Kako odrediti predznak projekcije na osu. Osnovne formule za pronalaženje udaljenosti pomoću projekcije vektora na osu. Vektorski proizvod vektora koordinatnih jedinica

§ 3. Projekcije vektora na koordinatne ose

1. Geometrijski pronalaženje projekcija.

Vector
- projekcija vektora na osu OX
- projekcija vektora na osu OY

Definicija 1. Vektorska projekcija na bilo kojoj koordinatnoj osi je broj uzet sa predznakom plus ili minus, koji odgovara dužini segmenta koji se nalazi između baza okomita spuštenih od početka i kraja vektora na koordinatnu osu.

Predznak projekcije je definiran na sljedeći način. Ako pri kretanju duž koordinatne osi dođe do pomicanja od točke projekcije početka vektora do točke projekcije kraja vektora u pozitivnom smjeru osi, tada se projekcija vektora smatra pozitivnom . Ako je suprotna osi, tada se projekcija smatra negativnom.

Slika pokazuje da ako je vektor orijentiran nekako suprotno od koordinatne osi, onda je njegova projekcija na ovu os negativna. Ako je vektor nekako orijentiran u pozitivnom smjeru koordinatne ose, tada je njegova projekcija na ovu os pozitivna.

Ako je vektor okomit na koordinatnu osu, tada je njegova projekcija na ovu osu nula.
Ako je vektor kosmjeran s osom, tada je njegova projekcija na ovu os jednaka apsolutnoj vrijednosti vektora.
Ako je vektor usmjeren suprotno od koordinatne ose, tada je njegova projekcija na ovu os po apsolutnoj vrijednosti jednaka apsolutnoj vrijednosti vektora uzetog sa predznakom minus.

2. Većina opšta definicija projekcije.

Iz pravouglog trougla ABD: .

Definicija 2. Vektorska projekcija na bilo kojoj koordinatnoj osi je broj jednak proizvodu modula vektora i kosinusa ugla kojeg formira vektor sa pozitivnim smjerom koordinatne ose.

Predznak projekcije je određen predznakom kosinusa ugla kojeg formira vektor s pozitivnim smjerom ose.
Ako je ugao oštar, kosinus ima pozitivan predznak i projekcije su pozitivne. Za tupe uglove kosinus ima negativan predznak, pa su u takvim slučajevima projekcije na osu negativne.
- dakle, za vektore okomite na osu, projekcija je nula.

Iz fizike za 9. razred (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999.),
zadatak №5
u poglavlje" POGLAVLJE 1. OPĆE INFORMACIJE O SAOBRAĆAJU».

1. Šta se naziva projekcija vektora na koordinatnu osu?

1. Projekcija vektora a na osovinu koordinata je dužina odsječka između projekcija početka i kraja vektora a (okomice spuštene iz ovih tačaka na osu) na ovu koordinatnu osu.

2. Kako je vektor pomaka tijela povezan s njegovim koordinatama?

2. Projekcije vektora pomaka s na koordinatne ose jednake su promjeni odgovarajućih koordinata tijela.

3. Ako se koordinata tačke vremenom povećava, koji predznak ima projekcija vektora pomaka na osu koordinata? Šta ako se smanji?

3. Ako se koordinata tačke povećava tokom vremena, tada će projekcija vektora pomaka na koordinatnu osu biti pozitivna, jer u ovom slučaju ćemo ići od projekcije početka do projekcije kraja vektora u pravcu same ose.

Ako se koordinata tačke smanjuje tokom vremena, tada će projekcija vektora pomaka na koordinatnu osu biti negativna, jer u ovom slučaju ćemo ići od projekcije početka do projekcije kraja vektora na vodilicu same ose.

4. Ako je vektor pomaka paralelan sa X osom, koliki je onda modul projekcije vektora na ovu osu? A šta je sa modulom projekcije istog vektora na Y osu?

4. Ako je vektor pomaka paralelan sa X osom, tada je modul projekcije vektora na ovu osu jednak modulu samog vektora, a njegova projekcija na Y osu je nula.

5. Odrediti predznake projekcija na X osu vektora pomaka prikazanih na slici 22. Kako se mijenjaju koordinate tijela pri tim pomacima?

