Izdvajanje korijena kompleksnog broja. Izdvajanje korijena kompleksnog broja Kako pronaći sve vrijednosti korijena

Nemoguće je nedvosmisleno izdvojiti korijen kompleksnog broja, jer ima niz vrijednosti jednakih njegovoj moći.

Kompleksni brojevi su podignuti na potenciju trigonometrijskog oblika, za koje vrijedi Moywardova formula:

\(\ z^(k)=r^(k)(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)

Slično, ova formula se koristi za izračunavanje k-tog korijena kompleksnog broja (nije jednako nuli):

\(\ z^(\frac(1)(k))=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^(\frac( 1)(k))=r^(\frac(1)(k))\left(\cos \frac(\varphi+2 \pi n)(k)+i \sin \frac(\varphi+2 \ pi n)(k)\desno), \za sve k>1, \zasve n \u N \)

Ako kompleksni broj nije nula, tada korijeni stepena k uvijek postoje, i oni se mogu predstaviti u kompleksnoj ravni: oni će biti vrhovi k-ugla upisanog u krug sa središtem u ishodištu i poluprečniku \(\r ^(\frac(1) (k))\)

Primjeri rješavanja problema

Zadatak

Pronađite treći korijen broja \(\z=-1\).

Rješenje.

Prvo izražavamo broj \(\z=-1\) u trigonometrijskom obliku. Pravi dio broja \(\ z=-1 \) je broj \(\ z=-1 \), imaginarni dio je \(\ y=\operatorname(lm) \), \(\ z= 0 \). Da biste pronašli trigonometrijski oblik kompleksnog broja, morate pronaći njegov modul i argument.

Modul kompleksnog broja \(\z\) je broj:

\(\ r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt((-1)^(2)+0^(2))=\sqrt(1+0)=1 \ )

Argument se izračunava pomoću formule:

\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(0)(-1)=\operatorname(arctg) 0=\pi \)

Dakle, trigonometrijski oblik kompleksnog broja je: \(\z=1(\cos \pi+i \sin \pi)\)

Tada treći korijen izgleda ovako:

\(\ =\cos \frac(\pi+2 \pi n)(3)+i \sin \frac(\pi+2 \pi n)(3) \), \(\ n=0.1, 2\ )

\(\ \omega_(1)=\cos \frac(\pi)(3)+i \sin \frac(\pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt( 3))(2)\)

Za \(\n=1\) dobijamo:

\(\ \omega_(2)=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)

Za \(\n=2\) dobijamo:

\(\ \omega_(3)=\cos \frac(5 \pi)(3)+i \sin \frac(5 \pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(- \sqrt(3))(2)=\frac(1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)

Odgovori

\(\ \omega_(1)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2), \omega_(2)=-1, \omega_(3)=\frac( 1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)

Zadatak

Za izdvajanje 2. korijena broja \(\z=1-\sqrt(3)i\)

Rješenje.

Za početak, kompleksni broj izražavamo u trigonometrijskom obliku.

Pravi dio kompleksnog broja \(\ z=1-\sqrt(3) i \) je broj \(\ x=\operatorname(Re) z=1 \) , imaginarni dio \(\ y=\ operatorname(Im) z =-\sqrt(3) \) . Da biste pronašli trigonometrijski oblik kompleksnog broja, morate pronaći njegov modul i argument.

Modul kompleksnog broja \(\r\) je broj:

\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt(1^(2)+(-\sqrt(3))^(2))=\sqrt(1+3) )=2\)

Argument:

\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(-\sqrt(3))(1)=\operatorname(arctg)(- \sqrt(3))=\frac(2 \pi)(3) \)

Dakle, trigonometrijski oblik kompleksnog broja je:

\(\ z=2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\desno) \)

Primjenom formule za vađenje korijena 2. stepena, dobijamo:

\(\ z^(\frac(1)(2))=\left(2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\ desno)\desno)^(\frac(1)(2))=2^(\frac(1)(2))\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac (2 \pi)(3)\desno)^(\frac(1)(2))= \)

\(\ =\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi n\right)+i \sin \left(\frac(\pi)(3)+ \pi n\desno)\desno), n=0,1 \)

Za \(\ \mathrm(n)=0 \) dobijamo:

\(\ \omega_(1)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+0\right)+i \sin \left(\frac(\pi)( 3)+0\desno)\desno)=\sqrt(2)\left(\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=\frac(\sqrt (2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

Za \(\ \mathrm(n)=1 \) dobijamo:

\(\ \omega_(2)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi\right)+i \sin \left(\frac(\pi) (3)+\pi\desno)\desno)=\sqrt(2)\levo(-\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\desno)=-\ frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

Odgovori

\(\ \omega_(1)=\frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) ; \omega_(2)=-\frac(\sqrt(2) ))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

brojevi u trigonometrijskom obliku.

