Kako ručno pronaći kvadratni korijen broja. Šta je kvadratni korijen? Koliki je kvadratni korijen od sto?

Prilikom rješavanja različitih zadataka iz predmeta matematike i fizike, učenici i studenti se često susreću sa potrebom izvlačenja korijena drugog, trećeg ili n-tog stepena. Naravno, u veku informacione tehnologije Neće biti teško riješiti ovaj problem pomoću kalkulatora. Međutim, nastaju situacije kada je nemoguće koristiti elektronskog pomoćnika.

Na primjer, mnogi ispiti vam ne dozvoljavaju da ponesete elektroniku. Osim toga, možda nećete imati kalkulator pri ruci. U takvim slučajevima, korisno je znati barem neke metode za ručno izračunavanje radikala.

Pronalaženje kvadratnih korijena pomoću tablice kvadrata

Jedan od najjednostavnijih načina za izračunavanje korijena je da koristeći posebnu tabelu. Šta je to i kako ga pravilno koristiti?

Koristeći tablicu, možete pronaći kvadrat bilo kojeg broja od 10 do 99. Redovi tablice sadrže vrijednosti desetica, a stupci sadrže vrijednosti jedinica. Ćelija na raskrsnici reda i kolone sadrži kvadrat dvocifrenog broja. Da biste izračunali kvadrat od 63, potrebno je pronaći red vrijednosti 6 i stupac vrijednosti 3. Na raskrsnici ćemo pronaći ćeliju sa brojem 3969.

Budući da je vađenje korijena inverzna operacija kvadriranja, da biste izvršili ovu radnju morate učiniti suprotno: prvo pronaći ćeliju s brojem čiji radikal želite izračunati, a zatim upotrijebite vrijednosti stupca i retka da odredite odgovor . Kao primjer, razmotrite proračun kvadratni korijen 169.

U tabeli nalazimo ćeliju sa ovim brojem, horizontalno određujemo desetice - 1, vertikalno nalazimo jedinice - 3. Odgovor: √169 = 13.

Slično, možete izračunati kocke i n-te korijene koristeći odgovarajuće tablice.

Prednost metode je njena jednostavnost i odsustvo dodatnih proračuna. Nedostaci su očigledni: metoda se može koristiti samo za ograničen raspon brojeva (broj za koji se nalazi korijen mora biti u rasponu od 100 do 9801). Osim toga, neće raditi ako dati broj nije u tabeli.

Primena faktorizacije

Ako tablica kvadrata nije pri ruci ili se ispostavilo da je nemoguće pronaći korijen uz njegovu pomoć, možete pokušati rastavite broj ispod korijena u proste faktore. Primarni faktori su oni koji mogu biti potpuno (bez ostatka) djeljivi samo sa sobom ili s jednim. Primjeri mogu biti 2, 3, 5, 7, 11, 13, itd.

Pogledajmo izračunavanje korijena koristeći √576 kao primjer. Hajde da to podelimo na osnovne faktore. Dobijamo sljedeći rezultat: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Koristeći osnovno svojstvo korijena √a² = a, riješit ćemo se korijena i kvadrata, a zatim izračunati odgovor: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Šta učiniti ako bilo koji od množitelja nema svoj par? Na primjer, razmotrite izračun √54. Nakon faktorizacije, dobijamo rezultat u sljedećem obliku: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Dio koji se ne može ukloniti može se ostaviti ispod korijena. Za većinu zadataka iz geometrije i algebre, ovaj odgovor će se računati kao konačni odgovor. Ali ako postoji potreba za izračunavanjem približnih vrijednosti, možete koristiti metode o kojima će biti riječi u nastavku.

Heronova metoda

Šta učiniti kada trebate barem približno znati čemu je izvučeni korijen jednak (ako je nemoguće dobiti cjelobrojnu vrijednost)? Brz i prilično precizan rezultat postiže se korištenjem Heron metode. Njegova suština je korištenje približne formule:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

gdje je R broj čiji korijen treba izračunati, a je najbliži broj čija je vrijednost korijena poznata.