5. U svim sljedećim slučajevima, Y koordinata tijela se ne mijenja, a X koordinata tijela će se promijeniti na sljedeći način:

a) s 1;

projekcija vektora s 1 na osu X je negativna i jednaka je po apsolutnoj vrijednosti dužini vektora s 1 . S takvim kretanjem, X koordinata tijela će se smanjiti za dužinu vektora s 1.

b) s 2 ;

projekcija vektora s 2 na osu X je pozitivna i jednaka je po veličini dužini vektora s 1 . Sa takvim kretanjem, X koordinata tijela će se povećati za dužinu vektora s 2.

c) s 3 ;

projekcija vektora s 3 na osu X je negativna i jednaka je po veličini dužini vektora s 3 . Kod takvog kretanja, X koordinata tijela će se smanjiti za dužinu vektora s 3.

d)s 4;

projekcija vektora s 4 na osu X je pozitivna i jednaka je po veličini dužini vektora s 4 . Sa takvim kretanjem, X koordinata tijela će se povećati za dužinu vektora s 4.

e) s 5;

projekcija vektora s 5 na osu X je negativna i jednaka je po veličini dužini vektora s 5 . Kod takvog kretanja, X koordinata tijela će se smanjiti za dužinu vektora s 5.

6. Ako je vrijednost prijeđenog puta velika, može li modul pomaka biti mali?

6. Možda. To je zbog činjenice da je pomak (vektor pomaka) vektorska veličina, tj. je usmjereni pravi segment koji povezuje početni položaj tijela s njegovim kasnijim položajima. A konačni položaj tijela (bez obzira na pređenu udaljenost) može biti koliko god želite bliži početnom položaju tijela. Ako se konačni i početni položaj tijela poklapaju, modul pomaka će biti jednak nuli.

7. Zašto je vektor kretanja tijela važniji u mehanici od putanje koje je prešlo?

7. Glavni zadatak mehanike je da u svakom trenutku odredi položaj tijela. Poznavajući vektor kretanja tijela možemo odrediti koordinate tijela, tj. položaj tijela u bilo kojem trenutku, a znajući samo prijeđeni put, ne možemo odrediti koordinate tijela, jer nemamo informaciju o smjeru kretanja, već možemo samo prosuditi dužinu pređenog puta u datom trenutku.

Osa je pravac. To znači da se projekcija na osu ili na usmjerenu liniju smatra istom. Projekcija može biti algebarska ili geometrijska. U geometrijskom smislu, projekcija vektora na osu se shvata kao vektor, a u algebarskom smislu kao broj. Odnosno, koriste se koncepti projekcije vektora na osu i numeričke projekcije vektora na osu.

Ako imamo L os i vektor različit od nule A B →, onda možemo konstruisati vektor A 1 B 1 ⇀, označavajući projekcije njegovih tačaka A 1 i B 1.

A 1 B → 1 će biti projekcija vektora A B → na L.

Definicija 1

Projekcija vektora na osu je vektor čiji su početak i kraj projekcije početka i kraja datog vektora. n p L A B → → uobičajeno je označavati projekciju A B → na L. Da bi se konstruisala projekcija na L, okomite se spuštaju na L.

Primjer 1

Primjer vektorske projekcije na osu.

On koordinatna ravan Oko x y je određena tačka M 1 (x 1 , y 1). Potrebno je konstruisati projekcije na O x i O y da bi se prikazao radijus vektor tačke M 1. Dobijamo koordinate vektora (x 1, 0) i (0, y 1).

Ako govorimo o projekciji a → na b → različit od nule ili projekciji a → na pravac b → , onda mislimo na projekciju a → na osu s kojom se poklapa pravac b →. Projekcija a → na pravu definisanu sa b → označava se n p b → a → → . Poznato je da kada se ugao između a → i b → , n p b → a → → i b → može smatrati kosmjernim. U slučaju kada je ugao tup, n p b → a → → i b → su u suprotnim smjerovima. U situaciji okomitosti a → i b →, i a → je nula, projekcija a → u pravcu b → je nulti vektor.

Numerička karakteristika projekcije vektora na osu je numerička projekcija vektora na datu osu.

Definicija 2

Numerička projekcija vektora na osu je broj koji je jednak proizvodu dužine datog vektora i kosinusa ugla između datog vektora i vektora koji određuje smjer ose.

Numerička projekcija A B → na L označava se n p L A B → , a a → na b → - n p b → a → .

