Integrali za lutke: kako riješiti, pravila računanja, objašnjenje. Osnovna svojstva neodređenog integrala Svojstva neodređenih integrala množenja

U ovom članku ćemo navesti glavna svojstva određenog integrala. Većina ovih svojstava dokazana je na osnovu koncepta definitivnog integrala Riemann i Darboux.

Izračunavanje definitivnog integrala se vrlo često vrši korištenjem prvih pet svojstava, pa ćemo se na njih pozvati kada bude potrebno. Preostala svojstva određenog integrala uglavnom se koriste za procjenu različitih izraza.

Prije nego krenemo dalje osnovna svojstva određenog integrala, složimo se da a ne prelazi b.

Za funkciju y = f(x) definiranu na x = a, jednakost je tačna.

Odnosno, vrijednost određenog integrala sa istim granicama integracije jednaka je nuli. Ovo svojstvo je posledica definicije Riemanovog integrala, jer je u ovom slučaju svaki integralni zbir za bilo koju particiju intervala i bilo koji izbor tačaka jednak nuli, pošto je, prema tome, granica integralnih suma nula.

Za funkciju integrabilnu na intervalu, .

Drugim riječima, kada se gornja i donja granica integracije mijenjaju, vrijednost određenog integrala se mijenja u suprotno. Ovo svojstvo određenog integrala također proizlazi iz koncepta Riemanovog integrala, samo numeriranje podjele segmenta treba početi od tačke x = b.

za funkcije integrabilne na intervalu y = f(x) i y = g(x) .

Dokaz.

Zapišimo integralni zbir funkcije za datu particiju segmenta i dati izbor tačaka:

gdje su i integralni zbroji funkcija y = f(x) i y = g(x) za datu particiju segmenta, respektivno.

Ići do granice u dobijamo da je, po definiciji Riemanovog integrala, ekvivalentno iskazu svojstva koje se dokazuje.

Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka određenog integrala. To jest, za funkciju y = f(x) integrabilnu na intervalu i proizvoljan broj k, vrijedi sljedeća jednakost: .

Dokaz ovog svojstva definitivnog integrala je apsolutno sličan prethodnom:


Neka je funkcija y = f(x) integrabilna na intervalu X, i i onda .

Ovo svojstvo vrijedi i za , i ili .

Dokaz se može izvesti na osnovu prethodnih svojstava određenog integrala.

Ako je funkcija integrabilna na intervalu, onda je integrabilna na bilo kojem internom intervalu.

Dokaz se zasniva na svojstvu Darbouxovih suma: ako se postojećoj particiji segmenta dodaju nove točke, tada se donja Darbouxova suma neće smanjiti, a gornja se neće povećati.

Ako je funkcija y = f(x) integrabilna na intervalu i za bilo koju vrijednost argumenta, onda .

Ovo svojstvo je dokazano kroz definiciju Riemanovog integrala: bilo koji integralni zbir za bilo koji izbor tačaka podjele segmenta i tačaka u će biti nenegativan (nije pozitivan).

Posljedica.

Za funkcije y = f(x) i y = g(x) integrabilne na intervalu vrijede sljedeće nejednakosti:


Ova izjava znači da je integracija nejednakosti dozvoljena. Koristićemo ovaj zaključak da dokažemo sljedeća svojstva.

Neka je funkcija y = f(x) integrabilna na intervalu , tada vrijedi nejednakost .

Dokaz.

Očigledno je da . U prethodnom svojstvu smo saznali da se nejednakost može integrirati pojam po član, dakle, istina je . Ova dvostruka nejednakost se može zapisati kao .

Neka su funkcije y = f(x) i y = g(x) integrabilne na intervalu i za bilo koju vrijednost argumenta , tada , Gdje I .