Pogledajmo kako metoda funkcionira u praksi i procijenimo koliko je tačna. Izračunajmo koliko je √111 jednako. Broj najbliži 111, čiji je korijen poznat, je 121. Dakle, R = 111, a = 121. Zamijenite vrijednosti u formulu:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Sada provjerimo tačnost metode:

10,55² = 111,3025.

Greška metode je bila približno 0,3. Ako je potrebno poboljšati preciznost metode, možete ponoviti prethodno opisane korake:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Provjerimo tačnost proračuna:

10,536² = 111,0073.

Nakon ponovne primjene formule, greška je postala potpuno beznačajna.

Izračunavanje korijena dugim dijeljenjem

Ova metoda pronalaženja vrijednosti kvadratnog korijena je malo složenija od prethodnih. Međutim, on je najprecizniji među ostalim metodama proračuna bez kalkulatora.

Recimo da trebate pronaći kvadratni korijen s točnošću od 4 decimale. Analizirajmo algoritam proračuna na primjeru proizvoljnog broja 1308.1912.

Podijelite list papira na 2 dijela okomitom linijom, a zatim povucite još jednu liniju od njega udesno, malo ispod gornje ivice. Napišimo broj na lijevoj strani, dijeleći ga u grupe od 2 cifre, pomičući se udesno i lijeva strana od zareza. Prva cifra na lijevoj strani može biti bez para. Ako znak nedostaje na desnoj strani broja, onda treba dodati 0. U našem slučaju, rezultat će biti 13 08,19 12.
Hajde da izaberemo najbolje veliki broj, čiji će kvadrat biti manji ili jednak prvoj grupi znamenki. U našem slučaju to je 3. Napišimo to gore desno; 3 je prva znamenka rezultata. U donjem desnom uglu označavamo 3×3 = 9; ovo će biti potrebno za naknadne proračune. Od 13 u koloni oduzimamo 9, dobijamo ostatak od 4.
Dodijelimo sljedeći par brojeva ostatku 4; dobijamo 408.
Pomnožite broj u gornjem desnom uglu sa 2 i zapišite ga u donjem desnom uglu, dodajući mu _ x _ =. Dobijamo 6_ x _ =.
Umjesto crtica, trebate zamijeniti isti broj, manji ili jednak 408. Dobijamo 66 × 6 = 396. Pišemo 6 odozgo desno, jer je ovo druga znamenka rezultata. Oduzmite 396 od 408, dobijamo 12.
Ponovimo korake 3-6. Pošto su cifre pomerene naniže u razlomku broja, potrebno je posle 6 u gornjem desnom uglu staviti decimalni zarez. Zapišimo dvostruki rezultat crticama: 72_ x _ =. Pogodan broj bi bio 1: 721×1 = 721. Zapišimo ga kao odgovor. Oduzmimo 1219 - 721 = 498.
Izvršimo niz radnji dat u prethodnom pasusu još tri puta da dobijemo potreban broj decimalnih mjesta. Ako nema dovoljno znakova za daljnja izračunavanja, potrebno je dodati dvije nule trenutnom broju na lijevoj strani.

Kao rezultat, dobijamo odgovor: √1308.1912 ≈ 36.1689. Ako provjerite radnju pomoću kalkulatora, možete se uvjeriti da su svi znakovi ispravno identificirani.

Izračun kvadratnog korijena po bitu

Metoda je vrlo precizna. Osim toga, sasvim je razumljivo i ne zahtijeva pamćenje formula ili složeni algoritam radnji, jer je suština metode odabir ispravnog rezultata.

Izdvojimo korijen broja 781. Pogledajmo redoslijed radnji detaljno.

