U matematici, kada se razmatra trokut, puno pažnje se poklanja njegovim stranicama. Zato što ovi elementi formiraju ovu geometrijsku figuru. Stranice trokuta se koriste za rješavanje mnogih geometrijskih problema.

Definicija pojma

Segmenti koji povezuju tri tačke koje ne leže na istoj pravoj nazivaju se stranicama trougla. Elementi koji se razmatraju ograničavaju dio ravnine, koji se naziva unutrašnjost ove geometrijska figura.

Matematičari u svojim proračunima dozvoljavaju generalizacije u vezi sa stranicama geometrijskih figura. Dakle, u degenerisanom trouglu tri njegova segmenta leže na jednoj pravoj liniji.

Karakteristike koncepta

Izračunavanje stranica trokuta uključuje određivanje svih ostalih parametara figure. Znajući dužinu svakog od ovih segmenata, lako možete izračunati perimetar, površinu, pa čak i uglove trokuta.

Rice. 1. Proizvoljni trougao.

Zbrajanjem stranica date figure, možete odrediti perimetar.

P=a+b+c, gdje su a, b, c stranice trougla

A da biste pronašli površinu trokuta, trebali biste koristiti Heronovu formulu.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Gdje je p poluperimetar.

Uglovi date geometrijske figure izračunavaju se pomoću kosinusne teoreme.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Značenje

Neka svojstva ove geometrijske figure izražena su kroz omjer stranica trokuta:

• Nasuprot najmanjoj strani trougla nalazi se njegov najmanji ugao.
• Vanjski ugao dotične geometrijske figure dobija se proširenjem jedne od strana.
• Nasuprot jednakih uglova trougla su jednake stranice.
• U bilo kojem trouglu jedna od stranica je uvijek veća od razlike druga dva segmenta. A zbir bilo koje dvije strane ove brojke je veći od treće.

Jedan od znakova da su dva trokuta jednaka je omjer zbira svih strana geometrijske figure. Ako su ove vrijednosti iste, tada će trokuti biti jednaki.

Neka svojstva trougla zavise od njegovog tipa. Stoga prvo trebate uzeti u obzir veličinu stranica ili kutova ove figure.

Formiranje trouglova

Ako su dvije strane dotične geometrijske figure iste, onda se ovaj trokut naziva jednakokračnim.

Rice. 2. Jednakokraki trougao.

Kada su svi segmenti u trokutu jednaki, dobićete jednakostranični trougao.

Rice. 3. Jednakostranični trougao.

Pogodnije je izvršiti bilo kakav proračun u slučajevima kada se proizvoljni trokut može klasificirati kao specifičan tip. Jer će tada nalaženje traženog parametra ove geometrijske figure biti značajno pojednostavljeno.

Iako ispravno odabrano trigonometrijska jednačina omogućava vam da riješite mnoge probleme u kojima se razmatra proizvoljan trokut.

Šta smo naučili?

Tri segmenta koja su povezana tačkama i ne pripadaju istoj pravoj liniji čine trougao. Ove strane formiraju geometrijsku ravan, koja se koristi za određivanje površine. Koristeći ove segmente, možete pronaći mnoge važne karakteristike figure, kao što su perimetar i uglovi. Omjer stranica trokuta pomaže u pronalaženju njegovog tipa. Neka svojstva date geometrijske figure mogu se koristiti samo ako su poznate dimenzije svake njene strane.

Testirajte na temu

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.3. Ukupno primljenih ocjena: 142.

Prvi su segmenti koji se nalaze pored pravog ugla, a hipotenuza je najduži deo figure i nalazi se nasuprot ugla od 90 stepeni. Pitagorin trougao naziva se ona čije su stranice jednake prirodni brojevi; njihove dužine se u ovom slučaju nazivaju “pitagorina trojka”.

Egipatski trougao

Da bi sadašnja generacija prepoznala geometriju u onom obliku u kojem se sada uči u školi, ona se razvijala kroz nekoliko stoljeća. Osnovna tačka se smatra Pitagorinom teoremom. Stranice pravougaonika poznate su u cijelom svijetu) su 3, 4, 5.