Moivreova formula

Neka je z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) i z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Trigonometrijski oblik pisanja kompleksnog broja pogodan je za korištenje za izvođenje operacija množenja, dijeljenja, podizanja na cijeli broj i vađenja korijena stepena n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Prilikom množenja dva kompleksna broja u trigonometrijskom obliku, njihovi moduli se množe i njihovi argumenti se dodaju. Prilikom podjele njihovi moduli se dijele i njihovi argumenti se oduzimaju.

Posljedica pravila za množenje kompleksnog broja je pravilo za podizanje kompleksnog broja na stepen.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Ovaj omjer se zove Moivreova formula.

Primjer 8.1 Pronađite proizvod i količnik brojeva:

Rješenje

z 1 ∙z 2
∙

=

;

Primjer 8.2 Napišite broj u trigonometrijskom obliku

∙
–i) 7 .

Rješenje

Označimo
i z 2 =
– i.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = arg z 1 = arktan ;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arktan
;

z 2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 ·2 7
=

2 9

§ 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja

Definicija. Rootnstepen kompleksnog broja z (označiti
) je kompleksan broj w takav da je w n = z. Ako je z = 0, onda
= 0.

Neka je z  0, z = r(cos + isin). Označimo w = (cos + sin), zatim zapišemo jednačinu w n = z u sljedećem obliku

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

Stoga je  n = r,

 =

Dakle, wk =
·
.

Među ovim vrijednostima ima tačno n različitih.

Stoga je k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Na kompleksnoj ravni, ove tačke su vrhovi pravilnog n-ugla upisanog u krug poluprečnika
sa centrom u tački O (slika 12).

Slika 12

Primjer 9.1 Pronađite sve vrijednosti
.

Rješenje.

Predstavimo ovaj broj u trigonometrijskom obliku. Nađimo njegov modul i argument.

w k =
, gdje je k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

Na kompleksnoj ravni ove tačke su vrhovi kvadrata upisanog u krug poluprečnika
sa centrom na početku (slika 13).

Slika 13 Slika 14

Primjer 9.2 Pronađite sve vrijednosti
.

Rješenje.

z = – 64 = 64(cos +isin);

w k =
, gdje je k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w 4 =
; w 5 =
.

Na kompleksnoj ravni ove tačke su vrhovi pravilnog šestougla upisanog u krug poluprečnika 2 sa centrom u tački O (0; 0) - slika 14.

§ 10 Eksponencijalni oblik kompleksnog broja.

Ojlerova formula

Označimo
= cos  + isin  i
= cos  - isin  . Ovi odnosi se nazivaju Ojlerove formule .

Funkcija
ima uobičajena svojstva eksponencijalne funkcije:

Neka je kompleksni broj z napisan u trigonometrijskom obliku z = r(cos + isin).

Koristeći Ojlerovu formulu, možemo napisati:

z = r
.

Ovaj unos se zove eksponencijalni oblik kompleksni broj. Koristeći ga, dobijamo pravila za množenje, dijeljenje, stepenovanje i vađenje korijena.

Ako je z 1 = r 1 ·
i z 2 = r 2 ·
?To

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·
;

z n = r n ·

, gdje je k = 0, 1, … , n – 1.

Primjer 10.1 Napišite broj u algebarskom obliku

z =
.

Rješenje.

Primjer 10.2 Riješite jednačinu z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.

Rješenje.

Za bilo koje kompleksne koeficijente, ova jednadžba ima dva korijena z 1 i z 1 (možda se poklapaju). Ovi korijeni se mogu pronaći koristeći istu formulu kao u stvarnom slučaju. Jer
uzima dvije vrijednosti koje se razlikuju samo po predznaku, tada ova formula izgleda ovako: