Geografske koordinate. Oblik i veličina zemlje. koordinatni sistemi. Visine

Polarni koordinatni sistem određuje se specificiranjem određene tačke O, nazvan pol, koji izlazi iz ove tačke zraka O.A.(takođe označeno kao Ox), nazvana polarna osa, i skala za promjenu dužine. Osim toga, kada se specificira polarni koordinatni sistem, mora se odrediti koje se rotacije oko tačke O smatraju se pozitivnim (na crtežima se zaokreti u smjeru suprotnom od kazaljke na satu obično smatraju pozitivnim).

Dakle, izaberimo određenu tačku na ravni (slika iznad) O(pol) i neki zrak koji izlazi iz njega Ox. Pored toga, označavamo jedinicu skale. Polarne koordinate tačke M nazivaju se dva broja ρ i φ, od kojih je prvi (polarni polumjer ρ) jednak udaljenosti tačke M sa pola O, a drugi (polarni ugao φ, koji se također naziva amplituda) je ugao za koji se snop mora rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu Ox prije poravnanja sa gredom OM.

Tačka M sa polarnim koordinatama ρ i φ označene su simbolom M(ρ, φ) .

Odnos između polarnih koordinata i kartezijanskih koordinata

Hajde da instaliramo odnos između polarnih koordinata tačke i njenih kartezijanskih koordinata . Pretpostavićemo da je početak kartezijanskog pravougaonog koordinatnog sistema na polu, a pozitivna poluosa apscise poklapa se sa polarnom osom. Pusti poentu M ima kartezijanske koordinate x I y i polarne koordinate ρ i φ

x= ρ cos φ)

y= ρ sin φ) .

Polarne koordinate ρ i φ tačke M određene su njegovim kartezijanskim koordinatama kako slijedi:

Da biste pronašli vrijednost ugla φ, trebate koristiti znakove x I y, odredite kvadrant u kojem se nalazi tačka M, i, osim toga, iskoristiti činjenicu da je tangenta kuta φ jednaka .

Gore navedene formule nazivaju se formulama za prijelaz iz kartezijanskih u polarne koordinate.

Problemi oko tačaka u polarnom koordinatnom sistemu

Primjer 1.

A(3; π /4) ;

B(2; -π /2) ;

C(3; -π /3) .

Pronađite polarne koordinate tačaka simetričnih ovim tačkama oko polarne ose.

Rješenje. Sa simetrijom, dužina snopa se ne mijenja. Prema tome, prva koordinata - dužina zraka - za tačku simetričnu u odnosu na polarnu osu bit će ista kao i za datu tačku. Kao što se vidi sa slike na početku lekcije, kada se konstruiše tačka simetrična u odnosu na polarnu os, ova tačka mora biti rotirana oko polarne ose za isti ugao φ. Shodno tome, u polarnom koordinatnom sistemu, druga koordinata simetrične tačke biće ugao za prvobitnu tačku, uzet sa suprotnim predznakom, odnosno -φ. Dakle, polarne koordinate tačke simetrične datoj u odnosu na polarnu osu će se razlikovati samo u drugoj koordinati, a ova koordinata će imati suprotan predznak. Polarne koordinate traženih simetričnih tačaka bit će sljedeće:

A"(3; -π /4) ;

B"(2; π /2) ;

C"(3; π /3) .

Primjer 2. U polarnom koordinatnom sistemu tačke su date na ravni

A(1; π /4) ;

B(5; π /2) ;

C(2; -π /3) .

Pronađite polarne koordinate tačaka simetričnih prema ovim tačkama u odnosu na pol.

Rješenje. Sa simetrijom, dužina snopa se ne mijenja. Prema tome, prva koordinata - dužina zraka - za tačku simetričnu u odnosu na pol bit će ista kao i za datu tačku. Tačka simetrična u odnosu na stub se dobija rotiranjem početne tačke za 180 stepeni suprotno od kazaljke na satu, odnosno za ugao π . Prema tome, druga koordinata tačke simetrične datoj u odnosu na pol izračunava se kao φ + π (ako je rezultat brojnik veći od nazivnika, onda od rezultujućeg broja oduzmite jedan puni okret, odnosno 2 π ). Dobijamo sljedeće koordinate tačaka simetričnih prema podacima u odnosu na pol:

A"(1; 3π /4) ;

B"(5; -π /2) ;

C"(2; 2π /3) .

