Proučavanje funkcije za monotonost i tačke ekstrema. Lekcija "proučavanje funkcije za monotonost"

Ekstremi i konveksnost.

Asimptote grafa funkcije

Definicija.Kritična tačka funkcije at = f(X) je tačka u kojoj je izvod nula ili ne postoji.

Teorema. Ako je u intervalu (a; b) derivacija pozitivna/negativna, tada funkcija raste/smanjuje u ovom intervalu.

Teorema. Ako, nakon prolaska kroz kritičnu tačku, derivacija mijenja predznak iz “+” u “−” (od “−” u “+”), tada je − maksimalna (minimalna) tačka funkcije

Definicija. Funkcija pozvao konveksno gore (dolje) u intervalu (a; b), ako u tom intervalu tačke grafa leže ispod (iznad) tangenta konstruisanih u tim tačkama. Prevojna tačka je tačka u grafu funkcije koja ga dijeli na dijelove s različitim smjerovima konveksnosti.

Primjer 2.3.

Funkcija istraživanja za monotoniju i ekstreme, konveksnost.

1. Ispitujemo funkciju monotonosti i ekstrema.

Hajde da napravimo crtež ( pirinač. 2.1).

y′′

x

−

−

+

y

problem dolje

problem gore

problem dolje

Rice. 2.2. Proučavanje funkcije za konveksnost

Izračunajmo ordinate prevojnih tačaka grafa:

Koordinate prevojnih tačaka: (0; 0), (1; −1).

2.32. Ispitajte funkciju na monotonost i ekstreme:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

2.33. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije:

1) na intervalu;

2) na intervalu [−1; 1];

3) na intervalu [−4; 4];

4) na intervalu [−2; 1].

2.34. Troškovi proizvodnje C (cu) zavise od obima proizvodnje X(jedinice): Pronađite najveće troškove proizvodnje ako X promjene u intervalu. Pronađite vrijednost X, pri čemu će dobit biti maksimalna ako je prihod od prodaje jedinice proizvodnje jednak 15 c.u. e.

2.35. Potrebno je dodijeliti pravougaonu parcelu od 512 m2, ograditi je i podijeliti ogradom na tri jednaka dijela paralelno sa jednom od strana parcele. Koja bi trebala biti veličina mjesta da se za ogradu koristi najmanja količina materijala?

2.36. S obzirom na obim pravokutnog prozora, pronađite njegove dimenzije tako da propušta najveću količinu svjetlosti.

2.37. Odrediti maksimalnu dobit ako su prihodi R i troškovi C određeni formulama: gdje X− količina prodate robe.

2.38. Ovisnost obima proizvodnje W od kapitalnih troškova TO određeno funkcijom
Pronađite interval promjene TO, gdje je povećanje kapitalnih troškova neefikasno.

2.39. Funkcija troškova ima oblik Prihod od prodaje jedinice proizvodnje jednak je 200. Odrediti optimalnu vrijednost outputa za proizvođača.

2.40. Ovisnost obima proizvodnje (u monetarnim jedinicama) o kapitalnim troškovima određena je funkcijom Pronađite interval vrijednosti u kojem je povećanje troškova kapitala neučinkovito.

2.41. Smatra se da je povećanje prodaje od troškova oglašavanja (miliona rubalja) određeno omjerom Prihod od prodaje jedinice proizvodnje jednak je 20 hiljada rubalja. Pronađite nivo troškova oglašavanja na kojem će kompanija ostvariti maksimalan profit.

2.42. Prihod od proizvodnje proizvoda korišćenjem resursnih jedinica je jednak Cijena jedinice resursa je 10 den. jedinice Koliko resursa treba kupiti da bi profit bio najveći?

2.43. Funkcija troškova ima oblik Prihod od prodaje jedinice proizvodnje je 50. Nađite maksimalnu vrijednost profita koju proizvođač može dobiti.

2.44. Zavisnost monopolskog dohotka od količine proizvodnje definisana je kao: Funkcija troškova u ovom intervalu ima oblik Pronađite optimalnu izlaznu vrijednost za monopol.

2.45. Cijena za proizvode monopolskog proizvođača utvrđuje se u skladu sa omjerom koji je identificiran kao . Pri kojoj vrijednosti proizvodnje proizvoda će prihod od njegove prodaje biti najveći?

2.46. Funkcija troškova ima sljedeći oblik at at . Trenutno nivo proizvodnje Pod kojim uslovom na parametru str Da li je isplativo za kompaniju da smanji proizvodnju ako je prihod od prodaje jedinice proizvoda 50?

Čas i prezentacija iz algebre u 10. razredu na temu: "Istraživanje funkcije za monotonost. Algoritam istraživanja"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za 10. razred od 1C
Algebarski zadaci sa parametrima, razredi 9–11
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Šta ćemo proučavati:
1. Opadajuće i povećavajuće funkcije.
2. Odnos između derivacije i monotonosti funkcije.
3. Dvije važne teoreme o monotonosti.
4. Primjeri.