Na osnovu formule dobijamo n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , odakle je a → dužina vektora a → , a ⇀ , b → ^ ugao između vektora a → i b → .

Dobijamo formulu za izračunavanje numeričke projekcije: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Primjenjivo je za poznate dužine a → i b → i ugao između njih. Formula je primjenjiva za poznate koordinate a → i b →, ali postoji pojednostavljeni oblik.

Primjer 2

Odrediti numeričku projekciju a → na pravu u pravcu b → sa dužinom a → jednakom 8 i uglom između njih od 60 stepeni. Po uslovu imamo a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. Dakle, zamenimo numeričke vrijednosti u formulu n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

odgovor: 4.

Sa poznatim cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , imamo a → , b → kao skalarni proizvod a → i b → . Slijedeći formulu n p b → a → = a → · cos a ⇀, b → ^, možemo pronaći numeričku projekciju a → usmjerenu duž vektora b → i dobiti n p b → a → = a → , b → b → . Formula je ekvivalentna definiciji datoj na početku pasusa.

Definicija 3

Numerička projekcija vektora a → na osu koja se poklapa u pravcu sa b → je odnos skalarnog proizvoda vektora a → i b → na dužinu b → . Formula n p b → a → = a → , b → b → je primenljiva za pronalaženje numeričke projekcije a → na pravu koja se poklapa u pravcu sa b → , sa poznatim a → i b → koordinatama.

Primjer 3

Dato je b → = (- 3 , 4) . Pronađite numeričku projekciju a → = (1, 7) na L.

Rješenje

Na koordinatnoj ravni n p b → a → = a → , b → b → ima oblik n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , sa a → = (a x , a y ) i b → = b x , b y . Da biste pronašli numeričku projekciju vektora a → na osu L, potrebno je: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

odgovor: 5.

Primjer 4

Naći projekciju a → na L, koja se poklapa sa pravcem b →, gdje postoje a → = - 2, 3, 1 i b → = (3, - 2, 6). Naveden je trodimenzionalni prostor.

Rješenje

Za a → = a x , a y , a z i b → = b x , b y , b z , izračunavamo skalarni proizvod: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Dužina b → se nalazi pomoću formule b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Iz toga slijedi da će formula za određivanje numeričke projekcije a → biti: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Zamijenite numeričke vrijednosti: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Odgovor: - 6 7.

Pogledajmo vezu između a → na L i dužine projekcije a → na L. Nacrtajmo osu L, dodajući a → i b → iz tačke na L, nakon čega povučemo okomitu liniju od kraja a → do L i nacrtamo projekciju na L. Postoji 5 varijacija slike:

Prvo slučaj sa a → = n p b → a → → znači a → = n p b → a → → , dakle n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Sekunda slučaj implicira upotrebu n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , što znači n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Treće slučaj objašnjava da kada je n p b → a → → = 0 → dobijamo n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , tada je n p b → a → → = 0 i n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Četvrto slučaj pokazuje n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , slijedi n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Peto slučaj pokazuje a → = n p b → a → → , što znači a → = n p b → a → → , dakle imamo n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Definicija 4

Numerička projekcija vektora a → na osu L, koja je usmjerena na isti način kao b →, ima sljedeću vrijednost:

• dužina projekcije vektora a → na L, pod uslovom da je ugao između a → i b → manji od 90 stepeni ili jednak 0: n p b → a → = n p b → a → → uz uslov 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nula pod uslovom da su a → i b → okomiti: n p b → a → = 0, kada je (a → , b → ^) = 90 °;
• dužina projekcije a → na L, pomnožena sa -1, kada postoji tup ili pravi ugao vektora a → i b →: n p b → a → = - n p b → a → → sa uslovom od 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Primjer 5

S obzirom na dužinu projekcije a → na L, jednaku 2. Pronađite numeričku projekciju a → pod uslovom da je ugao 5 π 6 radijana.

Rješenje

Iz uslova je jasno da je ovaj ugao tup: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Odgovor: - 2.

Primjer 6

Zadata je ravan O x y z vektorske dužine a → jednaka 6 3, b → (- 2, 1, 2) sa uglom od 30 stepeni. Pronađite koordinate projekcije a → na osu L.