Primjer 3. Pol polarnog koordinatnog sistema poklapa se sa ishodištem kartezijanskih pravougaonih koordinata, a polarna osa se poklapa sa pozitivnom poluosom apscise. Tačke su date u polarnom koordinatnom sistemu

A(6; π /2) ;

B(5; 0) ;

C(2; π /4) .

Pronađite kartezijanske koordinate ovih tačaka.

Rješenje. Koristimo formule za prijelaz iz polarnih koordinata u kartezijanske:

x= ρ cos φ)

y= ρ sin φ) .

Dobijamo sljedeće kartezijanske koordinate ovih tačaka:

A(0; 6) ;

B(5; 0) ;

C"(√2; √2) .

Primjer 4. Pol polarnog koordinatnog sistema poklapa se sa ishodištem kartezijanskih pravougaonih koordinata, a polarna osa se poklapa sa pozitivnom poluosom apscise. Tačke su date u kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sistemu

A(0; 5) ;

B(-3; 0) ;

C(√3; 1) .

Pronađite polarne koordinate ovih tačaka.

Koordinatni sistemi koji se koriste u topografiji: geografske, ravne pravokutne, polarne i bipolarne koordinate, njihova suština i upotreba

Koordinate nazivaju se ugaone i linearne veličine (brojevi) koje određuju položaj tačke na bilo kojoj površini ili u prostoru.

U topografiji se koriste koordinatni sistemi koji omogućavaju najjednostavnije i nedvosmisleno određivanje položaja tačaka na zemljinoj površini, kako iz rezultata direktnih mjerenja na tlu, tako i pomoću karata. Takvi sistemi uključuju geografske, ravne pravougaone, polarne i bipolarne koordinate.

Geografske koordinate(Sl.1) - ugaone vrednosti: geografska širina (Y) i geografska dužina (L), koje određuju položaj objekta na površini zemlje u odnosu na ishodište koordinata - tačku presjeka glavnog (Greenwich) meridijana sa ekvatorom. Na karti je geografska mreža označena razmjerom sa svih strana okvira karte. Zapadna i istočna strana okvira su meridijani, a sjeverna i južna strana su paralele. U uglovima lista karte ispisane su geografske koordinate presječnih točaka stranica okvira.

Rice. 1. Sistem geografskih koordinata na zemljinoj površini

U geografskom koordinatnom sistemu, položaj bilo koje tačke na zemljinoj površini u odnosu na početak koordinata određuje se ugaonom mjerom. Kod nas i u većini drugih zemalja za početak se uzima tačka preseka početnog (Grinvič) meridijana sa ekvatorom. Budući da je tako jedinstven za cijelu našu planetu, sistem geografskih koordinata je pogodan za rješavanje problema određivanjem međusobnu poziciju objekata koji se nalaze na značajnoj udaljenosti jedan od drugog.

Stoga se u vojnim poslovima ovaj sistem koristi uglavnom za izvođenje proračuna vezanih za upotrebu borbenog oružja. dugog dometa, na primjer, balističke rakete, avijacija itd.

Ravne pravokutne koordinate(slika 2) - linearne veličine koje određuju položaj objekta na ravni u odnosu na prihvaćeno ishodište koordinata - presek dve međusobno okomite prave ( koordinatne ose X i Y).

U topografiji, svaka zona od 6 stepeni ima svoj sistem pravougaonih koordinata. X osa je aksijalni meridijan zone, Y osa je ekvator, a tačka preseka aksijalnog meridijana sa ekvatorom je ishodište koordinata.

Rice. 2. Sistem ravnih pravokutnih koordinata na kartama

Ravni pravougaoni koordinatni sistem je zonalan; utvrđuje se za svaku šestostepenu zonu na koju je podijeljena Zemljina površina kada se ona prikazuje na kartama u Gausovoj projekciji, a namijenjena je za označavanje položaja slika tačaka zemljine površine na ravni (karti) u ovoj projekciji .

Početna tačka koordinata u zoni je tačka preseka aksijalnog meridijana sa ekvatorom, u odnosu na koju se linearno određuje položaj svih ostalih tačaka u zoni. Porijeklo zone i njene koordinatne ose zauzimaju strogo definiran položaj na površini zemlje. Dakle, sistem ravnih pravougaonih koordinata svake zone povezan je kako sa koordinatnim sistemima svih ostalih zona, tako i sa sistemom geografskih koordinata.

