Kako se zove graf harmonijskih vibracija? Harmonične oscilacije - Hipermarket znanja. Ako je oscilacija opisana zakonom kosinusa

Najjednostavniji tip oscilacija su harmonijske vibracije- oscilacije kod kojih se pomak oscilirajuće tačke iz ravnotežnog položaja mijenja tokom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa.

Dakle, ravnomjernom rotacijom lopte u krugu, njena projekcija (sjena u paralelnim zracima svjetlosti) vrši harmonijsko oscilatorno kretanje na vertikalnom ekranu (slika 1).

Pomak iz ravnotežnog položaja tokom harmonijskih vibracija opisuje se jednadžbom (naziva se kinematičkim zakonom harmonijskog kretanja) oblika:

gdje je x pomak - veličina koja karakterizira položaj oscilirajuće točke u trenutku t u odnosu na ravnotežni položaj i mjerena rastojanjem od ravnotežnog položaja do položaja tačke u datom trenutku; A - amplituda oscilacija - maksimalno pomeranje tela iz ravnotežnog položaja; T - period oscilacije - vrijeme jedne potpune oscilacije; one. najkraći vremenski period nakon kojeg se ponavljaju vrijednosti fizičkih veličina koje karakteriziraju oscilaciju; - početna faza;

Faza oscilacije u trenutku t. Faza oscilovanja je argument periodične funkcije, koja za datu amplitudu oscilovanja određuje stanje oscilatornog sistema (pomeraj, brzinu, ubrzanje) tela u bilo kom trenutku.

Ako je u početnom trenutku oscilirajuća tačka maksimalno pomaknuta iz ravnotežnog položaja, tada se , a pomak točke iz ravnotežnog položaja mijenja prema zakonu

Ako je oscilirajuća tačka u položaju stabilne ravnoteže, tada se pomak tačke iz ravnotežnog položaja mijenja prema zakonu

Vrijednost V, inverzna od perioda i jednaka broju kompletnih oscilacija dovršenih u 1 s, naziva se frekvencija oscilovanja:

Ako za vrijeme t tijelo napravi N potpunih oscilacija, tada

Veličina koji pokazuje koliko oscilacija napravi tijelo u s se zove ciklička (kružna) frekvencija.

Kinematički zakon harmonijskog kretanja može se zapisati kao:

Grafički, zavisnost pomaka oscilirajuće tačke o vremenu je predstavljena kosinusnim talasom (ili sinusnim talasom).

Na slici 2, a prikazan je graf vremenske zavisnosti pomaka oscilirajuće tačke od ravnotežnog položaja za slučaj.

Hajde da saznamo kako se brzina oscilirajuće tačke mijenja s vremenom. Da bismo to učinili, nalazimo vremenski izvod ovog izraza:

gdje je amplituda projekcije brzine na x-osu.

Ova formula pokazuje da se tokom harmonijskih oscilacija projekcija brzine tijela na x-osu također mijenja po harmonijskom zakonu sa istom frekvencijom, sa različitom amplitudom i ispred pomaka u fazi za (Sl. 2, b ).

Da bismo razjasnili zavisnost ubrzanja, nalazimo vremenski izvod projekcije brzine:

gdje je amplituda projekcije ubrzanja na x-osu.

Kod harmonijskih oscilacija, projekcija ubrzanja je ispred pomaka faze za k (slika 2, c).

Slično, možete izgraditi grafove zavisnosti

Ispitali smo nekoliko fizički potpuno različitih sistema i uverili se da su jednadžbe kretanja svedene na isti oblik

Razlike između fizičkih sistema pojavljuju se samo u različitim definicijama količine iu različitim fizičkim značenjima varijable x: to može biti koordinata, ugao, naelektrisanje, struja itd. Imajte na umu da u ovom slučaju, kao što sledi iz same strukture jednačine (1.18), veličina uvek ima dimenziju inverznog vremena.

Jednačina (1.18) opisuje tzv harmonijske vibracije.

