1°

1°. Jednačine tangentne ravni i normale za slučaj eksplicitne definicije površine.

Razmotrimo jednu od geometrijskih primjena parcijalnih izvoda funkcije dvije varijable. Neka funkcija z = f (x ;y) diferencibilan u tački (x 0; y 0) neko područje DÎ R 2. Izrežemo površinu S, predstavlja funkciju z, avioni x = x 0 I y = y 0(Sl. 11).

Avion X = x 0 preseca površinu S duž neke linije z 0 (y ),čija se jednadžba dobija zamjenom u izraz izvorne funkcije z ==f (x ;y) umjesto X brojevi x 0 . Dot M 0 (x 0 ;y 0,f (x 0 ;y 0)) pripada krivulji z 0 (y). Zbog diferencijabilne funkcije z u tački M 0 funkcija z 0 (y) je takođe diferencibilan u tački y =y 0 . Dakle, u ovoj tački u avionu x = x 0 do krivine z 0 (y) može se povući tangenta l 1.

Provođenje sličnog rezoniranja za odjeljak at = y 0, napravimo tangentu l 2 do krivine z 0 (x) u tački X = x 0 - Direktno 1 1 I 1 2 definirati ravan tzv tangentna ravan na površinu S u tački M 0.

Kreirajmo njegovu jednačinu. Pošto ravan prolazi kroz tačku Mo(x 0 ;y 0 ;z 0), onda se njegova jednačina može napisati kao

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

koji se može prepisati ovako:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(dijeleći jednačinu sa -C i označavajući ).

Naći ćemo A 1 i B 1.

Tangentne jednadžbe 1 1 I 1 2 izgleda kao

respektivno.

Tangenta l 1 leži u ravni a , dakle, koordinate svih tačaka l 1 zadovoljavaju jednačinu (1). Ova činjenica se može zapisati u obliku sistema

Rešavajući ovaj sistem u odnosu na B 1, dobijamo to l 3, to je lako ustanoviti.

Zamjena vrijednosti A 1 i B 1 u jednačinu (1), dobijamo željenu jednačinu tangentne ravni:

Prava koja prolazi kroz tačku M 0 a okomita na tangentnu ravan konstruisanu u ovoj tački površine naziva se njena normalno.

Koristeći uvjet okomitosti prave i ravni, lako je dobiti kanonske normalne jednadžbe:

Komentar. Formule za tangentnu ravan i normalu na površinu dobijaju se za obične, odnosno nespecijalne tačke površine. Dot M 0 površina se zove poseban, ako su u ovom trenutku sve parcijalne derivacije jednake nuli ili barem jedan od njih ne postoji. Ne razmatramo takve tačke.

Primjer. Napišite jednadžbe za tangentnu ravan i normalu na površinu u njenoj tački

M(2; -1; 1).

Rješenje. Nađimo parcijalne izvode ove funkcije i njihove vrijednosti u tački M Odavde, primjenom formula (2) i (3), imat ćemo: z-1=2(x-2)+2(y+1) ili 2h+2u-z-1=0 - jednačina tangentne ravni i

- normalne jednačine.

2°. Jednačine tangentne ravni i normale za slučaj implicitne definicije površine. Ako površina S dato jednačinomF (x ; y; z)

= 0, onda jednačine (2) i (3), uzimajući u obzir činjenicu da se parcijalni izvod mogu naći kao izvod implicitne funkcije.

1.

4.

Jednačina normalne ravni

Tangentna ravan i normalna površina

Neka je data neka površina, A je fiksna tačka površine, a B je promenljiva tačka površine,

(Sl. 1).

→

Nenulti vektor

n pozvao normalni vektor

na površinu u tački A, ako lim B → A π 2 .

j =

1. Površinska tačka F (x, y, z) = 0 naziva se običnom ako je u ovoj tački
2. parcijalni derivati ​​F " x , F " y , F " z su kontinuirani;

(F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 . Ako je barem jedan od ovih uvjeta prekršen, poziva se površinska točka .

posebna tačka površine Teorema 1. Ako je M(x

→ Nenulti vektor 0 , y 0 , z 0 ) je obična tačka površine F (x , y , z) = 0 , tada je vektor → = grad F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) i → + F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) j → + F " z (x 0 , y 0 , z 0 )

(1)

k

je normalna na ovu površinu u tački M (x 0 , y 0 , z 0 ) . Dokaz dat u knjizi I.M. Petruško, L.A. Kuznjecova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova ``Kurs višu matematiku : Integralni račun. Funkcije nekoliko varijabli. Diferencijalne jednadžbe

. M.: Izdavačka kuća MPEI, 2002 (str. 128). Normalno na površinu

u nekoj tački postoji prava linija čiji je vektor pravca normalan na površinu u ovoj tački i koja prolazi kroz ovu tačku. Canonical normalne jednačine

može se predstaviti u obliku x − x 0 = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) y − y 0 = F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) z − z 0 .

(2)

F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) Tangentna ravan

na površinu u određenoj tački je ravan koja prolazi kroz ovu tačku okomito na normalu na površinu u ovoj tački. Iz ove definicije proizilazi da jednačina tangentne ravni

(3)

ima oblik:

Ako je tačka na površini singularna, tada vektor normalan na površinu možda ne postoji, pa stoga površina možda nema normalnu i tangentnu ravan.

Neka je funkcija z = f (x, y) diferencijabilna u tački a (x 0, y 0). Njegov graf je površina

f (x, y) − z = 0.

Stavimo z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Tada tačka A (x 0 , y 0 , z 0 ) pripada površini.

Parcijalni izvod funkcije F (x, y, z) = f (x, y) − z su

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

i u tački A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. oni su kontinuirani;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Dakle, A je obična tačka površine F (x, y, z) i u ovoj tački postoji tangentna ravan na površinu. Prema (3), jednadžba tangentne ravni ima oblik:

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Vertikalni pomak tačke na tangentnoj ravni pri kretanju od tačke a (x 0, y 0) do proizvoljne tačke p (x, y) je B Q (slika 2). Odgovarajući prirast prijava je

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Ovdje na desnoj strani postoji diferencijal d z funkcija z = f (x, y) u tački a (x 0, x 0). dakle,
d f (x 0 , y 0 ). je inkrement aplikacije tačke tangentne ravni na graf funkcije f (x, y) u tački (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

Iz definicije diferencijala slijedi da je udaljenost između točke P na grafu funkcije i točke Q na tangentnoj ravni beskonačno veća high order nego udaljenost od tačke p do tačke a.

U nekoj tački i ima kontinuirane parcijalne derivacije u sebi, od kojih barem jedan ne nestaje, tada će u susjedstvu ove tačke površina data jednadžbom (1) biti desnu površinu.

Pored navedenog implicitni način specificiranja površina se može definirati očigledno, ako se jedna od varijabli, na primjer z, može izraziti u terminima ostalih:

Tu je i parametarski način raspoređivanja. U ovom slučaju, površina je određena sistemom jednadžbi:

Koncept jednostavne površine

tačnije, jednostavna površina je slika homeomorfnog preslikavanja (tj. jedan-na-jedan i međusobno kontinuirano preslikavanje) unutrašnjosti jediničnog kvadrata. Ovoj definiciji se može dati analitički izraz.

Neka je kvadrat zadan na ravni sa pravougaonim koordinatnim sistemom u i v, čije koordinate unutrašnjih tačaka zadovoljavaju nejednakosti 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для razne tačke(u, v) i (u", v") bile su različite odgovarajuće tačke (x, y, z) i (x", y", z").

Primjer jednostavna površina je hemisfera. Cijela sfera nije jednostavna površina. Ovo iziskuje dalju generalizaciju koncepta površine.

Podskup prostora, čija svaka tačka ima susjedstvo koje je jednostavna površina, zvao desnu površinu .