Upotreba linearnih veličina za određivanje položaja tačaka čini sistem ravnih pravougaonih koordinata veoma pogodnim za izvođenje proračuna i pri radu na zemlji i na karti. Stoga se ovaj sistem najviše koristi među vojnicima. Pravokutne koordinate označavaju položaj točaka terena, njihovih borbenih formacija i ciljeva, te uz njihovu pomoć određuju relativni položaj objekata unutar jedne koordinatne zone ili u susjednim područjima dvije zone.

Polarni i bipolarni koordinatni sistemi su lokalni sistemi. U vojnoj praksi se koriste za određivanje položaja jednih tačaka u odnosu na druge na relativno malim površinama terena, na primjer, pri označavanju ciljeva, označavanju orijentira i ciljeva, crtanju dijagrama terena itd. Ovi sistemi se mogu povezati sa sistemi pravougaonih i geografskih koordinata.

Ako uvedemo koordinatni sistem na ravni ili u trodimenzionalni prostor, moći ćemo opisati geometrijske figure i njihova svojstva pomoću jednačina i nejednačina, odnosno moći ćemo koristiti algebarske metode. Stoga je koncept koordinatnog sistema veoma važan.

U ovom članku ćemo pokazati kako je pravokutni Dekartov koordinatni sistem definiran na ravni i u trodimenzionalnom prostoru i saznati kako se određuju koordinate tačaka. Radi jasnoće dajemo grafičke ilustracije.

Navigacija po stranici.

Pravougaoni kartezijanski koordinatni sistem na ravni.

Hajde da uvedemo pravougaoni koordinatni sistem na ravni.

Da biste to učinili, nacrtajte dvije međusobno okomite linije na ravni i odaberite na svakoj od njih pozitivnog smjera, označavajući ga strelicom, i odaberite na svakom od njih skala(jedinica dužine). Označimo točku presjeka ovih linija slovom O i razmotrimo je polazna tačka. Dakle, dobili smo pravougaoni koordinatni sistem na površini.

Svaka od pravih linija sa odabranim ishodištem O, smjerom i razmjerom se zove koordinatna linija ili koordinatna osa.

Pravougaoni koordinatni sistem na ravni obično se označava sa Oxy, gde su Ox i Oy njegove koordinatne ose. Osa Ox se zove x-osa, i Oy osa – y-osa.

Sada se dogovorimo oko slike pravougaonog koordinatnog sistema na ravni.

Tipično, jedinica mjerenja dužine na osi Ox i Oy se bira da bude ista i iscrtava se od početka na svakoj koordinatnoj osi u pozitivnom smjeru (označeno crticom na koordinatnim osa, a jedinica je napisana pored to), os apscise je usmjerena udesno, a osa ordinata usmjerena je prema gore. Sve ostale opcije za smjer koordinatnih osa svode se na zvučnu (os Ox - desno, Oy osa - gore) rotacijom koordinatnog sistema pod određenim uglom u odnosu na ishodište i gledanjem sa druge strane aviona (ako je potrebno).

Pravougaoni koordinatni sistem se često naziva kartezijanskim, jer ga je prvi put u ravan uveo Rene Descartes. Još češće, pravougaoni koordinatni sistem se naziva pravougaoni Dekartov koordinatni sistem, stavljajući sve zajedno.

Pravougaoni koordinatni sistem u trodimenzionalnom prostoru.

Pravougaoni koordinatni sistem Oxyz postavljen je na sličan način u trodimenzionalnom euklidskom prostoru, samo što se ne uzimaju dve, već tri međusobno okomite prave. Drugim riječima, koordinatnim osama Ox i Oy dodaje se koordinatna osa Oz, koja se naziva axis applicate.

U zavisnosti od smjera koordinatnih osa razlikuju se desni i lijevi pravougaoni koordinatni sistemi u trodimenzionalnom prostoru.

Ako se gleda iz pozitivnog smjera ose Oz i najkraća rotacija iz pozitivnog smjera ose Ox prema pozitivnom smjeru ose Oy odvija se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se koordinatni sistem naziva u pravu.