Dokaz se izvodi na sličan način. Pošto su m i M najmanji i najveća vrijednost funkcija y = f(x) na segmentu, tada . Množenjem dvostruke nejednakosti nenegativnom funkcijom y = g(x) dolazimo do sljedećeg dvostruka nejednakost. Integrirajući ga na interval , dolazimo do tvrdnje koja se dokazuje.

Posljedica.

Ako uzmemo g(x) = 1, onda nejednakost poprima oblik .

Prva prosječna formula.

Neka je funkcija y = f(x) integrabilna na intervalu, I , onda postoji broj takav da .

Posljedica.

Ako je funkcija y = f(x) kontinuirana na intervalu, onda postoji broj takav da .

Prva formula prosječne vrijednosti u generaliziranom obliku.

Neka su funkcije y = f(x) i y = g(x) integrabilne na intervalu, I , i g(x) > 0 za bilo koju vrijednost argumenta . Zatim postoji broj takav da .

Druga prosječna formula.

Ako je na intervalu funkcija y = f(x) integrabilna, a y = g(x) monotona, tada postoji broj takav da je jednakost .

Glavni zadatak diferencijalnog računa je pronaći izvod f'(x) ili diferencijal df=f'(x)dx funkcije f(x). U integralnom računu riješen je inverzni problem. By datu funkciju f(x) morate pronaći takvu funkciju F(x),Šta F'(x)=f(x) ili dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

dakle, glavni zadatak integralnog računa je obnova funkcije F(x) po poznatom izvodu (diferencijalu) ove funkcije. Integralni račun ima brojne primjene u geometriji, mehanici, fizici i tehnologiji. Daje opću metodu za pronalaženje površina, zapremina, centara gravitacije, itd.

Definicija. FunkcijaF(x), , naziva se antiderivatom funkcijef(x) na skupu X ako je diferencibilan za bilo koji iF'(x)=f(x) ilidF(x)=f(x)dx.

Teorema. Bilo koja neprekidna linija na intervalu [a;b] funkcijaf(x) ima antiderivat na ovom segmentuF(x).

Teorema. AkoF 1 (x) iF 2 (x) – dva različita antiderivata iste funkcijef(x) na skupu x, tada se međusobno razlikuju po konstantnom članu, tj.F 2 (x)=F 1x)+C, gdje je C konstanta.

Ne definitivni integral, njegova svojstva.

Definicija. TotalnostF(x)+Od svih antiderivativnih funkcijaf(x) na skupu X naziva se neodređenim integralom i označava se:

- (1)

U formuli (1) f(x)dx pozvao integrand izraz,f(x) – funkcija integranda, x – integraciona varijabla, A C – integraciona konstanta.

Pogledajmo nekretnine neodređeni integral, koji proizilazi iz njegove definicije.

1. Izvod neodređenog integrala jednak je integrandu, diferencijal neodređenog integrala jednak je integrandu:

i .

2. Neodređeni integral diferencijala neke funkcije jednak zbiru ovu funkciju i proizvoljnu konstantu:

3. Konstantni faktor a (a≠0) može se uzeti kao predznak neodređenog integrala:

4. Neodređeni integral algebarskog zbira konačnog broja funkcija jednak je algebarskom zbiru integrala ovih funkcija:

5. AkoF(x) – antiderivat funkcijef(x), onda:

6 (invarijantnost integracijskih formula). Bilo koja integracijska formula zadržava svoj oblik ako se varijabla integracije zamijeni bilo kojom diferencijabilnom funkcijom ove varijable:

Gdjeu je diferencijabilna funkcija.

Tabela neodređenih integrala.

Hajde da damo osnovna pravila za integraciju funkcija.

Hajde da damo tabela osnovnih neodređenih integrala.(Imajte na umu da je ovdje, kao iu diferencijalnom računu, slovo u može se označiti kao nezavisna varijabla (u=x), i funkcija nezavisne varijable (u=u(x)).)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

Integrali 1 – 17 se nazivaju tabelarni.

