih jednadžbi potrebno je formulisati Cauchyjev problem, tj. jednačinama dodati tzv "rubni" uslovi. U našem slučaju to su uslovi koji nameću ograničenja položaja i brzine u početnom (konačnom) trenutku vremena, ili tzv. "

Budući da su, prema zakonu jednakosti akcije i reakcije, unutrašnje sile uvijek u paru (djeluju na svaku od dviju međudjelujućih tačaka), one su jednake, suprotno usmjerene i djeluju duž prave linije koja spaja ove tačke, onda je njihov zbir u parovima jednaka je nuli. Osim toga, zbir momenata ove dvije sile oko bilo koje tačke je također nula. To znači da zbir svih unutrašnjih sila I zbir momenata svih unutrašnjih sila mehaničkog sistema odvojeno je jednak nuli:

,

(22)

.

(23)

Ovdje su, redom, glavni vektor i glavni moment unutrašnjih sila, izračunati u odnosu na tačku O.

Jednakosti (22) i (23) odražavaju svojstva unutrašnjih sila mehaničkog sistema .

Neka za neke k- materijalne tačke mehaničkog sistema, istovremeno deluju i spoljašnje i unutrašnje sile. Pošto se primjenjuju na jednu tačku, mogu se zamijeniti rezultantama vanjskih () i unutrašnjih () sila, respektivno. Zatim osnovni zakon dinamike k-ta tačka sistema se može napisati kao , dakle za ceo sistem će biti:

(24)

Formalno, broj jednačina u (24) odgovara broju n tačke mehaničkog sistema.

Izrazi (24) predstavljaju diferencijalne jednadžbe kretanja sistema u vektorskom obliku , ako zamijene vektore ubrzanja sa prvim ili drugim izvodom brzine i vektorom radijusa, respektivno: Po analogiji sa jednadžbama kretanja jedne tačke (15), ove vektorske jednadžbe se mogu transformirati u sistem od 3 n diferencijalne jednadžbe 2. reda.

Opće teoreme dinamike

Opšte su one teoreme dinamike materijalne tačke i mehaničkog sistema koje daju zakone koji važe za sve slučajeve kretanja materijalnih objekata u inercijalnom referentnom okviru.

Uopšteno govoreći, ove teoreme su posledice rešenja sistema diferencijalnih jednačina koji opisuje kretanje materijalne tačke i mehaničkog sistema.

ODJELJAK 3. DINAMIKA.

Dynamics Materijalno tijelo- telo koje ima masu.

Materijalna tačka

Materijal

A - bV -

Inercija

Telesna masa

Force -

,

. A - b- - vučna sila električne lokomotive; V- -

Sistem Inercijalno

Pokret Prostor Vrijeme

Sistem

TEMA 1

Prvi zakon(zakon inercije).

Izolirano

Na primjer: - tjelesna težina, -

- početna brzina).

Drugi zakon(osnovni zakon dinamike).

Matematički, ovaj zakon je izražen vektorskom jednakošću

Tokom ubrzanja, kretanje tačke je jednoliko promenljivo (slika 5: A - kretanje - sporo; b - kretanje - ubrzano, . - tačka mase, - vektor ubrzanja, - vektor sile, - vektor brzine).

Kada - tačka se kreće ravnomerno i pravolinijski ili kada - miruje (zakon inercije). Drugi zakon nam omogućava da uspostavimo vezu između tjelesne težine, koji se nalazi u blizini površine zemlje, i njen težina , , gdje je ubrzanje slobodnog pada.

Treći zakon(zakon jednakosti akcije i reakcije).

Dva materijala tačke djeluju jedna na drugu sa silama jednakim po veličini i usmjerenim duž prave linije koja povezuje ove tačke u suprotnim smjerovima.

Budući da se sile primjenjuju na različite tačke, sistem sila nije uravnotežen (slika 6). Zauzvrat - omjer masa međudjelujućih tačaka obrnuto je proporcionalan njihovim ubrzanjima.

Četvrti zakon(zakon nezavisnosti delovanja sila).

ubrzanje, koju tačka primi kada na nju istovremeno djeluje više sila, jednaka je geometrijskom zbroju onih ubrzanja koje bi tačka primila kada bi se svaka sila na nju primjenila posebno.

Objašnjenje (slika 7). Rezultirajuća sila je definirana kao . Pošto , To .

Drugi (inverzni) problem.

Poznavanje struje o tački sile, njenoj masi i početnim uslovima kretanja, određuju zakon kretanja tačke ili bilo koju od njenih drugih kinematičkih karakteristika.

Inicijal uslovi za kretanje tačke u dekartovskim osama su koordinate tačke, , i projekcija početne brzine na ove ose, iu trenutku koji odgovara početku kretanja tačke i uzet jednak nuli .

Rješavanje problema ovog tipa svodi se na sastavljanje diferencijalnih jednadžbi (ili jedne jednačine) kretanja materijalne tačke i njihovo naknadno rješavanje direktnom integracijom ili korištenjem teorije diferencijalnih jednadžbi.

TEMA 2. UVOD U DINAMIKU MAŠINSKOG SISTEMA

2.1. Osnovni pojmovi i definicije

Mehanički sistem ili sistem materijalnih tačaka je skup materijalnih tačaka koje međusobno deluju.

Primjeri mehaničkih sistema:

1. materijalno tijelo, uključujući i apsolutno čvrsto, kao skup materijalnih čestica koje međusobno djeluju; skup međusobno povezanih čvrstih tijela; skup planeta u Sunčevom sistemu, itd.

2. Jato letećih ptica nije mehanički sistem, jer ne postoji interakcija sila između ptica.

Besplatno mehanički sistem je sistem u kojem se kretanju tačaka ne nameću nikakve veze. Na primjer: kretanje planeta Sunčevog sistema.

Neslobodan mehanički sistem - sistem u kojem su veze nametnute na kretanje tačaka. Na primjer: kretanje dijelova u bilo kojem mehanizmu, mašini itd.

Klasifikacija snaga

Klasifikacija sila koje djeluju na neslobodni mehanički sistem može se predstaviti u obliku sljedećeg dijagrama:

Eksterni sile - sile koje deluju na tačke datog mehaničkog sistema iz drugih sistema.

Domaći- sile interakcije između tačaka jednog mehaničkog sistema.

Na proizvoljnu tačku sistema (slika 1) utječu: - rezultanta vanjskih sila (indeks - prvo slovo francuska riječ eksterijer - (vanjski)); - rezultanta unutrašnjih sila (indeks - od riječi interieur - (unutrašnji)). Ista snaga reakcije veze, ovisno o uvjetima zadatka, može biti i vanjska i unutrašnja.

Svojstvo unutrašnjih sila

i - tačke interakcije mehaničkog sistema (slika 2). Na osnovu 3. zakona dinamike

Na drugoj strani: . Dakle, glavni vektor i glavni moment unutrašnjih sila mehaničkog sistema jednaki su nuli:

ODJELJAK 3. DINAMIKA.

OSNOVNI POJMOVI KLASIČNE MEHANIKE

Dynamics- grana teorijske mehanike u kojoj se proučava kretanje materijalna tela(tačke) pod uticajem primenjenih sila. Materijalno tijelo- telo koje ima masu.

Materijalna tačka- materijalno tijelo čija je razlika u kretanju tačaka beznačajna. To može biti ili tijelo čije se dimenzije pri kretanju mogu zanemariti ili tijelo konačnih dimenzija ako se kreće translatorno.

Materijal tačke se nazivaju i čestice u koje se solidan prilikom određivanja nekih njegovih dinamičkih karakteristika.

Primjeri materijalnih tačaka (slika 1): A - kretanje Zemlje oko Sunca. Zemlja je materijalna tačka; b- translatorno kretanje krutog tijela. Čvrsto tijelo je materijalna tačka, jer ; V - rotacija tela oko ose. Čestica tijela je materijalna tačka.

Inercija- svojstvo materijalnih tijela da pod utjecajem primijenjenih sila mijenjaju brzinu svog kretanja brže ili sporije.

Telesna masa je skalarna pozitivna veličina koja zavisi od količine supstance sadržane u datom telu i određuje njegovu meru inercije tokom translacionog kretanja. U klasičnoj mehanici masa je konstantna veličina.

Force- kvantitativna mjera mehaničke interakcije između tijela ili između tijela (tačke) i polja (električnog, magnetskog, itd.). Sila je vektorska veličina koju karakteriše veličina, tačka primene i pravac (linija dejstva) (slika 2: - tačka primene je linija delovanja sile).

U dinamici, pored stalnih sila, postoje i promjenjive sile, koje mogu ovisiti o vremenu, brzini , udaljenosti ili od ukupnosti ovih veličina, tj.

Primjeri takvih sila prikazani su na sl. 3 . A -- tjelesna težina, - sila otpora zraka; b- - vučna sila električne lokomotive; V- - sila odbijanja ili privlačenja centra.

Sistem referenca - koordinatni sistem povezan sa tijelom u odnosu na koji se proučava kretanje drugog tijela. Inercijalno sistem - sistem u kojem su zadovoljeni prvi i drugi zakon dinamike. Ovo je fiksni koordinatni sistem ili sistem koji se kreće ravnomerno i linearno translaciono.

Pokret u mehanici, to je promjena položaja tijela u prostoru i vremenu. Prostor u klasičnoj mehanici, trodimenzionalni, podložan euklidskoj geometriji. Vrijeme- skalarna veličina koja se jednako javlja u bilo kojem referentnom sistemu.

Sistem jedinice su skup mjernih jedinica fizičkih veličina. Za mjerenje svih mehaničkih veličina dovoljne su tri osnovne jedinice: jedinice dužine, vremena, mase ili sile. Sve ostale jedinice mjerenja mehaničkih veličina su izvedene iz njih. Koriste se dvije vrste sistema jedinica: međunarodni sistem jedinica SI (ili manji - GHS) i tehnički sistem jedinica - ICG.

TEMA 1. UVOD U DINAMIKU MATERIJALNE TAČKE.

1.1. Zakoni dinamike materijalne tačke (Galileo-Newton zakoni)

Prvi zakon(zakon inercije).

Izolirano od vanjskih utjecaja, materijalna tačka održava svoje stanje mirovanja ili se kreće ravnomjerno i pravolinijski sve dok je primijenjene sile ne prisile da promijeni ovo stanje.

Kretanje koje vrši tačka u odsustvu sila ili pod dejstvom uravnoteženog sistema sila naziva se kretanje po inerciji.

Na primjer: kretanje tijela duž glatke (sila trenja je nula) horizontalne površine (slika 4: - tjelesna težina, - normalna reakcija u ravni). Od tada.

Kada se tijelo kreće istom brzinom; kada je tijelo u mirovanju ( - početna brzina).

Rykov V.T.

Tutorial. - Krasnodar: Kubanski državni univerzitet, 2006. - 100 str.: 25 ilustr.. Prvi deo kursa predavanja sa zadacima iz teorijske mehanike za fizičke specijalnosti klasičnog univerzitetskog obrazovanja.
Priručnik predstavlja drugi dio nastavno-metodičkog kompleksa o teorijskoj mehanici i mehanici kontinuuma. Sadrži bilješke sa predavanja za tri dijela predmeta iz teorijske mehanike i mehanike kontinuuma: “Osnovna diferencijalna jednačina dinamike”, “Kretanje u centralno simetričnom polju” i “Rotacijsko kretanje krutog tijela”. U okviru nastavno-metodičkog kompleksa priručnik sadrži kontrolne zadatke (opcije testova) i pitanja za završno kompjutersko testiranje (ispit). Ovaj kurs je dopunjen elektronskim udžbenikom sa fragmentima predavanja (na laserskom disku).
Priručnik je namijenjen studentima 2. i 3. godine fizike i fizičko-tehničkih fakulteta univerziteta, može biti od koristi i studentima tehničkih fakulteta koji izučavaju osnove teorijske i tehničke mehanike.
Fundamentalna diferencijalna jednadžba dinamike (Njutnov drugi zakon)
Struktura sekcije
Opis kretanja materijalne tačke
Direktni i inverzni dinamički problemi
Izvođenje zakona održanja količine kretanja iz osnovne diferencijalne jednadžbe dinamike
Izvođenje zakona održanja energije iz osnovne diferencijalne jednadžbe dinamike
Izvođenje zakona održanja ugaonog momenta iz osnovne diferencijalne jednadžbe dinamike
Integrali kretanja

Test zadatak
Kretanje u centralno simetričnom polju
Struktura sekcije
Koncept centralno simetričnog polja
Brzina u krivolinijskim koordinatama
Ubrzanje u krivolinijskim koordinatama
Brzina i ubrzanje u sfernim koordinatama
Jednačine kretanja u centralno simetričnom polju
Sektorska brzina i sektorsko ubrzanje
Jednačina kretanja materijalne tačke u gravitacionom i Kulonovom polju
Svođenje problema dva tijela na problem jednog tijela. Smanjena masa
Rutherfordova formula
Test na temu: Brzina i ubrzanje u krivolinijskim koordinatama
Rotacijsko kretanje krutog tijela
Struktura sekcije
Koncept čvrstog tijela. Rotacijsko i translacijsko kretanje
Kinetička energija čvrste supstance
Tenzor inercije
Svođenje tenzora inercije na dijagonalni oblik
Fizičko značenje dijagonalnih komponenti tenzora inercije
Steinerova teorema za tenzor inercije
Moment kretanja krutog tijela
Jednačine rotacionog kretanja krutog tijela u rotirajućem koordinatnom sistemu
Eulerovi uglovi
Kretanje u neinercijalnim referentnim okvirima
Test na temu: Rotacijsko kretanje krutog tijela
Preporučeno čitanje
Aplikacija
Aplikacija
Neke osnovne formule i odnosi
Predmetni indeks

Možete napisati recenziju knjige i podijeliti svoja iskustva. Druge čitaoce će uvijek zanimati vaše mišljenje o knjigama koje ste pročitali. Bez obzira da li vam se knjiga svidjela ili ne, ako date svoja iskrena i detaljna razmišljanja, ljudi će pronaći nove knjige koje im odgovaraju.