Površina u diferencijalnoj geometriji

Helicoid

Katenoid

metrika ne određuje jednoznačno oblik površine. Na primjer, metrika helikoida i katenoida, parametrizirana u skladu s tim, poklapa se, odnosno postoji korespondencija između njihovih regija koja čuva sve dužine (izometrija). Svojstva koja se čuvaju pod izometrijskim transformacijama nazivaju se unutrašnja geometrija površine. Unutrašnja geometrija ne zavisi od položaja površine u prostoru i ne menja se kada je savijena bez napetosti ili kompresije (na primer, kada je cilindar savijen u konus).

Metrički koeficijenti određuju ne samo dužine svih krivulja, već i općenito rezultate svih mjerenja unutar površine (uglovi, površine, zakrivljenost, itd.). Dakle, sve što zavisi samo od metrike odnosi se na unutrašnju geometriju.

Normalni i normalni dio

Normalni vektori u tačkama površine

Jedna od glavnih karakteristika površine je njena normalno- jedinični vektor okomit na tangentnu ravan u datoj tački:

.

Predznak normale zavisi od izbora koordinata.

Presjek površine ravninom koja sadrži normalu (u datoj tački) formira određenu krivulju na površini, koja se naziva normalna sekcija površine. Glavna normala za normalni presjek poklapa se s normalom na površinu (do predznaka).

Ako kriva na površini nije normalni presjek, tada njena glavna normala formira određeni ugao θ sa normalom površine. Zatim zakrivljenost + F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) krivulja povezana sa zakrivljenošću + F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) Nenulti vektor normalni presjek (sa istom tangentom) po Meunierovoj formuli:

Koordinate vektora normalne jedinice za različite metode definiranja površine date su u tabeli:

	Normalne koordinate u tački površine
implicitno zadavanje
eksplicitni zadatak
parametarska specifikacija

Zakrivljenost

Za različite pravce u datoj tački površine dobija se različita zakrivljenost normalnog presjeka, što se naziva normalna zakrivljenost; dodjeljuje mu se znak plus ako glavna normala krive ide u istom smjeru kao i normala na površinu, ili znak minus ako su smjerovi normala suprotni.

Uopšteno govoreći, u svakoj tački na površini postoje dva okomita pravca e 1 i e 2, u kojoj normalna krivina poprima minimalne i maksimalne vrijednosti; ovi pravci se nazivaju main. Izuzetak je slučaj kada je normalna zakrivljenost u svim smjerovima ista (na primjer, blizu sfere ili na kraju elipsoida okretanja), tada su svi pravci u tački glavni.

Površine sa negativnom (lijevo), nultom (u sredini) i pozitivnom (desno) zakrivljenjem.

Normalne zakrivljenosti u glavnim pravcima nazivaju se glavne krivine; označimo ih κ 1 i κ 2. veličina:

K= κ 1 κ 2

n Gaussova zakrivljenost, puna zakrivljenost ili jednostavno zakrivljenost površine. Postoji i termin skalar zakrivljenosti, što implicira rezultat konvolucije tenzora zakrivljenosti; u ovom slučaju, skalar zakrivljenosti je dvostruko veći od Gausove krivine.

Gausova zakrivljenost se može izračunati putem metrike, i stoga je objekt intrinzične geometrije površina (imajte na umu da glavne zakrivljenosti ne pripadaju unutrašnjoj geometriji). Površinske tačke možete klasifikovati na osnovu znaka zakrivljenosti (vidi sliku). Zakrivljenost ravni je nula. Zakrivljenost sfere poluprečnika R je svuda jednaka. Postoji i površina stalne negativne zakrivljenosti - pseudosfera.

Geodetske linije, geodetska zakrivljenost

Kriva na površini naziva se geodetska linija, ili jednostavno geodetske, ako se u svim svojim tačkama glavna normala na krivu poklapa s normalom na površinu. Primjer: na ravni će geodetske biti prave i segmenti pravih linija, na sferi - velike kružnice i njihovi segmenti.