Ako se gleda iz pozitivnog smjera ose Oz i najkraća rotacija iz pozitivnog smjera ose Ox prema pozitivnom smjeru ose Oy odvija se u smjeru kazaljke na satu, tada se koordinatni sistem naziva lijevo.

Koordinate tačke u kartezijanskom koordinatnom sistemu na ravni.

Prvo, razmotrite koordinatnu pravu Ox i uzmite neku tačku M na njoj.

Svaki realan broj odgovara jednoj tački M na ovoj koordinatnoj liniji. Na primjer, točka koja se nalazi na koordinatnoj liniji na udaljenosti od početka u pozitivnom smjeru odgovara broju , a broj -3 odgovara tački koja se nalazi na udaljenosti od 3 od ishodišta u negativnom smjeru. Broj 0 odgovara početnoj tački.

S druge strane, svaka tačka M na koordinatnoj liniji Ox odgovara realnom broju. Ovaj realni broj je nula ako se tačka M poklapa sa ishodištem (tačka O). Ovaj realni broj je pozitivan i jednak je dužini segmenta OM na datoj skali ako se tačka M udalji od početka u pozitivnom smjeru. Ovaj realni broj je negativan i jednak je dužini odsječka OM sa predznakom minus ako se tačka M ukloni od početka u negativnom smjeru.

Broj je pozvan koordinata tačke M na koordinatnoj liniji.

Sada razmotrite ravan sa uvedenim pravougaonim Kartezijanskim koordinatnim sistemom. Označimo proizvoljnu tačku M na ovoj ravni.

Neka je projekcija tačke M na pravu Ox, a neka je projekcija tačke M na koordinatnu liniju Oy (ako je potrebno, pogledajte članak). Odnosno, ako kroz tačku M povučemo linije okomite na koordinatne ose Ox i Oy, tada su tačke preseka ovih linija sa linijama Ox i Oy tačke i, respektivno.

Neka broj odgovara tački na Ox koordinatnoj osi, a broj tački na Oy osi.

Svaka tačka M ravni u datom pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu odgovara jedinstvenom uređenom paru realnih brojeva, tzv. koordinate tačke M na površini. Koordinata se zove apscisa tačke M, A - ordinata tačke M.

Tačan je i suprotan iskaz: svaki uređeni par realnih brojeva odgovara tački M na ravni u datom koordinatnom sistemu.

Koordinate tačke u pravougaonom koordinatnom sistemu u trodimenzionalnom prostoru.

Pokažimo kako se koordinate tačke M određuju u pravougaonom koordinatnom sistemu definisanom u trodimenzionalnom prostoru.

Neka su i projekcije tačke M na koordinatne ose Ox, Oy i Oz, redom. Neka ove tačke na koordinatnim osama Ox, Oy i Oz odgovaraju realnim brojevima i.

Projekcije tačke M na koordinatne ose mogu se dobiti i konstruisanjem ravni okomitih na prave Ox, Oy i Oz i koje prolaze kroz tačku M. Ove ravni će seći koordinatne prave Ox, Oy i Oz u tačkama i, respektivno.

Svaka tačka u trodimenzionalnom prostoru u datom Dekartovom koordinatnom sistemu odgovara uređenoj trojci realnih brojeva, tzv. koordinate tačke M, pozivaju se brojevi apscisa, ordinate I primijeniti tačke M respektivno. Obrnuta tvrdnja je takođe tačna: svaka uređena trojka realnih brojeva u datom pravougaonom koordinatnom sistemu odgovara tački M u trodimenzionalnom prostoru.

Bibliografija.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. 7 – 9. razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7. razred. Dio 1: udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova.

Određivanje položaja tačke u prostoru

Dakle, položaj tačke u prostoru može se odrediti samo u odnosu na neke druge tačke. Tačka u odnosu na koju se razmatra položaj drugih tačaka se zove referentna tačka . Takođe ćemo koristiti drugo ime za referentnu tačku - osmatračnica . Obično je referentna tačka (ili tačka posmatranja) povezana sa nekim koordinatni sistem , koji se zove referentni sistem. U odabranom referentnom sistemu, pozicija SVAKE tačke je određena sa TRI koordinate.

Desni dekartov (ili pravougaoni) koordinatni sistem

Ovaj koordinatni sistem se sastoji od tri međusobno okomite usmjerene prave, tzv koordinatne ose , koji se sijeku u jednoj tački (početak). Početna tačka se obično označava slovom O.

