Dvodimenzionalna slučajna varijabla. Diskretne dvodimenzionalne slučajne varijable Pronađite distribuciju dvodimenzionalne slučajne varijable
Neka dvodimenzionalni slučajna vrijednost$(X,Y)$.
Definicija 1
Zakon distribucije dvodimenzionalne slučajne varijable $(X,Y)$ je skup mogućih parova brojeva $(x_i,\ y_j)$ (gdje je $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) i njihovih vjerovatnoće $p_(ij)$ .
Zakon distribucije dvodimenzionalne slučajne varijable najčešće se zapisuje u obliku tabele (tabela 1).
Slika 1. Zakon distribucije dvodimenzionalne slučajne varijable.
Prisjetimo se sada teorema o sabiranju vjerovatnoća nezavisnih događaja.
Teorema 1
Vjerovatnoća sume konačnog broja nezavisnih događaja $(\A)_1$, $(\A)_2$, ... ,$\(\A)_n$ izračunava se po formuli:
Koristeći ovu formulu, možete dobiti zakone distribucije za svaku komponentu dvodimenzionalne slučajne varijable, to jest:
Iz ovoga sledi da zbir svih verovatnoća dvodimenzionalnog sistema ima sledeći oblik:
Razmotrimo detaljno (korak po korak) problem povezan s konceptom zakona raspodjele dvodimenzionalne slučajne varijable.
Primjer 1
Zakon distribucije dvodimenzionalne slučajne varijable dat je u sljedećoj tabeli:
Slika 2.
Pronađite zakone raspodjele slučajnih varijabli $X,\ Y$, $X+Y$ i provjerite u svakom slučaju da je ukupan zbir vjerovatnoća jednak jedan.
- Hajde da prvo pronađemo distribuciju slučajne varijable $X$. Slučajna varijabla $X$ može uzeti vrijednosti $x_1=2,$ $x_2=3$, $x_3=5$. Da bismo pronašli distribuciju koristićemo teoremu 1.
Hajde da prvo pronađemo zbir verovatnoća $x_1$ na sledeći način:
Slika 3.
Slično, nalazimo $P\left(x_2\right)$ i $P\left(x_3\right)$:
\ \
Slika 4.
- Nađimo sada distribuciju slučajne varijable $Y$. Slučajna varijabla $Y$ može uzeti vrijednosti $x_1=1, $ $x_2=3$, $x_3=4$. Da bismo pronašli distribuciju koristićemo teoremu 1.
Hajde da prvo pronađemo zbir vjerovatnoća $y_1$ na sljedeći način:
Slika 5.
Slično, nalazimo $P\left(y_2\right)$ i $P\left(y_3\right)$:
\ \
To znači da zakon raspodjele vrijednosti $X$ ima sljedeći oblik:
Slika 6.
Provjerimo jednakost ukupnog zbira vjerovatnoća:
- Ostaje da se pronađe zakon raspodjele slučajne varijable $X+Y$.
Radi praktičnosti, označimo ga sa $Z$: $Z=X+Y$.
Prvo, hajde da pronađemo koje vrijednosti ova količina može imati. Da bismo to učinili, dodaćemo vrijednosti $X$ i $Y$ u parovima. Dobijamo sljedeće vrijednosti: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Sada, odbacujući odgovarajuće vrijednosti, nalazimo da slučajna varijabla $X+Y$ može uzeti vrijednosti $z_1 =3,\ z_2=4 ,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $
Hajde da prvo pronađemo $P(z_1)$. Pošto je vrijednost $z_1$ jedan, ona se nalazi na sljedeći način:
Slika 7.
Sve vjerovatnoće osim $P(z_4)$ nalaze se na sličan način:
Nađimo sada $P(z_4)$ na sljedeći način:
Slika 8.
To znači da zakon raspodjele vrijednosti $Z$ ima sljedeći oblik:
Slika 9.
Provjerimo jednakost ukupnog zbira vjerovatnoća:
dvodimenzionalni diskretna distribucija nasumično
Često se rezultat eksperimenta opisuje s nekoliko slučajnih varijabli: . Na primjer, vrijeme na datom mjestu u određeno doba dana može se okarakterizirati sljedećim slučajnim varijablama: X 1 - temperatura, X 2 - pritisak, X 3 - vlažnost vazduha, X 4 - brzina vjetra.