Ekvivalentna definicija: za geodetsku liniju, projekcija njene glavne normale na oskulirajuću ravan je nulti vektor. Ako kriva nije geodetska, tada je navedena projekcija različita od nule; njegova dužina se zove geodetska krivina + F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) g krivulja na površini. Postoji veza:

,

Gdje + F " z (x 0 , y 0 , z 0 )- zakrivljenost date krive, + F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) Nenulti vektor- zakrivljenost njegovog normalnog presjeka sa istom tangentom.

Geodetske linije se odnose na unutrašnju geometriju. Hajde da navedemo njihova glavna svojstva.

• Kroz ovu tačku površine u datom pravcu postoji jedna i samo jedna geodetska.
• Na dovoljno maloj površini površine, dvije točke uvijek mogu biti povezane geodetskom, i, osim toga, samo jednom. Objašnjenje: na sferi su suprotni polovi povezani beskonačnim brojem meridijana, a dvije bliske tačke mogu biti povezane ne samo segmentom veliki krug, ali i njegovom dopunom punom krugu, tako da se jedinstvenost održava samo u malom.
• Geodezija je najkraći put. Još strožije: na malom komadu površine najkraći put između datih tačaka leži duž geodetske.

Square

Još jedan važan atribut površine je njegova kvadrat, koji se izračunava po formuli:

Graf funkcije 2 varijable z = f(x,y) je površina projektovana na ravan XOY u domenu definicije funkcije D.
Razmotrite površinu σ , dat jednadžbom z = f(x,y), gdje je f(x,y) diferencijabilna funkcija, a neka je M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) fiksna tačka na površini σ, tj. z 0 = f(x 0 ,y 0). Svrha. Online kalkulator je dizajniran za pronalaženje tangentne ravni i normalne jednačine površine. Rješenje je sastavljeno u Word formatu. Ako trebate pronaći jednadžbu tangente na krivu (y = f(x)), onda morate koristiti ovu uslugu.

Pravila za unos funkcija:

Pravila za unos funkcija:

1. Sve varijable su izražene kroz x,y,z

Tangentna ravan na površinu σ na njenom mestu M 0 je ravan u kojoj leže tangente na sve krive nacrtane na površini σ kroz tačku M 0 .
Jednačina tangentne ravni na površinu definisanu jednadžbom z = f(x,y) u tački M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ima oblik:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Vektor se naziva vektor normalne površine σ u tački M 0. Vektor normale je okomit na tangentnu ravan.
. M.: Izdavačka kuća MPEI, 2002 (str. 128). σ u tački M 0 je prava koja prolazi kroz ovu tačku i ima smjer vektora N.
Kanonske jednadžbe normale na površinu definirane jednadžbom z = f(x,y) u tački M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), gdje je z 0 = f(x 0 ,y 0), imaju oblik:

Primjer br. 1. Površina je data jednadžbom x 3 +5y. Naći jednačinu tangentne ravni na površinu u tački M 0 (0;1).
Rješenje. Zapišimo tangentne jednačine u opštem obliku: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0 )
Prema uslovima zadatka, x 0 = 0, y 0 = 1, zatim z 0 = 5
Nađimo parcijalne izvode funkcije z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
U tački M 0 (0,1) vrijednosti parcijalnih izvoda su:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Koristeći formulu, dobijamo jednačinu tangentne ravni na površinu u tački M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) ili -5 y+z = 0

Primjer br. 2. Površina je definirana implicitno y 2 -1/2*x 3 -8z. Naći jednadžbu tangentne ravni na površinu u tački M 0 (1;0;1).
Rješenje. Pronalaženje parcijalnih izvoda funkcije. Pošto je funkcija specificirana implicitno, tražimo derivate koristeći formulu:

Za našu funkciju:

onda:

U tački M 0 (1,0,1) vrijednosti parcijalnih izvoda:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Koristeći formulu, dobijamo jednačinu tangentne ravni na površinu u tački M 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) ili 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Primjer. Površina σ dato jednačinom z= y/x + xy – 5x 3. Naći jednadžbu tangentne ravni i normale na površinu σ u tački M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), koji joj pripada, ako x 0 = –1, y 0 = 2.
Nađimo parcijalne izvode funkcije z= f(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x '( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f y ' ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ y = 1/x + x.
Dot M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) pripada površini σ , pa možemo izračunati z 0 , zamjenjujući dato x 0 = –1 i y 0 = 2 u jednadžbu površine:

z= y/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
U tački M 0 (–1, 2, 1) parcijalne derivacijske vrijednosti:
f x '( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y '( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Koristeći formulu (5) dobijamo jednačinu tangentne ravni na površinu σ u tački M 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Koristeći formulu (6) dobijamo kanonske jednadžbe normale na površinu σ u tački M 0: .
Odgovori: jednačina tangentne ravni: 15 x + 2y + z+ 10 = 0; normalne jednadžbe: .

Primjer br. 1. Date su funkcije z=f(x,y) i dvije točke A(x 0, y 0) i B(x 1, y 1). Potrebno: 1) izračunati vrijednost z 1 funkcije u tački B; 2) izračunati približnu vrednost z 1 funkcije u tački B na osnovu vrednosti z 0 funkcije u tački A, zamenjujući prirast funkcije pri kretanju od tačke A do tačke B sa diferencijalom; 3) kreirati jednačinu za tangentnu ravan na površinu z = f(x,y) u tački C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Rješenje.
Zapišimo tangentne jednačine u opštem obliku:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
Prema uslovima zadatka, x 0 = 1, y 0 = 2, zatim z 0 = 25
Nađimo parcijalne izvode funkcije z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
U tački M 0 (1,2) vrijednosti parcijalnih izvoda su:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Koristeći formulu, dobijamo jednačinu tangentne ravni na površinu u tački M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
ili
-26 x-36 y+z+73 = 0

Primjer br. 2. Napišite jednadžbe tangentne ravni i normale na eliptični paraboloid z = 2x 2 + y 2 u tački (1;-1;3).

Tangentne ravni igraju veliku ulogu u geometriji. Konstrukcija tangentnih ravni je od praktične važnosti, jer njihovo prisustvo omogućava određivanje smjera normale na površinu u tački kontakta. Ovaj problem se široko koristi u inženjerskoj praksi. Tangentne ravni se takođe koriste za izradu skica. geometrijski oblici, ograničen zatvorenim površinama. Teoretski, ravni tangentne na površinu koriste se u diferencijalnoj geometriji za proučavanje svojstava površine u području dodirne točke.

Osnovni pojmovi i definicije

Ravan tangentu na površinu treba posmatrati kao granični položaj sekantne ravni (po analogiji sa linijom tangentom na krivulju, koja je takođe definisana kao granična pozicija sekante).

Ravna tangenta na površinu u datoj tački površine je skup svih pravih - tangenta povučenih na površinu kroz datu tačku.

U diferencijalnoj geometriji je dokazano da su sve tangente na površinu povučenu u običnoj tački komplanarne (pripadaju istoj ravni).

Hajde da saznamo kako nacrtati pravu liniju tangentu na površinu. Tangenta t na površinu β u tački M navedenoj na površini (slika 203) predstavlja granični položaj sekante l j koja seče površinu u dvije tačke (MM 1, MM 2, ..., MM n) kada je tačke preseka se poklapaju (M ≡ M n , l n ≡ l M). Očigledno (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, budući da je g ⊂ β. Iz navedenog slijedi sljedeća definicija: tangenta na površinu je prava linija tangentna na bilo koju krivu koja pripada površini.

Budući da je ravan definirana sa dvije prave linije koje se seku, da bi se definirala ravan tangenta na površinu u datoj tački, dovoljno je kroz ovu tačku povući dvije proizvoljne linije koje pripadaju površini (po mogućnosti jednostavne po obliku) i konstruirati tangente na svaki od njih u tački preseka ovih linija. Konstruisane tangente jednoznačno određuju tangentnu ravan. Vizuelni prikaz crtanja ravni α tangente na površinu β u datoj tački M dat je na Sl. 204. Ova slika također prikazuje normalu n na površinu β.