Ljudi, ranije smo pogledali mnogo različitih funkcija i nacrtali ih. Hajde sada da uvedemo nova pravila koja rade za sve funkcije koje smo razmatrali i koje ćemo nastaviti da razmatramo.

Smanjenje i povećanje funkcija

Pogledajmo koncept rastućih i opadajućih funkcija. Ljudi, šta je funkcija?

Funkcija je korespondencija y= f(x), u kojoj je svaka vrijednost x povezana s jednom vrijednošću y.

Pogledajmo graf neke funkcije:

Naš grafikon pokazuje: što je veći x, to je manji y. Dakle, hajde da definiramo opadajuću funkciju. Funkcija se naziva opadajućom ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Ako je x2 > x1, onda f(x2) Pogledajmo sada graf ove funkcije:
Ovaj grafikon pokazuje da što je veći x, to je veći y. Dakle, hajde da definiramo rastuću funkciju. Funkcija se naziva rastućom ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije.
Ako je x2 > x1, onda je f(x2 > f(x1) ili: što je x veći, to je veći y.

Ako se funkcija povećava ili smanjuje u određenom intervalu, onda se kaže da na ovom intervalu je monotona.

Odnos derivacije i monotonosti funkcije

Ljudi, sada razmislimo o tome kako možete primijeniti koncept derivacije kada proučavate grafove funkcija. Nacrtajmo graf rastuće diferencijabilne funkcije i nacrtajmo nekoliko tangenti na naš graf.

Ako pogledate naše tangente ili vizualno nacrtate bilo koju drugu tangentu, primijetit ćete da će kut između tangente i pozitivnog smjera x-ose biti oštar. To znači da tangenta ima pozitivan nagib. Tangentni nagib jednaka vrijednosti derivacija u apscisi tačke dodira. Dakle, vrijednost derivacije je pozitivna u svim tačkama našeg grafikona. Za rastuću funkciju vrijedi sljedeća nejednakost: f"(x) ≥ 0, za bilo koju tačku x.

Ljudi, pogledajmo sada graf neke opadajuće funkcije i konstruirajmo tangente na graf funkcije.

Pogledajmo tangente i vizualno nacrtajmo bilo koju drugu tangentu. Primijetit ćemo da je kut između tangente i pozitivnog smjera x-ose tup, što znači da tangenta ima negativan nagib. Dakle, vrijednost izvoda je negativna u svim tačkama našeg grafa. Za opadajuću funkciju vrijedi sljedeća nejednakost: f"(x) ≤ 0, za bilo koju tačku x.

Dakle, monotonost funkcije zavisi od predznaka derivacije:

Ako funkcija raste na intervalu i ima izvod na tom intervalu, onda taj izvod neće biti negativan.

Ako funkcija opada na intervalu i ima izvod na tom intervalu, onda taj izvod neće biti pozitivan.

Bitan, tako da su intervali na kojima razmatramo funkciju otvoreni!

Dvije važne teoreme o monotonosti

Teorema 1. Ako nejednakost f'(x) ≥ 0 vrijedi u svim točkama otvorenog intervala X (a jednakost derivacije sa nulom ili ne vrijedi ili vrijedi, već samo u konačnom skupu tačaka), tada funkcija y= f(x) raste na intervalu X.

Teorema 2. Ako nejednakost f'(x) ≤ 0 vrijedi u svim točkama otvorenog intervala X (a jednakost derivacije sa nulom ili ne vrijedi ili vrijedi, već samo u konačnom skupu tačaka), tada funkcija y= f(x) opada na intervalu X.

Teorema 3. Ako je u svim točkama otvorenog intervala X jednakost
f’(x)= 0, tada je funkcija y= f(x) konstantna na ovom intervalu.

Primjeri proučavanja funkcije za monotonost

1) Dokazati da je funkcija y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 rastuća na cijeloj brojevnoj pravoj.

Rješenje: Nađimo derivaciju naše funkcije: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. Pošto je stepen na x paran, funkcija stepena uzima samo pozitivne vrijednosti. Tada je y" > 0 za bilo koje x, što znači teoremom 1, naša funkcija raste duž cijele brojevne prave.

2) Dokazati da je funkcija opadajuća: y= sin(2x) - 3x.

Nađimo izvod naše funkcije: y"= 2cos(2x) - 3.
Hajde da riješimo nejednakost:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Jer -1 ≤ cos(x) ≤ 1, što znači da je naša nejednakost zadovoljena za bilo koje x, tada prema teoremi 2 funkcija y= sin(2x) - 3x opada.

3) Ispitati monotonost funkcije: y= x 2 + 3x - 1.

Rješenje: Nađimo izvod naše funkcije: y"= 2x + 3.
Hajde da riješimo nejednakost:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Tada naša funkcija raste za x ≥ -3/2, a opada za x ≤ -3/2.
Odgovor: Za x ≥ -3/2 funkcija raste, za x ≤ -3/2 funkcija se smanjuje.

4) Ispitati monotonost funkcije: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Rješenje: Nađimo izvod naše funkcije: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Riješimo nejednakost: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Naša nejednakost je veća ili jednaka nuli:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Hajde da riješimo nejednakost:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Ali to je nemoguće, jer Kvadratni korijen je definirana samo za pozitivne izraze, što znači da naša funkcija nema opadajućih intervala.
Odgovor: za x ≥ 1/3 funkcija raste.

