Koji je drugi naziv za broj pi? Šta je broj PI i šta on znači? Kratka istorija izračunavanja π

Uvod

Članak sadrži matematičke formule, pa da ih pročitate, idite na stranicu da ih ispravno prikažete. Broj \(\pi\) ima bogatu istoriju. Ova konstanta označava omjer opsega kruga i njegovog prečnika.

U nauci, broj \(\pi \) se koristi u svim proračunima koji uključuju krugove. Počevši od zapremine limenke sode, do orbita satelita. I ne samo krugovi. Zaista, u proučavanju zakrivljenih linija, broj \(\pi \) pomaže u razumijevanju periodičnih i oscilatornih sistema. Na primjer, elektromagnetni talasi, pa čak i muzika.

Godine 1706., u knjizi Novi uvod u matematiku britanskog naučnika Williama Jonesa (1675-1749), slovo grčkog alfabeta \(\pi\) je prvi put korišteno za predstavljanje broja 3.141592.... Ova oznaka dolazi od početnog slova grčkih riječi περιϕερεια - krug, periferija i περιµετρoς - perimetar. Oznaka je postala opšte prihvaćena nakon rada Leonharda Ojlera 1737.

Geometrijski period

Konstantnost omjera dužine bilo kojeg kruga i njegovog promjera primjećena je dugo vremena. Stanovnici Mesopotamije koristili su prilično grubu aproksimaciju broja \(\pi\). Kao što slijedi iz drevnih problema, oni koriste vrijednost \(\pi ≈ 3\) u svojim proračunima.

Precizniju vrijednost za \(\pi\) koristili su stari Egipćani. U Londonu i New Yorku čuvaju se dva komada staroegipatskog papirusa koji se nazivaju „Rinda papirus“. Papirus je sastavio pisar Armes negde između 2000-1700. pne. Armes je u svom papirusu napisao da je površina kruga poluprečnika \(r\) jednaka površini kvadrata sa stranicom jednakom \(\frac(8)(9) \) od prečnik kruga \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), odnosno \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Stoga \(\pi = 3,16\).

Drevni grčki matematičar Arhimed (287-212 pne) prvi je stavio problem mjerenja kruga na naučnu osnovu. Dobio je ocjenu \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Metoda je prilično jednostavna, ali u nedostatku gotovih tablica trigonometrijskih funkcija bit će potrebno vađenje korijena. Osim toga, aproksimacija konvergira na \(\pi \) vrlo sporo: sa svakom iteracijom greška se smanjuje samo četiri puta.

Analitički period

Uprkos tome, sve do sredine 17. veka, svi pokušaji evropskih naučnika da izračunaju broj \(\pi\) svodili su se na povećanje stranica poligona. Na primjer, holandski matematičar Ludolf van Zeijlen (1540-1610) izračunao je približnu vrijednost broja \(\pi\) sa tačnošću od 20 decimalnih cifara.

Trebalo mu je 10 godina da izračuna. Udvostručavajući broj stranica upisanih i opisanih poligona Arhimedovom metodom, došao je do \(60 \cdot 2^(29) \) - trougla da bi izračunao \(\pi \) sa 20 decimalnih mjesta.

Nakon njegove smrti, u njegovim rukopisima je otkriveno još 15 tačnih cifara broja \(\pi\). Ludolf je ostavio da znaci koje je pronašao budu uklesani na njegovom nadgrobnom spomeniku. U njegovu čast, broj \(\pi\) se ponekad nazivao "Ludolfov broj" ili "Ludolfova konstanta".

Jedan od prvih koji je uveo metodu različitu od Arhimedove bio je François Viète (1540-1603). Došao je do rezultata da krug čiji je prečnik jednak jedan ima površinu:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]

S druge strane, površina je \(\frac(\pi)(4)\). Zamjenom i pojednostavljenjem izraza možemo dobiti sljedeću formulu beskonačnog proizvoda za izračunavanje približne vrijednosti \(\frac(\pi)(2)\):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Rezultirajuća formula je prvi tačan analitički izraz za broj \(\pi\). Pored ove formule, Viet je, koristeći Arhimedovu metodu, dao, koristeći upisane i opisane poligone, počevši od 6-ugla i završavajući sa poligonom sa \(2^(16) \cdot 6 \) stranama, aproksimaciju broja \(\pi \) sa 9 sa pravim predznacima.