N k k = G F(t, r G (t) G , r (t)) k= 1 ∑FG k= 1 Krasnodar 2011 mrG = n k= 1 k n k= 1 k k= 1 k n k = G F(t, r G = G (t) G F(, r t, r G (t)) k= 1 ∑FG mrG = = G (t) G , r F((t) t, r G k =) G (t), G F(r( t, G t)) k= 1 n ∑FG n ∑FG mrG = ∑FG Tutorial) = G ∑FG F(r(t, r G = G t), G F(((t, r G t), G r (t) G t)) r , r (t)) (t) mrG = n ∑FG mrG = mrG = mrG = V.T. Rykov Rykov V.T. OSNOVNA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA DINAMIKA Udžbenik Napomene sa predavanja Zadaci za testiranje Pitanja za završno testiranje (kombinovani ispit) Krasnodar 2006 UDK 531.01 BBK 22.25â73 R 944 Recenzent: doktor fizike i matematike. nauka, profesor, dr. Katedra za mehaniku konstrukcija Kubanskog tehnološkog univerziteta I. M. Dunaev Rykov V. T. R 944 Osnovna diferencijalna jednačina dinamike: Udžbenik. dodatak. Krasnodar: Kuban. stanje univ., 2006. – 100 str. Il. 25. Bibliografija 6 naslova ISBN Priručnik predstavlja drugi dio nastavno-metodičkog kompleksa o teorijskoj mehanici i mehanici kontinuuma. Sadrži bilješke sa predavanja za tri dijela predmeta iz teorijske mehanike i mehanike kontinuuma: “Osnovna diferencijalna jednačina dinamike”, “Kretanje u centralno simetričnom polju” i “Rotacijsko kretanje krutog tijela”. U okviru nastavno-metodičkog kompleksa priručnik sadrži kontrolne zadatke (opcije testova) i pitanja za završno kompjutersko testiranje (ispit). Ovaj kurs je dopunjen elektronskim udžbenikom sa fragmentima predavanja (na laserskom disku). Priručnik je namijenjen studentima 2. i 3. godine fizike i fizičko-tehničkih fakulteta univerziteta, a može biti od koristi i studentima tehničkih fakulteta koji izučavaju osnove teorijske i tehničke mehanike. Objavljeno odlukom Saveta Fakulteta fizike i tehnologije Kubanskog državnog univerziteta UDK 531 (075.8) BBK 22.25ya73 ISBN © Kubanski državni univerzitet, 2006 SADRŽAJ Predgovor................ ........................................................ ..... 6 Pojmovnik ................................................. ......................................... 8 1. Osnovna diferencijalna jednadžba dinamike (Njutnov drugi zakon) .. ........................ 11 1.1. Struktura sekcije ................................................................ ... 11 1.2. Opis kretanja materijalne tačke......... 11 1.2.1. Dekartov koordinatni sistem......................... 12 1.2.2. Prirodan način da se opiše kretanje tačke. Prateći triedar ................................................................ ... ............... 13 1.3. Direktni i inverzni problemi dinamike.................................................. 16 1.4. Izvođenje zakona održanja količine gibanja iz osnovne diferencijalne jednadžbe dinamike................................... .................................................... 21 1.5. Izvođenje zakona održanja energije iz osnovne diferencijalne jednadžbe dinamike................................. .................................................... 24 1.6. Izvođenje zakona održanja ugaonog momenta iz osnovne diferencijalne jednadžbe dinamike................................. ........................ 26 1.7. Integrali kretanja ................................................................. .... 27 1.8. Kretanje u neinercijalnim referentnim okvirima ........................................ ........................................ 28 1.9. Test zadatak................................................................ ... 28 1.9.1. Primjer rješavanja problema ................................. 28 1.9.2. Opcije za testne zadatke.................................. 31 1.10. Završni kontrolni (ispitni) testovi ................. 35 1.10.1. Polje A ................................................................ ........................ 35 1.10.2. Polje B ................................................................ ........................ 36 1.10.3. Polje C ................................................................ ........................ 36 2. Kretanje u centralno simetričnom polju........... 38 2.1. Struktura sekcije ................................................................ ... 38 2.2. Koncept centralno simetričnog polja........ 39 3 2.3. Brzina u krivolinijskim koordinatama........... 39 2.4. Ubrzanje u krivolinijskim koordinatama 40 2.5. Brzina i ubrzanje u sfernim koordinatama ................................................ ................................... 41 2.6. Jednačine kretanja u centralno simetričnom polju ................................................ ........ 45 2.7. Sektorska brzina i sektorsko ubrzanje...... 46 2.8. Jednačina kretanja materijalne tačke u gravitacionom polju i Kulonovom polju................................... 48 2.8.1. Efektivna energija ................................................................ ... 48 2.8.2. Jednačina putanje ................................................................ .... 49 2.8.3. Zavisnost oblika trajektorije od ukupne energije ........................................ ........................ 51 2.9. Svođenje problema dva tijela na problem jednog tijela. Smanjena masa ................................................................ ......... 52 2.10. Rutherfordova formula ................................................................ ... 54 2.11. Test na temu: Brzina i ubrzanje u krivolinijskim koordinatama.................................. 58 2.11.1. Primjer ispunjavanja testa na temu brzine i ubrzanja u krivolinijskim koordinatama. ............................... 58 2.11.2. Opcije testnih zadataka.................................. 59 2.12. Završni kontrolni (ispitni) testovi ................. 61 2.12.1. Polje A ................................................................ ........................ 61 2.12.2. Polje B ................................................................ ........................ 62 2.12.3. Polje C ................................................................ ..................... 63 3. Rotaciono kretanje krutog tijela........................ ............ 65 3.1. Struktura sekcije ................................................................ ... 65 3.2. Koncept čvrstog tijela. Rotaciono i translaciono kretanje ................................................. ...... 66 3.3. Kinetička energija čvrstog tijela.................. 69 3.4. Tenzor inercije ................................................................ ........ 71 3.5. Svođenje tenzora inercije u dijagonalni oblik ........................................ ......... 72 4 3.6. Fizičko značenje dijagonalnih komponenti tenzora inercije................................................ ............ 74 3.7. Steinerova teorema za tenzor inercije.......... 76 3.8. Moment kretanja krutog tijela ................................. 78 3.9. Jednačine rotacionog kretanja krutog tijela u rotirajućem koordinatnom sistemu ................................................ ........................................ 79 3.10. Ojlerovi uglovi................................................................ .......... 82 3.11. Kretanje u neinercijalnim referentnim okvirima ........................................ ........................................ 86 3.12. Test na temu: Rotaciono kretanje krutog tela.................................................. ................. .. 88 3.12.1. Primjeri izvršavanja kontrolnih zadataka.................................................. ........................................ 88 3.12.2. Kućni test ................................. 92 3.13. Završni kontrolni (ispitni) testovi ................. 92 3.13.1. Polje A ................................................................ ........................ 92 3.13.2. Polje B ................................................................ ........................ 94 3.13.3. Polje C ................................................................ ........................ 95 Preporučena literatura.................................. .......... 97 Dodatak 1 .................................. ..................................... 98 Dodatak 2. Neke osnovne formule i relacije......... ................................................... ...... ... 100 Predmetni indeks..................................... ............. ....... 102 5 PREDGOVOR Ova knjiga je “čvrsta komponenta” nastavno-metodološkog kompleksa za predmet “Teorijska mehanika i osnove mehanike kontinuuma”, koji je dio državnog obrazovnog standarda u specijalnostima: „fizika” - 010701, „radiofizika” i elektronika” – 010801. Njegova elektronska verzija (pdf format) objavljena je na veb stranici Kubanskog državnog univerziteta i na lokalnoj mreži Fakulteta fizike i tehnologije Kubanskog državnog univerziteta. Ukupno su razvijena četiri glavna dijela obrazovno-metodološkog kompleksa o teorijskoj mehanici i osnovama mehanike kontinuuma. Vektorska i tenzorska analiza – prvi dio kompleksa – namijenjena je jačanju, au velikoj mjeri i formiranju osnovnih znanja iz oblasti matematičkih osnova ne samo kursa teorijske mehanike, već i cjelokupnog kursa teorijske fizike. Sam kurs teorijske mehanike podijeljen je na dva dijela, od kojih jedan sadrži prikaz metoda za rješavanje mehaničkih problema zasnovanih na osnovnoj diferencijalnoj jednadžbi dinamike - drugom Newtonovom zakonu. Drugi dio predstavlja prikaz osnova analitičke mehanike (treći dio nastavno-metodičkog kompleksa). Četvrti dio kompleksa sadrži osnove mehanike kontinuuma. Svaki deo kompleksa i sve zajedno su podržani elektronskim kursevima obuke – modifikovanim komponentama, koje su HTML stranice, dopunjene aktivnim alatima za učenje – funkcionalnim elementima obuke. Ovi alati se nalaze u arhiviranoj formi na web stranici KubSU i distribuiraju se na laserskim diskovima, priloženim na papiru ili zasebno. Za razliku od čvrstih komponenti, elektronske komponente će biti podvrgnute stalnim modifikacijama kako bi se poboljšala njihova efikasnost. 6 Osnovu „čvrste komponente“ obrazovnog kompleksa čine bilješke s predavanja, dopunjene „pojmovnikom“ koji objašnjava osnovne koncepte ovog odjeljka i abecednim indeksom. Nakon svakog od tri dijela ovog priručnika, ponuđen je testni zadatak sa primjerima rješavanja problema. Dva kontrolna zadatka ove komponente se rade kod kuće - to su zadaci za odeljke 2 i 3. Zadatak 3 je zajednički svima i predstavlja se nastavniku na provjeru u sveskama za praktičnu nastavu. U zadatku 2, svaki učenik ispunjava jednu od 21 opcije prema uputama nastavnika. Zadatak 1 se završava u učionici tokom jednog časa (par) na posebnim papirima i dostavlja se nastavniku na provjeru. Ako je zadatak neuspješan, učenik mora ili ispraviti rad (domaći zadatak) ili ponoviti s drugom opcijom (učionički zadaci). Posljednje se izvode van školskog rasporeda u vrijeme koje predloži nastavnik. Predloženi dio nastavno pomagalo sadrži i pomoćni materijal: Prilog 1 predstavlja komponente metričkog tenzora – srednji ciljevi testa 3, a Prilog 2 – osnovne formule i relacije, pamćenje kojih je obavezno za dobijanje zadovoljavajuće ocjene na ispitu. Svaki dio svakog dijela priručnika završava se testnim zadacima – sastavnim dijelom kombinovanog ispita, čiju osnovu čini kompjutersko testiranje uz paralelno popunjavanje predloženih obrazaca i naknadni intervju na osnovu kompjuterskih procjena i obrasca za testiranje. Polje “B” testa zahtijeva kratak unos o obliku matematičkih transformacija koje vode do opcije odabrane u skupu odgovora. U polje „C“ treba da zapišete sve proračune na obrascu, a na tastaturi ukucate brojčani odgovor. 7 RJEČNIK Aditivna veličina je fizička veličina čija je vrijednost za cijeli sistem jednaka zbiru njenih vrijednosti za pojedine dijelove sistema. Rotacijsko kretanje je kretanje u kojem je brzina barem jedne tačke krutog tijela nula. Druga brzina bijega je brzina lansiranja s nerotirajuće planete, koja svemirski brod postavlja na paraboličnu putanju. Zamah materijalne tačke je proizvod mase tačke i njene brzine. Impuls sistema materijalnih tačaka je aditivna veličina, definisana kao zbir impulsa svih tačaka sistema. Integrali kretanja su veličine koje su očuvane pod određenim uslovima i koje se dobijaju kao rezultat jedne integracije osnovne diferencijalne jednačine dinamike – sistema jednačina drugog reda. Kinetička energija materijalne tačke je energija kretanja jednaka radu koji je potreban da se određenoj tački prenese određena brzina. Kinetička energija sistema materijalnih tačaka je aditivna veličina, definisana kao zbir energija svih tačaka sistema. Kovarijantne komponente vektora su koeficijenti proširenja vektora u vektore međusobne baze. Koeficijenti afine veze su koeficijenti proširenja izvoda baznih vektora u odnosu na koordinate u odnosu na vektore same baze. Zakrivljenost krive je recipročna vrijednost polumjera dodirne kružnice. Trenutni centar brzina je tačka čija je brzina nula u datom trenutku. 8 Mehanički rad konstantne sile je skalarni proizvod sile i pomaka. Mehaničko kretanje je promjena položaja tijela u prostoru u odnosu na druga tijela tokom vremena. Inverzni problem dinamike je pronaći jednadžbe kretanja materijalne tačke koristeći date sile (poznate funkcije koordinata, vremena i brzine). Translacijsko kretanje je kretanje u kojem se bilo koja ravna linija identificirana u čvrstom tijelu kreće paralelno sa sobom. Potencijalna energija materijalne tačke je energija interakcije polja tela ili delova tela, jednaka radu sila polja da pomeri datu materijalnu tačku iz date tačke u prostoru na nulti potencijalni nivo, izabran proizvoljno. Redukovana masa je masa hipotetičke materijalne tačke čije se kretanje u centralno simetričnom polju svodi na problem dvaju tela. Direktan zadatak dinamike je odrediti sile koje djeluju na materijalnu tačku koristeći date jednačine kretanja. Christoffel simboli su simetrični koeficijenti afine veze. Sistem centra mase (centar inercije) – Referentni sistem u kojem je impuls mehaničkog sistema jednak nuli. Brzina je vektorska veličina, numerički jednaka pomaku po jedinici vremena. Oskulirajući krug je kružnica koja ima kontakt drugog reda sa krivom, tj. sve do infinitezimala drugog reda, jednadžbe krive i oskulirajuće kružnice u okolini date tačke se ne razlikuju jedna od druge. 9 Prateći triedar – trostruki jedinični vektor (tangentni, normalni i binormalni vektori) koji se koristi za uvođenje Dekartovog koordinatnog sistema koji prati tačku. Kruto tijelo je tijelo čija se udaljenost između bilo koje dvije tačke ne mijenja. Tenzor inercije je simetrični tenzor drugog ranga, čije komponente određuju inercijska svojstva krutog tijela u odnosu na rotacijsko kretanje. Putanja je trag pokretne tačke u prostoru. Jednačine kretanja su jednačine koje određuju položaj tačke u prostoru u proizvoljnom trenutku vremena. Ubrzanje je vektorska veličina, numerički jednaka promjeni brzine u jedinici vremena. Normalno ubrzanje je ubrzanje okomito na brzinu, jednako centripetalnom ubrzanju kada se tačka kreće datom brzinom duž kružnice koja je u kontaktu s putanjom. Centralno simetrično polje je polje u kojem potencijalna energija materijalne tačke zavisi samo od udaljenosti r do nekog centra “O”. Energija je sposobnost tijela ili sistema tijela da obavljaju rad. 10 1. OSNOVNA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA DINAMIKA (NJUTNOV DRUGI ZAKON) 1.1. Struktura sekcije “tragovi” “fasada” Direktni i inverzni problemi dinamike “fasada” Opis kretanja materijalne tačke “tragovi” “tragovi” “tragovi” “fasada” Zakon održanja momenta “fasada” Prirodna jednačina kriva “tragovi” “fasada” Ispitni rad “tragovi” “fasada” Završni kontrolni testovi “fasada” Zakon održanja energije “tragovi” “tragovi” “fasada” Vektorska algebra “tragovi” “tragovi” “fasada” Zakon održanja ugaonog momenta Slika 1 - Glavni elementi presjeka 1. 2. Opis kretanja materijalne tačke Mehaničko kretanje se definiše kao promena položaja tela u prostoru u odnosu na druga tela tokom vremena. Ova definicija postavlja dva zadatka: 1) odabir metode pomoću koje se može razlikovati jedna tačka u prostoru od druge; 2) izbor tela u odnosu na koje se određuje položaj drugih tela. 11 1.2.1. Dekartov koordinatni sistem Prvi zadatak je povezan sa izborom koordinatnog sistema. U trodimenzionalnom prostoru, svaka tačka u prostoru povezana je sa tri broja, koja se nazivaju koordinate tačke. Najočiglednije su pravougaone ortogonalne koordinate, koje se obično nazivaju kartezijanskim (nazvane po francuskom naučniku Rene Descartesu). 