Integracija - MT1205: Matematička analiza za ekonomiste - Poslovna informatika. Integriranje nekih razlomaka. Metode i tehnike rješavanja Pravila za integraciju razlomaka

Razlomak se zove ispravan, ako je najviši stepen brojioca manji od najvišeg stepena nazivnika. Integral pravilnog racionalnog razlomka ima oblik:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Formula za integraciju racionalnih razlomaka ovisi o korijenima polinoma u nazivniku. Ako polinom $ ax^2+bx+c $ ima:

1. Samo kompleksni korijeni, onda je iz njega potrebno izdvojiti cijeli kvadrat: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Različiti realni korijeni $ x_1 $ i $ x_2 $, tada trebate proširiti integral i pronaći neodređene koeficijente $ A $ i $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Jedan višestruki korijen $ x_1 $, zatim proširimo integral i pronađemo neodređene koeficijente $ A $ i $ B $ za sljedeću formulu: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Ako je razlomak pogrešno, odnosno, najviši stepen u brojiocu je veći ili jednak najvećem stepenu nazivnika, onda se prvo mora svesti na ispravan oblik dijeljenjem polinoma od brojnika sa polinomom od nazivnika. IN u ovom slučaju formula za integraciju racionalnog razlomka ima oblik:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Primjeri rješenja

Materijal predstavljen u ovoj temi zasnovan je na informacijama predstavljenim u temi "Racionalni razlomci. Dekompozicija racionalnih razlomaka na elementarne (jednostavne) razlomke". Toplo preporučujem da barem preletite ovu temu prije nego što pređete na čitanje. ovog materijala. Osim toga, trebat će nam tabela neodređenih integrala.

Dozvolite mi da vas podsjetim na nekoliko pojmova. O njima je bilo reči u odgovarajućoj temi, pa ću se ovde ograničiti na kratku formulaciju.

Omjer dva polinoma $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ naziva se racionalna funkcija ili racionalni razlomak. Racionalni razlomak se zove ispravan, ako je $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется pogrešno.

Elementarni (najjednostavniji) racionalni razlomci su racionalni razlomci četiri tipa:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Napomena (poželjno za potpunije razumijevanje teksta): prikaži\sakrij

Zašto je potreban uslov $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Na primjer, za izraz $x^2+5x+10$ dobijamo: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Pošto je $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Inače, za ovu provjeru uopće nije potrebno da koeficijent prije $x^2$ bude jednak 1. Na primjer, za $5x^2+7x-3=0$ dobijamo: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Pošto je $D > 0$, izraz $5x^2+7x-3$ se može faktorizovati.

Mogu se pronaći primjeri racionalnih razlomaka (pravilnih i nepravilnih), kao i primjeri razlaganja racionalnog razlomka na elementarne. Ovdje će nas zanimati samo pitanja njihove integracije. Počnimo s integracijom elementarnih razlomaka. Dakle, svaki od četiri tipa elementarnih razlomaka iznad je lako integrirati koristeći formule u nastavku. Da vas podsjetim da se pri integraciji razlomaka tipa (2) i (4) pretpostavljaju $n=2,3,4,\ldots$. Formule (3) i (4) zahtijevaju ispunjenje uslova $p^2-4q< 0$.

\begin(jednačina) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(jednačina) \begin(jednačina) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(jednadžba) \begin(jednačina) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(jednačina)

Za $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ vrši se zamjena $t=x+\frac(p)(2)$, nakon čega je rezultujući interval podijeljeno na dva. Prvi će se izračunati unosom pod znakom diferencijala, a drugi će imati oblik $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ovaj integral se uzima korištenjem rekurentne relacije

\begin(jednačina) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\u N\kraj (jednačina)

Proračun takvog integrala je razmatran u primjeru br. 7 (vidi treći dio).

