Najjednostavniji tip gama distribucije je distribucija sa gustinom

Gdje - parametar pomaka, - gama funkcija, tj.

(2)

Svaka distribucija se može "proširiti" u porodicu sa pomakom. Zaista, za slučajnu varijablu koja ima funkciju distribucije, razmotrite porodicu slučajnih varijabli , gdje je parametar skale, a parametar pomaka. Tada je funkcija distribucije .

Uključujući svaku distribuciju sa gustinom oblika (1) u familiju pomaka skale, dobijamo gama distribucije prihvaćene u parametrizaciji porodice:

Evo - parametar oblika, - parametar skale, - parametar pomaka, gama funkcija je data formulom (2).

U literaturi postoje i druge parametrizacije. Dakle, umjesto parametra, često se koristi parametar . Ponekad se razmatra porodica sa dva parametra, izostavljajući parametar pomaka, ali zadržavajući parametar skale ili njegov analog - parametar . Za neke primijenjene probleme (na primjer, kod proučavanja pouzdanosti tehničkih uređaja) to je opravdano, jer se iz suštinskih razmatranja čini prirodnim prihvatiti da je gustoća raspodjele vjerojatnosti pozitivna za pozitivne vrijednosti argumenta i samo za njih. Ova pretpostavka je povezana sa dugotrajnom diskusijom 80-ih o „propisanim pokazateljima pouzdanosti“, na kojoj se nećemo zadržavati.

Posebni slučajevi gama distribucije za određene vrijednosti parametara imaju posebna imena. Kada imamo eksponencijalnu distribuciju. Prirodna gama distribucija je Erlangova raspodjela koja se posebno koristi u teoriji queuing. Ako slučajna varijabla ima gama distribuciju s parametrom oblika takvim da - cijeli broj i, ima hi-kvadrat raspodjelu stupnjeva slobode.

Primjena gama distribucije

Gama distribucija ima široku primenu u različitim oblastima tehničke nauke(posebno u pouzdanosti i teoriji ispitivanja), u meteorologiji, medicini, ekonomiji. Konkretno, gama raspodjela može biti podložna ukupnom vijeku trajanja proizvoda, dužini lanca provodljivih čestica prašine, vremenu kada proizvod dostigne granično stanje tokom korozije, vremenu do k-tog kvara, itd. . Očekivano trajanje života pacijenata sa hroničnim bolestima i vreme za postizanje određenog efekta tokom lečenja u nekim slučajevima imaju gama distribuciju. Ova distribucija se pokazala najadekvatnijom za opisivanje potražnje u nizu ekonomskih i matematičkih modela upravljanja zalihama.

Mogućnost korištenja gama distribucije u brojnim primijenjenim problemima ponekad se može opravdati svojstvom reproducibilnosti: zbir nezavisnih eksponencijalno raspoređenih slučajnih varijabli sa istim parametrom ima gama distribuciju s parametrima oblika i razmjera i pomak. Stoga se gama distribucija često koristi u onim područjima primjene koja koriste eksponencijalnu distribuciju.

Stotine publikacija posvećene su različitim pitanjima statističke teorije u vezi sa gama distribucijom (vidi sažetke). Ovaj članak, koji ne tvrdi da je sveobuhvatan, ispituje samo neke matematičke i statističke probleme vezane za razvoj državnog standarda.

Razmotrimo Gama distribuciju, izračunajmo njeno matematičko očekivanje, disperziju i mod. Koristeći MS EXCEL GAMMA.DIST() funkciju, konstruisaćemo grafove funkcije distribucije i gustine verovatnoće. Hajde da generišemo niz slučajnih brojeva i procenimo parametre distribucije.

Gama distribucija(engleski) Gamadistribucija) zavisi od 2 parametra: r(određuje oblik distribucije) i λ (određuje skalu). ova distribucija je data sljedećom formulom:

gdje je G(r) gama funkcija:

ako je r pozitivan cijeli broj, onda je G(r)=(r-1)!

