Ima harmonijske vibracije c. Oscilatorno kretanje. Harmonične vibracije. Ako je oscilacija opisana zakonom kosinusa

Ovo je periodična oscilacija u kojoj se mijenjaju koordinate, brzina, ubrzanje koje karakteriziraju kretanje prema zakonu sinusa ili kosinusa. Jednačina harmonijskog oscilovanja utvrđuje zavisnost koordinata tela o vremenu

Kosinusni graf u početnom trenutku ima maksimalnu vrijednost, a sinusni graf ima nultu vrijednost u početnom trenutku. Ako oscilaciju počnemo ispitivati ​​iz ravnotežnog položaja, tada će oscilacija ponoviti sinusoidu. Ako oscilaciju počnemo razmatrati s pozicije maksimalnog odstupanja, tada će oscilacija biti opisana kosinusom. Ili se takva oscilacija može opisati sinusnom formulom sa početnom fazom.

Matematičko klatno

Jednačina stanja idealnog gasa. Zakoni o gasu.

Broj stepeni slobode: Ovo je broj nezavisnih varijabli (koordinata) koje u potpunosti određuju položaj sistema u prostoru. U nekim problemima, molekul jednoatomnog gasa (slika 1, a) se smatra materijalnom tačkom, kojoj su data tri stepena slobode translacionog kretanja. U ovom slučaju, energija rotacionog kretanja se ne uzima u obzir. U mehanici se molekulom dvoatomskog plina, u prvoj aproksimaciji, smatra skup od dvije materijalne tačke koje su čvrsto povezane nedeformabilnom vezom (slika 1, b). Pored tri stepena slobode translacionog kretanja, ovaj sistem ima još dva stepena slobode rotacionog kretanja. Rotacija oko treće ose koja prolazi kroz oba atoma je besmislena. To znači da dvoatomski plin ima pet stupnjeva slobode ( i= 5). Triatomski (slika 1c) i poliatomski nelinearni molekul ima šest stupnjeva slobode: tri translacijska i tri rotirajuća. Prirodno je pretpostaviti da ne postoji čvrsta veza između atoma. Stoga je za stvarne molekule potrebno uzeti u obzir i stepene slobode vibracionog kretanja.

Za bilo koji broj stepeni slobode datog molekula, tri stepena slobode su uvek translaciona. Nijedan translacioni stepen slobode nema prednost u odnosu na druge, što znači da svaki od njih ima u proseku istu energiju, jednaku 1/3 vrednosti<ε 0 >(energija translacionog kretanja molekula): U statističkoj fizici se izvodi Boltzmanov zakon o ravnomjernoj raspodjeli energije po stupnjevima slobode molekula: za statistički sistem koji je u stanju termodinamičke ravnoteže, svaki translacioni i rotacioni stepen slobode ima prosečnu kinetičku energiju jednaku kT/2, a svaki vibracioni stepen slobode ima prosečnu energiju jednaku kT. Vibracioni stepen ima dvostruko veću energiju, jer ona uzima u obzir i kinetičku energiju (kao u slučaju translacijskih i rotacijskih kretanja) i potencijal, a prosječne vrijednosti potencijalne i kinetičke energije su iste. To znači da je prosječna energija molekula Gdje i- zbir broja translacionih, broja rotacionih i dvostrukog broja vibracionih stepeni slobode molekula: i=i post + i rotirati +2 i vibracije U klasičnoj teoriji razmatraju se molekule sa krutim vezama između atoma; za njih i poklapa se sa brojem stepeni slobode molekula. Pošto je u idealnom gasu međusobna potencijalna energija interakcije između molekula nula (molekuli ne interaguju jedni s drugima), unutrašnja energija za jedan mol gasa biće jednaka zbroju kinetičkih energija N A molekula: (1 ) Unutrašnja energija za proizvoljnu masu m gasa. gdje je M molarna masa, ν - količina supstance.

