Pogledajmo kako ispitati funkciju koristeći graf. Ispada da gledajući grafikon možemo saznati sve što nas zanima, a to su:

• domenu funkcije
• opseg funkcija
• nule funkcije
• intervali povećanja i smanjenja
• maksimalni i minimalni bodovi
• najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu.

Da pojasnimo terminologiju:

Abscisa je horizontalna koordinata tačke.
Ordinate- vertikalna koordinata.
Osa apscise- horizontalna osa, koja se najčešće naziva osa.
Y osa- vertikalna osa, odnosno osa.

Argument- nezavisna varijabla o kojoj zavise vrijednosti funkcije. Najčešće indicirano.
Drugim riječima, biramo , zamjenjujemo funkcije u formulu i dobivamo .

Domain funkcije - skup onih (i samo onih) vrijednosti argumenata za koje funkcija postoji.
Označava: ili .

Na našoj slici, domen definicije funkcije je segment. Na ovom segmentu je nacrtan graf funkcije. Ovo je jedino mjesto gdje ova funkcija postoji.

Opseg funkcija je skup vrijednosti koje varijabla uzima. Na našoj slici, ovo je segment - od najniže do najveće vrijednosti.

Funkcija nule- tačke u kojima je vrijednost funkcije nula, tj. Na našoj slici to su točke i .

Vrijednosti funkcije su pozitivne gdje . Na našoj slici to su intervali i .
Vrijednosti funkcije su negativne gdje . Za nas je ovo interval (ili interval) od do .

Ključni koncepti - rastuća i opadajuća funkcija na nekom setu. Kao skup, možete uzeti segment, interval, uniju intervala ili cijelu brojevnu pravu.

Funkcija povećava

Drugim riječima, što više, to više, odnosno graf ide udesno i gore.

Funkcija smanjuje se na skupu ako za bilo koji i pripada skupu, nejednakost implicira nejednakost .

Za opadajuću funkciju, veća vrijednost odgovara manjoj vrijednosti. Grafikon ide desno i dolje.

Na našoj slici, funkcija raste na intervalu i opada na intervalima i .

Hajde da definišemo šta je to maksimalne i minimalne tačke funkcije.

Maksimalni poen- ovo je unutrašnja tačka domene definicije, takva da je vrijednost funkcije u njoj veća nego u svim tačkama koje su joj dovoljno blizu.
Drugim riječima, maksimalna tačka je tačka u kojoj je vrijednost funkcije više nego u susednim. Ovo je lokalno "brdo" na grafikonu.

Na našoj slici postoji maksimalna tačka.

Minimalni poen- unutrašnja tačka domene definicije, takva da je vrijednost funkcije u njoj manja nego u svim tačkama koje su joj dovoljno blizu.
To jest, minimalna tačka je takva da je vrijednost funkcije u njoj manja nego u njenim susjedima. Ovo je lokalna „rupa“ na grafu.

Na našoj slici postoji minimalna tačka.

Tačka je granica. To nije unutrašnja tačka domene definicije i stoga se ne uklapa u definiciju maksimalne tačke. Na kraju krajeva, ona nema komšije sa leve strane. Na isti način, na našem grafikonu ne može biti minimalna tačka.

Maksimalna i minimalna tačka zajedno se zovu ekstremne tačke funkcije. U našem slučaju ovo je i .

Šta učiniti ako trebate pronaći npr. minimalna funkcija na segmentu? IN u ovom slučaju odgovor: . Jer minimalna funkcija je njegova vrijednost u minimalnoj tački.

Slično, maksimum naše funkcije je . Dostiže se u tački .

Možemo reći da su ekstremi funkcije jednaki i .

Ponekad problemi zahtijevaju pronalaženje najveća i najmanja vrijednost funkcije na datom segmentu. Ne poklapaju se nužno sa ekstremima.

U našem slučaju najmanja vrijednost funkcije na segmentu je jednak i poklapa se sa minimumom funkcije. Ali njegova najveća vrijednost na ovom segmentu je jednaka . Dostiže se na lijevom kraju segmenta.

