Formula za izračunavanje zapremine obrtnih tela. Kako izračunati zapreminu tijela okretanja koristeći definitivni integral? Površina ravne figure

Definicija 3. Tijelo okretanja je tijelo koje se dobije rotacijom ravne figure oko ose koja ne siječe figuru i leži u istoj ravni s njom.

Osa rotacije može presijecati figuru ako je to osa simetrije figure.

Teorema 2.
, osa
i ravni segmenti
I

rotira oko ose
. Tada se volumen rezultirajućeg tijela rotacije može izračunati pomoću formule

(2)

Dokaz. Za takvo tijelo, poprečni presjek sa apscisom je krug poluprečnika
, znači
a formula (1) daje traženi rezultat.

Ako je figura ograničena grafovima dvije kontinuirane funkcije
I
, i segmenti linija
I
, i
I
, tada rotacijom oko x-ose dobijamo tijelo čija zapremina

Primjer 3. Izračunajte zapreminu torusa dobijenu rotacijom kružnice ograničene kružnicom

oko ose apscise.

R odluka. Označeni krug je ograničen ispod grafikom funkcije
, a odozgo –
. Razlika kvadrata ovih funkcija:

Potreban volumen

(grafikon integranda je gornji polukrug, pa je gore napisan integral površina polukruga).

Primjer 4. Parabolički segment sa bazom
, i visina , rotira oko baze. Izračunajte volumen rezultirajućeg tijela ("limun" od Cavalieria).

R odluka. Parabolu ćemo postaviti kao što je prikazano na slici. Zatim njegova jednadžba
, i
. Nađimo vrijednost parametra :
. Dakle, potrebna zapremina:

Teorema 3. Neka je krivolinijski trapez omeđen grafom neprekidne nenegativne funkcije
, osa
i ravni segmenti
I
, i
, rotira oko ose
. Tada se volumen rezultirajućeg tijela rotacije može naći po formuli

(3)

Ideja dokaza. Podijelili smo segment
tačke

, na dijelove i nacrtajte ravne linije
. Cijeli trapez će se razložiti na trake, koje se mogu smatrati približno pravokutnicima s osnovom
i visina
.

Dobiveni cilindar izrežemo rotirajući takav pravougaonik duž njegove generatrike i rasklopimo ga. Dobijamo "skoro" paralelepiped sa dimenzijama:
,
I
. Njegov volumen
. Dakle, za zapreminu tela obrtanja imaćemo približnu jednakost

Da bi se dobila tačna jednakost, mora se ići do granice na
. Gore napisana suma je integralni zbir funkcije
, dakle, u granici dobijamo integral iz formule (3). Teorema je dokazana.

Napomena 1. U teoremama 2 i 3 uslov
može se izostaviti: formula (2) je općenito neosjetljiva na znak
, a u formuli (3) to je dovoljno
zamijenjen sa
.

Primjer 5. Parabolički segment (baza
, visina ) rotira oko visine. Pronađite zapreminu rezultirajućeg tijela.

Rješenje. Postavimo parabolu kao što je prikazano na slici. I iako os rotacije siječe figuru, ona - os - je os simetrije. Stoga moramo uzeti u obzir samo desnu polovinu segmenta. Parabola jednadžba
, i
, znači
. Za zapreminu imamo:

Napomena 2. Ako je krivolinijska granica krivolinijskog trapeza data parametarskim jednadžbama
,
,
I
,
tada možete koristiti formule (2) i (3) sa zamjenom on
I
on
kada se promeni t od
prije .

Primjer 6. Figura je ograničena prvim lukom cikloide
,
,
, i x-osa. Odredite zapreminu tela dobijenu rotacijom ove figure oko: 1) ose
; 2) osovine
.

Rješenje. 1) Opšta formula
u našem slučaju:

2) Opšta formula
Za našu figuru:

Pozivamo studente da sami izvrše sve proračune.