Šema za izračunavanje integrala racionalnih funkcija (racionalnih razlomaka):

1. Ako je integrand elementaran, onda primijeniti formule (1)-(4).
2. Ako integrand nije elementaran, onda ga predstavite kao zbir elementarnih razlomaka, a zatim integrirajte koristeći formule (1)-(4).

Gornji algoritam za integraciju racionalnih razlomaka ima neospornu prednost - univerzalan je. One. koristeći ovaj algoritam možete integrirati bilo koji racionalni razlomak. Zbog toga se gotovo sve promjene varijabli u neodređenom integralu (Euler, Chebyshev, univerzalna trigonometrijska zamjena) vrše na način da nakon ove promjene dobijemo racionalni razlomak ispod intervala. I onda primenite algoritam na to. Analizirat ćemo direktnu primjenu ovog algoritma koristeći primjere, nakon što napravimo malu napomenu.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

U principu, ovaj integral je lako dobiti bez mehaničke primjene formule. Ako iz predznaka integrala uzmemo konstantu $7$ i uzmemo u obzir da je $dx=d(x+9)$, dobićemo:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Za detaljnije informacije preporučujem da pogledate temu. Ona detaljno objašnjava kako se takvi integrali rješavaju. Inače, formula je dokazana istim transformacijama koje su primijenjene u ovom paragrafu prilikom rješavanja „ručno“.

2) Opet, postoje dva načina: koristite gotovu formulu ili bez nje. Ako primijenite formulu, treba uzeti u obzir da će se koeficijent ispred $x$ (broj 4) morati ukloniti. Da bismo to uradili, jednostavno izvadimo ovo četiri iz zagrada:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\levo(x+\frac(19)(4)\desno)^8). $$

Sada je vrijeme da primijenite formulu:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \desno)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Možete i bez upotrebe formule. Čak i bez uzimanja konstantnih 4$ iz zagrada. Ako uzmemo u obzir da je $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, dobijamo:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Detaljna objašnjenja za pronalaženje ovakvih integrala data su u temi “Integracija supstitucijom (supstitucija pod predznakom diferencijala)”.

3) Trebamo integrirati razlomak $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Ovaj razlomak ima strukturu $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, gdje je $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Međutim, da biste bili sigurni da je ovo zaista elementarni razlomak trećeg tipa, morate provjeriti da li je ispunjen uvjet $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Rešimo isti primer, ali bez upotrebe gotove formule. Pokušajmo izolirati derivaciju nazivnika u brojiocu. Šta to znači? Znamo da je $(x^2+10x+34)"=2x+10$. To je izraz $2x+10$ koji moramo izolovati u brojiocu. Do sada brojilac sadrži samo $4x+7$, ali ovo neće dugo trajati. Primijenimo sljedeću transformaciju na brojilac:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Sada se u brojiocu pojavljuje traženi izraz $2x+10$. A naš integral se može prepisati na sljedeći način:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Podijelimo integrand na dva. Pa, i, shodno tome, sam integral je takođe "razdvojen":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \desno)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Hajdemo prvo govoriti o prvom integralu, tj. oko $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Budući da je $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, tada brojnik integrala sadrži diferencijal nazivnika. Ukratko, umjesto toga od izraza $( 2x+10)dx$ pišemo $d(x^2+10x+34)$.

Recimo sada nekoliko riječi o drugom integralu. Odaberimo ceo kvadrat u nazivniku: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Osim toga, uzimamo u obzir $dx=d(x+5)$. Sada se zbroj integrala koji smo ranije dobili može prepisati u malo drugačijem obliku:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Ako izvršimo zamjenu $u=x^2+10x+34$ u prvom integralu, tada će ona poprimiti oblik $\int\frac(du)(u)$ i može se dobiti jednostavnom primjenom druge formule iz . Što se tiče drugog integrala, za njega je izvodljiva promjena $u=x+5$, nakon čega će dobiti oblik $\int\frac(du)(u^2+9)$. Ovo je najčistija jedanaesta formula iz tabele neodređenih integrala. Dakle, vraćajući se na zbir integrala, imamo:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Dobili smo isti odgovor kao i prilikom primjene formule, što, strogo govoreći, nije iznenađujuće. Općenito, formula se dokazuje istim metodama koje smo koristili za pronalaženje ovog integrala. Vjerujem da bi pažljivi čitatelj mogao imati jedno pitanje ovdje, pa ću ga formulirati:

Pitanje br. 1

Ako drugu formulu iz tabele neodređenih integrala primenimo na integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, dobićemo sledeće:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Zašto u rješenju nije bilo modula?

Odgovor na pitanje #1

Pitanje je potpuno prirodno. Modul je nedostajao samo zato što je izraz $x^2+10x+34$ za bilo koji $x\in R$ veći od nule. Ovo je prilično lako prikazati na nekoliko načina. Na primjer, pošto je $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ i $(x+5)^2 ≥ 0$, tada je $(x+5)^2+9 > 0$ . Možete razmišljati drugačije, bez korištenja odabira cijelog kvadrata. Od $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ za bilo koji $x\in R$ (ako je ovaj logički lanac iznenađujući, savjetujem vam da pogledate grafičku metodu za rješavanje kvadratnih nejednačina). U svakom slučaju, pošto je $x^2+10x+34 > 0$, onda je $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, tj. Umjesto modula, možete koristiti obične zagrade.

Sve tačke primjera br. 1 su riješene, preostaje samo da zapišete odgovor.

Odgovori:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Primjer br. 2

Pronađite integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Na prvi pogled, integrand razlomak $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ je vrlo sličan elementarnom razlomku trećeg tipa, tj. po $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Čini se da je jedina razlika koeficijent od $3$ ispred $x^2$, ali nije potrebno dugo da se koeficijent ukloni (izbacite ga iz zagrada). Međutim, ova sličnost je očigledna. Za razlomak $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ uslov $p^2-4q je obavezan< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Naš koeficijent prije $x^2$ nije jednak jedinici, stoga provjerite uvjet $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, stoga se izraz $3x^2-5x-2$ može faktorizirati. To znači da razlomak $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nije elementarni razlomak trećeg tipa, i primijeniti $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) na integral 5x-2)dx$ formula nije moguća.

Pa, ako dati racionalni razlomak nije elementarni razlomak, onda ga treba predstaviti kao zbir elementarnih razlomaka, a zatim integrirati. Ukratko, iskoristite prednost staze. Kako razložiti racionalni razlomak na elementarne je detaljno napisano. Počnimo rastavljanjem imenioca na faktore:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(poravnano) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(poravnano)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\desno)\desno)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Subinterkalnu frakciju predstavljamo u ovom obliku:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Sada dekomponirajmo razlomak $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ na elementarne:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\desno)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\desno). $$

Za pronalaženje koeficijenata $A$ i $B$ postoje dva standardna načina: metoda neodređenih koeficijenata i metoda zamjene parcijalnih vrijednosti. Primijenimo metodu zamjene djelomične vrijednosti, zamjenom $x=2$, a zatim $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\desno); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Pošto su koeficijenti pronađeni, ostaje samo da se zapiše završeno proširenje:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

U principu, možete ostaviti ovaj unos, ali volim precizniju opciju:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Vraćajući se na izvorni integral, u njega zamjenjujemo rezultirajuću ekspanziju. Zatim dijelimo integral na dva i primjenjujemo formulu na svaki. Više volim da odmah postavim konstante izvan predznaka integrala:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\desno)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\desno)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Odgovori: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Primjer br. 3

Pronađite integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Trebamo integrirati razlomak $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Brojilac sadrži polinom drugog stepena, a nazivnik sadrži polinom trećeg stepena. Pošto je stepen polinoma u brojiocu manji od stepena polinoma u nazivniku, tj. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Sve što treba da uradimo je da podelimo dati integral na tri i primenimo formulu na svaki. Više volim da odmah postavim konstante izvan predznaka integrala:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Odgovori: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Nastavak analize primjera ove teme nalazi se u drugom dijelu.