Oscilacije pokreti ili procesi koji se odlikuju određenom ponovljivošću tokom vremena nazivaju se. Oscilacije su rasprostranjene u okolnom svijetu i mogu imati vrlo različitu prirodu. To mogu biti mehaničke (klatno), elektromagnetne (oscilatorno kolo) i druge vrste vibracija.
Besplatno, ili vlastiti Oscilacije se nazivaju oscilacije koje se javljaju u sistemu prepuštenom samom sebi, nakon što je eksternim uticajem doveden iz ravnoteže. Primjer je oscilacija loptice okačene na žici.

Posebna uloga u oscilatornim procesima ima najjednostavniji oblik oscilacija - harmonijske vibracije. Harmonične oscilacije su u osnovi jedinstvenog pristupa proučavanju oscilacija različite prirode, budući da su oscilacije koje se nalaze u prirodi i tehnologiji često bliske harmonijskim, a periodični procesi drugačijeg oblika mogu se predstaviti kao superpozicija harmonijskih oscilacija.

Harmonične vibracije nazivaju se takve oscilacije kod kojih se oscilirajuća veličina mijenja s vremenom prema zakonu sine ili kosinus.

Harmonic Equationima oblik:

gdje je A - amplituda vibracije (veličina najvećeg odstupanja sistema od ravnotežnog položaja); -kružna (ciklička) frekvencija. Poziva se argument kosinusa koji se periodično mijenja faza oscilovanja . Faza oscilovanja određuje pomak oscilirajuće veličine iz ravnotežnog položaja u datom trenutku t. Konstanta φ predstavlja vrijednost faze u trenutku t = 0 i naziva se početna faza oscilovanja . Vrijednost početne faze određena je izborom referentne tačke. Vrijednost x može imati vrijednosti u rasponu od -A do +A.

Vremenski interval T kroz koji se ponavljaju određena stanja oscilatornog sistema, nazvan periodom oscilovanja . Kosinus je periodična funkcija sa periodom od 2π, dakle, tokom perioda T, nakon kojeg će faza oscilovanja dobiti prirast jednak 2π, stanje sistema koji vrši harmonijske oscilacije će se ponoviti. Ovaj vremenski period T naziva se period harmonijskih oscilacija.

Period harmonijskih oscilacija je jednak : T = 2π/ .

Naziva se broj oscilacija u jedinici vremena frekvencija vibracija ν.
Harmonična frekvencija je jednako: ν = 1/T. Jedinica frekvencije herca(Hz) - jedna oscilacija u sekundi.

Kružna frekvencija = 2π/T = 2πν daje broj oscilacija u 2π sekundi.

Grafički, harmonijske oscilacije se mogu prikazati kao zavisnost x od t (slika 1.1.A), a metoda rotirajuće amplitude (metoda vektorskog dijagrama)(Sl.1.1.B) .

Metoda rotirajuće amplitude omogućava vam da vizualizirate sve parametre uključene u jednadžbu harmonijskih vibracija. Zaista, ako je vektor amplitude A lociran pod uglom φ prema x-osi (vidi sliku 1.1. B), tada će njegova projekcija na x-osu biti jednaka: x = Acos(φ). Ugao φ je početna faza. Ako je vektor A dovesti u rotaciju s ugaonom brzinom jednakom kružnoj frekvenciji oscilacija, tada će se projekcija kraja vektora kretati duž x osi i poprimiti vrijednosti u rasponu od -A do +A, a koordinata ove projekcije će mijenjati se tokom vremena u skladu sa zakonom:
.

Dakle, dužina vektora jednaka je amplitudi harmonijske oscilacije, smjer vektora u početnom trenutku formira ugao sa x osom jednak početnoj fazi oscilacija φ, a promjena ugla smjera sa vremenom jednaka je fazi harmonijskih oscilacija. Vrijeme za koje vektor amplitude napravi jedan puni okret jednako je periodu T harmonijskih oscilacija. Broj obrtaja vektora u sekundi jednak je frekvenciji oscilovanja ν.

Harmonične vibracije

Grafovi funkcija f(x) = sin( x) I g(x) = cos( x) na kartezijanskoj ravni.