Hajde da saznamo koja cifra vrijednosti kvadratnog korijena će biti najznačajnija. Da bismo to učinili, kvadriramo 0, 10, 100, 1000, itd. i saznamo između kojih se od njih nalazi radikalni broj. Dobijamo tih 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
Odaberimo vrijednost desetica. Da bismo to učinili, naizmjenično ćemo dizati na stepen 10, 20, ..., 90 dok ne dobijemo broj veći od 781. Za naš slučaj, dobijamo 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. vrijednost rezultata n će biti unutar 20< n <30.
Slično kao u prethodnom koraku, odabire se vrijednost cifre jedinica. Kvadratirajmo 21,22, ..., 29 jedno po jedno: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 247² Dobijamo 787².< n < 28.
Svaka sljedeća znamenka (desetine, stotinke, itd.) izračunava se na isti način kao što je prikazano gore. Proračuni se vrše sve dok se ne postigne potrebna tačnost.

Video

Ovaj video će vam pokazati kako pronaći kvadratni korijen bez korištenja kalkulatora.

Često se prilikom rješavanja problema susrećemo s velikim brojevima iz kojih moramo izdvojiti Kvadratni korijen. Mnogi učenici odlučuju da je to greška i počinju ponovo rješavati cijeli primjer. Ni u kom slučaju to ne biste trebali raditi! Dva su razloga za to:

Korijeni velikih brojeva se pojavljuju u problemima. Posebno u tekstualnim;
Postoji algoritam po kojem se ovi korijeni izračunavaju gotovo usmeno.

Danas ćemo razmotriti ovaj algoritam. Možda će vam se neke stvari učiniti nerazumljivima. Ali ako obratite pažnju na ovu lekciju, dobit ćete moćno oružje protiv kvadratni korijeni.

Dakle, algoritam:

Ograničite traženi korijen iznad i ispod na brojeve koji su višestruki od 10. Stoga ćemo smanjiti opseg pretraživanja na 10 brojeva;
Od ovih 10 brojeva izbacite one koji definitivno ne mogu biti korijeni. Kao rezultat, ostat će 1-2 broja;
Kvadrirajte ova 1-2 broja. Onaj čiji je kvadrat jednak originalnom broju bit će korijen.

Prije nego što ovaj algoritam stavimo u praksu, pogledajmo svaki pojedinačni korak.

Ograničenje korijena

Prije svega, moramo saznati između kojih brojeva se nalazi naš korijen. Veoma je poželjno da brojevi budu višestruki od deset:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Dobijamo niz brojeva:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Šta nam ovi brojevi govore? Jednostavno je: dobijamo granice. Uzmimo, na primjer, broj 1296. On leži između 900 i 1600. Dakle, njegov korijen ne može biti manji od 30 i veći od 40:

[Natpis za sliku]

Ista stvar vrijedi za bilo koji drugi broj iz kojeg možete pronaći kvadratni korijen. Na primjer, 3364:

[Natpis za sliku]

Tako, umjesto nerazumljivog broja, dobijamo vrlo specifičan raspon u kojem leži izvorni korijen. Da dodatno suzite područje pretraživanja, prijeđite na drugi korak.

Uklanjanje očigledno nepotrebnih brojeva

Dakle, imamo 10 brojeva - kandidata za korijen. Dobili smo ih vrlo brzo, bez kompleksnog razmišljanja i množenja u koloni. Vrijeme je da krenemo dalje.

Vjerovali ili ne, sada ćemo broj kandidata smanjiti na dva - opet bez ikakvih komplikovanih proračuna! Dovoljno je znati posebno pravilo. Evo ga:

Posljednja znamenka kvadrata ovisi samo o posljednjoj znamenki originalni broj.

Drugim riječima, samo pogledajte posljednju cifru kvadrata i odmah ćemo shvatiti gdje završava originalni broj.

Postoji samo 10 cifara koje mogu doći na posljednje mjesto. Pokušajmo saznati u što se pretvaraju kada se kvadraturu. Pogledajte tabelu:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ova tabela je još jedan korak ka izračunavanju korijena. Kao što vidite, ispostavilo se da su brojevi u drugom redu simetrični u odnosu na pet. Na primjer:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kao što vidite, zadnja cifra je ista u oba slučaja. To znači da se, na primjer, korijen od 3364 mora završavati na 2 ili 8. S druge strane, sjećamo se ograničenja iz prethodnog paragrafa. Dobijamo:

[Natpis za sliku]

Crveni kvadrati ukazuju da još ne znamo ovu cifru. Ali korijen leži u rasponu od 50 do 60, na kojem postoje samo dva broja koja se završavaju na 2 i 8:

[Natpis za sliku]

To je sve! Od svih mogućih korijena, ostavili smo samo dvije opcije! A to je u najtežem slučaju, jer zadnja cifra može biti 5 ili 0. I tada će biti samo jedan kandidat za korijene!