Gornji obrazac za prijavu gustina distribucije jasno pokazuje svoju vezu sa. Kada je r=1 Gama distribucija svodi se na Eksponencijalna distribucija sa parametrom λ.

Ako je parametar λ cijeli broj, onda Gama distribucija je suma r nezavisni i identično raspoređeni eksponencijalni zakon sa parametrom λ slučajnih varijabli x. Dakle, slučajna varijabla y= x 1 + x 2 +… x r Ima gama distribucija sa parametrima r i λ.

, zauzvrat, je usko povezan sa diskretnim. Ako Poissonova distribucija opisuje broj slučajnih događaja koji su se desili tokom određenog vremenskog intervala eksponencijalna distribucija, u ovom slučaju, opisuje dužinu vremenskog intervala između dva uzastopna događaja.

Iz ovoga slijedi da se, na primjer, opiše vrijeme prije nastanka prvog događaja eksponencijalna distribucija sa parametrom λ, tada se opisuje vrijeme prije početka drugog događaja gama distribucija sa r = 2 i istim parametrom λ.

Gama distribucija u MS EXCEL-u

MS EXCEL usvaja ekvivalentan, ali drugačiji po parametrima, oblik snimanja gustina gama distribucija.

Parametar α ( alfa) je ekvivalentno parametru r, i parametar b (beta) – parametar 1/λ. U nastavku ćemo se pridržavati upravo ove notacije, jer ovo će olakšati pisanje formula.

U MS EXCEL-u, počevši od verzije 2010, za Gama distribucija postoji funkcija GAMMA.DIST(), engleski naziv je GAMMA.DIST(), koja vam omogućava da izračunate gustina vjerovatnoće(vidi formulu iznad) i (vjerovatnoća da slučajna varijabla X ima gama distribucija, će uzeti vrijednost manju ili jednaku x).

Bilješka: Prije MS EXCEL 2010, EXCEL je imao funkciju GAMMADIST() koja vam omogućava da izračunate kumulativna funkcija distribucije I gustina vjerovatnoće. GAMMADIST() je ostavljen u MS EXCEL 2010 radi kompatibilnosti.

Grafovi funkcija

Datoteka primjera sadrži grafikone distribucija gustine vjerovatnoće I kumulativna funkcija distribucije.

Gama distribucija ima oznaku Gama (alfa; beta).

Bilješka: Za praktičnost pisanja formula u datoteku primjera za parametre distribucije alfa i beta kreirani su odgovarajući.

Bilješka: Ovisnost o 2 parametra omogućava konstruiranje distribucija različitih oblika, što proširuje primjenu ove distribucije. Gama distribucija, kao i Eksponencijalna distribucijačesto se koristi za izračunavanje vremena čekanja između nasumičnih događaja. Osim toga, ovu distribuciju je moguće koristiti za modeliranje nivoa padavina i prilikom projektovanja puteva.

Kao što je gore prikazano, ako je parametar alfa= 1, tada se funkcija GAMMA.DIST() vraća s parametrom 1/beta. Ako je parametar beta= 1, funkcija GAMMA.DIST() vraća standard gama distribucija.

Bilješka: Jer je poseban slučaj gama distribucija, zatim formula =GAMMA.DIST(x;n/2;2;TRUE) za pozitivan cijeli broj n vraća isti rezultat kao i formula =CHI2.DIST(x;n; TRUE) ili =1-CHI2.DIST.PH(x;n) . I formula =GAMMA.DIST(x;n/2;2;FALSE) vraća isti rezultat kao i formula =CHI2.DIST(x;n; FALSE), tj. gustina vjerovatnoće CH2 distribucije.

IN primjer datoteke na tabli sa grafikonima data je računica gama distribucija jednaka alfa*beta I

Nenegativna slučajna varijabla ima gama distribucija, ako je njegova gustina distribucije izražena formulom

gdje i , je gama funkcija:

dakle, gama distribucija je dvoparametarska distribucija, zauzima važno mjesto u matematičke statistike i teorije pouzdanosti. Ova distribucija ima ograničenje s jedne strane.