Engleski matematičar William Brounker (1620-1684), koristeći kontinuirani razlomak, dobio je sljedeće rezultate za izračunavanje \(\frac(\pi)(4)\):

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

Ova metoda izračunavanja aproksimacije broja \(\frac(4)(\pi)\) zahtijeva dosta proračuna da bi se dobila čak i mala aproksimacija.

Vrijednosti dobivene kao rezultat zamjene su ili veće ili manje od broja \(\pi\), i svaki put su bliže pravoj vrijednosti, ali za dobivanje vrijednosti 3,141592 bit će potrebno izvesti prilično veliku kalkulacije.

Drugi engleski matematičar John Machin (1686-1751) je 1706. godine, da bi izračunao broj \(\pi\) sa 100 decimalnih mjesta, koristio formulu koju je izveo Leibniz 1673. i primijenio je na sljedeći način:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) – arctg\frac(1)(239) \]

Niz se brzo konvergira i uz njegovu pomoć možete izračunati broj \(\pi \) sa velikom preciznošću. Ove vrste formula su korišćene za postavljanje nekoliko rekorda tokom kompjuterske ere.

U 17. veku sa početkom perioda matematike varijabilnih vrijednosti počela je nova faza u izračunavanju \(\pi\). Njemački matematičar Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) je 1673. godine pronašao dekompoziciju broja \(\pi\), općenito se može zapisati kao sljedeći beskonačni niz:

\[ \pi = 1 – 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) – \frac(1)(7) + \frac(1)(9) – \frac(1) (11) + \cdots) \]

Niz se dobija zamjenom x = 1 u \(arctg x = x – \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) – \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) – \cdots\)

Leonhard Euler razvija Leibnizovu ideju u svojim radovima o upotrebi nizova za arktan x u izračunavanju broja \(\pi\). Rasprava "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (O različitim metodama izražavanja kvadrature kruga približnim brojevima), napisana 1738. godine, govori o metodama za poboljšanje proračuna pomoću Leibnizove formule.

Ojler piše da će niz za arktangens brže konvergirati ako argument teži nuli. Za \(x = 1\), konvergencija niza je veoma spora: za izračunavanje sa tačnošću od 100 cifara potrebno je dodati \(10^(50)\) članove serije. Možete ubrzati proračune smanjenjem vrijednosti argumenta. Ako uzmemo \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), onda ćemo dobiti niz

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 – \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) – \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Prema Euleru, ako uzmemo 210 članova ovog niza, dobićemo 100 tačnih cifara broja. Dobijeni niz je nezgodan jer je potrebno znati prilično tačnu vrijednost iracionalnog broja \(\sqrt(3)\). Ojler je u svojim proračunima koristio i proširenja arktangensa u zbir arktangensa manjih argumenata:

\[gdje je x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Nisu objavljene sve formule za izračunavanje \(\pi\) koje je Euler koristio u svojim bilježnicama. U objavljenim radovima i sveskama, on je razmatrao 3 različite serije za izračunavanje arktangensa, a takođe je dao mnoge izjave u vezi sa brojem sabirnih članova potrebnih za dobijanje približne vrednosti \(\pi\) sa datom tačnošću.

U narednim godinama, preciziranja vrijednosti broja \(\pi\) odvijala su se sve brže i brže. Na primjer, 1794. Georg Vega (1754-1802) je već identificirao 140 znakova, od kojih se samo 136 pokazalo ispravnim.

Period računanja

20. vijek je obilježen potpuno novom etapom u računanju broja \(\pi\). Indijski matematičar Srinivasa Ramanujan (1887-1920) otkrio je mnoge nove formule za \(\pi\). Godine 1910. dobio je formulu za izračunavanje \(\pi\) kroz proširenje arktangenta u Taylorov niz:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

Kod k=100 postiže se tačnost od 600 tačnih cifara broja \(\pi\).

