Gradijent magnitude. Funkcija gradijenta

Iz školskog predmeta matematike znamo da je vektor na ravni usmjereni segment. Njegov početak i kraj imaju dvije koordinate. Vektorske koordinate se izračunavaju oduzimanjem početnih koordinata od krajnjih koordinata.

Koncept vektora se može proširiti na n-dimenzionalni prostor (umjesto dvije koordinate biće n koordinata).

Gradijent gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) je vektor parcijalnih izvoda funkcije u tački, tj. vektor sa koordinatama.

Može se dokazati da gradijent funkcije karakteriše pravac najbržeg rasta nivoa funkcije u tački.

Na primjer, za funkciju z = 2x 1 + x 2 (vidi sliku 5.8), gradijent u bilo kojoj tački će imati koordinate (2; 1). Možete ga konstruisati na ravni na različite načine, uzimajući bilo koju tačku kao početak vektora. Na primjer, možete povezati tačku (0; 0) sa tačkom (2; 1) ili tačku (1; 0) sa tačkom (3; 1) ili tačku (0; 3) sa tačkom (2; 4), ili tako dalje..P. (Vidi sliku 5.8). Svi vektori konstruisani na ovaj način imaće koordinate (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Sa slike 5.8 se jasno vidi da nivo funkcije raste u pravcu gradijenta, budući da konstruisane linije nivoa odgovaraju vrednostima nivoa 4 > 3 > 2.

Slika 5.8 - Gradijent funkcije z= 2x 1 + x 2

Razmotrimo još jedan primjer - funkciju z = 1/(x 1 x 2). Gradijent ove funkcije više neće biti uvijek isti u različitim tačkama, jer su njene koordinate određene formulama (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

Slika 5.9 prikazuje linije nivoa funkcije z = 1/(x 1 x 2) za nivoe 2 i 10 (prava linija 1/(x 1 x 2) = 2 je označena isprekidanom linijom, a prava linija 1/( x 1 x 2) = 10 je puna linija).

Slika 5.9 - Gradijent funkcije z= 1/(x 1 x 2) u različitim tačkama

Uzmite, na primjer, tačku (0,5; 1) i izračunajte gradijent u ovoj tački: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Imajte na umu da tačka (0,5; 1) leži na liniji nivoa 1/(x 1 x 2) = 2, jer je z=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Da nacrtate vektor ( -4; -2) na slici 5.9 povežite tačku (0,5; 1) sa tačkom (-3,5; -1), jer (-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Uzmimo još jednu tačku na istoj ravni, na primjer, tačku (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Izračunajmo gradijent u ovoj tački (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Da bismo to prikazali na slici 5.9, povezujemo tačku (1; 0,5) sa tačkom (-1; -3,5), jer (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Uzmimo drugu tačku na istoj ravni, ali samo sada u nepozitivnoj koordinatnoj četvrtini. Na primjer, tačka (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradijent u ovoj tački će biti jednak (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Oslikajmo to na slici 5.9 spajanjem tačke (-0,5; -1) sa tačkom (3,5; 1), jer (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Treba napomenuti da u sva tri razmatrana slučaja gradijent pokazuje smjer rasta nivoa funkcije (prema liniji nivoa 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Može se dokazati da je gradijent uvijek okomit na liniju nivoa (površinu nivoa) koja prolazi kroz datu tačku.

Ekstremi funkcije nekoliko varijabli

Hajde da definišemo koncept ekstrem za funkciju mnogih varijabli.

Funkcija mnogih varijabli f(X) ima u tački X (0) maksimum (minimum), ako postoji okolina ove tačke takva da su za sve tačke X iz ove okoline zadovoljene nejednakosti f(X)f(X (0)) ().

Ako su ove nejednakosti zadovoljene kao stroge, onda se naziva ekstremum jaka, a ako ne, onda slab.

