Kako odrediti očekivani mat. Matematička formula očekivanja. Osnove teorije vjerovatnoće

Matematičko očekivanje diskretnog slučajna varijabla je zbir proizvoda svih njegovih mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća.

Neka slučajna varijabla ima samo vrijednosti vjerovatnoće koje su respektivno jednake. Tada je matematičko očekivanje slučajne varijable određeno jednakošću

Ako diskretna slučajna varijabla uzima prebrojiv skup mogućih vrijednosti, onda

Štaviše, matematičko očekivanje postoji ako se niz na desnoj strani jednakosti apsolutno konvergira.

Komentar. Iz definicije proizilazi da je matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable neslučajna (konstantna) veličina.

Definicija matematičkog očekivanja u opštem slučaju

Odredimo matematičko očekivanje slučajne varijable čija distribucija nije nužno diskretna. Počnimo sa slučajem nenegativnih slučajnih varijabli. Ideja će biti da se takve slučajne varijable aproksimiraju pomoću diskretnih, za koje je matematičko očekivanje već određeno, i stavi se matematičko očekivanje jednaka granici matematička očekivanja diskretnih slučajnih varijabli koje ga aproksimiraju. Inače, ovo je vrlo korisna opća ideja, a to je da se za jednostavne objekte prvo određuje neka karakteristika, a zatim se za složenije objekte određuje aproksimacijom jednostavnijim.

Lema 1. Neka postoji proizvoljna nenegativna slučajna varijabla. Tada postoji niz diskretnih slučajnih varijabli takav da

Dokaz. Podijelimo poluosu na segmente jednake dužine i odredimo

Tada svojstva 1 i 2 lako slijede iz definicije slučajne varijable, i

Lema 2. Neka je nenegativna slučajna varijabla i i dva niza diskretnih slučajnih varijabli koje posjeduju svojstva 1-3 iz leme 1. Tada

Dokaz. Imajte na umu da za nenegativne slučajne varijable dopuštamo

Zbog svojstva 3, lako je vidjeti da postoji niz pozitivni brojevi, takav da

Iz toga slijedi

Koristeći svojstva matematičkih očekivanja za diskretne slučajne varijable, dobijamo

Prelaskom do granice na dobijamo tvrdnju leme 2.

Definicija 1. Neka je nenegativna slučajna varijabla, - niz diskretnih slučajnih varijabli koje imaju svojstva 1-3 iz leme 1. Matematičko očekivanje slučajne varijable je broj

Lema 2 garantuje da ne zavisi od izbora aproksimacionog niza.

Neka je sada proizvoljna slučajna varijabla. Hajde da definišemo

Iz definicije i to lako slijedi

Definicija 2. Matematičko očekivanje proizvoljne slučajne varijable je broj

Ako je barem jedan od brojeva na desnoj strani ove jednakosti konačan.

Osobine matematičkog očekivanja

Nekretnina 1. Očekivana vrijednost vrijednost konstante jednaka je samoj konstanti:

Dokaz. Konstantu ćemo razmatrati kao diskretnu slučajnu varijablu koja ima jednu moguću vrijednost i uzima je s vjerovatnoćom, dakle,

Napomena 1. Definirajmo proizvod konstantne varijable diskretnom slučajnom promjenljivom kao diskretni slučajni slučaj čije su moguće vrijednosti jednake umnošku konstante mogućim vrijednostima; vjerovatnoće mogućih vrijednosti jednake su vjerovatnoćama odgovarajućih mogućih vrijednosti. Na primjer, ako je vjerovatnoća moguće vrijednosti jednaka onda je i vjerovatnoća da će vrijednost poprimiti vrijednost jednaka

Svojstvo 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja:

Dokaz. Neka je slučajna varijabla data zakonom raspodjele vjerovatnoće:

Uzimajući u obzir napomenu 1, pišemo zakon raspodjele slučajne varijable

Napomena 2. Prije nego što pređemo na sljedeće svojstvo, ističemo da se dvije slučajne varijable nazivaju neovisnim ako zakon raspodjele jedne od njih ne ovisi o mogućim vrijednostima koje je druga varijabla zauzela. Inače, slučajne varijable su zavisne. Nekoliko slučajnih varijabli naziva se međusobno neovisnim ako zakoni distribucije bilo kojeg broja njih ne ovise o mogućim vrijednostima koje su preostale varijable preuzele.