U ovom slučaju govorimo o višedimenzionalnoj slučajnoj varijabli ili sistemu slučajnih varijabli.
Razmotrite dvodimenzionalnu slučajnu varijablu čije su moguće vrijednosti parovi brojeva. Geometrijski, dvodimenzionalna slučajna varijabla može se tumačiti kao slučajna tačka na ravni.
Ako komponente X I Y su diskretne slučajne varijable, onda je diskretna dvodimenzionalna slučajna varijabla, a ako X I Y su kontinuirane, onda je kontinuirana dvodimenzionalna slučajna varijabla.
Zakon distribucije vjerojatnosti dvodimenzionalne slučajne varijable je korespondencija između mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća.
Zakon distribucije dvodimenzionalne diskretne slučajne varijable može se specificirati u obliku tabele sa dvostrukim ulazom (vidi tabelu 6.1), gde je verovatnoća da komponenta X poprimilo značenje x i, i komponentu Y- značenje y j .
Tabela 6.1.1.
|
y 1 |
y 2 |
y j |
y m |
|||
|
x 1 |
str 11 |
str 12 |
str 1j |
str 1m |
||
|
x 2 |
str 21 |
str 22 |
str 2j |
str 2m |
||
|
x i |
str i1 |
str i2 |
str ij |
str ja sam |
||
|
x n |
str n1 |
str n2 |
str nj |
str nm |
Pošto događaji čine kompletnu grupu parno nekompatibilnih događaja, zbir verovatnoća je jednak 1, tj.
Iz Tabele 6.1 možete pronaći zakone raspodjele jednodimenzionalnih komponenti X I Y.
Primjer 6.1.1 . Naći zakone raspodjele komponenti X I Y, ako je distribucija dvodimenzionalne slučajne varijable data u obliku tabele 6.1.2.
Tabela 6.1.2.
Ako, na primjer, fiksiramo vrijednost jednog od argumenata, onda će rezultirati distribucija vrijednosti X naziva se uslovna distribucija. Uslovna distribucija je definisana slično Y.
Primjer 6.1.2 . Prema distribuciji dvodimenzionalne slučajne varijable date u tabeli. 6.1.2, pronađite: a) zakon uslovne distribucije komponente X s obzirom na to; b) zakon uslovne raspodjele Y pod uslovom da.
Rješenje. Uslovne vjerovatnoće komponenti X I Y izračunati pomoću formula
Zakon o uslovnoj distribuciji X pod uslovom da ima formu
Kontrola: .
Zakon distribucije dvodimenzionalne slučajne varijable može se specificirati u obliku funkcije distribucije, koji određuje za svaki par brojeva vjerovatnoću da Xće uzeti vrijednost manju od X, i gdje Yće uzeti vrijednost manju od y:
Geometrijski, funkcija znači vjerovatnoću da slučajna tačka padne u beskonačan kvadrat sa svojim vrhom u tački (slika 6.1.1).
Zabilježimo svojstva.
- 1. Raspon vrijednosti funkcije je , tj. .
- 2. Funkcija - neopadajuća funkcija za svaki argument.
- 3. Postoje ograničavajući odnosi:
Kada funkcija distribucije sistema postane jednaka funkciji distribucije komponente X, tj. .
Isto tako, .
Znajući ovo, možete pronaći vjerovatnoću da slučajna tačka padne unutar pravougaonika ABCD.
Naime,
Primjer 6.1.3. Dvodimenzionalna diskretna slučajna varijabla je određena tablicom distribucije
Pronađite funkciju distribucije.
Rješenje. Vrijednost u slučaju diskretnih komponenti X I Y nalazi se zbrajanjem svih vjerovatnoća sa indeksima i I j, za koji, . Onda, ako i, onda (događaji i su nemogući). Slično dobijamo:
ako i, onda;
ako i, onda;
ako i, onda;
ako i, onda;
ako i, onda;
ako i, onda;
ako i, onda;
ako i, onda;
ako i, onda.