Imajte na umu da je ekstremum definisan na ovaj način lokalni karaktera, jer su ove nejednakosti zadovoljene samo za određenu okolinu tačke ekstrema.

Neophodan uslov za lokalni ekstrem diferencijabilne funkcije z=f(x 1, . . ., x n) u tački je jednakost sa nulom svih parcijalnih izvoda prvog reda u ovoj tački:
.

Tačke u kojima ove jednakosti vrijede nazivaju se stacionarno.

Na drugi način, neophodan uslov za ekstrem se može formulisati na sledeći način: u tački ekstrema, gradijent je nula. Može se dokazati i opštija tvrdnja: u tački ekstrema derivacije funkcije u svim smjerovima nestaju.

Stacionarne tačke treba podvrgnuti dodatnom istraživanju kako bi se utvrdilo da li su ispunjeni dovoljni uslovi za postojanje lokalnog ekstremuma. Da biste to učinili, odredite predznak diferencijala drugog reda. Ako je za bilo koji , koji nije istovremeno jednak nuli, uvijek negativan (pozitivan), tada funkcija ima maksimum (minimum). Ako može ići na nulu ne samo sa nultim inkrementima, onda pitanje ekstrema ostaje otvoreno. Ako može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti, onda nema ekstrema u stacionarnoj tački.

U opštem slučaju, određivanje predznaka diferencijala je prilično složen problem, koji ovde nećemo razmatrati. Za funkciju dvije varijable, može se dokazati da je u stacionarnoj tački
, tada je prisutan ekstremum. U ovom slučaju, znak drugog diferencijala poklapa se sa predznakom
, tj. Ako
, onda je ovo maksimum, a ako
, onda je ovo minimum. Ako
, tada u ovom trenutku ne postoji ekstremum, i ako
, onda pitanje ekstremuma ostaje otvoreno.

Primjer 1. Pronađite ekstreme funkcije
.

Nađimo parcijalne izvode koristeći metodu logaritamske diferencijacije.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

Isto tako
.

Nađimo stacionarne tačke iz sistema jednačina:

Tako su pronađene četiri stacionarne tačke (1; 1), (1; -1), (-1; 1) i (-1; -1).

Nađimo parcijalne izvode drugog reda:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Isto tako
;
.

Jer
, znak izraza
zavisi samo od
. Imajte na umu da je u oba ova izvoda imenilac uvijek pozitivan, tako da možete uzeti u obzir samo predznak brojioca, ili čak znak izraza x(x 2 – 3) i y(y 2 – 3). Hajde da ga definišemo u svakoj kritičnoj tački i proverimo da li je ispunjen dovoljan uslov za ekstrem.

Za tačku (1; 1) dobijamo 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух negativni brojevi
> 0, i
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Za tačku (1; -1) dobijamo 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Jer proizvod ovih brojeva
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Za tačku (-1; -1) dobijamo (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Jer proizvod dva pozitivna broja
> 0, i
> 0, u tački (-1; -1) se može naći minimum. Jednako je 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

Nađi globalno maksimum ili minimum (najveća ili najmanja vrijednost funkcije) je nešto složeniji od lokalnog ekstremuma, jer se te vrijednosti mogu postići ne samo u stacionarnim točkama, već i na granici domene definicije. Nije uvijek lako proučavati ponašanje funkcije na granici ovog područja.

Neki pojmovi i termini se koriste u čisto uskim okvirima, dok se druge definicije nalaze u područjima koja su oštro suprotstavljena. Na primjer, koncept "gradijent" koriste fizičar, matematičar i maniker ili stručnjak za Photoshop. Šta je gradijent kao koncept? Hajde da to shvatimo.

Šta kažu rječnici?