Harmonične oscilacije- oscilacije u kojima se fizička (ili bilo koja druga) veličina mijenja tokom vremena prema sinusoidnom ili kosinusnom zakonu. Kinematska jednadžba harmonijskih oscilacija ima oblik

Gdje X- pomicanje (odstupanje) oscilirajuće tačke od ravnotežnog položaja u trenutku t; A- amplituda oscilacija, to je vrijednost koja određuje maksimalno odstupanje oscilirajuće tačke od ravnotežnog položaja; ω - ciklička frekvencija, vrijednost koja pokazuje broj potpunih oscilacija koje se javljaju unutar 2π sekundi - puna faza oscilacija, - početna faza oscilacija.

Generalizirana harmonijska oscilacija u diferencijalnom obliku

(Svako netrivijalno rješenje ove diferencijalne jednadžbe je harmonijska oscilacija s cikličkom frekvencijom)

Vrste vibracija

Vremenska evolucija pomaka, brzine i ubrzanja u harmonijskom kretanju

• Besplatne vibracije odvijaju se pod uticajem unutrašnjih sila sistema nakon što je sistem uklonjen iz ravnotežnog položaja. Da bi slobodne oscilacije bile harmonične, potrebno je da oscilatorni sistem bude linearan (opisan linearnim jednačinama kretanja), i da u njemu nema disipacije energije (ovo bi izazvalo slabljenje).
• Prisilne vibracije izvode se pod uticajem spoljne periodične sile. Da bi bili harmonični, dovoljno je da je oscilatorni sistem linearan (opisan linearnim jednačinama kretanja), a sama vanjska sila se mijenja tokom vremena kao harmonijska oscilacija (odnosno da je vremenska ovisnost ove sile sinusoidalna) .

Aplikacija

Harmonične vibracije se izdvajaju od svih ostalih vrsta vibracija iz sljedećih razloga:

vidi takođe

Bilješke

Književnost

• fizika. Osnovni udžbenik fizike / Ed. G. S. Lansberg. - 3. izd. - M., 1962. - T. 3.
• Khaikin S.E. Fizičke osnove mehanike. - M., 1963.
• A. M. Afonin. Fizičke osnove mehanike. - Ed. MSTU im. Bauman, 2006.
• Gorelik G. S. Oscilacije i talasi. Uvod u akustiku, radiofiziku i optiku. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 str.

Wikimedia Foundation. 2010.

Pogledajte šta su "Harmonične oscilacije" u drugim rječnicima:

Moderna enciklopedija

Harmonične vibracije- HARMONIČKE VIBRACIJE, periodične promjene fizičke veličine koje se javljaju po zakonu sinusa. Grafički, harmonijske oscilacije su predstavljene sinusoidnom krivom. Harmonične oscilacije su najjednostavniji tip periodičnih kretanja, koje karakteriše... Ilustrovani enciklopedijski rječnik

Oscilacije u kojima se fizička veličina mijenja tokom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa. Grafički, GK su predstavljeni zakrivljenim sinusnim ili kosinusnim talasom (vidi sliku); mogu se napisati u obliku: x = Asin (ωt + φ) ili x... Velika sovjetska enciklopedija

HARMONIČKE VIBRACIJE, periodično kretanje kao što je kretanje KLATNA, atomske vibracije ili oscilacije u električnom kolu. Tijelo vrši neprigušene harmonijske oscilacije kada oscilira duž linije, krećući se isto ... ... Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik

Oscilacije, uz koje fizičke (ili bilo koja druga) količina se mijenja tokom vremena prema sinusoidnom zakonu: x=Asin(wt+j), gdje je x vrijednost fluktuirajuće količine u datom trenutku. trenutak vremena t (za mehanički G.K., na primjer, pomak ili brzina, za ... ... Fizička enciklopedija

harmonijske vibracije- Mehaničke oscilacije, u kojima se generalizirana koordinata i (ili) generalizirana brzina mijenjaju proporcionalno sinusu s argumentom koji linearno ovisi o vremenu. [Zbirka preporučenih termina. Broj 106. Mehaničke vibracije. Akademija nauka… Vodič za tehnički prevodilac