Da vas podsjetimo na to razlomačno-racionalno nazivaju se funkcije oblika $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ u općem slučaju predstavlja omjer dva polinoma %%P_n(x)%% i % %Q_m(x)% %.

Ako %%m > n \geq 0%%, onda se naziva racionalni razlomak ispravan, inače - netačno. Koristeći pravilo za dijeljenje polinoma, nepravilan racionalni razlomak se može predstaviti kao zbir polinoma %%P_(n - m)%% stepena %%n - m%% i nekog pravilnog razlomka, tj. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ gdje je stepen %%l%% polinoma %%P_l(x)%% manji je od stepena %%n%% polinoma %%Q_n(x)%%.

dakle, neodređeni integral racionalne funkcije može se predstaviti kao zbir neodređenih integrala polinoma i pravog racionalnog razlomka.

Integrali iz jednostavnih racionalnih razlomaka

Među pravim racionalnim razlomcima postoje četiri tipa, koji su klasifikovani kao jednostavnih racionalnih razlomaka:

1. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

gdje je %%k > 1%% cijeli broj, a %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. kvadratne jednačine nemaju prave korene.

Izračunavanje neodređenih integrala razlomaka prva dva tipa

Izračunavanje neodređenih integrala razlomaka prva dva tipa ne izaziva poteškoće: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(niz) $$

Izračunavanje neodređenih integrala razlomaka trećeg tipa

Prvo transformišemo treću vrstu razlomka tako što ćemo istaći savršeni kvadrat u nazivniku: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2) )^2 + q - p^2/4), $$ pošto %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, što označavamo kao %%a^2%%. Također zamjenjujući %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, transformiramo nazivnik i zapisujemo integral razlomka trećeg tipa u obliku $$ \begin(array )(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(niz) $$

Koristeći linearnost neodređenog integrala, zadnji integral predstavljamo kao zbir dva i u prvom od njih uvodimo %%t%% pod diferencijalnim predznakom: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (At + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\desno))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\desno| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(array) $$

Vraćajući se na originalnu varijablu %%x%%, kao rezultat, za dio trećeg tipa dobijamo $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)(2) \ln \lijevo| x^2 + px + q\desno| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ gdje je %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

Izračunavanje integrala tipa 4 je teško i stoga nije obuhvaćeno u ovom kursu.

Prije nego počnete integrirati jednostavne razlomke kako biste pronašli neodređeni integral frakcijsko racionalne funkcije, preporučuje se da nadogradite odjeljak "Razlaganje razlomaka na jednostavne."

Primjer 1

Nađimo neodređeni integral ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x .

Rješenje

Odaberimo cijeli dio dijeljenjem polinoma sa polinomom sa stupcem, uzimajući u obzir činjenicu da je stepen brojnika integrala jednak stepenu nazivnika:

Dakle, 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x. Dobili smo tačan racionalni razlomak - 2 x + 3 x 3 + x, koji ćemo sada razložiti na jednostavne razlomke - 2 x + 3 x 3 + x = 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. dakle,

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

Dobili smo integral najjednostavnijeg razlomka trećeg tipa. Možete ga uzeti tako što ćete ga staviti ispod znaka diferencijala.

Kako je d x 2 + 1 = 2 x d x, onda je 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1. Zbog toga
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 ln x 2 + 1 + 2 a r c t g x + C 1

dakle,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C , gdje je C = - C 1

Hajde da opišemo metode za integraciju jednostavnih razlomaka svakog od četiri tipa.

Integracija prostih razlomaka prvog tipa A x - a

Za rješavanje ovog problema koristimo metodu direktne integracije:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

Primjer 2

Pronađite skup antiderivata funkcije y = 3 2 x - 1 .

