Integrali i njihova svojstva. Osnovna svojstva neodređenog integrala. Osnovna svojstva određenog integrala

Neka funkcija y = f(x) je definiran na intervalu [ a, b ], a < b. Izvršimo sljedeće operacije:

1) hajde da se podelimo [ a, b] tačke a = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b on n djelomični segmenti [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) u svakom od parcijalnih segmenata [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, odaberite proizvoljnu tačku i izračunajte vrijednost funkcije u ovoj tački: f(z i ) ;

3) pronađite radove f(z i ) · Δ x i , gdje je dužina parcijalnog segmenta [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;

4) hajde da se pomirimo integralni zbir funkcije y = f(x) na segmentu [ a, b ]:

WITH geometrijska tačka Iz vizuelne perspektive, ovaj zbir σ je zbir površina pravougaonika čije su osnove parcijalni segmenti [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ], a visine su jednake f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) prema tome (slika 1). Označimo sa λ dužina najdužeg djelomičnog segmenta:

5) naći granicu integralnog zbira kada λ → 0.

Definicija. Ako postoji konačna granica integralne sume (1) i ne zavisi od metode particionisanja segmenta [ a, b] do parcijalnih segmenata, niti od izbora tačaka z i u njima, onda se ova granica zove definitivni integral od funkcije y = f(x) na segmentu [ a, b] i označava se

dakle,

U ovom slučaju funkcija f(x) se zove integrabilan na [ a, b]. Brojevi a I b nazivaju se donja i gornja granica integracije, respektivno, f(x) – integrand funkcija, f(x ) dx– integrand izraz, x– integraciona varijabla; segment linije [ a, b] se naziva interval integracije.

Teorema 1. Ako je funkcija y = f(x) je kontinuiran na intervalu [ a, b], onda je integrabilan na ovom intervalu.

Definitivni integral sa istim granicama integracije jednak je nuli:

Ako a > b, onda, po definiciji, pretpostavljamo

2. Geometrijsko značenje određenog integrala

Neka na segmentu [ a, b] specificirana je kontinuirana nenegativna funkcija y = f(x ) . Krivolinijski trapez je figura ograničena odozgo grafom funkcije y = f(x), odozdo - duž ose Ox, lijevo i desno - ravne linije x = a I x = b(Sl. 2).

Definitivni integral nenegativne funkcije y = f(x) sa geometrijske tačke gledišta jednaka površini krivolinijski trapez omeđen iznad grafikom funkcije y = f(x) , lijevo i desno – segmenti linije x = a I x = b, odozdo - segment ose Ox.

3. Osnovna svojstva određenog integrala

1. Značenje definitivni integral ne zavisi od oznake integracione varijable:

2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka definitivnog integrala:

3. Definitivni integral algebarskog zbira dvije funkcije jednak je algebarskom zbiru određenih integrala ovih funkcija:

4.If funkcija y = f(x) je integrabilan na [ a, b] I a < b < c, To

5. (teorema srednje vrijednosti). Ako je funkcija y = f(x) je kontinuiran na intervalu [ a, b], onda na ovom segmentu postoji tačka takva da

4. Newton–Leibniz formula

Teorema 2. Ako je funkcija y = f(x) je kontinuiran na intervalu [ a, b] I F(x) je bilo koji od njegovih antiderivata na ovom segmentu, tada vrijedi sljedeća formula:

koji se zove Newton–Leibnizova formula. Razlika F(b) - F(a) se obično piše na sljedeći način:

gdje se simbol naziva dvostrukim zamjenskim znakom.