Napomena 3. Definirajmo proizvod nezavisnih slučajnih varijabli i kao slučajnu varijablu čije su moguće vrijednosti jednake umnošku svake moguće vrijednosti po svakoj mogućoj vrijednosti, vjerovatnoće mogućih vrijednosti proizvoda su jednake proizvodi vjerovatnoća mogućih vrijednosti faktora. Na primjer, ako je vjerovatnoća moguće vrijednosti, vjerovatnoća moguće vrijednosti je tada je vjerovatnoća moguće vrijednosti

Svojstvo 3. Matematičko očekivanje proizvoda dvije nezavisne slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja:

Dokaz. Neka su nezavisne slučajne varijable određene njihovim vlastitim zakonima raspodjele vjerovatnoće:

Hajde da kompajliramo sve vrijednosti koje slučajna varijabla može uzeti. Da bismo to učinili, pomnožimo sve moguće vrijednosti sa svakom mogućom vrijednošću; Kao rezultat, dobijamo i, uzimajući u obzir napomenu 3, pišemo zakon distribucije, pretpostavljajući radi jednostavnosti da su sve moguće vrijednosti proizvoda različite (ako to nije slučaj, onda se dokaz izvodi u sličan način):

Matematičko očekivanje je jednako zbroju proizvoda svih mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća:

Posljedica. Matematičko očekivanje proizvoda nekoliko međusobno nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.

Svojstvo 4. Matematičko očekivanje zbira dvije slučajne varijable jednako je zbiru matematičkih očekivanja pojmova:

Dokaz. Neka slučajne varijable i budu određene sljedećim zakonima distribucije:

Hajde da kompajliramo sve moguće vrijednosti neke količine. Da bismo to učinili, svakoj mogućoj vrijednosti dodamo svaku moguću vrijednost; Pretpostavimo radi jednostavnosti da su ove moguće vrijednosti različite (ako to nije slučaj, onda se dokaz izvodi na sličan način), a njihove vjerovatnoće označavamo sa i

Matematičko očekivanje vrijednosti jednako je zbroju proizvoda mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća:

Dokažimo da događaj koji će poprimiti vrijednost (vjerovatnoća ovog događaja je jednaka) podrazumijeva događaj koji će poprimiti vrijednost ili (vjerovatnoća ovog događaja prema teoremi sabiranja je jednaka), i obrnuto. Otuda slijedi da se jednakosti dokazuju slično

Zamjenom desne strane ovih jednakosti u relaciju (*), dobijamo

ili konačno

Varijanca i standardna devijacija

U praksi je često potrebno procijeniti disperziju mogućih vrijednosti slučajne varijable oko njene srednje vrijednosti. Na primjer, u artiljeriji je važno znati koliko će granate pasti blizu cilja koji se pogađa.

Na prvi pogled može izgledati da je najlakši način za procjenu disperzije izračunati sva moguća odstupanja slučajne varijable, a zatim pronaći njihovu prosječnu vrijednost. Međutim, ovaj put neće dati ništa, jer je prosječna vrijednost odstupanja, tj. jer je bilo koja slučajna varijabla jednaka nuli. Ovo svojstvo se objašnjava činjenicom da su neka moguća odstupanja pozitivna, dok su druga negativna; kao rezultat njihovog međusobnog poništavanja, prosječna vrijednost odstupanja je nula. Ova razmatranja ukazuju na preporučljivost zamjene mogućih odstupanja apsolutne vrijednosti ili njihove kvadrate. To je ono što rade u praksi. Istina, u slučaju kada se moguća odstupanja zamjenjuju apsolutnim vrijednostima, mora se raditi sa apsolutnim vrijednostima, što ponekad dovodi do ozbiljnih poteškoća. Stoga najčešće idu drugim putem, tj. izračunati prosječnu vrijednost kvadratne devijacije, koja se naziva disperzija.

