Njihovo svedočenje je bilo u suprotnosti, i svako od njih... Silogizmi Jednog dana, istražitelj je morao istovremeno ispitati tri svjedoka: Claudea, Jacquesa i Dicka. Njihovo svjedočenje je bilo u suprotnosti jedno s drugim, a svaka od opcija je bila preferirana

Možemo razlikovati sljedeći niz koraka u rješavanju logičkih problema.

1. Odaberite elementarne (jednostavne) iskaze iz iskaza problema i označite ih slovima.

2. Zapišite uslov zadatka jezikom logičke algebre, povežite jednostavne iskaze u složene koristeći logičke operacije.

3. Kreirajte jedan logički izraz za zahtjeve zadatka.

4. Koristeći zakone logičke algebre, pokušajte pojednostaviti rezultirajući izraz i izračunati sve njegove vrijednosti ili konstruirati tablicu istinitosti za dotični izraz.

5. Odaberite rješenje – skup vrijednosti jednostavne izjave u kojima je konstruisani logički izraz istinit.

6. Provjerite da li rezultirajuće rješenje zadovoljava uslove problema.

primjer:

Zadatak 1:“Pokušavajući da se prisjete pobjednika prošlogodišnjeg turnira, petorica bivših gledalaca turnira izjavila su:

1. Anton je bio drugi, a Boris peti.

2. Viktor je bio drugi, a Denis treći.

3. Grgur je bio prvi, a Boris treći.

4. Anton je bio treći, a Evgenij šesti.

5. Viktor je bio treći, a Evgenij četvrti.

Nakon toga se ispostavilo da je svaki gledalac pogriješio u jednoj od svoje dvije izjave. Kakva je bila prava raspodjela mjesta na turniru?

1) Označimo prvim slovom u imenu učesnika turnira, a, broj mjesta koje ima, tj. imamo .

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Jedan logički izraz za sve zahtjeve zadatka: .

4) U formuli L mi ćemo sprovesti ekvivalentne transformacije, dobijamo: .

5) Iz tačke 4. slijedi: , , , , .

6) Raspodela mesta na turniru: Anton je bio treći, Boris peti, Viktor drugi, Grigorij prvi, a Evgenij četvrti.

Zadatak 2:“Ivanov, Petrov, Sidorov pojavili su se pred sudom pod optužbom za pljačku. Istragom je utvrđeno:

1. ako Ivanov nije kriv ili je kriv Petrov, onda je kriv Sidorov;

2. ako Ivanov nije kriv, onda Sidorov nije kriv.

Da li je Ivanov kriv?

1) Razmotrite izjave:

A: “Ivanov je kriv”, IN: "Petrov je kriv" WITH: "Sidorov je kriv."

2) Činjenice utvrđene istragom: , .

3) Jedan logički izraz: . Istina je.

Hajde da napravimo tabelu istine za to.

A	IN	WITH	L

Rješavanje problema znači naznačiti pri kojim vrijednostima A je tačan rezultirajući kompleksni iskaz L. Ako , a , onda istraga nema dovoljno činjenica da optuži Ivanova za zločin. Analiza tabele pokazuje i, tj. Ivanov je kriv za pljačku.

Pitanja i zadaci.

1. Sastavite RKS za formule:

2. Pojednostavite RKS:

3. Koristeći ovo sklopno kolo, konstruirajte odgovarajuću logičku formulu.

4. Provjerite ekvivalentnost RKS-a:

5. Konstruišite kolo od tri prekidača i sijalice tako da sijalica svetli samo kada su tačno dva prekidača u položaju „uključeno“.

6. Koristeći ovu tablicu provodljivosti, konstruirajte kolo funkcionalnih elemenata sa tri ulaza i jednim izlazom, implementirajući formulu.

x	y	z	F

7. Analizirajte dijagram prikazan na slici i zapišite formulu za funkciju F.

8. Problem: „Jednom je istražitelj morao istovremeno ispitivati tri svjedoka: Claudea, Jacquesa, Dicka. Njihovi iskazi su bili u suprotnosti, a svaki od njih je nekoga optužio da laže.

1) Claude je tvrdio da Jacques laže.

2) Jacques je optužio Dicka da laže.

3) Dick je pokušao uvjeriti istražitelja da ne vjeruje ni Claudeu ni Jacquesu.

Ali istražitelj ih je brzo iznio na vidjelo, a da im nije postavio ni jedno pitanje. Koji svjedok je govorio istinu?

9. Odredite koji je od četiri studenta položio ispit ako se zna da:

1) Ako prođe prva, prođe i druga.

2) Ako je drugi prošao, onda je prošao treći ili prvi nije prošao.

3) Ako četvrti nije prošao, onda je prošao prvi, a treći nije prošao.

4) Ako prođe četvrti, prođe i prvi.

10. Na pitanje ko je od tri studenta studirao logiku, dobijen je odgovor: ako je učio prvi, onda je učio i treći, ali nije tačno da ako je učio drugi, onda je učio i treći. Ko je studirao logiku?

. 18 godina.

Rješenje

Prvi način . Na osnovu uslova problema možete kreirati jednačinu. Neka Dimina starost bude x godina, tada je starost sestre x/3, a starost brata x/2; (x + x/3 + x/2):3=11. Nakon rješavanja ove jednačine nalazimo da je x=18. Dima je napunio 18 godina. Bilo bi korisno dati malo drugačije rješenje, "u dijelovima".