Malo ljudi nije upoznato s frazom “Pitagorine pantalone su jednake u svim smjerovima.” Međutim, u stvarnosti teorema zvuči ovako: c 2 (kvadrat hipotenuze) = a 2 + b 2 (zbir kvadrata kateta).

Među matematičarima, trougao sa stranicama 3, 4, 5 (cm, m, itd.) naziva se "egipatski". Zanimljivo je da je ono što je upisano na slici jednako jedan. Ime je nastalo oko 5. veka pre nove ere, kada su grčki filozofi putovali u Egipat.

Prilikom izgradnje piramida, arhitekte i geodeti su koristili omjer 3:4:5. Ispostavile su se da su takve strukture proporcionalne, ugodne za pogled i prostrane, a također su se rijetko srušile.

Kako bi izgradili pravi ugao, graditelji su koristili konopac sa 12 čvorova na njemu. U ovom slučaju, vjerovatnoća konstruisanja tačno pravougaonog trougla povećan na 95%.

Znakovi jednakosti figura

• Oštar ugao u pravokutnom trokutu i duga stranica, koji su jednaki istim elementima u drugom trokutu, neosporan su znak jednakosti figura. Uzimajući u obzir zbir uglova, lako je dokazati da su i drugi oštri uglovi jednaki. Dakle, trouglovi su identični prema drugom kriterijumu.
• Prilikom namještanja dvije figure jednu na drugu, rotiramo ih tako da, kada se spoje, postanu jedan jednakokraki trokut. Po svom svojstvu, stranice, odnosno hipotenuze su jednake, kao i uglovi u osnovi, što znači da su ove figure iste.

Na osnovu prvog znaka vrlo je lako dokazati da su trouglovi zaista jednaki, glavno je da su dvije manje stranice (tj. noge) jedna drugoj jednake.

Trokuti će biti identični prema drugom kriteriju, čija je suština jednakost kraka i oštrog ugla.

Svojstva trougla sa pravim uglom

Visina koja se spušta iz pravog ugla dijeli figuru na dva jednaka dijela.

Stranice pravokutnog trokuta i njegova medijana lako se mogu prepoznati po pravilu: medijana koja pada na hipotenuzu jednaka je njegovoj polovini. može se naći i Heronovom formulom i tvrdnjom da je jednak polovini umnoška nogu.

U pravokutnom trokutu vrijede svojstva uglova od 30°, 45° i 60°.

• Uz ugao od 30°, treba imati na umu da će suprotna noga biti jednaka 1/2 najveće strane.
• Ako je ugao 45°, onda je i drugi oštri ugao 45°. Ovo sugerira da je trokut jednakokračan i da su mu kraci isti.
• Svojstvo ugla od 60° je da treći ugao ima stepen od 30°.

Područje se lako može pronaći pomoću jedne od tri formule:

1. kroz visinu i stranu na koju se spušta;
2. prema Heronovoj formuli;
3. na stranama i ugao između njih.

Stranice pravokutnog trougla, odnosno katete, konvergiraju se s dvije visine. Da bismo pronašli treći, potrebno je razmotriti rezultirajući trokut, a zatim, koristeći Pitagorinu teoremu, izračunati potrebnu dužinu. Pored ove formule, postoji i odnos između dvostruke površine i dužine hipotenuze. Najčešći izraz među studentima je prvi, jer zahtijeva manje proračuna.

Teoreme koje se primjenjuju na pravokutni trokut

Geometrija pravokutnog trokuta uključuje korištenje teorema kao što su:

Online kalkulator.
Rješavanje trouglova.

Rješavanje trougla je pronalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri ugla) iz bilo koja tri data elementa koji definiraju trokut.

Ovaj matematički program pronalazi stranu \(c\), uglove \(\alpha \) i \(\beta \) sa stranica koje je odredio korisnik \(a, b\) i ugao između njih \(\gamma \)

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces pronalaženja rješenja.

Ovaj online kalkulator može biti koristan za srednjoškolce srednje škole u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je brže moguće? domaći zadatak

iz matematike ili algebre? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti rješavanja problema povećava.