Jednačina harmonijske vibracije(1.18) je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda (pošto sadrži drugi izvod varijable x). Linearnost jednačine to znači

ako neka funkcija x(t) je rješenje ove jednadžbe, onda funkcija Cx(t)će također biti njegovo rješenje ( C– proizvoljna konstanta);

if funkcije x 1(t) I x 2(t) su rješenja ove jednadžbe, zatim njihov zbir x 1 (t) + x 2 (t) također će biti rješenje iste jednačine.

Dokazana je i matematička teorema prema kojoj jednačina drugog reda ima dva nezavisna rješenja. Sva ostala rješenja, prema svojstvima linearnosti, mogu se dobiti kao njihove linearne kombinacije. Lako je direktnom diferencijacijom provjeriti da nezavisne funkcije i zadovoljavaju jednadžbu (1.18). To znači da opće rješenje ove jednačine ima oblik:

Gdje C 1,C 2- proizvoljne konstante. Ovo rješenje se može predstaviti u drugom obliku. Unesite vrijednost

i odredimo ugao relacijama:

Tada se opće rješenje (1.19) zapisuje kao

Prema trigonometrijskim formulama, izraz u zagradama je jednak

Konačno dolazimo k sebi opšte rješenje jednadžbe harmonijskih vibracija kao:

Nenegativna vrijednost A pozvao amplituda vibracije, - početna faza oscilovanja. Poziva se cijeli kosinusni argument - kombinacija faza oscilovanja.

Izrazi (1.19) i (1.23) su potpuno ekvivalentni, tako da možemo koristiti bilo koji od njih, na osnovu razmatranja jednostavnosti. Oba rješenja jesu periodične funkcije vrijeme. Zaista, sinus i kosinus su periodični sa periodom . Stoga se različita stanja sistema koji vrši harmonijske oscilacije ponavljaju nakon određenog vremenskog perioda t*, tokom koje faza oscilovanja dobija povećanje koje je višestruko od :

Iz toga slijedi

Najmanje ovih vremena

pozvao period oscilovanja (Sl. 1.8), i - njegov kružni (ciklički) frekvencija.

Rice. 1.8.

Takođe koriste frekvencija fluktuacije

Prema tome, kružna frekvencija je jednaka broju oscilacija po sekundi

Dakle, ako je sistem na vrijeme t karakteriziran vrijednošću varijable x(t), tada će varijabla imati istu vrijednost nakon određenog vremenskog perioda (slika 1.9), tj

Isto značenje će se prirodno ponavljati tokom vremena 2T, ZT itd.

Rice. 1.9. Period oscilacije

Opće rješenje uključuje dvije proizvoljne konstante ( C 1, C 2 ili A, a), čije vrijednosti moraju biti određene sa dva početni uslovi. Obično (iako ne nužno) njihovu ulogu igraju početne vrijednosti varijable x(0) i njen derivat.

Dajemo primjer. Neka rješenje (1.19) jednadžbe harmonijskih oscilacija opisuje kretanje opružnog klatna. Vrijednosti proizvoljnih konstanti zavise od načina na koji smo klatno izveli iz ravnoteže. Na primjer, povukli smo oprugu na daljinu i pustio loptu bez početne brzine. U ovom slučaju

Zamena t = 0 u (1.19) nalazimo vrijednost konstante C 2

Rešenje tako izgleda:

Brzinu opterećenja nalazimo diferenciranjem s obzirom na vrijeme

Zamena ovde t = 0, pronađite konstantu C 1:

Konačno

Upoređujući sa (1.23), nalazimo da je amplituda oscilacija, a njena početna faza je nula: .

Hajde da sada izbalansiramo klatno na drugi način. Udarimo teret tako da dobije početnu brzinu, ali se praktički ne pomiče tokom udara. Tada imamo druge početne uslove:

naše rešenje izgleda tako

Brzina tereta će se mijenjati prema zakonu:

Zamijenimo ovdje:

Jednačina harmonijskih vibracija

Jednačina harmonijskog oscilovanja utvrđuje zavisnost koordinata tela o vremenu

Kosinusni graf u početnom trenutku ima maksimalnu vrijednost, a sinusni graf ima nultu vrijednost u početnom trenutku. Ako oscilaciju počnemo ispitivati ​​iz ravnotežnog položaja, tada će oscilacija ponoviti sinusoidu. Ako oscilaciju počnemo razmatrati s pozicije maksimalnog odstupanja, tada će oscilacija biti opisana kosinusom. Ili se takva oscilacija može opisati sinusnom formulom sa početnom fazom.