Neke od navedenih formula u tablici integrala, koje nemaju analogiju u tabeli derivacija, provjeravaju se diferenciranjem njihovih desnih strana.

Promjena varijable i integracija po dijelovima u neodređenom integralu.

Integracija zamjenom (zamjena varijable). Neka je potrebno izračunati integral

, što nije tabelarno. Suština metode zamjene je da je u integralu varijabla X zamijeniti promjenljivom t prema formuli x=φ(t), gdje dx=φ’(t)dt.

Teorema. Neka funkcijax=φ(t) je definiran i diferencibilan na određenom skupu T i neka je X skup vrijednosti ove funkcije na kojem je funkcija definiranaf(x). Tada ako je na skupu X funkcijaf(

Antiderivativni i neodređeni integral.

Antiderivat funkcije f(x) na intervalu (a; b) je funkcija F(x) takva da jednakost vrijedi za bilo koji x iz datog intervala.

Ako uzmemo u obzir činjenicu da je izvod konstante C jednak nuli, onda je jednakost tačna . Dakle, funkcija f(x) ima skup antiderivata F(x)+C, za proizvoljnu konstantu C, a ti se antiderivati ​​međusobno razlikuju za proizvoljnu konstantnu vrijednost.

Cijeli skup antiderivata funkcije f(x) naziva se neodređenim integralom ove funkcije i označava se .

Izraz se naziva integrand, a f(x) se naziva integrand. Integrand predstavlja diferencijal funkcije f(x).

Radnja pronalaženja nepoznate funkcije s obzirom na njen diferencijal naziva se neodređenom integracijom, jer rezultat integracije nije jedna funkcija F(x), već skup njenih antiderivata F(x)+C.

Tablični integrali

Najjednostavnija svojstva integrala

1. Derivat rezultata integracije jednak je integrandu.

2. Neodređeni integral diferencijala funkcije jednak je zbiru same funkcije i proizvoljne konstante.

3. Koeficijent se može izvaditi iz predznaka neodređenog integrala.

4. Neodređeni integral zbira/razlike funkcija jednak je zbiru/razlici neodređenih integrala funkcija.

Za pojašnjenje date su međujednakosti prvog i drugog svojstva neodređenog integrala.

Da bismo dokazali treće i četvrto svojstvo, dovoljno je pronaći izvode desnih strana jednakosti:

Ove derivacije su jednake integrandima, što je dokaz zbog prvog svojstva. Također se koristi u posljednjim prijelazima.

Dakle, problem integracije je inverzan problemu diferencijacije i postoji vrlo bliska veza između ovih problema:

prvo svojstvo omogućava provjeru integracije. Za provjeru ispravnosti izvršene integracije dovoljno je izračunati derivaciju dobivenog rezultata. Ako se funkcija dobijena kao rezultat diferencijacije pokaže da je jednaka integrandu, to će značiti da je integracija obavljena ispravno;

drugo svojstvo neodređenog integrala omogućava da se pronađe njegov antiderivat iz poznatog diferencijala funkcije. Direktno izračunavanje neodređenih integrala zasniva se na ovoj osobini.

1.4. Invarijantnost integracionih oblika.

Invarijantna integracija je vrsta integracije za funkcije čiji su argumenti elementi grupe ili tačke homogenog prostora (svaka tačka u takvom prostoru može se preneti na drugu datom akcijom grupe).

funkcija f(x) se svodi na izračunavanje integrala diferencijalnog oblika f.w, gdje je

Eksplicitna formula za r(x) je data u nastavku. Uslov ugovora ima formu .

ovdje Tg označava operator pomaka na X koristeći gOG: Tgf(x)=f(g-1x). Neka je X=G topologija, grupa koja djeluje na sebe pomacima ulijevo. Ja i. postoji ako i samo ako je G lokalno kompaktan (posebno, na beskonačno-dimenzionalnim grupama I.I. ne postoji). Za podskup od I. i. karakteristična funkcija cA (jednaka 1 na A i 0 izvan A) specificira lijevu Xaar mjeru m(A). Definirajuće svojstvo ove mjere je njena invarijantnost prema lijevom pomaku: m(g-1A)=m(A) za sve gOG. Leva Haarova mera na grupi je jednoznačno definisana do pozitivnog skalarnog faktora. Ako je Haarova mjera m poznata, onda je I. i. funkcija f je data formulom . Prava Haarova mera ima slična svojstva. Postoji kontinuirani homomorfizam (karta koja čuva svojstvo grupe) DG grupe G u grupnu (u odnosu na množenje) poziciju. brojevi za koje

gdje su dmr i dmi desna i lijeva Haar mjera. Poziva se funkcija DG(g). modul grupe G. Ako je , tada se zove grupa G. unimodularno; u ovom slučaju desna i lijeva Haar mjera se poklapaju. Kompaktne, polujednostavne i nilpotentne (posebno komutativne) grupe su unimodularne. Ako je G n-dimenzionalna Lijeva grupa i q1,...,qn je baza u prostoru lijevo nepromjenjivih 1-forma na G, tada je lijeva Haarova mjera na G data n-formom. U lokalnim koordinatama za izračun

oblika qi, možete koristiti bilo koju matričnu realizaciju grupe G: matrica 1-forma g-1dg je lijevo nepromjenjiva, a njen koeficijent. su lijevo invarijantni skalarni 1-oblici iz kojih se bira tražena baza. Na primjer, kompletna matrična grupa GL(n, R) je unimodularna i Haarova mjera na njoj je data oblikom. Neka X=G/H je homogen prostor za koji je lokalno kompaktna grupa G transformaciona grupa, a zatvorena podgrupa H stabilizator određene tačke. Da bi i.i. postojao na X, potrebno je i dovoljno da za sve hOH vrijedi jednakost DG(h)=DH(h). To je posebno tačno u slučaju kada je H kompaktan ili polujednostavan. Kompletna teorija I. i. ne postoji na beskonačno-dimenzionalnim mnogostrukostima.

Zamjena varijabli.

Ova svojstva se koriste za izvođenje transformacija integrala kako bi se on sveo na jedan od elementarnih integrala i dalje izračunavanje.

1. Derivat neodređenog integrala jednak je integrandu:

2. Diferencijal neodređenog integrala jednak je integrandu:

3. Neodređeni integral diferencijala određene funkcije jednak je zbiru ove funkcije i proizvoljne konstante:

4. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:

Štaviše, a ≠ 0

5. Integral zbira (razlike) jednak je zbiru (razlici) integrala:

6. Nekretnina je kombinacija svojstava 4 i 5:

Štaviše, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Svojstvo invarijantnosti neodređenog integrala:

Ako onda

8. Nekretnina:

Ako onda

U stvari, ovo svojstvo je poseban slučaj integracije pomoću metode promjene promjenljive, o čemu se detaljnije govori u sljedećem odjeljku.

Pogledajmo primjer:

Prvo smo primijenili svojstvo 5, zatim svojstvo 4, zatim smo koristili tabelu antiderivata i dobili rezultat.

Algoritam našeg online integralnog kalkulatora podržava sva gore navedena svojstva i lako ih je pronaći detaljno rješenje za vaš integral.

Rješavanje integrala je lak zadatak, ali samo za nekolicinu odabranih. Ovaj članak je za one koji žele naučiti razumjeti integrale, a ne znaju ništa ili gotovo ništa o njima. Integral... Zašto je potreban? Kako to izračunati? Šta su određeni i neodređeni integrali?

Ako je jedina upotreba za koju znate za integral korištenje hekla u obliku integralne ikone kako biste izvukli nešto korisno sa teško dostupnih mjesta, dobrodošli! Saznajte kako riješiti najjednostavnije i druge integrale i zašto bez toga ne možete u matematici.