Ukoliko niste upoznati sa pravilima za unos brojeva, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos brojeva
Brojevi se mogu specificirati ne samo kao cijeli brojevi, već i kao razlomci. Cijeli i frakcijski dio
u decimalnim razlomcima može se odvojiti tačkom ili zarezom. Na primjer, možete unijeti decimale

tako 2,5 ili tako 2,5 Unesite stranice \(a, b\) i ugao između njih \(\gamma \)

Riješi trougao
Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.

U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.
JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.

Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.
Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod. Molimo pričekajte

sec... Ako ti uočio grešku u rješenju
, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije. Ne zaboravi naznačiti koji zadatak ti odluči šta.

unesite u polja

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Teorema sinusa

Teorema
Stranice trokuta su proporcionalne sinusima suprotnih uglova:

$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Teorema sinusa
Kosinus teorema
Neka je AB = c, BC = a, CA = b u trouglu ABC. Onda Kvadratna strana trougla jednak zbiru
kvadrati druge dvije stranice minus dvostruki proizvod ovih stranica pomnožen kosinusom ugla između njih.

$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Rješavanje trougla je pronalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri ugla) iz bilo koja tri data elementa koji definiraju trokut.

Pogledajmo tri problema koji uključuju rješavanje trougla. U ovom slučaju koristićemo sljedeću notaciju za stranice trougla ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Rješavanje trokuta korištenjem dvije stranice i ugla između njih

Zadano: \(a, b, \ugao C\). Pronađite \(c, \ugao A, \ugao B\)

Rješenje
1. Koristeći kosinus teoremu, nalazimo \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Koristeći kosinus teoremu, imamo:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\ugao B = 180^\krug -\ugao A -\ugao C\)

Rješavanje trougla uz bočni i susjedni uglovi

Zadato: \(a, \ugao B, \ugao C\). Pronađite \(\ugao A, b, c\)

Rješenje
1. \(\ugao A = 180^\krug -\ugao B -\ugao C\)

2. Koristeći sinusnu teoremu, izračunavamo b i c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Rješavanje trougla pomoću tri strane

Dato: \(a, b, c\). Pronađite \(\ugao A, \ugao B, \ugao C\)

Rješenje
1. Koristeći kosinus teoremu dobijamo:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

Koristeći \(\cos A\) nalazimo \(\ugao A\) pomoću mikrokalkulatora ili pomoću tabele.

2. Slično, nalazimo ugao B.
3. \(\ugao C = 180^\krug -\ugao A -\ugao B\)

Rješavanje trougla date dvije stranice i ugao nasuprot poznatoj strani

Zadano: \(a, b, \ugao A\). Pronađite \(c, \ugao B, \ugao C\)

Rješenje
1. Koristeći teoremu o sinusima, nalazimo \(\sin B\) i dobijamo:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Hajde da uvedemo notaciju: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). U zavisnosti od broja D, mogući su sledeći slučajevi:
Ako je D > 1, takav trokut ne postoji, jer \(\sin B\) ne može biti veći od 1
Ako je D = 1, postoji jedinstveni \(\ugao B: \quad \sin B = 1 \Strelica desno \ugao B = 90^\krug \)
Ako je D Ako je D 2. \(\ugao C = 180^\krug -\ugao A -\ugao B\)

3. Koristeći sinusnu teoremu, izračunavamo stranu c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i Jedinstvenog državnog ispita online Igre, zagonetke Iscrtavanje grafova funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik omladinskog slenga Katalog ruskih škola Katalog srednjih obrazovnih institucija Rusije Katalog ruskih univerziteta Lista zadataka

U geometriji, ugao je lik koji je formiran od dve zrake koje izlaze iz jedne tačke (koja se naziva vrh ugla). U većini slučajeva, jedinica mjere za ugao je stepen (°) - zapamtite da je pun ugao, ili jedan obrt, 360°. Vrijednost ugla poligona možete pronaći po njegovom tipu i vrijednostima drugih uglova, a ako je zadan pravokutni trokut, kut se može izračunati sa dvije strane. Osim toga, ugao se može izmjeriti pomoću kutomjera ili izračunati pomoću grafičkog kalkulatora.