Pojava računara omogućila je značajno povećanje tačnosti dobijenih vrijednosti u kraćem vremenu. Godine 1949., za samo 70 sati, koristeći ENIAC, grupa naučnika predvođena Johnom von Neumannom (1903-1957) dobila je 2037 decimalnih mjesta za broj \(\pi\). Godine 1987. David i Gregory Chudnovsky su dobili formulu s kojom su mogli postaviti nekoliko rekorda u izračunavanju \(\pi\):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Svaki član serije daje 14 cifara. Godine 1989. dobijeno je 1.011.196.691 decimalno mjesto. Ova formula je vrlo pogodna za izračunavanje \(\pi \) na personalnim računarima. Trenutno su braća profesori na Politehničkom institutu Univerziteta u Njujorku.

Važan noviji razvoj bio je otkriće formule 1997. od strane Simona Plouffea. Omogućava vam da izdvojite bilo koju heksadecimalnu cifru broja \(\pi\) bez izračunavanja prethodnih. Formula je nazvana "Bailey-Borwain-Plouffe formula" u čast autora članka u kojem je formula prvi put objavljena. izgleda ovako:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) – \frac(2)(8k+4 ) – \frac(1)(8k+5) – \frac(1)(8k+6)) .\]

Godine 2006. Simon je, koristeći PSLQ, smislio neke lijepe formule za izračunavanje \(\pi\). Na primjer,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n – 1) – \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) – 1) – \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

gdje je \(q = e^(\pi)\). Japanski naučnici su 2009. godine, koristeći T2K Tsukuba System superkompjuter, dobili broj \(\pi\) sa 2,576,980,377,524 decimalnih mjesta. Proračuni su trajali 73 sata i 36 minuta. Računar je bio opremljen sa 640 četverojezgrenih AMD Opteron procesora, koji su pružali performanse od 95 triliona operacija u sekundi.

Sljedeće dostignuće u računanju \(\pi\) pripada francuskom programeru Fabrice Bellardu, koji je krajem 2009. godine na svom personalnom računaru sa Fedora 10 postavio rekord izračunavši 2.699.999.990.000 decimalnih mjesta broja \(\pi\ ). U proteklih 14 godina ovo je prvi svjetski rekord koji je postavljen bez upotrebe superkompjutera. Za visoke performanse, Fabrice je koristio formulu braće Chudnovsky. Ukupno je proračun trajao 131 dan (103 dana obračuna i 13 dana verifikacije rezultata). Belarov uspeh pokazao je da za takve proračune nije potreban superkompjuter.

Samo šest mjeseci kasnije, Francoisov rekord oborili su inženjeri Alexander Yi i Singer Kondo. Za postavljanje rekorda od 5 triliona decimalnih mjesta \(\pi\), korišten je i personalni računar, ali sa još impresivnijim karakteristikama: dva Intel Xeon X5680 procesora na 3,33 GHz, 96 GB RAM-a, 38 TB disk memorije i operativni sistem Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Za proračune su Aleksandar i Singer koristili formulu braće Čudnovski. Proces proračuna je trajao 90 dana i 22 TB prostora na disku. Godine 2011. postavili su još jedan rekord računajući 10 triliona decimalnih mjesta za broj \(\pi\). Proračuni su se odvijali na istom računaru na kojem je postavljen njihov prethodni rekord i trajali su ukupno 371 dan. Krajem 2013. Alexander i Singerou su poboljšali rekord na 12,1 bilion cifara broja \(\pi\), za šta im je trebalo samo 94 dana da izračunaju. Ovo poboljšanje performansi se postiže optimizacijom performansi softvera, povećanjem broja procesorskih jezgara i značajnim poboljšanjem tolerancije softverskih grešaka.

Trenutni rekord je Alexander Yee i Singer Kondo, koji iznosi 12,1 triliona decimalnih mjesta \(\pi\).

Tako smo pogledali metode za izračunavanje broja \(\pi\) korištene u antičko doba, analitičke metode, a također smo pogledali savremene metode i zapise za izračunavanje broja \(\pi\) na računarima.