Predstavimo dobijene rezultate u obliku tabele (6.1.3) vrednosti:
Za dvodimenzionalni kontinuirani slučajne varijable, uvodi se koncept gustine vjerovatnoće
Geometrijska gustina vjerovatnoće je distributivna površina u prostoru
Dvodimenzionalna gustina vjerovatnoće ima sljedeća svojstva:
3. Funkcija distribucije može se izraziti kroz formulu
4. Vjerovatnoća da kontinuirana slučajna varijabla padne u regiju je jednaka
5. U skladu sa svojstvom (4) funkcije, vrijede sljedeće formule:
Primjer 6.1.4. Zadana je funkcija distribucije dvodimenzionalne slučajne varijable
Definicija. Ako su dvije slučajne varijable date na istom prostoru elementarnih događaja X I Y, onda kažu da je dato dvodimenzionalna slučajna varijabla (X,Y) .
Primjer. Mašina štanca čelične pločice. Kontrolisana dužina X i širina Y. − dvodimenzionalni SV.
NE X I Y imaju svoje funkcije distribucije i druge karakteristike.
Definicija. Funkcija distribucije dvodimenzionalne slučajne varijable (X,Y) zove funkcija.
Definicija. Zakon distribucije diskretne dvodimenzionalne slučajne varijable (X, Y) zove sto
| … | ||||
| … | ||||
Za dvodimenzionalni diskretni SV.
Svojstva:
2) ako , onda ; ako onda ;
4) − funkcija distribucije X;
− funkcija distribucije Y.
Vjerojatnost da dvodimenzionalne SV vrijednosti padaju u pravougaonik:
Definicija. Dvodimenzionalna slučajna varijabla (X,Y) pozvao kontinuirano , ako je njegova funkcija distribucije je kontinuiran na i svugdje (osim, možda, konačnog broja krivulja) ima kontinuirani mješoviti parcijalni izvod 2. reda .
Definicija. Gustoća zajedničke distribucije vjerovatnoće dvodimenzionalnog kontinuiranog SV zove funkcija.
Onda očigledno .
Primjer 1. Dvodimenzionalni kontinuirani SV je specificiran funkcijom distribucije
Tada gustina distribucije ima oblik
Primjer 2. Dvodimenzionalni kontinuirani SV je specificiran gustinom raspodjele
Nađimo njegovu funkciju distribucije:
Svojstva:
3) za bilo koju oblast.
Neka je poznata gustina distribucije zgloba. Tada se gustina distribucije svake od komponenti dvodimenzionalnog SV nalazi na sljedeći način:
Primjer 2 (nastavak).
Neki autori nazivaju gustinu distribucije dvodimenzionalnih SW komponenti marginalni gustine distribucije vjerovatnoće .
Uslovni zakoni distribucije komponenti sistema diskretnih SV.
Uslovna vjerovatnoća, gdje je .
Zakon uslovne distribucije komponente X u:
| X | … | |||
| R | … |
Slično za , gdje .
Kreirajmo zakon uslovne distribucije X at Y= 2.
Zatim zakon uslovne raspodele
| X | -1 | ||
| R |
Definicija. Uslovna gustina distribucije komponente X na datu vrijednost Y=y pozvao .
Slično: .
Definicija. Uslovno matematički čeka se diskretni SV Y at se zove , gdje − vidi gore.
Dakle, .
Za kontinuirano NE Y .
Očigledno, ovo je funkcija argumenta X. Ova funkcija se zove regresijska funkcija Y na X .
Definisano slično regresijska funkcija X na Y : .
Teorema 5. (O funkciji distribucije nezavisnih SV)
NE X I Y
Posljedica. Kontinuirano SV X I Y su nezavisni ako i samo ako .
U primjeru 1 na . Stoga, SV X I Y nezavisni.
Numeričke karakteristike komponenti dvodimenzionalne slučajne varijable
Za diskretni SV:
Za kontinuirani CB: .
Disperzija i standardna devijacija za sve SV se određuju korištenjem istih formula koje su nam poznate:
Definicija. Tačka se zove centar disperzije dvodimenzionalni SV.