Matematičko očekivanje je definicija

Čeka se mat jedan od najvažnijih koncepata V matematičke statistike i teorija vjerojatnosti, koja karakterizira distribuciju vrijednosti ili vjerovatnoće slučajna varijabla. Obično se izražava kao ponderisani prosjek svih mogućih parametara slučajne varijable. Široko se koristi u tehnička analiza, istraživanje numeričke serije, proučavanje kontinuiranih i dugotrajnih procesa. Važan je u procjeni rizika, predviđanju indikatora cijena prilikom trgovanja na finansijskim tržištima, a koristi se u razvoju strategija i metoda igračkih taktika u teorije kockanja.

Šah-mat čeka- Ovo srednja vrijednost slučajne varijable, distribucija vjerovatnoće slučajna varijabla se razmatra u teoriji vjerovatnoće.

Čeka se mat mjera prosječne vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerovatnoće. Matirajte očekivanje slučajne varijable x označeno sa M(x).

Matematičko očekivanje (srednja populacija) je

Čeka se mat

Čeka se mat u teoriji vjerovatnoće, ponderisani prosjek svih mogućih vrijednosti koje slučajna varijabla može uzeti.

Čeka se mat zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerovatnoće tih vrijednosti.

Matematičko očekivanje (srednja populacija) je

Čeka se mat prosječnu korist od određene odluke, pod uslovom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velike udaljenosti.

Čeka se mat u teoriji kockanja, iznos dobitka koji špekulant može zaraditi ili izgubiti, u prosjeku, na svaku opkladu. Jezikom kockanja špekulanti ovo se ponekad naziva "prednošću" špekulant" (ako je pozitivna za špekulanta) ili "kućna ivica" (ako je negativna za špekulanta).

Matematičko očekivanje (srednja populacija) je

Biće i zadataka za nezavisna odluka, na koje možete vidjeti odgovore.

Očekivanje i varijansa su najčešće korištene numeričke karakteristike slučajne varijable. Oni karakterišu najvažnije karakteristike distribucije: njen položaj i stepen raspršenosti. Očekivana vrijednost se često naziva jednostavno prosjekom. slučajna varijabla. Disperzija slučajne varijable - karakteristika disperzije, širenje slučajne varijable o njegovom matematičkom očekivanju.

U mnogim praktičnim problemima, potpuna, iscrpna karakteristika slučajne varijable - zakon raspodjele - ili se ne može dobiti ili uopće nije potrebna. U ovim slučajevima se ograničava na približan opis slučajne varijable koristeći numeričke karakteristike.

Očekivanje diskretne slučajne varijable

Hajdemo do koncepta matematičkog očekivanja. Neka je masa neke supstance raspoređena između tačaka x-ose x1 , x 2 , ..., x n. Štaviše, svaka materijalna tačka ima odgovarajuću masu sa verovatnoćom od str1 , str 2 , ..., str n. Potrebno je odabrati jednu tačku na osi apscise, koja karakterizira položaj cijelog sistema materijalne tačke, uzimajući u obzir njihovu masu. Prirodno je kao takvu tačku uzeti centar mase sistema materijalnih tačaka. Ovo je ponderisani prosjek slučajne varijable X, do koje apscisa svake tačke xi ulazi sa “težinom” jednakom odgovarajućoj vjerovatnoći. Prosječna vrijednost slučajne varijable dobijena na ovaj način X naziva se njeno matematičko očekivanje.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti i vjerovatnoća ovih vrijednosti:

Primjer 1. Organizirana je dobitna lutrija. Ima 1000 dobitaka, od kojih je 400 10 rubalja. 300 - 20 rubalja svaki. 200 - 100 rubalja svaki. i po 100 - 200 rubalja. Koliki je prosječan dobitak za nekoga ko kupi jednu kartu?

Rješenje. Prosječan dobitak ćemo pronaći ako ukupan iznos dobitaka, koji je 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubalja, podijelimo sa 1000 (ukupan iznos dobitka). Tada dobijamo 50000/1000 = 50 rubalja. Ali izraz za izračunavanje prosječnog dobitka može se predstaviti u sljedećem obliku:

S druge strane, u ovim uvjetima, dobitna veličina je slučajna varijabla, koja može imati vrijednosti od 10, 20, 100 i 200 rubalja. sa vjerovatnoćama jednakim 0,4, respektivno; 0,3; 0,2; 0.1. Dakle, očekivana prosječna isplata jednak zbiru proizvode veličine dobitaka i vjerovatnoće njihovog primanja.