1 Rene Descartes je prvi uveo koncept razmjera, koji je u osnovi konstrukcije kartezijanskog koordinatnog sistema. U određenoj tački trodimenzionalnog prostora konstruišu se tri međusobno ortogonalna, identična po veličini vektora i, j, k, koji su ujedno i jedinice skale, tj. njihova dužina (modulus) je, po definiciji, jednaka mjernoj jedinici. Numeričke ose su usmerene duž ovih vektora, tačke na kojima se dovode u korespondenciju sa tačkama u prostoru „projiciranjem“ – crtanjem okomice od tačke do numeričke ose, kao što je prikazano na slici 1. Operacija projekcije u kartezijanskim koordinatama dovodi do sabiranje vektora ix, jy i kz duž pravila paralelograma, što u ovom slučaju degeneriše u pravougaonik. Kao rezultat toga, položaj tačke u prostoru može se odrediti pomoću vektora r = ix + jy + kz, koji se naziva „vektor radijusa“, jer za razliku od drugih vektora, početak ovog vektora uvijek se poklapa sa ishodištem koordinata. Promjena položaja tačke u prostoru tokom vremena dovodi do pojave vremenske zavisnosti koordinata tačke x = x(t), y = y (t), z = z (t) 1 Latinizirani naziv Renea Descartesa je Cartesius, pa se u literaturi može naći naziv "Kartezijanske koordinate". 12 i radijus vektor r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) . Ovi funkcionalni odnosi se nazivaju jednadžbe kretanja u koordinatnom i vektorskom obliku, odnosno z kz k r jy i y j ix x Slika 2 – Dekartov koordinatni sistem Brzina i ubrzanje tačke su definisani kao prva i druga izvodnica u odnosu na vrijeme poluprečnika vektor v = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) W = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) Svugdje u nastavku, tačka a dvostruka tačka iznad oznake određene veličine označavaće prvi i drugi izvod ove veličine u odnosu na vrijeme. 1.2.2. Prirodan način da se opiše kretanje tačke. Prateći triedar Jednačina r = r (t) se obično naziva jednačina krive u parametarskom obliku. U slučaju jednačina kretanja, parametar je vrijeme. Budući da se bilo koje kretanje 13 događa duž određene krivulje koja se naziva trajektorija, tada je segment putanje (puta) t t s (t) = ∫ r dt = ∫ x 2 + y 2 + z 2 dt , 2 t0 t0 što je monotona funkcija je povezano sa ovim vremenom kretanja. Put koji prolazi tijelo može se smatrati novim parametrom, koji se obično naziva "prirodnim" ili "kanonskim" parametrom. Odgovarajuća jednačina krivulje r = r(s) naziva se jednačina u kanonskoj ili prirodnoj parametrizaciji. τ m n Slika 3 – Prateći triedar Vektor dr ds je vektor tangenta na putanju (slika 3), čija je dužina jednaka jedan, jer dr = ds . Od τ= 14 dτ okomito na vektor τ, tj. usmjerena normalno na putanju. Da bismo saznali fizičko (ili, preciznije, kako ćemo kasnije vidjeti, geometrijsko) značenje ovog vektora, prijeđimo na diferencijaciju u odnosu na parametar t, smatrajući ga vremenom. d τ d ⎛ dr dt ⎞ dt d ⎛ dr 1 ⎞ 1 d 2 r 1 v d v ′ τ = = ⎜ − . ⎟ = ⎜ ⎟ = ds dt ⎝ dt ds ⎠ ds dt ⎝ dt v ⎠ v dt 2 v 2 v 3 dt Posljednja od ovih relacija može se prepisati na sljedeći način: 1 τ′ = 2 (a − aτ) = n2 uslova τ 2 = 1 slijedi da je vektor τ′ = gdje je v aτ = τ v dv ; τ= dt v v d 2r – vektor ukupnog dt 2. ubrzanja. Pošto je ukupno ubrzanje jednako zbroju normalnog (centripetalnog) i tangencijalnog ubrzanja, vektor koji razmatramo jednak je vektoru normalnog ubrzanja podijeljenom s kvadratom brzine. Kada se krećete u krugu, normalno ubrzanje je jednako tangencijalnom ubrzanju, a vektor a = an = n v2, R gdje je n vektor normale na kružnicu, a R polumjer kružnice. Iz toga slijedi da se vektor τ′ može predstaviti u obliku τ′ = Kn, 1 gdje je K = zakrivljenost krive – recipročna vrijednost polumjera dodirne kružnice. Oskulirajući krug je kriva koja ima kontakt drugog reda sa datom krivom 15. To znači da, ograničavajući se u proširenju jednadžbe krive u niz stepena u nekom trenutku na infinitezime drugog reda, nećemo moći razlikovati ovu krivu od kruga. Vektor n se ponekad naziva glavnim normalnim vektorom. Iz tangentnog vektora τ i vektora normale možemo konstruisati binormalni vektor m = [τ, n]. Tri vektora τ, n i m formiraju desnu trojku - prateći triedar, sa kojim možete povezati Kartezijanski koordinatni sistem koji prati tačku, kao što je prikazano na slici 3. 1.3. Direktni i inverzni problemi dinamike Godine 1632. Galileo Galilei je otkrio zakon, a zatim je 1687. Isak Newton formulirao zakon koji je promijenio poglede filozofa na metode opisivanja kretanja: „Svako tijelo održava stanje mirovanja ili jednoliko i pravolinijsko kretanje sve dok se primijenjene sile ga prisiljavaju na promjenu.” ovo je stanje.” 1 Značaj ovog otkrića ne može se precijeniti. Prije Galileja, filozofi su vjerovali da je glavna karakteristika kretanja brzina i da se tijelo giba konstantnom brzinom, mora biti primijenjena konstantna sila. U stvari, čini se da iskustvo ukazuje upravo na ovo: ako primenimo silu, telo se kreće; ako prestanemo da je primenjujemo, telo staje. I samo je Galileo primijetio da primjenom sile zapravo samo balansiramo silu trenja koja djeluje u stvarnim uvjetima na Zemlji, pored naše želje (a često i promatranja). Shodno tome, sila je potrebna ne da bi se brzina održavala konstantnom, već da bi se ona promijenila, tj. prijavi ubrzanje. 1 I. Newton. Matematički principi prirodne filozofije. 16 Istina, u uslovima Zemlje nemoguće je realizovati posmatranje tela na koje ne bi uticala druga tela, pa je mehanika prinuđena da postulira postojanje posebnih referentnih sistema (inercijalnih), u kojima je Njutnov (Galilejev) ) prvi zakon mora biti ispunjen. 1 Matematička formulacija prvog Newtonovog zakona zahtijeva dodavanje izjave o proporcionalnosti sile i ubrzanja izjavom o njihovom paralelizmu kao vektorskim veličinama? koji F ∼W ⎫ F skalar ⇒ = ⋅W , ⎬ F W ⎭ gdje je Δv d v d dr = ≡r . Δt → 0 Δt dt dt dt W = lim Iskustvo nam govori da skalarni koeficijent može biti veličina koja se obično naziva tjelesna masa. Dakle, matematički izraz prvog Newtonovog zakona, uzimajući u obzir dodavanje novih postulata, ima oblik F = mW, 1 Ali s kojim bi se stvarnim tijelima mogao povezati takav referentni sistem još uvijek nije jasno. Hipoteza o etru (vidi "Teorija relativnosti") mogla bi riješiti ovaj problem, ali negativni rezultat Michelsonovog eksperimenta isključio je ovu mogućnost. Ipak, mehanici su potrebni takvi referentni okviri i postulira njihovo postojanje. 17 koji je poznat kao Newtonov drugi zakon. Budući da je ubrzanje određeno za dato specifično tijelo, na koje može djelovati više sila, zgodno je drugi Newtonov zakon napisati u obliku n mr = ∑ Fa = F (t, r (t), r (t)) . a =1 Sila se u opštem slučaju smatra funkcijom koordinata, brzina i vremena. Ova funkcija ovisi o vremenu i eksplicitno i implicitno. Implicitna vremenska ovisnost znači da se sila može mijenjati zbog promjena u koordinatama (sila ovisi o koordinatama) i brzini (sila ovisi o brzini) tijela koje se kreće. Očigledna ovisnost o vremenu sugerira da ako tijelo miruje u datoj fiksnoj tački u prostoru, tada se sila i dalje mijenja tokom vremena. Sa stanovišta matematike, Njutnov drugi zakon dovodi do dva problema povezana sa dve međusobno inverzne matematičke operacije: diferencijacijom i integracijom. 1. Direktan problem dinamike: pomoću datih jednačina kretanja r = r (t) odrediti sile koje djeluju na materijalnu tačku. Ovaj problem je problem fundamentalne fizike, čije je rješenje usmjereno na pronalaženje novih zakona i zakonitosti koje opisuju interakciju tijela. Primjer rješavanja direktnog problema dinamike je I. Newtonova formulacija zakona univerzalne gravitacije zasnovana na Keplerovim empirijskim zakonima, koji opisuju opaženo kretanje planeta Sunčevog sistema (vidi Odjeljak 2). 2. Inverzni problem dinamike: date sile (poznate funkcije koordinata, vremena i brzine) nalaze jednačine kretanja materijalne tačke. To je zadatak primijenjene fizike. Sa stanovišta ovog problema, Njutnov drugi 18 zakon je sistem običnih diferencijalnih jednačina drugog reda d 2r m 2 = F (t, r (t), r (t)), (1. 1) dt rješenja čija su funkcija vremena i integracijskih konstanti. x = x(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); y = y(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); z = z(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,). Da bi se iz beskonačnog skupa rješenja odabralo rješenje koje odgovara određenom kretanju, potrebno je dopuniti sistem diferencijalnih jednadžbi početnim uslovima (Cauchyjev problem) - postaviti u nekom trenutku (t = 0) vrijednosti koordinata i brzina tačke: ⎧ x0 = x(t = 0), ⎪ r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨ y0 = y (t = 0), ⎪ z = z (t = 0) . ⎩ 0 v0 ⎧v0 x = x(t = 0), ⎪ = r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨v0 y = y (t = 0), ⎪ ⎩v0 x = z (t = 0). Napomena 1. U I. Newtonovim zakonima, sila se shvata kao veličina koja karakteriše interakciju tela, usled čega se tela deformišu ili dobijaju ubrzanje. Međutim, često je zgodno problem dinamike svesti na problem statike uvođenjem, kao što je D'Alembert učinio u svojoj Raspravi o opštem uzroku vjetrova (1744), inercijalne sile jednake proizvodu mase tijelo i ubrzanje referentnog okvira, u kojem se dato tijelo razmatra. Formalno, ovo izgleda kao da se desna strana I. New19-ovog drugog zakona prenese na lijevu stranu i da se ovom dijelu dodijeli naziv “sila inercije” F + (− mW) = 0, ili F + Fin = 0. Rezultirajuća inercijalna sila očigledno ne zadovoljava gore datu definiciju sile. U tom smislu, inercijalne sile se često nazivaju „fiktivnim silama“, shvatajući da ih kao sile percipira i meri samo neinercijalni posmatrač povezan sa ubrzavajućim referentnim okvirom. Treba, međutim, naglasiti da se za neinercijalnog posmatrača inercijalne sile percipiraju kao stvarno djelovanje na sva tijela referentnog sistema sila. Upravo prisustvo ovih sila „objašnjava“ ravnotežu (betežinu) tijela u satelitu planete koji neprestano pada i (djelomično) ovisnost ubrzanja slobodnog pada na Zemlji od geografske širine područja. Napomena 2. Njutnov drugi zakon kao sistem diferencijalnih jednačina drugog reda takođe je povezan sa problemom pojedinačne integracije ovih jednačina. Tako dobijene veličine nazivaju se integralima kretanja i najvažnije su dvije okolnosti koje su s njima povezane: 1) ove veličine su aditivne (aditivne), tj. takva vrijednost za mehanički sistem je zbir odgovarajućih vrijednosti za njegove pojedinačne dijelove; 2) pod određenim fizički razumljivim uslovima ove veličine se ne menjaju, tj. su sačuvani, čime se izražavaju zakoni održanja u mehanici. 20 1.4. Izvođenje zakona održanja količine gibanja iz osnovne diferencijalne jednačine dinamike Razmotrimo sistem od N materijalnih tačaka. Neka je "a" broj tačke. Zapišimo za svaku tačku “a” Newtonov II zakon dv (1.2) ma a = Fa , dt gdje je Fa rezultanta svih sila koje djeluju na tačku “a”. Uzimajući u obzir da je ma = const, množenjem sa dt, sabiranjem svih N jednačina (1.2) i integracijom unutar granica od t do t + Δt, dobijamo N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = gdje je v a t +Δt N ∫ ∑ F dt , t a =1 a = ra (t) je brzina tačke “a” u trenutku t, a ua = ra (t + Δt) je brzina tačke “a” u trenutku t + Δt. Zamislimo dalje sile koje djeluju na tačku “a” kao zbir vanjskih Faex (spoljašnja - eksterna) i unutrašnjih Fain (unutrašnja - unutrašnja) sila Fa = Fain + Faex. Sile interakcije tačke “a” sa ostalim tačkama uključenim u SISTEM nazvaćemo unutrašnjim, a eksternim – sa tačkama koje nisu uključene u sistem. Pokažimo da zbir unutrašnjih sila nestaje zbog Njutnovog trećeg zakona: sile kojima dva tijela djeluju jedno na drugo jednake su po veličini i suprotnog smjera Fab = − Fab ako tačke “a” i “b” pripadaju SISTEM. U stvari, sila koja djeluje na tačku “a” iz drugih tačaka sistema je jednaka 21 N Fain = ∑ Fab. b =1 Tada je N N N N N N N N ∑ Fain = ∑∑ Fab = ∑∑ Fba = ∑∑ Fba = −∑∑ Fab = 0 . a =1 a =1 b =1 b =1 a =1 a =1 b =1 a =1 b =1 Dakle, zbir svih sila koje djeluju na sistem materijalnih tačaka degeneriše se u zbir samo vanjskih sila. Kao rezultat dobijamo N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = t +Δt N ∫ ∑F t a =1 ex a dt . (1.3) – promjena količine gibanja sistema materijalnih tačaka jednaka je impulsu vanjskih sila koje djeluju na sistem. Sistem se naziva zatvorenim ako na njega ne djeluju vanjske sile ∑F a =1 = 0. U ovom slučaju, impuls ex a sistema se ne mijenja (očuva) N N a =1 a =1 ∑ maua = ∑ ma va = const . (1.4) Obično se ova izjava tumači kao zakon održanja impulsa. Međutim, u svakodnevnom govoru pod očuvanjem nečega ne podrazumijevamo konstataciju nepromjenjivosti sadržaja ovog nečega u nečem drugom, već razumijevanje u šta se to izvorno nešto pretvorilo. Ako se novac potroši na kupovinu korisne stvari, onda on ne nestaje, već se pretvara u ovu stvar. Ali ako im je kupovna moć smanjena zbog inflacije, onda je praćenje lanca transformacija vrlo teško, što stvara osjećaj neočuvanosti. Rezultat mjerenja impulsa, kao i svake kinematičke veličine, ovisi o referentnom sistemu u kojem se mjerenja vrše (locirani su fizički instrumenti koji mjere ovu veličinu). 22 Klasična (nerelativistička) mehanika, upoređujući rezultate mjerenja kinematičkih veličina u različitim referentnim sistemima, prećutno polazi od pretpostavke da koncept simultanosti događaja ne zavisi od referentnog sistema. Zbog toga, odnos između koordinata, brzina i ubrzanja tačke, izmerenih od strane posmatrača koji miruje i koji se kreće, su geometrijski odnosi (slika 4) dr du Brzina u = = r i ubrzanje W = = u , koje meri posmatrač K. se obično nazivaju apsolutna dr ′ brzina i ubrzanje. Brzina u′ = = r ′ i ubrzanje dt du′ W ′ = = u ′ , mjerene od strane posmatrača K′ – relativna brzina i ubrzanje. A brzina V i ubrzanje A referentnog sistema su prenosivi. M r′ r r = r′ + R u = u′ + V K′ K W =W′+ A R Slika 4 – Poređenje izmjerenih veličina Koristeći zakon konverzije brzina, koji se često naziva Galileov teorem o dodavanju brzine, dobijamo za impuls sistema materijalnih tačaka mjerenih u referentnim sistemima K i K′ N N N a =1 a =1 a =1 ∑ maua = ∑ maua′ + V ∑ ma . Referentni sistem u kojem je impuls mehaničkog sistema nula 23 N ∑ m u′ = 0 , a =1 a a naziva se sistem centra mase ili centra inercije. Očigledno, brzina takvog referentnog okvira jednaka je N Vc = ∑m u a =1 N a a ∑m . (1.5) a a =1 Budući da se u odsustvu vanjskih sila impuls mehaničkog sistema ne mijenja, onda se ne mijenja ni brzina sistema centra mase. Integrirajući (1.5) tokom vremena, koristeći prednost proizvoljnosti izbora početka koordinata (konstantu integracije postavljamo jednakom nuli), dolazimo do određivanja centra mase (centra inercije) mehaničkog sistema. N rc = ∑m r a =1 N a a . ∑m a =1 (1.6) a 1.5. Izvođenje zakona održanja energije iz osnovne diferencijalne jednačine dinamike Razmotrimo sistem od N materijalnih tačaka. Za svaku tačku “a” zapisujemo Newtonov II zakon (1.2) i množimo dr oba dijela skalarno brzinom tačke va = a dt ⎛ dv ⎞ dr ⎞ ⎛ ma ⎜ va , a ⎟ = Fa , va = ⎜ Fa , a ⎟ dt ⎠ dt ⎠ ⎝ ⎝ Nakon transformacije, množenjem obje strane sa dt, integriranjem unutar granica od t1 do t2 i pretpostavkom da je ra = ra (t1) , (Ra = ra (t2) ,) va = va (t1 ) , ua = va (t2) , dobijamo 24 ma ua2 ma va2 − = 2 2 Ra ∫ (F , dr) . a a (1.7) ra Zatim, zamislimo silu Fa kao zbir potencijalnih i disipativnih sila Fa = Fapot + Faad. Disipativne sile su one koje dovode do disipacije mehaničke energije, tj. pretvarajući je u druge vrste energije. Potencijalne sile su one čiji je rad u zatvorenoj petlji jednak nuli. A = ∫ (Fapot, dra) = 0 . (1.8) L Pokažimo da je potencijalno polje gradijentno, tj. ⎛ ∂Π a ∂Π a ∂Π a ⎞ +j +k Fapot = − grad Π a (ra) = − ⎜ i ⎟ . (1.9) ∂ya ∂za ⎠ ⎝ ∂xa Zaista, u skladu sa Stokesovom teoremom, možemo napisati znoj znoj ∫ (Fa , dra) = ∫∫ (rot Fa , ds) , L S gdje je S površina pokrivena kontura L Slika 5. S L Slika 5 – Kontura i površina Stokesova teorema dovodi do dokaza validnosti (1.9) zbog očigledne relacije rot Fapot = ⎣⎡∇, Fapot ⎦⎤ = − [∇, ∇Π a ] = 0 , ∇ ∇Π 25 t To jest, ako je vektorsko polje izraženo u terminima gradijenta skalarne funkcije, onda je njegov rad duž zatvorene konture nužno nula. Obrnuta tvrdnja je također tačna: ako je cirkulacija vektorskog polja duž zatvorene konture nula, tada je uvijek moguće pronaći odgovarajuće skalarno polje, čiji je gradijent dato vektorsko polje. Uzimajući u obzir (1.9), relacija (1.7) se može predstaviti kao R ⎧ ma ua2 ⎫ ⎧ ma va2 ⎫ a D + Π a (Ra) ⎬ − ⎨ + Π a (ra) ⎬ = ∫ Fa , dra . ⎨ ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭ ra () Ukupno imamo N takvih jednačina. Sabiranjem svih ovih jednačina dobijamo zakon održanja energije u klasičnoj mehanici 1: promena ukupne mehaničke energije sistema jednaka je radu disipativnih sila ⎧ ma ua2 ⎫ N ⎧m v 2 ⎫ N a + Π a (Ra) ⎬ − ∑ ⎨ a a + Π a (ra ) ⎬ = ∑ ∫ FaD , dra .