Definicija. Kovarijansa (korelacijski momenat) SV se zove
Za diskretni SV: .
Za kontinuirani CB: .
Formula za izračun: .
Za nezavisne SV.
Neugodnost karakteristike je njena dimenzija (kvadrat mjerne jedinice komponenti). Sljedeća količina je oslobođena ovog nedostatka.
Definicija. Koeficijent korelacije NE X I Y pozvao
Za nezavisne SV.
Za bilo koji par SV . To je poznato ako i samo ako, kada, gdje.
Definicija. NE X I Y su pozvani nekorelirano , Ako .
Odnos između korelacije i SV zavisnosti:
− ako je SV X I Y korelirani, tj. , onda su zavisni; obrnuto nije tačno;
− ako je SV X I Y su dakle nezavisni ; suprotno nije istina.
Napomena 1. Ako NE X I Y distribuira u skladu sa uobičajenim zakonom i , onda su nezavisni.
Napomena 2. Praktični značaj kao mjera zavisnosti opravdana je samo kada je zajednička raspodjela para normalna ili približno normalna. Za proizvoljni SV X I Y možete doći do pogrešnog zaključka, tj. Možda čak i kada X I Y povezani su strogom funkcionalnom zavisnošću.
Napomena3. IN matematičke statistike korelacija je probabilistička (statistička) zavisnost između veličina koja, uopšteno govoreći, nema striktno funkcionalnu prirodu. Korelaciona zavisnost nastaje kada jedna od veličina zavisi ne samo od druge, već i od niza slučajnih faktora, ili kada među uslovima od kojih zavisi jedna ili druga veličina postoje uslovi zajednički za obe.
Primjer 4. Za SV X I Y iz primjera 3 pronađite .
Rješenje.
Primjer 5. Dana je gustina zajedničke distribucije dvodimenzionalnog SV.
Skup slučajnih varijabli X 1 ,X 2 ,...,X str, definisan na oblicima prostora vjerovatnoće (). P- dimenzionalna slučajna varijabla ( X 1 ,X 2 ,...,X str). Ako ekonomski proces opisano korištenjem dvije slučajne varijable X 1 i X 2, tada se određuje dvodimenzionalna slučajna varijabla ( X 1 ,X 2)ili( X,Y).
Funkcija distribucije sisteme dvije slučajne varijable ( X,Y), smatra se funkcijom varijabli
naziva se vjerovatnoća da će se događaj dogoditi 
:
Vrijednosti funkcije distribucije zadovoljavaju nejednakost
WITH geometrijska tačka prikaz funkcije distribucije F(x,y) određuje vjerovatnoću da će slučajna tačka ( X,Y) će pasti u beskonačan kvadrant sa vrhom u tački ( X,at), od tačke ( X,Y) će biti ispod i lijevo od naznačenog vrha (slika 9.1).
X,Y) u polutraci (slika 9.2) ili u polutraci (slika 9.3) izražava se formulama:
respektivno. Vjerovatnoća dostizanja vrijednosti X,Y) u pravougaonik (slika 9.4) može se pronaći pomoću formule:
Sl.9.2 Sl.9.3 Sl.9.4
Diskretno naziva se dvodimenzionalna veličina čije su komponente diskretne.
Zakon o raspodjeli dvodimenzionalna diskretna slučajna varijabla ( X,Y) je skup svih mogućih vrijednosti ( x i, y j),
, diskretne slučajne varijable X I Y i njihove odgovarajuće vjerovatnoće 
, karakterizirajući vjerovatnoću da komponenta Xće uzeti vrijednost x i a ujedno i komponenta Yće uzeti vrijednost y j, i
Zakon distribucije dvodimenzionalne diskretne slučajne varijable ( X,Y) date su u obliku tabele. 9.1.