Drugi način . Ako je starost Dime, njegovog brata i sestre prikazana segmentima, onda se „Dimin segment“ sastoji od dva „segmenta brata“ ili tri „sestrinska segmenta“. Zatim, ako se Dimina starost podijeli na 6 dijelova, tada je starost sestre dva takva dijela, a starost brata tri takva dijela. Tada je zbir njihovih godina 11 takvih dijelova. S druge strane, ako prosečne starosti je 11 godina, onda je zbir starosti 33 godine. Iz toga proizilazi da su u jednom dijelu tri godine. To znači da Dima ima 18 godina.

Kriterijumi verifikacije .

Potpuno ispravno rešenje - 7 bodova.

Jednačina je ispravno sastavljena, ali su napravljene greške u rješenju - 3 bodova .

Dat je tačan odgovor i provjera je završena - 2 bodova .

0 bodova .

Odgovori . Sam Grey.

Rješenje .

Iz uslova problema jasno je da su izjave svakog od svjedoka date u odnosu na izjave druga dva svjedoka. Razmotrite izjavu Boba Blacka. Ako je ono što on kaže istina, onda Sam Gray i John White lažu. Ali činjenica da John White laže znači da nisu sva svjedočenja Sama Graya potpuna laž. A to je u suprotnosti sa riječima Boba Blacka, kojem mi odlučujemo vjerovati i koji tvrdi da Sam Gray laže. Dakle, ono što je Bob Black rekao ne može biti istina. To znači da je lagao i moramo prihvatiti riječi Sama Graya kao istinite, a samim tim i izjave Johna Whitea kao laž. Odgovor: Sem Grej nije lagao.

Kriterijumi verifikacije .

Daje se kompletna tačna analiza problemske situacije i daje tačan odgovor - 7 bodova .

Daje se kompletna tačna analiza situacije, ali se iz nekog razloga daje netačan odgovor (npr. umjesto ko NIJE lagao, u odgovoru se navode oni koji su lagali) – 6 bodova .

Daje se tačna analiza situacije, ali iz nekog razloga nije dat tačan odgovor (na primjer, dokazano je da je Bob Black lagao, ali se daljnji zaključci ne donose) – 4 bodova .

Dat je tačan odgovor i pokazano je da on zadovoljava uslove zadatka (provjereno), ali nije dokazano da je odgovor jedini - 3 bodova .

1 tačka .

0 bodova .

Odgovori . Jedan broj 175.

Rješenje . Prvi način . Cifre koje se koriste za pisanje broja ne sadrže broj 0, inače se ne može ispuniti uslov zadatka. Ovaj trocifreni broj dobije se množenjem proizvoda njegovih cifara sa 5, dakle, djeljiv je sa 5. To znači da se njegov zapis završava brojem 5. Dobijamo da proizvod cifara pomnožen sa 5 mora biti djeljiv sa 25. Imajte na umu da u zapisu broja ne postoje parne cifre, inače bi proizvod cifara bio jednak nuli. Dakle, trocifreni broj mora biti djeljiv sa 25 i ne mora sadržavati parne cifre. Postoji samo pet takvih brojeva: 175, 375, 575, 775 i 975. Umnožak cifara željenog broja mora biti manji od 200, inače, pomnožen sa 5, dat će se četverocifreni broj. Dakle, brojevi 775 i 975 očigledno nisu prikladni. Od preostala tri broja, samo 175 zadovoljava uslove zadatka. Drugi način. Imajte na umu (slično prvom metodu rješenja) da je zadnja znamenka željenog broja 5. Nekaa , b , 5 – uzastopne cifre željenog broja. Prema uslovima zadatka imamo: 100a + 10 b + 5 = a · b ·5·5. Podijelimo obje strane jednačine sa 5, dobijemo: 20a + 2 b + 1 = 5 ab . Nakon što oduzmemo 20a sa obe strane jednačine i uzmemo zajednički faktor na desnoj strani, dobijamo: 2b + 1 = 5 a (b – 4 a) (1 ). S obzirom na to a I b može uzeti prirodne vrijednosti od 1 do 9, nalazimo da su moguće vrijednosti a samo 1 ili 2. Ali a=2 ne zadovoljava jednakost (1 ), na čijoj se lijevoj strani nalazi neparan broj, a na desnoj, zamjenom a=2, dobija se paran broj. Dakle, jedina mogućnost je a=1. Zamjena ove vrijednosti u (1 ), dobijamo: 2 b + 1 = 5 b– 20, odakle b =7. Odgovor: jedini potreban broj je 175.

Kriterijumi verifikacije .

Potpuno ispravno rešenje - 7 bodova .

Dobijen je tačan odgovor i postoje argumenti koji značajno smanjuju potragu za opcijama, ali nema potpunog rješenja - 4 bodova .

Jednadžba je ispravno sastavljena i date su transformacije i obrazloženja za rješavanje problema, ali rješenje nije dovršeno - 4 bodova .

Lista opcija je smanjena, ali nema objašnjenja zašto, a naznačen je tačan odgovor - 3 bodova .

Jednačina je tačna, ali problem nije riješen - 2 bodova .

Rješenje sadrži obrazloženje koje vam omogućava da isključite bilo koje brojeve iz razmatranja ili razmotrite brojeve s određena svojstva(na primjer, završava se brojem 5), ali nema daljeg značajnog pomaka u rješenju - 1 tačka .

Daje se samo tačan ili verifikovan odgovor - 1 tačka .

Odgovori . 75° .