Napomena 3. Neka je zakrivljeni sektor omeđen kontinuiranom linijom
i zraci
,

, rotira oko polarne ose. Zapremina rezultirajućeg tijela može se izračunati pomoću formule.

Primjer 7. Dio figure omeđen kardioidom
, koji leži izvan kruga
, rotira oko polarne ose. Pronađite zapreminu rezultirajućeg tijela.

Rješenje. Obje linije, a samim tim i figura koju ograničavaju, su simetrične u odnosu na polarne ose. Stoga je potrebno uzeti u obzir samo onaj dio za koji
. Krive se sijeku u
I

at
. Dalje, broj se može smatrati razlikom dva sektora, pa se stoga volumen može izračunati kao razlika dvaju integrala. Imamo:

Zadaci za nezavisnu odluku.

1. Kružni segment čija osnova
, visina , rotira oko baze. Nađite zapreminu tela obrtanja.

2. Odrediti zapreminu paraboloida okretanja čija baza , a visina je .

3. Figura omeđena astroidom
,
rotira oko ose apscise. Pronađite zapreminu rezultirajućeg tijela.

4. Slika omeđena linijama
I
rotira oko x-ose. Nađite zapreminu tela obrtanja.

Tema: “Izračunavanje zapremine obrtnih tijela pomoću određenog integrala”

Vrsta lekcije: kombinovano.

Svrha lekcije: naučiti izračunavati zapremine tijela okretanja koristeći integrale.

Zadaci:

konsolidovati sposobnost prepoznavanja krivolinijskih trapeza iz više geometrijskih figura i razviti vještinu izračunavanja površina krivolinijskih trapeza;

upoznati koncept trodimenzionalne figure;

naučiti izračunati zapremine tijela okretanja;

promicati razvoj logičkog mišljenja, kompetentnog matematičkog govora, tačnosti pri konstruiranju crteža;

gajiti interesovanje za predmet, u radu sa matematičkim pojmovima i slikama, negovati volju, samostalnost i istrajnost u postizanju konačnog rezultata.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat.

Pozdrav iz grupe. Saopštiti učenicima ciljeve časa.

Želio bih da počnem današnju lekciju prispodobom. “Živeo jednom davno jedan mudar čovek koji je sve znao. Jedan čovek je hteo da dokaže da mudrac ne zna sve. Držeći leptira u dlanovima, upitao je: "Reci mi, mudrače, koji je leptir u mojim rukama: mrtav ili živ?" I misli: "Ako živi kaže, ubiću je, ako mrtvi kaže, pustiću je." Mudrac je, nakon što je razmislio, odgovorio: "Sve je u tvojim rukama."

Zato, hajde da danas plodonosno radimo, steknimo novu zalihu znanja, a stečene veštine i sposobnosti primenićemo u budućem životu i praktičnim aktivnostima.“Sve je u vašim rukama.”

II. Ponavljanje prethodno proučenog materijala.

Prisjetimo se glavnih tačaka prethodno proučavanog materijala. Da bismo to učinili, izvršimo zadatak "Uklonimo suvišnu riječ".

(Učenici kažu dodatnu riječ.)

U redu "Diferencijal". Pokušajte imenovati preostale riječi jednom zajedničkom riječju. (Integralni račun.)

Prisjetimo se glavnih faza i koncepata povezanih s integralnim računom.

Vježbajte. Popravite praznine. (Učenik izlazi i markerom upisuje tražene riječi.)

Rad u sveskama.

Newton-Leibnizovu formulu su izveli engleski fizičar Isaac Newton (1643-1727) i njemački filozof Gottfried Leibniz (1646-1716). I to nije iznenađujuće, jer matematika je jezik kojim govori sama priroda.

Razmotrimo kako se ova formula koristi za rješavanje praktičnih problema.

Primjer 1: Izračunajte površinu figure ograničene linijama

Rješenje: Napravimo grafove funkcija na koordinatnoj ravni . Odaberimo područje figure koje treba pronaći.