U svakom slučaju, najveće i najmanje vrijednosti kontinuirana funkcija na segmentu se postižu ili na ekstremnim tačkama ili na krajevima segmenta.

The metodološki materijal je samo za referencu i odnosi se na širok spektar tema. Članak daje pregled grafova osnovnih elementarnih funkcija i razmatra najvažnije pitanje - kako pravilno i BRZO napraviti grafikon. U toku studiranja više matematike bez poznavanja osnovnih grafova elementarne funkcije Biće teško, pa je veoma važno zapamtiti kako izgledaju grafovi parabole, hiperbole, sinusa, kosinusa itd. i zapamtiti neke od vrednosti funkcije. Također ćemo govoriti o nekim svojstvima glavnih funkcija.

Ne pretendujem na kompletnost i naučnu temeljitost materijala, akcenat će biti stavljen, pre svega, na praksu – one stvari sa kojima susreće se bukvalno na svakom koraku, u bilo kojoj temi više matematike. Tabele za lutke? Moglo bi se tako reći.

Zbog brojnih zahtjeva čitalaca sadržaj koji se može kliknuti:

Osim toga, postoji ultra-kratak sinopsis na temu
– savladajte 16 vrsta grafikona proučavajući ŠEST stranica!

Ozbiljno, šest, čak sam i ja bio iznenađen. Ovaj sažetak sadrži poboljšanu grafiku i dostupan je uz nominalnu naknadu; može se pogledati demo verzija. Pogodno je ispisati datoteku tako da su grafikoni uvijek pri ruci. Hvala na podršci projektu!

I krenimo odmah:

Kako pravilno konstruisati koordinatne ose?

U praksi, testove učenici gotovo uvijek popune u zasebnim sveskama, poredanim u kvadrat. Zašto su vam potrebne karirane oznake? Uostalom, posao se u principu može obaviti na listovima A4. A kavez je neophodan samo za kvalitetan i precizan dizajn crteža.

Svaki crtež funkcijskog grafa počinje sa koordinatne ose .

Crteži mogu biti dvodimenzionalni ili trodimenzionalni.

Razmotrimo prvo dvodimenzionalni slučaj Kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem:

1) Nacrtajte koordinatne ose. Osa se zove x-osa , a osa je y-osa . Uvijek pokušavamo da ih nacrtamo uredan i ne iskrivljen. Strelice takođe ne bi trebalo da liče na bradu Pape Karla.

2) Osovine potpisujemo velikim slovima “X” i “Y”. Ne zaboravite označiti sjekire.

3) Postavite skalu duž osi: nacrtaj nulu i dva jedinica. Prilikom izrade crteža najpogodnija i najčešće korištena skala je: 1 jedinica = 2 ćelije (crtež lijevo) - ako je moguće, držite se toga. Međutim, s vremena na vrijeme se dogodi da crtež ne stane na list bilježnice - tada smanjujemo razmjer: 1 jedinica = 1 ćelija (crtež desno). Rijetko je, ali se dešava da se skala crteža mora još više smanjiti (ili povećati)

NEMA POTREBE za “mitraljezom”…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Za koordinatna ravan nije spomenik Descartesu, a student nije golub. Mi smo stavili nula I dvije jedinice duž osi. Ponekad umjesto jedinicama, zgodno je "označiti" druge vrijednosti, na primjer, "dva" na osi apscise i "tri" na osi ordinata - i ovaj sistem (0, 2 i 3) će također jedinstveno definirati koordinatnu mrežu.

Bolje je procijeniti procijenjene dimenzije crteža PRIJE izrade crteža. Tako, na primjer, ako zadatak zahtijeva crtanje trokuta s vrhovima , , , onda je potpuno jasno da popularna skala od 1 jedinica = 2 ćelije neće raditi. Zašto? Pogledajmo stvar - ovdje ćete morati izmjeriti petnaest centimetara dolje, i, očigledno, crtež neće stati (ili jedva stati) na list bilježnice. Stoga odmah biramo manju skalu: 1 jedinica = 1 ćelija.