Konačni proračuni

Dakle, imamo još 2 broja kandidata. Kako znate koji je korijen? Odgovor je očigledan: kvadrirajte oba broja. Onaj koji na kvadrat daje originalni broj bit će korijen.

Na primjer, za broj 3364 pronašli smo dva kandidata broja: 52 i 58. Postavimo ih na kvadrat:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

To je sve! Ispostavilo se da je korijen 58! Istovremeno, da bih pojednostavio proračune, koristio sam formulu za kvadrate zbira i razlike. Zahvaljujući tome, nisam morao čak ni da množim brojeve u kolonu! Ovo je još jedan nivo optimizacije proračuna, ali je, naravno, potpuno opciono :)

Primjeri izračunavanja korijena

Teorija je, naravno, dobra. Ali hajde da to proverimo u praksi.

[Natpis za sliku]

Prvo, hajde da saznamo između kojih brojeva leži broj 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Pogledajmo sada zadnji broj. To je jednako 6. Kada se to dešava? Samo ako se korijen završava na 4 ili 6. Dobijamo dva broja:

Sve što ostaje je kvadrirati svaki broj i uporediti ga s originalom:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Odlično! Ispostavilo se da je prvi kvadrat jednak originalnom broju. Dakle, ovo je korijen.

Zadatak. Izračunajte kvadratni korijen:
[Natpis za sliku]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Pogledajmo posljednju cifru:

1369 → 9;
33; 37.

Na kvadrat:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Evo odgovora: 37.

Zadatak. Izračunajte kvadratni korijen:
[Natpis za sliku]

Ograničavamo broj:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Pogledajmo posljednju cifru:

2704 → 4;
52; 58.

Na kvadrat:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Dobili smo odgovor: 52. Drugi broj više neće trebati kvadrirati.

Zadatak. Izračunajte kvadratni korijen:
[Natpis za sliku]

Ograničavamo broj:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Pogledajmo posljednju cifru:

4225 → 5;
65.

Kao što vidite, nakon drugog koraka ostaje samo jedna opcija: 65. Ovo je željeni root. Ali hajde da ga ipak kvadriramo i provjerimo:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Sve je tačno. Zapisujemo odgovor.

Zaključak

Avaj, nije bolje. Pogledajmo razloge. postoje dva od njih:

Na svakom normalnom ispitu iz matematike, bilo da se radi o državnom ispitu ili Jedinstvenom državnom ispitu, upotreba kalkulatora je zabranjena. A ako unesete kalkulator u razred, lako možete biti izbačeni sa ispita.
Ne budite kao glupi Amerikanci. Koji nisu kao korijeni - ne mogu sabrati dva prosta broja. A kada vide razlomke, generalno postaju histerični.

Problem pronalaženja korijena u matematici je inverzni problem podizanja broja na stepen. Postoje različiti koreni: koreni drugog stepena, koreni trećeg stepena, koreni četvrtog stepena, itd. Zavisi na koju snagu je broj prvobitno podignut. Koren je označen simbolom: √ je kvadratni koren, odnosno koren drugog stepena; ako koren ima stepen veći od drugog, tada se odgovarajući stepen dodeljuje iznad znaka korena. Broj koji je pod znakom korijena je radikalan izraz. Prilikom pronalaženja korijena postoji nekoliko pravila koja će vam pomoći da ne pogriješite u pronalaženju korijena:

Parni korijen (ako je stepen 2, 4, 6, 8, itd.) negativnog broja NE postoji. Ako je radikalni izraz negativan, ali se traži korijen neparnog stepena (3, 5, 7 i tako dalje), tada će rezultat biti negativan.
Koren svakog stepena od jedan je uvek jedan: √1 = 1.
Koren od nule je nula: √0 = 0.

