Kako izmjeriti stranice trougla. Online kalkulator.Rješavanje trokuta. Cijene za različite vrste krovnih grebena

U matematici, kada se razmatra trokut, puno pažnje se poklanja njegovim stranicama. Zato što ovi elementi formiraju ovu geometrijsku figuru. Stranice trokuta se koriste za rješavanje mnogih geometrijskih problema.

Definicija pojma

Segmenti koji spajaju tri tačke koje ne leže na istoj pravoj nazivaju se stranicama trougla. Elementi koji se razmatraju ograničavaju dio ravnine, koji se naziva unutrašnjost ove geometrijska figura.

Matematičari u svojim proračunima dozvoljavaju generalizacije u vezi sa stranicama geometrijskih figura. Dakle, u degenerisanom trouglu tri njegova segmenta leže na jednoj pravoj liniji.

Karakteristike koncepta

Izračunavanje stranica trokuta uključuje određivanje svih ostalih parametara figure. Znajući dužinu svakog od ovih segmenata, lako možete izračunati perimetar, površinu, pa čak i uglove trokuta.

Rice. 1. Proizvoljni trougao.

Zbrajanjem stranica date figure, možete odrediti perimetar.

P=a+b+c, gdje su a, b, c stranice trougla

A da biste pronašli površinu trokuta, trebali biste koristiti Heronovu formulu.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Gdje je p poluperimetar.

Uglovi date geometrijske figure izračunavaju se pomoću kosinusne teoreme.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Značenje

Neka svojstva ove geometrijske figure izražena su kroz omjer stranica trokuta:

Nasuprot najmanjoj strani trougla nalazi se njegov najmanji ugao.
Vanjski ugao dotične geometrijske figure dobija se proširenjem jedne od strana.
Nasuprot jednakih uglova trougla su jednake stranice.
U bilo kojem trouglu jedna od stranica je uvijek veća od razlike druga dva segmenta. A zbir bilo koje dvije strane ove brojke je veći od treće.

Jedan od znakova da su dva trokuta jednaka je omjer zbira svih strana geometrijske figure. Ako su ove vrijednosti iste, tada će trokuti biti jednaki.

Neka svojstva trougla zavise od njegovog tipa. Stoga prvo trebate uzeti u obzir veličinu stranica ili kutova ove figure.

Formiranje trouglova

Ako su dvije strane geometrijske figure u pitanju iste, onda se ovaj trokut naziva jednakokračnim.

Rice. 2. Jednakokraki trougao.

Kada su svi segmenti u trokutu jednaki, dobićete jednakostranični trougao.

Rice. 3. Jednakostranični trougao.

Pogodnije je izvršiti bilo kakav proračun u slučajevima kada se proizvoljni trokut može klasificirati kao specifičan tip. Jer će tada nalaženje traženog parametra ove geometrijske figure biti značajno pojednostavljeno.

Iako vam pravilno odabrana trigonometrijska jednadžba omogućuje rješavanje mnogih problema u kojima se razmatra proizvoljan trokut.

Šta smo naučili?

Tri segmenta koja su povezana tačkama i ne pripadaju istoj pravoj liniji čine trougao. Ove strane formiraju geometrijsku ravan, koja se koristi za određivanje površine. Koristeći ove segmente, možete pronaći mnoge važne karakteristike figure, kao što su perimetar i uglovi. Omjer stranica trokuta pomaže u pronalaženju njegovog tipa. Neka svojstva date geometrijske figure mogu se koristiti samo ako su poznate dimenzije svake njene strane.

Testirajte na temu

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.3. Ukupno primljenih ocjena: 142.

Trokut se naziva pravouglim trouglom ako mu je jedan od uglova 90º. Strana naspram pravog ugla naziva se hipotenuza, a druge dvije se nazivaju kraci.

Za pronalaženje ugla u pravokutnom trokutu koriste se neka svojstva pravokutnih trokuta, a to su: zbir oštrih uglova je 90º, kao i činjenica da nasuprot kraka čija je dužina polovina dužine hipotenuze leži ugao jednak 30º.

Brza navigacija kroz članak

Jednakokraki trougao

Jedno od svojstava jednakokračnog trougla je da su mu dva ugla jednaka. Da biste izračunali uglove pravokutnog jednakokračnog trokuta, morate znati sljedeće:

Pravi ugao je 90º.
Vrijednosti oštrih uglova određuju se formulom: (180º-90º)/2=45º, tj. uglovi α i β su jednaki 45º.

Ako je poznata veličina jednog od oštrih uglova, drugi se može naći pomoću formule: β=180º-90º-α, ili α=180º-90º-β. Najčešće se ovaj omjer koristi ako je jedan od uglova 60º ili 30º.