Dakle, formula (2) se može napisati kao:

Primjer 1. Izračunaj integral

Rješenje. Za integrand f(x ) = x 2 proizvoljni antiderivat ima oblik

Budući da se u Newton-Leibnizovoj formuli može koristiti bilo koji antiderivat, za izračunavanje integrala uzimamo antiderivat koji ima najjednostavniji oblik:

5. Promjena varijable u određenom integralu

Teorema 3. Neka funkcija y = f(x) je kontinuiran na intervalu [ a, b]. ako:

1) funkcija x = φ ( t) i njegov derivat φ "( t) su kontinuirani za ;

2) skup vrijednosti funkcije x = φ ( t) za je segment [ a, b ];

3) φ ( a) = a, φ ( b) = b, tada je formula važeća

koji se zove formula za promjenu varijable u određenom integralu .

Za razliku od neodređeni integral, V u ovom slučaju nije potrebno da se vratimo na prvobitnu integracijsku varijablu - dovoljno je samo pronaći nove granice integracije α i β (za to je potrebno riješiti za varijablu t jednadžbe φ ( t) = a i φ ( t) = b).

Umjesto zamjene x = φ ( t) možete koristiti zamjenu t = g(x) . U ovom slučaju, pronalaženje novih granica integracije nad varijablom t pojednostavljuje: α = g(a) , β = g(b) .

Primjer 2. Izračunaj integral

Rješenje. Hajde da uvedemo novu varijablu koristeći formulu. Kvadriranjem obe strane jednakosti dobijamo 1 + x = t 2 , gdje x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Nalazimo nove granice integracije. Da bismo to učinili, zamijenimo stara ograničenja u formulu x = 3 i x = 8. Dobijamo: , odakle t= 2 i α = 2; , gdje t= 3 i β = 3. Dakle,

Primjer 3. Izračunati

Rješenje. Neka u= log x, Zatim , v = x. Prema formuli (4)

Antiderivativni i neodređeni integral.

Antiderivat funkcije f(x) na intervalu (a; b) je funkcija F(x) takva da jednakost vrijedi za bilo koji x iz datog intervala.

Ako uzmemo u obzir činjenicu da je izvod konstante C jednak nuli, onda je jednakost tačna . Dakle, funkcija f(x) ima skup antiderivata F(x)+C, za proizvoljnu konstantu C, a ti se antiderivati ​​međusobno razlikuju za proizvoljnu konstantnu vrijednost.

Cijeli skup antiderivata funkcije f(x) naziva se neodređenim integralom ove funkcije i označava se .

Izraz se naziva integrand, a f(x) se naziva integrand. Integrand predstavlja diferencijal funkcije f(x).

Radnja pronalaženja nepoznate funkcije s obzirom na njen diferencijal naziva se neodređenom integracijom, jer rezultat integracije nije jedna funkcija F(x), već skup njenih antiderivata F(x)+C.

Tablični integrali

Najjednostavnija svojstva integrala

1. Derivat rezultata integracije jednak je integrandu.

2. Neodređeni integral diferencijalne funkcije jednak zbiru sama funkcija i proizvoljna konstanta.

3. Koeficijent se može izvaditi iz predznaka neodređenog integrala.

4. Neodređeni integral zbira/razlike funkcija jednak je zbiru/razlici neodređenih integrala funkcija.

Za pojašnjenje date su međujednakosti prvog i drugog svojstva neodređenog integrala.

Da bismo dokazali treće i četvrto svojstvo, dovoljno je pronaći izvode desnih strana jednakosti:

Ove derivacije su jednake integrandima, što je dokaz zbog prvog svojstva. Također se koristi u posljednjim prijelazima.

Dakle, problem integracije je inverzan problemu diferencijacije i postoji vrlo bliska veza između ovih problema:

prvo svojstvo omogućava provjeru integracije. Za provjeru ispravnosti izvršene integracije dovoljno je izračunati derivaciju dobivenog rezultata. Ako se funkcija dobijena kao rezultat diferencijacije pokaže da je jednaka integrandu, to će značiti da je integracija obavljena ispravno;

drugo svojstvo neodređenog integrala omogućava da se pronađe njegov antiderivat iz poznatog diferencijala funkcije. Direktno izračunavanje neodređenih integrala zasniva se na ovoj osobini.