III. Učenje novog gradiva.

Obratite pažnju na ekran. Šta je prikazano na prvoj slici? (Slika prikazuje ravnu figuru.)

Šta je prikazano na drugoj slici? Je li ova figura ravna? (Slika prikazuje trodimenzionalnu figuru.)

U svemiru, na zemlji iu svakodnevnom životu susrećemo se ne samo sa ravnim figurama, već i sa trodimenzionalnim, ali kako izračunati zapreminu takvih tijela? Na primjer: zapremina planete, komete, meteorita itd.

Ljudi razmišljaju o zapremini i kada grade kuće i kada prelivaju vodu iz jedne posude u drugu. Morala su se pojaviti pravila i tehnike za izračunavanje zapremine, a koliko su tačne i opravdane je druga stvar.

Godina 1612. bila je vrlo plodna za stanovnike austrijskog grada Linca, gdje je živio poznati astronom Johannes Kepler, posebno za grožđe. Ljudi su pripremali vinske bačve i željeli su znati kako praktično odrediti njihovu količinu.

Tako su razmatrani Keplerovi radovi označili početak čitavog toka istraživanja koji je kulminirao u posljednjoj četvrtini 17. vijeka. dizajn u djelima I. Newtona i G.V. Leibniz diferencijalnog i integralnog računa. Od tog vremena matematika varijabli zauzima vodeće mjesto u sistemu matematičkog znanja.

Danas ćemo se ti i ja uključiti u takve praktične aktivnosti, stoga,

Tema naše lekcije: "Izračunavanje volumena tijela rotacije pomoću određenog integrala."

Naučit ćete definiciju tijela revolucije ispunjavanjem sljedećeg zadatka.

“Labirint”.

Vježbajte. Pronađite izlaz iz zbunjujuće situacije i zapišite definiciju.

IVProračun volumena.

Koristeći određeni integral, možete izračunati volumen određenog tijela, posebno tijela rotacije.

Revoluciono telo je telo dobijeno rotacijom zakrivljenog trapeza oko svoje osnove (sl. 1, 2)

Zapremina tijela okretanja izračunava se pomoću jedne od formula:

1. oko ose OX.

2. , ako je rotacija zakrivljenog trapeza oko ose op-amp.

Učenici zapisuju osnovne formule u svesku.

Nastavnik objašnjava rješenja primjera na tabli.

1. Nađite zapreminu tijela dobivenu rotacijom oko ordinatne ose krivolinijskog trapeza omeđenog linijama: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Rješenje.

Odgovor: 1163 cm3.

2. Pronađite zapreminu tijela dobivenu rotacijom paraboličnog trapeza oko x-ose y = , x = 4, y = 0.

Rješenje.

V. Matematički simulator.

2. Poziva se skup svih antiderivata date funkcije

A) neodređeni integral,

B) funkcija,

B) diferencijacija.

7. Nađite zapreminu tijela dobivenu rotacijom oko ose apscise krivolinijskog trapeza omeđenog linijama:

D/Z. Konsolidacija novog materijala

Izračunajte volumen tijela nastalog rotacijom latice oko x-ose y = x2, y2 = x.

Napravimo grafove funkcije. y = x2, y2 = x. Transformirajmo graf y2 = x u oblik y = .

Imamo V = V1 - V2 Izračunajmo volumen svake funkcije:

Zaključak:

Definitivni integral je određena osnova za proučavanje matematike, koja daje nezamjenjiv doprinos rješavanju praktičnih problema.

Tema „Integral“ jasno pokazuje vezu između matematike i fizike, biologije, ekonomije i tehnologije.

Razvoj moderne nauke nezamisliv je bez upotrebe integrala. S tim u vezi, potrebno je započeti njegovo proučavanje u okviru srednjeg stručnog obrazovanja!