Rješenje . Razmotrimo trougao AOC, gdje je O centar kružnice. Ovaj trougao je jednakokraki, jer su OC i OA poluprečnici. To znači, prema svojstvu jednakokračnog trougla, uglovi A i C su jednaki. Nacrtajmo okomitu CM na stranu AO i razmotrimo pravougaonog trougla Obavezno zdravstveno osiguranje. Prema uslovima zadatka, krak CM je polovina hipotenuze OS. To znači da je ugao COM 30°. Zatim, prema teoremi o zbiru uglova trougla, nalazimo da je ugao CAO (ili CAB) jednak 75°.

Kriterijumi verifikacije .

Ispravno, utemeljeno rješenje problema – 7 bodova.

Dato je ispravno rezonovanje koje je rješenje problema, ali je iz nekog razloga dat pogrešan odgovor (na primjer, umjesto ugla CAO je naznačen ugao COA) – 6 bodova.

Daje se generalno ispravno obrazloženje u kojem su napravljene greške koje nisu fundamentalne za suštinu odluke i daje se tačan odgovor - 5 bodova.

Ispravno rješenje problema je dato u nedostatku opravdanja: svi međuzaključci su naznačeni bez navođenja veza između njih (reference na teoreme ili definicije) – 4 bodova.

Na crtežu su napravljene dodatne konstrukcije i oznake iz kojih je jasan tok rješenja, dat je tačan odgovor, ali samo obrazloženje nije dato - 3 bodova.

Dat je tačan odgovor za netačno obrazloženje - 0 bodova.

Dat je samo tačan odgovor - 0 bodova.

Odgovori . Vidi sliku.

Rješenje . Transformirajmo ovu jednačinu odabirom cijelog kvadrata ispod predznaka korijena: . Izraz na desnoj strani ima smisla samo kada je x = 9. Zamjenom ove vrijednosti u jednačinu dobijamo: 9 2 – y 4 = 0. Faktorizujemo lijevu stranu: (3 –y)(3 + y)(9 + y 2 ) = 0. Gdje y= 3 ili y = –3. To znači da koordinate samo dvije tačke (9; 3) ili (9; –3) zadovoljavaju ovu jednačinu. Grafikon jednačine prikazan je na slici.

Kriterijumi verifikacije.

Izvršene su ispravne transformacije i zaključivanja i graf je ispravno konstruiran - 7 bodova.

Izvršene su ispravne konverzije, ali je značenje izgubljeno y = –3; jedna tačka je prikazana kao grafikon -3 bodova.

Moguće je da su naznačene jedna ili dvije pogodne točke sa provjerom, ali bez drugih objašnjenja ili nakon netačnih transformacija -1 tačka.

Izvršene su ispravne transformacije, ali je deklarirano da je izraz ispod korijena (ili na desnoj strani nakon kvadriranja) negativan i da je graf prazan skup tačaka - 1 tačka.

Provedeno je rezonovanje koje je dovelo do indikacije dvije tačke, ali su te tačke na neki način povezane (na primjer segmentom) - 1 tačka.

Bez objašnjenja su naznačene dvije tačke koje su nekako povezane - 0 bodova.

U ostalim slučajevima - 0 bodova.

Odgovori na zadatke druge etape olimpijade

Odgovori . Oni mogu.

Rješenje . Ako je a = , b = - , tada je a = b+1 i a 2 = b 2

Također možete riješiti sistem jednačina:

Kriterijumi verifikacije.

Tačan odgovor sa brojevima a I b – 7 bodova .

Sastavljen je sistem jednačina, ali je pri njegovom rješavanju napravljena aritmetička greška - 3 bodova .

Jedini odgovor je 1 tačka .

Odgovori . Za 12 sekundi .

Rješenje . Između prvog i četvrtog sprata su 3 leta, a između petog i prvog sprata 4. Prema uslovu, Petya pretrči 4 leta 2 sekunde duže nego što njegova majka ide liftom, a tri leta su 2 sekunde brža od njegove majke. To znači da Petya preleti jedan let za 4 sekunde. Tada Petya trči sa četvrtog sprata na prvi (tj. 3 leta) za 4*3=12 sekundi.

Kriterijumi verifikacije.

Tačan odgovor sa kompletnim rešenjem - 7 bodova .

Objašnjeno je da je za jedan let potrebno 4 sekunde, a odgovor pokazuje 4 sekunde - 5 bodova .

Tačno opravdanje se zasniva na pretpostavci da je put od petog do prvog 1,25 puta duži od puta od četvrtog do prvog i da je odgovor 16 sekundi - 3 bodova .

Jedini odgovor je 0 bodova .

Odgovori . Vidi sliku.

Rješenje . Jer X 2 =| X | 2 , onda =| X |, i x≠ 0.

Također je moguće, koristeći definiciju modula, dobiti da (za x = 0 funkcija nije definirana).

Kriterijumi verifikacije.

Tačan grafikon sa objašnjenjem - 7 bodova .

Tačan grafikon bez ikakvog objašnjenja - 5 bodova .

Grafikon funkcije =|x| bez probušene tačke -3 bodova .

Odgovori . Da .

Rješenje . Podijelimo ovaj kvadrat sa stranicom od 5 ravnih linija paralelnih sa njegovim stranicama na 25 kvadrata sa stranom 1 (vidi sliku). Ako svaki takav kvadrat nije imao više od 4 označene tačke, onda bi ukupno bilo označeno ne više od 25 * 4 = 100 bodova, što je u suprotnosti sa uslovom. Dakle, barem jedan od rezultirajućih kvadrata mora sadržavati 5 označenih tačaka.

Kriterijumi verifikacije.

Prava odluka - 7 bodova .

Jedini odgovor je 0 bodova .

Odgovori . Osam načina.