Rješenje

Koristeći pravilo integracije, svojstva antiderivata i tablicu antiderivata, nalazimo neodređeni integral ∫ 3 d x 2 x - 1: ∫ f k · x + b d x = 1 k · F k · x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Odgovor: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Integracija prostih razlomaka drugog tipa A x - a n

Ovdje je također primjenjiva metoda direktne integracije: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

Primjer 3

Potrebno je pronaći neodređeni integral ∫ d x 2 x - 3 7 .

Rješenje

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 · - 6 · x - 3 2 6 + C = = 1 2 · - 6 · 2 6 · x - 3 2 6 + C = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

odgovor:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Integracija prostih razlomaka trećeg tipa M x + N x 2 + p x + q, D = p 2 - 4 q< 0

Prvi korak je da predstavimo neodređeni integral ∫ M x + N x 2 + p x + q kao zbir:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

Da bismo uzeli prvi integral, koristimo metodu subsumiranja diferencijalnog predznaka:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x d x = M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Zbog toga,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Dobili smo integral ∫ d x x 2 + p x + q . Transformirajmo njegov imenilac:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

dakle,

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 · 2 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Formula za integraciju jednostavnih razlomaka trećeg tipa ima oblik:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

Primjer 4

Potrebno je pronaći neodređeni integral ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x .

Rješenje

Primijenimo formulu:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g + 1 3 + C

Drugo rješenje izgleda ovako:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = = konvertibilna vrijednost = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Odgovor: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Integracija najjednostavnijih razlomaka četvrtog tipa M x + N (x 2 + p x + q) n, D = p 2 - 4 q< 0

Prije svega, izvodimo oduzimanje predznaka diferencijala:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q) ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

Tada nalazimo integral oblika J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n koristeći formule za ponavljanje. Informacije o formulama ponavljanja možete pronaći u temi “Integracija pomoću formula ponavljanja”.

Da bismo riješili naš problem, rekurentna formula oblika J n = 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q je pogodan - p 2 · J n - 1 .

Primjer 5

Potrebno je pronaći neodređeni integral ∫ d x x 5 x 2 - 1 .

Rješenje

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Koristićemo metodu supstitucije za ovu vrstu integrala. Hajde da uvedemo novu varijablu x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x

Dobijamo:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

Došli smo do pronalaženja integrala razlomka četvrtog tipa. U našem slučaju imamo koeficijente M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 i n = 3. Primjenjujemo rekurentnu formulu:

J 3 = ∫ d z (z 2 + 1) 3 = 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 · 1 - 0 · ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) · (4 · 1 - 0) · (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C

Nakon obrnute zamjene z = x 2 - 1 dobijamo rezultat:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

odgovor:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Kao što sam već napomenuo, u integralnom računu ne postoji pogodna formula za integraciju razlomka. I stoga, postoji tužan trend: što je razlomak sofisticiraniji, to je teže pronaći njegov integral. S tim u vezi, morate pribjeći raznim trikovima, o kojima ću vam sada reći. Pripremljeni čitaoci mogu odmah iskoristiti prednosti sadržaj:

• Metoda podvođenja diferencijalnog predznaka za proste razlomke

Metoda umjetne konverzije brojila

Primjer 1

Inače, razmatrani integral se može riješiti i promjenom metode varijable, označavajući , ali će pisanje rješenja biti mnogo duže.

Primjer 2

Pronađite neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Ovo je primjer za nezavisna odluka. Treba napomenuti da metoda zamjene varijable ovdje više neće raditi.

Pažnja, važno! Primjeri br. 1, 2 su tipični i često se javljaju. Konkretno, takvi integrali često nastaju prilikom rješavanja drugih integrala, posebno pri integraciji iracionalnih funkcija (korijena).

Razmatrana tehnika također funkcionira u slučaju ako je najviši stepen brojioca veći od najvišeg stepena nazivnika.