Problemi koje treba riješiti samostalno

a) Dokaži da funkcija y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 raste duž cijele brojevne prave.
b) Dokazati da je funkcija opadajuća: y= cos(5x) - 7x.
c) Ispitati monotonost funkcije: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
d) Ispitajte monotonost funkcije: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

Prvi put smo se sreli na kursu algebre u 7. razredu. Gledajući graf funkcije, skinuli smo odgovarajuće informacije: ako se, krećući se po grafikonu s lijeva na desno, istovremeno se krećemo odozdo prema gore (kao da se penjemo na brdo), tada smo funkciju proglasili za biti u porastu (Sl. 124); ako se krećemo odozgo prema dolje (spuštamo se niz brdo), tada smo funkciju proglasili opadajućom (Sl. 125).

Međutim, matematičari ne vole ovu metodu proučavanja svojstava funkcije. Oni smatraju da definicije pojmova ne bi trebalo da se zasnivaju na crtežu - crtež treba samo da ilustruje jedno ili drugo svojstvo funkcije na svom grafika. Hajde da damo striktne definicije pojmova rastućih i opadajućih funkcija.

Definicija 1. Kaže se da funkcija y = f(x) raste na intervalu X ako je iz nejednakosti x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Definicija 2. Kaže se da je funkcija y = f(x) opadajuća na intervalu X ako je nejednakost x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует nejednakost f(x 1) > f(x 2).

U praksi je prikladnije koristiti sljedeće formulacije:

funkcija se povećava ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije;
funkcija se smanjuje ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Koristeći ove definicije i svojstva numeričkih nejednačina utvrđenih u § 33, moći ćemo potkrijepiti zaključke o povećanju ili smanjenju prethodno proučavanih funkcija.

1. Linearna funkcija y = kx +m

Ako je k > 0, tada funkcija raste u cijelom (slika 126); ako k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Dokaz. Neka je f(x) = kx +m. Ako je x 1< х 2 и k >Oh, dakle, prema svojstvu 3 numeričke nejednačine (vidi § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. linearno funkcije y = kx+ m.

Ako je x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , a prema svojstvu 2, iz kx 1 > kx 2 slijedi da je kx 1 + m> kx 2 + tj.

Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). To znači smanjenje funkcije y = f(x), tj. linearne funkcije y = kx + m.

Ako se funkcija povećava (smanjuje) u cijeloj svojoj domeni definicije, onda se može nazvati rastućom (opadajućom) bez navođenja intervala. Na primjer, za funkciju y = 2x - 3 možemo reći da raste duž cijele brojevne prave, ali možemo to reći i kraće: y = 2x - 3 - raste
funkcija.

2. Funkcija y = x2

1. Razmotrimo funkciju y = x 2 na zraku. Uzmimo dva nepozitivna broja x 1 i x 2 takva da je x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Pošto su brojevi - x 1 i - x 2 nenegativni, onda kvadriranjem obe strane poslednje nejednakosti dobijamo nejednakost istog značenja (-x 1) 2 > (-x 2) 2, tj. To znači da je f(x 1) > f(x 2).

Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).

Dakle, funkcija y = x 2 opada na zraku (- 00, 0] (Sl. 128).

1. Razmotrimo funkciju na intervalu (0, + 00).
Neka je x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). To znači da funkcija opada na otvorenom zraku (0, + 00) (Sl. 129).

2. Razmotrite funkciju na intervalu (-oo, 0). Neka je x 1< х 2 , х 1 и х 2 - negativni brojevi. Tada je - x 1 > - x 2, a obje strane posljednje nejednakosti su pozitivni brojevi, i stoga (opet smo koristili nejednakost dokazanu u primjeru 1 iz § 33). Dalje imamo, odakle dolazimo.

Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) tj. funkcija se smanjuje na otvorenom zraku (- 00 , 0)

Obično se pojmovi “rastući funkcija” i “opadajuća funkcija” kombiniraju pod općim nazivom monotonska funkcija, a proučavanje funkcije za povećanje i smanjenje naziva se proučavanje funkcije za monotonost.

Rješenje.

1) Nacrtajmo funkciju y = 2x2 i uzmimo granu ove parabole na x< 0 (рис. 130).

2) Konstruišite i izaberite njegov deo na segmentu (Sl. 131).

3) Konstruirajmo hiperbolu i odaberimo njen dio na otvorenom zraku (4, + 00) (Sl. 132).
4) Prikažimo sva tri “komada” u jednom koordinatnom sistemu – ovo je grafik funkcije y = f(x) (slika 133).

Pročitajmo graf funkcije y = f(x).

1. Područje definicije funkcije je cijela brojevna prava.

2. y = 0 na x = 0; y > 0 za x > 0.

3. Funkcija opada na zraku (-oo, 0], raste na segmentu, opada na zraku, konveksna je prema gore na segmentu, konveksna na dolje na zraku)