Koraci

Kako pronaći unutrašnje uglove poligona

Izbrojite broj strana poligona. Da biste izračunali unutrašnje uglove poligona, prvo morate odrediti koliko strana ima poligon. Imajte na umu da je broj stranica poligona jednak broju njegovih uglova.

• Na primjer, trokut ima 3 stranice i 3 unutrašnja ugla, a kvadrat 4 stranice i 4 unutrašnja ugla.

1. Izračunajte zbir svih unutrašnjih uglova poligona. Da biste to učinili, koristite sljedeću formulu: (n - 2) x 180. U ovoj formuli, n je broj strana poligona. Slijede zbrojevi uglova poligona koji se često susreću:

   • Zbir uglova trougla (mnogougla sa 3 strane) je 180°.
   • Zbir uglova četvorougla (mnogougla sa 4 strane) je 360°.
   • Zbir uglova petougla (poligona sa 5 strana) je 540°.
   • Zbir uglova šestougla (poligona sa 6 strana) je 720°.
   • Zbir uglova osmougla (poligona sa 8 strana) je 1080°.

2. Podijelite zbir svih uglova pravilnog poligona sa brojem uglova. Pravilan mnogokut je mnogokut sa jednakim stranicama i jednakih uglova. Na primjer, svaki ugao jednakostraničnog trougla izračunava se na sljedeći način: 180 ÷ 3 = 60°, a svaki ugao kvadrata se izračunava na sljedeći način: 360 ÷ 4 = 90°.

   • Jednakostranični trokut i kvadrat su pravilni poligoni. I u zgradi Pentagona (Vašington, SAD) i putokaz"Stop" oblik pravilnog osmougla.

3. Oduzmite zbir svih poznatih uglova od ukupnog zbira uglova nepravilnog poligona. Ako stranice poligona nisu jednake jedna drugoj, a ni njegovi uglovi nisu međusobno jednaki, prvo zbrojite poznate uglove poligona. Sada oduzmite rezultujuću vrijednost od zbira svih uglova poligona - na ovaj način ćete pronaći nepoznati ugao.

   • Na primjer, ako se uzme da su 4 ugla petougla 80°, 100°, 120° i 140°, dodaj ove brojeve: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Sada oduzmi ovu vrijednost od zbira svih uglova pentagona; ovaj zbir je jednak 540°: 540 - 440 = 100°. Dakle, nepoznati ugao je 100°.

   savjet: nepoznati ugao nekih poligona može se izračunati ako poznajete svojstva figure. Na primjer, u jednakokračnom trokutu, dvije stranice su jednake, a dva ugla jednaka; U paralelogramu (koji je četverokut), suprotne strane su jednake, a suprotni uglovi jednaki.

   Izmjerite dužinu dvije strane trougla. Najduža stranica pravokutnog trougla naziva se hipotenuza. Susjedna strana je strana koja je blizu nepoznatog ugla. Suprotna strana je strana koja je suprotna nepoznatom uglu. Izmjerite dvije strane da biste izračunali nepoznate uglove trougla.

   savjet: koristite grafički kalkulator za rješavanje jednadžbi ili pronađite online tablicu s vrijednostima sinusa, kosinusa i tangenta.

   Izračunajte sinus ugla ako znate suprotnu stranu i hipotenuzu. Da biste to učinili, ubacite vrijednosti u jednadžbu: sin(x) = suprotna strana ÷ hipotenuza. Na primjer, suprotna strana je 5 cm, a hipotenuza je 10 cm Podijeli 5/10 = 0,5. Dakle, sin(x) = 0,5, odnosno, x = sin -1 (0,5).