Koordinatne ose se nazivaju:

1. Osa apscise – označena kao OX;

2. Y osa – označena kao OY;

3. Primjena osa – označena kao OZ

Hajde sada da objasnimo zašto se ovaj koordinatni sistem zove desnoruki. Pogledajmo ravan XOY iz pozitivnog smjera ose OZ, na primjer iz tačke A, kao što je prikazano na slici.

Pretpostavimo da počinjemo da rotiramo osu OX oko tačke O. Dakle - desni koordinatni sistem ima takvo svojstvo da ako pogledate ravan XOY iz bilo koje tačke na pozitivnoj poluosi OZ (za nas je ovo tačka A) , tada, kada okrenete os OX za 90 u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, njen pozitivni smjer će se poklopiti s pozitivnim smjerom ose OY.

Ova odluka je donesena u naučni svet, samo ga moramo prihvatiti onakvog kakav jeste.

Dakle, nakon što smo se odlučili za referentni sistem (u našem slučaju, desni Dekartov koordinatni sistem), položaj bilo koje tačke opisuje se kroz vrijednosti njenih koordinata ili, drugim riječima, kroz vrijednosti projekcija ove tačke na koordinatne ose.

Piše se ovako: A(x, y, z), gdje su x, y, z koordinate tačke A.

Pravougaoni koordinatni sistem se može zamisliti kao linije preseka tri međusobno okomite ravni.

Treba napomenuti da pravougaoni koordinatni sistem možete orijentisati u prostoru na bilo koji način, a mora biti ispunjen samo jedan uslov - ishodište koordinata mora da se poklapa sa referentnim centrom (ili tačkom posmatranja).

Sferni koordinatni sistem

Položaj tačke u prostoru može se opisati i na drugi način. Pretpostavimo da smo odabrali oblast prostora u kojoj se nalazi referentna tačka O (ili tačka posmatranja), a znamo i udaljenost od referentne tačke do određene tačke A. Povežimo ove dve tačke pravom linijom OA . Ova linija se zove radijus vektor i označava se kao r. Sve tačke koje imaju istu vrijednost vektora radijusa leže na sferi čiji je centar u referentnoj tački (ili tački posmatranja), a poluprečnik ove sfere jednak je radijus vektoru.

Stoga nam postaje očigledno da nam poznavanje vrijednosti radijus vektora ne daje nedvosmislen odgovor o poziciji tačke koja nas zanima. Potrebne su vam još DVE koordinate, jer da biste nedvosmisleno odredili lokaciju tačke, broj koordinata mora biti TRI.

Zatim ćemo postupiti na sljedeći način - konstruirati ćemo dvije međusobno okomite ravni, koje će, naravno, dati liniju presjeka, a ova linija će biti beskonačna, jer same ravnine nisu ničim ograničene. Postavimo tačku na ovoj liniji i označimo je, na primjer, kao tačku O1. Hajde sada da spojimo ovu tačku O1 sa centrom sfere – tačkom O i vidimo šta će se desiti?

I ispada vrlo zanimljiva slika:

· I jedan i drugi avion će biti centralno avioni.

· Presek ovih ravni sa površinom sfere je označen sa veliki krugovima

· Jedan od ovih krugova - proizvoljno, nazvat ćemo EQUATOR, tada će drugi krug biti pozvan GLAVNI MERIDIJAN.

· Linija preseka dve ravni će jednoznačno odrediti pravac LINIJE GLAVNOG MERIDIJANA.

Točke preseka linije glavnog meridijana sa površinom sfere označavamo kao M1 i M2

Kroz centar sfere, tačku O u ravni glavnog meridijana, povlačimo pravu liniju okomitu na liniju glavnog meridijana. Ova prava linija se zove POLAR AXIS .

Polarna os će preseći površinu sfere u dve tačke tzv POLOVI SFERE. Označimo ove tačke kao P1 i P2.

Određivanje koordinata tačke u prostoru

Sada ćemo razmotriti proces određivanja koordinata točke u prostoru, a također ćemo dati imena tim koordinatama. Da bismo upotpunili sliku, prilikom određivanja položaja tačke, ukazujemo na glavne pravce iz kojih se broje koordinate, kao i pozitivan pravac pri brojanju.