Primjer 3

Pronađite neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Počinjemo birati brojilac.

Algoritam za odabir brojača je otprilike ovako:

1) U brojiocu trebam organizirati , ali tamo . sta da radim? Stavljam u zagrade i množim sa: .

2) Sada pokušavam da otvorim ove zagrade, šta se dešava? . Hm... to je bolje, ali u brojniku u početku nema dva. sta da radim? Morate pomnožiti sa:

3) Opet otvaram zagrade: . I evo prvog uspjeha! Ispalo je kako treba! Ali problem je što se pojavio dodatni termin. sta da radim? Da spriječim promjenu izraza, moram ga dodati svojoj konstrukciji:
. Život je postao lakši. Da li je moguće ponovo organizirati u brojiocu?

4) Moguće je. Pokusajmo: . Otvorite zagrade drugog člana:
. Žao mi je, ali u prethodnom koraku sam zapravo imao , ne . sta da radim? Drugi član morate pomnožiti sa:

5) Opet, da provjerim, otvaram zagrade u drugom terminu:
. Sada je normalno: izvedeno iz konačne konstrukcije tačke 3! Ali opet postoji malo "ali", pojavio se dodatni izraz, što znači da moram dodati svom izrazu:

Ako je sve urađeno kako treba, onda kada otvorimo sve zagrade treba da dobijemo originalni brojnik integrala. Provjeravamo:
Hood.

ovako:

Spreman. U prošlom terminu koristio sam metodu podvođenja funkcije pod diferencijal.

Ako pronađemo derivaciju odgovora i svedemo izraz na zajednički nazivnik, onda ćemo dobiti upravo originalnu funkciju integranda. Razmatrana metoda dekompozicije u zbir nije ništa drugo do obrnuta akcija dovođenja izraza do zajedničkog nazivnika.

Algoritam za odabir brojača u ovakvim primjerima najbolje je napraviti u obliku nacrta. Uz neke vještine, funkcionirat će mentalno. Sjećam se rekordnog slučaja kada sam izvodio izbor za 11. stepen, a proširenje brojila je zauzelo skoro dva reda Verda.

Primjer 4

Pronađite neodređeni integral. Izvršite provjeru.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

Metoda podvođenja diferencijalnog predznaka za proste razlomke

Idemo dalje na razmatranje sljedeće vrste razlomaka.
, , , (koeficijenti i nisu jednaki nuli).

U stvari, nekoliko slučajeva sa arksinom i arktangensom je već spomenuto u lekciji Metoda promjene varijable u neodređenom integralu. Takvi primjeri se rješavaju podvođenjem funkcije pod diferencijalni predznak i daljnjom integracijom pomoću tablice. Evo tipičnih primjera s dugim i visokim logaritmima:

Primjer 5

Primjer 6

Ovdje je preporučljivo pokupiti tablicu integrala i vidjeti koje formule i Kako dolazi do transformacije. Bilješka, kako i zašto Kvadrati u ovim primjerima su istaknuti. Konkretno, u primjeru 6 prvo trebamo predstaviti imenilac u obliku , zatim ga dovedite pod diferencijalni znak. I sve to treba učiniti kako bi se koristila standardna tablična formula .

Zašto da gledate, pokušajte sami riješiti primjere br. 7, 8, pogotovo jer su prilično kratki:

Primjer 7

Primjer 8

Pronađite neodređeni integral:

Ako i vi uspijete provjeriti ove primjere, onda veliko poštovanje - vaše vještine razlikovanja su odlične.

Metoda odabira punog kvadrata

Integrali oblika (koeficijenti i nisu jednaki nuli) su riješeni metoda potpune kvadratne ekstrakcije, koji se već pojavio u lekciji Geometrijske transformacije grafova.