Ključni koncepti

Zbir unutrašnjih uglova trougla je 180º. Pošto je jedan ugao pravi, preostala dva će biti oštra. Da biste ih pronašli morate znati sljedeće:

druge metode

Vrijednosti oštrih uglova pravougaonog trougla može se izračunati znajući vrijednost medijane - linije povučene od vrha do suprotne strane trokuta, i visine - prave linije, koja je okomita povučena iz pravog ugla na hipotenuzu. Neka je s medijan povučen iz pravog ugla do sredine hipotenuze, h visina. U ovom slučaju ispada da:

sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
sin α=h/b; sin β =h/a.

Dvije strane

Ako su u pravokutnom trokutu poznate dužine hipotenuze i jedne od kateta, ili dvije stranice, za pronalaženje vrijednosti oštrih uglova koriste se trigonometrijski identiteti:

α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

Pravougli trokut se u stvarnosti nalazi na gotovo svakom uglu. Poznavanje svojstava date figure, kao i sposobnost izračunavanja njene površine, nesumnjivo će vam biti od koristi ne samo za rješavanje geometrijskih problema, već iu životnim situacijama.

Geometrija trougla

U elementarnoj geometriji, pravougli trokut je figura koja se sastoji od tri povezana segmenta koji tvore tri ugla (dva oštra i jedan pravi). Pravokutni trokut je originalna figura koju karakterizira niz važnih svojstava koja čine osnovu trigonometrije. Za razliku od pravilnog trokuta, stranice pravokutne figure imaju svoja imena:

Hipotenuza je najduža stranica trougla, naspram pravog ugla.
Noge su segmenti koji formiraju pravi ugao. U zavisnosti od ugla koji se razmatra, krak može biti uz njega (tvoreći ovaj ugao sa hipotenuzom) ili nasuprot (ležeći nasuprot ugla). Ne postoje noge za nepravouglove trougla.

To je omjer kateta i hipotenuze koji čini osnovu trigonometrije: sinusi, tangente i sekanti definirani su kao omjer stranica pravokutnog trokuta.

Pravougli trougao u stvarnosti

Ova cifra je postala široko rasprostranjena u stvarnosti. Trokuti se koriste u dizajnu i tehnologiji, tako da izračunavanje površine figure moraju obaviti inženjeri, arhitekti i dizajneri. Osnove tetraedara ili prizme - trodimenzionalne figure koje je lako sresti u svakodnevnom životu - imaju oblik trokuta. Osim toga, kvadrat je najjednostavniji prikaz "ravnog" pravokutnog trokuta u stvarnosti. Kvadrat je alat za obradu metala, crtanje, konstrukciju i stolariju koji koriste i školarci i inženjeri za konstruiranje uglova.

Površina trougla

Površina geometrijske figure je kvantitativna procjena koliki je dio ravnine omeđen stranicama trokuta. Površina običnog trokuta može se pronaći na pet načina, koristeći Heronovu formulu ili koristeći takve varijable kao što su baza, stranica, kut i polumjer upisane ili opisane kružnice. Najjednostavnija formula za površinu se izražava kao:

gdje je a stranica trougla, h njegova visina.

Formula za izračunavanje površine pravokutnog trokuta je još jednostavnija:

gdje su a i b noge.

Radeći s našim online kalkulatorom, možete izračunati površinu trokuta koristeći tri para parametara:

dvije noge;
krak i susjedni ugao;
nogu i suprotnog ugla.

U problemima ili svakodnevnim situacijama dobićete različite kombinacije varijabli, pa vam ovaj oblik kalkulatora omogućava da izračunate površinu trokuta na nekoliko načina. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz stvarnog života

Keramička pločica

Recimo da želite zidove kuhinje obložiti keramičkim pločicama koje imaju oblik pravokutnog trokuta. Da biste odredili potrošnju pločica, morate saznati površinu jednog elementa obloge i ukupnu površinu površine koja se obrađuje. Pretpostavimo da trebate obraditi 7 kvadratnih metara. Dužina nogu jednog elementa je 19 cm, tada će površina pločice biti jednaka:

To znači da je površina jednog elementa 24,5 kvadratnih centimetara ili 0,01805 kvadratnih metara. Poznavajući ove parametre, možete izračunati da će vam za završetak 7 kvadratnih metara zida trebati 7/0,01805 = 387 elemenata obloženih pločica.