Rješenje . Iz tačke a) proizilazi da je bojanje svih tačaka sa cjelobrojnim koordinatama jednoznačno određeno bojanjem tačaka koje odgovaraju brojevima 0, 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Tačka 0=14-2*7 treba biti obojen na isti način kao 14, onih. crvena. Slično, tačka 1=71-107 treba biti obojena plavom bojom, tačka 3=143-20*7 – plavom, a 6=20-2*7 – crvenom. Stoga, ostaje samo da se izbroji koliko Različiti putevi možete obojiti tačke koje odgovaraju brojevima 2, 4 i 5. Pošto se svaka tačka može obojiti na dva načina - crvenom ili plavom - postoji ukupno 2*2*2=8 načina. Bilješka. Prilikom brojanja načina bojanja tačaka 2, 4 i 5, možete jednostavno navesti sve načine, na primjer, u obliku tabele:

Kriterijumi verifikacije .

Tačan odgovor sa tačnim obrazloženjem - 7 bodova .

Problem se svodio na brojanje načina za bojenje 3 boda, ali odgovor je bio 6 ili 7 - 4 bodova .

Zadatak se svodi na brojanje načina za bojenje 3 boda, ali nema brojanja načina ili se dobijeni odgovor razlikuje od onih koji su ranije navedeni - 3 bodova .

Odgovor (uključujući tačan) bez opravdanja - 0 bodova .

Odgovori . 4 puta.

Rješenje .

Nacrtajmo segmente MK i AC . Četvorokut MVKE se sastoji od

trokuti MVK i MKE , i četvorougao AESD – iz trouglova

1 način . Trokuti MVK i ACD – pravougaoni i katete prve su 2 puta manje od kateta druge, pa su slične i površina trokuta je ACD 4 puta veća od površine trougla MVK. Jer M i K – sredine AB i BC redom, zatim MK– , dakle MK || AS i MK = 0.5AC . Iz paralelizma pravih MK i AC, slijedi sličnost

trouglovi MKE i AEC, i zato koeficijent sličnosti je 0,5, tada je površina trokuta AEC 4 puta veća od površine trokuta MKE. Sad: S AES D =SAEC+SACD= 4 SMKE+ 4 SMBK= 4 (SMKE+SMBK)= 4 SMBKE.

2 način . Neka je površina pravougaonika ABCD jednak S. Zatim površina trokuta ACD jednak ( dijagonala pravougaonika dijeli ga na dva jednaka trokuta), a površina trokuta MVK jednaka je MV×VK=T.k. M i K – sredine segmenata AB i BC, zatim AK i SM – medijana trougla ABC, dakle E – tačka preseka medijana trougla ABC, one. udaljenost od E do AC jeh, Gdje h – visina trougla ABC, izvučeno iz temena B. Tada je površina trougla AEC. Zatim za područje četvorougla AESD, jednak zbiru površina trouglova AEC i ACD, dobijamo: Sledeće, jer MK– srednja linija trougla ABC, tada je površina trougla MKE jednaka* h -* h ) = h )=(AC * h )== S . Dakle, za područje četvorougla MVKE, jednak zbiru površina trouglova MVK i MKE, dobijamo: . Dakle, omjer površina četverougla AESD i MVKE je jednak.

Kriterijumi verifikacije.

Pravo rešenje i pravi odgovor -7 bodova .

Tačno rješenje, ali odgovor je netačan zbog aritmetičke greške -5 bodova .

5. ZBIRANJE REZULTATA I NAGRADA POBJEDNIKA

Konačne pokazatelje urađenih takmičarskih zadataka utvrđuje žiri uu skladu sa razvijenim kriterijumima ocjenjivanja;

Za pobjednike olimpijade, određene najvećim brojem bodova,utvrđuju se tri nagrade;

Rezultati takmičenja su dokumentovani u izveštaju organizatora Olimpijade.

Pobjednici su nagrađeni diplomama i vrijednim poklonima.

U slučaju neslaganja sa ocjenom žirija, učesnik se može prijavitipismenu žalbu u roku od sat vremena od objavljivanja rezultata.

Javnost konkursa je osigurana - na osnovu rezultata konkursa,pobjednici.

Možemo razlikovati sljedeći niz koraka u rješavanju logičkih problema.

1. Odaberite elementarne (jednostavne) iskaze iz iskaza problema i označite ih slovima.

2. Zapišite uslov zadatka jezikom logičke algebre, povežite jednostavne iskaze u složene koristeći logičke operacije.

3. Kreirajte jedan logički izraz za zahtjeve zadatka.

4. Koristeći zakone logičke algebre, pokušajte pojednostaviti rezultirajući izraz i izračunati sve njegove vrijednosti ili konstruirati tablicu istinitosti za dotični izraz.

5. Odaberite rješenje – skup vrijednosti jednostavne izjave u kojima je konstruisani logički izraz istinit.

6. Provjerite da li rezultirajuće rješenje zadovoljava uslove problema.

primjer:

Zadatak 1:“Pokušavajući da se prisjete pobjednika prošlogodišnjeg turnira, petorica bivših gledalaca turnira izjavila su:

1. Anton je bio drugi, a Boris peti.

2. Viktor je bio drugi, a Denis treći.

3. Grgur je bio prvi, a Boris treći.

4. Anton je bio treći, a Evgenij šesti.

5. Viktor je bio treći, a Evgenij četvrti.

Nakon toga se ispostavilo da je svaki gledalac pogriješio u jednoj od svoje dvije izjave. Kakva je bila prava raspodjela mjesta na turniru?

1) Označimo prvim slovom u imenu učesnika turnira, a, broj mjesta koje ima, tj. imamo.