Promjena brzine i ubrzanja tokom harmonijskih oscilacija

Ne samo da se koordinate tijela mijenjaju tokom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa. Ali veličine kao što su sila, brzina i ubrzanje također se mijenjaju slično. Sila i ubrzanje su maksimalne kada je oscilirajuće tijelo na krajnjim pozicijama gdje je pomak maksimalan, a nula kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj. Brzina je, naprotiv, u ekstremnim položajima nula, a kada tijelo prođe kroz ravnotežni položaj, ono dostiže svoju maksimalnu vrijednost.

Ako je oscilacija opisana zakonom kosinusa

Ako je oscilacija opisana prema sinusnom zakonu

Maksimalne vrijednosti brzine i ubrzanja

Analizirajući jednadžbe zavisnosti v(t) i a(t), možemo pretpostaviti da brzina i ubrzanje poprimaju maksimalne vrijednosti u slučaju kada je trigonometrijski faktor jednak 1 ili -1. Određeno formulom

Promjene u bilo kojoj količini opisuju se korištenjem zakona sinusa ili kosinusa, tada se takve oscilacije nazivaju harmonijskim. Razmotrimo kolo koje se sastoji od kondenzatora (koji je bio napunjen prije uključivanja u kolo) i induktora (slika 1).

Slika 1.

Jednačina harmonijskih vibracija može se napisati na sljedeći način:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

gdje je $t$ vrijeme; $q$ naknada, $q_0$-- maksimalno odstupanje naboja od njegove prosječne (nulte) vrijednosti tokom promjena; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- faza oscilacije; $(\alpha )_0$- početna faza; $(\omega )_0$ - ciklična frekvencija. Tokom perioda, faza se mijenja za $2\pi $.

Jednačina oblika:

jednadžba harmonijskih oscilacija u diferencijalnom obliku za oscilatorno kolo koje neće sadržavati aktivni otpor.

Bilo koja vrsta periodičnih oscilacija može se tačno predstaviti kao zbir harmonijskih oscilacija, takozvani harmonijski niz.

Za period oscilovanja kola koje se sastoji od zavojnice i kondenzatora, dobijamo Thomsonovu formulu:

Ako razlikujemo izraz (1) s obzirom na vrijeme, možemo dobiti formulu za funkciju $I(t)$:

Napon na kondenzatoru se može naći kao:

Iz formula (5) i (6) proizilazi da je jačina struje ispred napona na kondenzatoru za $\frac(\pi )(2).$

Harmonične oscilacije se mogu predstaviti i u obliku jednačina, funkcija i vektorskih dijagrama.

Jednačina (1) predstavlja slobodne neprigušene oscilacije.

Jednačina prigušenih oscilacija

Promjena naboja ($q$) na pločama kondenzatora u kolu, uzimajući u obzir otpor (slika 2), biće opisana diferencijalnom jednačinom oblika:

Slika 2.

Ako je otpor koji je dio kola $R\

gdje je $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ frekvencija ciklične oscilacije. $\beta =\frac(R)(2L)-$koeficijent prigušenja. Amplituda prigušenih oscilacija izražava se kao:

Ako je pri $t=0$ naboj na kondenzatoru jednak $q=q_0$ i nema struje u kolu, tada za $A_0$ možemo napisati:

Faza oscilacija u početnom trenutku vremena ($(\alpha )_0$) je jednaka:

Kada $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ promjena naboja nije oscilacija, pražnjenje kondenzatora se naziva aperiodično.

Primjer 1

vježba: Maksimalna vrijednost naplate je $q_0=10\ C$. Harmonično varira sa periodom od $T= 5 s$. Odredite maksimalnu moguću struju.