Usput, o centimetrima i ćelijama bilježnice. Da li je tačno da 30 ćelija sveske sadrži 15 centimetara? Za zabavu, izmjerite 15 centimetara u svoju bilježnicu pomoću ravnala. U SSSR-u je to možda i bilo tačno... Zanimljivo je napomenuti da ako ove iste centimetre mjerite horizontalno i vertikalno, rezultati (u ćelijama) će biti drugačiji! Strogo govoreći, moderne bilježnice nisu karirane, već pravokutne. Ovo se može činiti besmislicom, ali crtanje, na primjer, kruga s kompasom u takvim situacijama je vrlo nezgodno. Iskreno govoreći, u takvim trenucima počinjete razmišljati o ispravnosti druga Staljina, koji je poslat u logore za hakerski rad u proizvodnji, a da ne spominjemo domaću automobilsku industriju, padajuće avione ili eksplodirajuće elektrane.

Kad smo već kod kvaliteta, ili kratka preporuka za kancelarijski materijal. Danas je većina notebook računara u prodaji, u najmanju ruku, potpuno sranje. Iz razloga što se smoče, i to ne samo od gel olovaka, već i od hemijskih olovaka! Oni štede novac na papiru. Za registraciju testovi Preporučujem korištenje bilježnica iz tvornice celuloze i papira Arkhangelsk (18 listova, mreža) ili "Pyaterochka", iako je skuplje. Preporučljivo je odabrati gel olovku, čak i najjeftiniji kineski gel za punjenje je mnogo bolji od hemijske olovke koja ili razmazuje ili cepa papir. Jedina "konkurentska" hemijska olovka koju mogu da se setim je Erich Krause. Piše jasno, lepo i dosledno – bilo sa punim jezgrom ili sa skoro praznim.

Dodatno: U članku je obrađena vizija pravokutnog koordinatnog sistema očima analitičke geometrije Linearna (ne)ovisnost vektora. Osnova vektora, detaljne informacije o koordinatnim četvrtima možete pronaći u drugom pasusu lekcije Linearne nejednakosti.

3D kućište

Ovdje je skoro isto.

1) Nacrtajte koordinatne ose. standardno: axis applicate – usmjereno prema gore, os – usmjereno udesno, os – usmjereno prema dolje ulijevo strogo pod uglom od 45 stepeni.

2) Označite osi.

3) Postavite skalu duž osi. Razmjer duž ose je dva puta manji od razmjera duž ostalih osa. Također imajte na umu da sam na desnom crtežu koristio nestandardni "zarez" duž ose (ova mogućnost je već spomenuta gore). S moje tačke gledišta, ovo je preciznije, brže i estetski ugodnije - nema potrebe tražiti sredinu ćelije pod mikroskopom i "klesati" jedinicu blizu ishodišta koordinata.

Kada pravite 3D crtež, opet dajte prednost mjerilu
1 jedinica = 2 ćelije (crtež lijevo).

Čemu služe sva ova pravila? Pravila su stvorena da se krše. To ću sada učiniti. Činjenica je da ću naknadne crteže članka napraviti u Excelu, a koordinatne osi će izgledati netočne sa gledišta ispravan dizajn. Mogao bih sve grafikone nacrtati rukom, ali je zapravo zastrašujuće crtati ih jer Excel nerado ih crta mnogo preciznije.

Grafovi i osnovna svojstva elementarnih funkcija

Linearna funkcija je data jednadžbom. Graf linearnih funkcija je direktno. Da bi se konstruisala prava, dovoljno je poznavati dve tačke.

Primjer 1

Konstruirajte graf funkcije. Hajde da nađemo dve tačke. Povoljno je odabrati nulu kao jednu od tačaka.

Ako onda

Uzmimo još jednu tačku, na primjer, 1.

Ako onda

Prilikom izvršavanja zadataka koordinate tačaka se obično sumiraju u tabeli:

I same vrijednosti se izračunavaju usmeno ili na nacrtu, kalkulatoru.