Kako pronaći korijen od 100

Ako problem ne kaže koji korijen stepena treba pronaći, onda to obično znači da je potrebno pronaći korijen drugog stepena (kvadrata).
Nađimo √100 = ? Moramo pronaći broj koji, kada se podigne na drugi stepen, daje broj 100. Očigledno, takav broj je broj 10, jer: 10 2 = 100. Dakle, √100 = 10: kvadratni korijen od 100 je 10.

Šta je kvadratni korijen?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Ovaj koncept je vrlo jednostavan. Prirodno, rekao bih. Matematičari pokušavaju pronaći reakciju za svaku akciju. Postoji sabiranje - postoji i oduzimanje. Postoji množenje - postoji i dijeljenje. Postoji kvadratura... Tako da postoji i uzimajući kvadratni korijen! To je sve. Ova akcija ( kvadratni korijen) u matematici je označeno ovom ikonicom:

Sama ikona se zove prelepa reč" radikalan".

Kako izvaditi korijen? Bolje je pogledati primjeri.

Koliki je kvadratni korijen od 9? Koji broj na kvadrat će nam dati 9? 3 na kvadrat nam daje 9! oni:

Ali koliko je kvadratni korijen od nule? Nema problema! Koji broj na kvadrat čini nula? Da, daje nulu! znači:

shvaćam, šta je kvadratni korijen? Onda razmatramo primjeri:

Odgovori (u neredu): 6; 1; 4; 9; 5.

Odlučili? Zaista, koliko je to lakše?!

Ali... Šta čovek radi kada vidi neki zadatak sa korenima?

Čovek počinje da se oseća tužno... Ne veruje u jednostavnost i lakoću svojih korena. Iako izgleda da zna šta je kvadratni korijen...

To je zato što je osoba zanemarila nekoliko važnih tačaka prilikom proučavanja korijena. Onda se ovi modri okrutno osvećuju na testovima i ispitima...

Tačka jedan. Morate prepoznati korijene iz vida!

Koliki je kvadratni korijen od 49? Sedam? Tačno! Kako ste znali da je sedam? Na kvadrat sedam i dobijete 49? Tačno! Imajte na umu da izvadite koren od 49 morali smo da uradimo obrnutu operaciju - kvadrat 7! I pobrinite se da ne propustimo. Ili su mogli promašiti...

Ovo je poteškoća vađenje korena. Square Možete koristiti bilo koji broj bez ikakvih problema. Pomnožite broj sam po sebi sa kolonom - to je sve. Ali za vađenje korena Ne postoji tako jednostavna i sigurna tehnologija. Moramo pokupiti odgovorite i provjerite da li je tačno tako što ćete ga kvadrirati.

Ovaj složeni kreativni proces - odabir odgovora - je uvelike pojednostavljen ako ste zapamti kvadrati popularnih brojeva. Kao tablica množenja. Ako, recimo, treba da pomnožite 4 sa 6, ne dodajete četiri 6 puta, zar ne? Odmah dolazi do odgovora 24. Mada, ne shvataju svi, da...

Za slobodan i uspješan rad s korijenima dovoljno je znati kvadrate brojeva od 1 do 20. Štaviše tamo I nazad. One. trebali biste biti u mogućnosti lako recitirati i, recimo, 11 na kvadrat i kvadratni korijen od 121. Da biste postigli ovo pamćenje, postoje dva načina. Prvi je naučiti tablicu kvadrata. Ovo će biti od velike pomoći u rješavanju primjera. Drugi je riješiti više primjera. Ovo će vam uvelike pomoći da zapamtite tablicu kvadrata.

I bez kalkulatora! Samo za potrebe testiranja. U suprotnom ćete nemilosrdno usporavati tokom ispita...

dakle, šta je kvadratni korijen I kako ekstrahovati korenje- Mislim da je jasno. Sada hajde da saznamo IZ ČEGA ih možemo izdvojiti.