(1.10) 2 a =1 ⎩ ⎭ a =1 ⎩ 2 ⎭ a =1 ra N ∑⎨ R () Ako postoje nema disipativnih sila, ukupna (kinetička plus potencijalna) energija mehaničkog sistema se ne menja („konzervirana”) i sistem se naziva konzervativnim. 1.6. Izvođenje zakona održanja ugaonog momenta iz osnovne diferencijalne jednačine dinamike Razmotrimo sistem od N materijalnih tačaka. Za svaku tačku “a” zapisujemo Newtonov II zakon (1.2) i množimo obje strane s lijeve strane vektorski sa radijus vektorom tačke ⎡ dv ⎤ ma ⎢ ra , a ⎥ = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ = K a . dt ⎦ ⎣ 1 Ova ideja o transformacijama mehaničke energije pokazuje se adekvatnom objektivnoj stvarnosti samo sve dok razmatramo pojave koje nisu praćene transformacijom materijalne materije u materiju polja i obrnuto. 26 Količina K a = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ (1.11) naziva se moment sile Fa u odnosu na početak. Zbog očigledne relacije d ⎣⎡ ra , va ⎦⎤ ⎡ d va ⎤ ⎡ dra ⎤ ⎡ dv ⎤ , va ⎥ = ⎢ ra , a ⎥ = ⎢ ra , +⎢ ⎥ t d ⎦ d ⎥ t d ⎣ d ⎡ ⎣ ra, ma va ⎤⎦ = Ka. dt Kao i ranije, broj takvih jednadžbi je N, a njihovim sabiranjem dobijamo dM =K, (1.12) dt gdje se aditivna veličina N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ , (1.13) a =1 naziva ugaoni moment mehaničkog sistema. Ako je moment sila koje djeluju na sistem jednak nuli, tada je ugaoni moment sistema očuvan N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ = const . (1.14) a =1 1.7. Integrali kretanja Veličine koje se razmatraju u paragrafima 1.4–1.6 koje se održavaju pod određenim uslovima: impuls, energija i ugaoni moment dobijaju se kao rezultat jedne integracije osnovne diferencijalne jednačine dinamike – jednačine kretanja, tj. su prvi integrali diferencijalnih jednadžbi drugog reda. Zbog toga se sve ove fizičke veličine obično nazivaju integralima kretanja. Kasnije, u odjeljku posvećenom proučavanju Lagrangeovih jednadžbi druge vrste (jednačine u koje je transformiran Newtonov drugi zakon konfiguracijskog prostora27), pokazat ćemo da se integrali kretanja mogu smatrati posljedicama svojstava Newtonovog prostora i vremena. . Zakon održanja energije je posledica homogenosti vremenske skale. Zakon održanja količine gibanja slijedi iz homogenosti prostora, a zakon održanja ugaonog momenta slijedi iz izotropije prostora. 1.8. Kretanje u neinercijalnim referentnim sistemima 1.9. Testni zadatak 1.9.1. Primjer rješavanja zadatka Naći jednačine kretanja tačke pod uticajem sile privlačenja na centar C1 i sile odbijanja oko centra C2, proporcionalne udaljenostima do centara. Koeficijenti proporcionalnosti su jednaki k1m i k2m, respektivno, gdje je m masa tačke M. Koordinate centara u proizvoljnom trenutku vremena određene su relacijama: X1(t) = acosωt; Y1(t) = asinωt; Z1 = shλt; X2 = Y2= 0; Z2 = Z1. U početnom trenutku vremena, tačka je imala koordinate x = a; y = 0; z=0 i brzina sa komponentama vx = vy = vz =0. Riješite zadatak pod uslovom k1 > k2. Kretanje materijalne tačke pod dejstvom dve sile F1 i F2 (slika 5) određeno je osnovnom diferencijalnom jednačinom dinamike - drugim Newtonovim zakonom: mr = F1 + F2, gde dve tačke iznad simbola označavaju ponovljeno diferenciranje u vremenu . Prema uslovima zadatka, sile F1 i F2 određene su relacijama: 28 F1 = − k1mr1 ; F2 = k2 mr2 . Tražena veličina je radijus vektor tačke M, stoga vektore r1 i r2 treba izraziti kroz radijus vektor i poznate vektore R1 = iX 1 (t) + jY1 (t) + kZ1 (t) = ia cos ωt + ja sin ωt + k cosh λt i R2 = iX 2 (t) + jY2 (t) + kZ 2 (t) = k cosh λt, gdje su i, j, k bazni vektori Dekartovog koordinatnog sistema. M r1 r r2 S1 R1 R2 O S2 “O” je ishodište koordinata, R1 i R2 su radijus vektori centara privlačenja i odbijanja, r je vektor radijusa tačke M, r1 i r2 su vektori koji određuju poziciju tačke M u odnosu na centre. Slika 6 – Tačka M u polju dva centra Sa slike 6 dobijamo r1 = r − R1 ; r2 = r − R2 . Zamjenom svih ovih odnosa u Newtonov drugi zakon i dijeljenjem obje strane jednačine masom m, dobijamo nehomogenu diferencijalnu jednačinu drugog reda sa konstantnim koeficijentima: r + (k1 − k2)r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k (k1 − k2)ch λt . Pošto je, prema uslovima zadatka, k1 > k2, ima smisla uvesti zapis – pozitivna vrednost k2 = k1 – k2. Tada rezultirajuća diferencijalna jednadžba ima oblik: r + k 2 r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k 2ch λt. Rješenje ove jednačine treba tražiti u obliku zbira opšteg rješenja ro homogene jednačine ro + k 2 ro = 0 i posebnog rješenja rch nehomogene jednačine r = ro + rch. Da bismo konstruisali opšte rešenje, sastavljamo karakterističnu jednačinu λ2 + k2 = 0, čiji su koreni imaginarni: λ1,2 = ± ik, gde je i = −1. Zbog toga, opšte rešenje homogene jednačine treba napisati u obliku r = A cos kt + B sin kt, gde su A i B konstante vektorske integracije. Konkretno rješenje se može naći u obliku desne strane uvođenjem neodređenih koeficijenata α1, α 2, α 3 rc = α1 cos ωt + α 2 sin ωt + α 3ch λt, rc = −ω2α1 cos ωt − ω2α 2 sin ωt + λ 2α 3ch λt . Zamjenom ovog rješenja u nehomogenu jednačinu i izjednačavanjem koeficijenata za identične vremenske funkcije na lijevoj i desnoj strani jednačine dobijamo sistem jednačina koji određuje nesigurne koeficijente: α1 (k 2 − ω2) = iak1 ; α 2 (k 2 − ω2) = jak1 ; α 3 (k 2 + λ 2) = ik 2. Dakle, opšte rešenje nehomogene jednačine ima oblik 30 r = A cos kt + B sin kt + k1 k2 a i t j k cosh λt. (cos ω + sin ω) + k 2 − ω2 k 2 + λ2 Integracijske konstante se određuju iz početnih uslova, koji se mogu zapisati u vektorskom obliku: r (t = 0) = ia; r (t = 0) = 0 . Da bi se odredile integracione konstante, potrebno je znati brzinu tačke u proizvoljnom trenutku vremena ωk r = −kA sin kt + kB cos kt + 2 1 2 a (−i sin ωt k −ω 2 λk + j cos ωt) + 2 k sinh λt. k + λ2 Zamjenom početnih uslova u pronađeno rješenje dobijamo (t = 0): k k k2 ia = A + 2 1 2 ia + 2 k ; 0 = kB + 2 1 2 j ωa. 2 k −ω k +λ k −ω Nađimo integracione konstante odavde i zamenimo ih jednadžbom u jednadžbi kretanja k r = ia cos kt + 2 1 2 + 2 k (ch λt − cos kt). ω k + λ2 Ovaj izraz predstavlja tražene jednačine kretanja u vektorskom obliku. Ove jednačine kretanja, kao i čitav proces njihovog traženja, mogu se napisati u projekcijama na ose Dekartovog koordinatnog sistema. + 1.9.2. Varijante testnih zadataka Naći jednačine kretanja materijalne tačke pod uticajem sile privlačenja prema centru O1 i sile odbijanja od centra O2. Sile su proporcionalne udaljenostima do centara, koeficijenti proporcionalnosti jednaki su k1m i k2m, respektivno, gdje je m masa tačke. Koordinate 31 centra, početni uslovi i uslovi nametnuti koeficijentima dati su u tabeli. Prva kolona sadrži broj opcije. U neparnim varijantama razmotrite k1 > k2, u neparnim varijantama k2 > k1. Varijante kontrolnih zadataka date su u tabeli 1. Druga i treća kolona prikazuju koordinate privlačnog i odbojnog centra u proizvoljnom trenutku vremena t. Posljednjih šest stupaca određuju početne koordinate materijalne tačke i komponente njene početne brzine, neophodne za određivanje integracionih konstanti. Tabela 1. Opcije za probni rad 1. Veličine a, b, c, R, λ i ω su konstantne veličine Opcija 1 1 Koordinate centra O1 2 X 1 = a + bt ; Y1 = e ; Z1 = 0. Z 2 = 0. X 1 = –t 3 + cosh λt ; X 2 = 0; Y1 = 0; 3 5 X 1 = a + bt ; X 2 = X 1 + achλt ; a 0 a b 0 0 Z 2 = 0. X 1 = 0; X 2 = 0; Y1 = bt ; Y2 = Y1 + R cos ωt ; a 0 a 0 b b Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 1 = a + bt ; X 2 = X 1 + ach λt ; 4 a a a 0 0 0 Y2 = Y1 + ashλt ; Z1 = R cos ωt. Z1 = 0. 4 0 0 a 0 0 b Z 2 = Z1 + R sin ωt. 4 Y1 = 0; x0 y0 z0 vx vy vz Y2 = R cos ωt ; Z1 = a + bt. Y1 = a; 4 3 X 2 = X 1 + R cos ωt ; Početne vrijednosti Y2 = Y1 + R sin ωt ; λt 2 Koordinate centra O2 Y2 = Y1 + pepeo λt ; Z 2 = 0. 32 a 0 a 0 0 0 Nastavak tabele 1 1 6 7 2 X 1 = pepeo λt ; 3 X 2 = Y1 + R cos ωt ; Y1 = ach λt ; Y2 = 0; Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 1 = ct; Y1 = 0; X 2 = 0; 4 9 0 0 a 0 0 b 0 0 a 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R sin ωt. Z1 = ae λt . 8 4 X 1 = pepeo λt ; X 2 = X 1 + RCosωt; Y1 = 0; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z 2 = Z1 + RSinωt. X 1 = a + bt; Y1 = a + bt; X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 0 0 a a 0 b b o Y2 = Y1 + R sin ωt ; Z 2 = e −λt . λt Z1 = ae . 10 X 1 = a + ct 3 ; Y1 = a + bt ; Z1 = aeλt. 11 X 1 = a + bt 2 ; Y1 = ach λt ; Z1 = pepeo λt. X 2 = 0; a a 0 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R sin ωt. X2 = X1; a 0 0 0 0 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 2 = R sin ωt ; 12 X 1 = 0; Y1 = a + bt ; 4 Z1 = a + bt . 4 13 X 1 = pepeo λt; Y1 = 0; Z1 = ach λt. 14 X 1 = ae−2λt ; Y1 = ae 2 λt ; Z1 = a + bt + ct 4 . 0 a a 0 b 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z2 = Z1. X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 b 0 Y2 = a + bt + ct ; 3 Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 2 = 0; 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z 2 = a cos ωt. 33 Kraj tabele 1 1 2 15 X 1 = ae Y1 = ae −2 λt 2 λt 3 X 2 = 0; ; ; Y1 = pepeo λt ; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z2 = Z1. X 1 = R cos ωt ; 21 X 2 = X 1 + a + bt 2 ; Y2 = Y1 ; Z1 = a + bt. Z1 = 0. Y1 = R cos ωt ; X 2 = X 1 + pepeo λt ; Y1 = 0; Y2 = a + bt ; Z1 = R sin ωt. 20 a 0 0 b 0 0 Y1 = R sin ωt ; 2 19 Z 2 = a cos ωt. X 2 = a sin ωt ; 16 X 1 = a + bt; 18 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z1 = a + bt + ct 4 . 17 4 0 a 0 0 0 b 2 Z 2 = Z1 + ach λt. X1 = X2; X 2 = a + bt ; Y1 = 0; Y2 = pepeo ; Z1 = 0. Z 2 = achλt. 0 0 a 0 b 0 X 1 = 0; X 2 = aSinωt ; Y1 = 0; Y2 = aCosωt ; Z1 = a + bt + ct 4 . Z 2 = 0. X 1 = pepeoλt; X 2 = 0; Y1 = achλt ; Y2 = a + bt + ct ; Z1 = 0. 0 0 a b 0 0 0 a a b 0 b 0 0 a 0 0 b 3 Z 2 = 0. Literatura za test zadatak 1. Meshchersky I.V. Zbirka zadataka iz teorijske mehanike. M., 1986. P. 202. (Problemi br. 27.53 – 27.56, 27.62, 27.63). 2. Olkhovski I.I. Kurs teorijske mehanike za fizičare. M., 1974. S. 43 – 63. 34 1.10. Završni kontrolni (ispitni) testovi 1.10.1. Polje A A.1.1. Osnovna diferencijalna jednadžba za dinamiku materijalne tačke ima oblik... A.1.2. Rješavanje direktnog problema dinamike znači... A1.3. Rješavanje inverznog problema dinamike znači... A.1.5. Zbir unutrašnjih sila koje djeluju na sistem materijalnih tačaka nestaje zbog... A.1.6. Impuls sile je... A.1.7. Sistem centra inercije je referentni sistem u kojem A.1.8. Centar mase je... A.1.9. Koordinate centra mase određene su formulom A.1.10. Brzina sistema centra inercije određena je formulom... A.1.11. Zakon održanja impulsa sistema materijalnih tačaka u svom najopštijem obliku zapisuje se kao... A.1.12. Potencijalno polje sila određeno je relacijom... (osnovna definicija) A.1.13. Potencijalno polje sila određeno je relacijom... (posledica glavne definicije) A.1.14. Ako je polje F potencijalno, onda... A.1.15. Ugaoni moment sistema materijalnih tačaka je veličina... A.1.16. Moment sila koje djeluju na mehanički sistem može se odrediti relacijom... A.1.17. Ako je moment sila koje djeluju na mehanički sistem jednak nuli, onda je ... A.1.18 očuvan. Ako je zbir vanjskih sila koje djeluju na mehanički sistem jednak nuli, onda je ... A.1.19 očuvan. Ako disipativne sile ne djeluju na mehanički sistem, onda ... A.1.20 ostaje. Mehanički sistem se naziva zatvorenim ako 35 1.10.2. Polje B ua B.1.1. Rezultat izračunavanja integrala ∑ ∫ d (m d v) a a a va je izraz ... B.1.2. Impuls mehaničkog sistema u referentnom okviru K povezan je sa momentom kretanja referentnog okvira K′ koji se kreće u odnosu na njega brzinom V relacijom ... B.1.3. Ako je F = −∇Π, onda... B.1.4. Rad koji vrši sila F = −∇Π duž zatvorene petlje nestaje zbog … d va2 B1. 5. Vremenski izvod je jednak ... dt B.1.6. Vremenski izvod momenta impulsa d jednak je ... dt 1.10.3. Polje C C.1.1. Ako se tačka mase m kreće tako da su u trenutku t njene koordinate x = x(t), y = y(t), z = z (t), tada na nju djeluje sila F, komponenta Fx (Fy , Fz) što je jednako... C.1.2. Ako se tačka kreće pod uticajem sile kmr i ako je pri t = 0 imala koordinate (m) (x0, y0, z0) i brzinu (m/s) (Vx, Vy, Vz), tada je u trenutku t = t1 s njegova koordinata x će biti jednaka...(m) C.1.3. U vrhovima pravougaonog paralelepipeda sa stranicama a, b i c nalaze se mase tačaka m1, m2, m3 i m4. Odredite koordinate (xc, yc, zc) centra inercije. 36 m3 m4 z m3 m4 c m1 y m2 b m1 m2 a x Slika 7 – Za zadatak C.1.3 C.1.4. Gustoća štapa sa dužinom varira prema zakonu ρ = ρ(x). Centar mase takvog štapa nalazi se od početka na udaljenosti... C.1.5. Sila F = (Fx, Fy, Fz) se primjenjuje na tačku sa koordinatama x = a, y = b, z = c. Projekcije momenta ove sile u odnosu na ishodište koordinata jednake su... 37 2. KRETANJE U CENTRALNOSIMETRIČNOM POLJU 2.1. Struktura sekcije “koristi” Brzina i ubrzanje u krivolinijskim koordinatama Tenzorska analiza “tragovi” “koristi” Integrali kretanja kontrolne jedinice “tragovi” “koristi” Sektorska brzina Vektorski proizvod “tragovi” “koristi” Jednačina putanje Definitivni integral “tragovi” ” „koristi” „koristi” „Rutherfordovu formulu Steradijan Slika 8 – Struktura presjeka „centralno simetrično polje 38 2.2. Koncept centralno simetričnog polja Nazovimo polje centralno simetrično u kojem potencijalna energija materijalne tačke zavisi samo od udaljenosti r do nekog centra “O”. Ako se početak kartezijanskog koordinatnog sistema postavi u tačku „O“, tada će ovo rastojanje biti modul radijus vektora tačke, tj. P = P(r), r = x 2 + y 2 + z 2. U skladu sa definicijom potencijalnog polja, sila ∂Π ∂Π ∂r ∂Π r ∂Π (2.1) F =− =− =− =− er deluje na tačku. ∂r ∂r ∂r ∂r r ∂r U takvom polju, ekvipotencijalne površine P(r) = const poklapaju se sa koordinatnim površinama r = const u sfernim koordinatama. Sila (2.1), koja u Dekartovim koordinatama ima tri komponente različite od nule, u sfernim koordinatama ima samo jednu nenultu komponentu - projekciju na bazni vektor er. Sve navedeno nas tjera da se okrenemo sfernim koordinatama, čija se simetrija poklapa sa simetrijom fizičkog polja. Sferne koordinate su poseban slučaj ortogonalnih krivolinijskih koordinata. 2.3. Brzina u krivolinijskim koordinatama Neka su xi (x1 = x, x2 = y, x3 = z,) kartezijanske koordinate, a ξ = ξi(xk) krivolinijske koordinate – jedna-na-jedan funkcije kartezijanskih koordinata. Po definiciji, vektor brzine dr (ξi (t)) ∂r ∂ξi v= = i = ei ξi , (2.2) ∂ξ ∂t dt gdje vektori ∂r ei = i (2.3) ∂ξ i 39 formiraju takozvana koordinatna (bilo holonomska ili integrabilna) baza. Kvadrat vektora brzine je jednak v 2 = (ei, e j) ξi ξ j = gij ξi ξ j. Veličine ⎛ ∂r ∂r ⎞ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z (2.4) gij = (ei , e j) = ⎜ i , j ⎟ = i + i + i j j ∂΂ ∎ ∎ ∂ ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ predstavljaju kovarijantne komponente metričkog tenzora. Kinetička energija materijalne tačke u krivolinijskim koordinatama ima oblik mv 2 1 T= = mgij ξi ξ j . (2.5) 2 2 2.4. Ubrzanje u krivolinijskim koordinatama U krivolinijskim koordinatama o vremenu ne zavise samo koordinate pokretne tačke, već i vektori baze koja se kreće s njom, čiji su koeficijenti proširenja mjerene komponente brzine i ubrzanja. Zbog toga, u krivolinijskim koordinatama, nisu samo koordinate tačke podložne diferencijaciji, već i bazni vektori dei (ξi (t)) d v dei ξi (t) i i . (2.6) W= = = ei ξ + ξ dt dt dt Po pravilu diferencijacije kompleksne funkcije dei (ξi (t)) ∂ei d ξ j = j ∂ξ dt dt Izvod vektora s obzirom na koordinata je takođe vektor∂ei torus, stoga se svaki od devet vektora može ∂ξ j proširiti u bazne vektore ∂ei (2.7) = Γijk ek . j ∂ξ 40 Koeficijenti proširenja Γijk nazivaju se afini koeficijenti veze. Prostori u kojima su definisani koeficijenti afine veze nazivaju se prostori afine veze. Prostori u kojima su koeficijenti afine veze jednaki nuli nazivaju se afini prostori. U afinom prostoru, u najopštijem slučaju, mogu se uvesti samo pravolinijske kose koordinate sa proizvoljnim razmjerima duž svake od osi. Bazni vektori u takvom prostoru su isti u svim njegovim tačkama. Ako se odabere koordinatna osnova (2.3), tada koeficijenti afine veze ispadaju simetrični u indeksima i u ovom slučaju se nazivaju Christoffel simboli. Christoffel simboli se mogu izraziti u terminima komponenti metričkog tenzora i njihovih koordinatnih derivata ∂g jm ⎫ ⎧ ∂g ij ∂g 1 Γ ijk = g km ⎨− m + mij + (2.8) ⎬. ∂ξ ∂ξi ⎭ 2 ⎩ ∂ξ Veličine gij su kontravarijantne komponente metričkog tenzora - elementi matrice inverzne gij. Koeficijenti proširenja vektora ubrzanja prema glavnim baznim vektorima Dξ k k k k i j W = ξ + Γij ξ ξ = . (2.9) dt predstavljaju kontravarijantne komponente vektora ubrzanja. 