Tabela 9.1
| Ω X Ω Y | x 1 | x 2 | … | x i | … |
| y 1 | str(x 1 ,y 1) | str(x 2 ,y 1) | … | p( x i,y 1) | … |
| y 2 | str(x 1 ,y 2) | str(x 2 ,y 2) | … | p( x i,y 2) | … |
| … | … | … | … | … | … |
| y i | str(x 1 ,y i) | str(x 2 ,y i) | … | p( x i,y i) | … |
| … | … | … | … | … | … |
Kontinuirano naziva se dvodimenzionalna slučajna varijabla čije su komponente kontinuirane. Funkcija R(X,at), jednaka granici omjer vjerovatnoće pogađanja dvodimenzionalne slučajne varijable ( X,Y) u pravougaonik sa stranicama i na površinu ovog pravougaonika, kada obe strane pravougaonika teže nuli, naziva se gustina raspodjele vjerovatnoće:
Znajući gustinu distribucije, možete pronaći funkciju distribucije koristeći formulu: 
U svim tačkama gdje postoji mješoviti izvod funkcije distribucije drugog reda
, gustina raspodjele vjerovatnoće
može se pronaći pomoću formule: 
Vjerovatnoća pogađanja slučajne tačke ( X,at) na područje D određuje se jednakošću: 
Vjerovatnoća da je slučajna varijabla X poprimilo značenje X<х pod uslovom da je slučajna varijabla Y uzeo fiksnu vrijednost Y=y, izračunava se po formuli:
Isto tako,
Formule za izračunavanje gustoće distribucije uslovne vjerovatnoće komponenti X I Y :
Skup uslovnih vjerovatnoća str(x 1 |y i), str(x 2 |y i), …, str(x i |y i), … ispunjavanje uslova Y=y i, naziva se uslovna distribucija komponente X at Y=y iX,Y), Gdje 
Slično, uslovna distribucija komponente Y at X=x i diskretna dvodimenzionalna slučajna varijabla ( X,Y) je skup uslovnih vjerovatnoća koje ispunjavaju uslov X=x i, Gdje 
Početni trenutak narudžbek+s dvodimenzionalna slučajna varijabla ( X,Y
i , tj. 
.
Ako X I Y – diskretne slučajne varijable, dakle 
Ako X I Y – kontinuirane slučajne varijable, dakle 
Centralni trenutak red k+s dvodimenzionalna slučajna varijabla ( X,Y) naziva se matematičko očekivanje proizvoda 
I 
, one.
Ako su količine komponenti diskretne, onda
Ako su količine komponenti kontinuirane, onda
Gdje R(X,y) – gustina distribucije dvodimenzionalne slučajne varijable ( X,Y).
Uslovno matematičko očekivanjeY(X)at X=x(kod Y=y) naziva se izraz oblika:
– za diskretnu slučajnu varijablu Y(X);
–
za kontinuiranu slučajnu varijablu Y(X).
Matematička očekivanja komponenti X I Y dvodimenzionalne slučajne varijable se izračunavaju pomoću formula:
Korelacioni momenat nezavisne slučajne varijable X I Y uključeno u dvodimenzionalnu slučajnu varijablu ( X,Y), naziva se matematičko očekivanje proizvoda odstupanja ovih veličina:
Korelacijski moment dvije nezavisne slučajne varijable XX,Y), jednako je nuli.
Koeficijent korelacije slučajne varijable X i Y uključen u dvodimenzionalnu slučajnu varijablu ( X,Y), naziva se odnos korelacionog momenta i proizvoda standardnih devijacija ovih veličina:
Koeficijent korelacije karakteriše stepen (blizina) linearne korelacije između X I Y.Slučajne varijable za koje se nazivaju nekorelirane.
Koeficijent korelacije zadovoljava sljedeća svojstva:
1. Koeficijent korelacije ne zavisi od mjernih jedinica slučajnih varijabli.
2. Apsolutna vrijednost koeficijenta korelacije ne prelazi jedan:
3. Ako onda između komponenti X I Y slučajna varijabla ( X, Y) postoji linearni funkcionalni odnos: 
4. Ako onda komponente X I Y dvodimenzionalne slučajne varijable nisu u korelaciji.
5. Ako onda komponente X I Y dvodimenzionalne slučajne varijable su zavisne.
Jednačine M(X|Y=y)=φ( at)I M(Y|X=x)=ψ( x) nazivaju se regresijske jednačine, a linije određene njima nazivaju se regresijske linije.