Tačka dva. Root, ne poznajem te!

Iz kojih brojeva možete uzeti kvadratni korijen? Da, skoro svaki od njih. Lakše je shvatiti od čega je zabranjeno je izvuci ih.

Pokušajmo izračunati ovaj korijen:

Da bismo to učinili, moramo odabrati broj koji će nam na kvadrat dati -4. Mi biramo.

Šta, ne odgovara? 2 2 daje +4. (-2) 2 opet daje +4! To je to... Ne postoje brojevi koji će nam, kada se kvadriraju, dati negativan broj! Iako znam ove brojke. Ali neću vam reći). Idi na koledž i sam ćeš saznati.

Ista priča će se dogoditi sa bilo kojim negativnim brojem. Otuda zaključak:

Izraz u kojem se ispod predznaka kvadratnog korijena nalazi negativan broj - nema smisla! Ovo je zabranjena operacija. Zabranjeno je kao dijeljenje sa nulom. Zapamtite ovu činjenicu čvrsto! Ili drugim riječima:

Ne možete izvući kvadratne korijene iz negativnih brojeva!

Ali od svih ostalih, moguće je. Na primjer, sasvim je moguće izračunati

Na prvi pogled, ovo je veoma teško. Odabir razlomaka i kvadriranje... Ne brini. Kada shvatimo svojstva korijena, takvi primjeri će se svesti na istu tablicu kvadrata. Život će postati lakši!

U redu, razlomci. Ali i dalje nailazimo na izraze poput:

Uredu je. Sve isto. Kvadratni korijen od dva je broj koji nam, kada se kvadrira, daje dva. Samo je ovaj broj potpuno neparan... Evo ga:

Ono što je zanimljivo je da se ovaj razlomak nikada ne završava... Takvi brojevi se nazivaju iracionalnim. U kvadratnim korijenima ovo je najčešća stvar. Usput, zato se i zovu izrazi s korijenima iracionalno. Jasno je da je pisati tako beskonačan razlomak sve vrijeme nezgodno. Stoga, umjesto beskonačnog razlomka, ostavljaju ga ovako:

Ako, prilikom rješavanja primjera, završite s nečim što se ne može izdvojiti, na primjer:

onda to ostavljamo tako. Ovo će biti odgovor.

Morate jasno razumjeti šta znače ikone

Naravno, ako se uzme korijen broja glatko, morate ovo uraditi. Odgovor na zadatak je u formi, na primjer

Sasvim potpun odgovor.

I, naravno, morate znati približne vrijednosti iz memorije:

Ovo znanje uvelike pomaže u procjeni situacije u složenim zadacima.

Tačka tri. Najlukaviji.

Glavna zbrka u radu s korijenima je uzrokovana ovom točkom. On je taj koji daje poverenje u sopstvene sposobnosti... Hajde da se pozabavimo ovom tačkom kako treba!

Prvo, uzmimo kvadratni korijen od četiri od njih ponovo. Jesam li vas već zamarao ovim korijenom?) Nema veze, sad će biti zanimljivo!

Koji broj kvadrira 4? Pa dva, dva - čujem nezadovoljne odgovore...

U redu. Dva. Ali takođe minus dvaće dati 4 na kvadrat... U međuvremenu, odgovor

tacno i odgovor

gruba greška. Volim ovo.

U čemu je stvar?

Zaista, (-2) 2 = 4. I pod definicijom kvadratnog korijena od četiri minus dva sasvim prikladno... Ovo je također kvadratni korijen od četiri.

Ali! U školskom kursu matematike uobičajeno je uzeti u obzir kvadratne korijene samo nenegativni brojevi! To jest, nula i svi su pozitivni. Čak je izmišljen i poseban termin: od broja A- Ovo nenegativan broj čiji je kvadrat A. Negativni rezultati prilikom vađenja aritmetičkog kvadratnog korijena jednostavno se odbacuju. U školi je sve kvadratni korijen - aritmetika. Iako se to posebno ne spominje.