Ako je parametar oblika krivulje distribucije cijeli broj, tada gama raspodjela opisuje vrijeme potrebno za nastanak događaja (kvarova), pod uvjetom da su neovisni i da se javljaju konstantnog intenziteta.

U većini slučajeva ova distribucija opisuje vrijeme rada sistema sa redundantnošću za kvarove starih elemenata, vrijeme oporavka sistema sa redundantnošću za kvarove starih elemenata, vrijeme oporavka sistema itd. Za različite kvantitativne vrijednosti od parametara, gama distribucija poprima širok spektar oblika, što objašnjava njenu široku upotrebu.

Gustoća vjerovatnoće gama distribucije određena je jednakošću if

Funkcija distribucije. (9)

Imajte na umu da je funkcija pouzdanosti izražena formulom:

Gama funkcija ima sljedeća svojstva: , , (11)

odakle slijedi da je ako je nenegativan cijeli broj, onda

Osim toga, naknadno će nam trebati još jedno svojstvo gama funkcije: ; . (13)

Primjer. Restauracija elektronske opreme poštuje zakon gama distribucije sa parametrima i . Odredite vjerovatnoću oporavka opreme za sat vremena.

Rješenje. Za određivanje vjerovatnoće oporavka koristimo formulu (9).

Za pozitivne cijele brojeve funkcije , i na .

Ako pređemo na nove varijable čije će vrijednosti biti izražene; , tada dobijamo integral tabele:

U ovom izrazu, rješenje integrala na desnoj strani može se odrediti pomoću iste formule:

i kada ce biti

Kada i nove varijable će biti jednake i , a sam integral će biti jednak

Vrijednost funkcije bit će jednaka

Nađimo numeričke karakteristike slučajne varijable koja je podložna gama distribuciji

U skladu s jednakošću (13) dobijamo . (14)

Drugi početni trenutak pronalazimo pomoću formule

gdje . (15)

Imajte na umu da na , stopa kvara monotono opada, što odgovara periodu uhodavanja proizvoda. Kada se povećava stopa kvarova, što karakterizira period habanja i starenja elemenata.

Kada se gama raspodjela poklapa sa eksponencijalnom distribucijom, kada se gama raspodjela približi normalnom zakonu. Ako uzima vrijednosti proizvoljnih cijelih brojeva pozitivni brojevi, onda se takva gama raspodjela naziva naručiti Erlang distribuciju:

Ovdje je dovoljno samo istaći da je Erlangov zakon Zbir nezavisnih slučajnih varijabli podređen je th redu, od kojih je svaka raspoređena prema eksponencijalnom zakonu s parametrom. Erlangov zakon red je usko povezan sa stacionarnim Poissonovim (najjednostavnijim) strujanjem sa intenzitetom .

Zaista, neka postoji takav tok događaja u vremenu (slika 6).

Rice. 6. Grafički prikaz Poissonovog toka događaja tokom vremena

Razmotrite vremenski interval koji se sastoji od sume intervali između događaja u takvom toku. Može se dokazati da će slučajna varijabla poštovati Erlangov zakon -th red.

Gustoća distribucije slučajne varijable raspoređene prema Erlangovom zakonu reda, može se izraziti kroz tabelarne funkcije Poissonove distribucije:

Ako vrijednost je višekratnik i , tada se gama distribucija poklapa sa hi-kvadrat distribucijom.

Imajte na umu da se funkcija distribucije slučajne varijable može izračunati pomoću sljedeću formulu:

gdje su određene izrazima (12) i (13).

Prema tome, imamo jednakosti koje će nam kasnije biti korisne:

Primjer. Protok proizvoda proizvedenih na transporteru je najjednostavniji sa parametrom. Svi proizvedeni proizvodi se kontrolišu, neispravni se stavljaju u posebnu kutiju koja može da primi najviše proizvoda, vjerovatnoća defekta je jednaka . Odrediti zakon raspodjele vremena za punjenje kutije neispravnim proizvodima i količinu , na osnovu činjenice da je malo vjerovatno da će se kutija preliti tokom smjene.