Zadaci
9.1. Dvodimenzionalna diskretna slučajna varijabla (X, Y) je dato zakonom o raspodjeli:
Tabela 9.2
| Ω x Ω y | ||||
| 0,2 | 0,15 | 0,08 | 0,05 | |
| 0,1 | 0,05 | 0,05 | 0,1 | |
| 0,05 | 0,07 | 0,08 | 0,02 |
Naći: a) zakone raspodjele komponenti X I Y;
b) uslovni zakon raspodjele vrijednosti Y at X =1;
c) funkcija distribucije.
Saznajte da li su količine nezavisne X I Y. Izračunati vjerovatnoću i osnovne numeričke karakteristike M(X),M(Y),D(X),D(Y),R(X,Y), .
Rješenje. a) Slučajne varijable X i Y su definirani na skupu koji se sastoji od elementarnih ishoda, koji ima oblik:
Događaj ( X= 1) odgovara skupu ishoda čija je prva komponenta jednaka 1: (1;0), (1;1), (1;2). Ovi ishodi su nekompatibilni. Verovatnoća da Xće uzeti vrijednost x i, prema Kolmogorovljevom aksiomu 3, jednako je:
Isto tako
Dakle, marginalna distribucija komponente X, može se specificirati u obliku tabele. 9.3.
Tabela 9.3
b) Skup uslovnih vjerovatnoća R(1;0), R(1;1), R(1;2) ispunjavanje uslova X=1, naziva se uslovna distribucija komponente Y at X=1. Vjerovatnoća vrijednosti vrijednosti Y at X=1 nalazimo pomoću formule:
Budući da, onda, zamjenom vrijednosti odgovarajućih vjerovatnoća, dobijamo
Dakle, uslovna distribucija komponente Y at X=1 ima oblik:
Tabela 9.5
| y j | |||
| 0,48 | 0,30 | 0,22 |
Pošto se zakon uslovne i bezuslovne distribucije ne poklapaju (videti tabele 9.4 i 9.5), vrednosti X I Y zavisan. Ovaj zaključak potvrđuje činjenica da je jednakost
za bilo koji par mogućih vrijednosti X I Y.
Na primjer,
c) Funkcija distribucije F(x,y) dvodimenzionalna slučajna varijabla (X,Y) ima oblik:
gdje se zbrajanje vrši po svim tačkama (), za koje su nejednakosti istovremeno zadovoljene x i
Pogodnije je rezultat prikazati u obliku tabele 9.6.
Tabela 9.6
| X y | |||||
| 0,20 | 0,35 | 0,43 | 0,48 | ||
| 0,30 | 0,5 | 0,63 | 0,78 | ||
| 0,35 | 0,62 | 0,83 |
Koristimo formule za početne trenutke i rezultate tabela 9.3 i 9.4 i izračunajmo matematička očekivanja komponenti X I Y:
Izračunavamo varijanse koristeći drugi početni trenutak i rezultate tabele. 9.3 i 9.4:
Za izračunavanje kovarijanse TO(X,Y) koristimo sličnu formulu kroz početni trenutak:
Koeficijent korelacije određuje se formulom:
Tražena vjerovatnoća se definira kao vjerovatnoća pada u područje na ravni definiranoj odgovarajućom nejednakošću:
9.2. Brod prenosi “SOS” poruku, koju mogu primiti dvije radio stanice. Ovaj signal može primiti jedna radio stanica nezavisno od druge. Vjerovatnoća da signal primi prva radio stanica je 0,95; vjerovatnoća da signal primi druga radio stanica je 0,85. Naći zakon raspodjele dvodimenzionalne slučajne varijable koja karakterizira prijem signala od strane dvije radio stanice. Napišite funkciju distribucije.
Rješenje: Neka X– događaj koji se sastoji u tome da signal prima prva radio stanica. Y– događaj je da signal primi druga radio stanica.
Višestruka značenja .
X=1 – signal koji prima prva radio stanica;
X=0 – prva radio stanica nije primila signal.
Višestruka značenja .
Y=l – signal koji prima druga radio stanica,
Y=0 – signal ne prima druga radio stanica.