Primjer 2. Izdavač je odlučio objaviti nova knjiga. Knjigu planira prodati za 280 rubalja, od čega će on sam dobiti 200, 50 - knjižara i 30 - autor. Tabela daje informacije o troškovima izdavanja knjige i vjerovatnoći prodaje određenog broja primjeraka knjige.

Pronađite očekivani profit izdavača.

Rješenje. Slučajna varijabla “profit” jednaka je razlici između prihoda od prodaje i troška troškova. Na primjer, ako se proda 500 primjeraka knjige, tada je prihod od prodaje 200 * 500 = 100 000, a trošak izdavanja 225 000 rubalja. Tako se izdavač suočava sa gubitkom od 125.000 rubalja. Sljedeća tabela sumira očekivane vrijednosti slučajne varijable - profit:

Broj	Profit xi	Vjerovatnoća stri	xi str i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Ukupno:		1,00	25000

Tako dobijamo matematičko očekivanje profita izdavača:

.

Primjer 3. Verovatnoća pogađanja jednim udarcem str= 0,2. Odredite potrošnju projektila koji daju matematičko očekivanje broja pogodaka jednakog 5.

Rješenje. Iz iste formule matematičkog očekivanja koju smo do sada koristili, izražavamo x- potrošnja ljuske:

.

Primjer 4. Odredite matematičko očekivanje slučajne varijable x broj pogodaka sa tri hica, ako je vjerovatnoća pogotka sa svakim udarcem str = 0,4 .

Savjet: pronađite vjerovatnoću vrijednosti slučajne varijable po Bernulijeva formula .

Osobine matematičkog očekivanja

Razmotrimo svojstva matematičkog očekivanja.

Nekretnina 1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je ovoj konstanti:

Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja:

Nekretnina 3. Matematičko očekivanje sume (razlike) slučajnih varijabli jednako je zbiru (razlici) njihovih matematičkih očekivanja:

Nekretnina 4. Matematičko očekivanje proizvoda slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja:

Svojstvo 5. Ako su sve vrijednosti slučajne varijable X smanjiti (povećati) za isti broj WITH, tada će se njegovo matematičko očekivanje smanjiti (povećati) za isti broj:

Kada se ne možete ograničiti samo na matematička očekivanja

U većini slučajeva, samo matematičko očekivanje ne može dovoljno okarakterizirati slučajnu varijablu.

Neka slučajne varijable X I Y dati su sljedećim zakonima o distribuciji:

Značenje X	Vjerovatnoća
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Značenje Y	Vjerovatnoća
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Matematička očekivanja ovih veličina su ista - jednaka nuli:

Međutim, obrasci njihove distribucije su različiti. Slučajna vrijednost X može uzeti samo vrijednosti koje se malo razlikuju od matematičkog očekivanja i slučajne varijable Y može uzeti vrijednosti koje značajno odstupaju od matematičkog očekivanja. Sličan primjer: prosječna plata ne omogućava procjenu udjela visoko i nisko plaćenih radnika. Drugim riječima, iz matematičkog očekivanja ne može se suditi kakva su odstupanja od njega, barem u prosjeku, moguća. Da biste to učinili, morate pronaći varijansu slučajne varijable.

Varijanca diskretne slučajne varijable

Varijanca diskretna slučajna varijabla X naziva se matematičko očekivanje kvadrata njegovog odstupanja od matematičkog očekivanja:

Standardna devijacija slučajne varijable X aritmetička vrijednost kvadratnog korijena njegove varijanse naziva se:

.

Primjer 5. Izračunajte varijanse i standardne devijacije slučajnih varijabli X I Y, čiji su zakoni distribucije dati u gornjim tabelama.

Rješenje. Matematička očekivanja slučajnih varijabli X I Y, kao što je gore utvrđeno, jednaki su nuli. Prema formuli disperzije at E(X)=E(y)=0 dobijamo:

Zatim standardne devijacije slučajnih varijabli X I Yšminka

.