Rješenje

Prvo izračunamo numeričku projekciju vektora a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Po uslovu, ugao je oštar, tada je numerička projekcija a → = dužina projekcije vektora a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Ovaj slučaj pokazuje da su vektori n p L a → → i b → kousmjereni, što znači da postoji broj t za koji je tačna jednakost: n p L a → → = t · b → . Odavde vidimo da je n p L a → → = t · b → , što znači da možemo pronaći vrijednost parametra t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Tada je n p L a → → = 3 · b → sa koordinatama projekcije vektora a → na osu L jednakom b → = (- 2 , 1 , 2) , gdje je potrebno vrijednosti pomnožiti sa 3. Imamo n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Odgovor: (- 6, 3, 6).

Potrebno je ponoviti prethodno naučene informacije o stanju kolinearnosti vektora.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Algebarska projekcija vektora na bilo kojoj osi jednak je proizvodu dužine vektora i kosinusa ugla između ose i vektora:

Pr a b = |b|cos(a,b) ili

Gdje je a b skalarni proizvod vektora, |a| - modul vektora a.

Instrukcije. Da biste pronašli projekciju vektora Pr a b na mreži, morate odrediti koordinate vektora a i b. U ovom slučaju, vektor se može specificirati na ravni (dvije koordinate) iu prostoru (tri koordinate). Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku. Ako su vektori specificirani kroz koordinate tačaka, onda morate koristiti ovaj kalkulator.

Klasifikacija vektorskih projekcija

Vrste projekcija po definiciji vektorske projekcije

1. Geometrijska projekcija vektora AB na osu (vektor) naziva se vektor A"B", čiji je početak A' projekcija početka A na osu (vektor), a kraj B' je projekcija kraja B na istu osu.
2. Algebarska projekcija vektora AB na osu (vektor) naziva se dužina vektora A"B", uzeta sa znakom + ili -, u zavisnosti od toga da li vektor A"B" ima isti pravac kao i os ( vektor).

Vrste projekcija prema koordinatnom sistemu

Svojstva vektorske projekcije

1. Geometrijska projekcija vektora je vektor (ima pravac).
2. Algebarska projekcija vektora je broj.

Teoreme vektorske projekcije

Teorema 1. Projekcija zbira vektora na bilo koju osu jednaka je projekciji sabiraka vektora na istu osu.

AC" =AB" +B"C"

Teorema 2. Algebarska projekcija vektora na bilo koju osu jednaka je proizvodu dužine vektora i kosinusa ugla između ose i vektora:

Pr a b = |b|·cos(a,b)

Vrste vektorskih projekcija

1. projekcija na osu OX.
2. projekcija na osu OY.
3. projekcija na vektor.

Projekcija na osovinu OX	Projekcija na osu OY	Projekcija u vektor
Ako se smjer vektora A’B’ poklapa sa smjerom ose OX, tada projekcija vektora A’B’ ima pozitivan predznak.	Ako se smjer vektora A’B’ poklapa sa smjerom ose OY, tada projekcija vektora A’B’ ima pozitivan predznak.	Ako se smjer vektora A’B’ poklapa sa smjerom vektora NM, tada projekcija vektora A’B’ ima pozitivan predznak.
Ako je smjer vektora suprotan smjeru ose OX, tada projekcija vektora A’B’ ima negativan predznak.	Ako je smjer vektora A’B’ suprotan smjeru ose OY, tada projekcija vektora A’B’ ima negativan predznak.	Ako je smjer vektora A’B’ suprotan smjeru vektora NM, tada projekcija vektora A’B’ ima negativan predznak.
Ako je vektor AB paralelan osi OX, tada je projekcija vektora A’B’ jednaka apsolutnoj vrijednosti vektora AB.	Ako je vektor AB paralelan osi OY, tada je projekcija vektora A’B’ jednaka apsolutnoj vrijednosti vektora AB.	Ako je vektor AB paralelan vektoru NM, tada je projekcija vektora A’B’ jednaka apsolutnoj vrijednosti vektora AB.
Ako je vektor AB okomit na osu OX, tada je projekcija A’B’ jednaka nuli (nulti vektor).	Ako je vektor AB okomit na osu OY, tada je projekcija A’B’ jednaka nuli (nulti vektor).	Ako je vektor AB okomit na vektor NM, tada je projekcija A’B’ jednaka nuli (nulti vektor).

1. Pitanje: Može li projekcija vektora imati negativan predznak? Odgovor: Da, vektor projekcije može biti negativna vrijednost. U ovom slučaju, vektor ima suprotan smjer (pogledajte kako su os OX i AB vektor usmjereni)
2. Pitanje: Može li se projekcija vektora poklapati sa apsolutnom vrijednošću vektora? Odgovor: Da, može. U ovom slučaju, vektori su paralelni (ili leže na istoj liniji).
3. Pitanje: Može li projekcija vektora biti jednaka nuli (nulti vektor). Odgovor: Da, može. U ovom slučaju, vektor je okomit na odgovarajuću osu (vektor).

Primjer 1. Vektor (Sl. 1) formira ugao od 60° sa OX osom (određen je vektorom a). Ako je OE jedinica skale, onda |b|=4, dakle .

Zaista, dužina vektora ( geometrijska projekcija b) jednak je 2, a smjer se poklapa sa smjerom ose OX.

Primjer 2. Vektor (slika 2) formira ugao (a,b) = 120 o sa OX osom (sa vektorom a). Dužina |b| vektor b je jednak 4, pa je pr a b=4·cos120 o = -2.

Zaista, dužina vektora je 2, a smjer je suprotan smjeru ose.

Projekcija vektor na osu je vektor koji se dobija množenjem skalarne projekcije vektora na ovu osu i jediničnog vektora ove ose. Na primjer, ako je a x – skalarnu projekciju vektor A do ose X, zatim a x i- njegova vektorska projekcija na ovu osu.

Označimo vektorska projekcija isto kao i sam vektor, ali sa indeksom ose na koju se vektor projektuje. Dakle, vektorska projekcija vektora A na osi X koju označavamo A x ( debeo slovo koje označava vektor i indeks imena ose) ili (nepodebljano slovo koje označava vektor, ali sa strelicom na vrhu (!) i indeksom imena ose).

Skalarna projekcija vektor po osi se zove broj, čija je apsolutna vrijednost jednaka dužini segmenta ose (na odabranoj skali) zatvorenog između projekcija početne i krajnje tačke vektora. Obično umjesto izraza skalarnu projekciju jednostavno kažu - projekcija. Projekcija se označava istim slovom kao i projektovani vektor (normalnim, ne podebljanim slovima), sa nižim indeksom (u pravilu) naziva ose na koju se ovaj vektor projektuje. Na primjer, ako se vektor projektuje na os X A, tada je njegova projekcija označena sa x. Prilikom projektovanja istog vektora na drugu osu, ako je os Y, njena projekcija će biti označena sa y.

Za izračunavanje projekcije vektor na osi (npr. osi X) potrebno je oduzeti koordinatu početne tačke od koordinate njene krajnje tačke, tj.
a x = x k − x n.
Projekcija vektora na osu je broj.Štaviše, projekcija može biti pozitivna ako je vrijednost x k veća od vrijednosti x n,

negativan ako je vrijednost x k manja od vrijednosti x n

i jednako nuli ako je x k jednako x n.

Projekcija vektora na osu može se naći i poznavanjem modula vektora i ugla koji čini sa ovom osom.

Sa slike je jasno da je a x = a Cos α

to jest, projekcija vektora na osu jednaka je umnošku modula vektora i kosinusa ugla između pravca ose i vektorski pravac. Ako je ugao oštar, onda
Cos α > 0 i a x > 0, a ako je tup, onda je kosinus tupog ugla negativan, a projekcija vektora na osu će također biti negativna.

Uglovi mjereni od ose u smjeru suprotnom od kazaljke na satu smatraju se pozitivnim, a uglovi mjereni duž ose su negativni. Međutim, pošto je kosinus parna funkcija, odnosno Cos α = Cos (− α), pri izračunavanju projekcija uglovi se mogu brojati i u smeru kazaljke na satu i u suprotnom smeru.

Da bi se pronašla projekcija vektora na osu, modul ovog vektora mora se pomnožiti kosinusom ugla između smjera ose i smjera vektora.

Vektorske koordinate— koeficijenti jedine moguće linearne kombinacije baznih vektora u odabranom koordinatnom sistemu, jednaki datom vektoru.

gdje su koordinate vektora.

Skalarni proizvod vektori

Skalarni proizvod vektora[- u konačno-dimenzionalnom vektorski prostor definira se kao zbir proizvoda identičnih komponenti koje se množe vektori.

Na primjer, S.p.v. a = (a 1 , ..., a n) I b = (b 1 , ..., b n):

(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n