VI. Ocjenjivanje.(Sa komentarom.)

Veliki Omar Khayyam - matematičar, pjesnik, filozof. On nas ohrabruje da budemo gospodari svoje sudbine. Poslušajmo odlomak iz njegovog rada:

Kažete, ovaj život je jedan trenutak.
Cijenite to, crpite inspiraciju iz toga.
Kako ga potrošiš, tako će i proći.
Ne zaboravite: ona je vaša kreacija.

Korištenje integrala za pronalaženje volumena tijela okretanja

Praktična korisnost matematike je zbog činjenice da bez

Specifična matematička znanja otežavaju razumijevanje principa uređaja i upotrebe moderne tehnologije. Svaka osoba u svom životu mora izvršiti prilično složene proračune, koristiti uobičajenu opremu, pronaći potrebne formule u referentnim knjigama i kreirati jednostavne algoritme za rješavanje problema. U savremenom društvu sve više specijalnosti koje zahtijevaju visok nivo obrazovanja povezuju se s direktnom primjenom matematike. Dakle, matematika postaje stručno značajan predmet za učenika. Vodeća uloga pripada matematici u formiranju algoritamskog mišljenja, ona razvija sposobnost postupanja po datom algoritmu i konstruisanja novih algoritama.

Prilikom izučavanja teme o upotrebi integrala za izračunavanje zapremina obrtnih tela, predlažem da učenici na izbornoj nastavi razmotre temu: „Zapremine obrtnih tela pomoću integrala“. U nastavku se nalaze metodološke preporuke za razmatranje ove teme:

1. Površina ravne figure.

Iz predmeta algebra znamo da su problemi praktične prirode doveli do koncepta određenog integrala..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Da bismo pronašli volumen tijela rotacije formiranog rotacijom krivolinijskog trapeza oko ose Ox, ograničenog izlomljenom linijom y=f(x), osom Ox, pravim linijama x=a i x=b, izračunavamo koristeći formulu

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Volumen cilindra.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Konus se dobija rotacijom pravokutnog trokuta ABC (C = 90) oko ose Ox na kojoj leži krak AC.

Segment AB leži na pravoj liniji y=kx+c, gdje je https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Neka je a=0, b=H (H je visina stošca), zatim Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Volumen krnjeg konusa.

Skraćeni konus se može dobiti rotacijom pravokutnog trapeza ABCD (CDOx) oko ose Ox.

Segment AB leži na pravoj y=kx+c, gdje je , c=r.

Pošto prava prolazi kroz tačku A (0;r).

Dakle, ravna linija izgleda kao https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Neka je a=0, b=H (H je visina krnjeg stošca), zatim https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Volumen lopte.

Lopta se može dobiti rotiranjem kruga sa centrom (0;0) oko ose Ox. Polukrug koji se nalazi iznad ose Ox dat je jednadžbom

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Vrsta lekcije: kombinovana.

Svrha lekcije: naučiti izračunavati zapremine tijela okretanja koristeći integrale.

Zadaci:

konsolidovati sposobnost prepoznavanja krivolinijskih trapeza iz više geometrijskih figura i razviti vještinu izračunavanja površina krivolinijskih trapeza;
upoznati koncept trodimenzionalne figure;
naučiti izračunati zapremine tijela okretanja;
promicati razvoj logičkog mišljenja, kompetentnog matematičkog govora, tačnosti pri konstruiranju crteža;
gajiti interesovanje za predmet, u radu sa matematičkim pojmovima i slikama, negovati volju, samostalnost i istrajnost u postizanju konačnog rezultata.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat.

Pozdrav iz grupe. Saopštiti učenicima ciljeve časa.

Refleksija. Mirna melodija.