Proučavamo koncept « integral »

Integracija je bila poznata još u prošlosti Drevni Egipat. Naravno, ne u svom modernom obliku, ali ipak. Od tada, matematičari su napisali mnoge knjige na ovu temu. Posebno su se istakli Newton I Leibniz , ali suština stvari se nije promijenila.

Kako razumjeti integrale od nule? Nema šanse! Da biste razumjeli ovu temu, i dalje će vam trebati osnovno razumijevanje osnova. matematička analiza. Na našem blogu već imamo informacije o granicama i derivatima, neophodnim za razumijevanje integrala.

Neodređeni integral

Hajde da imamo neku funkciju f(x) .

Neodređena integralna funkcija f(x) ova funkcija se poziva F(x) , čiji je izvod jednak funkciji f(x) .

Drugim riječima, integral je obrnuti izvod ili antiderivat. Usput, pročitajte naš članak o tome kako izračunati derivate.

Antideritiv postoji za svakoga kontinuirane funkcije. Također, antiderivatu se često dodaje predznak konstante, jer se derivacije funkcija koje se razlikuju po konstanti poklapaju. Proces nalaženja integrala naziva se integracija.

Jednostavan primjer:

Da ne bi stalno računali antiderivate elementarne funkcije, zgodno ih je sažeti u tabelu i koristiti gotove vrijednosti.

Kompletna tabela integrala za studente

Definitivni integral

Kada se bavimo konceptom integrala, imamo posla sa beskonačno malim veličinama. Integral će vam pomoći da izračunate površinu figure, masu neujednačenog tijela, udaljenost prijeđenu tijekom neravnomjernog kretanja i još mnogo toga. Treba imati na umu da je integral zbir beskonačno velikog broja infinitezimalnih članova.

Kao primjer, zamislite graf neke funkcije.

Kako pronaći površinu figure ograničenu grafom funkcije? Koristeći integral! Podijelimo krivolinijski trapez, ograničen koordinatnim osama i grafom funkcije, na infinitezimalne segmente. Na ovaj način figura će biti podijeljena u tanke kolone. Zbir površina stupova bit će površina trapeza. Ali zapamtite da će takav izračun dati približan rezultat. Međutim, što su segmenti manji i uži, to će proračun biti precizniji. Ako ih smanjimo do te mjere da dužina teži nuli, tada će zbir površina segmenata težiti površini figure. Ovo je definitivni integral, koji se piše ovako:

Tačke a i b nazivaju se granice integracije.

« Integral »

Između ostalog! Za naše čitaoce sada postoji popust od 10%. bilo koju vrstu posla

Pravila za izračunavanje integrala za lutke

Svojstva neodređenog integrala

Kako riješiti neodređeni integral? Ovdje ćemo pogledati svojstva neodređenog integrala, koja će biti korisna pri rješavanju primjera.

• Izvod integrala je jednak integrandu:

• Konstanta se može izvaditi ispod predznaka integrala:

• Integral zbira jednak je zbiru integrala. Ovo važi i za razliku:

Svojstva određenog integrala

• Linearnost:

• Predznak integrala se mijenja ako se granice integracije zamijene:

• At bilo koji bodova a, b I With:

Već smo saznali da je određeni integral granica sume. Ali kako dobiti određenu vrijednost prilikom rješavanja primjera? Za to postoji Newton-Leibnizova formula:

Primjeri rješavanja integrala

U nastavku ćemo razmotriti neodređeni integral i primjere s rješenjima. Predlažemo da sami shvatite zamršenost rješenja, a ako vam nešto nije jasno, postavite pitanja u komentarima.

Da biste pojačali gradivo, pogledajte video o tome kako se integrali rješavaju u praksi. Ne očajavajte ako se integral ne da odmah. Obratite se stručnoj službi za studente i svaki trostruki ili zakrivljeni integral na zatvorenoj površini bit će u vašoj moći.