Rješenje. Intenzitet najjednostavnijeg protoka neispravnih proizvoda će biti . Očigledno, vrijeme potrebno da se kutija napuni neispravnim proizvodima distribuira se prema Erlangovom zakonu

sa parametrima i:

dakle (18) i (19): ; .

Broj neispravnih proizvoda tokom vremena bit će raspoređen prema Poissonovom zakonu s parametrom . Dakle, potreban broj mora se naći iz uslova. (20)

Na primjer, na [proizvod/h]; ; [h]

iz jednačine na

Slučajna varijabla sa Erlangovom distribucijom ima sljedeće numeričke karakteristike (Tablica 6).

Tabela 6

Imajte na umu da slučajna varijabla koja ima normaliziranu Erlangovu distribuciju th reda ima sljedeće numeričke karakteristike (Tabela 7).

Tabela 7

Ujednačena distribucija. Kontinuirana vrijednost X je raspoređen ravnomjerno na intervalu ( a, b), ako su sve njegove moguće vrijednosti na ovom intervalu i gustina distribucije vjerovatnoće je konstantna:

Za slučajnu varijablu X, jednoliko raspoređen u intervalu ( a, b) (slika 4), vjerovatnoća pada u bilo koji interval ( x 1 , x 2), koji leži unutar intervala ( a, b), je jednako:

(30)


Rice. 4. Grafikon gustine uniformne distribucije

Primjeri ravnomjerno raspoređenih veličina su greške zaokruživanja. Dakle, ako su sve tablične vrijednosti određene funkcije zaokružene na istu znamenku, onda birajući nasumično tabličnu vrijednost, smatramo da je greška zaokruživanja odabranog broja slučajna varijabla ravnomjerno raspoređena u intervalu

Eksponencijalna distribucija. Kontinuirana slučajna varijabla X Ima eksponencijalna distribucija

(31)

Grafikon gustine vjerovatnoće (31) prikazan je na Sl. 5.

Rice. 5. Grafikon gustine eksponencijalne distribucije

Vrijeme T rad kompjuterskog sistema bez otkaza je slučajna varijabla koja ima eksponencijalnu distribuciju sa parametrom λ , čije je fizičko značenje prosječan broj kvarova u jedinici vremena, ne računajući vrijeme zastoja sistema za popravke.

Normalna (Gausova) distribucija. Slučajna vrijednost X Ima normalno (Gausova) raspodjela, ako je njegova gustina raspodjele vjerovatnoće određena ovisnošću:

(32)

Gdje m = M(X) , .

At normalna distribucija se zove standard.

Grafikon gustine normalne distribucije (32) prikazan je na Sl. 6.

Rice. 6. Grafikon gustine normalne distribucije

Normalna distribucija je najčešća raspodjela u različitim slučajnim prirodnim pojavama. Dakle, greške u izvršavanju komandi automatizovanim uređajem, greške u lansiranju letelice dati poen prostor, greške u parametrima računarskog sistema itd. u većini slučajeva imaju normalne ili blizu normalna distribucija. Štaviše, slučajne varijable formirane sumiranjem velikog broja slučajnih termina distribuiraju se gotovo prema normalnom zakonu.

Gama distribucija. Slučajna vrijednost X Ima gama distribucija, ako je njegova gustina raspodjele vjerovatnoće izražena formulom:

(33)

Gdje – Eulerova gama funkcija.

Gama distribucija

Gama distribucija je dvoparametarska distribucija. Zauzima prilično važno mjesto u teoriji i praksi pouzdanosti. Gustina distribucije je ograničena s jedne strane (). Ako parametar a oblika krivulje distribucije ima cjelobrojnu vrijednost, to ukazuje na vjerovatnoću da će se desiti isti broj događaja (na primjer, kvarovi)

pod uslovom da su nezavisni i da se pojavljuju sa konstantnim intenzitetom λ (vidi sliku 4.4).

Gama distribucija se široko koristi za opisivanje pojave kvarova elemenata koji stare, vremena oporavka i vremena između kvarova redundantnih sistema. Za različite parametre, gama distribucija poprima različite oblike, što objašnjava njenu široku upotrebu.