– Želio bih da počnem današnji čas prispodobom. “Živeo jednom davno jedan mudar čovek koji je sve znao. Jedan čovek je hteo da dokaže da mudrac ne zna sve. Držeći leptira u dlanovima, upitao je: "Reci mi, mudrače, koji je leptir u mojim rukama: mrtav ili živ?" I sam misli: "Ako živi kaže, ubiću je, mrtvi će reći, pustiću je." Mudrac je, nakon što je razmislio, odgovorio: "Sve u tvojim rukama". (Prezentacija.Slajd)

– Zato, hajde da danas plodonosno radimo, steknemo nove zalihe znanja, a stečene veštine i sposobnosti primenićemo u budućem životu i praktičnim aktivnostima. "Sve u tvojim rukama".

II. Ponavljanje prethodno proučenog materijala.

– Prisjetimo se glavnih tačaka prethodno proučenog materijala. Da bismo to učinili, izvršimo zadatak "Uklonite suvišnu riječ."(Slajd.)

(Učenik ide u ID koristi gumicu da ukloni suvišnu riječ.)

- Dobro "Diferencijal". Pokušajte imenovati preostale riječi jednom zajedničkom riječju. (Integralni račun.)

– Prisjetimo se glavnih faza i koncepata povezanih s integralnim računom..

“Matematička grupa”.

Vježbajte. Popravite praznine. (Učenik izlazi i olovkom upisuje tražene riječi.)

– Kasnije ćemo čuti sažetak o primjeni integrala.

Rad u sveskama.

– Njutn-Lajbnicovu formulu su izveli engleski fizičar Isak Njutn (1643–1727) i nemački filozof Gotfrid Lajbnic (1646–1716). I to nije iznenađujuće, jer matematika je jezik kojim govori sama priroda.

– Razmotrimo kako se ova formula koristi za rješavanje praktičnih problema.

Primjer 1: Izračunajte površinu figure ograničene linijama

Rješenje: Napravimo grafove funkcija na koordinatnoj ravni . Odaberimo područje figure koje treba pronaći.

III. Učenje novog gradiva.

– Obratite pažnju na ekran. Šta je prikazano na prvoj slici? (Slajd) (Slika prikazuje ravnu figuru.)

– Šta je prikazano na drugoj slici? Je li ova figura ravna? (Slajd) (Slika prikazuje trodimenzionalnu figuru.)

– U svemiru, na zemlji i u svakodnevnom životu susrećemo se ne samo s ravnim figurama, već i sa trodimenzionalnim, ali kako izračunati zapreminu takvih tijela? Na primjer, zapremina planete, komete, meteorita itd.

– Ljudi razmišljaju o zapremini i pri gradnji kuća i pri prelivanju vode iz jedne posude u drugu. Morala su se pojaviti pravila i tehnike za izračunavanje zapremine, a koliko su tačne i razumne, to je druga stvar.

Poruka od studenta. (Tjurina Vera.)

– Tako su razmatrani Keplerovi radovi postavili temelj za čitav niz istraživanja koji je kulminirao u poslednjoj četvrtini 17. veka. dizajn u djelima I. Newtona i G.V. Leibniz diferencijalnog i integralnog računa. Od tog vremena matematika varijabli zauzima vodeće mjesto u sistemu matematičkog znanja.

– Danas ćemo se ti i ja baviti takvim praktičnim aktivnostima, dakle,

Tema naše lekcije: "Izračunavanje volumena tijela rotacije pomoću određenog integrala." (Slajd)

– Naučit ćete definiciju tijela rotacije ispunjavanjem sljedećeg zadatka.

“Labirint”.

Lavirint (grčka reč) znači ići u podzemlje. Labirint je složena mreža staza, prolaza i međusobno povezanih prostorija.

Ali definicija je bila "razbijena", ostavljajući tragove u obliku strelica.

Vježbajte. Pronađite izlaz iz zbunjujuće situacije i zapišite definiciju.

Slajd. “Uputa za mapu” Izračun volumena.

Koristeći određeni integral, možete izračunati volumen određenog tijela, posebno tijela rotacije.

Revoluciono telo je telo dobijeno rotacijom zakrivljenog trapeza oko svoje osnove (sl. 1, 2)

Volumen tijela rotacije izračunava se pomoću jedne od formula:

1. oko ose OX.