Školski zadatak

Recimo da u školskom zadatku iz geometrije trebate pronaći površinu pravokutnog trokuta, znajući samo da je stranica jedne noge 5 cm, a suprotni ugao 30 stepeni. Naš online kalkulator dolazi sa ilustracijom koja prikazuje stranice i uglove pravokutnog trokuta. Ako je stranica a = 5 cm, onda je njen suprotni ugao ugao alfa, jednak 30 stepeni. Unesite ove podatke u obrazac kalkulatora i dobijte rezultat:

Dakle, kalkulator ne samo da izračunava površinu dati trougao, ali i određuje dužinu susjednog kraka i hipotenuze, kao i vrijednost drugog ugla.

Zaključak

Pravi trouglovi se nalaze u našim životima bukvalno na svakom uglu. Određivanje površine takvih figura bit će vam korisno ne samo pri rješavanju školski zadaci u geometriji, ali iu svakodnevnim i profesionalnim aktivnostima.

ANDREJ PROKIP: „MOJ LJUBAVNIK JE RUSKA EKOLOGIJA. U TO TREBA ULAGATI!”
Od 4. do 5. septembra održan je ekološki forum „Klimatski oblik gradova“. Inicijator događaja je organizacija C40 koju su 2005. godine osnovale UN. Glavni zadatak forme i gradova je kontrola klimatska promjena gradova.
Kao što je praksa pokazala, za razliku od društvenih događanja i „sastanaka u noćnim klubovima“, poslanika i javnih ličnosti je bilo malo. Među onima koji su identifikovali zabrinutost ekološka situacija bio je Prokip Adrey Zinovievich. Aktivno je učestvovao na svim plenarnim sjednicama zajedno sa specijalnim predstavnikom predsjednika Ruska Federacija o klimatskim pitanjima Ruslan Edelgeriev, zamjenik gradonačelnika Moskve za stambeno-komunalne usluge Pyotr Biryukov, kao i strani predstavnici - gradonačelnik italijanskog grada Savona - Ilario Caprioglio. Učesnici su predstavili svoje projekte i razgovarali o strategijama za suzbijanje porasta globalnih temperatura, kao i o predloženim praktičnim rješenjima održivi razvoj gradova.
ANDREY PROKIP O ŠALJKAMA, ZAMJESNICIMA I ZELENOJ ZGRADI
Od posebnog interesa za ruska strana izazvalo je izlaganje govornika, među kojima su bili evropski arhitekti, naučnici i gradonačelnik Savone. Tema govora bila je TOP pravac – „zelena gradnja“. Kako je sam Andrey Prokip izjavio, „važno je pravilno preraspodijeliti resurse, kao i uzeti u obzir evropske standarde izgradnje za metropolu poput Moskve. Neophodno je da Rusija zauzme kurs ka „zelenom finansiranju“ na saveznom nivou, pogotovo što je to ekonomski izvodljivo i, kako praksa pokazuje, isplativo. Takođe je izrazio zabrinutost zbog pogoršanja zdravlja Rusa zbog ekoloških katastrofa i nepoštovanja ekoloških standarda za odlaganje otpada od strane velikih i malih industrijska preduzeća" On se u svojim strahovima potvrdio i zahvaljujući govoru Francesca Zambone, profesora u Evropskoj kancelariji SZO za ulaganja u zdravstvo.
Sa karakterističnim humorom, Andrej se obratio poznatim ljudima koji su bili pozvani na forum, ali se nikada nisu pojavili, sa pozivom da se „sećate prirode, ne samo kada žele roštilj ili pecanje. Uostalom, zdravlje cijelog naroda ovisi o dobročinstvu prirode, koja, nažalost, uključuje i njih.”
Pored strastvenih govora o novoj "ljubavnoj prirodi" Andreja Zinovijeviča i važnosti preuzimanja odgovornosti za okruženje Sam po sebi, značajan događaj foruma je bio plenarnoj sjednici na temu “Kako odgojiti novu generaciju”. Učesnici tribine bili su jednoglasni u mišljenju da je potrebno obrazovati ne samo djecu, već i odrasle generacije. Veoma je važno usaditi odgovornost prema prirodi u svakodnevnom ponašanju, ali i u poslovanju.
Za Moskvu će biti pokrenut specijalni projekat „Učenje civilizovanog življenja“. Ovo edukativni projekat za sve segmente stanovništva i starosne kategorije. Ali koliko god da su teorije i dobre namjere divne, za Rusiju je i dalje aktualna izreka „dok ne kljune pečeni pijetao, budala se neće prekrstiti“.
Prema Timothyju Netteru, poznatom pozorišnom reditelju, umjetnost može promijeniti sve. U jednom od svojih govora govorio je o tome kako ideju očuvanja prirode treba predstaviti u pozorištu i kinu i koliko je važno kroz umjetnost odgajati ljude da budu odgovorni za ono što će se sutra dogoditi nama i prirodi.
Studenti su privukli pažnju Rentv operatera i Andreja Prokirpe ruski univerziteti, predstavljajući projekat ekološki prihvatljive tehnologije za proizvodnju kontejnera koji su otporni na vlagu i temperaturu. Ovo je vrlo hitan problem, jer se širom svijeta donose zakoni protiv plastičnih kontejnera, kojima je, inače, potrebno više od 30 godina da se razgrade, zagade tlo i izazovu smrt životinja.
Ohrabruje činjenica da je Moskva jedan od 94 grada učesnika u organizaciji C40 i ovo je treći put da se forum održava, koji svake godine privlači pažnju sve više poznatih ličnosti i građana.