1. Postavite poziciju u prostoru referentne tačke (ili tačke posmatranja). Označimo ovu tačku slovom O.

2. Konstruirajte sferu čiji je radijus jednak dužini radijus vektora tačke A. (Poluprečnik vektora tačke A je rastojanje između tačaka O i A). Centar sfere nalazi se u referentnoj tački O.

3. Postavljamo poziciju u prostoru ravni EQUATOR, a shodno tome i ravni GLAVNOG MERIDIJANA. Treba podsjetiti da su ove ravni međusobno okomite i da su centralne.

4. Ukrštanje ovih ravnina sa površinom sfere određuje za nas položaj kruga ekvatora, kružnice glavnog meridijana, kao i pravac linije glavnog meridijana i polarne ose.

5. Odrediti položaj polova polarne ose i polova glavne meridijanske linije. (Polovi polarne ose su tačke preseka polarne ose sa površinom sfere. Polovi linije glavnog meridijana su tačke preseka linije glavnog meridijana sa površinom sfere ).

6. Kroz tačku A i polarnu osu konstruišemo ravan, koju ćemo nazvati ravan meridijana tačke A. Kada se ova ravan preseca sa površinom sfere, dobiće se veliki krug koji ćemo nazvati MERIDIJAN tačke A.

7. Meridijan tačke A će u nekoj tački preseći kružnicu Ekvatora, koju ćemo označiti kao E1

8. Položaj tačke E1 na ekvatorijalnoj kružnici određen je dužinom luka zatvorenog između tačaka M1 i E1. Odbrojavanje je COUNTER kazaljke na satu. Luk ekvatorijalne kružnice zatvoren između tačaka M1 i E1 naziva se DUŽINA tačke A. Geografska dužina se označava slovom  .

Hajde da sumiramo međurezultate. Trenutno znamo DVIJE od TRI koordinate koje opisuju položaj tačke A u prostoru - ovo je vektor radijusa (r) i geografska dužina (). Sada ćemo odrediti treću koordinatu. Ova koordinata je određena položajem tačke A na njenom meridijanu. Ali pozicija početne tačke sa koje se odvija brojanje nije jasno definisana: računanje možemo početi i od pola sfere (tačka P1) i od tačke E1, odnosno od tačke preseka meridijanskih linija tačke A i ekvatora (ili drugim rečima - od linije ekvatora).

U prvom slučaju, položaj tačke A na meridijanu naziva se POLARNA UDALJENOST (označena kao R) i određuje se dužinom luka zatvorenog između tačke P1 (ili polne tačke sfere) i tačke A. Brojanje se vrši duž meridijanske linije od tačke P1 do tačke A.

U drugom slučaju, kada je odbrojavanje od linije ekvatora, položaj tačke A na meridijanskoj liniji naziva se LATITUDA (označena kao   i određen je dužinom luka zatvorenog između tačke E1 i tačke A.

Sada konačno možemo reći da je položaj tačke A u sfernom koordinatnom sistemu određen:

· dužina poluprečnika sfere (r),

dužina luka geografske dužine (),

dužina luka polarnog rastojanja (p)

U ovom slučaju, koordinate tačke A biće zapisane na sledeći način: A(r, , p)

Ako koristimo drugačiji referentni sistem, tada se pozicija tačke A u sfernom koordinatnom sistemu određuje kroz:

· dužina poluprečnika sfere (r),

dužina luka geografske dužine (),

· dužina luka geografske širine ()

U ovom slučaju, koordinate tačke A biće zapisane na sledeći način: A(r, , )

Metode za mjerenje lukova

Postavlja se pitanje - kako mjeriti ove lukove? Najjednostavniji i najprirodniji način je direktno izmjeriti duljine lukova fleksibilnim ravnalom, a to je moguće ako je veličina kugle usporediva s veličinom osobe. Ali šta učiniti ako ovaj uslov nije ispunjen?

U ovom slučaju ćemo pribjeći mjerenju RELATIVNE dužine luka. Uzet ćemo obim kao standard, dio koji je luk koji nas zanima. Kako to mogu učiniti?