Pronađene su dvije tačke, napravimo crtež:

Prilikom izrade crteža uvijek potpisujemo grafiku.

Bilo bi korisno prisjetiti se posebnih slučajeva linearne funkcije:

Obratite pažnju kako sam stavio potpise, potpisi ne bi trebalo da dopuštaju odstupanja prilikom proučavanja crteža. U ovom slučaju, bilo je krajnje nepoželjno stavljati potpis pored tačke preseka linija, ili u donjem desnom uglu između grafikona.

1) Linearna funkcija oblika () naziva se direktna proporcionalnost. Na primjer, . Graf direktne proporcionalnosti uvijek prolazi kroz ishodište. Dakle, konstruisanje prave linije je pojednostavljeno - dovoljno je pronaći samo jednu tačku.

2) Jednačina oblika određuje ravnu liniju paralelnu sa osom, posebno, sama osa je data jednačinom. Graf funkcije se konstruiše odmah, bez pronalaženja nijedne tačke. Odnosno, unos treba shvatiti na sljedeći način: "y je uvijek jednako -4, za bilo koju vrijednost x."

3) Jednačina oblika određuje pravu liniju paralelnu sa osom, posebno, sama osa je data jednačinom. Grafikon funkcije se također odmah iscrtava. Unos treba shvatiti na sljedeći način: "x je uvijek, za bilo koju vrijednost y, jednako 1."

Neki će se pitati, zašto pamtiti 6. razred?! Tako je, možda je i tako, ali tokom godina prakse upoznao sam desetak učenika koji su bili zbunjeni zadatkom da konstruišu graf poput ili.

Konstruisanje prave linije je najčešća radnja prilikom izrade crteža.

Prava linija je detaljno obrađena u okviru analitičke geometrije, a zainteresovani mogu pogledati članak Jednačina prave linije na ravni.

Graf kvadratne, kubične funkcije, graf polinoma

Parabola. Raspored kvadratna funkcija () predstavlja parabolu. Razmotrite poznati slučaj:

Prisjetimo se nekih svojstava funkcije.

Dakle, rješenje naše jednačine: – u ovoj tački se nalazi vrh parabole. Zašto je to tako može se naučiti iz teorijskog članka o derivaciji i lekcije o ekstremima funkcije. U međuvremenu, izračunajmo odgovarajuću vrijednost "Y":

Dakle, vrh je u tački

Sada nalazimo druge tačke, dok drsko koristimo simetriju parabole. Treba napomenuti da je funkcija – nije čak, ali, ipak, niko nije poništio simetriju parabole.

Kojim redosledom pronaći preostale bodove, mislim da će biti jasno iz konačne tabele:

Ovaj konstruktivni algoritam se figurativno može nazvati „šatlom“ ili principom „nazad i nazad“ kod Anfise Čehove.

Napravimo crtež:

Iz pregledanih grafikona, još jedna korisna karakteristika pada na pamet:

Za kvadratnu funkciju () istina je sljedeće:

Ako je , tada su grane parabole usmjerene prema gore.

Ako je , tada su grane parabole usmjerene prema dolje.

Detaljno znanje o krivulji može se dobiti u lekciji Hiperbola i parabola.

Kubična parabola je data funkcijom. Evo crteža poznatog iz škole:

Hajde da navedemo glavna svojstva funkcije

Grafikon funkcije

Predstavlja jednu od grana parabole. Napravimo crtež:

Glavna svojstva funkcije:

U ovom slučaju, os je vertikalna asimptota za graf hiperbole na .

Bila bi GRUPA greška ako, prilikom sastavljanja crteža, neoprezno dozvolite da se graf preseče sa asimptotom.

Također jednostrane granice nam govore da je hiperbola nije ograničeno odozgo I nije ograničeno odozdo.

Hajde da ispitamo funkciju u beskonačnosti: , to jest, ako se počnemo kretati duž ose ulijevo (ili udesno) do beskonačnosti, tada će "igre" biti u pravilnom koraku beskonačno blizu približavaju se nuli i, shodno tome, grane hiperbole beskonačno blizu približiti osi.

Dakle, os je horizontalna asimptota za graf funkcije, ako “x” teži plus ili minus beskonačnost.

Funkcija je odd, i stoga je hiperbola simetrična u odnosu na ishodište. Ova činjenica je očigledna iz crteža, osim toga, lako se provjerava analitički: .

Graf funkcije oblika () predstavlja dvije grane hiperbole.

Ako je , tada se hiperbola nalazi u prvoj i trećoj koordinatnoj četvrtini(vidi sliku iznad).

Ako je , tada se hiperbola nalazi u drugoj i četvrtoj koordinatnoj četvrtini.

Navedeni obrazac boravka hiperbole lako je analizirati sa stanovišta geometrijskih transformacija grafova.

Primjer 3

Konstruirajte desnu granu hiperbole

Koristimo metodu konstrukcije po točkama, a povoljno je odabrati vrijednosti tako da budu djeljive cjelinom:

Napravimo crtež:

Neće biti teško konstruirati lijevu granu hiperbole; tu će pomoći neparnost funkcije. Grubo govoreći, u tabeli konstrukcije po tačkama, mi mentalno dodajemo minus svakom broju, stavljamo odgovarajuće tačke i crtamo drugu granu.

Detaljne geometrijske informacije o razmatranoj liniji možete pronaći u članku Hiperbola i parabola.

Graf eksponencijalne funkcije

IN ovaj stav Odmah ću razmotriti eksponencijalnu funkciju, jer se u problemima više matematike u 95% slučajeva pojavljuje eksponencijalna.

Dozvolite mi da vas podsjetim da je ovo iracionalan broj: , to će biti potrebno prilikom konstruisanja grafa, koji ću, zapravo, izgraditi bez ceremonije. Tri boda su vjerovatno dovoljna:

Ostavimo graf funkcije za sada na miru, više o tome kasnije.

Glavna svojstva funkcije:

Funkcionalni grafovi, itd., izgledaju u osnovi isto.

Moram reći da se drugi slučaj rjeđe javlja u praksi, ali se dešava, pa sam smatrao potrebnim da ga uvrstim u ovaj članak.

Grafikon logaritamske funkcije

Razmotrimo funkciju s prirodnim logaritmom.
Napravimo crtež tačku po tačku:

Ako ste zaboravili šta je logaritam, pogledajte školske udžbenike.

Glavna svojstva funkcije:

Domain:

Raspon vrijednosti: .

Funkcija nije ograničena odozgo: iako polako, grana logaritma ide gore do beskonačnosti.
Hajde da ispitamo ponašanje funkcije blizu nule na desnoj strani: . Dakle, os je vertikalna asimptota za graf funkcije kako “x” teži nuli s desne strane.

Imperativ je znati i zapamtiti tipičnu vrijednost logaritma: .

U principu, grafik logaritma prema osnovici izgleda isto: , , (decimalni logaritam na osnovu 10) itd. Štaviše, što je veća baza, to će graf biti ravniji.

Nećemo razmatrati slučaj; ne sjećam se kada sam zadnji put napravio graf s takvom osnovom. A čini se da je logaritam vrlo rijedak gost u problemima više matematike.

Na kraju ovog pasusa reći ću još jednu činjenicu: Eksponencijalna funkcija i logaritamska funkcija- njih dvoje su obostrani inverzne funkcije . Ako pažljivo pogledate graf logaritma, možete vidjeti da je ovo isti eksponent, samo se nalazi malo drugačije.

Grafovi trigonometrijskih funkcija

Gdje počinje trigonometrijska muka u školi? U redu. Od sinusa

Nacrtajmo funkciju

Ova linija se zove sinusoida.

Dozvolite mi da vas podsjetim da je "pi" iracionalan broj: , a u trigonometriji vam zasljepljuje oči.

Glavna svojstva funkcije:

Ova funkcija je periodično sa tačkom. Šta to znači? Pogledajmo segment. Levo i desno od njega, potpuno isti deo grafikona se ponavlja u nedogled.

Domain: , to jest, za bilo koju vrijednost “x” postoji vrijednost sinusa.

Raspon vrijednosti: . Funkcija je ograničeno: , odnosno sve "igre" sjede striktno u segmentu .
To se ne dešava: ili, tačnije, dešava se, ali ove jednačine nemaju rješenje.

1. Frakcijska linearna funkcija i njen graf

Funkcija oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi, naziva se razlomkom racionalnom funkcijom.

Vjerovatno ste već upoznati sa konceptom racionalnih brojeva. Isto tako racionalne funkcije su funkcije koje se mogu predstaviti kao kvocijent dva polinoma.

Ako je razlomka racionalna funkcija količnik dvije linearne funkcije - polinoma prvog stepena, tj. funkcija forme

y = (ax + b) / (cx + d), tada se naziva frakciono linearno.

Imajte na umu da u funkciji y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (inače funkcija postaje linearna y = ax/d + b/d) i da je a/c ≠ b/d (inače funkcija je konstantna). Linearna frakciona funkcija je definirana za sve realne brojeve osim x = -d/c. Grafovi razlomaka linearnih funkcija ne razlikuju se po obliku od grafika y = 1/x koji znate. Poziva se kriva koja je graf funkcije y = 1/x hiperbola. Sa neograničenim povećanjem apsolutne vrijednosti x, funkcija y = 1/x neograničeno se smanjuje u apsolutnoj vrijednosti i obje grane grafa se približavaju apscisi: desna se približava odozgo, a lijeva odozdo. Linije kojima se grane hiperbole približavaju nazivaju se njegovim asimptote.

Primjer 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Rješenje.

Odaberimo cijeli dio: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Sada je lako vidjeti da se grafik ove funkcije dobija iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomak za 3 jedinična segmenta udesno, istezanje duž ose Oy 7 puta i pomak za 2 jedinični segmenti prema gore.

Bilo koji razlomak y = (ax + b) / (cx + d) može se napisati na sličan način, naglašavajući "cijeli dio". Posljedično, grafovi svih frakcijskih linearnih funkcija su hiperbole, pomaknute na različite načine duž koordinatnih osa i rastegnute duž ose Oy.

Da bi se konstruirao graf bilo koje proizvoljne frakciono-linearne funkcije, uopće nije potrebno transformirati razlomak koji definira ovu funkciju. Pošto znamo da je graf hiperbola, biće dovoljno pronaći prave linije kojima se približavaju njegove grane - asimptote hiperbole x = -d/c i y = a/c.

Primjer 2.

Pronađite asimptote grafa funkcije y = (3x + 5)/(2x + 2).

Rješenje.

Funkcija nije definirana, na x = -1. To znači da prava linija x = -1 služi kao vertikalna asimptota. Da bismo pronašli horizontalnu asimptotu, otkrijmo čemu se približavaju vrijednosti funkcije y(x) kada se argument x poveća u apsolutnoj vrijednosti.

Da biste to učinili, podijelite brojilac i nazivnik razlomka sa x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kako je x → ∞ razlomak će težiti 3/2. To znači da je horizontalna asimptota prava linija y = 3/2.

Primjer 3.

Grafikujte funkciju y = (2x + 1)/(x + 1).

Rješenje.

Odaberimo "cijeli dio" razlomka:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Sada je lako vidjeti da se graf ove funkcije dobija iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomak za 1 jedinicu ulijevo, simetričan prikaz u odnosu na Ox i pomak za 2 segmenta jedinice prema gore duž ose Oy.

Domena D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Tačke preseka sa osama: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcija se povećava u svakom intervalu domene definicije.

Odgovor: Slika 1.

2. Razlomak racionalne funkcije

Razmotrimo razlomku racionalnu funkciju oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi višeg stupnja od prvog.