Dakle, sa istim matematičkim očekivanjima, varijansa slučajne varijable X vrlo mala, ali slučajna varijabla Y- značajno. To je posljedica razlika u njihovoj distribuciji.

Primjer 6. Investitor ima 4 alternativna investiciona projekta. Tabela sumira očekivanu dobit u ovim projektima sa odgovarajućom vjerovatnoćom.

Projekat 1	Projekat 2	Projekat 3	Projekat 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu ​​devijaciju za svaku alternativu.

Rješenje. Hajde da pokažemo kako se ove vrijednosti izračunavaju za 3. alternativu:

Tabela sažima pronađene vrijednosti za sve alternative.

Sve alternative imaju ista matematička očekivanja. To znači da na duge staze svi imaju ista primanja. Standardna devijacija se može tumačiti kao mjera rizika – što je veća, veći je rizik ulaganja. Investitor koji ne želi mnogo rizika će izabrati projekat 1 jer ima najmanju standardnu ​​devijaciju (0). Ako investitor preferira rizik i visoke prinose u kratkom periodu, onda će izabrati projekat sa najvećom standardnom devijacijom - projekat 4.

Svojstva disperzije

Hajde da predstavimo svojstva disperzije.

Nekretnina 1. Varijanca konstantne vrijednosti je nula:

Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije kvadriranjem:

.

Nekretnina 3. Varijanca slučajne varijable jednaka je matematičkom očekivanju kvadrata ove vrijednosti, od čega se oduzima kvadrat matematičkog očekivanja same vrijednosti:

,

Gdje .

Nekretnina 4. Varijanca sume (razlike) slučajnih varijabli jednaka je zbroju (razlici) njihovih varijansi:

Primjer 7. Poznato je da je diskretna slučajna varijabla X uzima samo dvije vrijednosti: −3 i 7. Osim toga, poznato je matematičko očekivanje: E(X) = 4 . Pronađite varijansu diskretne slučajne varijable.

Rješenje. Označimo sa str vjerovatnoća sa kojom slučajna varijabla uzima vrijednost x1 = −3 . Zatim vjerovatnoća vrijednosti x2 = 7 bit će 1 − str. Izvedemo jednačinu za matematičko očekivanje:

E(X) = x 1 str + x 2 (1 − str) = −3str + 7(1 − str) = 4 ,

odakle dobijamo verovatnoce: str= 0,3 i 1 − str = 0,7 .

Zakon distribucije slučajne varijable:

X	−3	7
str	0,3	0,7

Izračunavamo varijansu ove slučajne varijable koristeći formulu iz svojstva 3 disperzije:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Pronađite sami matematičko očekivanje slučajne varijable, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 8. Diskretna slučajna varijabla X uzima samo dvije vrijednosti. Prihvata veću od vrijednosti 3 sa vjerovatnoćom 0,4. Osim toga, poznata je varijansa slučajne varijable D(X) = 6 . Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable.

Primjer 9. U urni se nalazi 6 bijelih i 4 crne kuglice. Iz urne se izvlače 3 lopte. Broj bijelih loptica među izvučenim kuglicama je diskretna slučajna varijabla X. Pronađite matematičko očekivanje i varijansu ove slučajne varijable.

Rješenje. Slučajna vrijednost X može uzeti vrijednosti 0, 1, 2, 3. Odgovarajuće vjerovatnoće se mogu izračunati iz pravilo množenja vjerovatnoće. Zakon distribucije slučajne varijable:

X	0	1	2	3
str	1/30	3/10	1/2	1/6

Otuda matematičko očekivanje ove slučajne varijable:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Varijanca date slučajne varijable je:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Očekivanje i varijansa kontinuirane slučajne varijable

Za kontinuiranu slučajnu varijablu, mehanička interpretacija matematičkog očekivanja zadržat će isto značenje: centar mase za jediničnu masu raspoređenu kontinuirano na x-osu s gustinom f(x). Za razliku od diskretne slučajne varijable, čiji argument funkcije xi naglo se mijenja; za kontinuiranu slučajnu varijablu, argument se kontinuirano mijenja. Ali matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable je takođe povezano sa njenom prosečnom vrednošću.