Šta je "gradijent" posebno predmetni rječnici tumačiti u odnosu na njihove specifičnosti. Prevedeno sa latinski jezik ova riječ znači "onaj koji ide, raste". Wikipedia ovaj koncept definira kao "vektor koji pokazuje smjer povećanja količine." IN objašnjavajući rječnici značenje ove riječi vidimo kao “promjenu bilo koje količine za jednu vrijednost”. Koncept može imati i kvantitativno i kvalitativno značenje.

Ukratko, to je glatka postepena tranzicija bilo koje vrijednosti za jednu vrijednost, progresivna i kontinuirana promjena količine ili smjera. Vektor izračunavaju matematičari i meteorolozi. Ovaj koncept se koristi u astronomiji, medicini, umjetnosti i kompjuterskoj grafici. Sličan pojam definira potpuno različite vrste aktivnosti.

Matematičke funkcije

Koliki je gradijent funkcije u matematici? Ovo ukazuje na smjer rasta funkcije u skalarnom polju od jedne vrijednosti do druge. Veličina gradijenta se izračunava pomoću parcijalnih izvoda. Da bi se odredio najbrži smjer rasta funkcije, na grafu se biraju dvije točke. Oni definiraju početak i kraj vektora. Brzina kojom vrijednost raste od jedne tačke do druge je veličina gradijenta. Matematičke funkcije, na osnovu izračunavanja ovog indikatora, koriste se u vektorskoj kompjuterskoj grafici, čiji su objekti grafičke slike matematičkih objekata.

Šta je gradijent u fizici?

Koncept gradijenta je uobičajen u mnogim granama fizike: gradijent optike, temperature, brzine, pritiska itd. U ovoj grani, koncept označava meru povećanja ili smanjenja vrednosti za jedan. Izračunava se proračunima kao razlika između dva indikatora. Pogledajmo neke od vrijednosti detaljnije.

Šta je potencijalni gradijent? Pri radu sa elektrostatičkim poljem određuju se dvije karakteristike: napetost (sila) i potencijal (energija). Ove različite količine su povezane sa životnom sredinom. I iako definiraju različite karakteristike, one i dalje imaju veze jedna s drugom.

Za određivanje jačine polja sile koristi se gradijent potencijala - vrijednost koja određuje brzinu promjene potencijala u smjeru linije sile. Kako izračunati? Potencijalna razlika između dvije tačke električno polje izračunava se iz poznatog napona koristeći vektor napona, koji je jednak gradijentu potencijala.

Termini meteorologa i geografa

Po prvi put su meteorolozi koristili koncept gradijenta za određivanje promjena u veličini i smjeru različitih meteoroloških indikatora: temperature, pritiska, brzine i jačine vjetra. To je mjera kvantitativnih promjena u različitim količinama. Maxwell je taj termin uveo u matematiku mnogo kasnije. U određivanju vremenskih uslova postoje koncepti vertikalnih i horizontalnih nagiba. Pogledajmo ih pobliže.

Šta je vertikalni temperaturni gradijent? Ovo je vrijednost koja pokazuje promjenu indikatora, izračunatu na visini od 100 m. Može biti pozitivna ili negativna, za razliku od horizontalne, koja je uvijek pozitivna.

Gradijent pokazuje veličinu ili ugao nagiba na tlu. Izračunava se kao omjer visine i dužine projekcije staze u određenoj dionici. Izraženo u procentima.

Medicinski indikatori

Definicija “temperaturnog gradijenta” se također može naći među medicinskim terminima. Prikazuje razliku u odgovarajućim indikatorima unutrašnje organe i površine tijela. U biologiji, fiziološki gradijent bilježi promjene u fiziologiji bilo kojeg organa ili organizma u cjelini u bilo kojoj fazi njegovog razvoja. U medicini metabolički indikator je intenzitet metabolizma.

Ne samo fizičari, već i doktori koriste ovaj termin u svom radu. Šta je gradijent pritiska u kardiologiji? Ovaj koncept definira razliku u krvnom tlaku u svim međusobno povezanim dijelovima kardiovaskularnog sistema.