2. , ako je rotacija zakrivljenog trapeza oko ose op-amp.

Svaki učenik dobija instrukciju. Nastavnik naglašava glavne tačke.

– Nastavnik objašnjava rješenja primjera na tabli.

Razmotrimo odlomak iz poznate bajke A. S. Puškina "Priča o caru Saltanu, o njegovom slavnom i moćnom sinu princu Gvidonu Saltanoviču i o prekrasnoj princezi Labud" (Slajd 4):

…..
I pijani glasnik je doveo
Istog dana redosled je sledeći:
„Kralj naređuje svojim bojarima,
bez gubljenja vremena,
I kraljica i potomstvo
Tajno baciti u ponor vode.”
Nema šta da se radi: bojari,
Brine se za suverena
I mladoj kraljici,
Gomila je došla u njenu spavaću sobu.
Izjavili su kraljevu volju -
Ona i njen sin imaju zao udio,
Pročitali smo dekret naglas,
I kraljica u isti čas
Stavili su me u bure sa sinom,
Namazali su katranom i odvezli se
I pustili su me u okiyan -
Tako je naredio car Saltan.

Kolika bi trebala biti zapremina bureta da kraljica i njen sin mogu stati u njega?

– Razmotrite sljedeće zadatke

1. Nađite zapreminu tijela dobivenu rotacijom oko ordinatne ose krivolinijskog trapeza omeđenog linijama: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Odgovor: 1163 cm 3 .

Odredite zapreminu tela dobijenu rotacijom paraboličnog trapeza oko ose apscise y = , x = 4, y = 0.

IV. Konsolidacija novog materijala

Primjer 2. Izračunajte volumen tijela nastalog rotacijom latice oko x-ose y = x 2 , y 2 = x.

Napravimo grafove funkcije. y = x 2 , y 2 = x. Raspored y2 = x pretvoriti u formu y= .

Imamo V = V 1 – V 2 Izračunajmo volumen svake funkcije

– Pogledajmo sada toranj za radio stanicu u Moskvi na Šabolovki, izgrađen po projektu izuzetnog ruskog inženjera, počasnog akademika V. G. Šuhova. Sastoji se od dijelova - hiperboloida rotacije. Štaviše, svaki od njih je napravljen od ravnih metalnih šipki koje povezuju susjedne krugove (sl. 8, 9).

- Hajde da razmotrimo problem.

Nađite zapreminu tela dobijenu rotacijom luka hiperbole oko svoje imaginarne ose, kao što je prikazano na sl. 8, gdje

kocka jedinice

Grupni zadaci. Učenici žrebaju sa zadacima, crtaju crteže na whatman papiru, a jedan od predstavnika grupe brani rad.

1. grupa.

Hit! Hit! Još jedan udarac!
Lopta leti u gol - LOPTA!
A ovo je kuglica od lubenice
Zeleno, okruglo, ukusno.
Pogledajte bolje - kakva lopta!
Napravljena je samo od krugova.
Narežite lubenicu na krugove
I probajte ih.

Naći volumen tijela dobiven rotacijom oko ose OX ograničene funkcije

Greška! Oznaka nije definirana.

– Recite mi, molim vas, gde se srećemo sa ovom figurom?

Kuća. zadatak za 1 grupu. CILINDAR (slajd) .

"Cilindar - šta je to?" – pitala sam tatu.
Otac se nasmijao: Cilindar je šešir.
Da imate ispravnu ideju,
Cilindar je, recimo, konzerva.
Cijev za parobrod - cilindar,
I cijev na našem krovu,

Sve cijevi su slične cilindru.
I dao sam jedan ovakav primjer -
moj voljeni kaleidoskop,
Ne možeš skinuti pogled sa njega,
I takođe izgleda kao cilindar.

- Vežbaj. Domaća zadaća: grafički prikazati funkciju i izračunati volumen.