Spisak izvora

1. Žukov A.V. Sveprisutni broj Pi - M.: Izdavačka kuća LKI, 2007 - 216 str.
2. F.Rudio. O kvadraturi kruga, uz primjenu historije problematike koju je sastavio F. Rudio. / Rudio F. – M.: ONTI NKTP SSSR, 1936. – 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. – Springer, 2001. – 270 str.
4. Shukhman, E.V. Približno izračunavanje Pi pomoću serije za arktan x u objavljenim i neobjavljenim radovima Leonharda Eulera / E.V. Shukhman. – Istorija nauke i tehnike, 2008 – br. 4. – str. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 – Vol.9 – 222-236 str.
6. Shumikhin, S. Broj Pi. Istorija duga 4000 godina / S. Shumikhin, A. Shumikhina. – M.: Eksmo, 2011. – 192 str.
7. Borwein, J.M. Ramanujan i broj Pi. / Borwein, J.M., Borwein P.B. U svetu nauke. 1988 – br. 4. – str. 58-66.
8. Alex Yee. Svijet brojeva. Način pristupa: numberworld.org

Sviđa mi se?

Reci

Pi je jedan od najpopularnijih matematičkih koncepata. O njemu se pišu slike, snimaju se filmovi, sviraju na muzičkim instrumentima, posvećuju mu se pesme i praznici, traže ga i nalaze u svetim tekstovima.

Ko je otkrio pi?

Ko je i kada prvi otkrio broj π i dalje ostaje misterija. Poznato je da su ga graditelji starog Babilona već u potpunosti koristili u svom dizajnu. Klinaste ploče stare hiljadama godina čak čuvaju probleme za koje je predloženo da se riješe korištenjem π. Istina, tada se vjerovalo da je π jednako tri. O tome svjedoči ploča pronađena u gradu Susa, dvjesto kilometara od Babilona, ​​gdje je broj π označen kao 3 1/8.

U procesu izračunavanja π, Babilonci su otkrili da poluprečnik kruga kao tetiva ulazi u njega šest puta, te su krug podijelili na 360 stepeni. A u isto vrijeme su isto uradili i sa orbitom sunca. Stoga su odlučili uzeti u obzir da u godini ima 360 dana.

U starom Egiptu, π je bilo jednako 3,16.
U staroj Indiji - 3.088.
U Italiji se na prijelazu ere vjerovalo da je π jednako 3,125.

U antici, najranije spominjanje π odnosi se na poznati problem kvadrature kruga, odnosno nemogućnosti da se šestarom i ravnalom konstruiše kvadrat čija je površina jednaka površini određenog kruga. Arhimed je izjednačio π sa razlomkom 22/7.

Najbliži ljudi tačnoj vrijednosti π došli su u Kinu. Izračunato je u 5. veku nove ere. e. poznati kineski astronom Tzu Chun Zhi. π je izračunato prilično jednostavno. Trebalo je dva puta napisati neparne brojeve: 11 33 55, a zatim, podijelivši ih na pola, staviti prvi u imenilac razlomka, a drugi u brojnik: 355/113. Rezultat se slaže sa savremenim proračunima broja π do sedme cifre.

Zašto π – π?

Sada čak i školarci znaju da je broj π matematička konstanta jednaka omjeru obima kruga i dužine njegovog promjera i jednaka je π 3,1415926535 ... a zatim nakon decimalne točke - do beskonačnosti.

Broj je dobio svoju oznaku π na složen način: prvo, 1647. godine, matematičar Outrade je koristio ovo grčko slovo da opiše dužinu kruga. Uzeo je prvo slovo grčke riječi περιφέρεια – “periferija”. Godine 1706. učitelj engleskog Vilijam Džons u svom djelu “Pregled dostignuća matematike” već je omjer obima kruga i njegovog prečnika nazvao slovom π. A ime je zacementirao matematičar iz 18. veka Leonard Ojler, pred čijim autoritetom su ostali pognuli glave. Tako je π postalo π.

Jedinstvenost broja

Pi je zaista jedinstven broj.