U redu, to je razumljivo. Još bolje je ne zamarati se negativnim rezultatima... Ovo još nije zabuna.

Zabuna počinje pri rješavanju kvadratnih jednadžbi. Na primjer, trebate riješiti sljedeću jednačinu.

Jednačina je jednostavna, pišemo odgovor (kako se uči):

Ovaj odgovor (usput rečeno apsolutno tačan) je samo skraćena verzija dva odgovori:

Stani, stani! Malo iznad sam napisao da je kvadratni korijen broj Uvijek nenegativan! A evo jednog od odgovora - negativan! Poremećaj. Ovo je prvi (ali ne i posljednji) problem koji izaziva nepovjerenje u korijene... Hajde da riješimo ovaj problem. Zapišimo odgovore (samo radi razumijevanja!) ovako:

Zagrade ne mijenjaju suštinu odgovora. Samo sam ga odvojio zagradama znakovi od root. Sada možete jasno vidjeti da je sam korijen (u zagradama) još uvijek nenegativan broj! A znakovi su rezultat rješavanja jednadžbe. Na kraju krajeva, prilikom rješavanja bilo koje jednačine moramo pisati Sve Xs koji će, kada se zamijene u originalnu jednadžbu, dati tačan rezultat. Koren od pet (pozitivan!) i sa plusom i sa minusom uklapa se u našu jednačinu.

Volim ovo. Ako ti samo uzmi kvadratni korijen od bilo čega, tebe Uvijek dobijaš jedan nenegativan rezultat. Na primjer:

Jer - aritmetički kvadratni korijen.

Ali ako rješavate neku kvadratnu jednačinu, na primjer:

To Uvijek ispostavilo se dva odgovor (sa plusom i minusom):

Jer ovo je rješenje jednadžbe.

nada, šta je kvadratni korijen Poente su vam jasne. Sada ostaje da saznamo šta se može učiniti s korijenima, koja su njihova svojstva. A koji su poeni i zamke... pardon, kamenje!)

Sve ovo je u narednim lekcijama.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Među mnogim znanjima koja su znak pismenosti, abeceda je na prvom mjestu. Sljedeći, jednako „znakovni“ element su vještine sabiranja-množenja i, uz njih, ali suprotne po značenju, aritmetičke operacije oduzimanja-dijeljenja. Vještine naučene u dalekom školskom djetinjstvu vjerno služe danju i noću: TV, novine, SMS, i svuda gdje čitamo, pišemo, brojimo, sabiramo, oduzimamo, množimo. I, recite mi, jeste li često morali vaditi korijene u svom životu, osim na dachi? Na primjer, tako zabavan problem, kao kvadratni korijen iz broja 12345... Ima li još baruta u bocama? Možemo li to podnijeti? Ništa ne može biti jednostavnije! Gdje mi je kalkulator... A bez njega je borba prsa u prsa slaba?

Prvo, razjasnimo šta je to - kvadratni korijen broja. Uopšteno govoreći, "uzimanje korijena broja" znači izvođenje aritmetičke operacije suprotne od podizanja na stepen - ovdje imate jedinstvo suprotnosti u životnoj primjeni. Recimo da je kvadrat množenje broja sam po sebi, tj. kako se uči u školi, X * X = A ili u drugom zapisu X2 = A, i riječima - "X na kvadrat je jednako A." Tada inverzni problem zvuči ovako: kvadratni korijen iz broja A je broj X, koji je, kada se stavi na kvadrat, jednak A.

Uzimanje kvadratnog korijena

Iz školskog aritmetičkog kursa poznate su metode izračunavanja „u koloni“, koje pomažu u izvođenju bilo kakvih proračuna koristeći prve četiri aritmetičke operacije. Jao... Za kvadratne, i ne samo kvadratne korijene, takvi algoritmi ne postoje. I u ovom slučaju, kako izvući kvadratni korijen bez kalkulatora? Na osnovu definicije kvadratnog korijena, zaključak je samo jedan – potrebno je odabrati vrijednost rezultata uzastopnim nabrajanjem brojeva čiji se kvadrat približava vrijednosti radikalnog izraza. To je sve! Prije nego što prođe sat ili dva, možete izračunati bilo koji kvadratni korijen koristeći poznatu metodu množenja u „koloni“. Ako imate vještine, ovo će potrajati samo nekoliko minuta. Čak i ne tako napredan korisnik kalkulatora ili računara može to učiniti jednim potezom - napredak.