2. grupa. KORNET (slajd).

Mama je rekla: A sada
Moja priča će biti o konusu.
Stargazer u visokom šeširu
Broji zvijezde tokom cijele godine.
CONE - šešir zvijezda.
Takav je on. Razumijete? To je to.
Mama je stajala za stolom,
Sipao sam ulje u flaše.
-Gdje je lijevak? Nema lijevaka.
Potraži ga. Nemojte stajati po strani.
- Mama, neću popustiti.
Reci mi više o konusu.
– Lijevak je u obliku konusa kante za zalijevanje.
Hajde, nađi mi je brzo.
Nisam mogao naći lijevak
Ali mama je napravila torbu,
Obmotao sam karton oko prsta
I vješto ga pričvrstila spajalicom.
Ulje teče, mama je srećna,
Konus je izašao baš kako treba.

Vježbajte. Izračunajte zapreminu tela dobijenog rotacijom oko ose apscise

Kuća. zadatak za 2. grupu. PIRAMIDA(slajd).

Video sam sliku. Na ovoj slici
U pješčanoj pustinji nalazi se PIRAMIDA.
Sve u piramidi je izvanredno,
U tome postoji neka vrsta misterije i misterije.
I Spaska kula na Crvenom trgu
Vrlo je poznat i djeci i odraslima.
Ako pogledate kulu, izgleda obično,
Šta je na tome? Piramida!

Vježbajte. Domaća zadaća: grafički prikazati funkciju i izračunati volumen piramide

– Zapremine različitih tijela izračunali smo na osnovu osnovne formule za zapremine tijela pomoću integrala.

Ovo je još jedna potvrda da je definitivni integral neka osnova za proučavanje matematike.

- Pa, hajde da se odmorimo malo.

Nađi par.

Matematička domino melodija svira.

"Put koji sam i sam tražio nikada neće biti zaboravljen..."

Istraživački rad. Primjena integrala u ekonomiji i tehnologiji.

Testovi za jake učenike i matematički fudbal.

Matematički simulator.

2. Poziva se skup svih antiderivata date funkcije

A) neodređeni integral,

B) funkcija,

B) diferencijacija.

7. Nađite zapreminu tijela dobivenu rotacijom oko ose apscise krivolinijskog trapeza omeđenog linijama:

D/Z. Izračunajte zapremine tela obrtanja.

Refleksija.

Prijem refleksije u obliku syncwine(pet redova).

1. red – naziv teme (jedna imenica).

2. red – opis teme u dvije riječi, dva pridjeva.

3. red – opis radnje u okviru ove teme u tri riječi.

Četvrti red je fraza od četiri riječi koja pokazuje stav prema temi (cijela rečenica).

5. red je sinonim koji ponavlja suštinu teme.

Volume.
Definitivni integral, integrabilna funkcija.
Gradimo, rotiramo, računamo.
Tijelo dobiveno rotacijom zakrivljenog trapeza (oko njegove baze).
Tijelo rotacije (volumetrijsko geometrijsko tijelo).

Zaključak (slajd).

Određeni integral je određena osnova za proučavanje matematike, koja daje nezamjenjiv doprinos rješavanju praktičnih problema.
Tema „Integral“ jasno pokazuje vezu između matematike i fizike, biologije, ekonomije i tehnologije.
Razvoj moderne nauke nezamisliv je bez upotrebe integrala. S tim u vezi, potrebno je započeti njegovo proučavanje u okviru srednjeg stručnog obrazovanja!

Ocjenjivanje. (Sa komentarom.)

Veliki Omar Khayyam - matematičar, pjesnik, filozof. On nas ohrabruje da budemo gospodari svoje sudbine. Poslušajmo odlomak iz njegovog rada:

Reći ćete, ovaj život je jedan trenutak.
Cijenite to, crpite inspiraciju iz toga.
Kako ga potrošiš, tako će i proći.
Ne zaboravite: ona je vaša kreacija.