1. Naučnici vjeruju da je broj cifara u broju π beskonačan. Njihova sekvenca se ne ponavlja. Štaviše, niko nikada neće moći pronaći ponavljanja. Pošto je broj beskonačan, može sadržavati apsolutno sve, čak i Rahmanjinovu simfoniju, Stari zavjet, vaš broj telefona i godinu u kojoj će se dogoditi Apokalipsa.

2. π je povezan sa teorijom haosa. Naučnici su do ovog zaključka došli nakon kreiranja Bejlijevog kompjuterskog programa, koji je pokazao da je niz brojeva u π apsolutno slučajan, što je u skladu sa teorijom.

3. Gotovo je nemoguće u potpunosti izračunati broj - trebalo bi previše vremena.

4. π je iracionalan broj, odnosno njegova vrijednost se ne može izraziti kao razlomak.

5. π – transcendentalni broj. Ne može se dobiti izvođenjem algebarskih operacija nad cijelim brojevima.

6. Trideset devet decimala u broju π dovoljno je da se izračuna dužina kruga koji okružuje poznate kosmičke objekte u Univerzumu, sa greškom poluprečnika atoma vodonika.

7. Broj π je povezan sa konceptom „zlatnog preseka“. U procesu mjerenja Velike piramide u Gizi, arheolozi su otkrili da je njena visina povezana s dužinom njene osnove, kao što je polumjer kružnice povezan s njenom dužinom.

Zapisi vezani za π

Godine 2010. Yahoo matematičar Nicholas Zhe uspio je izračunati dva kvadriliona decimala (2x10) u broju π. Bilo je potrebno 23 dana, a matematičaru je bilo potrebno mnogo pomoćnika koji su radili na hiljadama računara, udruženih koristeći tehnologiju distribuiranog računara. Metoda je omogućila izvođenje proračuna tako fenomenalnom brzinom. Za izračunavanje iste stvari na jednom računaru bilo bi potrebno više od 500 godina.

Da biste sve ovo jednostavno zapisali na papir, bila bi vam potrebna papirna traka duga više od dvije milijarde kilometara. Ako proširite takav rekord, njegov kraj će ići izvan Sunčevog sistema.

Kinez Liu Chao postavio je rekord u pamćenju niza cifara broja π. U roku od 24 sata i 4 minuta, Liu Chao je rekao 67.890 decimalnih mjesta bez ijedne greške.

π ima mnogo obožavatelja. Svira se na muzičkim instrumentima, a ispostavilo se da “zvuči” odlično. Oni to pamte i smišljaju razne tehnike za to. Iz zabave je skidaju na svoj kompjuter i hvale se jedni drugima ko je najviše skinuo. Njemu se podižu spomenici. Na primjer, postoji takav spomenik u Seattleu. Nalazi se na stepenicama ispred Muzeja umjetnosti.

π se koristi u dekoracijama i dizajnu interijera. Njemu su posvećene pesme, traže ga u svetim knjigama i na iskopavanjima. Postoji čak i “Klub π”.
U najboljoj tradiciji broja π, ne jedan, već dva cijela dana u godini posvećen je broju! Prvi put se Dan π slavi 14. marta. Morate da čestitate jedno drugom tačno u 1 sat, 59 minuta i 26 sekundi. Dakle, datum i vrijeme odgovaraju prvim ciframa broja - 3.1415926.

Po drugi put praznik π slavi se 22. jula. Ovaj dan je povezan sa takozvanim „približnim π“, koji je Arhimed zapisao kao razlomak.
Obično na ovaj dan studenti, školarci i naučnici organizuju šaljive flash mobove i akcije. Matematičari, zabavljajući se, koriste π da izračunaju zakone pada sendviča i daju jedni drugima komične nagrade.
I usput, π se zapravo može naći u svetim knjigama. Na primjer, u Bibliji. I tamo je broj π jednak... tri.

Čemu je Pi jednako? znamo i pamtimo iz škole. Jednako je 3,1415926 i tako dalje... Obična osoba je dovoljno da zna da se ovaj broj dobija tako što se obim kruga podijeli sa njegovim prečnikom. Ali mnogi ljudi znaju da se broj Pi pojavljuje u neočekivanim područjima ne samo matematike i geometrije, već i fizike. Pa, ako se zadubite u detalje prirode ovog broja, primijetit ćete mnoge iznenađujuće stvari među beskrajnim nizovima brojeva. Da li je moguće da Pi krije najdublje tajne univerzuma?