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Jedan logički izraz za sve zahtjeve zadatka: .

4) U formuli L Izvršimo ekvivalentne transformacije, dobićemo: .

5) Iz tačke 4. slijedi: , .

6) Raspodela mesta na turniru: Anton je bio treći, Boris peti, Viktor drugi, Grigorij prvi, a Evgenij četvrti.

Zadatak 2:“Ivanov, Petrov, Sidorov pojavili su se pred sudom pod optužbom za pljačku. Istragom je utvrđeno:

1. ako Ivanov nije kriv ili je kriv Petrov, onda je kriv Sidorov;

2. ako Ivanov nije kriv, onda Sidorov nije kriv.

Da li je Ivanov kriv?

1) Razmotrite izjave:

A: “Ivanov je kriv”, IN: "Petrov je kriv" WITH: "Sidorov je kriv."

2) Činjenice utvrđene istragom: , .

3) Jedan logički izraz: . Istina je.

Hajde da napravimo tabelu istine za to.

A	IN	WITH	L

Rješavanje problema znači naznačiti pri kojim vrijednostima A je tačan rezultirajući kompleksni iskaz L. Ako je tako, onda istraga nema dovoljno činjenica da optuži Ivanova za zločin. Analiza tabele pokazuje i, tj. Ivanov je kriv za pljačku.

Pitanja i zadaci.

1. Sastavite RKS za formule:

2. Pojednostavite RKS:

3. Koristeći ovo sklopno kolo, konstruirajte odgovarajuću logičku formulu.

4. Provjerite ekvivalentnost RKS-a:

5. Konstruišite kolo od tri prekidača i sijalice tako da sijalica svetli samo kada su tačno dva prekidača u položaju „uključeno“.

6. Koristeći ovu tablicu provodljivosti, konstruirajte kolo funkcionalnih elemenata sa tri ulaza i jednim izlazom koji implementira formulu.

x	y	z	F

7. Analizirajte dijagram prikazan na slici i zapišite formulu za funkciju F.

8. Problem: „Jednom je istražitelj morao istovremeno ispitivati tri svjedoka: Claudea, Jacquesa, Dicka. Njihovi iskazi su bili u suprotnosti, a svaki od njih je nekoga optužio da laže.

1) Claude je tvrdio da Jacques laže.

2) Jacques je optužio Dicka da laže.

3) Dick je pokušao uvjeriti istražitelja da ne vjeruje ni Claudeu ni Jacquesu.

Ali istražitelj ih je brzo iznio na vidjelo, a da im nije postavio ni jedno pitanje. Koji svjedok je govorio istinu?

9. Odredite koji je od četiri studenta položio ispit ako se zna da:

1) Ako prođe prva, prođe i druga.

2) Ako je drugi prošao, onda je prošao treći ili prvi nije prošao.

3) Ako četvrti nije prošao, onda je prošao prvi, a treći nije prošao.

4) Ako prođe četvrti, prođe i prvi.

1. a) ( komutativnost disjunkcije );

b)

(komutativnost konjunkcije );

2. a) ( asocijativnost disjunkcije );

b) ( asocijativnost veznika );

3. a) ( distributivnost disjunkcije u odnosu na konjunkciju );

b) ( distributivnost konjunkcije u odnosu na disjunkciju );

4.

I

–de Morganovi zakoni .

5.

;

;

;

6.

(ili

) (zakon isključene sredine );

(ili

(zakon kontradikcije );

7.

(ili

);

(ili

);

(ili

);

(ili

).

Date osobine se obično koriste za transformaciju i pojednostavljenje logičkih formula. Ovdje su data svojstva samo tri logičke operacije (disjunkcija, konjunkcija i negacija), no dalje će se pokazati da se kroz njih mogu izraziti sve ostale operacije.

Uz pomoć logičkih veziva možete sastavljati logičke jednačine i rješavati logičke probleme na isti način kao što se aritmetički problemi rješavaju korištenjem sistema običnih jednačina.

Primjer. Jednog dana, istražitelj je morao istovremeno ispitati tri svjedoka: Claudea, Jacquesa i Dicka. Njihovi iskazi su bili u suprotnosti, a svaki od njih je nekoga optužio da laže. Claude je tvrdio da Jacques laže, Jacques je optužio Dicka da laže, a Dick je uvjerio istražitelja da ne vjeruje ni Claudeu ni Jacquesu. Ali istražitelj ih je brzo iznio na vidjelo, a da im nije postavio ni jedno pitanje. Koji svjedok je govorio istinu?

Rješenje. Pogledajmo izjave:

(Klod govori istinu);

(Jacques govori istinu);

(Dick govori istinu).

Ne znamo koje su istinite, ali znamo sljedeće:

1) ili je Klod rekao istinu, pa je Žak lagao, ili je Klod lagao, pa je Žak rekao istinu;

2) ili je Žak rekao istinu, pa je Dik lagao, ili je Žak lagao, a onda je Dik rekao istinu;

3) ili je Dik rekao istinu, a onda su lagali Klod i Žak, ili je Dik lagao, a onda nije tačno da su oba druga svedoka lagala (tj. bar jedan od ovih svedoka je rekao istinu).

Izrazimo ove izjave u obliku sistema jednačina:

Uslov zadatka će biti ispunjen ako su ova tri iskaza istovremeno tačna, što znači da je njihova konjunkcija tačna. Pomnožimo ove jednakosti (tj. uzmimo njihovu konjunkciju)

Ali

ako i samo ako

, A

. Dakle, Jacques govori istinu, a Claude i Dick lažu.