2.5. Brzina i ubrzanje u sfernim koordinatama Sferne koordinate ξ1 = r, ξ2 = θ, ξ3 = ϕ su povezane sa kartezijanskim koordinatama x, y i z sljedećim relacijama (slika 9): x = rsinθcosϕ, y = rsinθsinϕ, z = rcosθ . 41 z θ y r ϕ x x Slika 9 – Odnos kartezijanskih koordinata x, y, z sa sfernim koordinatama r, θ, ϕ. Komponente metričkog tenzora nalazimo zamjenom ovih relacija u izraz (2.4) 2 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z 1⎛ +11 1 + 1 1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1; ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ∂x ​​∂x ∂ξ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ∂x ​​∂x ∂y ∂y 2 +2 2 2 = ∂ ξ ∂ ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ +⎟ ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ∂x ​​∂x ∂y ∂y ∂z ∂z g33 = 3 3 + 3 3 + 3 3 = ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = r 2 sin 2 θ. ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ Nedijagonalne komponente metričkog tenzora jednake su nuli, jer sferne koordinate su ortogonalne krivolinijske koordinate. To se može provjeriti direktnim proračunima ili konstruiranjem tangenti na koordinatne linije baznih vektora (slika 10). er eϕ θ eθ Slika 10 – Koordinatne linije i bazni vektori u sfernim koordinatama Pored glavne i međusobne baze, često se koristi i tzv. fizička baza – jedinični vektori tangentni na koordinatne linije. U ovoj osnovi, fizička dimenzija vektorskih komponenti, koje se obično nazivaju i fizičke, poklapa se sa dimenzijom njegovog modula, koji određuje naziv baze. Zamjenom rezultujućih komponenti metričkog tenzora u (2.5) dobijamo izraz za kinetičku energiju materijalne tačke u sfernim koordinatama 1 1 (2.10) T = mv 2 = m r 2 + r 2θ2 + r 2 sin 2 θϕ2 . 2 2 Pošto sferne koordinate odražavaju simetriju centralno simetričnog polja, izraz (2.10) se koristi za opisivanje kretanja materijalne tačke u centralno simetričnom polju. () 43 Da biste pronašli kontravarijantne komponente ubrzanja koristeći formulu (2.9), prvo morate pronaći kontravarijantne komponente metričkog tenzora kao elemente matrice, inverzna matrica gij, a zatim Christoffel simbole prema formulama (2.8). Pošto je matrica gij dijagonalna u ortogonalnim koordinatama, elementi njene inverzne matrice (također dijagonalni) su jednostavno inverzni elementima gij: g11 = 1; g22 = r–2; g33 = r–2sin–2θ. Hajde da prvo saznamo koji će od Christoffelovih simbola biti različit od nule. Da bismo to učinili, zapisujemo relaciju (2.8), stavljajući superskript jednakim 1 ∂g j1 ⎫ ⎧ ∂gij ∂g 1 Γ1ij = g 11 ⎨− 1 + 1ji + i ⎬ . 2 ∂ξ ⎭ ⎩ ∂ξ ∂ξ Pošto su nedijagonalne komponente metričkog tenzora jednake nuli i komponenta g11 = 1 (konstanta), posljednja dva člana u zagradama postaju nula, a prvi član neće biti nula za i = j = 2 i i = j = 3. Dakle, među Christoffel simbolima sa indeksom 1 na vrhu, samo Γ122 i Γ133 će biti različiti od nule. Slično, nalazimo Christoffel simbole koji nisu nula sa indeksima 2 i 3 na vrhu. Postoji ukupno 6 Christoffel simbola koji nisu nula: Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; 1 2 2 Γ12 = Γ 221 = ; Γ33 = − sin θ cos θ; r 1 3 Γ13 = Γ331 = ; Γ323 = Γ332 = ctgϑ. r (2.11) Zamjenom ovih relacija u izraz (1.3), dobijamo kontravarijantne komponente ubrzanja u sfernim koordinatama: 44 W 1 = ξ1 + Γ122ξ 2 ξ2 + Γ133ξ3ξ3 = r − rθ2 − r sin 2 θϕ2 ; 2 2 1 2 2 3 3 W 2 = ξ 2 + 2Γ12 ξ ξ + Γ33 ξ ξ = θ + r θ − sin θ cos θϕ2 ; (2.12) r 2 3 1 3 W 3 = ξ3 + 2Γ13 ξ ξ + 2Γ323ξ2 ξ3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθϕ. r 2.6. Jednačine kretanja u centralno simetričnom polju U sfernim koordinatama, vektor sile ima samo jednu komponentu različitu od nule d Π (r) (2.13) Fr = − dr Zbog toga, Newtonov drugi zakon za materijalnu tačku poprima oblik d Π (r ) (2.14) mW 1 = m r − r θ2 − r sin 2 θϕ2 = − dr 2 (2.15) W 2 = θ + rθ − sin θ cos θϕ2 = 0 r 2 (2.16) W 3 = ϕ + r ϕ θ = 0 r Jednačina (2.15 ) ima dva parcijalna rješenja ⎧0 ⎪ θ = ⎨π (2.17) ⎪⎩ 2 Prvo od ovih rješenja je u suprotnosti s uslovom nametnutim krivolinijskim koordinatama; pri θ = 0, Jakobijan transformacija nestaje J = g = r 2 sin θ = 0 ( ) θ= 0 Uzimajući u obzir drugo rješenje (2.17), jednačine (2.14) i (2.16) imaju oblik d Π (r) (2.18) m (r − r ϕ2) = − dr 45 2 (2.19) ϕ + rϕ = 0 r Jednačina (2.19) dozvoljava razdvajanje varijabli d ϕ dr = r ϕ i prvog integrala r 2ϕ = C , (2.20) gdje je C integraciona konstanta. U sljedećem paragrafu će se pokazati da ova konstanta predstavlja dvostruku sektorsku brzinu, pa je sam integral (2.20) drugi Keplerov zakon ili integral površine. Da bismo pronašli prvi integral jednačine (2.18), zamjenjujemo u (2. 18) relaciju (2.20) ⎛ C2 ⎞ d Π (r) m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ i odvojiti varijable dr 1 dr 2 C 2 1 d Π (r) . = 3 − r= 2 dr dr r m dr Kao rezultat integracije dobijamo ⎛ mr 2 C 2 ⎞ + 2 ⎟ + Π (r) = const = E = T + Π (r) , (2.21) ⎜ r ⎠ ⎝ 2 t. e. zakon održanja mehaničke energije, koji je lako provjeriti zamjenom (2.17) i (2.20) u (2.10). 2.7. Sektorska brzina i sektorsko ubrzanje Sektorska brzina – vrijednost, brojčano jednaka površini, pometeno radijus vektorom tačke u jedinici vremena dS σ= . dt Kao što se može vidjeti sa slike 11 46 1 1 [ r , r + dr ] = [ r , dr ], 2 2 i sektorska brzina je određena relacijom 1 (2.22) σ = ⎡⎣ r , r ⎤⎦ . 2 U slučaju ravninskog kretanja u cilindričnim koordinatama r = ix + jy, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (2.22) ima oblik i j k 1 1 1 σ = x y 0 = kr 2ϕ = C . (2.23) 2 2 2 x y 0 dS = r dr r + dr dS Slika 11 – Površina prekrivena radijus vektorom Dakle, konstanta integracije C je dvostruka brzina sektora. Računajući vremenski izvod izraza (2.22), dobijamo ubrzanje sektora 47 1 ⎡r , r ⎤ . (2.24) 2⎣ ⎦ Prema drugom Newtonovom zakonu, izraz (2.24) predstavlja polovinu momenta sile podijeljene sa masom, a okretanje ovog momenta na nulu dovodi do očuvanja ugaonog momenta (vidi odjeljak 1.2). Brzina sektora je polovina ugaonog momenta podijeljenog s masom. Drugim riječima, prvi integrali jednačina kretanja u centralno simetričnom polju mogli bi se napisati bez eksplicitne integracije diferencijalnih jednačina kretanja, samo na osnovu činjenice da 1) kretanje nastaje u odsustvu disipativnih sila; 2) moment sila 1 K = ⎣⎡ r , F ⎦⎤ = ⎣⎡ r , r ⎦⎤ = 0 . (2.25) m postaje nula. σ= 2.8. Jednačina kretanja materijalne tačke u gravitacionom polju i Kulonovom polju 2.8.1. Efektivna energija Varijable u odnosu (2.21) se lako odvajaju dr dt = , (2.26) 2 E ⎛ 2Π (r) C 2 ⎞ −⎜ + 2 ⎟ m ⎝ m r ⎠ i rezultirajuća relacija (2.26) se može analizirati. U slučajevima Kulonova i gravitacionog polja, potencijalna energija je obrnuto proporcionalna udaljenosti do centra α ⎧α > 0 – sila privlačenja; Π (r) = − ⎨ (2.27) r ⎩α< 0 − силы оталкивания. В случае силы притяжения выражение в скобках в формуле (2.26) принимает вид 48 2 ⎛ α mC 2 ⎞ ⎜− + ⎟. m ⎝ r 2r 2 ⎠ Оба слагаемых в скобках имеют размерность энергии. Второе слагаемое mC 2 (2.28) U цб = 2r 2 называют центробежной энергией. Вместе с потенциальной энергией она образует так называемую «эффективную энергию», которая имеет минимум, соответствующий устойчивому движению (рисунок 12) α mC 2 (2.29) U эф = − + 2 . r 2r Центробежная энергия r Эффективная энергия Потенциальная энергия Uэфmin Рисунок 12 – Эффективная энергия 2.8.2. Уравнение траектории Вернемся к выражению (2.26). Для вычисления интеграла введем новую переменную 1 dr (2.30) u = , du = − 2 r r и выберем координату ϕ в качестве новой независимой переменной. Это возможно, если ϕ(t) – монотонная функция времени. Монотонность же этой функции вытекает из отличия от нуля производной по времени 49 C r2 во всей области за исключением r → ∞. С учетом этих замен выражение (2.26) приводится к интегралу −du ϕ − ϕ0 = ∫ = α ⎞ 2E ⎛ 2 − ⎜u − 2 u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ = = ϕ= ∫ 2 2E ⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞ +⎜ −⎜u − ⎟ 2 2 ⎟ mC ⎝ mC ⎠ ⎝ mC 2 ⎠ α u− mC 2 = arccos . 2E ⎛ α ⎞ +⎜ ⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ P ϕ= 2 2 π 2 Полюс Рисунок 13 – Геометрический смысл фокального параметра Возвращаясь к переменной r, получим уравнение траектории материальной точки в центрально-симметричном поле 50 r= p , 1 + ε cos(ϕ − ϕ0) (2.31) где mC 2 α – фокальный параметр орбиты; p= ε = 1+ 2mC 2 E α2 (2.32) (2.33) – эксцентриситет орбиты. Уравнение (2.31) представляет собой уравнение конического сечения. Геометрический смысл фокального параπ метра, которому радиус-вектор точки равен при ϕ − ϕ0 = 2 представлен на рисунке 13. 2.8.3. Зависимость формы траектории от полной энергии Вид конического сечения – траектории точки в центрально-симметричном поле – зависит от эксцентриситета, а тот согласно (2.33) зависит от полной энергии. 1. ε = 0. Траектория точки представляет собой окружность. Ukupna energija tačka koja se nalazi na površini planete mase M i poluprečnika R određena je relacijom mv 2 GMm α2 − = − . E= 2 R2 2mC 2 2. 0< ε <1. Траектория точки представляет собой эллипс. Полная энергия точки ограничена значениями α2 mv 2 GMm − < − < 0. 2 R2 2mC 2 3. ε = 1. Траектория точки представляет собой параболу. Полная энергия точки обращается в нуль 51 mv 2 GMm − =0. 2 R2 Соответствующая скорость v2 = 2 GM = 2v1 (2.34) R называется второй космической скоростью, а v1 = GM R – первой космической скоростью 4. ε > 1. Putanja tačke je hiperbola. Ukupna energija tačke je veća od nule. 2.9. Svođenje problema dva tijela na problem jednog tijela. Redukovana masa Razmotrimo problem kretanja dvaju tela pod uticajem sile interakcije samo jedno sa drugim (slika 14) F12 m2 r r1 m1 r2 F21 O O – ishodište koordinata; m1 i m2 – mase tijela u interakciji Slika 14 – Problem dva tijela Napišimo drugi Newtonov zakon za svako od tijela 52 m1r1 = F12 = − F (r) ⎫⎪ ⎬ m2 r2 = F21 = F (r) ⎪⎭ ( 2.35) Za vektor r imamo r = r2 − r1 . (2.36) Postavimo problem izražavanja vektora r1 i r2 kroz vektor r. Jednačina (2.36) sama po sebi nije dovoljna za ovo. Dvosmislenost u definiciji ovih vektora je zbog proizvoljnosti izbora početka koordinata. Bez ograničavanja ovog izbora na bilo koji način, nemoguće je jednoznačno izraziti vektore r1 i r2 u terminima vektora r. Pošto položaj početka koordinata treba da bude određen samo položajem ova dva tela, ima smisla kombinovati ga sa centrom mase (centrom inercije) sistema, tj. stavimo m1r1 + m2 r2 = 0 . (2.37) Izražavajući vektor r2 pomoću vektora r1 koristeći (2.37) i zamjenom ga u (2.36), dobijamo m2 m1 r1 = − r ; r2 = r. m1 + m2 m1 + m2 Zamjenom ovih relacija u (2.35) umjesto dvije jednačine dobijamo jednu mr = F (r), gdje se uvodi veličina m, nazvana redukovana masa mm (2.38) m= 1 2 . m1 + m2 Dakle, problem kretanja dvaju tijela u polju međusobnog djelovanja jedno na drugo svodi se na problem kretanja tačke smanjene mase u centralno simetričnom polju u sistemu centra inercije. 53 2.10. Rutherfordova formula U skladu sa rezultatima iz prethodnog stava, problem sudara dvije čestice i njihovog naknadnog kretanja može se svesti na kretanje čestice u središnjem polju stacionarnog centra. Ovaj problem je razmatrao E. Rutherford da bi objasnio rezultate eksperimenta o rasejanju α-čestica atomima materije (slika 15). dχ dχ Vm dρ V∞ ρ Slika 15 – rm ϕ ϕ χ Rasipanje α-čestice stacionarnim atomom Putanja čestice koju odbija atom mora biti simetrična u odnosu na okomicu na putanju, spuštenu od centra raspršenja ( simetrala ugla koji formiraju asimptote). U ovom trenutku čestica je na najkraćoj udaljenosti rm od centra. udaljenost na kojoj se nalazi izvor α-čestica je mnogo veća od rm, pa možemo pretpostaviti da se čestica kreće iz beskonačnosti. Brzina ove čestice u beskonačnosti prikazana je na slici 15 sa V∞. Udaljenost ρ linije vektora brzine V∞ od linije koja je paralelna s njom koja prolazi kroz centar raspršenja naziva se udarna udaljenost. Ugao χ formiran asimptotom putanje raspršene čestice sa središnjom linijom (istovremeno polarnom osom 54 polarnog koordinatnog sistema) naziva se ugao rasejanja. Posebnost eksperimenta je u tome što se udaljenost udara u principu ne može odrediti tokom eksperimenta. Rezultat mjerenja može biti samo broj dN čestica čiji uglovi raspršenja pripadaju određenom intervalu [χ,χ + dχ]. Ne mogu se odrediti ni broj N čestica N koje padaju u jedinici vremena niti njihova gustina protoka n = (S je površina poprečnog presjeka upadne zrake). Zbog toga se takozvani efektivni presek rasejanja dσ, definisan formulom (2.39) dN, smatra karakteristikom rasejanja. (2.39) dσ = n Izraz dN n/ 2πρd ρ = = 2πρd ρ dσ = n n/ dobijen kao rezultat jednostavnog proračuna ne zavisi od gustine protoka upadnih čestica, ali ipak zavisi od udaljenosti udarca. Nije teško uočiti da je ugao rasejanja monotona (monotono opadajuća) funkcija udarne udaljenosti, što omogućava da se efektivni poprečni presek rasejanja izrazi na sledeći način: dρ (2.40) d σ = 2πρ dχ . dχ dρ< 0 . Следует, однако, отВ этой формуле учтено, что dχ метить, что рассеиваемые частицы в ходе эксперимента регистрируются не внутри плоского угла dχ, а внутри телесного угла dΩ, заключенного между двумя бесконечно близкими конусами. На рисунке 16 представлен телесный 55 угол dΩ и второй бесконечно малый телесный угол dω, отнесенный к цилиндрической системе координат. Бесконечно малая поверхность ds на рисунке 16 представляет собой часть координатной поверхности – сферы – r = const. С этой поверхностью с точностью до бесконечно малых первого порядка совпадает бесконечно малый прямоугольник, построенный на векторах eθ d θ и eϕ d ϕ 5. Площадь этого прямоугольника равна ds = ⎡⎣ eθ , eϕ ⎤⎦ d θd ϕ = eθ eϕ d θd ϕ = rr sin θd θd ϕ . ds dΩ dω θ dθ r dϕ Рисунок 16 – К выводу связи плоского угла с телесным углом Соответствующий сферической поверхности, площадь которой с точностью до бесконечно малых второго порядка равна площади этого прямоугольника, телесный угол по определению равен ds d ω = 2 = sin θd θd ϕ . r Интегрируя этот угол по ϕ в границах от нуля до 2π, получим 5 Смотрите: часть первая раздел второй учебно-методического комплекса по теоретической механике и механике сплошной среды 56 d Ω = 2π sin θd θ . Очевидно, что угол рассеяния χ есть ни что иное, как сферическая координата θ. Заменяя в (2.40) плоский угол телесным, получим ρ dρ (2.41) dσ = dΩ . sin χ d χ Таким образом, для дальнейшего решения задачи необходимо найти функцию ρ(χ). С этой целью обратимся опять к уравнению (2.26), произведя в ней замену переменных в соответствии с (2.30) и перейдя к независимой переменной ϕ. α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ dϕ = . 2 2E α2 α ⎞ ⎛ + 2 4 −⎜u − ⎟ 2 mC mC ⎝ mC 2 ⎠ Левую часть этого соотношения проинтегрируем от 0 до ϕ, а правую – в соответствующих границах для переменной u: 1 от 0 до um = rm α α um − − 2 mC mC 2 ϕ = arccos − arccos . α2 α2 2E 2E + + mC 2 m 2C 4 mC 2 m 2C 4 В соответствии с законами сохранения энергии и момента импульса можно записать mV∞2 mVm2 α ⎫ = − ;⎪ E= 2 2 rm ⎬ ⎪ C = ρV∞ = rmVm . ⎭ Выразив из этих уравнений um, приходим к выводу, что отличным от нуля будет только второе слагаемое в выражении для ϕ, и, следовательно, имеем 57 ⎛ 2E α2 α2 ⎞ 2 = + ⎜ ⎟ cos ϕ . m 2C 4 ⎝ mC 2 m 2C 4 ⎠ Так как интеграл движения C зависит от ρ, то его следует также заменить в соответствии с законом сохранения момента импульса. Учитывая, что 2ϕ + χ = π, получим формулу Резерфорда 2 ⎛ α ⎞ 1 dσ = ⎜ dΩ . 2 ⎟ ⎝ 2mV∞ ⎠ sin 4 χ 2 2.11. Контрольная работа по теме: Скорость и ускорение в криволинейных координатах 2.11.1. Пример выполнения контрольной работы по теме скорость и ускорение в криволинейных координатах Примером выполнения контрольного задания по этой теме является изложенный в пункте 2.5. метод определения скорости и ускорения в сферических координатах. Используя предлагаемую в третьей колонке с вязь декартовых координат с криволинейными, найдите диагональные компоненты метрического тензора (недиагональные равны нулю, так как все заданные криволинейные координаты являются ортогональными). Полученные Вами результаты сравните с таблицей приложения 1. Используя полученные компоненты метрического тензора, найдите необходимые для вычисления указанных в таблице 2 контравариантных компонент ускорения. 