Primjeri takvih racionalnih funkcija:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ili y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ako funkcija y = P(x) / Q(x) predstavlja količnik dva polinoma stepena višeg od prvog, tada će njen graf po pravilu biti složeniji i ponekad može biti teško precizno ga konstruirati , sa svim detaljima. Međutim, često je dovoljno koristiti tehnike slične onima koje smo već uveli gore.

Neka je razlomak pravi razlomak (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Očigledno, graf razlomke racionalne funkcije može se dobiti kao zbir grafova elementarnih razlomaka.

Iscrtavanje grafova razlomaka racionalnih funkcija

Razmotrimo nekoliko načina za konstruiranje grafova razlomke racionalne funkcije.

Primjer 4.

Nacrtajte grafik funkcije y = 1/x 2 .

Rješenje.

Koristimo graf funkcije y = x 2 da konstruišemo grafik od y = 1/x 2 i koristimo tehniku ​​“podjele” grafova.

Domena D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (0; +∞).

Nema tačaka preseka sa osovinama. Funkcija je ujednačena. Povećava se za sve x iz intervala (-∞; 0), smanjuje se za x sa 0 na +∞.

Odgovor: Slika 2.

Primjer 5.

Grafikujte funkciju y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Rješenje.

Domena D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Ovdje smo koristili tehniku ​​faktorizacije, redukcije i redukcije na linearnu funkciju.

Odgovor: Slika 3.

Primjer 6.

Grafikujte funkciju y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Rješenje.

Područje definicije je D(y) = R. Pošto je funkcija parna, graf je simetričan u odnosu na ordinatu. Prije nego što napravimo graf, transformirajmo izraz ponovo, naglašavajući cijeli dio:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Imajte na umu da je izolacija cjelobrojnog dijela u formuli razlomačke racionalne funkcije jedno od glavnih pri konstruiranju grafova.

Ako je x → ±∞, tada je y → 1, tj. prava linija y = 1 je horizontalna asimptota.

Odgovor: Slika 4.

Primjer 7.

Razmotrimo funkciju y = x/(x 2 + 1) i pokušamo precizno pronaći njenu najveću vrijednost, tj. najviša tačka na desnoj polovini grafikona. Da bismo precizno konstruisali ovaj graf, današnje znanje nije dovoljno. Očigledno, naša kriva ne može da se „digne“ mnogo visoko, jer imenilac brzo počinje da „prestiže“ brojilac. Pogledajmo da li vrijednost funkcije može biti jednaka 1. Da bismo to učinili, moramo riješiti jednačinu x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ova jednačina nema realne korijene. To znači da je naša pretpostavka netačna. Da biste pronašli najveću vrijednost funkcije, morate saznati pri kojem najvećem A će jednadžba A = x/(x 2 + 1) imati rješenje. Zamenimo originalnu jednačinu kvadratnom: Ax 2 – x + A = 0. Ova jednačina ima rešenje kada je 1 – 4A 2 ≥ 0. Odavde nalazimo najveća vrijednost A = 1/2.

Odgovor: Slika 5, max y(x) = ½.

Imate još pitanja? Ne znate grafički prikazati funkcije?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Nacionalni istraživački univerzitet

Katedra za primijenjenu geologiju

Abstract on višu matematiku

Na temu: „Osnovne elementarne funkcije,

njihova svojstva i grafikoni"

Završeno:

Provjereno:

nastavnik

Definicija. funkcija, dato formulom y=a x (gdje je a>0, a≠1) naziva se eksponencijalna funkcija s bazom a.