1.4. Invarijantnost integracionih oblika.

Invarijantna integracija je vrsta integracije za funkcije čiji su argumenti elementi grupe ili tačke homogenog prostora (svaka tačka u takvom prostoru može se preneti na drugu datom akcijom grupe).

funkcija f(x) se svodi na izračunavanje integrala diferencijalnog oblika f.w, gdje je

Eksplicitna formula za r(x) je data u nastavku. Uslov ugovora ima formu .

ovdje Tg označava operator pomaka na X koristeći gOG: Tgf(x)=f(g-1x). Neka je X=G topologija, grupa koja djeluje na sebe pomacima ulijevo. Ja i. postoji ako i samo ako je G lokalno kompaktan (posebno, na beskonačno-dimenzionalnim grupama I.I. ne postoji). Za podskup od I. i. karakteristična funkcija cA (jednaka 1 na A i 0 izvan A) specificira lijevu Xaar mjeru m(A). Definirajuće svojstvo ove mjere je njena invarijantnost prema lijevom pomaku: m(g-1A)=m(A) za sve gOG. Leva Haarova mera na grupi je jednoznačno definisana do pozitivnog skalarnog faktora. Ako je Haarova mjera m poznata, onda je I. i. funkcija f je data formulom . Prava Haarova mera ima slična svojstva. Postoji kontinuirani homomorfizam (karta koja čuva svojstvo grupe) DG grupe G u grupnu (u odnosu na množenje) poziciju. brojevi za koje

gdje su dmr i dmi desna i lijeva Haar mjera. Poziva se funkcija DG(g). modul grupe G. Ako je , tada se zove grupa G. unimodularno; u ovom slučaju desna i lijeva Haar mjera se poklapaju. Kompaktne, polujednostavne i nilpotentne (posebno komutativne) grupe su unimodularne. Ako je G n-dimenzionalna Lijeva grupa i q1,...,qn je baza u prostoru lijevo nepromjenjivih 1-forma na G, tada je lijeva Haarova mjera na G data n-formom. U lokalnim koordinatama za izračun

oblika qi, možete koristiti bilo koju matričnu realizaciju grupe G: matrica 1-forma g-1dg je lijevo nepromjenjiva, a njen koeficijent. su lijevo invarijantni skalarni 1-oblici iz kojih se bira tražena baza. Na primjer, kompletna matrična grupa GL(n, R) je unimodularna i Haarova mjera na njoj je data oblikom. Neka X=G/H je homogen prostor za koji je lokalno kompaktna grupa G transformaciona grupa, a zatvorena podgrupa H stabilizator određene tačke. Da bi i.i. postojao na X, potrebno je i dovoljno da za sve hOH vrijedi jednakost DG(h)=DH(h). To je posebno tačno u slučaju kada je H kompaktan ili polujednostavan. Kompletna teorija I. i. ne postoji na beskonačno-dimenzionalnim mnogostrukostima.

Zamjena varijabli.

Rješavanje integrala je lak zadatak, ali samo za nekolicinu odabranih. Ovaj članak je za one koji žele naučiti razumjeti integrale, a ne znaju ništa ili gotovo ništa o njima. Integral... Zašto je potreban? Kako to izračunati? Šta su određeni i neodređeni integrali?

Ako je jedina upotreba za koju znate za integral korištenje hekla u obliku integralne ikone kako biste izvukli nešto korisno sa teško dostupnih mjesta, dobrodošli! Saznajte kako riješiti najjednostavnije i druge integrale i zašto bez toga ne možete u matematici.

Proučavamo koncept « integral »

Integracija je bila poznata još u prošlosti Drevni Egipat. Naravno, ne u svom modernom obliku, ali ipak. Od tada, matematičari su napisali mnoge knjige na ovu temu. Posebno su se istakli Newton I Leibniz , ali suština stvari se nije promijenila.