Normala na površinu u datoj tački je prava linija koja je okomita na tangentnu ravan i koja prolazi kroz tačku dodira.

Linija presjeka površine sa ravninom koja prolazi kroz normalu naziva se normalni presjek površine. U zavisnosti od vrste površine, tangentna ravan može imati jednu ili više tačaka (prave) sa površinom. Linija tangentnosti može istovremeno biti i linija presjeka površine sa ravninom.

Postoje i slučajevi kada na površini postoje tačke u kojima je nemoguće povući tangentu na površinu; takve tačke se nazivaju singularne. Kao primjer singularnih tačaka možemo navesti točke koje pripadaju povratnoj ivici površine trupa, odnosno točku presjeka meridijana plohe okretanja s njegovom osom, ako se meridijan i os ne sijeku desno uglovi.

Vrste dodira zavise od prirode zakrivljenosti površine.

Zakrivljenost površine

Istraženi su problemi zakrivljenosti površine francuski matematičar F. Dupin (1784-1873), koji je predložio vizualni način za prikaz promjena u zakrivljenosti normalnih dijelova površine.

Da biste to učinili, u ravni tangente na površinu koja se razmatra u tački M (sl. 205, 206), segmenti jednaki kvadratnim korijenima vrijednosti odgovarajućih polumjera zakrivljenosti ovih presjeka polažu se na tangente na normalne presjeke na obje strane ove tačke. Skup tačaka - krajevi segmenata definiraju krivu tzv Dupinova indikacija. Algoritam za konstruisanje Dupin indicatrix (slika 205) može se napisati:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

gdje je R polumjer zakrivljenosti.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) je Dupinova indikatrica.

Ako je Dupinova indikacija površine elipsa, tada se točka M naziva eliptična, a površina površina s eliptičnim točkama(Sl. 206). U ovom slučaju tangentna ravan ima samo jednu vezu sa površinom zajednička tačka, a sve prave koje pripadaju površini i sijeku se u razmatranoj tački nalaze se na jednoj strani tangentne ravni. Primjeri površina s eliptičnim točkama su: paraboloid okretanja, elipsoid okretanja, sfera (u ovom slučaju Dupinova indikacija je krug, itd.).

Prilikom crtanja tangentne ravni na površinu trupa, ravan će dodirnuti ovu površinu duž ravne generatrise. Tačke na ovoj pravoj se nazivaju parabolična, a površina je površina sa paraboličnim tačkama. Dupinova indikacija u ovom slučaju su dvije paralelne prave (Sl. 207*).

Na sl. 208 prikazuje površinu koja se sastoji od tačaka u kojima

* Kriva drugog reda - parabola - pod određenim uslovima može se podeliti na dve realne paralelne prave, dve imaginarne paralelne prave, dve prave koje se poklapaju. Na sl. 207 imamo posla sa dvije realne paralelne prave.

Bilo koja tangentna ravan siječe površinu. Takva površina se zove hiperbolično, a tačke koje joj pripadaju su hiperboličke tačke. Dupin's Indicatrix u ovom slučaju- hiperbola.

Površina, čije su sve tačke hiperbolične, ima oblik sedla (kosa ravan, jednolisni hiperboloid, konkavne okretne površine itd.).

Jedna površina može imati tačke različite vrste, na primjer, blizu površine torza (Sl. 209) tačka M je eliptična; tačka N je parabolična; tačka K je hiperbolična.

U toku diferencijalne geometrije dokazano je da normalni presjeci u kojima vrijednosti zakrivljenosti K j = 1/ R j (gdje je R j polumjer zakrivljenosti presjeka koji se razmatra) imaju ekstremne vrijednosti nalaze se u dva međusobno okomite ravni.