Rješenje:

Kao osnovu za rješavanje problema koristimo:

Da bismo pronašli jačinu struje, izraz (1.1) se mora razlikovati s obzirom na vrijeme:

gdje je maksimum (vrijednost amplitude) jačine struje izraz:

Iz uslova zadatka znamo amplitudnu vrijednost naboja ($q_0=10\ C$). Trebali biste pronaći prirodnu frekvenciju oscilacija. Izrazimo to kao:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\levo(1.4\desno).\]

U ovom slučaju, željena vrijednost će se naći pomoću jednačina (1.3) i (1.2) kao:

Pošto su sve veličine u uslovima problema prikazane u SI sistemu, izvršićemo proračune:

odgovor:$I_0=12,56\ A.$

Primjer 2

vježba: Koliki je period oscilovanja u kolu koje sadrži induktor $L=1$H i kondenzator, ako se jačina struje u kolu mijenja prema zakonu: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Koliki je kapacitet kondenzatora?

Rješenje:

Iz jednadžbe strujnih fluktuacija, koja je data u uslovima zadatka:

vidimo da je $(\omega )_0=20\pi $, stoga možemo izračunati period oscilacije koristeći formulu:

\ \

Prema Thomsonovoj formuli za kolo koje sadrži induktor i kondenzator, imamo:

Izračunajmo kapacitet:

odgovor:$T=0.1$ c, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$

Harmonična oscilacija je pojava periodične promjene bilo koje veličine, u kojoj ovisnost o argumentu ima karakter sinusne ili kosinusne funkcije. Na primjer, količina harmonično oscilira i mijenja se tokom vremena na sljedeći način:

gdje je x vrijednost promjenjive veličine, t je vrijeme, preostali parametri su konstantni: A je amplituda oscilacija, ω je ciklična frekvencija oscilacija, je puna faza oscilacija, je početna faza oscilacija.

Generalizirana harmonijska oscilacija u diferencijalnom obliku

(Svako netrivijalno rješenje za ovo diferencijalna jednadžba- postoji harmonijska oscilacija sa cikličnom frekvencijom)

Vrste vibracija

Slobodne vibracije nastaju pod uticajem unutrašnjih sila sistema nakon što je sistem uklonjen iz ravnotežnog položaja. Da bi slobodne oscilacije bile harmonične, potrebno je da oscilatorni sistem bude linearan (opisan linearnim jednačinama kretanja), i da u njemu nema disipacije energije (ovo bi izazvalo slabljenje).

Prisilne vibracije nastaju pod uticajem vanjske periodične sile. Da bi bili harmonični, dovoljno je da je oscilatorni sistem linearan (opisan linearnim jednačinama kretanja), a sama vanjska sila se mijenja tokom vremena kao harmonijska oscilacija (odnosno da je vremenska ovisnost ove sile sinusoidalna) .

Harmonic Equation

daje zavisnost fluktuirajuće vrijednosti S o vremenu t; ovo je jednadžba slobodnih harmonijskih oscilacija u eksplicitnom obliku. Međutim, jednačina vibracija se obično shvata kao drugačiji prikaz ove jednačine, u diferencijalnom obliku. Radi određenosti, uzmimo jednačinu (1) u obliku

Hajde da ga razlikujemo dvaput s obzirom na vrijeme:

Može se vidjeti da vrijedi sljedeći odnos:

koja se zove jednadžba slobodnih harmonijskih oscilacija (u diferencijalnom obliku). Jednačina (1) je rješenje diferencijalne jednadžbe (2). Budući da je jednačina (2) diferencijalna jednačina drugog reda, potrebna su dva početna uslova da bi se dobilo potpuno rješenje (tj. određivanje konstanti A i   uključenih u jednačinu (1); na primjer, položaj i brzina oscilatornog sistema pri t = 0.

Matematičko klatno je oscilator, koji je mehanički sistem koji se sastoji od materijalne tačke koja se nalazi na bestežinskoj nerastezljivoj niti ili na bestežinskom štapu u jednoličnom polju gravitacionih sila. Period malih prirodnih oscilacija matematičkog klatna dužine l, nepomično suspendovanog u jednoličnom gravitacionom polju sa ubrzanjem slobodnog pada g, jednak je

i ne zavisi od amplitude i mase klatna.

Fizičko klatno je oscilator, koji je čvrsto tijelo koje oscilira u polju bilo koje sile u odnosu na tačku koja nije centar mase ovog tijela, ili fiksnu os okomitu na smjer djelovanja sila i ne prolazeći kroz centar mase ovog tijela.