Kako razumjeti integrale od nule? Nema šanse! Da biste razumjeli ovu temu, i dalje će vam trebati osnovno razumijevanje osnova. matematička analiza. Na našem blogu već imamo informacije o , neophodne za razumijevanje integrala.

Neodređeni integral

Hajde da imamo neku funkciju f(x) .

Neodređena integralna funkcija f(x) ova funkcija se poziva F(x) , čiji je izvod jednak funkciji f(x) .

Drugim riječima, integral je obrnuti izvod ili antiderivat. Usput, o tome pročitajte u našem članku.

Antiderivat postoji za sve kontinuirane funkcije. Također, antiderivatu se često dodaje predznak konstante, jer se derivacije funkcija koje se razlikuju po konstanti poklapaju. Proces nalaženja integrala naziva se integracija.

Jednostavan primjer:

Da ne bi stalno računali antiderivate elementarne funkcije, zgodno ih je sažeti u tabelu i koristiti gotove vrijednosti.

Kompletna tabela integrala za studente

Definitivni integral

Kada se bavimo konceptom integrala, imamo posla sa beskonačno malim veličinama. Integral će vam pomoći da izračunate površinu figure, masu neujednačenog tijela, udaljenost prijeđenu tijekom neravnomjernog kretanja i još mnogo toga. Treba imati na umu da je integral zbir beskonačno velikog broja infinitezimalnih članova.

Kao primjer, zamislite graf neke funkcije.

Kako pronaći površinu figure ograničenu grafom funkcije? Koristeći integral! Podijelimo krivolinijski trapez, ograničen koordinatnim osama i grafom funkcije, na infinitezimalne segmente. Na ovaj način figura će biti podijeljena u tanke kolone. Zbir površina stupova bit će površina trapeza. Ali zapamtite da će takav izračun dati približan rezultat. Međutim, što su segmenti manji i uži, to će proračun biti precizniji. Ako ih smanjimo do te mjere da dužina teži nuli, tada će zbir površina segmenata težiti površini figure. Ovo je definitivni integral, koji se piše ovako:

Tačke a i b nazivaju se granice integracije.

« Integral »

Između ostalog! Za naše čitaoce sada postoji popust od 10%.

Pravila za izračunavanje integrala za lutke

Svojstva neodređenog integrala

Kako riješiti neodređeni integral? Ovdje ćemo pogledati svojstva neodređenog integrala, koja će biti korisna pri rješavanju primjera.

• Izvod integrala je jednak integrandu:

• Konstanta se može izvaditi ispod predznaka integrala:

• Integral zbira jednak je zbiru integrala. Ovo važi i za razliku:

Svojstva određenog integrala

• Linearnost:

• Predznak integrala se mijenja ako se granice integracije zamijene:

• At bilo koji bodova a, b I With:

Već smo saznali da je određeni integral granica sume. Ali kako dobiti određenu vrijednost prilikom rješavanja primjera? Za to postoji Newton-Leibnizova formula:

Primjeri rješavanja integrala

U nastavku ćemo razmotriti neodređeni integral i primjere s rješenjima. Predlažemo da sami shvatite zamršenost rješenja, a ako vam nešto nije jasno, postavite pitanja u komentarima.

Da biste pojačali gradivo, pogledajte video o tome kako se integrali rješavaju u praksi. Ne očajavajte ako se integral ne da odmah. Obratite se stručnoj službi za studente i svaki trostruki ili zakrivljeni integral na zatvorenoj površini bit će u vašoj moći.

Ovaj članak detaljno govori o glavnim svojstvima određenog integrala. Oni se dokazuju korištenjem koncepta Riemann-ovog i Darbouxovog integrala. Izračunavanje određenog integrala odvija se zahvaljujući 5 svojstava. Preostali se koriste za evaluaciju različitih izraza.

Prije nego što pređemo na glavna svojstva određenog integrala, potrebno je osigurati da a ne prelazi b.