Beskonačan broj

Sam broj Pi se u našem svijetu pojavljuje kao dužina kruga čiji je prečnik jednak jedan. Ali, uprkos činjenici da je segment jednak Pi prilično konačan, broj Pi počinje kao 3,1415926 i ide u beskonačnost u redovima brojeva koji se nikada ne ponavljaju. Prva iznenađujuća činjenica je da se ovaj broj, koji se koristi u geometriji, ne može izraziti kao razlomak cijelih brojeva. Drugim riječima, ne možete ga napisati kao omjer dva broja a/b. Osim toga, broj Pi je transcendentalan. To znači da ne postoji jednačina (polinom) sa cjelobrojnim koeficijentima čije bi rješenje bio broj Pi.

Činjenicu da je broj Pi transcendentalan dokazao je 1882. godine njemački matematičar von Lindemann. Upravo je ovaj dokaz postao odgovor na pitanje da li je moguće, koristeći šestar i ravnalo, nacrtati kvadrat čija je površina jednaka površini datog kruga. Ovaj problem je poznat kao potraga za kvadratom kruga, koji je zabrinjavao čovječanstvo od davnina. Činilo se da ovaj problem ima jednostavno rješenje i da će biti riješen. Ali upravo je neshvatljivo svojstvo broja Pi pokazalo da ne postoji rješenje za problem kvadrature kruga.

Najmanje četiri i po milenijuma čovečanstvo pokušava da dobije sve precizniju vrednost za Pi. Na primjer, u Bibliji u Trećoj knjizi o kraljevima (7:23), broj Pi se uzima kao 3.

Pi vrijednost izuzetne tačnosti može se naći u piramidama u Gizi: omjer perimetra i visine piramida je 22/7. Ovaj razlomak daje približnu vrijednost Pi jednaku 3,142... Osim ako, naravno, Egipćani slučajno nisu postavili ovaj omjer. Istu vrijednost je već dobio veliki Arhimed u odnosu na izračunavanje broja Pi u 3. vijeku prije nove ere.

U Ahmesovom papirusu, staroegipatskom udžbeniku matematike koji datira iz 1650. godine prije Krista, Pi je izračunat kao 3,160493827.

U drevnim indijskim tekstovima oko 9. veka pre nove ere, najpreciznija vrednost je bila izražena brojem 339/108, koji je bio jednak 3,1388...

Skoro dvije hiljade godina nakon Arhimeda, ljudi su pokušavali pronaći načine da izračunaju Pi. Među njima su bili i poznati i nepoznati matematičari. Na primjer, rimski arhitekta Marcus Vitruvius Pollio, egipatski astronom Klaudije Ptolomej, kineski matematičar Liu Hui, indijski mudrac Aryabhata, srednjovjekovni matematičar Leonardo iz Pize, poznat kao Fibonacci, arapski naučnik Al-Khwarizmi, iz čijeg je imena riječ pojavio se “algoritam”. Svi oni i mnogi drugi ljudi tražili su najtačnije metode za izračunavanje Pi, ali do 15. vijeka nikada nisu dobili više od 10 decimalnih mjesta zbog složenosti izračunavanja.

Konačno, 1400. godine, indijski matematičar Madhava iz Sangamagrama izračunao je Pi sa tačnošću od 13 cifara (iako je ipak pogriješio u posljednje dvije).

Broj znakova

U 17. veku, Leibniz i Newton su otkrili analizu beskonačno malih veličina, što je omogućilo progresivnije izračunavanje Pi - putem nizova stepena i integrala. Sam Newton je izračunao 16 decimalnih mjesta, ali to nije spomenuo u svojim knjigama - to je postalo poznato nakon njegove smrti. Njutn je tvrdio da je Pi izračunao čisto iz dosade.

Otprilike u isto vrijeme oglasili su se i drugi manje poznati matematičari koji su predložili nove formule za izračunavanje broja Pi kroz trigonometrijske funkcije.

Na primjer, ovo je formula koju je 1706. godine koristio za izračunavanje broja Pi učitelj astronomije John Machin: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Koristeći analitičke metode, Machin je iz ove formule izveo broj Pi na sto decimalnih mjesta.

Inače, iste 1706. broj Pi je dobio službenu oznaku u obliku grčkog slova: William Jones ga je koristio u svom radu o matematici, uzimajući prvo slovo grčke riječi "periferija", što znači "krug". .” Veliki Leonhard Euler, rođen 1707. godine, popularizirao je ovu oznaku, danas poznatu svakom školskom djetetu.

Prije ere kompjutera, matematičari su se fokusirali na izračunavanje što većeg broja znakova. S tim u vezi, ponekad su se javljale smiješne stvari. Matematičar amater W. Shanks izračunao je 707 cifara Pi 1875. godine. Ovih sedam stotina znakova ovekovečeno je na zidu Palais des Discoverys u Parizu 1937. Međutim, devet godina kasnije, pažljivi matematičari su otkrili da je samo prvih 527 znakova bilo ispravno izračunato. Muzej je morao da podnese značajne troškove da ispravi grešku - sada su sve brojke tačne.

Kada su se pojavili kompjuteri, broj cifara Pi je počeo da se izračunava potpuno nezamislivim redosledom.

Jedan od prvih elektronskih kompjutera, ENIAC, stvoren 1946. godine, bio je ogromne veličine i generisao je toliko toplote da se prostorija zagrejala na 50 stepeni Celzijusa, izračunavši prvih 2037 cifara Pi. Ovaj proračun je mašini trajao 70 sati.

Kako su se kompjuteri poboljšavali, naše znanje o Pi se pomicalo sve dalje i dalje u beskonačnost. Godine 1958. izračunato je 10 hiljada cifara broja. Japanci su 1987. izračunali 10.013.395 znakova. Japanski istraživač Shigeru Hondo je 2011. godine premašio granicu od 10 triliona znakova.

Gdje još možete upoznati Pi?

Dakle, često naše znanje o broju Pi ostaje na nivou škole, a pouzdano znamo da je ovaj broj nezamjenjiv prvenstveno u geometriji.

Pored formula za dužinu i površinu kruga, broj Pi se koristi u formulama za elipse, kugle, stošce, cilindre, elipsoide i tako dalje: na nekim mjestima formule su jednostavne i lako pamtljive, ali u drugima sadrže vrlo složene integrale.

Tada možemo sresti broj Pi u matematičkim formulama, gdje se na prvi pogled geometrija ne vidi. Na primjer, neodređeni integral od 1/(1-x^2) je jednak Pi.

Pi se često koristi u analizi serija. Na primjer, evo jednostavne serije koja konvergira sa Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Među serijama, Pi se najneočekivanije pojavljuje u poznatoj Riemannovoj zeta funkciji. Nemoguće je govoriti o tome ukratko, recimo da će jednog dana broj Pi pomoći u pronalaženju formule za izračunavanje prostih brojeva.

I apsolutno iznenađujuće: Pi se pojavljuje u dvije najljepše „kraljevske“ formule matematike - Stirlingovoj formuli (koja pomaže da se pronađe približna vrijednost faktorijala i gama funkcije) i Eulerovoj formuli (koja povezuje čak pet matematičkih konstanti).

Međutim, najneočekivanije otkriće čekalo je matematičare u teoriji vjerovatnoće. Broj Pi je takođe tu.

Na primjer, vjerovatnoća da će dva broja biti relativno prosta je 6/PI^2.

Pi se pojavljuje u Buffonovom problemu bacanja igle, formulisanom u 18. veku: kolika je verovatnoća da će igla bačena na obloženi komad papira preći jednu od linija. Ako je dužina igle L, a razmak između linija L, i r > L, tada možemo približno izračunati vrijednost Pi koristeći formulu vjerovatnoće 2L/rPI. Zamislite samo - Pi možemo dobiti iz slučajnih događaja. I usput, Pi je prisutan u normalnoj raspodjeli vjerovatnoće, pojavljuje se u jednadžbi poznate Gaussove krive. Znači li to da je Pi još fundamentalniji od jednostavnog omjera obima i prečnika?

Pi možemo sresti i u fizici. Pi se pojavljuje u Coulombovom zakonu, koji opisuje silu interakcije između dva naboja, u trećem Keplerovom zakonu, koji pokazuje period okretanja planete oko Sunca, a čak se pojavljuje i u rasporedu elektronskih orbitala atoma vodika. A ono što je opet najnevjerovatnije je da se broj Pi krije u formuli Hajzenbergovog principa nesigurnosti – temeljnog zakona kvantne fizike.

Tajne Pi

U romanu Kontakt Carla Sagana, na kojem je baziran istoimeni film, vanzemaljci govore heroini da među znakovima Pi postoji tajna poruka od Boga. Sa određene pozicije, brojevi u broju prestaju biti nasumični i predstavljaju šifru u kojoj su zapisane sve tajne Univerzuma.

Ovaj roman je zapravo odražavao misteriju koja je okupirala umove matematičara širom svijeta: da li je Pi normalan broj u kojem su cifre razbacane jednakom frekvencijom ili nešto nije u redu sa ovim brojem? I iako su naučnici skloni prvoj opciji (ali to ne mogu dokazati), broj Pi izgleda vrlo misteriozno. Jedan Japanac je jednom izračunao koliko puta se brojevi od 0 do 9 pojavljuju u prvih triliona cifara Pi. I vidio sam da su brojevi 2, 4 i 8 češći od ostalih. Ovo može biti jedan od nagoveštaja da Pi nije sasvim normalan i da brojevi u njemu zaista nisu slučajni.

Prisjetimo se svega što smo pročitali gore i zapitajmo se, koji se drugi iracionalni i transcendentalni broj tako često nalazi u stvarnom svijetu?

A ima još neobičnosti u skladištu. Na primjer, zbir prvih dvadeset cifara broja Pi je 20, a zbir prvih 144 cifara jednak je "broju zvijeri" 666.

Glavni lik američke TV serije "Osumnjičeni", profesor Finch, rekao je studentima da se zbog beskonačnosti broja Pi u njemu može pronaći bilo koja kombinacija brojeva, od brojeva vašeg datuma rođenja do složenijih brojeva . Na primjer, na poziciji 762 nalazi se niz od šest devetki. Ova pozicija se zove Feynmanova tačka po slavnom fizičaru koji je uočio ovu zanimljivu kombinaciju.

Takođe znamo da broj Pi sadrži niz 0123456789, ali se nalazi na 17.387.594.880.

Sve to znači da se u beskonačnosti broja Pi mogu pronaći ne samo zanimljive kombinacije brojeva, već i kodirani tekst „Rata i mira“, Biblije, pa čak i Glavne tajne svemira, ako postoji.

Usput, o Bibliji. Čuveni popularizator matematike Martin Gardner izjavio je 1966. da će milioniti broj Pi (u to vrijeme još nepoznat) biti broj 5. Svoje proračune je objasnio činjenicom da je u engleskoj verziji Biblije, u 3. knjiga, 14. poglavlje, 16. stih (3-14-16) sedma riječ sadrži pet slova. Milionita brojka je dostignuta osam godina kasnije. Bio je to broj pet.

Vrijedi li nakon ovoga tvrditi da je broj Pi slučajan?

Za izračunavanje bilo kojeg velikog broja znakova pi, prethodna metoda više nije prikladna. Ali postoji veliki broj sekvenci koje se mnogo brže približavaju Pi. Upotrijebimo, na primjer, Gaussovu formulu:

Dokaz ove formule nije težak, pa ćemo ga izostaviti.

Izvorni kod programa, uključujući "dugu aritmetiku"

Program izračunava NbDigits prvih cifara Pi. Funkcija za izračunavanje arktana naziva se arktan, pošto arktan(1/p) = arkkot(p), ali se izračunavanje vrši prema Taylorovoj formuli posebno za arktangens, odnosno arktan(x) = x - x 3 /3 + x 5 /5 - ... x=1/p, što znači arccot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + ... Izračuni se odvijaju rekurzivno: prethodni element sume se dijeli i daje sljedeći.