U stvari, takvi se integrali svode na jedan od četiri tabelarna integrala koja smo upravo pogledali. A to se postiže korištenjem poznatih skraćenih formula za množenje:

Formule se primjenjuju upravo u tom smjeru, odnosno ideja metode je umjetno organizirati izraze bilo u nazivniku, a zatim ih konvertirati u skladu s tim.

Primjer 9

Pronađite neodređeni integral

Ovo najjednostavniji primjer, u kojem sa pojmom – jedinični koeficijent(a ne neki broj ili minus).

Pogledajmo nazivnik, ovdje se cijela stvar očigledno svodi na slučajnost. Počnimo pretvarati imenilac:

Očigledno, morate dodati 4. I, kako se izraz ne bi promijenio, oduzmite ista četiri:

Sada možete primijeniti formulu:

Nakon što je konverzija završena UVIJEK Preporučljivo je izvesti obrnuti potez: sve je u redu, nema grešaka.

Konačni dizajn dotičnog primjera trebao bi izgledati otprilike ovako:

Spreman. Rezimirajući "besplatno" složena funkcija pod predznakom diferencijala: , u principu, može se zanemariti

Primjer 10

Pronađite neodređeni integral:

Ovo je primjer koji možete sami riješiti, odgovor je na kraju lekcije

Primjer 11

Pronađite neodređeni integral:

Šta učiniti kada je ispred minus? U ovom slučaju, trebamo izvaditi minus iz zagrada i rasporediti pojmove onim redoslijedom koji nam je potreban: . Konstantno(„dva“ u ovom slučaju) ne diraj!

Sada dodajemo jedan u zagrade. Analizirajući izraz, dolazimo do zaključka da moramo dodati jedan izvan zagrada:

Ovdje dobijamo formulu, primjenjujemo:

UVIJEK Provjeravamo nacrt:
, što je trebalo provjeriti.

Čisti primjer izgleda otprilike ovako:

Otežavanje zadatka

Primjer 12

Pronađite neodređeni integral:

Ovdje termin više nije jedinični koeficijent, već „pet“.

(1) Ako postoji konstanta at, onda je odmah vadimo iz zagrada.

(2) Općenito, uvijek je bolje ovu konstantu pomjeriti izvan integrala kako ne bi smetala.

(3) Očigledno, sve će se svesti na formulu. Moramo razumjeti pojam, naime, dobiti "dva"

(4) Da, . To znači da izrazu dodajemo i oduzimamo isti razlomak.

(5) Sada odaberite cijeli kvadrat. U općem slučaju, također moramo izračunati , ali ovdje imamo formulu za dugi logaritam , i nema smisla izvoditi radnju; zašto će biti jasno u nastavku.

(6) Zapravo, možemo primijeniti formulu , samo umjesto “X” imamo , što ne negira valjanost integrala tablice. Strogo govoreći, promašen je jedan korak - prije integracije funkciju je trebalo podvesti pod diferencijalni predznak: , ali, kao što sam više puta primijetio, to se često zanemaruje.

(7) U odgovoru ispod korijena, preporučljivo je proširiti sve zagrade unatrag:

Tesko? Ovo nije najteži dio integralnog računa. Mada, primeri koji se razmatraju nisu toliko složeni koliko zahtevaju dobre računarske tehnike.

Primjer 13

Pronađite neodređeni integral:

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Odgovor je na kraju lekcije.

Postoje integrali s korijenima u nazivniku, koji se zamjenom svode na integrale razmatranog tipa; o njima možete pročitati u članku Kompleksni integrali, ali je dizajniran za vrlo pripremljene učenike.

Podvođenje brojioca pod predznak diferencijala

Ovo je završni dio lekcije, međutim, integrali ovog tipa su prilično česti! Ako ste umorni, možda je bolje da pročitate sutra? ;)

Integrali koje ćemo razmatrati slični su integralima iz prethodnog stava, imaju oblik: ili (koeficijenti , i nisu jednaki nuli).

To jest, sada imamo linearnu funkciju u brojiocu. Kako riješiti takve integrale?