Takve zakrivljenosti K 1 = 1/R max. K 2 = 1/R min nazivaju se glavnim, a vrijednosti H = (K 1 + K 2)/2 i K = K 1 K 2 su, redom, prosječna zakrivljenost površine i ukupna (Gausova) zakrivljenost površine u dotičnoj tački. Za eliptičke tačke K > 0, hiperboličke tačke K

Određivanje tangentne ravni na površinu na Mongeovom dijagramu

Ispod na konkretnim primjerima Prikazaćemo konstrukciju ravne tangente na površinu sa eliptičnim (primer 1), paraboličnim (primer 2) i hiperboličnim (primer 3) tačkama.

PRIMJER 1. Konstruirati ravan α tangentu na površinu okretanja β sa eliptičnim tačkama. Razmotrimo dvije opcije za rješavanje ovog problema: a) tačku M ∈ β i b) tačku M ∉ β

Opcija a (Sl. 210).

Tangentnu ravan određuju dvije tangente t 1 i t 2 povučene u tački M na paralelu i meridijan površine β.

Projekcije tangente t 1 na paralelu h površine β će biti t" 1 ⊥ (S"M") i t" 1 || x osa Horizontalna projekcija tangente t" 2 na meridijan d površine β koja prolazi kroz tačku M poklopit će se s horizontalnom projekcijom meridijana. Da bismo pronašli frontalnu projekciju tangente t" 2, meridijalna ravan γ(γ ∋ M) rotacijom oko ose površine β se prenosi u položaj γ 1, paralelan sa ravninom π 2. U ovom slučaju, tačka M → M 1 (M" 1, M" 1) Projekcija tangente t" 2 rarr; t" 2 1 određena je sa (M" 1 S"). Ako sada vratimo ravan γ 1 u prvobitni položaj, tada će tačka S" ostati na mjestu (kao da pripada osi rotacije), a M" 1 → M" i frontalna projekcija tangente t" 2 će biti određen (M" S")

Dvije tangente t 1 i t 2 koje se seku u tački M ∈ β definiraju ravan α tangentu na površinu β.

Opcija b (Sl. 211)

Da bi se konstruirala ravan tangenta na površinu koja prolazi kroz tačku koja ne pripada površini, potrebno je poći od sljedećih razmatranja: kroz tačku izvan površine koja se sastoji od eliptičkih tačaka, može se povući mnogo ravni tangentnih na površinu. Omotač ovih površina će biti neka konusna površina. Stoga, ako nema dodatnih instrukcija, onda problem ima mnogo rješenja i u ovom slučaju se svodi na crtanje konične površine γ tangente na datu površinu β.

Na sl. 211 prikazuje konstrukciju konične površine γ tangente na sferu β. Bilo koja ravan α tangentna na konusnu površinu γ bit će tangentna na površinu β.

Da bismo konstruisali projekcije površine γ iz tačaka M" i M" povlačimo tangente na kružnice h" i f" - projekcije sfere. Označite dodirne tačke 1 (1" i 1"), 2 (2" i 2"), 3 (3" i 3") i 4 (4" i 4"). Horizontalna projekcija kružnice - linija tangentnosti konične površine i sfere se projektuje u [ 1"2"] Da bismo pronašli tačke elipse u koje će se ovaj krug projektovati na frontalnu ravan projekcija, koristićemo paralele sfere.

Na sl. 211 na ovaj način se određuju frontalne projekcije tačaka E i F (E" i F"). Imajući konusnu površinu γ, na nju konstruiramo tangentnu ravan α. Priroda i slijed grafike

Konstrukcije koje je za to potrebno izvesti su date u sljedećem primjeru.

PRIMJER 2 Konstruirajte ravan α tangentu na površinu β sa paraboličnim tačkama

Kao iu primjeru 1, razmatramo dva rješenja: a) tačku N ∈ β; b) tačka N ∉ β

Opcija a (Sl. 212).

Konusna površina se odnosi na površine sa paraboličnim tačkama (vidi sliku 207.) Ravna tangenta na konusnu površinu dodiruje je duž prave linije. Za njeno konstruisanje potrebno je:

1) kroz datu tačku N nacrtati generator SN (S"N" i S"N");

2) označiti tačku preseka generatrise (SN) sa vodilicom d: (SN) ∩ d = A;

3) će također duvati na tangentu t prema d u tački A.