58 2.11.2. Варианты контрольных заданий Найти кинетическую энергию материальной точки и контравариантные компоненты ускорения в криволинейных координатах, представленных в таблице 2. Таблица 2. Варианты заданий контрольных заданий (a, b, c, R, λ, и ω – постоянные величины) Вариант 1 1 Компоненты ускорения 2 Связь с декартовыми координатами 3 W1 ξ1=λ; ξ2=μ; ξ3=ν –общие эллипсоидальные координаты x2 = (a + λ)(a 2 + μ)(a 2 + ν) ; (a 2 − b 2)(a 2 − c 2) y2 = (b 2 + λ)(b 2 + μ)(b 2 + ν) ; (b 2 − a 2)(b 2 − c 2) z2 = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 W2 W3 W1 и W3; ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 ξ1 = u; ξ2 = v; ξ3 = w W2 W3 2 (c 2 + λ)(c 2 + μ)(c 2 + ν) . (c 2 − a 2)(c 2 − b 2) те же координаты те же координаты x2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)cos2ϕ; y2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. координаты вытянутого эллипсоида вращения Те же координаты вытянутого эллипсоида вращения x2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)cos2ϕ; координаты сплюснутого эллипсоида вращения конические координаты y2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. Те же координаты сплюснутого эллипсоида вращения u vw x= ; bc u 2 (v 2 − b 2)(w 2 − b 2) y2 = 2 ; b b2 − c2 u 2 (v 2 − c 2)(w 2 − c 2) z2 = 2 . c c2 − b2 Те же конические координаты Те же конические координаты 59 Окончание таблицы 2 1 11 2 3 параболоидальные координаты (A − λ)(A − μ)(A − v) x2 = ; (B − A) (B − λ)(B − μ)(B − v) y2 = ; (A − B) 1 z = (A + B − λ − μ − v). 2 Те же (параболоидальные) координаты Те же (параболоидальные) координаты W1 ξ1 = λ; ξ2 = μ; ξ3 = ν 12 W2 13 W3 14 W1 и W3; ξ1 = σ; параболические ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ 15 16 W2 и W3 W1, W2 координаты и W3 параболиче1 ξ = σ; ского ξ2 = τ; цилиндра ξ3 = z W1, W2 бицилинди W3 ξ1=σ; рические ξ2=τ; координаты ξ3=z W1 и W3; тороиξ1 = σ; дальные ξ2 = τ; коордиξ3 = ϕ наты Те же (параболические) координаты 19 20 W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; биполярные ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ Те же тороидальные координаты 21 W2 и W3 17 18 x = στ cos ϕ; y = στ sin ϕ; 1 z = (τ2 − σ 2) 2 x = στ; 1 y = (τ2 − σ 2); 2 z=z ash τ ; ch τ − cos σ a sin σ y= ; ch τ − cos σ z=z x= ash τ cos ϕ; ch τ − cos σ ash τ y= sin ϕ; ch τ − cos σ a sin σ z= ch τ − cos σ x= a sin τ cos ϕ; ch σ − cos τ a sin τ y= sin ϕ; ch σ − cos τ ash σ z= . ch σ − cos τ x= Те же биполярные координаты 60 2.12. Тесты итогового контроля (экзамена) 2.12.1. Поле A А.2.2. Приведенной массой в задаче двух тел называется величина … А.2.2. Скорость материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.3. Скорость материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.4. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.5. Квадрат скорости материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.6. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.7. Ускорение материальной точки в криволинейных координатах имеет вид … А.2.8. Кинетическая энергия точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.9. Момент импульса материальной точки, движущейся в центрально симметричном поле равен … А.2.10. Уравнение конического сечения имеет вид … А.2.11 Эксцентриситет орбиты в центрально симметричном гравитационном поле определяется … А.2.12. Площадь S сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол Ω, равна … S Ω А.2.13. Площадь сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол dω, если θ и ϕ сферические координаты, равна … 61 А.2.14. Момент импульса точки в центральном поле в процессе движения … А2.15. Момент силы, действующий на точку в центральном поле в процессе движения … A2.16. Второй закон Кеплера, известный как закон площадей при движении в плоскости xy имеет вид … 2.12.2. Поле B B.2.1. Если символы Кристоффеля в сферических координатах имеют вид … 1 2 2 Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; Γ12 = Γ 221 = ; Γ 33 = − sin θ cos θ; r 1 3 3 3 Γ13 = Γ31 = ; Γ 323 = Γ 32 = ctgϑ. r то компонента Wi ускорения точки в центральносимметричном поле равна … B.2.2. Частным решением уравнения 2 θ + rθ − sin θ cos θ ϕ2 = 0 , r удовлетворяющим требованиям, предъявляемым к криволинейным координатам, является … B.2.3. Первый интеграл дифференциального уравнения 2 ϕ + r ϕ = 0 имеет вид … r B.2.4. Первый интеграл дифференциального уравнения ⎛ C2 ⎞ dΠ – это … m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ B.2.5. Если в интеграле движений в центральном поле 1 E = m (r 2 + r 2 ϕ2) + Π (r) = const 2 учесть интеграл движений r 2 ϕ2 = C = const , то разделение переменных даст выражение … 62 B.2.6. Если в выражении dt = dr 2 E ⎛ C 2 2α ⎞ −⎜ − ⎟ m ⎝ r 2 mr ⎠ перейти к 1 новой переменной u = , то результатом будет выражение r B2.7. Если в выражении, описывающем движение в цен− r 2 du тральном поле dt = , перейти от пе2 E ⎛ 2 2 2α ⎞ u⎟ − ⎜C u − m ⎝ m ⎠ ременной t к новой переменной ϕ, то результатом будет … um −du B.2.8. Интеграл ∫ равен … 2 E ⎛ 2 2α ⎞ 0 −⎜u − u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ B.2.11. Зависимость прицельного расстояния ρ от угла расα χ сеяния χ определяется соотношением: ρ = ctg . От2 mV∞ 2 сюда эффективное сечение рассеяния d σ = 2πρ d ρ dΩ sin χ d χ будет равно … 2.12.3. Поле C C.2.1. Потенциальная энергия спутника Земли массой m кг, средняя высота орбиты которого h, равна … (МДж). Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли принять равным 10 м/с2. C.2.2. Чтобы уравнения движения двух взаимодействующих тел заменить одним уравнением в центральном поле, необходимо вместо масс тел m1 и m2 использовать величину … 63 С.2.3. Кинетическая энергия спутника массой m, движущегося по эллиптической орбите эксцентриситетом ε и секторной скоростью σ, когда радиус-вектор образует с полярной осью угол ϕ, равна… С.2.4. Модуль секторной скорости точки, координаты которой изменяются по закону: x = asinωt, y = bcosωt, равен (км2/c)… 64 3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 3.1. Структура раздела Поступательное движение -полюс -End1 * Антиподы Вращательное движение -центрВращения -угловаяСкорость +векторноеУмножение(in УгловаяСкорость, in радиусВектор) End1 End3 End5 End2 векторнаяАлгебра -векторноеПроизведение -скалярноеПроизведение End4 тензорнаяАлгебра -законПреобразования -радиусВектор +приведение к диагональному виду() End6 линейнаяАлгебра -собственныеЗначения Рисунок 17 – Структура связей дисциплин 65 * -End2 3.2. Понятие твердого тела. Вращательное и поступательное движение Понятие твердого тела в механике не связано непосредственно с какими-либо представлениями о характере взаимодействия его точек друг с другом. Определение твердого тела включает в себя лишь геометрическую его характеристику: твердым называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется. В соответствии с рисунком 18 определению твердого тела соответствует выражение rab = rab2 = const . (3.1) а rab b ra rb Рисунок 18 – К понятию твердого тела Определение (3.1) позволяет разделить движение твердого тела на два вида – поступательное и вращательное. Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, выделенная в твердом теле, перемещается параллельно самой себе. Из рисунка 18 следует, что при этом rab = ra − rb = const , (3.2) и, следовательно, ra = rb ; ra = rb , (3.3) т.е. скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы. Очевидно, что для описания поступательного дви66 жения твердого тела достаточно ограничиться описанием движения одной (любой) его точки. Эта избранная точка называется полюсом. Второй тип движения – это движение, при котором скорость хотя бы одной точки твердого тела равна нулю, называемое вращательным движением. Как видно из рисунка 19, модуль бесконечно малого вектора dr , совпадающий с длиной дуги, может быть выражен как dr = r sin αd ϕ = [ d ϕ, r ] , если ввести вектор угла поворота, совпадающего по направлению с осью вращения, т.е. прямой, скорости точек которой в данный момент времени равны нулю. dϕ dr r + dr dϕ Рисунок 19 – α r Вращательное движение твердого тела Если направление вектора определяется при этом по правилу буравчика, то последнее соотношение можно записать в векторной форме dr = [ d ϕ, r ] . Деля это соотношение на время dt, получим связь линейdr dϕ ной v = и угловой ω = скорости dt dt v = [ω, r ] . (3.4.) Из определения (3.1) вытекает, что относительная скорость двух точек твердого тела, всегда перпендикулярна соединяющему их отрезку прямой 67 drab2 = 2 rab , rab = 0, т.е. rab ⊥ rab . dt Это позволяет движение любой точки a твердого тела представить как движение полюса (любой точки O), соответствующего поступательному движению твердого тела, и вращению вокруг полюса с угловой скоростью ω (рисунок 20) dR va = vo + [ω, ra ] , va = a , ra = Ra − ro . (3.5) dt () а ra′ ra Ra Рисунок 20 – ro O′ О ro′ Абсолютное и относительное положение точки твердого тела Покажем, что угловая скорость не зависит от выбора полюса. Рассмотрим два полюса O и O′, и предположим, что вокруг них твердое тело вращается с разными угловыми скоростями ω и ω′ [ω, ro − ro′ ] = − [ω′, r0′ − r0 ] ⇒ [ω − ω′, ro − ro′ ] = 0 . Так как векторы ω − ω′ и ro − ro′ не параллельны, и последний из них не равен нулю, то равен нулю первый вектор, т.е. ω = ω′ . Таким образом, угловая скорость твердого тела не зависит от выбора полюса. Если твердое тело вращается с угловой скоростью ω вокруг некоторой своей точки, то с такой же угловой скоростью оно вращается и вокруг любой другой своей точки. 68 3.3. Кинетическая энергия твердого тела В силу аддитивности энергии выражение для кинетической энергии твердого тела можно записать в виде ma va2 mvo2 1 1 2 ∑ 2 = 2 + 2 ∑ ma (vo [ω, ra ]) + 2 ∑ ma [ω, ra ] .(3.6) a a a Первое слагаемое в правой части выражения (3.6) представляет собой кинетическую энергию материальной точки с массой, равной массе всего твердого тела, и скоростью полюса, что соответствует поступательному движению твердого тела. В силу этого первое слагаемое естественно назвать кинетической энергией поступательного движения твердого тела N mv 2 Tпост = o , m = ∑ ma . (3.7) 2 a =1 Последнее слагаемое в (3.6) остается единственным отличным от нуля, если положить скорость полюса равной нулю, что соответствует определению вращательного движения твердого тела. Поэтому это слагаемое естественно назвать кинетической энергией вращательного движения 1 2 Tвр = ∑ ma [ ω, ra ] . (3.8) 2 a Второе слагаемое в правой части (3.6) содержит характеристики как поступательного, так и вращательного движений. Это слагаемое можно обратить в нуль путем выбора в качестве полюса центра масс твердого тела ⎛ ⎞ ∑ ma (vo [ω, ra ]) = ∑ ma (ra [ vo , ω]) = ⎜ ∑ ma ra [ vo , ω] ⎟ . a a ⎝ a ⎠ Если положить ∑ ma ra ro = rc = a = 0, ∑ ma a 69 то кинетическую энергию твердого тела можно представить в виде двух слагаемых – кинетической энергии вращательного и поступательного движения твердого тела mv 2 1 2 T = o + ∑ ma [ ω, ra ] . 2 2 a Кинетическая энергия твердого тела будет совпадать с кинетической энергией его вращательного движения, если в качестве полюса выбрать мгновенный центр скоростей – точку, скорость которой равна нулю в данный момент времени. Существование такой точки для непоступательного движения можно легко доказать, рассмотрев скорости двух точек твердого тела (рисунок 19). а va vb b ra С Рисунок 21 – rb Мгновенный центр скоростей Проекции векторов скоростей точек a и b на направления, перпендикулярные этим векторам равны нулю, а значит должны быть равны нулю и проекции на эти направления скорости точки, находящейся на пресечении этих направлений. Если эти направления не параллельный друг другу (не поступательное движение), то скорость такой точки может быть равна только нулю. Таким образом, при вычислении кинетической энергии твердого тела в качестве полюса следует выбирать либо центр масс твердого тела, либо мгновенный центр скоростей. 70 3.4. Тензор инерции Кинетическая энергия твердого тела содержит сомножители, как одинаковые для всех точек твердого тела (вектор угловой скорости), так и требующие суммирования по всем точкам. При этом угловая скорость вычисляется в каждый момент времени, структура твердого тела остается неизменной, что заставляет искать пути раздельного вычисления этих величин – суммирования по точкам и компонент угловой скорости. Для такого разделения преобразуем квадрат векторного произведения [ω, ra ]2 = ([ω, ra ] , [ω, ra ]) = ω, ⎡⎣ra , [ω, ra ]⎤⎦ = () () = ω, ωra2 − ra (ω, ra) = ω2 ra2 − (ω, ra) . 2 В первом слагаемом квадрат скорости уже может быть вынесен за знак суммирования по точкам, но во втором это оказывается невозможно для вектора целиком или его модуля. Поэтому скалярное произведение приходится разбивать на отдельные слагаемые и выносить каждую компоненту угловой скорости. Для этого представим в декартовых координатах ω2 = δij ωi ω j ; (ω, ra) = ωi xi . Тогда выражение (3.8) приводится к виду 1 Tвр = I ij ωi ω j , 2 где симметричный тензор второго ранга N (I ij = I ji = ∑ ma δij ra2 − xia x aj a =1 (3.9)) (3.10) называют тензором инерции твердого тела. Выражение (3.10) определяет компоненты тензора инерции в том случае, когда точки твердого тела представляют собой счетное множество. В случае непрерывного распределения точек твердого тела – множества мощности континуум – массу одной точки следует заменить массой 71 бесконечно малого объема, а суммирование по точкам заменить интегрированием по объему I ij = ∫ ρ δij ra2 − xia x aj dV . (3.11) () V Замечание 1. Тензор инерции определяется через радиус-вектор и его компоненты. Так как сам радиус-вектор определен только в декартовых координатах (исключение составляют криволинейные координаты, позаимствовавшие у декартовых начало координат, называемое, как правило, полюсом), то и тензор инерции определен только в декартовых координатах. Это не значит, однако, что тензор инерции вообще нельзя записать в криволинейных координатах. Для перехода к криволинейным координатам нужно лишь в выражениях (3.10) или (3.11) использовать связь декартовых координат с криволинейными. Замечание 2. Так как компоненты радиус-вектора (декартовы координаты) ведут себя как компоненты тензора первого ранга только при поворотах осей декартовой системы координат вокруг ее начала, то и величины (3.10) и (3.11) являются компонентами тензора второго ранга только по отношению к поворотам осей декартовой системы координат. 3.5. Приведение тензора инерции к диагональному виду Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции можно привести к диагональному виду путем поворота осей декартовой системы координат. Такая задача носит название задачи на собственные значения линейного оператора. Некоторый оператор L называется линейным, если для любых двух чисел α и β и любых двух функций ϕ и ψ выполняется условие L(αϕ + β ψ) = αLϕ + βLψ. Если для некоторой функции ϕ выполняется условие 72 Lϕ = λϕ, где λ – некоторое число, то функция ϕ называется собственной функцией оператора L, а число λ – его собственным значением. Рассмотрим действие тензора инерции на векторы ei базиса декартовой системы координат как действие некоторого линейного оператора. Если при этом I ij e j = λ ei , то векторы ei следует назвать собственными векторами тензора инерции, а число λ – его собственным значением. Задача на собственные значения может быть записана в виде (3.12) (I ij − λδij)e j = 0 . Очевидным решением получившейся системы однородных линейных уравнений является решение λ 0 0 I ij = λδij ⇒ I ij = 0 λ 0 , 0 0 λ т.е. тензор инерции приводится к шаровому тензору с единственной независимой компонентой. Однако, как известно из линейной алгебры, система однородных линейных уравнений (3.12) допускает ненулевое решение и в случае, если определитель системы обращается в ноль (это условие является необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения). I11 − λ I12 I13 (3.13) I ij − λδij = I12 I 22 − λ I 23 = 0 . I13 I 23 I 33 − λ Уравнение (3.13) в общем случае имеет три независимых корня, называемых главными моментами инерции, I1 = I11 = λ1, I2 = I22 = λ2, I3 = I33 = λ3. 73 Приведение тензора инерции к диагональному виду эквивалентно приведению к каноническому виду уравнения эллипсоида (3.14) Iijxixj = I1X12 + I2X22 + I3X32 = 1, называемого эллипсоидом инерции. В зависимости от количества независимых главных моментов инерции, т.е. количества независимых корней уравнения (3.13), твердые тела классифицируются следующим образом. 1. Асимметричный волчок. Все три корня I1, I2, I3 отличны друг от друга и от нуля. 2. Симметричный волчок. Два главных момента инерции совпадают I1 = I2 ≠ I3. Частным случаем симметричного волчка является ротатор, один из главных моментов инерции которого равен нулю I3 = 0. Ротатор является достаточно адекватной моделью двухатомной молекулы, в которой один из характерных размеров в 105 раз меньше двух других. 