Opadajući gradijent automatizma pokazatelj je smanjenja frekvencije ekscitacije srca u smjeru od njegove baze prema vrhu, koje se događa automatski. Pored toga, kardiolozi identifikuju lokaciju arterijskog oštećenja i njegov stepen praćenjem razlike u amplitudama sistolnih talasa. Drugim riječima, koristeći gradijent amplitude impulsa.

Šta je gradijent brzine?

Kada govore o brzini promjene određene veličine, pod tim podrazumijevaju brzinu promjene u vremenu i prostoru. Drugim riječima, gradijent brzine određuje promjenu prostornih koordinata u odnosu na vremenske indikatore. Ovaj pokazatelj izračunavaju meteorolozi, astronomi i hemičari. Gradijent brzine smicanja tečnih slojeva se određuje u industriji nafte i gasa kako bi se izračunala brzina podizanja tečnosti kroz cev. Ovaj pokazatelj tektonskih kretanja područje je proračuna seizmologa.

Ekonomske funkcije

Ekonomisti naširoko koriste koncept gradijenta kako bi potkrijepili važne teorijske zaključke. Kada se rješavaju problemi potrošača, koristi se funkcija korisnosti koja pomaže u predstavljanju preferencija iz skupa alternativa. "Funkcija budžetskog ograničenja" je termin koji se koristi za označavanje skupa potrošačkih paketa. Gradijent u ovoj oblasti se koristi za izračunavanje optimalne potrošnje.

Gradijent boje

Izraz "gradijent" poznat je kreativnim ljudima. Iako su daleko od egzaktnih nauka. Šta je gradijent za dizajnera? Budući da se u egzaktnim naukama radi o postepenom povećanju vrijednosti za jedan, tako u boji ovaj pokazatelj označava glatki, produženi prijelaz nijansi iste boje iz svjetlije u tamniju, ili obrnuto. Umjetnici ovaj proces nazivaju "rastezanjem". Također je moguće prebaciti se na različite prateće boje u istom rasponu.

Gradijentni nizovi nijansi u sobama za slikanje zauzeli su jaku poziciju među tehnikama dizajna. Novomodni ombre stil - glatki protok nijanse od svijetle do tamne, od svijetle do blijede - efektivno transformira svaku prostoriju u domu ili uredu.

Optičari koriste posebne leće u sunčanim naočalama. Šta je gradijent u naočarima? Ovo je pravljenje sočiva na poseban način, kada se od vrha do dna boja mijenja iz tamnije u svjetliju nijansu. Proizvodi napravljeni ovom tehnologijom štite oči od sunčevog zračenja i omogućavaju vam da vidite objekte čak i pri vrlo jakom svjetlu.

Boja u web dizajnu

Oni koji se bave web dizajnom i kompjuterskom grafikom dobro su svjesni univerzalnog alata "gradijent", koji se može koristiti za stvaranje širokog spektra efekata. Prijelazi boja se pretvaraju u naglaske, bizarnu pozadinu i trodimenzionalnost. Manipuliranje nijansama i stvaranje svjetla i sjene daje volumen vektorskim objektima. U ove svrhe koristi se nekoliko vrsta gradijenata:

• Linearno.
• Radijalno.
• Konusnog oblika.
• Ogledalo.
• U obliku dijamanta.
• Gradijent buke.

Gradient beauty

Za posjetitelje kozmetičkih salona, ​​pitanje šta je gradijent neće biti iznenađenje. Istina, ni u ovom slučaju nije potrebno poznavanje matematičkih zakona i osnova fizike. Još uvijek govorimo o prijelazima boja. Objekti gradijenta su kosa i nokti. Tehnika ombre, što na francuskom znači "ton", u modu je ušla od ljubitelja sporta, surfanja i drugih aktivnosti na plaži. Prirodno izbijeljena i ponovo izrasla kosa postala je hit. Modne su počele posebno bojati kosu s jedva primjetnim prijelazom nijansi.