Generator (SA) i tangenta t koja je seče definišu ravan α tangentu na konusnu površinu β u datoj tački N*.

Povući ravan α, tangentu na konusnu površinu β i koja prolazi kroz tačku N, ne pripada

* Pošto se površina β sastoji od paraboličkih tačaka (osim temena S), tangentna ravan α na nju će imati zajedničku ne jednu tačku N, već pravu liniju (SN).

pritiskom na datu površinu potrebno je:

1) kroz datu tačku N i vrh S konične površine β povući pravu a (a" i a");

2) odrediti horizontalni trag ove prave H a;

3) kroz H a povući tangente t" 1 i t" 2 krive h 0β - horizontalni trag konične površine;

4) spojiti tangente A (A" i A") i B (B" i B") sa vrhom konusne površine S (S" i S").

Prave koje se seku t 1, (AS) i t 2, (BS) određuju željene tangentne ravni α 1 i α 2

PRIMJER 3. Konstruirajte ravan α tangentu na površinu β sa hiperboličkim tačkama.

Tačka K (sl. 214) nalazi se na površini globoida (unutrašnja površina prstena).

Za određivanje položaja tangentne ravni α potrebno je:

1) kroz tačku K povući paralelu sa površinom β h(h", h");

2) kroz tačku K" povući tangentu t" 1 (t" 1 ≡ h");

3) da bi se odredili pravci projekcija tangente na meridionalni presek, potrebno je povući ravan γ kroz tačku K i osu površine, horizontalna projekcija t" 2 će se poklopiti sa h 0γ; konstruisati frontalnu projekciju tangente t" 2, prvo translatiramo ravan γ rotirajući je oko ose površine rotacije u položaj γ 1 || π 2. U ovom slučaju meridionalni presjek ravninom γ poravnat će se sa lijevim obrisnim lukom frontalne projekcije - polukrugom g".

Tačka K (K", K"), koja pripada krivulji meridijanskog presjeka, pomjeriće se u poziciju K 1 (K" 1, K" 1). Kroz K" 1 crtamo frontalnu projekciju tangente t" 2 1, kombinovanu sa ravninom γ 1 || π 2 poziciju i označimo tačku njenog preseka sa frontalnom projekcijom ose rotacije S" 1. Vraćamo ravan γ 1 u prvobitni položaj, tačka K" 1 → K" (tačka S" 1 ≡ S") Frontalna projekcija tangente t" 2 određena je tačkama K" i S".

Tangente t 1 i t 2 definiraju željenu tangentnu ravan α, koja siječe površinu β duž krive l.

PRIMJER 4. Konstruirajte ravan α tangentu na površinu β u tački K. Tačka K se nalazi na površini hiperboloida okretanja od jednog lista (Sl. 215).

Ovaj problem se može riješiti pridržavanjem algoritma korištenog u prethodnom primjeru, ali uzimajući u obzir da je površina hiperboloida okretanja od jednog lista ravna površina koja ima dvije porodice pravolinijskih generatora, a svaki od generatora jednog porodica seče sve generatore druge porodice (vidi § 32, sl. 138). Kroz svaku tačku ove površine mogu se povući dvije prave linije koje se seku - generatori, koji će istovremeno biti tangenti na površinu hiperboloida okretanja od jednog lista.

Ove tangente definiraju tangentnu ravan, odnosno, ravan tangenta na površinu hiperboloida okretanja od jednog lista siječe ovu površinu duž dvije prave linije g 1 i g 2. Da bi se konstruisale projekcije ovih pravih, dovoljno je horizontalnu projekciju tačke K i tangente t" 1 i t" 2 preneti na horizontalu

talna projekcija kružnice d" 2 - grlo površine jednolisnog hiperboloida okretanja; odrediti tačke 1" i 2 u kojima t" 1 i t" 2 sijeku jednu i usmjeravajuće površine d 1. Od 1" i 2" nalazimo 1" i 2", koji zajedno sa K" određuju frontalne projekcije traženih linija.