Koordinatni sistem- način specificiranja tačaka u prostoru pomoću brojeva. Broj brojeva potrebnih za jedinstveno određivanje bilo koje tačke u prostoru određuje njenu dimenziju. Obavezni element koordinatnog sistema je porijeklo- tačka od koje se računaju udaljenosti. Drugi potrebni element je jedinica dužine, koja vam omogućava mjerenje udaljenosti. Sve tačke jednodimenzionalnog prostora mogu se specificirati sa odabranim ishodištem pomoću jednog broja. Za dvodimenzionalni prostor potrebna su dva broja, za trodimenzionalni prostor tri. Ovi brojevi se zovu koordinate.

1. Istorija

Razvoj koordinatnih sistema u istoriji čovečanstva povezan je i sa matematičkim problemima i sa praktičnim problemima u umetnosti navigacije, zasnovanoj na kartografiji i astronomiji. Poznati sistem koordinate, pravougaone, predložio je Rene Descartes godine. Koncept polarnog koordinatnog sistema u evropskoj matematici razvio se oko tog vremena, ali prve ideje o njemu postojale su u staroj Grčkoj, kod srednjovekovnih arapskih matematičara koji su razvili metode za izračunavanje pravca Kabe.

Pojava koncepta koordinatnih sistema dovela je do razvoja novih sekcija geometrije: analitičkog, projektivnog, deskriptivnog.

2. Dekartov koordinatni sistem

Najčešći koordinatni sistem u matematici je Kartezijanski koordinatni sistem, nazvan po René Descartesu. Kartezijanski koordinatni sistem je određen ishodištem i tri vektora koji određuju smjer koordinatnih osa. Svaka tačka u prostoru je određena brojevima koji odgovaraju udaljenosti od ove tačke do koordinatne ravni.

Koordinate kartezijanskog sistema na udubini obično se označavaju sa In space.

Različiti Kartezijanski koordinatni sistemi su međusobno povezani afinim transformacijama: pomakom i rotacijom.

3. Krivolinijski koordinatni sistemi

Na osnovu kartezijanskog koordinatnog sistema moguće je definisati krivolinijski koordinatni sistem, to jest, na primer, za trodimenzionalni prostor brojeva povezan sa kartezijanskim koordinatama:

gdje su sve funkcije jednovrijedne i kontinuirano diferencirane, a Jakobijan je:

Primjer krivolinijskog koordinatnog sistema na ravni je polarni koordinatni sistem, u kojem je položaj tačke određen sa dva broja: rastojanjem između tačke i ishodišta i uglom između zraka koji povezuje ishodište sa tačku i odabranu os. Kartezijanske i polarne koordinate tačke povezane su jedna s drugom formulama:

Za trodimenzionalni prostor popularni su cilindrični i sferni koordinatni sistemi. Dakle, položaj aviona u svemiru može se odrediti sa tri broja: visinom, rastojanjem do tačke na površini Zemlje preko koje leti i uglom između pravca prema avionu i pravca prema severu. Ovaj zadatak odgovara cilindričnom koordinatnom sistemu.Alternativno, položaj aviona se može odrediti rastojanjem do njega i dva ugla: polarni i azimutni. Ovaj zadatak odgovara sfernom koordinatnom sistemu.

Raznolikost koordinatnih sistema nije ograničena na navedene. Postoji mnogo krivolinijskih koordinatnih sistema koji su pogodni za korištenje pri rješavanju jednog ili drugog matematički problem.

3.1. Svojstva

Svaka od jednačina specificira koordinatna ravan. Presek dviju koordinatnih ravni sa različitim i setovi koordinatna linija. Svaka tačka u prostoru je definisana presekom tri koordinatne ravni.

Važne karakteristike krivolinijskih koordinatnih sistema su dužina elementa luka i element zapremine u njima. Ove količine se koriste u integraciji. Dužina elementa luka je data kvadratnim oblikom:

One su komponente metričkog tenzora.

Element zapremine je jednak u krivolinijskom koordinatnom sistemu

Kvadrat Jakobijana jednak je determinanti metričkog tenzora:

Koordinatni sistem se zove u redu, ako dodiruju koordinatne linije, usmjerene su u smjeru rasta odgovarajućih koordinata, formiraju desnu trojku vektora.

Prilikom opisivanja vektora u krivolinijskom koordinatnom sistemu, zgodno je koristiti lokalnu bazu definiranu u svakoj tački.

4. U geografiji

6. U fizici

Da bi opisali kretanje fizičkih tijela, fizika koristi koncept