ANDREY PROKIP: „MOJ LJUBAVNIK JE RUSKA EKOLOGIJA. U TO TREBA ULAGATI!”
Od 4. do 5. septembra održan je ekološki forum „Klimatski oblik gradova“. Inicijator događaja je organizacija C40 koju su 2005. godine osnovale UN. Glavni zadatak forme i gradova je kontrola klimatske promjene gradova.
Kao što je praksa pokazala, za razliku od društvenih dešavanja i „sastanaka u noćnim klubovima“, poslanika i javnih ličnosti je bilo malo. Među onima koji su identifikovali zabrinutost ekološka situacija bio je Prokip Adrey Zinovievich. Aktivno je učestvovao na svim plenarnim sjednicama zajedno sa specijalnim predstavnikom predsjednika Ruska Federacija o klimatskim pitanjima Ruslan Edelgeriev, zamjenik gradonačelnika Moskve za stambeno-komunalne usluge Pyotr Biryukov, kao i strani predstavnici - gradonačelnik italijanskog grada Savona - Ilario Caprioglio. Učesnici su predstavili svoje projekte i razgovarali o strategijama za suzbijanje porasta globalnih temperatura, kao i o predloženim praktičnim rješenjima održivi razvoj gradova.
ANDREY PROKIP O ŠALJKAMA, ZAMJESNICIMA I ZELENOJ ZGRADI
Od posebnog interesa za ruska strana izazvalo je izlaganje govornika, među kojima su bili evropski arhitekti, naučnici i gradonačelnik Savone. Tema govora bila je TOP pravac – „zelena gradnja“. Kako je sam Andrey Prokip izjavio, „važno je pravilno preraspodijeliti resurse, kao i uzeti u obzir evropske standarde izgradnje za megagrad poput Moskve. Neophodno je da Rusija zauzme kurs ka „zelenom finansiranju“ na saveznom nivou, pogotovo što je to ekonomski izvodljivo i, kako praksa pokazuje, isplativo. Takođe je izrazio zabrinutost zbog pogoršanja zdravlja Rusa u vezi sa ekološkim katastrofama i nepoštovanjem ekoloških standarda za odlaganje otpada od strane velikih i malih industrijska preduzeća" U svojim strahovima potvrdio se i govorom Francesca Zambone, profesora u Evropskoj kancelariji SZO za ulaganja u zdravstvo.
Sa karakterističnim humorom, Andrej se obratio poznatim ljudima koji su bili pozvani na forum, ali se nikada nisu pojavili, sa pozivom da se „sećate prirode, ne samo kada žele roštilj ili pecanje. Uostalom, zdravlje čitavog naroda ovisi o dobročinstvu prirode, koja, nažalost, uključuje i njih.”
Pored strastvenih govora o novoj "ljubavnoj prirodi" Andreja Zinovijeviča i važnosti preuzimanja odgovornosti za okruženje Sam po sebi, značajan događaj foruma je bio plenarnoj sjednici na temu “Kako odgojiti novu generaciju”. Učesnici tribine bili su jednoglasni u mišljenju da je potrebno obrazovati ne samo djecu, već i odrasle generacije. Veoma je važno usaditi odgovornost prema prirodi svakodnevno ponašanje, kao i u poslovanju.
Za Moskvu će biti pokrenut specijalni projekat „Učenje civilizovanog življenja“. Ovo edukativni projekat za sve segmente stanovništva i starosne kategorije. Ali koliko god da su teorije i dobre namjere divne, za Rusiju je i dalje aktualna izreka „dok ne kljune pečeni pijetao, budala se neće prekrstiti“.
Prema Timothyju Netteru, poznatom pozorišnom reditelju, umjetnost može promijeniti sve. U jednom od svojih govora govorio je o tome kako ideju očuvanja prirode treba predstaviti u pozorištu i kinu i koliko je važno kroz umjetnost odgajati ljude da budu odgovorni za ono što će nam se i prirodom dogoditi sutra.
Učenici su privukli pažnju Rentv operatera i Andreja Prokirpe ruski univerziteti, predstavljajući projekat ekološki prihvatljive tehnologije za proizvodnju kontejnera koji su otporni na vlagu i temperaturu. Ovo je vrlo hitan problem, jer se širom svijeta donose zakoni protiv plastičnih kontejnera, kojima je, inače, potrebno više od 30 godina da se razgrade, zagade tlo i izazovu smrt životinja.
Ohrabruje činjenica da je Moskva jedan od 94 grada učesnika u organizaciji C40 i ovo je treći put da se forum održava, koji svake godine privlači pažnju sve više poznatih ličnosti i građana.