Osnovna svojstva određenog integrala

Funkcija y = f (x) definirana na x = a slična je jednakosti ∫ a a f (x) d x = 0.

Dokazi 1

Iz ovoga vidimo da je vrijednost integrala sa podudarnim granicama jednaka nuli. Ovo je posljedica Riemanovog integrala, jer svaki integralni zbir σ za bilo koju particiju na intervalu [ a ; a ] i bilo koji izbor tačaka ζ i jednak je nuli, jer x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , što znači da nalazimo da je granica integralnih funkcija nula.

Definicija 2

Za funkciju koja je integrabilna na intervalu [a; b ] , uslov ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x je zadovoljen.

Dokazi 2

Drugim riječima, ako zamijenite gornju i donju granicu integracije, vrijednost integrala će se promijeniti u suprotnu vrijednost. Ovo svojstvo je preuzeto iz Riemanovog integrala. Međutim, numerisanje particije segmenta počinje od tačke x = b.

Definicija 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x se odnosi na integrabilne funkcije tipa y = f (x) i y = g (x) definisane na intervalu [ a ; b ] .

Dokazi 3

Zapišite integralni zbir funkcije y = f (x) ± g (x) za podjelu na segmente sa datim izborom tačaka ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

gdje su σ f i σ g integralni zbroji funkcija y = f (x) i y = g (x) za particioniranje segmenta. Nakon prelaska na granicu na λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 dobijamo da je lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Prema Riemannovoj definiciji, ovaj izraz je ekvivalentan.

Definicija 4

Proširivanje konstantnog faktora izvan predznaka određenog integrala. Integrirana funkcija iz intervala [a; b ] sa proizvoljnom vrijednošću k ima fer nejednakost oblika ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Dokaz 4

Dokaz definitivnog integralnog svojstva sličan je prethodnom:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

Definicija 5

Ako je funkcija oblika y = f (x) integrabilna na intervalu x sa a ∈ x, b ∈ x, dobijamo da je ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x.

Dokazi 5

Svojstvo se smatra važećim za c ∈ a; b, za c ≤ a i c ≥ b. Dokaz je sličan prethodnim osobinama.

Definicija 6

Kada funkcija može biti integrabilna iz segmenta [a; b ], onda je to izvodljivo za bilo koji interni segment c; d ∈ a; b.

Dokaz 6

Dokaz se temelji na Darboux svojstvu: ako se točke dodaju postojećoj particiji segmenta, tada se donja Darbouxova suma neće smanjiti, a gornja se neće povećati.

Definicija 7

Kada je funkcija integrabilna na [a; b ] iz f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 za bilo koju vrijednost x ∈ a ; b , onda dobijamo da je ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Svojstvo se može dokazati pomoću definicije Riemanovog integrala: bilo koji integralni zbir za bilo koji izbor tačaka podjele segmenta i tačaka ζ i uz uvjet da je f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 nenegativna .

Dokazi 7

Ako su funkcije y = f (x) i y = g (x) integrabilne na intervalu [ a ; b ], tada se sljedeće nejednakosti smatraju važećim:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Zahvaljujući izjavi znamo da je integracija dozvoljena. Ovaj zaključak će se koristiti u dokazu drugih svojstava.

Definicija 8

Za integrabilnu funkciju y = f (x) iz intervala [ a ; b ] imamo pravednu nejednakost oblika ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Dokaz 8

Imamo da je - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Iz prethodnog svojstva utvrdili smo da se nejednakost može integrirati pojam po član i ona odgovara nejednakosti oblika - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Ova dvostruka nejednakost se može napisati u drugom obliku: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Definicija 9

Kada su funkcije y = f (x) i y = g (x) integrirane iz intervala [ a ; b ] za g (x) ≥ 0 za bilo koji x ∈ a ; b , dobijamo nejednakost oblika m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , gdje je m = m i n x ∈ a ; b f (x) i M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Dokazi 9

Dokaz se izvodi na sličan način. M i m se smatraju najvećim i najmanjim vrijednostima funkcije y = f (x) definirane iz segmenta [a; b ] , tada je m ≤ f (x) ≤ M . Dvostruku nejednačinu potrebno je pomnožiti sa funkcijom y = g (x), koja daje vrijednost dvostruka nejednakost oblika m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ M · g (x) . Potrebno ga je integrisati na intervalu [a; b ] , tada dobijamo da se tvrdnja dokaže.