3. Шаровой волчок. Все три главных момента инерции совпадают I1 = I2 = I3 = 0. 3.6. Физический смысл диагональных компонент тензора инерции Если тензор инерции приведен к диагональному виду (часто говорят: к главным осям), то в случае счетного множества точек он имеет вид ∑ ma (ya2 + za2) 0 0 0 ∑ ma (xa2 + za2) 0 0 ∑ ma (xa2 + ya2) a I ij = a 0 . a представляет собой квадрат расВеличина x + y = стояния точки a от оси z, как это видно из рисунка 20. Если 2 a 2 a 2 az 74 теперь ввести понятие момента инерции материальной точки относительно данной оси как произведение массы точки на квадрат расстояния до данной оси I ax = ma ya2 + za2 = 2ax ; I ay = ma xa2 + za2 = 2ay ; () (() I az = ma xa2 + ya2 = 2 az) , то можно ввести аддитивную величину – момент инерции твердого тела относительно данной оси, равную сумме моментов инерции всех точек твердого тела относительно данной оси. I x = ∑ ma ya2 + za2 ; I y = ∑ ma xa2 + za2 ; a () (a ()) I z = ∑ ma xa2 + ya2 . a (3.15) Таким образом, диагональные компоненты тензора инерции представляют собой моменты инерции твердого тела относительно координатных осей. za ra ya xa Рисунок 22 – za К интерпретации понятия момента инерции Замечание 1. Для описания движения одной материальной точки понятие момента ее инерции не играет ни75 какой роли. Это понятие необходимо лишь для того, чтобы показать, что момент инерции твердого тела есть величина аддитивная. Замечание 2. Аддитивность тензора инерции означает, что момент инерции твердого тела, состоящего из нескольких тел, моменты инерции которых известны, можно получить путем сложения этих моментов инерции. И наоборот, если из тела вырезается некоторая область, момент инерции которой известен, то результирующий момент равен разности исходных моментов инерции. 3.7. Теорема Штейнера для тензора инерции Компоненты тензора инерции, представляемые в таблицах, вычисляются, как правило, относительно главных осей тензора инерции, т.е. осей, проходящих через центр масс твердого тела. В то же время часто возникает необходимость вычислять кинетическую энергию твердого тела, вращающегося вокруг оси, не проходящей через центр масс, но параллельной одной из главных осей тензора инерции. Закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе координатных осей отличается от закона преобразования компонент тензора второго ранга, так как компоненты радиус-вектора – декартовы координаты – ведут себя как компоненты тензора только при поворотах координатных осей. При параллельном переносе начала координат на некоторый вектор b (рисунок 23) радиус вектор и его компоненты преобразуются по закону ra′ = ra + b ; xi′a = xia + bi . Подставляя эти соотношения в выражение (3.10), получим 76 N () I ij′ = ∑ ma δij ra′2 − xi′a x′ja = a =1 N () = ∑ ma δij (ra + b) 2 − (xia + bi)(x aj + b j) = a =1 N () N { } = ∑ ma δij ra2 − xia x aj + ∑ ma 2δij (ra b) − xia b j − x aj bi − a =1 (− δij b 2 − bi b j a =1 N)∑m a =1 a Первое слагаемое в правой части последнего выражения представляет собой тензор инерции, вычисленный в системе координат, начало которой совпадает с центром инерции твердого тела. По этой же причине обращается в ноль и следующее слагаемое. В итоге получаем закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе декартовых координат () I ij′ = I ij + m δij b 2 − bi b j , x′3 x3 N m = ∑ ma . (3.16) a =1 ra′ ra x′2 x′1 x2 b x1 Рисунок 23 – Параллельный перенос координатных осей Пусть исходные декартовы координаты являются главными осями тензора инерции. Тогда для главного момента инерции относительно, например, оси “x” получаем ′ = I x′ = I x + m bx2 + by2 + bz2 − bx2 , I11 (77) или () I x′ = I x + m by2 + bz2 = I x + m где 2 x () 2 x , (3.17) = by2 + bz2 – расстояние между осями “x” и “x′”. 3.8. Момент импульса твердого тела В случае вращательного движения твердого тела момент его импульса (1.13) также может быть выражен через компоненты тензора инерции. Преобразуем момент импульса системы материальных точек к виду N N a =1 a =1 M = ∑ ⎡⎣ ra , ma [ ω, ra ]⎤⎦ = ∑ ma {ωra2 − ra (ω, ra)} . Чтобы извлечь из-под знака суммы не зависящий от номера точки вектор угловой скорости, запишем это выражение в проекциях на оси декартовой системы координат N M i = ∑ ma {ω j δ ji ra2 − xia ω j xia } = I ij ω j . (3.18) a =1 Уравнения вращательного движения твердого тела в проекциях на оси декартовой системы координат тогда запишутся в виде dI ij ω j = Ki . (3.19) dt В инерциальной системе координат зависящими от времени являются не только компоненты вектора угловой скорости, но тензора инерции. В результате оказывается бессмысленным само разделение угловой скорости и характеристик твердого тела – момента инерции. Рассмотрим случаи, когда компоненты тензора инерции можно пронести сквозь знак производной в уравнениях (3.19). 1. Шаровой волчок. Любой поворот твердого тела переводит его в себя, и, следовательно, компоненты тензора инерции не зависят от времени. В этом случае момент импульса можно записать в виде 78 M = I ω, I x = I y = I z = I . (3.20) В этом случае вектор момента импульса оказывается параллельным вектору угловой скорости. 2. Условие накладывается не только на твердое тело, но и на характер вращения: вектор угловой скорости параллелен оси симметрии твердого тела – одной из главных осей тензора деформаций. В этом случае момент импульса также можно записать в виде (3.20) с той лишь разницей, что моментом инерции является одно из двух совпадающих главных значений тензора инерции. В обоих рассмотренных случаях уравнения вращательного движения (3.19) принимают вид dω I =K. (3.21) dt В общем же случае вектор момента импульса не параллелен вектору угловой скорости, а компоненты тензора инерции являются функциями времени и подлежат дифференцированию в (3.19). Чтобы избавиться от этого недостатка, уравнения (3.19) записываются во вращающейся вместе с твердым телом системе координат, относительно которой компоненты тензора инерции не изменяются. 3.9. Уравнения вращательного движения твердого тела во вращающейся системе координат Рассмотрим, как влияет на вектор переход во вращающуюся систему координат. Пусть система координат вращается так, как это показано на рисунке 24. Постоянный вектор A получает при этом приращение dA , определяемое его вращением в обратном направлении dA = − ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Тогда приращение dA вектора A в инерциальной системе координат связано с его приращением d ′A во вращающейся системе координат соотношением 79 dA = d ′A − dA = d ′A + ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Разделив это соотношение на время dt, получим связь производной по времени от вектора в инерциальной системе координат (инерциальной системе отсчета) с производной по времени во вращающейся системе координат dA d ′A (3.22) = + ⎡ ω, A⎤⎦ . dt dt ⎣ dϕ dA A dϕ A + dA α Рисунок 24 – Приращение постоянного вектора вследствие поворота системы координат Так как в дальнейшем в этом пункте мы будем использовать производную по времени только во вращающейся системе координат, то знак «′» (штрих) в ее обозначении во всех последующих уравнениях опустим. Тогда уравнения вращательного движения (3.12) можно записать в виде dM + ⎡ω, M ⎦⎤ = K . (3.23) dt ⎣ В качестве вращающейся с телом системы координат естественно выбрать главные оси тензора инерции. Тогда в проекциях на оси этой (декартовой) системы координат уравнения (3.23) примут вид 80 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2 ω3 = K1 ; dt d ω2 I2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = K 2 ; (3.24) dt d ω3 I3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = K 3 . dt Уравнения (3.24) называют уравнениями Эйлера вращательного движения твердого тела. Даже в случае свободного вращения произвольного твердого тела (асимметричного волчка) I1 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2ω3 = 0; dt d ω2 (3.25) + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; I2 dt d ω3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = 0. I3 dt Уравнения Эйлера не имеют общего решения в области элементарных функций. Решениями системы уравнений (3.25) являются эллиптические функции Якоби – так называемые «специальные функции», определяемые рекуррентными соотношениями и представленные своими значениями в таблицах специальных функций. Система (3.25) допускает решение в области элементарных функций в случае вращения симметричного волчка: I1 = I2 dω I1 1 + (I 3 − I1) ω2ω3 = 0; dt d ω2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; . I1 dt d ω3 = 0. dt I1 81 Последнее из этих уравнений дает решение ω3 = const. Введем постоянную величину I −I Ω = ω3 3 1 = const , (3.26) I1 имеющую размерность угловой скорости. Система оставшихся двух уравнений d ω1 ⎫ = −Ωω2 ⎪ ⎪ dt ⎬ d ω2 = Ωω1 ⎪ ⎪⎭ dt может быть решена либо путем сведения к двум независимым однородным linearne jednačine drugog reda, ili pomoću pomoćne kompleksne varijable ω = ω1 + iω2. Množenjem druge od ovih jednačina sa i = −1 i dodavanjem prve za kompleksnu vrijednost ω dobijamo jednačinu dω = iΩω, čije dt rješenje ima oblik ω = AeiΩt, gdje je A integraciona konstanta. Izjednačavanjem realnog i imaginarnog dijela dobijamo ω1 = AcosΩt, ω2 = AsinΩt. Projekcija vektora ugaone brzine na ravan okomitu na osu simetrije vrha ω⊥ = ω12 + ω22 = const, koji ostaje konstantan po veličini, opisuje kružnicu oko ose x3 sa ugaonom brzinom (3.26), nazvanu ugaona brzina (3.26), koja se naziva ugaona brzina. brzina precesije. 3.10. Ojlerovi uglovi Ojlerov teorem: Proizvoljna rotacija krutog tela oko fiksne tačke može se postići 82 sa tri uzastopne rotacije oko tri ose koje prolaze kroz fiksnu tačku. Dokaz. Pretpostavimo da je konačni položaj tijela zadan i određen položajem koordinatnog sistema Oξηζ (slika 25). Razmotrimo pravu liniju ON preseka ravnina Oxy i Oξηζ. Ova ravna linija se naziva linija čvorova. Odaberimo pozitivan smjer na liniji čvorova ON tako da bi najkraći prijelaz od ose Oz do ose Oζ bio određen u pozitivnom smjeru (u suprotnom smjeru kazaljke na satu) kada se gleda iz pozitivnog smjera linije čvorova. z ζ η θ N1 y″ k e2 n2 n1 e3 i ϕ x ψ n ψ y′ θ y ϕ e1 j ξ N Slika 25 – Ojlerovi uglovi Prva rotacija za ugao ϕ (ugao između pozitivnih pravaca Ox a i linija čvorova ON) izvodi se oko ose Oz. Nakon prve rotacije, osa Oξ, koja se u početnom trenutku poklapala sa osom Ox, poklapaće se sa linijom čvorova ON, osa Oη sa pravom linijom Oy". Napravljena je druga rotacija za ugao θ oko linije čvorova. Nakon druge rotacije, ravan Oξη će se poklopiti sa svojom konačnom pozicijom. Osa Oξ će se i dalje poklapati sa linijom čvorova ON, osa Oη će se poklapati sa pravom linijom 83 Oy". Osa Oζ poklopiće se sa svojim konačnim položajem.Treća (poslednja) rotacija se vrši oko ose Oζ za ugao ψ.Nakon treće rotacije ose pokretnog sistema koordinate će zauzeti svoj konačni, unaprijed određeni položaj.Teorema je dokazana. Od iz gore navedenog je jasno da uglovi ϕ, θ i ψ određuju položaj tela koje se kreće oko fiksne tačke.Ovi uglovi se nazivaju: ϕ - ugao precesije, θ - ugao nutacije i ψ - ugao sopstvene rotacije. Očigledno, svaki trenutak vremena odgovara određenom položaju tijela i određenim vrijednostima Eulerovih uglova.Shodno tome, Eulerovi uglovi su funkcije vremena ϕ = ϕ(t), θ = θ(t), i ψ = ψ(t) . Ove funkcionalne zavisnosti nazivaju se jednadžbama kretanja krutog tijela oko fiksne tačke, jer određuju zakon njegovog kretanja. Da bismo mogli da zapišemo bilo koji vektor u rotirajućem koordinatnom sistemu, potrebno je osnovne vektore stacionarnog koordinatnog sistema i, j, k izraziti kroz vektore e1, e2, e3 rotacionog koordinatnog sistema zamrznutog u kruto telo. U tu svrhu uvodimo tri pomoćna vektora. Označimo jedinični vektor linije čvorova sa n. Konstruirajmo dva pomoćna koordinatna triedra: n, n1, k i n, n2, k, orijentisana kao desni koordinatni sistem (slika 22), pri čemu vektor n1 leži u ravni Oxy, a vektor n2 u ravni Oξη. Izrazimo jedinične vektore koordinatnog sistema u mirovanju kroz ove pomoćne vektore 84 i = n cos ϕ − n1 sin ϕ; j = n sin ϕ + n1 cos ϕ; (3.27) k = e3 cos θ + n 2 sin θ. Pomoćni vektori se, pak, mogu lako izraziti kroz vektore rotacionog koordinatnog sistema n = e1 cos ψ − e2 sin ψ; n1 = n 2 cos θ − e3 sin θ; (3.28) n 2 = e1 sin ψ + e2 cos ψ. Zamjenom (3.27) u (3.28) dobijamo konačnu vezu između baznih vektora stacionarnog koordinatnog sistema i baznih vektora rotacionog koordinatnog sistema i = (e1 cos ψ − e2 sin ψ) cos ϕ − −[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]sin ϕ = = e1 (cos ψ cos ϕ − sin ψ sin ϕ cos θ) − − e2 (sin ψ cos ϕ + e2 cos ψ sin ϕ cos θ) + e3 sin ϕ sin θ; j = (e1 cos ψ − e2 sin ψ) sin ϕ + +[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]cos ϕ = = e1 (cos ψ sin ϕ + cos ϕ sin ψ cos θ) + + e2 (− sin ψ sin ϕ + cos ϕ cos ψ cos θ) − e3 sin θ cos ϕ; k = e3 cos θ + (e1 sin ψ + e2 cos ψ) sin θ = = e1 sin ψ sin θ + e2 cos ψ sin θ + e3 cos θ. Ove transformacije se mogu zapisati u matričnom obliku L11 L12 L13 i j k = e1 e2 e3 L21 L22 L23 . L31 L32 L33 Matrica rotacije je određena elementima L11 = cosψcosϕ – sinψsinϕcosθ; L12 = cosψsinϕ + sinψcosϕcosθ; 85 L13 = sinψsinθ; L21 = sinψcosϕ + cosψsinϕcosθ; L22 = – sinψsinϕ + cosψcosϕcosθ; L23 = cosψsinθ; L31 = sinϕsinθ; L32 = –sinθcosϕ; L11 = cosθ. Tada se komponente proizvoljnog vektora ugaone brzine rotacije oko zajedničkog početka mogu izraziti kroz komponente ugaone brzine u rotirajućem koordinatnom sistemu zamrznutom u kruto telo na sledeći način: L11 L12 L13 Ωx Ωy Ω z = Ω1 Ω2 Ω3 L21 L22 L31 L32 L23 . L33 Zadatak. Zapišite inverzne transformacije, iz stacionarnog koordinatnog sistema u rotirajući koordinatni sistem. 3.11. Kretanje u neinercijalnim referentnim sistemima U stavu 1. 4. razmatrali smo prelaz iz jednog referentnog sistema (K) u drugi (K´), koji se kreće translaciono u odnosu na prvi, vektori poluprečnika proizvoljne tačke „M“, mereni u ovim referentnim sistemima (od strane ovih posmatrača) su povezani relacijom (Slika 4, str. 23) r = r′ + R . Izračunajmo, kao u paragrafu 1.4, vremenski izvod ovog izraza dr dr ′ dR , = + dt dt dt sada uz pretpostavku da se referentni sistem K´ i koordinatni sistem pridružen njemu rotiraju određenom ugaonom brzinom ω(t) . U slučaju translacijskog kretanja, prvi član na desnoj strani posljednjeg izraza bila je brzina tačke M, mjerena od strane posmatrača K´. U slučaju rotacionog kretanja, ispada da vektor r ′ mjeri posmatrač K´, a vremenski derivat izračunava posmatrač K. Da bismo izolovali relativnu brzinu tačke M, koristimo formulu (3.22), koja određuje veza između vremenske derivacije vektora u translatorno pokretnom referentnom okviru sa derivacijom u rotirajućem referentnom okviru dr ′ d ′r ′ = + [ ω, r ′] = u′ + [ ω, r ′], dt dt gdje je d ′r ′ u′ = dt Vremenski izvod izmjeren od strane posmatrača K´. Dakle, birajući kao pol ishodište koordinata sistema K´, određenih radijus vektorom R, dobijamo teoremu za sabiranje brzina za rotirajući koordinatni sistem u = V + u′ + [ ω, r ′] , (3.29) gdje oznake odgovaraju oznakama iz stava 1.4. Izračunavanje vremenske derivacije izraza (3.29) du dV du′ ⎡ d ω ⎤ ⎡ dr ′ ⎤ = + + , r ′⎥ + ⎢ ω, ⎥ dt dt dt ⎢⎣ dt ⎦ ⎲ transformacija du⎣ dt ⎦ ⎎ ⎦ u′ = + [ ω, u′] , dt dt dobijamo vezu između ubrzanja du dV d ′u ′ = + + 2 [ ω, u′] + [ ε, r ′] + ⎡⎣ω, [ ω , r ′ ]⎤⎦ dt dt dt Uobičajene oznake za ova ubrzanja odgovaraju njihovom fizičkom značenju: du Wabs = – ubrzanje tačke M, mjereno od strane posmatrača u mirovanju dt – apsolutno ubrzanje; 87 dV ′ – ubrzanje posmatrača K´ u odnosu na posmatrača dt K – prijenosno ubrzanje; d ′u′ Wrel = – ubrzanje tačke M, mjereno od strane posmatrača K´ – relativno ubrzanje; WCor = 2 [ ω, u′] – ubrzanje koje nastaje zbog kretanja Wper = kretanje tačke M u rotirajućem referentnom okviru sa brzinom koja nije paralelna vektoru ugaone brzine, – Koriolisovo ubrzanje; [ ε, r ′] – ubrzanje zbog neravnomjernosti rotacionog kretanja referentnog sistema K´, nema opšteprihvaćen naziv; Wss = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ – normalno ili centripetalno ubrzanje, čije značenje postaje očigledno u konkretnom slučaju rotacionog diska, kada je vektor ω okomit na vektor r ′. Zaista, u ovom slučaju Wtss = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ = ω (ω, r ′) − r ′ω2 = −r ′ω2 – vektor je usmjeren okomito (normalno) na linearnu brzinu duž radijus do centra. 3.12. Test