Gustoća vjerovatnoće gama distribucije određena je jednakošću

gdje je λ > 0, α > 0.

Krive gustine distribucije prikazane su na Sl. 4.5.

Rice. 4.5.

Funkcija distribucije

Očekivanje i varijansa su jednake

Na α< 1 интенсивность отказов монотонно убывает, что соответствует периоду приработки изделия, при α >1 – povećava, što je tipično za period habanja i starenja elemenata.

Kod α = 1, gama raspodjela se poklapa sa eksponencijalnom distribucijom, a pri α > 10, gama raspodjela se približava normalnom zakonu. Ako a uzima vrijednosti proizvoljnih pozitivnih cijelih brojeva, onda se takva gama distribucija naziva Erlang distribucija. Ako je λ = 1/2, a vrijednost a je višestruka od 1/2, tada se gama raspodjela poklapa sa distribucijom χ2 ( hi-kvadrat).

Uspostavljanje funkcije distribucije indikatora pouzdanosti na osnovu rezultata obrade statističkih informacija

Najpotpunija karakteristika pouzdanosti složenog sistema je zakon distribucije, izraženo kao funkcija distribucije, gustina distribucije ili funkcije pouzdanosti.

Oblik teorijske funkcije distribucije može se suditi po empirijskoj funkciji distribucije (slika 4.6), koja je određena iz relacije

Gdje T, - broj kvarova po vremenskom intervalu t; N – opseg testiranja; t i < t < t i+1 – vremenski interval u kojem je određena empirijska funkcija.

Rice. 4.6.

Empirijska funkcija se konstruira zbrajanjem priraštaja dobivenih u svakom vremenskom intervalu:

Gdje k – broj intervala.

Empirijska funkcija pouzdanosti je suprotna funkciji distribucije; određuje se formulom

Procjena gustine vjerovatnoće se nalazi iz histograma. Konstrukcija histograma se svodi na sljedeće. Cijeli vremenski raspon t podeljeno na intervale t 1,t 2, ..., t i i za svaki od njih se procjenjuje gustina vjerovatnoće pomoću formule

Gdje T i – broj kvarova po i-ti interval, i = 1, 2,..., k; (t i+1 – t i) – vremenski period i-th interval; N– obim ispitivanja; k– broj intervala.

Primjer histograma prikazan je na sl. 4.7.

Rice. 4.7.

Izglađivanje koraka histograma u glatku krivu, ali njegov izgled se može suditi o zakonu distribucije slučajne varijable. U praksi, da bi izgladili krivulju, na primjer, često koriste ovu metodu najmanjih kvadrata. Da bi se preciznije utvrdio zakon raspodjele, potrebno je da broj intervala bude najmanje pet, a broj realizacija koje spadaju u svaki interval najmanje deset.

Odstupanja u razumijevanju terminologije pouzdanosti

Problem terminologije je prilično složen u različitim oblastima nauke i ljudske delatnosti uopšte. Poznato je da se sporovi oko termina vode vekovima. Ako pogledate prijevode pjesama, možete vidjeti jasnu potvrdu ove ideje. Na primjer, prijevodi takvog svjetski poznatog remek-djela kao što je "Hamlet" B. L. Pasternaka i P. P. Gnedich su veoma različiti. U prvom od njih značenje tragedije nadmašuje muziku stiha, za razliku od drugog. A originalni "Hamlet", napisan jezikom 16. veka, teško je razumeti neenglezima, pa i Englezima, pošto se sam jezik veoma razvijao tokom nekoliko vekova, kao, u stvari, svaki drugi jezik u skladu sa zakonom sinhronizma-desinhronizma.