Posljedica: Za g (x) = 1, nejednakost ima oblik m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .

Prva prosječna formula

Za y = f (x) integrabilan na intervalu [ a ; b ] sa m = m i n x ∈ a ; b f (x) i M = m a x x ∈ a ; b f (x) postoji broj μ ∈ m; M , što odgovara ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Posljedica: Kada je funkcija y = f (x) kontinuirana iz intervala [ a ; b ], tada postoji broj c ∈ a; b, što zadovoljava jednakost ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

Prva prosječna formula u generaliziranom obliku

Kada su funkcije y = f (x) i y = g (x) integrabilne iz intervala [ a ; b ] sa m = m i n x ∈ a ; b f (x) i M = m a x x ∈ a ; b f (x) , i g (x) > 0 za bilo koju vrijednost x ∈ a ; b. Odavde imamo da postoji broj μ ∈ m; M , što zadovoljava jednakost ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Druga prosječna formula

Kada je funkcija y = f (x) integrabilna iz intervala [ a ; b ], a y = g (x) je monotona, onda postoji broj da je c ∈ a; b , gdje dobijamo pravednu jednakost oblika ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U diferencijalnom računu problem je riješen: pod ovom funkcijom ƒ(x) naći njen izvod(ili diferencijal). Integralni račun rješava inverzni problem: pronađite funkciju F(x), znajući njen izvod F"(x)=ƒ(x) (ili diferencijal). Tražena funkcija F(x) naziva se antiderivatom funkcije ƒ(x) ).

Poziva se funkcija F(x). antiderivativ funkcija ƒ(x) na intervalu (a; b), ako je za bilo koje x ê (a; b) jednakost

F " (x)=ƒ(x) (ili dF(x)=ƒ(x)dx).

Na primjer, antiderivat funkcije y = x 2, x ê R, je funkcija, jer

Očigledno, sve funkcije će također biti antiderivate

gdje je C konstanta, jer

Teorema 29. 1. Ako je funkcija F(x) antiderivat funkcije ƒ(x) na (a;b), tada je skup svih antiderivata za ƒ(x) dan formulom F(x)+ C, gdje je C konstantan broj.

▲ Funkcija F(x)+C je antiderivat od ƒ(x).

Zaista, (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

Neka je F(x) neki drugi, različit od F(x), antiderivat funkcije ƒ(x), tj. F "(x)=ƒ(h). Tada za bilo koje x ê (a;b) imamo

A to znači (vidi Korolar 25.1) da

gdje je C konstantan broj. Prema tome, F(x)=F(x)+S.▼

Poziva se skup svih antiderivativnih funkcija F(x)+S za ƒ(x). neodređeni integral funkcije ƒ(x) i označava se simbolom ∫ ƒ(x) dx.

Dakle, po definiciji

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Ovdje se poziva ƒ(x). integrand funkcija, ƒ(x)dx — integrand izraz, X - integracijska varijabla, ∫ -znak neodređenog integrala.

Operacija pronalaženja neodređenog integrala funkcije naziva se integriranjem ove funkcije.

Geometrijski gledano, neodređeni integral je porodica „paralelnih“ krivih y=F(x)+C (svaka numerička vrednost C odgovara specifičnoj krivoj porodice) (vidi sliku 166). Graf svakog antiderivata (kriva) se zove integralna kriva.

Da li svaka funkcija ima neodređeni integral?