Ombre tehnika nije prošla ni pored salona za nokte. Gradijent na noktima stvara boju uz postepeno posvjetljivanje ploče od korijena do ruba. Majstori nude horizontalne, vertikalne, s prijelazom i druge sorte.

Ručni rad

Rukarice su upoznate s konceptom "gradijenta" s još jedne strane. Slična tehnika se koristi za izradu ručno rađenih predmeta u decoupage stilu. Na taj način nastaju nove starinske stvari ili se obnavljaju stare: komode, stolice, komode itd. Decoupage uključuje primjenu uzorka pomoću šablone, čija je osnova gradijent boje kao pozadina.

Umjetnici tkanina su usvojili ovu metodu bojenja za nove modele. Haljine s gradijentom boja osvojile su modne piste. Modu su pokupile igličarke - pletilje. Pleteni predmeti s glatkim prijelazom boja su popularni.

Da rezimiramo definiciju "gradijenta", možemo reći o vrlo širokom području ljudske aktivnosti u kojem ovaj pojam ima mjesto. Zamjena sinonimom "vektor" nije uvijek prikladna, jer je vektor još uvijek funkcionalan, prostorni koncept. Ono što definiše opštost koncepta je postepena promena određene količine, supstance, fizičkog parametra za jednu u određenom periodu. U boji je glatki prijelaz tonova.

Rekla je da su ruke vizit karta djevojke. I bila je potpuno u pravu. Ne možete biti moderni i spektakularni bez odgovarajuće manikure, posebno u naše vrijeme. Ženski časopisi za ljepotu puni su inovacija i oduševljavaju svojim novim proizvodima. Sve fashionistice znaju šta je gradijent. Najnoviji trendovi diktiraju svoja pravila u shemama boja. Sve više jarkih boja i svih vrsta interpretacija prisutno je u manikiru dama.

Koncept gradijenta manikure

Moglo bi se reći da je ovo prijelaz iz jedne boje u drugu - to je gradijent na noktima. Tehnika miješanja vam omogućava da postignete nevjerovatne boje. Uz glatku i preciznu izvedbu, jasno je vidljiv zamagljeni segment novoformirane nijanse. Kao da se pojavila sjena (ombre na francuskom, drugo ime za gradijent). Prelepo je i neobično. Ponekad je teško odabrati boju laka za nokte koja odgovara vašem odabranom stilu odjeće. Tehnika nanošenja laka na nokatnu ploču u stilu gradijenta dobro je rješenje problema. Jedinstvena je po tome što se možete igrati kontrastnom paletom boja.

Glavne vrste gradijenta

Imajući ideju o tome šta je gradijent, trebali biste se zadržati na njegovim vrstama. Ima ih ogroman broj, a svaki dan se pojavljuju novi. Glavni:

Moderan gradijent dizajn

Majstorovoj kreativnosti treba dodati ne samo sposobnost kombiniranja različitih nijansi boja, već i nanošenje određenog dizajna na nokte. Gradijent je odlična prilika da pokažete svoju maštu. Trebali biste se pridržavati umjerenosti i biti svjesni najnovijih inovacija u umjetnosti manikira. Trend modnog dizajna pozdravlja pastelne boje. Ovo je win-win opcija koja odgovara svim prilikama. Izgledat će harmonično s bilo kojim stilom odjeće.

U praksi stručnjaci također koriste različita sredstva i metode za ukrašavanje. Crtanje dizajna na jednom ili svim noktima uvijek je relevantno. Upotreba kamenčića i šljokica dat će efekt svečanosti i elegancije.

Iskusni majstori znaju šta je gradijent u modernoj interpretaciji. Zahvaljujući ovoj metodi, žene su individualne i jedinstvene. Moderni gradijent može se raditi ne samo u salonima, već i kod kuće. Želja da bude lepa nema granica.