Da biste pronašli matematičko očekivanje i varijansu kontinuirane slučajne varijable, morate pronaći određene integrale . Ako je data funkcija gustoće kontinuirane slučajne varijable, ona direktno ulazi u integrand. Ako je data funkcija distribucije vjerovatnoće, onda je diferenciranjem potrebno pronaći funkciju gustoće.

Aritmetički prosjek svih mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable naziva se njegova matematičko očekivanje, označeno sa ili .

2. Osnove teorije vjerovatnoće

Očekivana vrijednost

Razmotrite slučajnu varijablu s brojčanim vrijednostima. Često je korisno povezati broj s ovom funkcijom - njegovom "prosječnom vrijednošću" ili, kako kažu, " prosječna vrijednost", "indeks centralne tendencije". Iz više razloga, od kojih će neki kasnije postati jasni, matematičko očekivanje se obično koristi kao „prosječna vrijednost“.

Definicija 3. Matematičko očekivanje slučajne varijable X pozvani broj

one. matematičko očekivanje slučajne varijable je ponderisani zbir vrijednosti slučajne varijable s težinama jednakim vjerojatnosti odgovarajućih elementarnih događaja.

Primjer 6. Izračunajmo matematičko očekivanje broja koji se pojavljuje na gornjoj strani kockice. Iz definicije 3 direktno slijedi da

Izjava 2. Neka je slučajna varijabla X preuzima vrijednosti x 1, x 2,…, xm. Tada je jednakost tačna

(5)

one. Matematičko očekivanje slučajne varijable je ponderisani zbir vrijednosti slučajne varijable s težinama jednakim vjerojatnosti da slučajna varijabla zauzme određene vrijednosti.

Za razliku od (4), gdje se zbrajanje vrši direktno preko elementarnih događaja, slučajni događaj se može sastojati od nekoliko elementarnih događaja.

Ponekad se relacija (5) uzima kao definicija matematičkog očekivanja. Međutim, korištenjem Definicije 3, kao što je prikazano u nastavku, lakše je uspostaviti svojstva matematičkog očekivanja neophodna za konstruiranje vjerojatnosnih modela realnih pojava nego korištenjem relacije (5).

Da bismo dokazali relaciju (5), grupiramo u (4) pojmove sa identičnim vrijednostima slučajne varijable:

Pošto se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka zbira, onda

Određivanjem vjerovatnoće nekog događaja

Koristeći posljednje dvije relacije dobijamo traženo:

Koncept matematičkog očekivanja u vjerovatnočno-statističkoj teoriji odgovara konceptu težišta u mehanici. Stavimo to u bodove x 1, x 2,…, xm na osi masenog broja P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) respektivno. Tada jednakost (5) pokazuje da se centar gravitacije ovog sistema materijalnih tačaka poklapa sa matematičkim očekivanjem, što pokazuje prirodnost definicije 3.

Izjava 3. Neka X- slučajna vrijednost, M(X)– njegovo matematičko očekivanje, A– određeni broj. Onda

1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .

Da bismo to dokazali, prvo razmotrimo slučajnu varijablu koja je konstantna, tj. funkcija mapira prostor elementarnih događaja u jednu tačku A. Pošto se konstantni množitelj može uzeti izvan predznaka zbira, onda

Ako se svaki član zbira podijeli na dva člana, onda se cijeli zbir dijeli na dva zbroja, od kojih se prvi sastoji od prvih članova, a drugi od drugog. Dakle, matematičko očekivanje sume dvije slučajne varijable X+Y, definisan na istom prostoru elementarnih događaja, jednak je zbiru matematičkih očekivanja M(X) I M(U) ove slučajne varijable:

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

I zbog toga M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Kao što je gore prikazano, M(M(X)) = M(X). dakle, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.

Zbog (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , To M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Pojednostavimo posljednju jednakost. Kao što je pokazano na početku dokaza tvrdnje 3, matematičko očekivanje konstante je sama konstanta, i stoga M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Pošto se konstantni množitelj može uzeti izvan predznaka zbira, onda M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Desna strana posljednje jednakosti je 0 jer, kao što je gore prikazano, M(X-M(X))=0. dakle, M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , što je trebalo dokazati.