Postoji teorema koja kaže da “svaka funkcija kontinuirana na (a;b) ima antiderivativ na ovom intervalu,” i, posljedično, neodređeni integral.

Zapazimo niz svojstava neodređenog integrala koja proizlaze iz njegove definicije.

1. Diferencijal neodređenog integrala jednak je integrandu, a derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dh, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Zaista, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Zahvaljujući ovoj osobini, ispravnost integracije se provjerava diferencijacijom. Na primjer, jednakost

∫(3x 2 + 4) dx=h z +4h+S

tačno, pošto (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. Neodređeni integral diferencijala određene funkcije jednak je zbiru ove funkcije i proizvoljne konstante:

∫dF(x)= F(x)+C.

stvarno,

3. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:

α ≠ 0 je konstanta.

stvarno,

(stavite C 1 / a = C.)

4. Neodređeni integral algebarskog zbira konačnog broja kontinuiranih funkcija jednak je algebarskom zbiru integrala sabiraka funkcija:

Neka je F"(x)=ƒ(x) i G"(x)=g(x). Onda

gdje je C 1 ±C 2 =C.

5. (Invarijantnost formule integracije).

Ako , gdje je u=φ(x) proizvoljna funkcija s kontinuiranim izvodom.

▲ Neka je x nezavisna varijabla, ƒ(x) - kontinuirana funkcija a F(x) je njegov antigen. Onda

Postavimo sada u=φ(x), gdje je φ(x) kontinuirano diferencibilna funkcija. Razmotrimo kompleksnu funkciju F(u)=F(φ(x)). Zbog invarijantnosti oblika prvog diferencijala funkcije (vidi str. 160), imamo

Odavde▼

Dakle, formula za neodređeni integral ostaje važeća bez obzira da li je varijabla integracije nezavisna varijabla ili bilo koja njena funkcija koja ima kontinuirani izvod.

Dakle, iz formule zamjenom x sa u (u=φ(x)) dobijamo

posebno,

Primjer 29.1. Pronađite integral

gdje je C=C1+C 2 +C 3 +C 4.

Primjer 29.2. Pronađite integralno rješenje:

• 29.3. Tabela osnovnih neodređenih integrala

Koristeći činjenicu da je integracija inverzno djelovanje diferencijacije, može se dobiti tabela osnovnih integrala invertiranjem odgovarajućih formula diferencijalnog računa (tabela diferencijala) i korištenjem svojstava neodređenog integrala.

Na primjer, jer

d(sin u)=cos u . du

Izvođenje većeg broja formula u tabeli će biti dato prilikom razmatranja osnovnih metoda integracije.

Integrali u tabeli ispod nazivaju se tabelarni. Treba ih znati napamet. U integralnom računu ne postoje jednostavna i univerzalna pravila za pronalaženje antiderivata elementarnih funkcija, kao u diferencijalnom računu. Metode za pronalaženje antiderivata (tj. integracija funkcije) svode se na indiciranje tehnika koje dovode dati (traženi) integral u tabelarni. Stoga je neophodno poznavati tablične integrale i znati ih prepoznati.

Imajte na umu da u tabeli osnovnih integrala varijabla integracije može označavati i nezavisnu varijablu i funkciju nezavisne varijable (prema svojstvu invarijantnosti formule integracije).

Ispravnost donjih formula može se provjeriti uzimanjem diferencijala na desnoj strani, koji će biti jednak integrandu na lijevoj strani formule.

Dokažimo, na primjer, valjanost formule 2. Funkcija 1/u je definirana i kontinuirana za sve vrijednosti od i osim nule.

Ako je u > 0, onda je ln|u|=lnu Zbog toga

Ako u<0, то ln|u|=ln(-u). НоSredstva

Dakle, formula 2 je tačna. Slično, provjerimo formulu 15:

Tabela glavnih integrala

Prijatelji! Pozivamo vas na diskusiju. Ako imate svoje mišljenje, pišite nam u komentarima.