U geometriji, ugao je lik koji je formiran od dve zrake koje izlaze iz jedne tačke (koja se naziva vrh ugla). U većini slučajeva, jedinica mjere za ugao je stepen (°) - zapamtite da je pun ugao, ili jedan obrt, 360°. Vrijednost ugla poligona možete pronaći po njegovom tipu i vrijednostima drugih uglova, a ako je zadan pravokutni trokut, kut se može izračunati sa dvije strane. Osim toga, ugao se može izmjeriti pomoću kutomjera ili izračunati pomoću grafičkog kalkulatora.

Koraci

Kako pronaći unutrašnje uglove poligona

Izbrojite broj strana poligona. Da biste izračunali unutrašnje uglove poligona, prvo morate odrediti koliko strana ima poligon. Imajte na umu da je broj stranica poligona jednak broju njegovih uglova.

Na primjer, trokut ima 3 stranice i 3 unutrašnja ugla, a kvadrat 4 stranice i 4 unutrašnja ugla.

Izračunajte zbir svih unutrašnjih uglova poligona. Da biste to učinili, koristite sljedeću formulu: (n - 2) x 180. U ovoj formuli, n je broj strana poligona. Slijede zbrojevi uglova poligona koji se često susreću:
- Zbir uglova trougla (mnogougla sa 3 strane) je 180°.
- Zbir uglova četvorougla (mnogougla sa 4 strane) je 360°.
- Zbir uglova petougla (poligona sa 5 strana) je 540°.
- Zbir uglova šesterokuta (poligona sa 6 strana) je 720°.
- Zbir uglova osmougla (poligona sa 8 strana) je 1080°.
Podijelite zbir svih uglova pravilnog poligona sa brojem uglova. Pravilan mnogokut je mnogokut sa jednakim stranicama i jednakih uglova. Na primjer, svaki ugao jednakostraničnog trougla izračunava se na sljedeći način: 180 ÷ 3 = 60°, a svaki ugao kvadrata se izračunava na sljedeći način: 360 ÷ 4 = 90°.
- Jednakostranični trokut i kvadrat su pravilni poligoni. I u zgradi Pentagona (Vašington, SAD) i putokaz"Stop" oblik pravilnog osmougla.
Oduzmite zbir svih poznatih uglova od ukupnog zbira uglova nepravilnog poligona. Ako stranice poligona nisu jednake jedna drugoj, a ni njegovi uglovi nisu međusobno jednaki, prvo zbrojite poznate uglove poligona. Sada oduzmite rezultujuću vrijednost od zbira svih uglova poligona - na ovaj način ćete pronaći nepoznati ugao.
- Na primjer, ako se uzme da su 4 ugla petougla 80°, 100°, 120° i 140°, saberite ove brojeve: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Sada oduzmite ovu vrijednost od zbira svih uglovi petougla; ovaj zbir je jednak 540°: 540 - 440 = 100°. Dakle, nepoznati ugao je 100°.
savjet: nepoznati ugao nekih poligona može se izračunati ako poznajete svojstva figure. Na primjer, u jednakokračnom trokutu, dvije stranice su jednake, a dva ugla jednaka; U paralelogramu (koji je četverokut), suprotne strane su jednake, a suprotni uglovi jednaki.

Izmjerite dužinu dvije strane trougla. Najduža stranica pravokutnog trougla naziva se hipotenuza. Susjedna strana je strana koja je blizu nepoznatog ugla. Suprotna strana je strana koja je suprotna nepoznatom uglu. Izmjerite dvije strane da biste izračunali nepoznate uglove trougla.

savjet: koristite grafički kalkulator za rješavanje jednadžbi ili pronađite online tablicu s vrijednostima sinusa, kosinusa i tangenta.

Izračunajte sinus ugla ako znate suprotnu stranu i hipotenuzu. Da biste to učinili, ubacite vrijednosti u jednadžbu: sin(x) = suprotna strana ÷ hipotenuza. Na primjer, suprotna strana je 5 cm, a hipotenuza 10 cm Podijelite 5/10 = 0,5. Dakle, sin(x) = 0,5, odnosno, x = sin -1 (0,5).