Iz navedenog proizilazi da M[(X- a) 2 ] dostiže minimum A, jednako M[(X- M(X)) 2 ], at a = M(X), budući da je drugi član u jednakosti 3) uvijek nenegativan i jednak je 0 samo za navedenu vrijednost A.

Izjava 4. Neka je slučajna varijabla X preuzima vrijednosti x 1, x 2,…, xm, a f je neka funkcija numeričkog argumenta. Onda

Da bismo to dokazali, grupiramo na desnoj strani jednakosti (4), koja definira matematičko očekivanje, pojmove s istim vrijednostima:

Koristeći činjenicu da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka zbira, i definiciju vjerovatnoće slučajnog događaja (2), dobijamo

Q.E.D.

Izjava 5. Neka X I U– slučajne varijable definisane na istom prostoru elementarnih događaja, A I b- neki brojevi. Onda M(sjekira+ bY)= aM(X)+ bM(Y).

Koristeći definiciju matematičkog očekivanja i svojstva simbola sumiranja, dobijamo lanac jednakosti:

Potrebno je dokazano.

Gore navedeno pokazuje kako matematičko očekivanje ovisi o prijelazu na drugu referentnu tačku i na drugu mjernu jedinicu (prijelaz Y=sjekira+b), kao i na funkcije slučajnih varijabli. Dobijeni rezultati se konstantno koriste u tehničko-ekonomskoj analizi, u proceni finansijsko-ekonomskih aktivnosti preduzeća, pri prelasku sa jedne valute na drugu u spoljnoekonomskim proračunima, u regulatornoj i tehničkoj dokumentaciji itd. Rezultati koji se razmatraju omogućavaju korištenje istih proračunskih formula za različite skale i pomake parametara.

Prethodno

– broj dječaka među 10 novorođenčadi.

Apsolutno je jasno da ovaj broj nije poznat unaprijed, a sljedećih deset rođenih djece može uključivati:

Ili momci - jedan i jedini od navedenih opcija.

I, kako biste ostali u formi, malo fizičkog vaspitanja:

– daljina skoka u dalj (u nekim jedinicama).

Ni majstor sporta to ne može predvidjeti :)

Međutim, vaše hipoteze?

2) Kontinuirana slučajna varijabla – prihvata Sve numeričke vrijednosti iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala.

Bilješka : V edukativna literatura popularne skraćenice DSV i NSV

Prvo, analizirajmo diskretnu slučajnu varijablu, a zatim - kontinuirano.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable

- Ovo dopisivanje između mogućih vrijednosti ove veličine i njihovih vjerovatnoća. Zakon je najčešće zapisan u tabeli:

Termin se često pojavljuje red distribucija, ali u nekim situacijama zvuči dvosmisleno, pa ću se držati "zakona".

I sada Veoma važna tačka : od slučajne varijable Neophodnoće prihvatiti jedna od vrednosti, zatim se formiraju odgovarajući događaji puna grupa a zbir vjerovatnoća njihovog pojavljivanja jednak je jedan:

ili, ako je napisano sažeto:

Tako, na primjer, zakon raspodjele vjerovatnoće bodova bačenih na kockicu ima sljedeći oblik:

Bez komentara.

Možda ste pod utiskom da diskretna slučajna varijabla može poprimiti samo “dobre” vrijednosti cijelih brojeva. Razbijmo iluziju - mogu biti bilo šta:

Primjer 1

Neka igra ima sljedeći pobjednički zakon distribucije:

...o takvim zadacima vjerovatno ste dugo sanjali :) Odaću vam tajnu - i ja. Pogotovo nakon završetka radova teorija polja.

Rješenje: budući da slučajna varijabla može uzeti samo jednu od tri vrijednosti, formiraju se odgovarajući događaji puna grupa, što znači da je zbir njihovih vjerovatnoća jednak jedan:

Razotkrivanje "partizana":

– dakle, vjerovatnoća osvajanja konvencionalnih jedinica je 0,4.