Oscilacije, uz koje fizičke (ili bilo koja druga) količina se mijenja tokom vremena prema sinusoidnom zakonu, gdje je x vrijednost oscilirajuće količine u trenutku t (za mehaničke hidraulične sisteme, na primjer, pomak i brzina, za električni napon i jačinu struje) ... Fizička enciklopedija

HARMONIČKE VIBRACIJE- (vidi), u kojem fizičkom. količina se mijenja tokom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa (na primjer, promjene (vidi) i brzina tokom oscilacije (vidi) ili promjene (vidi) i jačina struje tokom električnih kola) ... Velika politehnička enciklopedija

Karakterizira ih promjena oscilirajuće vrijednosti x (na primjer, odstupanje klatna od ravnotežnog položaja, napon u kolu naizmjenične struje, itd.) u vremenu t prema zakonu: x = Asin (?t + ?), gdje je A amplituda harmonijskih oscilacija, ? ugao ... ... Veliki enciklopedijski rječnik

Harmonične vibracije- 19. Harmonične oscilacije Oscilacije kod kojih se vrijednosti oscilirajuće veličine mijenjaju tokom vremena prema zakonu Izvor ... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije

Periodično fluktuacije, u kojima promjene u vremenu fizičke. veličine se javljaju prema zakonu sinusa ili kosinusa (vidi sliku): s = Asin(wt+f0), gdje je s odstupanje oscilirajuće veličine od njenog prosjeka. (ravnotežna) vrijednost, A=const amplituda, w= const kružna... Veliki enciklopedijski politehnički rječnik

Harmonične oscilacije su oscilacije koje se vrše prema zakonima sinusa i kosinusa. Sljedeća slika prikazuje graf promjena koordinata tačke tokom vremena prema kosinusnom zakonu.

slika

Amplituda oscilacije

Amplituda harmonijske vibracije je najveća vrijednost pomaka tijela iz njegovog ravnotežnog položaja. Amplituda može poprimiti različite vrijednosti. To će zavisiti od toga koliko smo pomerili telo u početnom trenutku vremena iz ravnotežnog položaja.

Amplituda je određena početnim uslovima, odnosno energijom koja se daje tijelu u početnom trenutku vremena. Budući da sinus i kosinus mogu imati vrijednosti u rasponu od -1 do 1, jednadžba mora sadržavati faktor Xm, koji izražava amplitudu oscilacija. Jednačina kretanja za harmonijske vibracije:

x = Xm*cos(ω0*t).

Period oscilacije

Period oscilacije je vrijeme potrebno da se završi jedna potpuna oscilacija. Period oscilacije je označen slovom T. Jedinice mjerenja perioda odgovaraju jedinicama vremena. To jest, u SI su to sekunde.

Frekvencija oscilovanja je broj oscilacija koje se izvode u jedinici vremena. Frekvencija oscilovanja je označena slovom ν. Frekvencija oscilovanja može se izraziti u terminima perioda oscilovanja.

ν = 1/T.

Jedinice frekvencije su u SI 1/sec. Ova mjerna jedinica se zove Hertz. Broj oscilacija u vremenu od 2*pi sekundi će biti jednak:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Frekvencija oscilovanja

Ova veličina se naziva ciklička frekvencija oscilacija. U nekoj literaturi se pojavljuje naziv kružna frekvencija. Prirodna frekvencija oscilatornog sistema je frekvencija slobodnih oscilacija.

Frekvencija prirodnih oscilacija se izračunava pomoću formule:

Učestalost prirodnih vibracija ovisi o svojstvima materijala i masi tereta. Što je veća krutost opruge, to je veća frekvencija vlastitih vibracija. Što je veća masa tereta, to je niža frekvencija prirodnih oscilacija.

Ova dva zaključka su očigledna. Što je opruga čvršća, to će veće ubrzanje dati tijelu kada je sistem izbačen iz ravnoteže. Što je masa tijela veća, to će se brzina ovog tijela sporije mijenjati.