Vjerovatnoća da signal ne primi ni prva ni druga radio stanica je:
Vjerojatnost prijema signala od strane prve radio stanice:
Verovatnoća da signal primi druga radio stanica:
Vjerovatnoća da signal primaju i prva i druga radio stanica jednaka je: .
Tada je zakon distribucije dvodimenzionalne slučajne varijable jednak:
| y x | ||
| 0,007 | 0,142 | |
| 0,042 | 0,807 |
X,y) značenje F(X,y) jednak je zbroju vjerovatnoća tih mogućih vrijednosti slučajne varijable ( X,Y), koji padaju unutar navedenog pravokutnika.
Tada će funkcija distribucije izgledati ovako:
9.3. Dvije kompanije proizvode identične proizvode. Svaki, nezavisno od drugog, može odlučiti da modernizuje proizvodnju. Vjerovatnoća da je prva firma donijela takvu odluku je 0,6. Vjerovatnoća da će druga firma donijeti takvu odluku je 0,65. Napišite zakon raspodjele dvodimenzionalne slučajne varijable koja karakterizira odluku o modernizaciji proizvodnje dvije firme. Napišite funkciju distribucije.
odgovor: Zakon o distribuciji:
| 0,14 | 0,21 | |
| 0,26 | 0,39 |
Za svaku fiksnu vrijednost tačke sa koordinatama ( x,y) vrijednost je jednaka zbroju vjerovatnoća onih mogućih vrijednosti koje padaju unutar navedenog pravokutnika 
.
9.4. Klipni prstenovi za automobilske motore izrađuju se na automatskom strugu. Meri se debljina prstena (slučajna vrednost X) i prečnik rupe (slučajna vrijednost Y). Poznato je da je oko 5% svih klipnih prstenova neispravno. Štaviše, 3% nedostataka je uzrokovano nestandardnim prečnicima rupa, 1% - nestandardnom debljinom, a 1% - odbijeno je po oba osnova. Pronađite: zajedničku distribuciju dvodimenzionalne slučajne varijable ( X,Y); jednodimenzionalne distribucije komponenti X I Y;matematička očekivanja komponenti X I Y; korelacioni moment i koeficijent korelacije između komponenti X I Y dvodimenzionalna slučajna varijabla ( X,Y).
odgovor: Zakon o distribuciji:
| 0,01 | 0,03 | |
| 0,01 | 0,95 |
; 
; 
; 
; ; .
9.5. Fabrički proizvodi su neispravni zbog nedostataka A iznosi 4%, a zbog kvara IN– 3,5%. Standardna proizvodnja je 96%. Odredite koji postotak svih proizvoda ima obje vrste nedostataka.
9.6.
Slučajna vrijednost ( X,Y) raspoređeno sa konstantnom gustinom 
unutar trga R, čiji vrhovi imaju koordinate (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Odredite gustinu distribucije slučajne varijable ( X,Y) i uslovne gustine distribucije R(X\at), R(at\X).
Rješenje. Hajde da gradimo na avionu x 0y dati kvadrat (slika 9.5) i odrediti jednadžbe stranica kvadrata ABCD, koristeći jednadžbu prave koja prolazi kroz dvije date tačke: 
Zamjena koordinata vrhova A I IN dobijamo sekvencijalno jednačinu stranice AB: 
ili
.
Slično, nalazimo jednadžbu stranice Ned: ;strane CD: i strane D.A.: . : .D X , Y) je hemisfera sa središtem u početku poluprečnika R.Nađite gustinu distribucije vjerovatnoće.
odgovor:
9.10. S obzirom na diskretnu dvodimenzionalnu slučajnu varijablu:
| 0,25 | 0,10 | |
| 0,15 | 0,05 | |
| 0,32 | 0,13 |
Naći: a) zakon uslovne raspodele X, pod uslovom da y= 10;
b) zakon uslovne raspodjele Y, pod uslovom da x =10;
c) matematičko očekivanje, disperzija, koeficijent korelacije.
9.11. Kontinuirana dvodimenzionalna slučajna varijabla ( X,Y)ravnomjerno raspoređeni unutar pravokutnog trougla sa vrhovima O(0;0), A(0;8), IN(8,0).
Pronađite: a) gustinu distribucije vjerovatnoće;
Učitavanje...