Slična se slika uočava u svjetskim religijama. Prevod Biblije sa crkvenoslovenskog na ruski jezik, koji je trajao 25 ​​godina, „razveo“ je (do tačke prestanka prevoda) Svetog Filareta Moskovskog (Drozdova) i najvećeg crkvenog pisca – Sv. njegovih sabranih djela u 42 toma planira se u bliskoj budućnosti). Prijevodi i pojašnjenja “knjige knjiga” Biblije “prebacuju” ljude u logore nepomirljivih neprijatelja u životu u našem svijetu. Rađaju se sekte, heretici i heroji, ponekad se i krv prolije. A brojni prijevodi na ruski fundamentalnog djela Imanuela Kanta iz oblasti filozofije „Kritika čistog razuma“ samo pojačavaju valjanost naše teze o složenosti problema terminologije (super-velikog sistema) u različitim oblastima nauke i ljudske djelatnosti. Uglavnom.

Antinomski fenomeni se dešavaju u oblasti nauke i tehnologije. Jedno od rješenja problema osiguranja ispravnosti i adekvatnosti terminologije iznio je G. Leibniz. On je u pogledu razvoja nauke i tehnologije u 17. veku. predložio da se sporovi okončaju definisanjem pojmova korišćenjem univerzalnog jezika u digitalnom obliku (0011...).

Imajte na umu da se u nauci o pouzdanosti način definiranja pojmova tradicionalno odlučuje na državnom nivou korištenjem državni standardi(GOST). Međutim, pojava sve inteligentnijih tehničkih sistema, interakcija i zbližavanje živih i neživih objekata koji u njima djeluju, postavlja nove, vrlo teške zadatke za nastavu pedagogije i psihologije, te nas tjera da tražimo kreativna kompromisna rješenja.

Za nekoga ko je zreo i radio u određenom naučna oblast, a posebno u oblasti pouzdanosti zaposlenih, relevantnost terminoloških pitanja je van sumnje. Kao što je Gottfried Wilhelm Leibniz napisao (u svom radu o stvaranju univerzalnog jezika), bilo bi manje kontroverzi kada bi se termini definisali.

Pokušaćemo da izgladimo neslaganja u razumevanju terminologije pouzdanosti sledećim komentarima.

Kažemo “funkcija distribucije” (DF), izostavljajući riječ “operacija” ili “neuspjeh”. Radno vrijeme se najčešće shvata kao kategorija vremena. Za sisteme koji se ne mogu popraviti, ispravnije je reći - integralno FR vrijeme do otkaza, a za sisteme koji se mogu oporaviti - vrijeme do otkaza. A budući da se vrijeme rada najčešće podrazumijeva kao slučajna varijabla, koristi se identifikacija vjerovatnoće rada bez otkaza (FBO) i (1 – FR), koja se u ovom slučaju naziva funkcija pouzdanosti (RF). Integritet ovog pristupa se postiže kroz kompletnu grupu događaja. Onda

FBG = FN = 1 – FR.

Isto vrijedi i za gustinu distribucije (DP), koja je prvi izvod DF-a, posebno s obzirom na vrijeme, i, slikovito rečeno, karakterizira “stopu” pojave kvarova.

Potpunost opisa pouzdanosti proizvoda (posebno za proizvode za jednokratnu upotrebu), uključujući dinamiku stabilnosti ponašanja, karakteriše stopa neuspjeha kroz omjer PR i FBG i fizički se razumije kao promjena u stanje proizvoda, a matematički se uvodi u teoriju čekanja kroz koncept toka kvarova i niz pretpostavki u vezi sa samim kvarovima (stacionarnost, običnost, itd.).

Oni koji su zainteresirani za ova pitanja koja se pojavljuju pri odabiru pokazatelja pouzdanosti u fazi dizajna proizvoda mogu se pozvati na radove takvih eminentnih autora kao što su A. M. Polovko, B. V. Gnedenko, B. R. Levin - domoroci laboratorije za pouzdanost na Moskovskom univerzitetu, pod vodstvom A. N. Kolmogorova. , kao i A. Ya. Khinchin, E. S. Ventsel, I. A. Ushakova, G. V. Druzhinina, A. D. Solovyova, F. Bayhelt, F. Proshan - osnivači statističke teorije pouzdanosti.

• Cm.: Kolmogorov A. N. Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće. M.: Mir, 1974.