Kontrola: to je ono u šta smo trebali da se uverimo.

Odgovori:

Nije neuobičajeno kada trebate sami sastaviti zakon o raspodjeli. Za to koriste klasična definicija vjerovatnoće, teoreme množenja/sabiranja za vjerovatnoće događaja i drugi čips tervera:

Primjer 2

Kutija sadrži 50 lutrijskih listića, među kojima je 12 dobitnih, a 2 od njih osvajaju po 1000 rubalja, a ostale - po 100 rubalja. Sastavite zakon za raspodjelu slučajne varijable - veličine dobitka, ako se iz kutije nasumično izvuče jedan listić.

Rješenje: kao što ste primijetili, vrijednosti slučajne varijable se obično stavljaju u u rastućem redosledu. Stoga počinjemo s najmanjim dobicima, odnosno rubalja.

Ukupno ima 50 takvih karata - 12 = 38, a prema klasična definicija:
– vjerovatnoća da će nasumično izvučena karta biti gubitnik.

U ostalim slučajevima sve je jednostavno. Vjerovatnoća osvajanja rublja je:

Provjerite: – a ovo je posebno prijatan trenutak takvih zadataka!

Odgovori: željeni zakon raspodjele dobitaka:

Sljedeći zadatak morate riješiti sami:

Primjer 3

Vjerovatnoća da će strijelac pogoditi metu je . Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu - broj pogodaka nakon 2 hica.

...znala sam da ti nedostaje :) Da se prisjetimo teoreme množenja i sabiranja. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.

Zakon distribucije u potpunosti opisuje slučajnu varijablu, ali u praksi može biti korisno (a ponekad i korisnije) znati samo dio nje numeričke karakteristike .

Očekivanje diskretne slučajne varijable

Govoreći jednostavnim jezikom, Ovo prosječna očekivana vrijednost kada se testiranje ponavlja mnogo puta. Neka slučajna varijabla uzima vrijednosti sa vjerovatnoćama respektivno. Tada je matematičko očekivanje ove slučajne varijable jednako zbir proizvoda sve njegove vrijednosti na odgovarajuće vjerovatnoće:

ili srušeno:

Izračunajmo, na primjer, matematičko očekivanje slučajne varijable - broj bodova bačenih na kockicu:

Sada se prisjetimo naše hipotetičke igre:

Postavlja se pitanje da li je uopšte isplativo igrati ovu igru? ...ko ima utisaka? Dakle, ne možete to da kažete „na ruku“! Ali na ovo pitanje se lako može odgovoriti izračunavanjem matematičkog očekivanja, u suštini - prosjećna težina po vjerovatnoći pobjede:

Dakle, matematičko očekivanje ove igre gubljenje.

Ne vjerujte svojim utiscima - vjerujte brojevima!

Da, ovdje možete pobijediti 10 ili čak 20-30 puta uzastopno, ali na duge staze čeka nas neizbježna propast. I ne bih ti savjetovao da igraš takve igrice :) Pa, možda samo za zabavu.

Iz svega navedenog proizilazi da matematičko očekivanje više nije RANDOM vrijednost.

Kreativni zadatak za nezavisno istraživanje:

Primjer 4

G. X igra evropski rulet koristeći sledeći sistem: on stalno kladi 100 rubalja na „crveno“. Nacrtajte zakon raspodjele slučajne varijable - njenog dobitka. Izračunajte matematičko očekivanje dobitaka i zaokružite ga na najbližu kopejku. Koliko prosjek Da li igrač gubi za svakih sto u koje je uložio?

Referenca : Evropski rulet sadrži 18 crvenih, 18 crnih i 1 zeleni sektor (“nula”). Ako se pojavi „crveno“, igraču se plaća dupla opklada, u suprotnom ide u prihod kasina

Postoje mnogi drugi sistemi ruleta za koje možete kreirati sopstvene tabele verovatnoće. Ali to je slučaj kada nam nisu potrebni nikakvi zakoni distribucije ili tabele, jer je sigurno utvrđeno da će matematička očekivanja igrača biti potpuno ista. Jedina stvar koja se mijenja od sistema do sistema je