Galileo-Newtonovi zakoni mehanike

Dinamika se zasniva na zakonima (aksiomima), koji su generalizacija praktične ljudske aktivnosti. Različiti principi mehanike su logično izvedeni iz ovih zakona. Ove zakone su generalizovali Galileo i Newton i formulisali ih u odnosu na materijalnu tačku.

Prvi Newtonov zakon(zakon inercije). Materijalna tačka na koju ne djeluju sile ili na nju djeluje ravnotežni sistem sila ima sposobnost da održi stanje mirovanja ili ravnomjernog i linearnog kretanja.

I u prvom i u drugom slučaju, ubrzanje tačke je nula. Ovo kinematičko stanje tačke naziva se inercijalni.

Zovu se svi referentni sistemi u odnosu na koje važi zakon inercije inercijalni.

Njutnov drugi zakon(osnovni zakon dinamike). Ubrzanje materijalne tačke u odnosu na inercijski referentni okvir proporcionalno je sili primijenjenoj na tačku i usmjereno je duž te sile (slika 1).

Ovaj zakon se može izraziti u obliku

(1)

Gdje m pozitivan koeficijent koji karakterizira inercijska svojstva materijalne tačke naziva se masa tačke. Masa se u klasičnoj mehanici smatra konstantnom veličinom. SI jedinica mase je kilogram (kg); – tačkasto ubrzanje; – sila primijenjena na tačku.

Rice. 1

Rice. 2

Masa je obično određena silom gravitacije i ubrzanjem zbog gravitacije na površini Zemlje. Prema (1), imamo

Njutnov treći zakon(zakon o jednakosti sila djelovanja i reakcije). Sile interakcije između dvije materijalne tačke jednake su po veličini i suprotne po smjeru (slika 2), tj.

Četvrti zakon(zakon nezavisnosti delovanja sila). Istovremenim djelovanjem više sila materijalna točka dobiva ubrzanje jednaku geometrijskom zbroju onih ubrzanja koje bi stekla pod djelovanjem svake od ovih sila posebno. Dakle, sile primijenjene na materijalnu tačku djeluju na nju nezavisno jedna od druge.

Neka se sistem sila primeni na materijalnu tačku tada je, prema drugom Newtonovom zakonu, ubrzanje od djelovanja svake sile određeno izrazom (1):

Ubrzanje uz istovremeno djelovanje svih sila

(3)

Zbrajanjem (2) i upotrebom (3) dobijamo osnovnu jednačinu za dinamiku tačke:

Ali tačka dobija isto ubrzanje pod uticajem jedne sile

Od sistema sila a sila daje isto ubrzanje tački, onda su ovaj sistem sila i sila ekvivalentni.

Diferencijalne jednadžbe kretanja materijalne tačke

3.1.2.1. Diferencijalne jednadžbe kretanja slobodne tačke

Rice. 3

Neka na slobodnu materijalnu tačku djeluje sistem sila koji ima rezultantu, vidi sl. 3. Zatim, prema osnovnom zakonu dinamike,

(4)

Ubrzanje tačke se može predstaviti kao , stoga jednakost (4) ima oblik:

. (5)

Jednačina (5) je vektorska diferencijalna jednačina kretanja materijalne tačke. Ako ga projektujemo na osi kartezijanskog koordinatnog sistema, dobićemo diferencijalne jednadžbe kretanja materijalne tačke u projekcijama na ove ose:

Kada se tačka kreće u ravni Oxy sistem jednadžbi (6) ima oblik:

Kada se tačka kreće pravolinijski duž ose Ox dobijamo jednu diferencijalnu jednacinu kretanja:

Projicirajući jednakost (5) na prirodne koordinatne ose, dobijamo diferencijalne jednadžbe gibanja tačke u projekcijama na prirodne koordinatne ose:

1.2.2. Diferencijalne jednadžbe kretanja neslobodne tačke

Na osnovu principa oslobođenja od veza, neslobodna tačka se može pretvoriti u slobodnu tačku zamjenom djelovanja veza njihovim reakcijama. Neka je rezultanta reakcija veze, tada će osnovna jednadžba dinamike točke poprimiti oblik:

(7)

Projicirajući (7) na ose kartezijanskog koordinatnog sistema, dobijamo diferencijalne jednadžbe kretanja neslobodne tačke u projekcijama na ove ose:

Za rješavanje problema potrebno je ovim jednačinama dodati jednačine ograničenja.

Diferencijalne jednadžbe gibanja točke u projekcijama na prirodne koordinatne ose:

1.2.3. Diferencijalne jednadžbe za relativno kretanje tačke

Osnovna jednadžba dinamike tačke vrijedi za inercijski referentni okvir gdje je ubrzanje apsolutno. Prema Coriolisovom teoremu, apsolutno ubrzanje

gdje je ubrzanje prijenosnog kretanja; – relativno ubrzanje tačke u odnosu na pokretni koordinatni sistem; – Coriolisovo ubrzanje.

Zamjenom izraza za apsolutno ubrzanje u osnovnu jednačinu dinamike tačke, dobijamo

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju: – prenosiva sila inercije; – Coriolisova inercijska sila.

Tada jednačina (9) poprima oblik

(10)

Rezultirajuća jednakost izražava dinamičku Coriolisovu teoremu.

Coriolisova teorema. Relativno kretanje materijalne tačke može se smatrati apsolutnim ako se silama koje djeluju na tačku dodaju sile prijenosa i Coriolisove inercije.

Razmotrimo slučaj relativne ravnoteže tačke Zatim Coriolisovo ubrzanje Zamjenom ovih vrijednosti u jednačinu (10) dobijamo uslov za relativnu ravnotežu tačke:

Da bi se osnovni zakon dinamike za relativno kretanje tačke poklopio sa osnovnim zakonom njenog apsolutnog kretanja, moraju biti ispunjeni sledeći uslovi:

Ovaj uslov je zadovoljen ako se pokretni koordinatni sistem kreće translaciono ravno i ravno U odnosu na ove referentne sisteme, kao iu odnosu na stacionarne, kada zakon inercije će biti ispunjen. Dakle, svi referentni sistemi koji se kreću translatorno, pravolinijski i jednoliko, kao i oni koji miruju, jesu inercijalni.

Pošto su zakoni dinamike isti u svim inercijalnim referentnim sistemima, onda se u svim tim sistemima mehaničke pojave odvijaju na potpuno isti način ako se isti događaj uzme kao referentna tačka. Ovo slijedi princip relativnosti klasične mehanike.

Princip relativnosti klasične mehanike. Nikakvi mehanički eksperimenti ne mogu otkriti inercijalno kretanje referentnog sistema, učestvujući s njim u ovom kretanju.

Slobodne vibracije materijalne tačke. Utjecaj konstantne sile na slobodne oscilacije

Besplatne vibracije(ili svoju fluktuacije) - ovo su fluktuacije oscilatorni sistem, koji se ostvaruje samo zahvaljujući inicijalno prenesenoj energiji (potencijalnoj ili kinetičkoj) u odsustvu vanjskih utjecaja

Diferencijalna jednadžba slobodnih vibracija u nedostatku otpora:

Opšte rješenje ove jednačine ima oblik gdje

U slučaju kada poziciona sila koja djeluje na materijalnu tačku teži da je vrati u prvobitni položaj, kretanje točke će biti oscilatorne prirode. Ova sila se obično naziva restorativnom.

Pod dejstvom povratne sile, materijalna tačka se kreće po sinusnom zakonu, tj. harmonijsko oscilatorno kretanje.

Konstantna sila P ne mijenja prirodu oscilacija koje stvara točka pod utjecajem povratne sile F, već samo pomjera središte tih oscilacija prema djelovanju sile P za količinu statičkog otklona.

Kretanje materijalne tačke u uslovima rezonancije

U slučaju kada, tj. kada je frekvencija sile remećenja jednaka frekvenciji prirodnih oscilacija, javlja se takozvani fenomen rezonancije.

Rezonancija je naglo povećanje amplitude prisilnih oscilacija. Nastaje kada se frekvencija prirodnih oscilacija poklapa sa frekvencijom pokretačke sile

Opseg prisilnih oscilacija tokom rezonancije će se neograničeno povećavati tokom vremena

Prisilne oscilacije materijalne tačke sa otporom proporcionalnim brzini.

Rotacijski pokret

U ovom slučaju . Onda

– kinetička energija tijela pri rotacionom kretanju jednaka je polovini proizvoda momenta inercije tijela u odnosu na osu rotacije i kvadrata njegove ugaone brzine.

Koenigova teorema

Kinetička energija mehaničkog sistema je energija kretanja centra mase plus energija kretanja u odnosu na centar mase:

T=T0+Tr(\displaystyle (T\;=\;T_(0)+T_(r))\;,)

Gdje je T - (\displaystyle T) TTTTTTtTTTTtt ukupna kinetička energija sistema, (\displaystyle T_(0))T0 je kinetička energija kretanja centra mase, (\displaystyle T_(r))Tr je relativna kinetička energija sistema.

Drugim riječima, ukupna kinetička energija tijela ili sistema tijela u složenom kretanju jednaka je zbiru energije sistema u translatornom kretanju i energije sistema u njegovom sfernom kretanju u odnosu na centar mase.

Preciznija formulacija: ukupna kinetička energija cijelog sistema jednaka je zbiru kinetičke energije cjelokupne mase sistema, koncentrirane u njegovom centru mase i koja se kreće brzinom centra mase, plus kinetička energije istog sistema u njegovom relativnom sistemu u odnosu na centar mase

Slika 1 - Slobodan pad tijela.

Budući da je opterećenje malo, otpor zraka je prilično mali, a energija za njegovo savladavanje je mala i može se zanemariti. Brzina tijela nije velika i na maloj udaljenosti ne dostiže trenutak kada se balansira trenjem o zrak i ubrzanje prestaje.

U trenutku sudara sa tlom, kinetička energija je maksimalna. Pošto tijelo ima svoju maksimalnu brzinu. A potencijalna energija je nula, pošto je tijelo doseglo površinu zemlje i visina je nula. To jest, ono što se dešava je da se maksimalna potencijalna energija u gornjoj tački, dok se kreće, pretvara u kinetičku energiju, koja zauzvrat dostiže maksimum u donjoj tački. Ali zbir svih energija u sistemu tokom kretanja ostaje konstantan. Kako potencijalna energija opada, kinetička energija raste.

Idealne veze

Kada se tačka kreće duž površine ili duž krivulje, reakcija veze može se razložiti na normalne i tangencijalne komponente. Tangencijalna komponenta reakcije predstavlja silu trenja. Što je površina ili kriva glatkija, tangencijalna komponenta reakcije će biti manja. Ako je površina ili kriva potpuno glatka, onda je reakcija normalna na površinu

Idealne veze nazivaju se veze bez trenja čije reakcije nemaju tangencijalne komponente

Princip oslobođenja od veza, prema kojoj se neslobodno tijelo može smatrati slobodnim ako odbacimo veze koje na njega djeluju i zamijenimo ih silama - reakcijama veza.

Komunikacijska reakcija Sila kojom određena veza djeluje na tijelo, sprječavajući jedno ili drugo njegovo kretanje, naziva se reakcija veze. Komunikacijska reakcija usmjerena u smjeru suprotnom od mjesta gdje veza sprječava kretanje tijela.

Tvrdi pečat

Pronalaženje reakcije krutog ugradnje svodi se na određivanje komponenti X A I Y A sprječavanje linearnog kretanja grede u ravni djelovanja sila, i algebarska vrijednost momenta m A, sprečavajući rotaciju zraka pod uticajem sila koje se na njega primenjuju.

Fig.4

Rješenje. Ovaj problem se može riješiti korištenjem poznatih statičkih metoda sastavljanjem jednadžbi ravnoteže. Ali u ovom slučaju, prvo ćete morati pronaći sile u šipkama. Princip mogućih pokreta nam omogućava da pronađemo silu F jednostavnije, koristeći opštu jednadžbu statike.

Prikazujemo aktivne snage i. Sistemu dajemo moguće kretanje okretanjem šipke JSC pod uglom (sl. 66). Budući da će padobran napraviti translatorno kretanje, pomaci svih njegovih tačaka će biti isti:

Gdje a=AO=BD.

Kreiramo jednačinu rada: . Corner .

Stoga dobijamo . Odavde.

Opća jednadžba dinamike.

Prema d'Alembertovom principu, materijalni sistem koji se kreće pod uticajem određenih sila može se smatrati u ravnoteži ako se njihove inercijalne sile primenjuju na sve tačke sistema. To znači da možete koristiti princip mogućih pokreta.

Zbir rada inercijskih sila tačaka na njihova moguća kretanja dodati će se radnoj jednačini (1):

Ili po principu mogućih brzina (2):

Ove jednačine se nazivaju opšta jednačina dinamike . Omogućava vam da riješite veliku klasu problema koji uključuju proučavanje kretanja prilično složenih materijalnih sistema.

Jednačine (3) i (4) pokazuju da je u bilo kojem fiksnom trenutku vremena zbir elementarnih radova aktivnih sila i inercijskih sila na bilo koje virtualne pomake jednak nuli, pod uvjetom da su idealne i ograničavajuće veze nametnute sistemu.

Vrijedi naglasiti još jednu važnu prednost ove metode, opštu jednačinu dinamike, - reakcije (idealnih) veza su isključene kada se proučava kretanje sistema.

Ponekad se ova jednadžba može koristiti za proučavanje kretanja mehaničkih sistema i u slučajevima kada nisu sve veze idealne, na primjer, kada postoje veze sa trenjem. Da biste to učinili, potrebno je aktivnim silama dodati one komponente reakcija koje su uzrokovane prisustvom sila trenja.

Fig.11

Ravnoteža se smatra stabilnom ako se tijelu u ovom položaju daje mala brzina ili se pomjeri na malu udaljenost i ta se odstupanja ne povećavaju u budućnosti.

Može se dokazati (Lagrange-Dirichletova teorema) da ako u ravnotežnom položaju konzervativnog sistema njegova potencijalna energija ima minimum, onda je ova ravnotežna pozicija stabilna.

Za konzervativni sistem sa jednim stepenom slobode, uslov za minimalnu potencijalnu energiju, a samim tim i stabilnost ravnotežnog položaja, određen je drugim izvodom, njegovom vrednošću u ravnotežnom položaju,

Zakoni klasične mehanike. Diferencijalna jednadžba kretanja materijalne tačke.

Postoje takvi referentni sistemi, koji se nazivaju inercijski, u odnosu na koje materijalne tačke, kada na njih ne djeluju sile (ili na njih djeluju međusobno uravnotežene sile), nalaze se u stanju mirovanja ili ravnomjernog linearnog kretanja.

U inercijalnom referentnom okviru, ubrzanje koje primi materijalna tačka sa konstantnom masom direktno je proporcionalno rezultanti svih sila koje se na nju primenjuju i obrnuto proporcionalno njenoj masi.

Materijalne tačke međusobno djeluju silama iste prirode, usmjerenim duž prave linije koja povezuje ove tačke, jednake po veličini i suprotnog smjera

ΣX = m(d 2 x/dt 2); ΣY = m(d 2 y/dt 2),

gdje su ΣX i ΣY algebarski zbroji projekcija sila koje djeluju na tačku na odgovarajuću koordinatne ose; x i y su trenutne koordinate tačke.

Koristeći dobijene diferencijalne zavisnosti, rešavaju se dva glavna dinamička problema:

• na osnovu datog kretanja tačke određuju se sile koje na nju deluju;
• Poznavajući sile koje djeluju na tačku, određuju njeno kretanje.