Bilo koji -članska operacija, označena npr.

, bit će potpuno određen ako se ustanovi na kojim vrijednostima iskaza

rezultat će biti istinit ili netačan. Jedan od načina da navedete takvu operaciju je da popunite tablicu vrijednosti:

U tabeli značenja iskaza formiranog iz jednostavne izreke

, dostupan linije. Kolona vrijednosti također ima pozicije. Dakle, postoji

različite opcije za popunjavanje i, shodno tome, broj svih -članske operacije su jednake

. At

broj jednokratnih operacija je 4, sa

broj binomnih je 16, sa

broj tročlanih – 256 itd.

Pogledajmo neke posebne vrste formula.

Formula se zove elementarna konjunkcija , ako je to konjunkcija varijabli i negacija varijabli. Na primjer, formule ,

,

,

– elementarni veznici.

Zove se formula koja predstavlja disjunkciju (moguće jednočlanu) elementarnih konjunkcija disjunktivni normalni oblik (D.N.F.). Na primjer, formule ,

,

.

Teorema 1(o svođenju na D.N.F.). Za bilo koju formulu , koji je doktor nauka. f. .

Ova teorema i sljedeća teorema 2 će biti dokazane u sljedećem odjeljku. Primjenom ovih teorema moguće je standardizirati formu logičkih formula.

Formula se zove elementarna disjunkcija , ako je to disjunkcija varijabli i negacije varijabli. Na primjer, formule

,

,

itd.

Zove se formula koja je konjunkcija (možda jednočlana) elementarnih disjunkcija konjunktivni normalni oblik (PhD). Na primjer, formule

,

.

Teorema 2(o redukciji na doktorat). Za bilo koju formulu može se naći ekvivalentna formula , koji je dr. f.

Jednog dana, istražitelj je morao istovremeno ispitati tri svjedoka: Claudea, Jacquesa i Dicka. Njihovi iskazi su bili u suprotnosti, a svaki od njih je nekoga optužio da laže. Claude je tvrdio da Jacques laže, Jacques je optužio Dicka da laže, a Dick je uvjerio istražitelja da ne vjeruje ni Claudeu ni Jacquesu. Ali istražitelj ih je brzo iznio na vidjelo, a da im nije postavio ni jedno pitanje. Ko je od svjedoka govorio istinu?

Ilja Muromets, Dobrinja Nikitič i Aljoša Popović dobili su 6 novčića za vjernu službu: 3 zlatna i 3 srebrna. Svi su dobili po dva novčića. Ilja Muromets ne zna koji su novčići otišli Dobrinji, a koji Aljoši, ali zna koje je novčiće dobio. Osmislite pitanje na koje će Ilya Muromets odgovoriti "da", "ne" ili "ne znam", a po odgovoru na koje možete razumjeti koje je novčiće dobio

Pravila silogizama 1. Silogizam mora imati samo tri iskaza i samo tri pojma. ZhG Svi su izletnici pobjegli u raznim smjerovima, Petrov je izletnik, što znači da je pobjegao u različitim smjerovima. 3. Ako su obje premise privatne izjave, onda se zaključak ne može izvući. 2. Ako je jedna od premisa privatna izjava, onda zaključak mora biti privatan. 4. Ako je jedna od premisa negativna izjava, onda je zaključak negativna izjava. 5. Ako su obje premise negativne izjave, onda se zaključak ne može izvući 6. Srednji rok moraju biti raspoređeni u najmanje jednoj od parcela. 7. Pojam se ne može distribuirati u zaključku ako nije raspoređen u premisi.

Sve mačke imaju četiri noge. Svi psi imaju četiri noge. Svi psi su mačke. Svi ljudi su smrtni. Svi psi nisu ljudi. Psi su besmrtni (nisu smrtni). Ukrajina zauzima ogromnu teritoriju. Krim je dio Ukrajine. Krim zauzima ogromnu teritoriju

Problem 35

Jedna osoba je dobila posao sa platom od 1.000 dolara godišnje. Tokom rasprave o uslovima prijema, obećano mu je da će mu, ako bude dobro prošao, biti povećana plata. Štaviše, možete odabrati iznos povećanja između dvije opcije po vlastitom nahođenju: u jednom slučaju je ponuđeno povećanje od 50 USD svakih šest mjeseci, počevši od druge polovine, u drugom - 200 USD svake godine, počevši od drugog. Pružajući slobodu izbora, poslodavci su željeli ne samo pokušati uštedjeti na plaćama, već i testirati koliko brzo novi zaposlenik razmišlja. Nakon minut razmišljanja, samouvjereno je imenovao uslove povećanja.

Koja opcija je bila preferirana?

Problem 36

Jednog dana, istražitelj je morao istovremeno ispitati tri svjedoka: Claudea, Jacquesa i Dicka. Njihovi iskazi su bili u suprotnosti, a svaki od njih je nekoga optužio da laže. Claude je tvrdio da Jacques laže. Jacques je optužio Dicka da laže, a Dick je pokušao uvjeriti istražitelja da ne vjeruje ni Claudeu ni Jacquesu. Ali istražitelj ih je brzo izveo na vidjelo, a da im nije postavio ni jedno pitanje.

Koji svjedok je govorio istinu?

Problem 37

Strašna nesreća, inspektore, rekao je uposlenik muzeja. - Ne možete zamisliti koliko sam uzbuđena. Reći ću ti sve po redu. Danas sam ostao u muzeju da radim i sredim naše finansijske poslove. Upravo sam sjedio za ovim stolom i pregledavao račune kada sam odjednom ugledao sjenu s desne strane. Prozor je bio otvoren.

I niste čuli nikakvo šuštanje? - upitao je inspektor.

Apsolutno nikakve. Radio je puštao muziku, a osim toga, bio sam previše strastven u onome što radim. Skidajući pogled s vrućine, vidio sam čovjeka kako je skočio kroz prozor. Odmah sam upalio gornje svjetlo i otkrio da su nestale dvije kutije s vrijednom kolekcijom novčića koje sam ponio u svoju kancelariju na posao. U užasnom je stanju: na kraju krajeva, ova zbirka je procijenjena na 10 hiljada maraka.

Vi vjerujete da ja zaista; Hoću li vjerovati tvojim izmišljotinama?

Inspektor je razdraženo primijetio. “Niko me nikada nije uspio obmanuti, a ti nećeš biti prvi.”

Kako je inspektor shvatio da ga pokušavaju prevariti?

Problem 38

Telo nestale osobe pronađeno je umotano u čaršav na kome je bila etiketa za veš. Identifikovana je porodica koja je koristila takve oznake, međutim, prilikom provjere se ispostavilo da se članovi ove porodice ne poznaju i da nisu imali kontakt sa preminulim i njegovom rodbinom. Nisu utvrđeni drugi dokazi o njihovoj umiješanosti u ubistvo.

Da li je tokom procesa verifikacije bilo grešaka u potpunosti i tačnosti primljenih informacija?

Problem 39

Potapov, Ščedrin i Semenov služe u jedinici avijacije. Konovalov i Samoilov. Njihove specijalnosti su: pilot, navigator, letač mehaničar, radio operater i prognozer vremena.

Odredite koju specijalnost svaki od njih ima ako su poznate sljedeće činjenice.

Ščedrin i Konovalov nisu upoznati sa kontrolama aviona;

Potapov i Konovalov se spremaju da postanu navigatori; stanovi Ščedrina i Samojlova nalaze se pored stana radija;

Semjon je, dok je bio u domu za odmor, upoznao Ščedrina i sestru meteorološke prognoze: Potapov i Ščedrin u slobodno vreme od posla igraju šah sa letačkim mehaničarom i pilotom; Konovalov, Semenov i vremenska prognoza vole boks; Radio operater se ne bavi boksom.

Problem 40

Tetka, koja je čekala svog nećaka, inspektora, pojurila mu je u susret, ne skrivajući nestrpljenje.

Neka žena upravo sada; otela mi je torbicu sa novcem i odmah nestala.

Najvjerovatnije je nestala u štedionici u kojoj ste bili”, primijetio je inspektor. - Hajde da pokušamo da je nađemo.

I zapravo, tetka je odmah ugledala svoju torbu koja je stajala na klupi između dvije žene. To je otkriveno. Kada je inspektor pažljivo pogledao torbu, obje žene su, primijetivši to, ustale i otišle na drugi kraj prostorije. Tašna je ostala na klupi.

Ali ne znam ko mi je ukrao torbu. „Jana nije imala vremena da je vidi“, rekla je njena tetka.

„Pa, nije ništa“, odgovorio je nećak. - Ispitaćemo obojicu, ali mislim da vam je torbu ukrao onaj od...

Koji?

Problem 41

Dobivši poruku da je sivi Chevrolet sa registarskim oznakama počevši od šest udario ženu i pobjegao, inspektor i njegov pomoćnik otišli su u vilu jednog gospodina čiji je auto odgovarao opisu. Prošlo je manje od pola sata prije nego što su bili tamo.

Ispred kuće je bio parkiran sivi Chevrolet. Ugledavši policiju, vlasnik je sišao do njih u pidžami.

„Danas nisam nigde išao“, rekao je nakon što je saslušao inspektora. - Da, i nisam mogao: juče sam izgubio ključ za paljenje, a novi će biti spreman tek u petak.

Asistent, koji je u međuvremenu uspeo da pregleda auto, šapnuo je inspektoru:

Očigledno govori istinu. Na automobilu nema znakova sudara.

Inspektor je, naslonjen na haubu automobila, odgovorio:

Ovo ništa ne znači, udarac nije bio jak, jer je žrtva živa. I vaš alibi, gospodine, deluje mi krajnje sumnjivo. Zašto pokušavaš da sakriješ od mene da si upravo stigao ovamo baš ovim kolima?

Šta je inspektoru dalo razlog da posumnja da gospodin laže?

Problem 42

Predsjednik kompanije obavještava istražitelja o krađi počinjenoj u njegovom domu.

Stigavši na posao, sjetio sam se nečega što sam zaboravio kod kuće Potrebni dokumenti. Ključ od kućnog sefa dao sam svom pomoćniku i poslao ga po fasciklu s dokumentima. Dugo smo radili zajedno, dugo sam mu vjerovao, a često sam ga slao kući da uzme nešto iz sefa. Ovaj put, ubrzo nakon izlaska, pozvao me je telefonom i rekao da je, ušavši u sobu, vidio da su vrata zidnog sefa otvorena i papiri razbacani po kancelariji. Stigao sam kući i otkrio da je, osim razbacanih dokumenata, iz sefa nestao i nakit i novac.

Svedočenje asistenta: „Kada sam stigao, batler me je pustio unutra i ja sam se popela na drugi sprat stana. Ušavši u kancelariju, pronašao sam papire razbacane po podu i otvorena vrata sefa. Odmah sam nazvao svog šefa i javio šta sam vidio. Nakon toga sam iskočio na podest i pozvao batlera. Kao odgovor na moj vapaj, iz dnevne sobe na donjem spratu pojavila se sobarica i pitala šta je bilo. Rekao sam joj šta sam vidio. Na njen poziv, batler je dotrčao iz dvorišta. Na moje pitanje, rekli su da niko nije dolazio u stan nakon što je vlasnik otišao i da nisu čuli nikakvu buku u kući.”

Batler je objasnio: „Nakon što je vlasnik otišao ujutro, radio sam svoj uobičajeni posao u prizemlju i nisam nikoga vidio niti čuo nešto neobično. Sobarica nije izlazila iz kuhinje ispred mene. Kada je došao uposlenik našeg vlasnika, koji me poznaje dugo, otišao je do stepenica na drugi sprat i izašao u dvorište. Nekoliko minuta kasnije pozvala me je kuvarica i ja sam ušao u kuću, gde mi je pomoćnik ispričao o krađi iz kancelarije vlasnika.”

Sobarica je rekla da je nakon doručka bila u kuhinji, da nikuda nije išla, a tek kada je čula plač pomoćnice izašla je u dnevnu sobu. Pomoćnik je prijavio krađu u kući i tražio da upozna batlera.

Na upit istražitelja, pomoćnik je odgovorio da ništa u kancelariji nije dirao osim telefona, niti ga preuređivao. Batler i sobarica su rekli da uopće nisu ulazili u kancelariju.

Prilikom pregleda kancelarije, istražitelj nije našao tragove prstiju na vratima kancelarije, vratima sefa, predmeta ili telefona na stolu. Pregledavši bravu vrata sefa, stručnjak nije pronašao nikakve tragove bilo kakvog predmeta ili stranog ključa na njegovim dijelovima.

Problem 35

Koja opcija je bila preferirana?

Problem 36

Jednog dana, istražitelj je morao istovremeno ispitati tri svjedoka: Claudea, Jacquesa i Dicka. Njihovi iskazi su bili u suprotnosti, a svaki od njih je nekoga optužio da laže. Claude je tvrdio da Jacques laže. Jacques je optužio Dicka da laže, a Dick je pokušao uvjeriti istražitelja da ne vjeruje ni Claudeu ni Jacquesu. Ali istražitelj ih je brzo izveo na vidjelo, a da im nije postavio ni jedno pitanje.

Koji svjedok je govorio istinu?

Problem 37

I niste čuli nikakvo šuštanje? - upitao je inspektor.

Vi vjerujete da ja zaista; Hoću li vjerovati tvojim izmišljotinama?

Inspektor je razdraženo primijetio. “Niko me nikada nije uspio obmanuti, a ti nećeš biti prvi.”

Kako je inspektor shvatio da ga pokušavaju prevariti?

Problem 38

Da li je tokom procesa verifikacije bilo grešaka u potpunosti i tačnosti primljenih informacija?

Problem 39

Potapov, Ščedrin i Semenov služe u jedinici avijacije. Konovalov i Samoilov. Njihove specijalnosti su: pilot, navigator, letač mehaničar, radio operater i prognozer vremena.

Odredite koju specijalnost svaki od njih ima ako su poznate sljedeće činjenice.

Ščedrin i Konovalov nisu upoznati sa kontrolama aviona;

Potapov i Konovalov se spremaju da postanu navigatori; stanovi Ščedrina i Samojlova nalaze se pored stana radija;

Problem 40

Tetka, koja je čekala svog nećaka, inspektora, pojurila mu je u susret, ne skrivajući nestrpljenje.

Neka žena upravo sada; otela mi je torbicu sa novcem i odmah nestala.

Najvjerovatnije je nestala u štedionici u kojoj ste bili”, primijetio je inspektor. - Hajde da pokušamo da je nađemo.

Ali ne znam ko mi je ukrao torbu. „Jana nije imala vremena da je vidi“, rekla je njena tetka.

„Pa, nije ništa“, odgovorio je nećak. - Ispitaćemo obojicu, ali mislim da vam je torbu ukrao onaj od...

Koji?

Problem 41

Ispred kuće je bio parkiran sivi Chevrolet. Ugledavši policiju, vlasnik je sišao do njih u pidžami.

„Danas nisam nigde išao“, rekao je nakon što je saslušao inspektora. - Da, i nisam mogao: juče sam izgubio ključ za paljenje, a novi će biti spreman tek u petak.

Asistent, koji je u međuvremenu uspeo da pregleda auto, šapnuo je inspektoru:

Očigledno govori istinu. Na automobilu nema znakova sudara.

Inspektor je, naslonjen na haubu automobila, odgovorio:

Šta je inspektoru dalo razlog da posumnja da gospodin laže?

Problem 42

Predsjednik kompanije obavještava istražitelja o krađi počinjenoj u njegovom domu.

Stigavši na posao, sjetio sam se da sam kod kuće zaboravio potrebna dokumenta. Ključ od kućnog sefa dao sam svom pomoćniku i poslao ga po fasciklu s dokumentima. Dugo smo radili zajedno, dugo sam mu vjerovao, a često sam ga slao kući da uzme nešto iz sefa. Ovaj put, ubrzo nakon izlaska, pozvao me je telefonom i rekao da je, ušavši u sobu, vidio da su vrata zidnog sefa otvorena i papiri razbacani po kancelariji. Stigao sam kući i otkrio da je, osim razbacanih dokumenata, iz sefa nestao i nakit i novac.

Na upit istražitelja, pomoćnik je odgovorio da ništa u kancelariji nije dirao osim telefona, niti ga preuređivao. Batler i sobarica su rekli da uopće nisu ulazili u kancelariju.