Hajde da formulišemo glavna svojstva eksponencijalna funkcija:

1. Područje definicije je skup (R) svih realnih brojeva.

2. Raspon - skup (R+) svih pozitivnih realnih brojeva.

3. Za a > 1, funkcija raste duž cijele brojevne prave; u 0<а<1 функция убывает.

4. Je funkcija opšteg oblika.

, na intervalu xO [-3;3] , na intervalu xO [-3;3]

Funkcija oblika y(x)=x n, gdje je n broj ILI, naziva se funkcija stepena. Broj n može poprimiti različite vrijednosti: i cijeli i razlomak, i paran i neparan. Ovisno o tome, funkcija snage će imati drugačiji oblik. Razmotrimo posebne slučajeve koji su funkcije stepena i odražavaju osnovna svojstva ove vrste krivulje sljedećim redoslijedom: funkcija stepena y=x² (funkcija s parnim eksponentom - parabola), funkcija stepena y=x³ (funkcija s neparnim eksponentom - kubna parabola) i funkcija y=√x (x na stepen ½) (funkcija sa razlomkom), funkcija sa negativnim celobrojnim eksponentom (hiperbola).

Funkcija napajanja y=x²

1. D(x)=R – funkcija je definirana na cijeloj numeričkoj osi;

2. E(y)= i raste na intervalu

Funkcija napajanja y=x³

1. Grafikon funkcije y=x³ naziva se kubna parabola. Funkcija snage y=x³ ima sljedeća svojstva:

2. D(x)=R – funkcija je definirana na cijeloj numeričkoj osi;

3. E(y)=(-∞;∞) – funkcija preuzima sve vrijednosti u svojoj domeni definicije;

4. Kada je x=0 y=0 – funkcija prolazi kroz ishodište koordinata O(0;0).

5. Funkcija se povećava u cijeloj domeni definicije.

6. Funkcija je neparna (simetrična u odnosu na ishodište).

, na intervalu xO [-3;3]

U zavisnosti od brojčanog faktora ispred x³, funkcija može biti strma/ravna i rastuća/opadajuća.

Funkcija snage s negativnim cijelim eksponentom:

Ako je eksponent n neparan, tada se graf takve funkcije stepena naziva hiperbola. Funkcija stepena s cijelim negativnim eksponentom ima sljedeća svojstva:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) za bilo koje n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ako je n neparan broj; E(y)=(0;∞), ako je n paran broj;

3. Funkcija se smanjuje u cijeloj domeni definicije ako je n neparan broj; funkcija raste na intervalu (-∞;0) i opada na intervalu (0;∞) ako je n paran broj.

4. Funkcija je neparna (simetrična u odnosu na ishodište) ako je n neparan broj; funkcija je parna ako je n paran broj.

5. Funkcija prolazi kroz tačke (1;1) i (-1;-1) ako je n neparan broj i kroz tačke (1;1) i (-1;1) ako je n paran broj.

, na intervalu xO [-3;3]

Funkcija stepena s razlomkom eksponenta

Funkcija stepena sa razlomkom eksponenta (slika) ima graf funkcije prikazane na slici. Funkcija stepena sa razlomkom eksponenta ima sljedeća svojstva: (slika)

1. D(x) ILI, ako je n neparan broj i D(x)= , na intervalu xO , na intervalu xO [-3;3]

Logaritamska funkcija y = log a x ima sljedeća svojstva:

1. Područje definicije D(x)O (0; + ∞).

2. Raspon vrijednosti E(y) O (- ∞; + ∞)

3. Funkcija nije ni parna ni neparna (općeg oblika).

4. Funkcija raste na intervalu (0; + ∞) za a > 1, opada na (0; + ∞) za 0< а < 1.

Graf funkcije y = log a x može se dobiti iz grafa funkcije y = a x korištenjem simetrične transformacije oko prave linije y = x. Slika 9 prikazuje graf logaritamske funkcije za a > 1, a slika 10 za 0< a < 1.

; na intervalu xO ; na intervalu xO

Funkcije y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x nazivaju se trigonometrijske funkcije.

Funkcije y = sin x, y = tan x, y = ctg x su neparne, a funkcija y = cos x je parna.

Funkcija y = sin(x).

1. Područje definicije D(x) ILI.

2. Raspon vrijednosti E(y) O [ - 1; 1].

3. Funkcija je periodična; glavni period je 2π.

4. Funkcija je neparna.

5. Funkcija raste na intervalima [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] i opada na intervalima [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n O Z.

Grafikon funkcije y = sin (x) prikazan je na slici 11.