Ali ozbiljno, izračunavanje kvadratnog korijena se često izvodi tehnikom "artiljerijske viljuške": prvo uzmite broj čiji kvadrat približno odgovara radikalnom izrazu. Bolje je da je "naš kvadrat" nešto manji od ovog izraza. Zatim prilagođavaju broj prema vlastitoj vještini i razumijevanju, na primjer, pomnože sa dva, i... ponovo ga kvadriraju. Ako je rezultat veći od broja ispod korijena, sukcesivno prilagođavajući originalni broj, postepeno se približavajući svom "kolegi" ispod korijena. Kao što vidite - nema kalkulatora, samo mogućnost brojanja "u koloni". Naravno, postoji mnogo naučno dokazanih i optimiziranih algoritama za izračunavanje kvadratnog korijena, ali za "kućnu upotrebu" gornja tehnika daje 100% povjerenje u rezultat.

Da, skoro sam zaboravio, da potvrdimo našu povećanu pismenost, izračunajmo kvadratni korijen prethodno naznačenog broja 12345. Radimo to korak po korak:

1. Uzmimo, čisto intuitivno, X=100. Izračunajmo: X * X = 10000. Intuicija je najbolja - rezultat je manji od 12345.

2. Pokušajmo, također čisto intuitivno, X = 120. Zatim: X * X = 14400. I opet, intuicija je u redu - rezultat je više od 12345.

3. Iznad smo dobili "rašljušte" od 100 i 120. Odaberimo nove brojeve - 110 i 115. Dobijamo, respektivno, 12100 i 13225 - viljuška se sužava.

4. Pokušajmo "možda" X=111. Dobijamo X * X = 12321. Ovaj broj je već prilično blizu 12345. U skladu sa potrebnom preciznošću, „prilagođavanje“ se može nastaviti ili zaustaviti na dobijenom rezultatu. To je sve. Kao što je obećano - sve je vrlo jednostavno i bez kalkulatora.

Samo malo istorije...

Pitagorejci, učenici škole i Pitagorini sljedbenici, došli su na ideju korištenja kvadratnih korijena 800 godina prije nove ere. a onda smo „naleteli“ na nova otkrića u oblasti brojeva. A odakle je to došlo?

1. Rješavanje problema sa izdvajanjem korijena daje rezultat u obliku brojeva nove klase. Nazivani su iracionalnim, drugim riječima, „nerazumnim“, jer. nisu zapisani kao potpuni broj. Najklasičniji primjer ove vrste je kvadratni korijen od 2. Ovaj slučaj odgovara izračunavanju dijagonale kvadrata sa stranicom jednakom 1 - to je utjecaj pitagorejske škole. Ispostavilo se da u trokutu sa vrlo specifičnom jediničnom veličinom stranica hipotenuza ima veličinu koja je izražena brojem koji „nema kraja“. Ovako su se pojavili u matematici

2. Poznato je da se pokazalo da ova matematička operacija sadrži još jednu začkoljicu – pri vađenju korijena ne znamo koji je broj, pozitivan ili negativan, kvadrat radikalnog izraza. Ova nesigurnost, dvostruki rezultat jedne operacije, bilježi se na ovaj način.

Proučavanje problema vezanih za ovu pojavu postalo je pravac u matematici pod nazivom teorija kompleksnih varijabli, koji ima veliki praktični značaj u matematičkoj fizici.

Zanimljivo je da je isti sveprisutni I. Newton koristio oznaku korijena - radikalan - u svojoj "Univerzalnoj aritmetici", a upravo je moderni oblik notacije korijena poznat od 1690. godine iz knjige Francuza Rollea "Priručnik algebre”.