Slobodni period oscilovanja:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Važno je napomenuti da pri malim uglovima otklona period oscilovanja tela na oprugi i period oscilovanja klatna neće zavisiti od amplitude oscilacija.

Zapišimo formule za period i frekvenciju slobodnih oscilacija za matematičko klatno.

tada će period biti jednak

T = 2*pi*√(l/g).

Ova formula vrijedi samo za male kutove otklona. Iz formule vidimo da se period oscilovanja povećava sa povećanjem dužine niti klatna. Što je dužina duža, tijelo će vibrirati sporije.

Period oscilovanja uopšte ne zavisi od mase tereta. Ali to zavisi od ubrzanja slobodnog pada. Kako se g smanjuje, period oscilovanja će se povećavati. Ovo svojstvo se široko koristi u praksi. Na primjer, za mjerenje tačne vrijednosti slobodnog ubrzanja.

Pokreti koji imaju različite stepene ponavljanja nazivaju se fluktuacije.

Ako se vrijednosti fizičkih veličina koje se mijenjaju tokom kretanja ponavljaju u jednakim vremenskim intervalima, tada se takvo kretanje naziva periodično. U zavisnosti od fizičke prirode oscilatornog procesa, razlikuju se mehaničke i elektromagnetne oscilacije. Prema načinu pobude, vibracije se dijele na: besplatno(vlastiti), koji se javlja u sistemu koji se sam sebi predstavlja u blizini ravnotežnog položaja nakon nekog početnog udara; prisiljen– nastaju pod periodičnim spoljnim uticajem.

Uslovi za nastanak slobodnih oscilacija: a) kada se telo ukloni iz ravnotežnog položaja, u sistemu mora nastati sila koja teži da ga vrati u ravnotežni položaj; b) sile trenja u sistemu moraju biti dovoljno male.

A amplituda A je modul maksimalnog odstupanja oscilirajuće tačke od ravnotežnog položaja.

Oscilacije tačke koje se javljaju sa konstantnom amplitudom nazivaju se neprigušen, i oscilacije sa postepeno opadajućom amplitudom – fading.

Vreme tokom kojeg se dešava potpuna oscilacija se naziva period(T).

Frekvencija periodične oscilacije su broj kompletnih oscilacija izvršenih u jedinici vremena:

Jedinica frekvencije vibracije - herca(Hz). Herc je frekvencija oscilacija čiji je period jednak 1 s: 1 Hz = 1 s –1.

Cyclicili kružna frekvencija periodične oscilacije je broj kompletnih oscilacija koje se izvode tokom vremena 2p sa: . =rad/s.

Harmonic- to su oscilacije koje su opisane periodičnim zakonom:

ili (1)

gdje je veličina koja se periodično mijenja (pomak, brzina, sila, itd.), A je amplituda.

Sistem čiji zakon kretanja ima oblik (1) naziva se harmonijski oscilator . Sinus ili kosinus argument pozvao faza oscilovanja. Faza oscilacije određuje pomak u trenutku t. Početna faza određuje pomicanje tijela u trenutku kada počinje mjerenje vremena.

Uzmite u obzir ofset x tijelo koje oscilira u odnosu na njegov ravnotežni položaj. Jednačina harmonične vibracije:

Prvi izvod vremena daje izraz za brzinu kretanja tijela: ; (2)

Brzina dostiže svoju maksimalnu vrijednost u trenutku kada =1: . Pomeranje tačke u ovom trenutku je rano na nulu =0 (slika 17.1, b).

Ubrzanje se također mijenja s vremenom u skladu sa harmonijskim zakonom:

gdje je maksimalna vrijednost ubrzanja. Znak minus znači da je ubrzanje usmjereno u smjeru suprotnom od pomaka, tj. promjena ubrzanja i pomaka u antifazi (slika 17.1 V). Može se vidjeti da brzina dostiže svoju maksimalnu vrijednost kada oscilirajuća tačka prođe ravnotežni položaj. U ovom trenutku pomak i ubrzanje su nula.